静电场的详细计算

静电场定义

由静止电荷(相对于观察者静止的电荷)激发的电场。

静电场性质

根据静电场的高斯定理：

静电场的电场线起于正电荷或无穷远,

终止于负电荷或无穷远，故静电场是有源场．

从安培环路定理来说它是一个无旋场．

根据环量定理，静电场中环量恒等于零,表明静电场中沿任意闭合路径移动电荷，电场力所做的功都为零，因此静电场是保守场．

根据库仑定律，两个点电荷之间的作用力跟它们的电荷量的乘积成正比，和它们距离的平方成反比，作用力的方向在它们的连线上，即F=（k·q1q2）/r²;,其中q1、q2为两电荷的电荷量（不计正负性）、k为静电力常量，约为9.0e+09（牛顿·米²）/（库伦²;），r为两电荷中心点连线的距离。注意，点电荷是不考虑其尺寸、形状和电荷分布情况的带电体。是实际带电体的理想化模型。当带电体的距离比它们的大小大得多时，带电体的形状和大小可以忽略不计的点电荷。

静电场的泊松方程

由于静电场是无旋场,故可用标量电位φ表征静电场（见电位）。电位与电场强度的关系是式中Q点为电位参考点，可选在无穷远处；P点为观察点。上式的微分形式为电场强度等于电位的负梯度，即

E=-墷φ在ε为常数的区域，式中墷·墷可记作墷2，

在直角坐标中分别为一阶与二阶微分算符。这样,可得电位φ所满足的微分方程称为泊松方程。如果观察点处自由电荷密度ρ为0，则

墷2φ=0

称为拉普拉斯方程。泊松方程和拉普拉斯方程描述了静电场空间分布的规律性。可以证明，当已知ρ、ε及边界条件时，泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的，可以设法求解电位φ，再求出场中各处的E。

静电场知识点

一、库仑定律

①元电荷：元电荷是指最小的电荷量，用e表示，大小为

②库仑定律：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。表达式：，其中

静电力常量

二、电场

①电场的产生：电荷的周围存在着电场，产生电场的电荷叫做源电荷。描述电场力的性质的物理量是电场强度，描述电场能的性质的物理量是电势，这两个物理量仅由电场本身决定，与试探电荷无关。

②电场强度：放入电场中某点的电荷所受的静电力与它的电荷量的比值，叫电场强度。

定义式：，单位：方向：规定与正电荷在该点所受的静电力方向相同，则与负电荷在该点所受静电力的方向相反。也是该点电场线的切线方向。

区别：（定义式，适用于任何电场）；（点电荷产生电场的决定式）；

（电场强度与电势差间的关系，适用于匀强电场，d是两点间距离在场强方向上的投影）。

③电场线：在电场中画出的一系列有方向的曲线，曲线上每一点的切线方向表示该点的场强方向，曲线的疏密表示场强的大小。电场线是为了形象的描述电场而假想的、实际不存在的曲线。电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷，是不闭合、不相交的曲线。熟悉正、负点电荷、匀强电场、等量异种电荷、等量同种电荷的电场线分布图（教材13页）。

三、电势能、电势、电势差

①电势能：由于移动电荷时静电力做的功与路径无关，所以电荷在电场中也具有势能，叫做

电势能。静电力做功与电势能变化的关系式为：即静电力所做的功等于电势能的变化。所以，当静电力做多少正功，电势能就减小多少；当静电力做多少负功，电势

能就增加多少。静电力做功与电势差的关系式为：说明：电荷在某点的电势能等于静电力把它从该点移动到零势能位置时所做的功（通常选大地或无限远处电势能为零）

。电势能有正有负，但是标量。试探电荷在电场中某点的电势能大小为：

②电势：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值，叫做这一点的电势（由电场中

这点的性质决定，与试探电荷的无关）。定义式：沿着电场线方向电势降低，或电势降低最快的方向就是电场强度的方向。

③电势差与电势的关系式为：电势差与静电力做功的关系式为：

匀强电场中电势差与电场强度的关系为：同一点的电势随零电势点的不同而不同（通常选大地或无限远处电势为零），而两点间的电势差与零电势点的选取无关。

④等势面：电场中电势相等的点构成的面。性质：沿同一等势面移动电荷时静电力不做功；电场线与等势面垂直，且由电势高的等势面指向电势低的等势面；在相邻等势面间电势差相等的情况下，等势面的疏密表示电场的强弱（密强弱疏）。会画点电荷电场和匀强电场的等

势面。注：等都是标量，但都有正有负，计算时带正负号代入。

四、电容器和电容

任何两个彼此绝缘又相距很近的导体就组成一个电容器（容纳电荷）。

电容：电容器所带的电荷量Q与电容器两极板间的电势差U的比值，叫做电容器的电容，表示电容器

容纳电荷本领的物理量。定义式：国际单位制中单位为法拉，

平行板电容器的决定式为：

平行板电容器应用的两种情况：①电容器始终与电源相连（U不变），

不变。②电容器充电后与电源断开（Q不变），

不变；（会熟练推导）

五、带电粒子在电场中的运动

①带电粒子是否考虑重力：微观粒子（如质子、电子、粒子等）不计重力；宏观微粒（如

带电小球、质点、油滴等）考虑重力。

②带电粒子的加速：一平行金属板两板间电压为U，一带电粒子（q、m)仅受静电力作用从静止开始，

从一板运动到另一板的速度大小？（）

③带电粒子在电场中的偏转：水平放置的平行金属板，板长为l，板间电压为U（上正下负），板间距离为d，一电荷量为q的带正电粒子（不计重力）以初速度0V垂直电场方向从左侧射入板间，且能从右侧飞出。

带电粒子在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，轨迹如

图。水平方向：竖直方向：

若是如图所示的运动，则

（电性相同的不同粒子经加速电场和偏转电场后射出时轨迹相同）