第四节矩阵谱分解PPT课件
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4-4 单纯矩阵的谱分解[优质PPT]
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例1：已知矩阵
4 6 0
A
3
5
0
3 6 0
为一个可对角化矩阵，求其谱分解表达式。
解: 首先求出矩阵 A 的特征值与特征向量。
容易计算 IA(1)2(2)
从而 A 的特征值为 121,32
可以求出分别属于这三个特征值的三个线性无 关的特征向量:
正规阵的谱分解:
设 A 为正规矩阵，那么存在UUnn 使得:
1
A 1,2,
,n
2
12HH
n
n
H
111H 222H nnnH
其中 i 是矩阵 A 的特征值 i 所对应的单位特征向
则: A P(1 d , 1 , i2 , a ,2 , g , ,) P 1
设 P(P1,P2, P),mP 1 1P P ~ ~ m1 22,其:中 Pi mCnm i,P ~iCm in
A i Ei
i 1
量。我们称上式为正规矩阵 A 的谱分解表达式。
Department of Mathematics
r 设正规矩阵 A 有 个互异的特征值 1,2, ,r ，
AE iGj iEiGj AiG E jjE iG j (ij)
iEiGj iEiGj 由于 i j ,所以: EiGj O
同理可得: EjGi O
因为 EiGj O
Gi InGi (i1Ei)Gi EiGi 因为 EjGi O
Ei EiInEi( Gi)EiGi
i1
第三、四节矩阵满秩谱分解
6 3
e3
令
3 22 66 3 6 22 33 , Q 6 3 6 0 3 3
2 R 0 0
2 3 0
2 2 3 3 6 3
则
A QR
Householder变换
Householder变换又称为反射变换或镜像变换，有明 显的几何意义。在 R 3 中，给定一个向量，令表示 关于平面（以 为法向量）的反射变换所得像， 如图所示， R3 记
（1）H是Hermite矩阵，H H H ； （2）H是酉矩阵，H H H I ； H （3）H是对合矩阵， 2 I ； H 1 H （4）H是自逆矩阵 （5）diag(I,H ) 也是一个Householder矩阵; （6）det H = -1。
定理
令Householder矩阵 H ( ) I 2 , 其中 2
i 0 1 1 0 1 2i 2 2 r2 3r3 2 1 i H 0 0 0 1 r2 r3 0 0 0 0 0 0
满秩分解定理：设 A C rmn r 0, 且A的Hermite 标准形H为
k1 0 0 H 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 * 0 0 0 * 0 0 0 k2 0 1 0 0 0 * * * 0 * * 0 0 0 0 1 0 0 kr * * * 0 * * * 第r行 0 0 0
说明：1· 若不要求R具有正对角元，则A的不同QR分解仅在正交 矩阵的列和上三角矩阵R的对应行相差模为1的因子。
2· 若A为满秩复矩阵，则存在酉矩阵Q与复非奇异上三角矩阵 R，使A = QR 该定理的证明过程给出了利用Schmidt正交化方法求可逆矩阵 QR分解的方法。 例1 解
矩阵分析第4章ppt课件.ppt
从而
A
P 1
Ir 0
D 0
Q
1
P 1
Ir 0
I
r
D Q 1
BC
其中
B
P 1
Ir
0
Crmr ,
C Ir
D
Q
1
C rn r
A BIr D Q1 B D Q1 AQ B D
所以B是A中r 个线性无关的列
例 ：分别求下面三个矩阵的满秩分解
1 2 1 0 1 2
(1)
0 0
0 1 1 (2) A 2 0 0
解： （1）由于
1 2
AAH 0 0
0 0
1 2
0 0
0 0
5 AAH 0
0
0 0 0
0 0 0
显然 AAH 的特征值为5，0，0，所以 A 的
奇异值为 5
（2）由于
0 2
AAH
0 2
1 0
1 0
1 1
0 0
AAH
2 0
0 4
显然 AAH 的特征值为 2，4，所以 A 的
2
0
cnn
2
n Unnn ，
c11 c21
cn1
R
c22
cn
2
cnn
显然矩阵 R 是一个正线上三角矩阵。
A是列满秩也有
注：Ar 1 2
r
c11 c21
cr1
1 2
r
c22
cr
2
crr
UrR 矩阵 R 是一个正线上三角矩阵
下面考虑分解的唯一性。设有两种分解式
A UR UR
1
2
1 2
1
1 2
最新第二章矩阵分解4-矩阵的奇异值分解PPT课件
定义2.20 设 ACnn,若存在酉矩阵P,使得 PHAPB
,则A称酉相似于B.
性质1 若A是n阶实对称矩阵，i(i1,2, ,n)是的特征值，则
恒存在正交阵Q，使得Q A d( i1 Q ,a 2 , g ,n ) 而且Q的n个列向量是的一个完备的标准正交特征向量系。
性质2 若 ARnn，是非奇异矩阵，则存在正交阵P和Q，
工程审计是以基建项目为标的，以会计师、审计师、 造价师为主要从业人员。
二、工程审计分类
三、工程造价审计和竣工财 务决算审计
工程造价审计：对单项、单位工程的造价进行审核， 其审计过程与施工单位的结算编制过程基本相同，即 按照工程量套定额（工程量清单报价）。一般由造价 工程师完成。
竣工财务决算审计：除工程造价审计外，对其他工程 建设支出比如前期开发费用、工程管理杂费等所有支 出加在一起，审查其是否有不合理支出，是否有挤占 建设成本和计划外建设项目的现象等，来确定一个建 设项目的总造价。由注册会计师完成。
六、项目前期的审计
具体对象是建设单位上报文件和有权机关审批文件的形 式与内容，重点审计五个方面：
投资决策审计
勘察设计审计
建设准备情况审计 招标投标审计 经济合同审计
建设程序中，前期阶 段重要性在审计执行 时同样适用。
6.1、投资决策审计
重点审计项目建议书、可行性研究报告编制与审批的 程序是否合规，有无先报批后论证的现象；
抵等价类中的任一矩阵A，奇异值分解 AUDVT 中的
矩阵都是相同的，D称为正交相抵等价类中的标准形矩阵。
复旦大学上海视觉艺术 学院
实训中心工程审计
经验交流学习讨论
目录
审计的基本概念和相关知识 工程审计的主要内容 本项目的审计问题和说明回复介绍 策略、经验和总结
第四节矩阵谱分解
A = PΛP −1 , AT = ( PT ) −1 ΛPT
其中
Λ = diag (λ1 , λ2 , ⋯ , λn )
这表明A 也与对角矩阵相似， 这表明 T也与对角矩阵相似，故AT也是单纯矩阵
个线性无关的特征向量 设y1,y2, …,yn是AT的n个线性无关的特征向量 则 个线性无关的特征向量.则 ( y1,y2, …,yn ) = (PT )-1 = (P-1 ) T
n× n 设单纯矩阵 A ∈ C 的谱为 λ1 , λ2 ⋯, λs ，其代数重数分为
m1 , m2 , ⋯, ms 则存在唯一的 Ei ∈ C n×n , i = 1,2, ⋯ , s 使
(1)
(2)
A = ∑ λi Ei ;
i =1
s
Ei , i = j Ei E j = o, i ≠ j
∀A ∈ R n×n , ∃P ∈ R n×n , P −1 = PT ,
λ1 * ⋯ ⋯ * λ2 ⋱ ⋮ P −1 AP = ⋱ ⋱ ⋮ ⋱ * λn
其中λ1，λ2， λn为A的特征值. ⋯
引理 证明
正规上三角矩阵是对角矩阵 设n阶矩阵A是正规上三角矩阵，则 阶矩阵A是正规上三角矩阵，
第六节
主要内容： 主要内容：
矩阵谱分解
一、单纯形矩阵的谱分解 二、正规矩阵与酉对角化 三、正规矩阵的谱分解
一、单纯形矩阵的谱分解 左特征向量 给定n阶矩阵 ， 的特征值。 给定 阶矩阵A，λ是A的特征值。由于 T与A有相同的 阶矩阵 的特征值 由于A 有相同的 特征值， 特征值，设Y是AT的属于λ的特征向量，则 是 的属于λ的特征向量，
Y 1T T Y2 = ( X 1 , X 2 , ⋯ , X s ) ⋮ Y T s
矩阵分析第4章课件
矩阵满秩分解不唯一;但同一矩阵的两个满
秩分解的因式矩阵之间存在密切的关系( 见P153,定理4.1.2).
ACrmn r=rank A min{m,n} A的秩等于它的行秩、列秩或行列式秩。A的行( 列)秩是它的最大线性无关组的行(列)数；A 的行列式秩是它的非0子式的最大阶数。 A=BC rank A rank B & rank A rank C
1
初等变换与初等矩阵性质
①3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). ②将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变
换等价于左(右)乘A以可逆矩阵Pr,…,P1(P1,…,Pr).
③可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的 行(列)是A的行(列)的任意排列.可适当选第三类 初等矩阵P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j) 元变为0.可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k 使P(i(k))A的非零(i,i)元变为1.综合起来推出: Er 0 存在初等矩阵的乘积P和Q,使 PAQ= 0 0 m n 其中r=rank A.一般地,ACr 都 Er 0 存在m,n阶可逆阵P和Q使 PAQ=
a11 a1n AB ann
b11 b1n a11b11 * bnn annbnn
a11 a1n 1/ a11 * 1 1 A , aii 0 det A 0 A det A a 1/ a nn nn
1 C11 1 2 C21 1 C22 2 n Cn1 1 Cn 2 2 ... Cnn n
矩阵理论谱分解
§2 矩阵的谱分解
一、单纯矩阵的谱分解
定义 1 设 1 , 2 ,, k是 A C nn 的相异特征值，
其重数分别为 1 , r 2 , , rk , 则称 ri 为矩阵A的特 r
征值i的 代数重复度
定义 2 齐次方程组 i x Ax
i
( i 1,2,, k )
的解空间 称为A的对应于特征值 i的特征 V
H
AUU
H
H
A U AU
U
H
AA U U
H
A
H
AU U
H
H
A UU
H
(U
H
AU )
(U
H
AU ) B
B
B为正规矩阵
引理 2 ( Schur )
U，使得
设A C
nn
，则存在酉矩阵
A URU
H
其中，R是一个上三角矩阵且主 对角线上的 元素为A的特征值.
证： A C
nn
条件是存在k 个矩阵 Ai ( i 1,2,, k ) 满足
(1) Ai Ai A j 0 k i j i j
( 2)
Ai
i 1
En
( 3)
A
i Ai
i 1
k
(4)
H Ai
Ai
( i 1,2,, k )
证 必要性： A是正规矩阵
A Udiag(1 Er , 2 Er ,, k Er )U
i 1
k
H
i Ai
i 1
k
( Ai ViVi
)
H Ai
(ViVi
H H
)
一、单纯矩阵的谱分解
定义 1 设 1 , 2 ,, k是 A C nn 的相异特征值，
其重数分别为 1 , r 2 , , rk , 则称 ri 为矩阵A的特 r
征值i的 代数重复度
定义 2 齐次方程组 i x Ax
i
( i 1,2,, k )
的解空间 称为A的对应于特征值 i的特征 V
H
AUU
H
H
A U AU
U
H
AA U U
H
A
H
AU U
H
H
A UU
H
(U
H
AU )
(U
H
AU ) B
B
B为正规矩阵
引理 2 ( Schur )
U，使得
设A C
nn
，则存在酉矩阵
A URU
H
其中，R是一个上三角矩阵且主 对角线上的 元素为A的特征值.
证： A C
nn
条件是存在k 个矩阵 Ai ( i 1,2,, k ) 满足
(1) Ai Ai A j 0 k i j i j
( 2)
Ai
i 1
En
( 3)
A
i Ai
i 1
k
(4)
H Ai
Ai
( i 1,2,, k )
证 必要性： A是正规矩阵
A Udiag(1 Er , 2 Er ,, k Er )U
i 1
k
H
i Ai
i 1
k
( Ai ViVi
)
H Ai
(ViVi
H H
)
《矩阵谱分解》课件
图像处理：用于图像去噪、图像增强等 信号处理：用于信号分析、信号处理等 机器学习：用于特征提取、模型优化等 网络科学：用于网络分析、网络优化等
矩阵谱分解的方法
添加标题 添加标题 添加标题
概念：将矩阵分解为三个矩阵的乘积，分别是左奇异向量矩阵、对角矩 阵和右奇异向量矩阵
步骤：首先计算矩阵的奇异值和奇异向量，然后根据奇异值和奇异向量 构建左奇异向量矩阵、对角矩阵和右奇异向量矩阵
计算复杂度高：矩阵谱分解的计算复杂度较高，需要大量的计算资源和时间。 数值稳定性差：矩阵谱分解的数值稳定性较差，容易受到数值误差的影响。 适用范围有限：矩阵谱分解只适用于对称矩阵和正定矩阵，对于非对称矩阵和负定矩阵不适用。 难以解释：矩阵谱分解的结果难以解释，需要一定的数学背景和知识才能理解。
谱分解在数值计算 、信号处理等领域 有广泛应用
矩阵谱分解是将矩阵分解为两个或多个矩阵的乘积，这些矩阵的乘积等于原矩阵。
矩阵谱分解的目的是为了简化矩阵运算，提高计算效率。
矩阵谱分解可以分为实矩阵谱分解和复矩阵谱分解。
实矩阵谱分解可以将矩阵分解为两个实对称矩阵的乘积，而复矩阵谱分解可以将 矩阵分解为两个复对称矩阵的乘积。
应用：在数据压缩、图像处理、自然语言处理等领域有广泛应用
添加标题
优点：计算简单，易于实现，适用于大规模矩阵分解
特征值分解：将矩阵分解为特征值和特征向量的形式 特征值：矩阵的特征值是矩阵的特征方程的解 特征向量：矩阵的特征向量是满足矩阵乘以向量等于特征值乘以向量的向量 应用：特征值分解法在矩阵分析、数值计算、信号处理等领域有广泛应用
步骤四：计算矩 阵A的谱分解结果
确定矩阵A的奇异值或特征 向量
计算矩阵A的奇异值或特征 值
计算矩阵A的逆矩阵
2024年度矩阵分析课件精品PPT
2024/3/24
6
矩阵性质总结
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
05
2024/3/24
(A+B)+C=A+(B+C)，(AB)C=A(BC)。 A+B=B+A，但AB≠BA。 (A+B)C=AC+BC，C(A+B)=CA+CB。 λ(μA)=(λμ)A，(λ+μ)A=λA+μA。 λ(A+B)=λA+λB。
12
03
线性方程组与矩阵解法
2024/3/24
13
线性方程组表示形式
80%
一般形式
Ax = b，其中A为系数矩阵，x为 未知数列向量，b为常数列向量 。
100%
增广矩阵形式
[A|b]，将系数矩阵A和常数列向 量b合并为一个增广矩阵。
80%
向量形式
x = Ab，表示通过矩阵A的逆求 解未知数列向量x。
04
典型例题解析
10
秩及其求法
2024/3/24
01
矩阵秩的定义与性质
02
利用初等变换求矩阵秩的方法
03
利用向量组的极大无关组求矩阵秩的方法
04
典型例题解析
11
典型例题解析
01 02 03 04
2024/3/24
初等变换与初等矩阵相关例题 矩阵等价性判断相关例题 秩及其求法相关例题 综合应用相关例题
矩阵分析课件精品PPT
2024/3/24
1
目
CONTENCT
录
2024/3/24
• 矩阵基本概念与性质 • 矩阵变换与等价性 • 线性方程组与矩阵解法 • 特征值与特征向量 • 相似对角化与二次型 • 矩阵函数与微分方程求解
矩阵理论第四章
1. Hermite 矩阵的谱分解
设 A 为 Hermite 矩阵，则存在酉矩阵 U ，使
1
O
U H AU
2
.
O
n
将U 写成列向量形式，即U u1 u2 ... un ，则
2. 非奇异矩阵的酉对角分解
定理 5.5.1 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 则存在 n 阶酉矩阵U 及V ，使得
A( 2 )
L-21A(1 )
0
a( 0 ) 12
a( 1 ) 22
0
a( 0 ) 13
a( 1 ) 23
a( 2 ) 33
a( 2 ) n3
a( 0 1n
a(1 2n
) )
a( 2 3n
)
a( 2 nn
)
即 A(1) L2 A( 2 )
依此类推，进行到第(r-1)步，则可得到
则
A
的
r
阶顺序主子式 r
于是
A
P1
E 0
mr
E
0 Q1. rn
记
P
1
E 0
F
,E
0Q1 G.
则 F 为列满秩矩阵， G 为行满秩矩阵,得
A FG .
证毕
显然,满秩分解是不唯一的.
事实上 D Crrr （ r 阶可逆方阵），
则 A FG F (DD-1)G (FD)(D-1G) F1G1，
且 F1 Crmr ,G1 Crrn .
第四章 矩阵分解
所谓矩阵分解，就是将一个矩阵写 成结构比较简单的或性质比较熟悉 的另一些矩阵的乘积．
即可将 A0 第 1 列上从第 2 到第 n 个元素全化为零．
得
a(0) 11
第四节矩阵谱分解PPT课件
引理 正规上三角矩阵是对角矩阵 证明 设n阶矩阵A是正规上三角矩阵，则
a11
A
a12 a22
a1n
a2n
,
ann
a11
AH
a12 a1n
a 22 a2n
ann
AH A AAH ,
n
2n
i
i
2
aij aij aij a jia ji a ji ,
ji
也称A的属于的特征向量为右特征向量.
性质:单纯矩阵不同特征值的左右特征向量是正交的 以矩阵特征值的代数重复度都为1为例加以证明:
设A是 n阶单纯矩阵， 1, 2, …, n 是A 的n个不
同特征值，x1,x2, …,xn是A的n个线性无关的特征 向量，P=(x1,x2, …,xn),则:
A PP1, AT (PT )1PT
y2T
1 2
1 4
从而
E1
x1 y1T
1 2
1
1 4
1 2
,
E2
x2 y2T
1 2
1
1 2
1 4
则
A 3E1 E2
2·设n阶单纯矩阵特征值的代数重复度不全为1
单纯矩阵A的谱分解定理
设单纯矩阵 A C nn 的谱为1, 2 , s，其代数重数分为
m1, m2 ,, ms 则存在唯一的 Ei C nn , i 1,2,, s 使
则 Ai Aj (xi yiT )(x j yTj ) xi ( yiT x j ) yTj
xi
yiT
i j
o i j
Ai o
i j i j
（2）
y1T
I P P1 x1
x2
第4章 矩阵分解-1
3 1 2
H2H1A
0
1
1
R
0
0
0
矩阵分析简明教程
Q
H
H 1
21
1 3
1
2 2
2 1 2
2
2 1
所求的QR分解为
A QR
8
0 1 1
矩阵分析简明教程
1 5
x1 2x2 x3 5x2 3x3
0 1
12 5
x3
4 5
(
5 12
)
3 5
x1
2x2 x2
1 3 0
x3
1 3
(2)
x1 x2
1 3 0
x3 1 3
(II )
矩阵分析简明教程
用矩阵形式表示，系数矩阵
1 2 1 r12 (3) 1 2 1
角方阵 R ，使得
A QR
当 m = n 时 ，Q 就 是 酉 矩 阵 或 正 交 矩 阵 。
矩阵分析简明教程
例 1 将下列矩阵进行QR分解：
1 2 2
A
1 0
0 1
2 1
4
矩阵分析简明教程
解： 1 (1,1，0, )T， 1 1 (1,1，0)T
1
||
1 1
||
1 (1,1, 0)T 2
定理4.2.3 设 e1 1, 0,, 0T C n ,
x1 , x2 ,, xn T C n , 0
令
x1
x1 ,
,
x1
0 ，u
e1
x1 0
e1
H E 2uuH是n 阶Householder矩阵，且
H -e1
矩阵分析简明教程
定理4.2.4（QR分解）设 A为 任 一 n 阶 矩 阵 则必存在 n 阶酉矩阵 Q 和 n 阶上三角方
大学线性代数课件矩阵第三章 矩 阵4
设A为m×k矩阵，B为k×n矩阵，对A,B作分块，使得A的列 分法与B的行分法一致，即
k1
k2
A
A11 A21
A12 A22
Ar1 Ar 2
ks
A1s A2 s
m1 m2 ,
Ars
mr
n1
n2
B11
B12
B B21 B22
Br1 Br 2
np
B1s
B2s
k1 k2
A
A21
A22
Ar 1
Ar 2
则
AT
A1T1 A1T2
A2T1 A2T2
ArT1 ArT2
.
A1Ts
A2Ts
ArTs
A1s
A2 s
,
Ars
如矩阵
1 0 2 1 1
A
0 1
1 4
4 3
5 5
2 6
A11 A21
A12 A22
A13
A23
其中 则
1 0
2 1
1
A11
A11
1 5
;
A2
3 2
1 1
,
A21
1 2
31;
0 1 1
A1
O A11
A21 O
0
1
2
3
5 0 0
§5 矩阵的秩
一、矩阵的秩
定义定12义一:一、矩、矩阵矩阵A阵的的的秩k阶秩子式
设 A 是 mn 的矩阵，任取 A 的 k 个行和 k 个列 (1≤k≤min{m, n})，位于这些行列交叉点处的 kk 个元 素，按照原来的顺序组成一个 k 阶方阵，该方阵对应 的行列式称为矩阵 A 的 k阶子式.
k1
k2
A
A11 A21
A12 A22
Ar1 Ar 2
ks
A1s A2 s
m1 m2 ,
Ars
mr
n1
n2
B11
B12
B B21 B22
Br1 Br 2
np
B1s
B2s
k1 k2
A
A21
A22
Ar 1
Ar 2
则
AT
A1T1 A1T2
A2T1 A2T2
ArT1 ArT2
.
A1Ts
A2Ts
ArTs
A1s
A2 s
,
Ars
如矩阵
1 0 2 1 1
A
0 1
1 4
4 3
5 5
2 6
A11 A21
A12 A22
A13
A23
其中 则
1 0
2 1
1
A11
A11
1 5
;
A2
3 2
1 1
,
A21
1 2
31;
0 1 1
A1
O A11
A21 O
0
1
2
3
5 0 0
§5 矩阵的秩
一、矩阵的秩
定义定12义一:一、矩、矩阵矩阵A阵的的的秩k阶秩子式
设 A 是 mn 的矩阵，任取 A 的 k 个行和 k 个列 (1≤k≤min{m, n})，位于这些行列交叉点处的 kk 个元 素，按照原来的顺序组成一个 k 阶方阵，该方阵对应 的行列式称为矩阵 A 的 k阶子式.
矩阵分解ppt课件
2 1 6 5 1 2 2 8
1 0 0 01 0 0 01 0 2 1
1 2
1 1
0 1
0 0 0 0
2 0
0 1
0 0 0 0
1 0
1 1
2 L~DU~ 1
1
2 1
2
1
0
0
0
5 0
0
0
1
Department of Mathematics
Department of Mathematics
7
思 路
通过比较法直接导出 L ~和 U 的计算公式。
a11 a12 a1n 1
u11 u12 u1n
Aa21
a22
a2nl21
1
u22 u2n
an1 an2 ann ln1 1
L 为一般下三角阵而 U~为单位上三角阵的分解称
为L ~C为rou单t 位分下解三。角阵而 U为一般上三角阵的分解
称为Doolittle分解
证明: AL~U 设: AL ~U
L ~ (li) jn n ,(lij 0 ,ij)
U (u i) jn n ,(u ij 0 ,ij)
1 2 4 5l21 l22 0 00 1 u23 u24
2 1 6 5 1 2 2 8
ll43
1 1
l32 l42
l33 l43
00 l440
0 0
1 0
u134
Department of Mathematics
10
由此: l11 1, l21 1, l31 2, l41 1
2 1 6 5 2 1 1 00 0 1 1 1 2 2 8 1 2 2 50 0 0 1
1 0 0 01 0 0 01 0 2 1
1 2
1 1
0 1
0 0 0 0
2 0
0 1
0 0 0 0
1 0
1 1
2 L~DU~ 1
1
2 1
2
1
0
0
0
5 0
0
0
1
Department of Mathematics
Department of Mathematics
7
思 路
通过比较法直接导出 L ~和 U 的计算公式。
a11 a12 a1n 1
u11 u12 u1n
Aa21
a22
a2nl21
1
u22 u2n
an1 an2 ann ln1 1
L 为一般下三角阵而 U~为单位上三角阵的分解称
为L ~C为rou单t 位分下解三。角阵而 U为一般上三角阵的分解
称为Doolittle分解
证明: AL~U 设: AL ~U
L ~ (li) jn n ,(lij 0 ,ij)
U (u i) jn n ,(u ij 0 ,ij)
1 2 4 5l21 l22 0 00 1 u23 u24
2 1 6 5 1 2 2 8
ll43
1 1
l32 l42
l33 l43
00 l440
0 0
1 0
u134
Department of Mathematics
10
由此: l11 1, l21 1, l31 2, l41 1
2 1 6 5 2 1 1 00 0 1 1 1 2 2 8 1 2 2 50 0 0 1
《矩阵的分解》课件
矩阵分解的算法实 现
高斯消元法
基本思想：通过行变换将矩阵 化为上三角矩阵或对角矩阵
步骤：选择主元素、消元、回 代
应用：求解线性方程组、求逆 矩阵、求特征值和特征向量
优点：计算量小，易于实现， 适用于稀疏矩阵和带状矩阵
迭代法
迭代法的基本思想：通过不断迭代， 逐步逼近目标解
迭代法的应用：在矩阵分解、数值 优化、图像处理等领域有广泛应用
U：上三角矩阵，对角线以上元素为0
LDU分解的应用：求解线性方程组、计算矩阵的逆矩阵等
平方根分解
平方根分解的定义：将矩阵分解为 两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是 单位矩阵，另一个矩阵是矩阵的平 方根。
平方根分解的应用：平方根分解在 数值计算、线性代数、优化等领域 有着广泛的应用。
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迭代法的步骤：设定初始值，计算 迭代函数，更新迭代值，直到满足 停止条件
迭代法的优缺点：优点是简单易实 现，缺点是收敛速度慢，容易陷入 局部最优解
共轭梯度法
共轭梯度法是一种求解线性方程组的迭代方法 共轭梯度法的基本思想是利用共轭梯度方向进行迭代 共轭梯度法的优点是收敛速度快，稳定性好 共轭梯度法的缺点是计算量大，需要存储大量的中间结果
a. 选取一组向量 b. 计算向量组的内积 c. 计算向量组的正交化向量 d. 重复步骤b和c，直到所有向量都正交
优点： a. 简单易行 b. 适用于任意维数的向量组
a. 简单易行 b. 适用于任意维数的向量组
应用： a. 矩阵的正交分解 b. 线性代数的其他领域
a. 矩阵的正交分解 b. 线性代数的其他领域
添加标题
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高斯消元法
基本思想：通过行变换将矩阵 化为上三角矩阵或对角矩阵
步骤：选择主元素、消元、回 代
应用：求解线性方程组、求逆 矩阵、求特征值和特征向量
优点：计算量小，易于实现， 适用于稀疏矩阵和带状矩阵
迭代法
迭代法的基本思想：通过不断迭代， 逐步逼近目标解
迭代法的应用：在矩阵分解、数值 优化、图像处理等领域有广泛应用
U：上三角矩阵，对角线以上元素为0
LDU分解的应用：求解线性方程组、计算矩阵的逆矩阵等
平方根分解
平方根分解的定义：将矩阵分解为 两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是 单位矩阵，另一个矩阵是矩阵的平 方根。
平方根分解的应用：平方根分解在 数值计算、线性代数、优化等领域 有着广泛的应用。
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迭代法的步骤：设定初始值，计算 迭代函数，更新迭代值，直到满足 停止条件
迭代法的优缺点：优点是简单易实 现，缺点是收敛速度慢，容易陷入 局部最优解
共轭梯度法
共轭梯度法是一种求解线性方程组的迭代方法 共轭梯度法的基本思想是利用共轭梯度方向进行迭代 共轭梯度法的优点是收敛速度快，稳定性好 共轭梯度法的缺点是计算量大，需要存储大量的中间结果
a. 选取一组向量 b. 计算向量组的内积 c. 计算向量组的正交化向量 d. 重复步骤b和c，直到所有向量都正交
优点： a. 简单易行 b. 适用于任意维数的向量组
a. 简单易行 b. 适用于任意维数的向量组
应用： a. 矩阵的正交分解 b. 线性代数的其他领域
a. 矩阵的正交分解 b. 线性代数的其他领域
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矩阵的标准型分解课件
详细描述
满秩分解法是将一个矩阵分解为一个或多个秩为1的矩阵的乘 积的方法。通过这种方法，可以将一个复杂的矩阵问题转化 为多个简单的问题，便于分析和计算。满秩分解在数值分析 、线性代数等领域有广泛应用。
约当标准型分解法
总结词
将矩阵通过一系列行变换和列变换化为 约当型，得到标准型分解。
VS
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
详细描述
约当标准型分解法是将一个矩阵通过一系 列行变换和列变换化为约当型的方法。约 当型是一种特殊形式的矩阵，其特点是每 一对角线上的元素都是非零的，且其他位 置上的元素都为零。约当标准型分解在解 决线性方程组、判断矩阵是否可逆等问题 中有广泛应用。
应用广泛
在许多领域中，如线性代 数、数值分析、控制论等 ，标准型分解都发挥着重 要的作用。
矩阵标准型分解的历史背景
早期研究
矩阵的标准型分解思想可 以追溯到19世纪末，当时 数学家开始研究矩阵的分 解问题。
关键进展
20世纪初，数学家如埃尔 米特、嘉当和克莱因等做 出了重要贡献，推动了标 准型分解理论的发展。
各个元素。
三阶矩阵的标准型分解实例
总结词
通过三阶矩阵的实例，进一步展示标准型分 解的复杂性和计算技巧。
详细描述
选取一个三阶矩阵B，对其进行一系列初等 行变换和初等列变换，将其化为标准型矩阵 。在变换过程中，详细解释每一行变换的步 骤和计算方法，以及如何得到标准型矩阵的
各个元素。
高阶矩阵的标准型分解实例
性质
标准型分解具有唯一性，即对于同一个矩阵，其标准型分解是唯一的。此外， 标准型分解还具有可交换性，即矩阵的乘法运算和标准型分解的顺序可以交换 。
矩阵标准型分解的重要性
01
02
满秩分解法是将一个矩阵分解为一个或多个秩为1的矩阵的乘 积的方法。通过这种方法，可以将一个复杂的矩阵问题转化 为多个简单的问题，便于分析和计算。满秩分解在数值分析 、线性代数等领域有广泛应用。
约当标准型分解法
总结词
将矩阵通过一系列行变换和列变换化为 约当型，得到标准型分解。
VS
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
详细描述
约当标准型分解法是将一个矩阵通过一系 列行变换和列变换化为约当型的方法。约 当型是一种特殊形式的矩阵，其特点是每 一对角线上的元素都是非零的，且其他位 置上的元素都为零。约当标准型分解在解 决线性方程组、判断矩阵是否可逆等问题 中有广泛应用。
应用广泛
在许多领域中，如线性代 数、数值分析、控制论等 ，标准型分解都发挥着重 要的作用。
矩阵标准型分解的历史背景
早期研究
矩阵的标准型分解思想可 以追溯到19世纪末，当时 数学家开始研究矩阵的分 解问题。
关键进展
20世纪初，数学家如埃尔 米特、嘉当和克莱因等做 出了重要贡献，推动了标 准型分解理论的发展。
各个元素。
三阶矩阵的标准型分解实例
总结词
通过三阶矩阵的实例，进一步展示标准型分 解的复杂性和计算技巧。
详细描述
选取一个三阶矩阵B，对其进行一系列初等 行变换和初等列变换，将其化为标准型矩阵 。在变换过程中，详细解释每一行变换的步 骤和计算方法，以及如何得到标准型矩阵的
各个元素。
高阶矩阵的标准型分解实例
性质
标准型分解具有唯一性，即对于同一个矩阵，其标准型分解是唯一的。此外， 标准型分解还具有可交换性，即矩阵的乘法运算和标准型分解的顺序可以交换 。
矩阵标准型分解的重要性
01
02
【工程数学课件】矩阵谱分解
充分性：
k
k
AAH ( i Ai )( j Aj )H
i 1
j1
kk
i j Ai AHj
i1 j1
kk
i j Ai Aj
i1 j1
k
| i |2 Ai
i 1
同理可知
k
AAH | i |2 Ai
i 1
AH A AAH
A 是正规矩阵
充分性： A与对角矩阵酉相似
A是正规矩阵
定理6 设A C nn，它有k 个相异特征值
i (i 1,2, , k)，则A是正规矩阵的充要
条件是存在k 个矩阵Ai (i 1,2, , k)满足
(1)
Ai Aj
k
0Ai
(2) Ai En
i 1
i j i j
k
(3) A i Ai
i 1
(4) AiH Ai (i 1,2, , k)
定义 3 若n阶复矩阵A满足 AAH AH A
则称 A为正规矩阵 引理 1 设A为正规矩阵，A与B酉相似，则 B为正规矩阵
证 A与B酉相似
B U 1AU U H AU
BBH U H AU(U H AU)H U H AUU H AHU
U H AAHU U H AH AU U H AHUU H AU
(U H AU )H (U H AU ) BH B
B为正规矩阵
引理 2 (Schur) 设A C nn，则存在酉矩阵
U，使得
A URU H
其中，R是一个上三角矩阵且主对角线上的
元素为A的特征值.
证： A C nn
A PJP1 P UR1
A UR1J(UR1)1 UR1JR11U H URU H
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s
(1) A iEi ; i 1
(2)
EiE j Eoi,,
i j i j
s
(3) Ei I i1
谱分解定理的证明
对于特征值i ， x1i,x2i, …,xmii是A的相应的mi
个线性无关的右特征向量，
是A的相应 yii
T
,
y2i
T ,,
ymi i
T
的mi个线性无关的左特征向量
1 1
f A() 4
( 1)( 3) 1
得 1 3, 2 1,
1 1 x1 2, x2 2
设A的左特征向量为 y1T , y2T
因为 y1T , y2T
满足
y1T x1 1, y1T x2 0
y2T x1 0, y2T x2 1
可解得
y1T
1 2
1 4
,
y2T
1 2
1 4
从而
E1
x1 y1T
1 2
1
1 4
1 2
,
E2
x2 y2T
1 2
1
1 2
1 4
则
A 3E1 E2
2·设n阶单纯矩阵特征值的代数重复度不全为1
单纯矩阵A的谱分解定理
设单纯矩阵 A C nn 的谱为1, 2 , s，其代数重数分为
m1, m2 ,, ms 则存在唯一的 Ei C nn , i 1,2,, s 使
则 Ai Aj (xi yiT )(x j yTj ) xi ( yiT x j ) yTj
xi
yiT
i j
o i j
Ai o
i j i j
（2）
y1T
I P P1 x1
n
xi yiT Ai
i 1
i 1
例1 求矩阵A的谱分解
A
1 4
11
解
由
同理得：
y2T
1 , 1 , 2 3 3 3
y3T
1 , 1 , 1 3 3 3
则
2 1 1
E1
x1, x2
y1T y2T
1 1 0
1 0 1
1
3 1
3
2 3 1
3
1
3 2
3
3 1
3 1
3
3 2
3 1
3
3 1
3
2
3
1
E2
x3 y3T
11
1 3
1 3
1
设 X i x1i , x2i ,, xmi i ,Yi y1i , y2i ,, ymi i
Ei
X iYiT
mi
xij
(
y
i j
)T
i1
记
Y1T
P
X1,
X
2
,,
X
s
,
P
1
Y2T
YsT
从而
1Im1
A PP1 X1, X 2 ,, X s
2 I m2
s
i
X iYiT
i1
其中 diag1, 2 ,, n
这表明AT也与对角矩阵相似，故AT也是单纯矩阵
设y1,y2, …,yn是AT的n个线性无关的特征向量.则
( y1,y2, …,yn ) = (PT )-1 = (P-1 ) T
AT (PT )1PT
从而
y1T
P 1
y
T 2
,
y
T n
y1T
P 1P
则
Ei E j
( X iYiT )( X
jY
T j
)
X i (YiT X
j
)Y
T j
E0i
i j i j
同时
Y1T
In
PP 1
X1,
X 2,,
X
s
Y2T
YsT
s
s
X iYiT
Ei
i 1
i 1
例2：求单纯矩阵A
1 2
2 1
2 2
的谱分解
2 2 1
由矩阵A的特征多项式 E A ( 1)2 ( 5)
1 3
3 1
3
1
3
1
3 1
3 1
3
1
3 1
3
1
3
从而 A E1 5E2
二、正规矩阵与酉对角化
1、正规矩阵定义： 设 AC nn , 满足 AH A AAH
下列类型的矩阵都是正规矩阵：
实对称矩阵
AT=A;
反实对称矩阵 AT=-A;
正交矩阵
AT=A-1;
酉矩阵
AH=A-1;
Hermite矩阵 AH=A;
反Hermite矩阵 AH=-A;
对角矩阵
2、酉相似
设A, B C nn ,若存在可逆矩阵P,使P1AP B, 则称A与B是相似的。
若P是正交矩阵(实矩阵），即P1 PT， 则称A与B是正交相似的。
若P是酉矩阵(复矩阵），即P1 PH， 则称A与B是酉相似的。
3、Schur 定理 （1）任意复方阵酉相似于一个上三角矩阵。即
也称A的属于的特征向量为右特征向量.
性质:单纯矩阵不同特征值的左右特征向量是正交的 以矩阵特征值的代数重复度都为1为例加以证明:
设A是 n阶单纯矩阵， 1, 2, …, n 是A 的n个不
同特征值，x1,x2, …,xn是A的n个线性无关的特征 向量，P=(x1,x2, …,xn),则:
A PP1, AT (PT )1PT
s
i Ei i1
Y1T
Y2T
s
I
ms
YsT
再由
Y1T
In
P 1P
Y2T
X 1 ,
X 2 ,,
X
s
YsT
Y1T X 1
Y2T X 1
YsT X
1
Y1T X 2 Y2T X 2
YsT X 2
Y1T X s
Y2T X s
YsT X
s
可得
YiT X j I0mi
i j i j
第六节 矩阵谱分解
主要内容： 一、单纯形矩阵的谱分解 二、正规矩阵与酉对角化 三、正规矩阵的谱分解
一、单纯形矩阵的谱分解 左特征向量 给定n阶矩阵A，是A的特征值。由于AT与A有相同的 特征值，设Y是AT的属于的特征向量，则
ATY Y ,
两端取转置得： Y T A Y T
称YT是A的属于的左特征向量，
1
y1T
x1 x2 xn
2
y2T
n
ynT
1x1 y1T 2 x2 y2T n xn ynT
n
i
xi
yiT
n
i Ai
i1
i1
其中
Ai xi yiT
---矩阵A的谱分解
即单纯矩阵A分解成n个矩阵Ai之和的形式，其系数组合是A的谱 （所有相异的特征值）。
对于 Ai 有下面的性质： (1) Ai xi yiT
y2T
x1
x2
xn I
ynT
即：
y1T x1
P 1P
y2T x1
ynT x1
y1T x2 y2T x2
ynT x2
y1T xn
y2T xn
I,
ynT xn
yiT x j
1, 0,
i j i j
对于单纯矩阵A（矩阵特征值的代数重复度都为1），
由 A PP1
得A的特征值 1 1, 2 5 及相应的线性无关的特征向量
为 x1 1,1,0T , x2 1,0,1T , x3 1,1,1T
1 2 1
3 3 3
设
i 对应的左特征向量为
y1T
,
y
T 2
,
y
T 3
则由
P 1
1 3
1 3
2 3
1 1 1
3
3
3
得
y1T
1 , 2 , 1 3 3 3