第3章时间序列平滑预测法

(3.3.11)
(3.3.12)
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第3章时间序列平滑预测法
第4节 差分指数平滑法
• 在上节我们已经讲过，当时间序列的 变动具有直线趋势时，用一次指数平滑法 会出现滞后偏差，其原因在于数据不满足 模型要求。因此，我们也可以从数据变换 的角度来考虑改进措施，即在运用指数平 滑法以前先对数据作一些技术上的处理， 使之能适合于一次指数平滑模型，以后再 对输出结果作技术上的返回处理，使之恢 复为原变量的形态。差分方法是改变数据 变动趋势的简易方法。
式中：St(1)为一次平滑指数；St(2)为二次指数的平 滑值。
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第3章时间序列平滑预测法
当时间序列{yt}，从某时期开始具有直线趋势时， 类似趋势移动平均法，可用直线趋势模型：
T=1,2,3,… (3.3.7)
(3.3.8)
进行预测。
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第3章时间序列平滑预测法
三、三次指数平滑法
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第3章时间序列平滑预测法
三、趋势移动平均法
简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列 没有明显的趋势变动时，能够准确反映实际情况。 但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时， 用简单移动平均法和加权移动平均法来预测就会 出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方 法是作二次移动平均，利用移动平均滞后偏差的 规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移 动平均法。
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第3章时间序列平滑预测法
一、一阶差分—指数平滑模型
当时间序列呈直线增加时，可运用一阶差分—指数平滑 模型来预测。其公式如下：
其中的▽为差分记号。（3.4.1）式表示对呈现直 线增加的序列作一阶差分，构成一个平稳的新序 列；（3.4.2）式表示把经过一阶差分后的新序列 的指数平滑预测值与变量当前的实际值迭加，作 为变量下一期的预测值。
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第3章时间序列平滑预测法
在社会经济统计中，编制和分析时间序列 具有重要的作用：
它为分析研究社会经济现象的发展速度、发展 趋势及变化规律，提供基本统计数据。 通过计算分析指标，研究社会经济现象的变化 方向、速度及结果。 将不同的时间序列同时进行分析研究，可以揭 示现象之间的联系程度及动态演变关系。 建立数学模型，揭示现象的变化规律并对未来 进行预测。
• 移动平均法有简单移动平均法， 加权移动平均法，趋势移动平均 法等 。
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一、简单移动平均法
设时间序列为：y1, y2…,yt, …；简单移动平均公
式(3.2.1)为：
t ≥ N (3.2.1)
式中：Mt为t期移动平均数；N为移动平均的项 数。式（3.2.1）表明当t向前移动一个时期，就增
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一、时间序列的因素分析
时间序列分析是一种动态的数列分析，其目的 在于掌握统计数据随时间变化的规律。时间序列 中每一时期的数值都是由许多不同的因素同时发 生作用后的综合结果。
在进行时间序列分析时，人们通常将各种可能发 生影响的因素按其性质不同分成四大类：长期趋 势、季节变动、循环变动和不规则变动。
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循环变动 循环变动一般是指周期不固定的
波动变化，有时是以数年为周期变动，有时是以 几个月为周期变化，并且每次周期一般不完全 相同。循环变动与长期趋势不同，它不是朝单 一方向持续发展，而是涨落相间的波浪式起伏 变动。与季节变动也不同，它的波动时间较长， 变动周期长短不一，
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长期趋势 长期趋势是指由于某种根本性因素的影响，时 间序列在较长时间内朝着一定的方向持续上升 或下降，以及停留在某一水平上的倾向。它反 映了事物的主要变化趋势。
季节变动 季节变动是指由于受自然条件和社会 条件的影响，时间序列在一年内随着 季节的转变而引起的周期性变动。经 济现象的季节变动是季节性的固有规 律作用于经济活动的结果。
二、时间序列的组合形式
时间序列由长期趋势、季节变动、循环变动和不规 则变动四类因素组成。四类因素的组合形式，常见的 有以下几种类型：
1、加法型 yt = Tt + St + Ct + It 2、乘法型 yt = Tt·St·Ct·It 3、混合型 yt = Tt·St + Ct + It
yt = St + Tt·Ct·It 其中：yt为时间序列的全变动；Tt为长期趋势；St为 季节变动；Ct为循环变动；It为不规则变动。
不规则变动 不规则变动是指由各种偶然性因素引起的无周 期变动。不规则变动又可分为突然变动和随机 变动。所谓突然变动，是指诸如战争、自然灾 害、地震、意外事故、方针、政策的改变所引 起的变动；随机变动是指由于大量的随机因素 所产生的影响。不规则变动的变动规律不易掌 握，很难预测。
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第2节 移动平均法
• 移动平均法是根据时间序列资料 逐项推移，依次计算包含一定项 数的时序平均数，以反映长期趋 势的方法。当时间序列的数值由 于受周期变动和不规则变动的影 响，起伏较大，不易显示出发展 趋势时，可用移动平均法，消除 这些因素的影响，分析、预测序 列的长期趋势。
例3.2.1 ：某商店1991年－2002年实现利润如 表3.2.1所示。试用简单移动平均法，预测下一年 的利润。
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解：分别取N=3和N=4，按预测公式
和
计算3年和4年移动平均预测值。其结果列于 表3.2.1中，其预测曲线如图3.2.1。
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当时间序列的变动表现为二次曲线趋势时， 则需要用三次指数平滑法。三次指数平滑是在二 次指数平滑的基础上，再进行一次平滑，其计算 公式为:
式中：St(1)为一次平滑指数；St(2)为二次指数 平滑值； St(3)为三次平滑指数值。
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三次指数平滑法的预测模型为：
式中：
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第1节 时间序列概述
• 时间序列:是指某一统计指标数值按时间先 后顺序排列而形成的数列。例如：
– 国内生产总值（GDP）按年度顺序排列起来的 数列；
– 某种商品销售量按季度或月度排列起来的数列 等等都是时间序列。
– 时间序列一般用y1,y2, …，yt, … – 表示，t为时间。
• 指数平滑法根据平滑次数的不同，又分为一次指数平 滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等。
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一次指数平滑法
预测模型 ：
（3.3.4）
也就是以第t期指数平滑值作为t+1期预测值。
在进行指数平滑时，加权系数的选择是很重要 的。由式（3.3.4）可以看出，α的大小规定了在 新预测值中新数据和原预测值所占的比重。α值 越大，新数据所占的比重就愈大，原预测值所占
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二次指数平滑法
一次指数平滑法虽然克服了移动平均法的两个 缺点。但当时间序列的变动出现直线趋势时，用 一次指数平滑法进行预测，仍存在明显的滞后偏 差。因此，也必须加以修正。修正的方法与趋势 移动平均法相同，即再作二次指数平滑，利用滞 后偏差的规律建立直线趋势模型。这就是二次指 数平滑法。其计算公式为：
的比重就愈小，反之亦然。
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α值应根据时间序列的具体性质在0-1之间选 择。具体如何选择一般可遵循下列原则:
（1）如果时间序列波动不大，比较平稳，则α应取小一 点，如（0.1-0.3）。以减少修正幅度，使预测模型能包含 较长时间序列的信息。
（2）如果时间序列具有迅速且明显的变动倾向，则α应 取大一点，如（0.6-0.8）。使预测模型灵敏度高一些，以 便迅速跟上数据的变化。
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例 3.3.1 以例3.2.1为例，试预测2003年该企业利润。 解：采用指数平滑法，并分别取α=0.2，0.5和0.8进行
计算，初始值
即
按预测模型
计算各期预测值，列于表3.3.1中。
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第3章时间序列平滑预测法
•表3.3.1 某企业利润及指数平滑预测值计算表 单位：万元
• 简单移动平均法只适合做近期预测，即 只能对后续相邻的那一项进行预测。
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二、加权移动平均法
在简单移动平均公式中，每期数据在求 平均时的作用是等同的。但是，每期数 据所包含的信息量不一样，近期数据包 含着更多关于未来情况的信息。因此， 把各期数据等同看待是不尽合理的，应 考虑各期数据的重要性，对近期数据给 予较大的权重，这就是加权移动平均法 的基本思想。
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一次移动的平均数为：
在一次移动平均的基础上再进行一次移动平均就 是二次移动平均，其计算公式为
它的递推公式为
(3.2.6)
(3.2.7)
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第3章时间序列平滑预测法
利用趋势移动平均法进行预测，不 但可以进行近期预测，而且还可以进 行远期预测，但一般情况下，远期预 测误差较大。在利用趋势移动平均法 进行预测时，时间序列一般要求必须 具备较好的线性变化趋势，否则，其 预测误差也是较大的。
•表3.2.1 某商店1991年－2002年利润及移动平均预测值表 单位：万元
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•图3.2.1某商店1991年－2002年利润及移动平均预测值图
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• 在实用上，一个有效的方法是取几个N
值进行试算，比较他们的预测误差，从 中选择最优的。
在实用上，类似于移动平均法，多取几个α值进行试算， 看哪个预测误差较小源自文库就采用哪个α值作为权重。
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初始值的确定
用一次指数平滑法进行预测，除了选择合适 的α外，还要确定初始值S0(1)。初始值是由预 测者估计或指定的。当时间序列的数据较多， 比如在20个以上时，初始值对以后的预测值影 响很小，可选用第一期数据为初始值。如果时 间序列的数据较少，在20个以下时，初始值对 以后的预测值影响很大，这时，就必须认真研 究如何正确确定初始值。一般以最初几期实际 值的平均值作为初始值。
加一个新数据，去掉一个远期数据，得到一个新 的平均数。由于它不断的“吐故纳新”，逐期向 前移动，所以称为移动平均法。
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第3章时间序列平滑预测法
由于移动平均可以平滑数据，消除周期变动和 不规则变动的影响，使长期趋势显示出来，因而 可以用于预测。
预测公式为
（3.2.3）
即以第t期移动平均数作为第t+1期的预测值。
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第3节 指数平滑法
• §3.2介绍的移动平均法存在两个不足之处。一是存储
数据量较大，二是对最近的N期数据等权看待，而对 t-T期以前的数据则完全不考虑，这往往不符合实际情
况。指数平滑法有效地克服了这两个缺点。它既不需 要存储很多历史数据，又考虑了各期数据的重要性， 而且使用了全部历史资料。因此它是移动平均法的改 进和发展，应用极为广泛。
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第3章时间序列平滑预测法
设时间序列为：y1, y2…,yt, …；加权移动平均公式为：
t ≥ N (3.2.4)
式中：Mtw为t期加权移动平均数；wi为yt-i+1的权数，它体现 了相应的yt在加权平均数中的重要性。
利用加权移动平均数来做预测，其预测公式为： （3.2.5）
即以第t期加权移动平均数作为第t+1期的预测值。
第3章时间序列平滑预测 法
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2020/11/26
第3章时间序列平滑预测法
• 时间序列预测法，是将预测对象的历史数 据按照时间的顺序排列成为时间序列，然 后分析它随时间的变化趋势，外推预测对 象的未来值。这样，就把影响预测对象变 化的一切因素由“时间”综合起来描述了。
• 时间序列分析预测可分为确定性时间序列 预测法和随机性时间序列预测法。
例3.2.2 对于例3.2.1，试用加权移动平均法预测 2003年的利润。
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第3章时间序列平滑预测法
解：取w1=3,w2=2,w3=1,按预测公式：
计算三年加权移动平均预测值，其结果列于 表3.2.2中。2003年某企业利润的预测值为：
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第3章时间序列平滑预测法
•表3.2.2 某商店1991年－2002年利润及加权移动平均预测值表 单位：万元