第3章时间序列平滑预测法
时间序列平滑预测法
预 测 值 yˆ t α =0.5
219.1 223.4 216.95 212.775 218.7875 223.8438 230.2719 231.3359 237.468 237.934 244.567 243.7335 246.1667 246.2334
预 测 值 yˆ t α =0.8
219.1 225.98 213.596 209.5992 221.7598 227.472 234.8544 232.8909 241.4582 239.0116 248.7623 244.0725 247.6945 246.5789
• 时间序列:是指某一统计指标数值按时间先 后顺序排列而形成的数列 例如：
– 国内生产总值GDP按年度顺序排列起来的数列； – 某种商品销售量按季度或月度排列起来的数列
等等都是时间序列
– 时间序列一般用y1;y2; …;yt; … – 表示;t为时间
在社会经济统计中;编制和分析时间序列 具有重要的作用：
在实用上;类似于移动平均法;多取几个α值进行试算;看哪 个预测误差较小;就采用哪个α值作为权重
初始值的确定
用一次指数平滑法进行预测;除了选择合适的 α外;还要确定初始值S01 初始值是由预测者估 计或指定的 当时间序列的数据较多;比如在20 个以上时;初始值对以后的预测值影响很小;可选 用第一期数据为初始值 如果时间序列的数据较 少;在20个以下时;初始值对以后的预测值影响 很大;这时;就必须认真研究如何正确确定初始值 一般以最初几期实际值的平均值作为初始值
例3 2 2 对于例3 2 1;试用加权移动平均法预测2003 年的利润
解：取w1=3;w2=2;w3=1;按预测公式：
yt13yt 32y2t1 1yt2
时间序列的平滑预测法
时间序列的平滑预测平滑法：简单平均法，移动平均法、指数平滑法。
平滑法既可以用于对时间序列进行平滑以描述序列的趋势，也可对平稳时间序列进行短期预测。
1、 简单平均法根据过去已有的观测值通过简单平均来预测下一期的值；舍时间序列已有的t 期观测值为y1、y2………yt ，那么t+1期的预测值1t F +值为：112111111t+2111(.......),11,1t+2=,t+1tt t i i t t t t t i i F y y y y t t t t e F F y +=+++++==++=++=-∑∑当到了期时，有了期的实际值y 就可以计算误差y 那么期的预测值就为以此类推。
2、 移动平均法通过对时间序列逐期递移求得平均数作为趋势值或者预测值的一种平滑预测方法。
移动平均又包括简单移动平均和加权移动平均。
简单移动平均就是将最近K 期的观测值进行平均，作为下一期的预测值；1<K<t.1211231t+21........,........t k t k t tt t t k t k t t t y y y y F y ky y y y F y k-+-+-+-+-+++++++==++++==同理均方误差MSE 的计算公式为：MSE =误差平方和误差个数移动平均法只使用最近K 期的数据，每次计算都是使用最近K 期数据；这一方法比较适合较为平稳的时间序列数据。
实际中选取不同的K ，比较MSE 的大小来选择合适的步长。
3、 指数平滑法一次指数平滑就是以一段时期的预测值和观测值的线性组合作为t+1期的预测值，预测模型为：说明：通常将11F y =。
1(1)t t t F y F αα+=+-其中，0<<1t t y t t αα为期实际观测值，F 为期的预测值；为平滑系数（）。
211111322212433321=(1)(1)=(1)(1)=(1)1-+(1)F y F y y y F y F y y F y F y y F αααααααα∂+-=∂+-=∂+-=∂+-∂+-=∂+-第二期预测值：第三期预测值：第四期预测值：（）y 依此类推。
第三章 时间序列平滑预测法
如果一个多年的数据序列，其相邻的两 年数据的一阶差近似为一个常数，就可 以配合一条直线： Yt a bt 应用最小平方法就可求出参数a,b。
直线趋势的拟合简介（续）
例：试对下列资料配合趋势曲线。
某企业1988-1994年某产品销售量
年份
1988
1989 13.8
1990 15.7
1991 17.6
1992 19.0
1993 20.8
1994 22.7
销售量（万件） 12.4
分析数据资料考虑配合直线方程：
Y a bt
直线趋势的拟合简介（续）
– 依据表格可计算得到： – t=28, t2=140, Y=122.0, tY=536.2 – 则：
b ntY tY nt 2 t
二次指数平滑法（续）
二次指数平滑法预测步骤：
– 1.确定加权系数a和初始值S0(1)和S0(2)。
– 2.对时间序列{yt}计算St(1)和St(2)。 ˆ – 3.用St(1)和St(2)估计线性趋势模型的截距 at 和 ˆ 斜率bt 。
at 2 S t(1) S t( 2 ) ˆ a ˆ (1) ( 2) bt 1 a ( S t S t )
二次指数平滑法（续）
– 4.建立线性趋势预测模型，并进行预测。
ˆ ˆ ˆ y t a t bt
– 例3-5（教材P51页） – 二次指数平滑法具有多期预测能力
2
7 536.2 28 122.0 1.72 2 7 140 28
a Y 10.55 7 7
– 得直线方程：Y=10.55+1.72t
直线趋势的拟合简介（续）
时间序列平滑预测法
= (1/5) ∑ yt =yM5 5
由于在此段， y5为数据平均值，所有数据应yˆ 6 在y 5 它y6的=上y下5。波y动6 。的因实此际推值出精还品，按课件可前以一用组于值预的测变y 5t化=规6律时在的值
第二段：滑动舍去初始的y1,新一组为
y2 ,y3 ,y4 ,y5 ,y6 :
y6 = (1/5) ∑ yt = M6
80 = xt
xt+T = at+ bt T at= 2 Mt(1} －Mt(2)=
Mt(2)] = 3
bt =2/(N－1)[Mt(1)－
预测模型： xt+T= 80 + 3T 当T = 5精时品课件
移动平均法应用举例------期，股市
中的移动平均 线
日报创办人
一、道。琼斯的理论: 美华尔街
股价运动的三种趋势
精品课件
Mt(1}
由公式④ Mt(1} -Mt(2) = yt －
= (N－1)bt/2
代入
at= yt
得 Mt(2) ………….⑥
-Mt(2) ]/(N-1)…… ⑦
at= 2 Mt(1} － bt =2[Mt(1}
公式 ⑤,⑥,（7)构成二次移
动平均法预测公式。
注：1)预测公式精是品课以件 t时刻为基准的，这
另外，N的选取也起着较大的作用， N小一些,预测跟踪效果好一些。反映较灵敏。 特别地当N=1，则与实际状况相同。
N大一些，平滑特性就好一些，但跟 踪能力差。
精品课件
二、二次移动平均法
1 、 二次移动平均数公式.
二次移动平均是在一次平均移动 的基础上再做一次移动平均。
1(1)…. N(1)]/N
Mt(2) =[Mt(1} + MtMt-n+1(1)]/N
时间序列平滑预测法
时间序列平滑预测法时间序列平滑预测法是一种常用的预测模型，通过对历史数据进行平滑处理，找出数据中的趋势和周期性变化，并基于这些特征进行未来值的预测。
时间序列平滑预测法适用于各种领域的预测问题，如销售量、股票价格、气温等。
其中，最常见的时间序列平滑预测法包括移动平均法和指数平滑法。
移动平均法是一种基于数据的滚动平均值进行预测的方法。
它通过将数据序列中的每个值与其前一段时间内的几个值进行平均，来得到一个平滑的预测值。
这种方法适用于数据变化比较平稳的情况，能够较好地捕捉到数据的趋势。
指数平滑法是一种基于加权平均进行预测的方法。
它通过对数据序列中的每个值加权，更加重视较近期的值，来得到一个平滑的预测值。
这种方法适用于数据变化比较有规律的情况，能够较好地捕捉到数据的周期性变化。
在进行时间序列平滑预测时，我们首先需要对历史数据进行平滑处理，以消除可能存在的噪声和异常值。
然后，根据数据的趋势和周期性变化，选择合适的平滑方法进行预测。
最后，通过比较预测结果和实际值，评估模型的准确性，并对模型进行调整和优化。
时间序列平滑预测法具有较好的稳定性和可解释性，能够较好地预测未来值。
但是，它也存在一些限制，如对数据的假设性要求较高，对异常值的敏感性较大等。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的模型，并结合其他方法进行预测。
总之，时间序列平滑预测法是一种常用的预测模型，通过对历史数据进行平滑处理，能够较好地预测未来值。
它具有较好的稳定性和可解释性，并在各个领域得到广泛应用。
通过不断改进和优化，时间序列平滑预测法有望在未来的预测中发挥更大的作用。
时间序列平滑预测法是一种常用的预测模型，它通过对历史数据进行平滑处理来预测未来值。
在实际应用中，时间序列平滑预测法可以帮助企业和个人做出更准确的决策，并规划未来的发展方向。
一种常见的时间序列平滑预测方法是移动平均法。
移动平均法通过计算一定时间段内数据的平均值来平滑数据。
这种方法可以消除短期内的噪声和波动，从而更好地揭示出数据的趋势和长期变化。
时间序列平滑预测法
S2(1) =α x2 +(1－α )S0(1) = 193.5
:
:
S11(1) = 205.6 = x12
填于表中α = 0.1时 200 193.5 193.7
191 193 α = 0.5时 200 167.5 181.3 156.8 188.4 α = 0.9时 200 141.5 189.7
=M5
由于在此段， yy55为数据平均值，所有数据应在它的 上下波动。因此推出，可以用于预测t = 6时的值yyˆ66 = y55。 y6 的实际值还按前一组值的变化规律在 y5 的上下波动。
第二段：滑动舍去初始的y1,新一组为 y2 ,y3 ,y4 ,y5 ,y6 : y6 = (1/5) ∑ yt = M6
类推： Mt-2(1) = Mt-1(1) －bt = Mt(1} －2bt
:
:
:
Mt-n+1(1) = Mt(1} －(N－1)bt ∴ Mt(2) = [Mt(1} +Mt-1(1)+…… +Mt-n+1(1)]/N
= Mt(1} －(N－1)bt/2 移项 Mt(1} -Mt(2) = (N－1)bt/2 ………③ 有公式 (N－1)bt/2 = yt － Mt(1} 即得 Mt(1} -Mt(2) = yt － Mt(1} = (N－1)bt/2….. ④ 公式④说明：
第二节 指数平滑法
一、一次指数平滑法 1、一次指数平滑公式,由一次平滑公式的递推 公式 Mt(1} = Mt-1(1) + [yt－yt-1 ]/N 其中Mt(1} = yt =[yt + yt-1 +…… + yt-N+1]/N 假定 yt-N≈ Mt-1即用前一期的移动平均值代替 前期的初始值.有 Mt(1} = Mt-1(1) + [yt－Mt-1 ]/N
时间序列平滑预测法
(一) 发展速度
报告期水平
1、发展速度 发展速度= 基期水平
2、发展速度类型： 对比的基期不同，发展速
度可以分为环比发展速度和定基发展速度。
定基 环比
* 关系：各期环比发展速度承积=定基发展速度
(二) 增长率 (growth rate)
1、增长率(也称增长速度)
报告期水平-基期水平
增长率=
=发展速度-1
末期水平
2、时间序列的类型
(1) 平稳序列(stationary series) 基本上不存在趋势的序列，各观察值基本 上在某个固定的水平上波动 或虽有波动，但并不存在某种规律，而其 波动可以看成是随机的
(2) 非平稳序列 (non-stationary series) ▪ 有趋势的序列 • 线性的，线性的 ▪ 有趋势、季节性和周期性的复合型序列
1999年一月到2000年一月所跨的月份总
数为12，所以 n = 12
即年度化增长率为20%， 这实际上就是年增长率， 因为所跨的时期总数为一 年。也就是该地区社会商 品零售总额的年增长率为 20%
2) m =12，n = 27 年度化增长率为
该地区财政收入的年增长率为10.43%
解：3) 由于是季度数据，所以 m = 4，从一
基期水平
2、增长率的类型： (1) 对比的基期不同源自增 长率可以分为环比增长率和定基增长率
(2) 由于计算方法的不同，有一般增长率、平 均增长率、年度化增长率
3、环比增长率和定基增长率的计算
(1) 环比增长率
Y0 ，Y1 , Y2 ,…, Yn
报告期水平与前一期水平之比减1
(2) 定基增长率 报告期水平与某一固定时期水平之比减1
2) 1998年3月份财政收入总额为240亿元， 2000年6月份的财政收入总额为为300亿元
时间序列平滑预测法概述
时间序列平滑预测法概述时间序列平滑预测方法有很多种，常见的方法包括移动平均法、指数平滑法和季节分解法等。
不同的方法适用于不同的时间序列数据，根据数据的特点选择合适的方法可以提高预测的准确性。
移动平均法是最简单的一种平滑预测方法，它通过计算一定时间窗口内的数据平均值来平滑数据。
移动平均法的优点是计算简单，适用于较为稳定的时间序列数据。
然而，移动平均法的缺点是对数据的滞后性响应较慢，无法有效地适应数据的变动。
指数平滑法是一种适用于非常态时间序列的平滑预测方法。
指数平滑法通过对数据加权平均，每一个数据点的权重是前一个数据点权重的乘积，权重随时间变化指数递减。
指数平滑法的优点是对数据变动能够更快做出响应，适用于较为波动的时间序列。
然而，指数平滑法的缺点是对于季节性变动较为敏感，容易受到突发事件的影响。
季节分解法是一种用于处理季节性时间序列的平滑预测方法。
季节分解法将时间序列数据分解为趋势、季节和残差三个部分，分别进行分析和预测。
季节分解法的优点是能够更好地提取数据的季节性规律，对于季节性较为显著的数据预测效果较好。
然而，季节分解法的缺点是对于季节性不明显的数据预测效果较差。
除了上述方法之外，时间序列平滑预测还可以结合其他方法，如回归分析、神经网络等，以进一步提高预测的准确性。
回归分析可以运用于时间序列中的趋势分析，通过建立趋势线的方程进行预测。
神经网络模型则可以通过学习历史数据的模式进行预测，适用于复杂的时间序列预测问题。
总之，时间序列平滑预测是一种重要的数据分析和预测方法，可以帮助企业和个人更好地了解和预测数据的趋势性和季节性。
选择合适的平滑预测方法对于提高预测准确性至关重要，同时结合其他方法可以进一步提高预测的能力。
在时间序列平滑预测中，移动平均法是一种最简单、直观的方法。
它通过计算一定时间窗口内的数据平均值来平滑数据，窗口的大小越大，平滑效果越明显。
移动平均法的优点是计算简单，适用于较为稳定的时间序列数据。
预测与决策措施第三章时间序列平滑预测法
3.2.2、二次移动平均法
16
17
例2某企业产品销售额的时间序列资料如下，试 以二次移动平均法预测该企业第12、13年的销 售额。(跨越期取4)
年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
销 41 40 40 47 50 49 52 66 62 58 60 售 额
18
3.2.3加权移动平均法 加权移动平均法就是在计算移动平均数
10
（2）加权平均数法
公式 例，2006年抽样调查家庭食品消费状况
如下表 则2006年某地每户家庭月食品消费支出
是多少？
11
组别
1 2 3 4 5 6 7 8 9
月消费支 家庭户数 每组家庭
出
月消费支
出
400
5
420
6
480
8
510
Байду номын сангаас
10
550
10
600
8
650
5
700
4
800
3
12
3.2 移动平均法
13
3.2.1 一次移动平均法 一次移动平均方法是收集一组观察值， 计算这组观察值的均值，利用这一均值 作为下一期的预测值。
ŷ Y ❖ t+1 =Mt(1)=
1∑ n
t- k +1
14
已知某企业2005年下半年各月销售收入 分别为：870万元、890万元、760万元、 730万元、810万元、880万元，试运用 一次移动平均法（n=3）预测2006年1 月份的销售收入。
预测与决策措施
第三章 时间序列平滑预测法
1
本章重点：移动平均法、指数平滑 难点：自适应过滤法
时间序列平滑预测法
理论界一般认为有以下方法可供选择：
经验判断法。这种方法主要依赖于时间序列的发展趋势 和预测者的经验做出判断。 （1）当时间序列呈现较稳定的水平趋势时，应选较小 的α值，一般可在0.05～0.20之间取值； （2）当时间序列有波动，但长期趋势变化不大时，可 选稍大的α值，常在0.1～0.4之间取值； （3）当时间序列波动很大，长期趋势变化幅度较大， 呈现明显且迅速的上升或下降趋势时，宜选择较大的α值， 如可在0.6～0.8间选值，以使预测模型灵敏度高些，能迅速 跟上数据的变化； （4）当时间序列数据是上升（或下降）的发展趋势类 型，α应取较大的值，在0.6~1之间。
【例2-2】一家企业发现在某4个月的期间内，利用当月实际需求额的 40%，倒数第2个月需求额的30%，倒数第3个月需求额的20%和倒数第 4个月的需求额的10%，可以推出下个月的最佳预测结果。假设过去4个 月的实际需求记录如表2-2所示，请预测第5个月的需求。 表2-2 某企业过去4个月的需求数据
2. 简单加权移动平均法
简单移动平均法中的各数据元素的权重都相等，而加权移动平均法
中的权重值可以不同，其权重之和必须等于1。加权移动平均法的计算
公式如下：
式中： x1, x 2 , ..., 设为时间序列观察值；
xt
为最新观察值；
Ft 1 为下一期预测值；
N 为移动步长（即移动平均的时期区间数）; wi 为第 i 期的实际数据的权重值。
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试算法。根据具体时间序列情况，参照经验判断 法，来大致确定额定的取值范围，然后取几个α 值进行试算，比较不同α值下的预测的误差，选 择使预测误差最小的α值。 在统计上预测误差可以有标准差、方差、绝对偏差等 多种表示方法。通常我们采用标准标准差（SE）作为预测 误差的衡量工具。样本标准差得计算公式如下：
时间序列平滑预测法
时间序列平滑预测法时间序列平滑预测法是一种通过对时间序列数据进行平滑处理来预测未来趋势的方法。
该方法基于以下假设：过去的数据可以反映未来的趋势，而将过去的数据进行平滑处理可以消除噪声和随机波动，并揭示出数据背后的潜在规律。
时间序列平滑预测法可以应用于各种领域，比如经济学、金融学、工程学等。
在经济学中，时间序列平滑预测法可以用于预测经济指标的未来趋势，如国内生产总值（GDP）、消费者物价指数（CPI）等。
在金融学中，该方法可以用于预测股票价格、利率、汇率等金融指标的未来走势。
在工程学中，时间序列平滑预测法可以用于预测能源消耗、交通流量等工程指标的未来变化。
时间序列平滑预测法的基本思想是通过对时间序列数据进行平滑处理，得到一个平滑的曲线，然后根据这个曲线来预测未来的值。
平滑处理的方法有很多种，常见的方法有移动平均法、指数平滑法和季节性指数平滑法等。
移动平均法是最简单、最常用的一种平滑处理方法。
它的原理是在一定时间窗口内计算数据的平均值，然后将平均值作为平滑后的值。
移动平均法适用于数据变化较为缓慢、无明显趋势和季节性的情况。
移动平均法的优点是计算简单，缺点是不能很好地处理有趋势的数据。
指数平滑法是另一种常用的平滑处理方法。
它的原理是将过去的数据赋予不同的权重，较近期的数据权重较大，较远期的数据权重较小。
指数平滑法适用于数据变化较为快速、有明显趋势和季节性的情况。
指数平滑法的优点是对趋势有较好的适应性，缺点是计算复杂度较高。
季节性指数平滑法是指在指数平滑法的基础上考虑季节性因素进行预测。
它的原理是在指数平滑法的基础上引入季节性指数，用于对季节性因素进行处理。
季节性指数平滑法适用于数据具有季节性变化的情况，如每月销售额、每周客流量等。
季节性指数平滑法的优点是对季节性变化有较好的适应性，缺点是需要进行较复杂的计算。
时间序列平滑预测法的步骤一般包括以下几步：数据预处理、平滑处理、预测和评估。
数据预处理包括对原始数据进行清洗、处理缺失值和异常值等。
时间序列平滑预测法(课堂PPT)
3个月移动平均预测值
— — — 405 412 469 467 461 452 469 456 430 419
5个月移动平均预测值
— — — — — 437 439 452 466 473 444 444 448 12
解：分别取N=3和N=5，按预测公式：
y ˆ t 1 y t y t 3 1 y t 2 y ˆ t 1 y t y t 1 y t 5 2 y t 3 y t 4
计算3个月和5个月移动平均预测值。
当N=3时 MS 9 1E 1t 2 (yty ˆt)229 88 3 92 3.3 13
当N=5时 MS 7 1E t1 62 (yt y ˆt)217 11 1 45 3.8 96 1
计算结果表明：N=5时，MSE较小，故选取
N=5。预测下年1月的化油器销售量为448只。
2020/5/31
11
例1 某市汽车配件销售公司某年1月至12月的化油器销售量如 表所示。试用简单移动平均法，预测下年1月的销售量。
化油器销售量及移动平均预测值表 单位：只
月份t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 —2020/5/31
实际销售量 423 358 434 445 527 429 426 502 480 384 427 446 —
2020/5/31
13
预测结果分析
可以看出，实际销售量的随机波动较大，经过移动平均法 计算后，随机波动显著减少，而且求取平均值所用的月数
越多，即N越大，修匀的程度越强，波动也越小。但是在
第二，时间序列数据的变化存在着规律性与 不规律性。
1.长期趋势（T）
2.季节变动（S）
3.循环变动（C）
4.不规则变动（I）
第三章 时间序列平滑法
• 计算公式：
St xt 1 St 1 bt 1
bt St St 1 1 bt 1
Ft m St bt m
第五节 二次曲线指数平滑法
• 有的时间序列虽然有增加或减少趋势，但不一定是线性的，
Ft m at bt m
m为预测超前期数
第四节 线性二次指数平滑法
一、布朗单一参数线性指数平滑法 • 其基本原理与线性二次移动平均法相似 ，因为当趋势
存在时，一次和二次平滑值都滞后于实际值，将一次 和二次平滑值之差加在一次平滑值上，则可对趋势进 行修正。
第四节 线性二次指数平滑法
二、霍尔特法相似，只是它不用
第三章 时间序列平滑预测法
第一节 一次移动平均法
第二节 一次指数平滑法
第三节 线性二次移动平均法
第四节 线性二次指数平滑法
第五节 二次曲线指数平滑法
第六节 温特线性与季节指数平滑法
第一节 一次移动平均法
一次移动平均法是收集一组观察值，计算这组观察值 的均值，利用这一均值作为下一期的预测值。 • 设时间序列为
得到预测的通式，即 ：
• 一次指数平滑法是一种加权预测，权数为α。它既不需要
存储全部历史数据，也不需要存储一组数据，从而可以大 大减少数据存储问题，甚至有时只需一个最新观察值、最 新预测值和α值，就可以进行预测。它提供的预测值是前 一期预测值加上前期预测值中产生的误差的修正值。
Ft 1 xt (1 ) Ft
该公司第17期销售量的预测值为：
F17 x16 (1 ) F16 0.1 95 0.9 96.21 96.09(万元)
3-时间序列平滑预测法
15.4
16.5
14.7
16.2
15.4
0.8
13.8
15.8
-2.0
12.9
14.9
-2.0
15.2
-2.3
14.0
14.3
-0.3
14.8
-0.8
14.4
13.6
0.8
14.3
-0.1
15.3
13.8
1.5
14.3
1.0
14.7
16.5
MSE(51)4.6 1 14.8 7
12 t6
( yt
14.4
9
15.3
10
14.7
11
16.5
12
14.7
13 预测值
Page 7
首都经济贸易大学
一次移动平均法
预测与决策概论
年月
2008 1 2 3 4 5 6
7 8
9 10 11
12 2009 1
N=3
N=5
t 销售额 预测值 预测误差 预测值 预测误差
1
15.4
2
16.5
3
14.7
=(15.4+16.5+14.7)/3
预测与决策概论
(1) t
yt
yt1 ... N
ytN 1
(1) t 1
yt
ytN N
式中：t≥N，
yt
为时间序列的数据，
M
(1) t
为t
期一次移动平均值，N为移动平均的项数
如果时间序列没有明显的周期变化和趋势 变化，可用 t 期的一次移动平均值作为t+1 期的预测值 ，即预测模型为
第三章 时间序列平滑预测法xin
• 一般而言，若时间序列的季节变动、循环变动和
随机变动的幅度随着长期趋势的增长(或衰减)而 加剧(或减弱)，应采用乘法模式;若季节变动、循
环变动和随机变动的幅度不随长期趋势的增衰而
变化，应采用加法模式。
• 时间序列数据的类型
3 时间序列平滑预测法
3.1 时间序列的构成 3.2 移动平均法 3.3 指数平滑法 3.4 自适应过滤法
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• 本章主要介绍的预测方法有移动平均法、指数平 滑法及自适应过滤法。这些方法既可用于宏观预 测,也可用于微观预测,预测期限主要为短、中期, 不适于有拐点的长期预测。利用时间序列平滑预 测法进行经济预测所依据的基本假定是:经济变量 过去的发展变化规律,在未发生质变的情况下,可以 被延伸到未来时期。当预测期与观测期的经济环 境基本相同时,这一假定可以被接受。
增长率growthrate也称增长速度也称增长速度报告期观察值与基期观察值之比减报告期观察值与基期观察值之比减11用百分比表示分比表示由于对比的基期不同增长率可以分为环由于对比的基期不同增长率可以分为环比增长率和定基增长率比增长率和定基增长率由于计算方法的不同有一般增长率平由于计算方法的不同有一般增长率平均增长率年度化增长率均增长率年度化增长率1概念2增长率的分类环比增长率与定基增长率环比增长率环比增长率报告期水平与前一期水平之比减报告期水平与前一期水平之比减11定基增长率定基增长率报告期水平与某一固定时期水平之比减报告期水平与某一固定时期水平之比减113平均增长率averagerate序列中各逐期环比值序列中各逐期环比值也称环比发展速度也称环比发展速度的几何的几何平均数减平均数减11后的结果后的结果描述现象在整个观察期内平均增长变化的程度描述现象在整个观察期内平均增长变化的程度通常用几何平均法求得通常用几何平均法求得
第三讲 时间序列平滑预测法
8
…
25
…
25×3/6+27×2/6+26×1/6=26.17 …
移动平均法的特点
优点：使用移动平均法进行预测能平滑掉需 求的突然波动对预测结果的影响。 缺点：加大移动平均法的期数(即加大n值)会 使平滑波动效果更好，但会使预测值对数据 实际变动更不敏感(稳定性好，响应性差)； 移动平均值并不能总是很好地反映出趋势。 由于是平均值，预测值总是停留在过去的水 平上而无法预计会导致将来更高或更低的波 动； 移动平均法要由大量的过去数据的记录。
一次指数平滑法一般适用于平稳时间序列 平稳时间序列的检验方法 散点图：以时间t为横轴，时间序列yt为纵轴 作图，散点图在一条水平线上下摆动。
30 25 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 系列1
一阶差分法：△yt＝ yt －yt-1几乎为0。
二、二次指数平滑法 （一）适用范围及其检验方法： 1、适用范围：有直线趋势的时间序列 2、直线趋势时间序列的检验方法 （1）散点图法：散点图呈直线上升或直线下降 （2）一阶差分法： 一阶差分△yt＝ yt －yt-1几乎为一个非零常数
y1=140， y2=156， y3=184
1 简 单 平 均 值 ＝ 140 ＋156 ＋184＝160 3
若 取w1＝1，w2＝2，w3＝3 1 140 ＋2 156 ＋3 184 加权平均值＝ ＝167 1＋2＋3 1 2 3 归一化处理后的权重W ：1 ，W2 ，W3 6 6 6 1 2 3 简 单 平 均 值 ＝ 140 ＋ 156 ＋ 184 ＝167 6 6 6
M
( 2) t
2019PPT-时间序列平滑预测法
yt = a +η t
其中 a 为常数,η t可视做实际值与 a 的
偏差，此为随机项，应有
2 t
E[η t] = 0 且k D[η t] = σ
对数据指数平滑
S0(1)
St(1) = α∑(1－α) yt-k + (1－α)
当
t
→
∞
,
(1-a)t k
S0
→
0
则 St(1) = α∑(1－α) yt-k
=3
移动平均法应用举例------期，
股市中的移动平均 线
一、道。琼斯的理论: 美华尔街日 报创办人
股价运动的三种趋势
1、原始波动(Primary Trends) Bull Market and Bear Market股价波动的长期上 升（多头市场）和长期下降（空头市场） 是大市波动的基本趋势，基本趋势一旦形 成，通常要延续1~4年；
考虑到： Mt(1} = (yt + yt-1 +…… + yt-N+1)/N
={Nyt－[1+2+……(N －1)]bt}/N
1+2+……(N－1) = [N(N－ 1)]/2
∴ Mt(1} = [Nyt－(N/2)(N－1)bt]/N =yt－(N－1)bt/2…①
Mt-1(1) = yt-1－(N－1)bt/2
则(1-a)tS0→ 0可略去,也就是初始数据 的影响可不考虑。
若 t < 50，一般的可选择最初几个原
b）考虑公式右边第一项
t 1
α∑
k 0
[(1－α)k
xt-k ]
为除S0(1)外其他所有已知的数据 的平滑值，即影响大0 小
时间序列平滑预测法
§3.2
移动平均法
三、二次移动平均法（趋势移动平均法） （一）适用范围及其检验方法： 1、适用范围：有直线趋势的时间序列 2、直线趋势时间序列的检验方法 （1）散点图法：散点图呈直线上升或直线下降 （2）一阶差分法： 一阶差分△yt＝ yt －yt-1几乎为一个非零常数
例：P81
120000 100000 80000 60000 40000 20000 0 系列1
时间 1 2 3 4 5 6 7 8 时间序列 一阶差分 20 21 1 23 2 24 1 25 1 27 2 26 -1 25 -1
§3.2
移动平均法
三、趋势移动平均法 简单移动平均法与加权移动平均法适用于时 间序列无明显趋势变动的情形。 当时间序列出现直线增加或减少变动趋势时， 用简单移动平均法与加权移动平均法进行预 测会出现滞后偏差。 修正的方法是作二次移动平均，利用移动平 均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模 型—趋势移动平均法
20877.5 25455.3 31382.2 38580.8 46690.2 54965.8 62916 70213.7 76868.3
§3.2
移动平均法
（二）二次移动平均法 1、计算一次移动平均值及二次移动平均值 2、建立预测模型
ˆ yt T at bt T
at 2 M M 2 (1) ( 2) bt (M t M t ) N 1
§3.2
移动平均法
一、简单移动平均法 移动平均法的基本思想是：根据时间序列资 料、逐项推移，依次计算包含一定项数的序 时平均值，以反映长期趋势。 当时间序列的数值由于受周期变动和随机波 动的影响，起伏较大，不易显示出事件的发 展趋势时，使用移动平均法可以消除这些因 素的影响，显示出事件的发展方向与趋势 （即趋势线），然后依趋势线分析预测序列 的长期趋势。
时间序列平滑预测法原理
时间序列平滑预测法原理时间序列平滑预测法是一种常用的预测方法，它基于时间序列数据的特征，通过对数据进行平滑处理，来预测未来的趋势。
该方法适用于一些具有趋势性、季节性或周期性的数据，如销售额、股票价格、气温等。
时间序列平滑预测法的原理可以概括为以下几个步骤：1. 数据平滑：首先，对原始时间序列数据进行平滑处理，以减少数据中的噪声和突发波动。
常用的平滑方法包括移动平均法和指数平滑法。
移动平均法是通过计算一定时间窗口内数据的平均值来平滑数据。
例如，可以计算每个月的销售额的移动平均值，以获得销售额的趋势。
指数平滑法是通过加权平均的方式来平滑数据，其中较近期的数据具有较大的权重。
指数平滑法适用于数据具有较强的趋势性的情况。
常用的指数平滑方法有简单指数平滑法和双指数平滑法。
2. 趋势分析：在进行数据平滑后，可以对数据的趋势进行分析。
趋势分析可以帮助我们了解数据的整体变化趋势，以及未来的发展方向。
常用的趋势分析方法包括线性回归分析、多项式拟合和移动平均法。
线性回归分析是通过建立线性方程来描述数据的趋势。
通过拟合回归模型，可以预测未来的数据趋势。
多项式拟合是通过建立多项式方程来描述数据的趋势。
多项式拟合可以更好地适应非线性趋势的数据。
移动平均法是通过计算一定时间窗口内数据的平均值来估计数据的趋势。
移动平均法适用于数据具有周期性或季节性的情况。
3. 季节性调整：对于具有明显季节性的数据，需要进行季节性调整。
季节性调整可以帮助我们更准确地预测未来的数据。
常用的季节性调整方法包括加法模型和乘法模型。
加法模型是将趋势项、季节项和随机项相加来描述数据的季节性。
加法模型适用于季节性的波动与趋势无关的情况。
乘法模型是将趋势项、季节项和随机项相乘来描述数据的季节性。
乘法模型适用于季节性的波动与趋势有关的情况。
4. 预测未来：在完成数据的平滑处理、趋势分析和季节性调整后，可以利用得到的模型来预测未来的数据。
预测方法包括移动平均法、指数平滑法和回归分析等。
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第3章时间序列平滑预测法
第1节 时间序列概述
• 时间序列:是指某一统计指标数值按时间先 后顺序排列而形成的数列。例如：
– 国内生产总值（GDP）按年度顺序排列起来的 数列；
– 某种商品销售量按季度或月度排列起来的数列 等等都是时间序列。
– 时间序列一般用y1,y2, …，yt, … – 表示，t为时间。
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第3章时间序列平滑预测法
例 3.3.1 以例3.2.1为例，试预测2003年该企业利润。 解：采用指数平滑法，并分别取α=0.2，0.5和0.8进行
计算，初始值
即
按预测模型
计算各期预测值，列于表3.3.1中。
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第3章时间序列平滑预测法
•表3.3.1 某企业利润及指数平滑预测值计算表 单位：万元
• 移动平均法有简单移动平均法， 加权移动平均法，趋势移动平均 法等 。
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第3章时间序列平滑预测法
一、简单移动平均法
设时间序列为：y1, y2…,yt, …；简单移动平均公
式(3.2.1)为：
t ≥ N (3.2.1)
式中：Mt为t期移动平均数；N为移动平均的项 数。式（3.2.1）表明当t向前移动一个时期，就增
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第3章时间序列平滑预测法
设时间序列为：y1, y2…,yt, …；加权移动平均公式为：
t ≥ N (3.2.4)
式中：Mtw为t期加权移动平均数；wi为yt-i+1的权数，它体现 了相应的yt在加权平均数中的重要性。
利用加权移动平均数来做预测，其预测公式为： （3.2.5）
即以第t期加权移动平均数作为第t+1期的预测值。
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第3章时间序列平滑预测法
三、趋势移动平均法
简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列 没有明显的趋势变动时，能够准确反映实际情况。 但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时， 用简单移动平均法和加权移动平均法来预测就会 出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方 法是作二次移动平均，利用移动平均滞后偏差的 规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移 动平均法。
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第3章时间序列平滑预测法
第3节 指数平滑法
• §3.2介绍的移动平均法存在两个不足之处。一是存储
数据量较大，二是对最近的N期数据等权看待，而对 t-T期以前的数据则完全不考虑，这往往不符合实际情
况。指数平滑法有效地克服了这两个缺点。它既不需 要存储很多历史数据，又考虑了各期数据的重要性， 而且使用了全部历史资料。因此它是移动平均法的改 进和发展，应用极为广泛。
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第3章时间序列平滑预测法
在社会经济统计中，编制和分析时间序列 具有重要的作用：
它为分析研究社会经济现象的发展速度、发展 趋势及变化规律，提供基本统计数据。 通过计算分析指标，研究社会经济现象的变化 方向、速度及结果。 将不同的时间序列同时进行分析研究，可以揭 示现象之间的联系程度及动态演变关系。 建立数学模型，揭示现象的变化规律并对未来 进行预测。
第3章时间序列平滑预测 法
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2020/11/26
第3章时间序列平滑预测法
• 时间序列预测法，是将预测对象的历史数 据按照时间的顺序排列成为时间序列，然 后分析它随时间的变化趋势，外推预测对 象的未来值。这样，就把影响预测对象变 化的一切因素由“时间”综合起来描述了。
• 时间序列分析预测可分为确定性时间序列 预测法和随机性时间序列预测法。
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第3章时间序列平滑预测法
第2节 移动平均法
• 移动平均法是根据时间序列资料 逐项推移，依次计算包含一定项 数的时序平均数，以反映长期趋 势的方法。当时间序列的数值由 于受周期变动和不规则变动的影 响，起伏较大，不易显示出发展 趋势时，可用移动平均法，消除 这些因素的影响，分析、预测序 列的长期趋势。
当时间序列的变动表现为二次曲线趋势时， 则需要用三次指数平滑法。三次指数平滑是在二 次指数平滑的基础上，再进行一次平滑，其计算 公式为:
式中：St(1)为一次平滑指数；St(2)为二次指数 平滑值； St(3)为三次平滑指数值。
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第3章时间序列平滑预测法
三次指数平滑法的预测模型为：
式中：
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第3章时间序列平滑预测法
二次指数平滑法
一次指数平滑法虽然克服了移动平均法的两个 缺点。但当时间序列的变动出现直线趋势时，用 一次指数平滑法进行预测，仍存在明显的滞后偏 差。因此，也必须加以修正。修正的方法与趋势 移动平均法相同，即再作二次指数平滑，利用滞 后偏差的规律建立直线趋势模型。这就是二次指 数平滑法。其计算公式为：
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第3章时间序列平滑预测法
长期趋势 长期趋势是指由于某种根本性因素的影响，时 间序列在较长时间内朝着一定的方向持续上升 或下降，以及停留在某一水平上的倾向。它反 映了事物的主要变化趋势。
季节变动 季节变动是指由于受自然条件和社会 条件的影响，时间序列在一年内随着 季节的转变而引起的周期性变动。经 济现象的季节变动是季节性的固有规 律作用于经济活动的结果。
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第3章时间序列平滑预测法
一、时间序列的因素分析
时间序列分析是一种动态的数列分析，其目的 在于掌握统计数据随时间变化的规律。时间序列 中每一时期的数值都是由许多不同的因素同时发 生作用后的综合结果。
在进行时间序列分析时，人们通常将各种可能发 生影响的因素按其性质不同分成四大类：长期趋 势、季节变动、循环变动和不规则变动。
例3.2.1 ：某商店1991年－2002年实现利润如 表3.2.1所示。试用简单移动平均法，预测下一年 的利润。
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第3章时间序列平滑预测法
解：分别取N=3和N=4，按预测公式
和
计算3年和4年移动平均预测值。其结果列于 表3.2.1中，其预测曲线如图3.2.1。
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第3章时间序列平滑预测法
• 简单移动平均法只适合做近期预测，即 只能对后续相邻的那一项进行预测。
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第3章时间序列平滑预测法
二、加权移动平均法
在简单移动平均公式中，每期数据在求 平均时的作用是等同的。但是，每期数 据所包含的信息量不一样，近期数据包 含着更多关于未来情况的信息。因此， 把各期数据等同看待是不尽合理的，应 考虑各期数据的重要性，对近期数据给 予较大的权重，这就是加权移动平均法 的基本思想。
的比重就愈小，反之亦然。
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第3章时间序列平滑预测法
α值应根据时间序列的具体性质在0-1之间选 择。具体如何选择一般可遵循下列原则:
（1）如果时间序列波动不大，比较平稳，则α应取小一 点，如（0.1-0.3）。以减少修正幅度，使预测模型能包含 较长时间序列的信息。
（2）如果时间序列具有迅速且明显的变动倾向，则α应 取大一点，如（0.6-0.8）。使预测模型灵敏度高一些，以 便迅速跟上数据的变化。
加一个新数据，去掉一个远期数据，得到一个新 的平均数。由于它不断的“吐故纳新”，逐期向 前移动，所以称为移动平均法。
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第3章时间序列平滑预测法
由于移动平均可以平滑数据，消除周期变动和 不规则变动的影响，使长期趋势显示出来，因而 可以用于预测。
预测公式为
（3.2.3）
即以第t期移动平均数作为第t+1期的预测值。
(3.3.11)
(3.3.12)
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第3章时间序列平滑预测法
第4节 差分指数平滑法
• 在上节我们已经讲过，当时间序列的 变动具有直线趋势时，用一次指数平滑法 会出现滞后偏差，其原因在于数据不满足 模型要求。因此，我们也可以从数据变换 的角度来考虑改进措施，即在运用指数平 滑法以前先对数据作一些技术上的处理， 使之能适合于一次指数平滑模型，以后再 对输出结果作技术上的返回处理，使之恢 复为原变量的形态。差分方法是改变数据 变动趋势的简易方法。
• 指数平滑法根据平滑次数的不同，又分为一次指数平 滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等。
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第3章时间序列平滑预测法
一次指数平滑法
预测模型 ：
（3.3.4）
也就是以第t期指数平滑值作为t+1期预测值。
在进行指数平滑时，加权系数的选择是很重要 的。由式（3.3.4）可以看出，α的大小规定了在 新预测值中新数据和原预测值所占的比重。α值 越大，新数据所占的比重就愈大，原预测值所占
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第3章时间序列平滑预测法
一次移动的平均数为：
在一次移动平均的基础上再进行一次移动平均就 是二次移动平均，其计算公式为
它的递推公式为
(3.2.6)
(3.2.7)
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第3章时间序列平滑预测法
利用趋势移动平均法进行预测，不 但可以进行近期预测，而且还可以进 行远期预测，但一般情况下，远期预 测误差较大。在利用趋势移动平均法 进行预测时，时间序列一般要求必须 具备较好的线性变化趋势，否则，其 预测误差也是较大的。
例3.2.2 对于例3.2.1，试用加权移动平均法预测 2003年的利润。
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第3章时间序列平滑预测法
解：取w1=3,w2=2,w3=1,按预测公式：
计算三年加权移动平均预测值，其结果列于 表3.2.2中。2003年某企业利润的预测值为：
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第3章时间序列平滑预测法
•表3.2.2 某商店1991年－2002年利润及加权移动平均预测值表 单位：万元
二、时间序列的组合形式
时间序列由长期趋势、季节变动、循环变动和不规 则变动四类因素组成。四类因素的组合形式，常见的 有以下几种类型：