平面向量的概念及其线性运算 PPT课件
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又叫做共线向量
相等向量 长度相等且方向 相同 的向量 两向量只有相等或不等， 不能比较大小
相反向量 长度 相等 且方向相反的向量 0 的相反向量为 0
2.向量的线性运算
三角形 平行四边形
b＋a a＋(b＋c)
三角形 |λ||a|
相同 相反 0
(λμ)a λa＋μ a λa＋λb
3.共线向量定理
3．(易错题)给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b； uuur uuur ②若A，B，C，D是不共线的四点，则 AB ＝ DC 是四边 形ABCD为平行四边形的充要条件； ③若a＝b，b＝c，则a＝c； ④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b； ⑤若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中正确命题的序号是________．
uuur 答案：(1) AB (2)0
2．已知 a 与 b 是两个不共线的向量，且向量 a＋λb 与－(b－3a)共线，则 λ＝________. 答案：－13
3.(教材习题改编)如图，设△ABC 三
条边的中线 AD，BE，CF 相交于 uuur uuur
点 G，则下列三个向量：① AB－CB uuur uuur uuur uuur uuur
三点共线．
uuur BE
＝
uuur AE
－
uAuBur ＝13(a＋b)－a＝13(b－2a)，
uuur BF
＝
uuur AF
－
uAuBur ＝12b－a＝12(b－2a)．
“课后·三维演练”见“课时跟踪检测(二十五)” (单击进入电子文档)
∴条四件边．形ABCD为平行四边形；
反⑤之不，正若确四．边考形虑Ab＝BC0D这为种平特行殊四情边况形．，
则综uA上uBur所∥述uDu，Cur 正且确|uAu命Bur |题＝的|uDu序Cur 号|，是因②此③，.uAuBur ＝
uuur DC
.
③答正案确：．②∵③a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，
2．下列命题中正确的是________． ①若 a∥b，则|a|＝|b|； ②若|a|<|b|，则 a<b； ③若|a|＝0，则 a＝0； ④若 a＝b，则 a，b 是共线的向量． 解析：对于①，a∥b，不一定有|a|＝|b|，故①不正确； 对于②，向量不能比较大小，故②不正确；对于③，零 向量不等于数字 0，故③不正确；④显然正确． 答案：④
uuur uuur (2)证明三点共线：若存在实数 λ，使 AB＝λ AC ，则 A，B，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组) 求参数的值． [提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．
[即时应用]
如图，在△ABC中，D，F分别是
BC，AC的中点，
uuur ③中，原式＝ BF
uuur ＋ DC
＋
uuur AE
＝12(
uuur uuur BA＋ AC
＋
uuur BC
)
uuur ＝ BC ≠0.
所以三个向量中等于零向量的是①②.
答案：①②
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
1．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得 所求向量的相反向量，导致错误．
∴(k－λ)a＝(λk－1)b. uuur
5(a＋∵b)＝a，5bA是B不. 共线的两个非零向量，
∴ uAuBurλk，k－－uBuλDu＝ 1r＝共0， 0线，，
又 ∴∵ A，它解B们得，有Dλk＝公＝三1共1点，点共B或线，．λk＝＝－－11，， 又∵λ>0，∴k＝1.
[由题悟法] 共线向量定理的 3 个应用 (1)证明向量共线：对于向量 a，b，若存在实数 λ，使 a＝λb， 则 a 与 b 共线．
－a－b.
答案：b－a －a－b
2．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12
AB，BE＝23BC.若
uuur DE
＝λ1
uuur AB
＋λ2
uuur AC
(λ1，λ2为实数)，
则λ1＋λ2的值为________．
uuur 解析：DE
＝Βιβλιοθήκη Baidu
uuur DB＋
uuur BE
＝12
uuur AB
解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一
定∴相a，同c．的长度相等且方向相同，故a＝c.
②④正不确正．确∵．uA当uBura＝∥ubDu且Cur方，向∴相|uAu反Bur |时＝，|uDu即Cur 使|且|auA|u＝Bur ∥|b|，uDuCu也r ，不能得到a
又＝Ab，，B故，|aC|＝，|bD|且是a不∥共b不线是的a四＝点b的，充要条件，而是必要不充分
[谨记通法] 用几个基本向量表示某个向量问题的 4 个步骤 (1)观察各向量的位置； (2)寻找相应的三角形或多边形； (3)运用法则找关系； (4)化简结果．
考点三 共线向量定理的应用重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
设两个非零向量a与b不共线，
uuur
uuur
uuur
(1)若 AB＝a＋b，BC ＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，
＋23
uuur BC
＝12
uuur AB
＋23(
uuur BA＋
uuur AC
)＝
－16 uAuBur ＋23uAuCur ，所以 λ1＝－16，λ2＝23，即 λ1＋λ2＝12.
答案：12
3．(2014·福建高考)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O uuur uuur
为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则 OC ＋ OB ＋ uuur uuur OC ＋OD 等于________．
第五章 平面向量与复数
第一节 平面向量的概念及其线性运算
1．向量的有关概念
大小 方向
长度
模
0
0
名称
定义
备注
单位向量 长度等于 1 个单位 的向量
非零向量 a 的 单位向量 为±|aa|
平行向量 方向 相同 或相反的非零向量
_方__向__相__同__或__相__反__的非零向量 0 与任一向量平行或共线 共线向量
答案：①③④
2．对于向量a与b，下列说法正确的是________(填序号)． ①如果a与b共线，则a＝b或a＝－b； ②如果a与b共线，则a与b平行； ③如果a与b共线，则存在实数λ，使得a＝λb. 解析：a 与 b 共线不能确定其长度关系，故①错误；当
a≠0 而 b＝0 时，这样的 λ 不存在，故③错误；向量平
行和共线是相同的概念，故②正确．
答案：②
uuur uuur uuur 3．若菱形ABCD的边长为2，则| AB－CB＋CD|＝________.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 解析：| AB－CB＋CD|＝| AB＋BC ＋CD |＝| AD|＝2.
答案：2
考点一 平面向量的有关概念基础送分型考点——自主练透 [题组练透]
BG，CG，得到
uuur
▱uAuADurB＝GC12 u，AuG(u所r2)＝证以12明(AauG：＋uu＝r由b)a，(＋1u)u可ubr，知
uuur BE
＝23
uuur BF
，
uuur AE
＝23
uAuD又ur ＝因13为(aB＋Eb，)，BF
有公共点
B，
uuur AF
＝12
uAu所Cur ＝以12Bb，，E，F
2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能 不存在，也可能有无数个．
3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．
[小题纠偏] 1．已知a，b是任意向量，下列条件中可推得a与b共线的有
________(填序号)． ①a＝b，②|a|＝|b|，③a与b方向相反，④a＝0或b＝0， ⑤a，b都是单位向量． 解析：由向量共线的定义知填①③④.
1．下列说法正确的是________． ①平行向量的方向一定相同； ②与任意向量都平行的向量一定是零向量； ③相等的向量一定是平行向量； ④共线向量一定在同一条直线上.
解析：①平行向量的方向也可能相反，所以①错误；②只 有零向量与任意向量都平行，所以②正确；③显然正确； ④共线向量只要方向相同或相反即可，不一定在同一条直 线上，所以④错误． 答案：②③
1．已知▱ ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，且
uuur
uuur
uuur
uuur
OC ＝a， OB ＝b，则 DC ＝________， BC ＝
________(用 a，b 表示)．
uuur uuur uuur uuur 解析：如图，DC ＝ AB＝OB－OC ＝b
uuur uuur uuur uuur uuur －a， BC ＝OC －OB＝－OC －OB＝
uuur AE
＝
2 3
uuur AD
，
uuur
uuur
AB＝a， AC ＝b.
uuur uuur uuur uuur uuur (1)用a，b表示向量 AD， AE ， AF ，BE ， BF ；
(2)求证：B，E，F三点共线．
解：(1)延长 AD 到 G，
使
uAuDur ＝12
uuur AG
，连结
向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，
使得_b_＝___λa___.
[小题体验] 1．(教材习题改编)化简：
uuur uuuur uuur uuuur (1)( AB＋ MB)＋ BO＋OM ＝________；
uuur uuur uuuur uuur (2) NQ＋QP ＋ MN － MP ＝________.
解析：依题意知，点 M 是线段 AC 的中点，也是线段 BD
uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur 的中点，所以OA＋OC ＝2OM ，OB＋OD＝2OM ，所以 uuur uuur uuur uuur uuuur OC ＋OC ＋OB＋OD＝4OM .
uuuur 答案：4OM
又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，
[谨记通法] 向量有关概念的5个关键点 (1)向量：方向、长度． (2)非零共线向量：方向相同或相反． (3)单位向量：长度是一个单位长度． (4)零向量：方向没有限制，长度是0. (5)相等相量：方向相同且长度相等．如“题组练透”第 3题易混淆有关概念．
考点二 向量的线性运算 基础送分型考点——自主练透 [题组练透]
求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．
(2)∵ka＋b与a＋kb同向，
uuur
uuur
uuur
解：(∴1)证存明在：实∵数λA(Bλ>＝0)a，＋使b，ka＋BCb＝2λ(aa＋＋8kbb，)，CD＝3(a－b)，
uuur即kau＋uurb＝uλuaur＋λkb. ∴ BD ＝ BC ＋CD ＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝
＋CA，②GA＋GB－CG，③BF － uuur uuur CD－ EA中，等于零向量的是________(填序号)．
uuur uuur uuur 解析：①中，原式＝ AB＋ BC ＋CA＝0.
uuur uuur uuur uuur uuur ②中，原式＝GA＋GB＋GC ＝－GC ＋GC ＝0.
相等向量 长度相等且方向 相同 的向量 两向量只有相等或不等， 不能比较大小
相反向量 长度 相等 且方向相反的向量 0 的相反向量为 0
2.向量的线性运算
三角形 平行四边形
b＋a a＋(b＋c)
三角形 |λ||a|
相同 相反 0
(λμ)a λa＋μ a λa＋λb
3.共线向量定理
3．(易错题)给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b； uuur uuur ②若A，B，C，D是不共线的四点，则 AB ＝ DC 是四边 形ABCD为平行四边形的充要条件； ③若a＝b，b＝c，则a＝c； ④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b； ⑤若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中正确命题的序号是________．
uuur 答案：(1) AB (2)0
2．已知 a 与 b 是两个不共线的向量，且向量 a＋λb 与－(b－3a)共线，则 λ＝________. 答案：－13
3.(教材习题改编)如图，设△ABC 三
条边的中线 AD，BE，CF 相交于 uuur uuur
点 G，则下列三个向量：① AB－CB uuur uuur uuur uuur uuur
三点共线．
uuur BE
＝
uuur AE
－
uAuBur ＝13(a＋b)－a＝13(b－2a)，
uuur BF
＝
uuur AF
－
uAuBur ＝12b－a＝12(b－2a)．
“课后·三维演练”见“课时跟踪检测(二十五)” (单击进入电子文档)
∴条四件边．形ABCD为平行四边形；
反⑤之不，正若确四．边考形虑Ab＝BC0D这为种平特行殊四情边况形．，
则综uA上uBur所∥述uDu，Cur 正且确|uAu命Bur |题＝的|uDu序Cur 号|，是因②此③，.uAuBur ＝
uuur DC
.
③答正案确：．②∵③a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，
2．下列命题中正确的是________． ①若 a∥b，则|a|＝|b|； ②若|a|<|b|，则 a<b； ③若|a|＝0，则 a＝0； ④若 a＝b，则 a，b 是共线的向量． 解析：对于①，a∥b，不一定有|a|＝|b|，故①不正确； 对于②，向量不能比较大小，故②不正确；对于③，零 向量不等于数字 0，故③不正确；④显然正确． 答案：④
uuur uuur (2)证明三点共线：若存在实数 λ，使 AB＝λ AC ，则 A，B，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组) 求参数的值． [提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．
[即时应用]
如图，在△ABC中，D，F分别是
BC，AC的中点，
uuur ③中，原式＝ BF
uuur ＋ DC
＋
uuur AE
＝12(
uuur uuur BA＋ AC
＋
uuur BC
)
uuur ＝ BC ≠0.
所以三个向量中等于零向量的是①②.
答案：①②
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
1．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得 所求向量的相反向量，导致错误．
∴(k－λ)a＝(λk－1)b. uuur
5(a＋∵b)＝a，5bA是B不. 共线的两个非零向量，
∴ uAuBurλk，k－－uBuλDu＝ 1r＝共0， 0线，，
又 ∴∵ A，它解B们得，有Dλk＝公＝三1共1点，点共B或线，．λk＝＝－－11，， 又∵λ>0，∴k＝1.
[由题悟法] 共线向量定理的 3 个应用 (1)证明向量共线：对于向量 a，b，若存在实数 λ，使 a＝λb， 则 a 与 b 共线．
－a－b.
答案：b－a －a－b
2．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12
AB，BE＝23BC.若
uuur DE
＝λ1
uuur AB
＋λ2
uuur AC
(λ1，λ2为实数)，
则λ1＋λ2的值为________．
uuur 解析：DE
＝Βιβλιοθήκη Baidu
uuur DB＋
uuur BE
＝12
uuur AB
解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一
定∴相a，同c．的长度相等且方向相同，故a＝c.
②④正不确正．确∵．uA当uBura＝∥ubDu且Cur方，向∴相|uAu反Bur |时＝，|uDu即Cur 使|且|auA|u＝Bur ∥|b|，uDuCu也r ，不能得到a
又＝Ab，，B故，|aC|＝，|bD|且是a不∥共b不线是的a四＝点b的，充要条件，而是必要不充分
[谨记通法] 用几个基本向量表示某个向量问题的 4 个步骤 (1)观察各向量的位置； (2)寻找相应的三角形或多边形； (3)运用法则找关系； (4)化简结果．
考点三 共线向量定理的应用重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
设两个非零向量a与b不共线，
uuur
uuur
uuur
(1)若 AB＝a＋b，BC ＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，
＋23
uuur BC
＝12
uuur AB
＋23(
uuur BA＋
uuur AC
)＝
－16 uAuBur ＋23uAuCur ，所以 λ1＝－16，λ2＝23，即 λ1＋λ2＝12.
答案：12
3．(2014·福建高考)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O uuur uuur
为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则 OC ＋ OB ＋ uuur uuur OC ＋OD 等于________．
第五章 平面向量与复数
第一节 平面向量的概念及其线性运算
1．向量的有关概念
大小 方向
长度
模
0
0
名称
定义
备注
单位向量 长度等于 1 个单位 的向量
非零向量 a 的 单位向量 为±|aa|
平行向量 方向 相同 或相反的非零向量
_方__向__相__同__或__相__反__的非零向量 0 与任一向量平行或共线 共线向量
答案：①③④
2．对于向量a与b，下列说法正确的是________(填序号)． ①如果a与b共线，则a＝b或a＝－b； ②如果a与b共线，则a与b平行； ③如果a与b共线，则存在实数λ，使得a＝λb. 解析：a 与 b 共线不能确定其长度关系，故①错误；当
a≠0 而 b＝0 时，这样的 λ 不存在，故③错误；向量平
行和共线是相同的概念，故②正确．
答案：②
uuur uuur uuur 3．若菱形ABCD的边长为2，则| AB－CB＋CD|＝________.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 解析：| AB－CB＋CD|＝| AB＋BC ＋CD |＝| AD|＝2.
答案：2
考点一 平面向量的有关概念基础送分型考点——自主练透 [题组练透]
BG，CG，得到
uuur
▱uAuADurB＝GC12 u，AuG(u所r2)＝证以12明(AauG：＋uu＝r由b)a，(＋1u)u可ubr，知
uuur BE
＝23
uuur BF
，
uuur AE
＝23
uAuD又ur ＝因13为(aB＋Eb，)，BF
有公共点
B，
uuur AF
＝12
uAu所Cur ＝以12Bb，，E，F
2．在向量共线的重要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能 不存在，也可能有无数个．
3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系．
[小题纠偏] 1．已知a，b是任意向量，下列条件中可推得a与b共线的有
________(填序号)． ①a＝b，②|a|＝|b|，③a与b方向相反，④a＝0或b＝0， ⑤a，b都是单位向量． 解析：由向量共线的定义知填①③④.
1．下列说法正确的是________． ①平行向量的方向一定相同； ②与任意向量都平行的向量一定是零向量； ③相等的向量一定是平行向量； ④共线向量一定在同一条直线上.
解析：①平行向量的方向也可能相反，所以①错误；②只 有零向量与任意向量都平行，所以②正确；③显然正确； ④共线向量只要方向相同或相反即可，不一定在同一条直 线上，所以④错误． 答案：②③
1．已知▱ ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，且
uuur
uuur
uuur
uuur
OC ＝a， OB ＝b，则 DC ＝________， BC ＝
________(用 a，b 表示)．
uuur uuur uuur uuur 解析：如图，DC ＝ AB＝OB－OC ＝b
uuur uuur uuur uuur uuur －a， BC ＝OC －OB＝－OC －OB＝
uuur AE
＝
2 3
uuur AD
，
uuur
uuur
AB＝a， AC ＝b.
uuur uuur uuur uuur uuur (1)用a，b表示向量 AD， AE ， AF ，BE ， BF ；
(2)求证：B，E，F三点共线．
解：(1)延长 AD 到 G，
使
uAuDur ＝12
uuur AG
，连结
向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，
使得_b_＝___λa___.
[小题体验] 1．(教材习题改编)化简：
uuur uuuur uuur uuuur (1)( AB＋ MB)＋ BO＋OM ＝________；
uuur uuur uuuur uuur (2) NQ＋QP ＋ MN － MP ＝________.
解析：依题意知，点 M 是线段 AC 的中点，也是线段 BD
uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur 的中点，所以OA＋OC ＝2OM ，OB＋OD＝2OM ，所以 uuur uuur uuur uuur uuuur OC ＋OC ＋OB＋OD＝4OM .
uuuur 答案：4OM
又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，
[谨记通法] 向量有关概念的5个关键点 (1)向量：方向、长度． (2)非零共线向量：方向相同或相反． (3)单位向量：长度是一个单位长度． (4)零向量：方向没有限制，长度是0. (5)相等相量：方向相同且长度相等．如“题组练透”第 3题易混淆有关概念．
考点二 向量的线性运算 基础送分型考点——自主练透 [题组练透]
求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．
(2)∵ka＋b与a＋kb同向，
uuur
uuur
uuur
解：(∴1)证存明在：实∵数λA(Bλ>＝0)a，＋使b，ka＋BCb＝2λ(aa＋＋8kbb，)，CD＝3(a－b)，
uuur即kau＋uurb＝uλuaur＋λkb. ∴ BD ＝ BC ＋CD ＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝
＋CA，②GA＋GB－CG，③BF － uuur uuur CD－ EA中，等于零向量的是________(填序号)．
uuur uuur uuur 解析：①中，原式＝ AB＋ BC ＋CA＝0.
uuur uuur uuur uuur uuur ②中，原式＝GA＋GB＋GC ＝－GC ＋GC ＝0.