随机事件与基本事件空间
高中数学 3.1.1、2 随机现象 事件与基本事件空间同步课件 新人教B版必修3
课前预习
1.常见现象的特点及分类
名称
定义
必然现象 在一定条件下必然发生某种结果的现象
在相同的条件下多次观察同一现象，每次
随机现象 观察到的结果不一定相同，事先很难预料
哪一种结果会出现的现象
第六页，共40页。
2.试验 把观察随机现象或为了 某种目的 而进行的实验统称为 试验，把观察结果或实验结果称为 试验的结果．
第二十六页，共40页。
剖析 由三种事件的定义来判断，特别要注意“在一定条 件下”这一前提，忽略了它可能会导致概念不清．
第二十七页，共40页。
解析 由题意知，(2)、(4)、(5)是随机事件；(1)(6)是必然 事件；(3)是不可能事件．
第二十八页，共40页。
规律技巧 事件都是在一定条件下发生的，当条件变化 时，事件性质也发生变化.要判定事件是何种事件，首先要看 清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的.第二步再 看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生.
变式训练3 一个口袋中有完全相同的2个白球、3个黑 球，从中任取2球．
(1)写出这个试验的基本事件空间； (2)求这个试验的基本事件总数； (3)“至少有1个白球”这一事件包含哪几个基本事件．
第三十四页，共40页。
解 (1)将小球编号：白色小球记为A，B，黑色小球记为 C，D，E，
则基本事件空间Ω＝{AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE， CD，CE，DE}．
第九页，共40页。
思考探究 1.随机现象是否是一种杂乱无章的现象？ 提示 随机现象不是一种杂乱无章的现象，是有一定规律 可循的． 2．事件的分类是确定的吗？ 提示 事件的分类是相对于条件来讲的，在不同的条件 下，必然事件、随机事件、不可能事件可以相互转化.
《随机现象、事件与基本事件空间》课件1
3.1.1～3.1.2
例 1 判断下列现象是必然现象还是随机现象.
(1)小明在校学生会主席竞选中成功;
(2)掷一枚质地均匀的硬币出现的结果;
本 (3)某人购买的彩票号码恰好是中奖号码;
课 时
(4)标准大气压下,把水加热至 100℃沸腾;
栏 目
(5)骑车经过十字路口时,信号灯的颜色.
开
关 解 (1)随机现象.因为竞选能否成功是不可预知与确定的;
通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据,归纳总结试验结果,
发现规律,真正做到在探索中学习,在探索中提高,并且体会数
学知识与现实世界的联系.～3.1.2
1.现象
本 (1)必然现象
课 时
在一定条件下 必然发生某种结果的现象.
栏 目
(2)随机现象
开 关
在相同的条件下多次观察同一现象,每次观察到的结果不一
本 天太阳一定从东方升起吗？木柴燃烧一定能产生热量吗？
课 时
这些事情的发生都是必然的.同时也有许多问题是很难给予
栏 目
准确回答的.例如:明天中午 12:10 有多少人在学校食堂用
开 关
餐？一次射击能否击中目标？明年房价是否下降？你购买
的本期福利彩票是否能中奖？等等,这些问题的结果都具有
偶然性和不确定性.研究这些问题有利于我们做出某些判断,
(2)随机现象.因为出现的结果可能是正面,也可能是反面,结 果并不确定.
(3)随机现象.因为彩票号码是否为中奖号码,本身是无法预测,
是不可知的.
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.1～3.1.2
(4)必然现象.因为标准大气压下,水加热至 100℃时沸腾这个结 果一定会发生,是确定的.
1.2 样本空间、随机事件
S
A=B，则称事件 相等。 若 A ⊂ B 且 B ⊃ A ，即 A=B，则称事件 A 与事件 B 相等。
2°事件 A U B = { x | x ∈ A 或 x ∈ B }称为事件 A 与 B 的 ° 中至少有一个发生。 和事件，它指的是事件 A 与事件 B 中至少有一个发生。 事件，它指的是事件
如何来研究随机现象? 如何来研究随机现象 随机现象是通过随机试验来研究的！ 随机现象是通过随机试验来研究的！ 随机试验来研究的 研究方法？数学方法？ 研究方法？数学方法？ 将E的结果数量化！---用集合：S={e}，A，B… 的结果数量化！---用集合：S={e}， 用集合 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数） 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数）… 概率论研究的主线？ 概率论研究的主线？ 1、事件表示：---利用事件间关系、运算表示较复 事件表示：---利用事件间关系、 利用事件间关系 杂事件… 杂事件 计算事件的概率：----利用概率的定义 性质、 利用概率的定义、 2、计算事件的概率：----利用概率的定义、性质、 概率运算公式… 概率运算公式
2. 几点说明
由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 基本事件
S 作为自己的一个子集，在每次试验中必然发生，称为 作为自己的一个子集，在每次试验中必然发生， 必然发生 必然事件; 必然事件; 空集∅ 作为 S 的一个子集，在每次试验中都不会发生，称 的一个子集，在每次试验中都不会发生， 都不会发生 为不可能事件 不可能事件. 事件
子集
事件间关系。。。 随机事件→事件间关系。。。 事件间关系
集合→ 集合→集合间关系运算
定义于集合的函数： 定义于集合的函数：函数
随机事件及其概率(知识点总结)
随机事件及其概率一、随机事件1、必然事件在一定条件下，必然会发生的事件叫作必然事件.2、不可能事件在一定条件下，一定不会发生的事件叫作不可能事件.3、随机事件在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件，一般用大写字母A，B，C来表示随机事件.4、确定事件必然事件和不可能事件统称为相对于随机事件的确定事件.5、试验为了探索随机现象发生的规律，就要对随机现象进行观察或模拟，这种观察或模拟的过程就叫作试验.【注】（1）在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先并不能判断将出现哪种结果，这种现象就叫作随机现象. 应当注意的是，随机现象绝不是杂乱无章的现象，这里的“随机”有两方面意思：①这种现象的结果不确定，发生之前不能预言；②这种现象的结果带有偶然性. 虽然随机现象的结果不确定，带有某种偶然性，但是这种现象的各种可能结果在数量上具有一定的稳定性和规律性，我们称这种规律性为统计规律性. 统计和概率就是从量的侧面去研究和揭示随机现象的这种规律性，从而实现随机性和确定性之间矛盾的统一.（2）必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是在一定条件下的随机现象.（3）随机试验满足的条件：可以在相同条件下重复进行；所有结果都是明确可知的，但不止一个；每一次试验的结果是可能结果中的一个，但不确定是哪一个. 随机事件也可以简称为事件，但有时为了叙述的简洁性，也可能包含不可能事件和必然事件.二、基本事件空间1、基本事件在试验中不能再分的最简单的随机事件，而其他事件都可以用它们进行描述，这样的事件称为基本事件.2、基本事件空间所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用大写字母Ω来表示，Ω中的每一个元素都是一个基本事件，并且Ω中包含了所有的基本事件.【注】基本事件是试验中所有可能发生的结果的最小单位，它不能再分，其他的事件都可以用这些基本事件来表示；在写一个试验的基本事件空间时，应注意每个基本事件是否与顺序有关系；基本事件空间包含了所有的基本事件，在写时应注意不重复、不遗漏.三、频率与概率1、频数与频率在相同条件S 下进行了n 次试验，观察某一事件A 是否出现，则称在n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数；事件A 出现的比例()A n n f A n=为事件A 出现的频率.对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数n 的增加，事件A 发生的频率()n f A 稳定在某个常数上，则把这个常数称为事件A 的概率，简称为A 的概率，记作()P A .3、频率与概率的关系（1）频率虽然在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小，但频率并不是一个完全确定的数. 随着试验次数的不同，产生的频率也可能不同，所以频率无法从根本上刻画事件发生的可能性的大小，但人们从大量的重复试验中发现：随着试验次数的无限增加，事件发生的频率会稳定在某一固定的值上，即在无限次重复试验下，频率具有某种稳定性.（2）概率是一个常数，它是频率的科学抽象. 当试验次数无限多时，所得到的频率就会近似地等于概率. 另外，概率大，并不表示事件一定会发生，只能说明事件发生的可能性大，但在一次试验中却不一定会发生.四、事件的关系与运算1、包含关系一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生时，事件B 一定发生，则我们称 事件B 包含事件A （或称事件A 包含于事件B ），记作B A ⊇（或A B ⊆）.2、相等关系一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生时，事件B 一定发生，并且如果事件B 发生时，事件A 一定发生，即若B A ⊇且A B ⊇，则我们称事件A 与事件B 相等，记作A B =.3、并事件如果某事件发生当且仅当事件A 或事件B 发生，则我们称该事件为事件A 与事件 B 的并事件（或和事件），记作A B ⋃（或A B +）.如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B也发生，则我们称该事件为事件A 与事件B的交事件（或积事件），记作A B⋂（或A B⋅）.5、互斥事件如果事件A与事件B的交事件A B⋂=∅），则我们称事⋂为不可能事件（即A B件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生.6、对立事件如果事件A与事件B的交事件A B⋂=∅），而事件A与⋂为不可能事件（即A B事件B的并事件A B⋃=Ω），则我们称事件A与事件B互⋃为必然事件（即A B为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生.【注】事件的关系与运算可以类比集合的关系与运算. 例如，事件A包含事件B 类比集合A包含集合B；事件A与事件B相等类比集合A与集合B相等；事件A 与事件B的并事件类比集合A与集合B的并集；事件A与事件B的交事件类比集合A与集合B的交集……五、互斥事件与对立事件互斥事件与对立事件是今后考察的重点，因此关于互斥事件与对立事件，我们很有必要再作进一步的说明.1、互斥事件与对立事件的关系互斥事件与对立事件都反映的是两个事件之间的关系. 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除了要求这两个事件不同时发生以外，还要求这两个事件必须有一个发生. 因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件. 例如，掷一枚骰子，事件：“出现的点数是1”与事件：“出现的点数是偶数”是互斥事件，但不是对立事件；而事件：“出现的点数是奇数”与事件：“出现的点数是偶数”既是互斥事件，也是对立事件.2、互斥事件的概率加法公式（1）两个互斥事件的概率之和如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P A B P A P B ⋃=+；（2）有限多个互斥事件的概率之和一般地，如果事件1A ，2A ，…，n A 两两互斥，那么事件“12n A A A ⋃⋃⋃发生”（指事件1A ，2A ，…，n A 中至少有一个发生）的概率等于这n 个事件分别发生的概率之和，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋃⋃⋃=+++.【注】上述这两个公式叫作互斥事件的概率加法公式. 在运用互斥事件的概率加法公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥（如果这个条件不满足，则公式不适用），然后求出各事件分别发生的概率，再求和.3、对立事件的概率加法公式对于对立的两个事件A 与B 而言，由于在一次试验中，事件A 与事件B 不会同时发生，因此事件A 与事件B 互斥，并且A B ⋃=Ω，即事件A 或事件B 必有一个发生，所以对立事件A 与B 的并事件A B ⋃发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之和，且和为1，即()()()()1P P A B P A P B Ω=⋃=+=，或()1()P A P B =-.【注】上述这个公式为我们求事件A 的概率()P A 提供了一种方法，当我们直接求()P A 有困难时，可以转化为先求其对立事件B 的概率()P B ，再运用公式()1()P A P B =-即可求出所要求的事件A 的概率()P A .4、求复杂事件的概率的方法求复杂事件的概率通常有两种方法：一种是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，然后再运用互斥事件的概率加法公式进行求解；另一种是先求其对立事件的概率，然后再运用对立事件的概率加法公式进行求解. 如果采用方法一，一定要准确地将所求事件拆分成若干个两两互斥的事件，不能有重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准所求事件的对立事件，并准确求出对立事件的概率.六、概率的基本性质1、任何事件的概率都在01之间，即对于任一事件A，都有0()1≤≤.P A2、必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.3、若事件A与事件B互斥，则()()()⋃=+.P A B P A P B4、两个对立事件的概率之和为1，即若事件A与事件B对立，则()()1+=.P A P B。
随机事件九年级知识点梳理
随机事件九年级知识点梳理在数学中，随机事件是指在一定条件下可能发生的结果。
九年级学生需要对随机事件有一定的了解和掌握。
本文将对九年级随机事件的知识点进行梳理和总结。
一、基本概念随机事件是指在进行一次随机试验中，可能发生的结果。
例如，掷一颗骰子，出现的点数就是一个随机事件。
随机事件通常用字母 A、B、C 等来表示。
二、样本空间样本空间是指随机试验的所有可能结果构成的集合，通常用 S表示。
对于抛一颗骰子，样本空间 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}。
而对于一个硬币的正反面结果，样本空间 S = {正面，反面}。
三、事件的分类事件可以分为必然事件、不可能事件和随机事件三种类型。
1. 必然事件：在进行一次随机试验中，必然发生的事件。
例如，掷一颗骰子，点数一定是1到6之间的数字。
2. 不可能事件：在进行一次随机试验中，不可能发生的事件。
例如，掷一颗骰子，点数是7。
3. 随机事件：在进行一次随机试验中，有可能发生也有可能不发生的事件。
例如，掷一颗骰子，点数是奇数。
四、事件的关系事件之间有多种关系，包括包含关系、互斥关系和对立关系。
1. 包含关系：如果事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生，则称事件 B 包含事件 A。
表示为 A ⊂ B。
2. 互斥关系：如果事件 A 和事件 B 不可能同时发生，则称事件 A 和事件 B 互斥。
表示为A ∩ B = ∅。
3. 对立关系：如果事件 A 的发生与事件 B 的不发生互为对立事件，则称事件 A 和事件 B 对立。
表示为A ∩ B = ∅，且 A ∪ B = S。
五、事件的概率概率是对随机事件发生可能性的度量，用数字表示。
概率的范围是从0到1，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
1. 经典概型：当随机事件满足每个结果出现的可能性相等时，可以使用经典概型进行概率计算。
例如，抛一颗均匀的六面骰子，每个点数出现的可能性都相等。
2. 相对频率概率：通过实验观察事件发生的次数与实验总次数的比值来估计概率。
基本事件空间与事件
复合事件
（两个或一些基本事件并在一 起，就 构成一个复合事件）
事件 B={掷出奇数点}
例1：如果试验是将一枚硬币抛掷两 次，则样本空间由如下四个样本点组成：
S={(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} 其中 第1次 第2次
(H,H): H
H
(H,T)： H
T
(T,H): T
H
(T,T)： T
从观察试验开始
研究随机现象，首先要对研究对 象进行观察试验. 这里的试验，指的 是随机试验.
1、随机试验定义：
如果每次试验的可能结果不止一个，且 事先不能肯定会出现哪一个结果，这样的试 验称为随机试验.
出掷掷的例一一测灯如枚颗试泡,硬骰在的币掷掷子同寿寿，硬骰，一命命观币子观工.试察试试察艺验出验验出条正现件还的下是点生反数产.
B = {1,3,5｝
事件B就是S的一个子集
B发生当且仅当B中的样本点 1，3，5中的某一个出现.
6、事件的概率 研究随机现象，不仅关心试验中会出
现哪些事件，更重要的是想知道事件出现 的可能性大小，也就是事件的概率.
定义：概率是随 机事件发生可能 性大小的度量
事件发生的可能性 越大，概率就 越大！
我们用P(A)表示事件A发生的概率，则
0≤P(A)≤1
事件发生的可能性 最小是零，此时
概率为0.
事可能性即概率的 大小，对人们的生活有什么意义呢？
我先给大家举几个例子，也希望你 们再补充几个例子.
例如，了解发生意外人身事故的 可能性大小,确定保险金额.
T
例2：如果试验是测试某灯泡的寿命：
则样本点是一非负数，由于不能确知寿 命的上界，所以可以认为任一非负实数都是 一个可能结果， 故样本空间
第三章学案1 随机现象 事件与基本事件空间
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• 一样的软件 • 不一样的感觉 • 一样的教室 • 不一样的心情 • 一样的知识 • 不一样的收获 •
解：（1）（2）是必然事件；（3）（4）是随机事件； （5）（6）是不可能事件.
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学点四
基本事件与基本事件空间
同时投掷两枚骰子，并记录骰子的点数.
（1）写出这个试验可能发生的所有结果； （2）写出下列事件是由哪些基本事件构成的：
①点数之和为7；
②至少出现一个6点. 【分析】考查基本事件与基本事件空间的写法. 【解析】（1）同时投掷两枚骰子，可能结果如下表：
学案1
随机现象 事件与 基本事件空间
开始
学点一 学点二
学点三 学点四
1.必然现象是在一定条件下 必然发生某种结果 的现 象. 多次观察同一现象 2.随机现象是在相同的条件下 ， 不一定相同 每次观察到的结果 ，事先很难预料哪一种结 果会出现的现象. 3.试验 某种目的 把观察随机现象或为了 而进行的实验统称 为试验，把观察结果或实验结果称为试验的结果. 4.在同样的条件下重复进行试验时，有的结果始终不 不可能事件 会发生，它称为 . 5.有的结果在每次试验中一定会发生，它称为 必然事件 . 返回目录
５ (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
６ (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
（2）①事件“点数之和为7”包含了6个基本事件分 别是：(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6). ②事件“至少出现了一个6点”包含了11个基本事件 分别是：（6,1）,(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6), (5,6),(4,6),(3,6),(2,6),(1,6). 【评析】准确地写出试验所包含的基本事件数是下一 步解决概率问题的基础和前提，而将所有结果列出是避免 重复和遗漏的有效方法. 返回目录
概率论名词解释总结
第一课随机试验：可重复进行；试验结果不止一个且无法事先断定；但所有可能结果是可知的;每一种结果称为一个随机事件;随机现象：自然界中的客观现象,当人们观测它时,所得结果不能预先确定,而仅仅是多种可能结果之一随机试验：随机现象的实现和对它某个特征的观测要求结果至少有2个,在试验和观测前不可预知,此外在相同条件下可以重复基本事件：不能分解的称为基本事件,随机试验中的每一个单一结果;基本事件的集合就称为基本事件空间或叫做样本空间,通用表示符号Ω必然事件：肯定会出现的事件不可能事件：肯定不会出现的事件随机事件：简称事件,在随机试验中可能出现的各种结果,由个或若干个基本事件组成相容：两个事件有可能同时发生不相容：两个事件不可能同时发生第二课概率：概率又称或然率机会率机率或可能性,是概率论的基本概念;同时,概率是对随机事件发生的可能性的度量,一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小主观概率：与主观臆测不同,这种相信的程度虽是种主观的,但又是根据经验、各方面知识,对客观情况进行分析、推理、综合判断而作出的第三课条件概率：设事件A和B是随机试验Ω中的两个事件,则A事件发生的前提下,B事件发生的概率主观概率：主观概率估计是贝叶斯决策理论中的重要概念,在不完全情报下,用主观估计,再利用期望和概率修做出最优决策,在许多领域中有着广泛应用贝努里伯努利概率模型：每次试验只有A事件发生和不发生两种结果,独立地做了n次重复试验;在n次试验中A出现k次的概率为其中p为每次试验中A出现的概率第四课随机变量：设随机试验的样本空间为;是定义在样本空间上的实值单值函数,则称为随机变量为随机变量离散型随机变量：把只能取有限个数,或排成有次序的无穷多个数无限可列的随机变量称为离散型随机变量第五课数学期望：简称期望又称为均值,也就是说,期望是随机试验在同样的情况下,根据重复多次的结果而计算出的以概率为权重的加权平均值,具有重要统计意义;需要注意的是,期望并不一定等同于常识中的“期望”即,期望通常与每一个样本结果都不相等大数定理：是——叙述随机变量序列的前一些项的算术平均值,在某种条件下收敛到这些项的算术平均值,在某种条件下收敛到这些项的均值期望的算术平均值——的定理总的来说,关于大量随机现象的平均结果稳定性的定理,统称大数定理第六课中心极限定理：概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理第七课总体：总体是我们所研究对象的所有个体之和；而样本是从中抽取的一部分个体;若总体中个体数目有限,则称为有限总体,否则为无限总体总体本质上可以看作是某种数量指标的集合第八课点估计：点估计又称定值估计,是数理统计中参数估计的一个大类,它是用实际样本的某一指标数值来作为总体参数的估计值,即,借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数的值,这类问题称作点估计问题极大似然法：这一方法是基于这样的思想：我们所估计的未知参数,要使得产生这个给定样本的可能性最大也就是说,在极大似然估计中,我们试图在给定分布的情况下,找到佳的参数,使得这组样本出现的可能性大第十课点估计：总体中含有未知参数,通过抽样估计未知参数的值区间估计：同样对于未知参数,希望得到一个区间估计,使未知参数落在该区间的可能性比较大弃真错误：原假设本来是正确的,但由于ɑ取值过大,导致结果落在小概率内,拒绝了它,称弃真错误取伪错误：原假设本来是错误的,但由于ɑ取值较小,反而接受了它,称取伪错误点估计：直接以样本统计量作为相应总体参数的估计值；缺陷是没法给出估计的可靠性,也没法说出点估计值与总体参数真实值接近的程度区间估计：在点估计的基础上给出总体参数估计的一个估计区间,由样本统计量构造出的总体参数在一定置信水平下的估计区间称为置信区间假设检验：是根据样本统计量来检验对总体参数的先验假设是否成立,虽与参数估计类似, 但角度不同；参数估计是利用样本信息推断未知总体参数,而假设检验则是先对总体参数提出一个假设值然后利用样本信息判断这一假设是否成立第十三课离散型随机过程和离散参数随机过程：依照随机过程在任一时刻的状态是连续随机变量或离散随机变量——可分为连续型随机过程和离散型随机过程。
随机事件、事件与事件基本空间
例如，在掷骰子试验中，观察掷出的点数。 例如，在掷骰子试验中，观察掷出的点数。 元素 基本事件
Ai ={掷出i点} i=1,2,3,4,5,6， ={掷出 =1,2,3,4,5,6，
集合 基本事件空间 Ω={1,2,3,4,5,6} 子集 随机事件 B={掷出奇数点} {掷出奇数点} B={1,3,5} {1,3,5}
判断下列现象是随机现象还是必然现象: 判断下列现象是随机现象还是必然现象
(1)掷一枚质地均匀的硬币的结果 掷一枚质地均匀的硬币的结果; 掷一枚质地均匀的硬币的结果 (2)行人在十字路口看到的交通信号灯的颜色 行人在十字路口看到的交通信号灯的颜色; 行人在十字路口看到的交通信号灯的颜色 (3)在10个同类产品中有 个正品 两个次品 在 个同类产品中有 个正品,两个次品 个同类产品中有8个正品 两个次品, 从中任意抽出3个检验的结果 个检验的结果; 从中任意抽出 个检验的结果 (4)在10个同类产品中 有8个正品 个次品 在 个同类产品中 个同类产品中,有 个正品 个次品, 个正品,2个次品 从中任意抽出3个且至少有一个正品的结果 个且至少有一个正品的结果; 从中任意抽出 个且至少有一个正品的结果 (5)三角形的三个内角和是 180度. 三角形的三个内角和是 度
1.一个盒子中装有10个完全相同的小球 一个盒子中装有10个完全相同的小球, 例1.一个盒子中装有10个完全相同的小球,分 别编以号码1,2, 别编以号码1,2,……，10，从中任取一球， ，10，从中任取一球， 1,2, 观察球的号码， 观察球的号码，写出这个试验的基本事件和 基本事件空间。 基本事件空间。 连续掷三枚硬币， 例2、连续掷三枚硬币，观察落地后这三枚硬 币出现正面还是反面。 币出现正面还是反面。 （1）写出这个试验的基本事件空间 （2）求这个试验的基本事件的总数 恰有两枚正面朝上” （3）“恰有两枚正面朝上”这一事件包含哪 几个基本事件？ 几个基本事件？
3.1.1 随机现象 3.1.2 事件与基本事件空间
张喜林制3.1.1 随机现象3.1.2 事件与基本事件空间教材知识检索考点知识清单1．必然现象是在的现象．2．随机现象具有这样的特点 . 3．把观察随机现象或的实验统称为．4．在同样的条件下重复进行试验时，有的结果始终不会发生，它称为；有的结果在每次试验中一定会发生，它称为．在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为．随机事件通常用大写英文字母A、B、C、…来表示．5.在一次试验中，所有可能发生的基本结果，是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以甩它们来描绘，这样的事件称为，所有基本事件构成的集合称为，基本事件空间通常用大写希腊字母表示，随机事件可以理解为基本事件空间的．要点核心解读1．必然现象与随机现象(1)必然现象．在一定条件下必然发生某种结果的现象．如：“导体通电时发热”，“把一石块抛向空中，它会掉到地面上来”，“地球每天都在绕太阳转动”都是必然现象，注意：必然现象具有确定性，它在一定条件下肯定发生．(2)随机现象．在相同的条件下多次观察同一现象，每一次观察到的结果不一定相同，事先很难预料哪一种结果会出现．例如：“若此时此地是晴天，24小时以后，天气的气象情况”；“某射击运动员每一次射击命中的环数”都为随机现象．2．试验及试验的结果为了探索随机现象的规律性，需要对随机现象进行观察，我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验．把观察结果或实验结果称为试验的结果．如：掷一枚硬币，就是一次试验；它的试验结果为“正面朝上”或者“反面朝上”．3．如何判断必然现象和随机现象(1)判断是必然现象还是随机现象的关键是看在一定的条件下，现象的结果是否可以预知、确定，若在一定的条件下，出现的结果是可以预知的，这类现象称为确定性现象（必然现象）；若一类现象的结果是无法预知的，即在一定的条件下，出现哪种结果是无法预知的，无法事先确定的，这类现象就称为随机现象．(2)对于纷繁的自然现象与社会现象，如果从结果能否预知的角度出发去划分，可以分为两大类：一类现象的结果总是确定的，即在一定的条件下，它所出现的结果是可以预知的，这类现象称为确定性现象（必然现象）．另一类现象的结果是无法预知的，即在一定的条件下，出现哪种结果是无法事先确定的，这类现象称为随机现象，对于随机现象，尤其是可能出现多种情况的结果，我们应全面、周到的考虑所有可能出现的情况，不可漏掉某一种情况．在这种情况下，一定要养成严谨、缜密地思考问题的习惯．4．不可能事件、必然事件、随机事件的概念当我们在同样的条件下重复进行试验时，有的结果始终不会发生，它称为不可能事件；有的结果在每次试验中一定会发生，它称为必然事件；在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件，比如某个练习投篮的中学生决定投篮5次，那么“他投进6次”是不可能事件；“他投进的次数比6小”是必然事件；“他投进3次”是随机事件．5．基本事件、基本事件空间在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为基本事件，所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，基本事件空间常用大写希腊字母n表示．如掷一枚硬币是一次试验，观察硬币落地后哪一面向上．这个试验有两种不同的结果：“正面向上”或“反面向上”，这两个事件是该次试验的两个基本事件，它们不可能再分解为别的事件，也不可能同时发生．这个试验的基本事件空间就是集合力={正面向上，反面向上}．又如掷一颗骰子是一次试验，观察掷出的点数，这个试验有六种不同的结果，出现1点、2点、3点.4点、5点、6点向上是该次试验的六个基本事件，这个试验的基本事件空间就是集合n={1，2，3，4，5，6l.若假设事件A表示“出现偶数点”这一事件，那么事件A可以分解为三个基本事件：“出现2点”“出现4点”“出现6点”，典例分类剖析考点1 随机现象[例1] 指出下列试验的结果：(1)先后掷二枚质地均匀的硬币的结果；(2)某人射击一次命中的环数．[答案](1)结果：正面，正面；正面，反面；反面，正面；反面，反面；(2)结果：0环，l 环，2环，3环，4环，5环，6环，7环，8环，9环．10环．[点拨]在(1)中先后掷两枚硬币的结果是4个，而不是3个．正面，反面；反面，正面是两个不同的试验结果．[例2] 判断下列现象是随机现象还是必然现象．(1)某路口在单位时间内通过“红旗”牌轿车的车辆数；(2)n 边形的内角和为;180)2( ⋅-n(3)某同学竞选学生会主席的成功性；(4)-名篮球运动员每场比赛所得的分数；(5)在标准大气压下，水加热到C100沸腾．[答案] (1)，(3)，(4)为随机现象；(2)，(5)为必然现象．[点拨] 依据必然现象和随机现象的定义及判断方法予以判断．1．(1)判断下列现象是必然现象还是随机现象：①掷一枚质地均匀的硬币的结果；②行人在十字路口看到的交通信号灯的颜色；③在10个同类产品中，有8个正品、2个次品，从中任意抽出3个检验的结果；④在10个同类产品中，有8个正品、2个次品，从中任意抽出3个且至少有一个正品的结果；⑤三角形的内角和是1800．(2)判断以下现象是随机现象还是必然现象，①一袋中装有十个外形完全相同的白球，搅匀后从中任取一球为白球，②一袋中装有四白、三黑、三红大小形状完全相同的球，搅匀后从中任取一球为白球，考点2试验与试验的次数[例3] 下列随机试验中，一次试验是指什么，它们各有几次试验？(1)-天中，从北京开往上海的7列列车，全部正点到达；(2)抛10次质地均匀的硬币，硬币落地时有5次正面向上．(3)箱中有a 个正品，b 个次品，从箱中随机连续抽取3次，每次取1个，取出后不放回，取出的3个全是正品，[解析] 解答本题可先看这三个随机试验的条件是什么，然后再确定它们各有几次试验．[答案](1) -列列车开出，就是一次试验，共有7次试验．(2)抛一次硬币，就是一次试验，共有10次试验．(3)抽取一次产品，就是一次试验，共有3次试验．2．指出下列试验的结果从集合A={a ，b ，c ，d}中任取两个元素构成A 的子集．考点3 随机事件、不可能事件、必然事件的判断[例4] 给出下列五个事件：①某地3月6日下雨；②函数)10(=/>=a a a y x 且在定义域上是增函数；③实数的绝对值小于O ；;,,ba ab R b a =∈则④⑤某人射击8次恰有4次中靶．其中必然事件是____，不可能事件是____，随机事件是____[解析] ①是随机事件，某地3月6日可能下雨，也可能不下雨：②是随机事件，函数)10(=/>=a a a y x 且在a>l 时为增函数，在10<<a 时为减函数，未给出a 值之前很难确定给的a 值是大于1还是小于1；③是不可能事件，任意实数a ，总有,0||≥a 故0||<a 不可能发生；④是必然事件，当R b a ∈,时，ba ab =恒成立；⑤是随机事件．[答案] ④③①②⑤3．下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？(1)在标准大气压下，温度低于C0时，冰融化；(2)直线)1(+=x k y 过定点（-1，0）；(3)某一天内电话收到的呼叫次数为0；(4)-个袋内装有形状大小都相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出1个球为白球．考点4 事件与基本事件空间[例5] 将数字1，2，3，4任意排成一列，试写出该试验的基本事件空间，并指出事件“得到偶数”包含多少个基本事件．[答案]将数字1，2，3，4任意排成一列，要考虑顺序性，如基本事件“1234”与“2134”为不同的基本事件．这个试验的基本事件实质是由1，2，3，4四个可组成的没有重复数字的四位数．这个试验的基本事件空间,1342,1324,1243,1234{=Ω，，，241323412314,2143,2134,1432,1423,3214,3142,3124,2431,4132,4123,3421,3412,3241}.4321,4312,4231,4213其基本事件总数是24.事件“得到偶数”包含12个基本事件．12个基本事件为：,3124,2314,2134,1432,1342,1324,1234,3412,3214,3142.4312,4132[点拨]有规律地列举成为此类问题解决的捷径．[例6] 做投掷2颗骰子的试验，用（x ，y ）表示结果，其 中x 表示第1颗骰子出现的点数，y 表示第2颗骰子出现的点数，写出：(1)事件“出现点数之和大于8”；(2)事件“出现点数相等”；(3)事件“出现点数之和大于10”．[答案]),5,5(),4,5(),6,4(),5,4(),6,3{()1(=A ),3,6(),6,5()}.6,6(),5,6(),4,6()}.6,6(),5,5(),4,4(),3,3(),2,2(),1,1{()2(=B)}.6,6(),5,6(),6,5{()3(=C[点拨] 基本事件空间是所有基本事件构成的集合，而不是部分；随机事件理解为基本事件空间的子集．4．从A ，B ，C ，D ，E ，F6名学生中选出4人参加数学竞赛．(1)写出这个试验的基本事件空间；(2)求这个试验的基本事件总数；(3)写出事件“A 没被选中”所包含的基本事件，优化分层测训学业水平测试1．下列现象是随机现象的是( )．A ．下雨屋顶湿B ．秋后柳叶黄C ．买彩票中奖D ．水结冰体积变小2．下列给出了四个现象：①明天天晴；②某体操运动员在某次运动会上获得全能亚军；③一个三角形的大边对的角小，小边对的角大；④某人购买福利彩票没有中奖，其中随机现象的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．33．有下面的试验：①如果,,R b a ∈那么,.⋅=⋅a b b a ②某人买彩票中奖；③;1053>+④在地球上，苹果不被抓住必然往下掉，其中是必然现象的有( )．①.A ④.B ①③.C ①④.D4．在以下空白处填“随机现象”或“必然现象”：(1)同一门炮向同一目标发射多发炮弹，其中%50的炮弹击中目标.(2)某人给某朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意在键盘上按了一数字，恰巧是朋友的电话号码．(3)-个三角形的大边对的角大，小边对的角小．4．(1)三角形的内角和为180是____事件；(2)-批小麦种子发芽的概率是0.95是 事件；(3)某人投篮3次，投中4次是 事件．5．指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．(1)如果a ，b 都是实数，那么;a b b a +=+(2)从分别标有号数10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的10张号签中任取一张，得到4号签；(3)没有水分，种子发芽；(4)某电话总机在60秒内接到至少15次呼叫；(5)在标准大气压下，水的温度达到C 50时沸腾；(6)同性电荷相互排斥． 高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下面给出四个事件：①若;0,2<∈x R x 则②没有水分，种子发芽；③某地圣诞节下雪；④若平面 α平面,//,//,αββn n m =则.//n m 其中是必然事件的是( )．A ．③B ．① C．①④ D．④2．下列事件是必然事件的是( )．A ．向区间(0，1)内投点，点落在(0，1)区间B ．向区间(0，1)内投点，点落在(1，2)区间C ．向区间(0，2)内投点，点落在(0，1)区间D ．向区间(0，2)内投点，点落在（-1，0）区间3．下列事件中，随机事件的个数为( )．①明天是阴天；②方程0522=++x x 有两个不相等的实数；③明年长江武汉段的最高水位是29.8米；④存在实数,0x 使得⋅=23sin 0x 1.A 2.B 3.C 4.D4．下列事件是随机事件的有( )．A ．若a ，b ，c 都是实数，则c b a c b a ).().(⋅=⋅B ．没有空气和水，人也可以生存下去C ．掷一枚硬币，出现反面D ．在标准大气压下，水的温度达到C o90时沸腾5．下列现象：①连续两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现正面朝上；②异性电荷相互吸引；③在标准大气压下，水在C o 1结冰．其中是随机现象的是( )．A ．②B ．③C ．①D ．②③6．在n+2件同类产品中，有n 件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件产品是必然事件的是( )．A.3件都是次品B.3件都是正品 C ．至少有一件是次品 D ．至少有一件是正品7．在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这3个数字之和大于6”这一事件是( )．A ．必然事件B ．不可能事件C ．随机事件D ．以上选项均不正确8．下列事件中，必然事件是( )．A ．10人中至少有2人生日在同一个月B ．11人中至少有2人生日在同一个月C ．12人中至少有2人生日在同一个月D.13人中至少有2人生日在同一个月二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题后的相应位置）9．投掷两颗骰子，点数之和为8的事件所含的基本事件有____种．10.在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，①“在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品”②“在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品”③“在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品”④“在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于100”在上述事件中， 是必然事件； 是不可能事件； 是随机事件．11.在掷一枚骰子观察点数的试验中，若令A={2，4，6}，则用语言叙述事件A 对应的含义为____．12．从1，2，3，…，30中任意选一个数，这个试验的基本事件空间为 ，“它是偶数”这一事件包含的基本事件个数为 ．三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）13.做试验“从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对（x ，y ），x 为第1次取到的数字，y 为第2次取到的数字”：(1)写出这个试验的基本事件空间；(2)求这个试验的基本事件的总数；(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件．14．从含有两件正品21,a a 和一件次品1b 的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．(1)写出这个试验的基本事件空间；(2)设A 为“取出的两件产品中恰有一件次品”，写出集合A ．15.（2010年海南高考题）从1，2，3，4，5这5个数字中，不放回地任取两数，用基本事件空间的子集写出下列事件．(1)两数都是奇数；(2)两数为一奇数一偶数．16.（2007年山东高考题）甲、乙两人做出拳游戏（锤子、剪刀、布），写出：(1)基本事件空间；(2)事件“甲赢”；(3)事件“平局”．。
第一讲 事件与基本事件空间
第一讲随机现象事件与基本事件空间[新知初探]1．随机现象与随机事件(1)必然现象与随机现象：现象条件特征必然现象在一定条件下必然发生某种结果的现象随机现象多次观察同一现象，每次观察到的结果不一定相同，事先很难预料哪一种结果会出现注意事项判断是必然现象还是随机现象关键点是看给定条件下的结果是否一定发生，若一定发生，则为必然现象，若不确定，则其为随机现象，即随机现象事先难以预料，而必然现象事先就能知道结果．(2)事件：①不可能事件：在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果．②必然事件：在同样的条件下重复进行试验时，每次试验中一定会发生的结果．③随机事件：在同样的条件下重复进行试验时，可能发生，也可能不发生的结果．对事件分类的两个关键点(1)条件：在条件S下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生；(2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．2．基本事件与基本事件空间(1)基本事件：试验中不能再分的最简单的，且其他事件可以用它们来描绘的随机事件．(2)基本事件空间：①定义：所有基本事件构成的集合称为基本事件空间．②表示：基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示．确定基本事件空间的方法(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．[小试身手]1．下列现象是必然现象的是( )A．一天中进入某超市的顾客人数B．一顾客在超市中购买的商品数C．一颗麦穗上长着的麦粒数D．早晨太阳从东方升起答案：D2．下列事件：①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；②经过有信号灯的路口，遇上红灯；③下周六是晴天．其中，是随机事件的是( )A．①②B．②③C．③①D．②解析：选B ①为必然事件；②③为随机事件．3．“李晓同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是( )A．不可能事件B．必然事件C．可能性较大的随机事件D．可能性较小的随机事件解析：选D 掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小．4．先后抛掷两枚质地均匀的硬币，所有可能的结果为________．答案：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)典型例题[典例] 判断下列现象是必然现象还是随机现象．(1)将三个小球全部放入两个盒子中，其中有一个盒子里有一个以上的球；(2)一个射击运动员每次射击命中的环数；(3)三角形的内角和为180°；(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口方向．[解] (1)三个小球全部放入两个盒子，其中有一个盒子里有一个以上的球，这个结果一定发生，故为必然现象；(2)射击运动员每次射击命中的环数可能为1环，2环等，因此是随机现象；(3)三角形的内角和一定是180°，是确定的，故为必然现象；(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口方向与a的取值有关，当a>0时，开口向上，当a<0时，开口向下，故在a≠0的条件下开口可能向上也可能向下，故是随机现象．[活学活用]判断下列现象是必然现象还是随机现象．(1)在一个装有1个白球，9个黄球的不透明袋子中，任意摸出两球，至少有一个黄球；(2)一个不透明的袋子中装有5个白球，2个黑球，3个红球，大小形状完全相同，搅拌均匀后，从中任取一球为红球．解：(1)袋中装有1个白球、9个黄球，从中任取2个，一定至少有一个黄球，故是必然现象．(2)袋中有5个白球，2个黑球，3个红球，从中任取一个，可能是白球，可能是黑球，也可能是红球，故是随机现象.[典例] 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；(2)三角形的两边之和大于第三边；(3)没有空气和水，人类可以生存下去；(4)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；(5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．[解] (1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．(2)所有三角形的两边之和都大于第三边，所以是必然事件．(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．(4)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件．(5)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．[活学活用]指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭；(2)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；(3)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标；(4)没有水分，种子发芽．解：(1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机事件．(2)抛掷硬币10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件．(3)同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50%，也可能不是50%，是随机事件．(4)没有水分，种子不可能发芽，是不可能事件.[典例] 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．(1)写出这个试验的基本事件空间；(2)求这个试验的基本事件的总数；(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个基本事件？“x<3且y>1”呢？(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个基本事件？“x＝y”呢？[解] (1)Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1, 3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．(2)基本事件的总数为16.(3)“x＋y＝5”包含以下4个基本事件：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)；“x<3且y>1”包含以下6个基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．(4)“xy＝4”包含以下3个基本事件：(1,4)，(2,2)，(4,1)；“x＝y”包括以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．[活学活用]甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)．(1)写出基本事件空间；(2)写出事件“甲赢”；(3)写出事件“平局”．解：(1)Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}．(2)记“甲赢”为事件A，则A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．(3)记“平局”为事件B，则B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．[层级一学业水平达标]1．同时投掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件的个数是( )A．3 B．4C．5 D．6解析：选D 有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个基本事件．2．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为( )A．3件都是正品B．至少有1件次品C．3件都是次品D．至少有1件正品解析：选C 25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品．3．写出下列试验的基本事件空间：(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．解析：(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果；(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0,1,2,3,4，不能再有其他结果．答案：(1)Ω＝{胜，平，负} (2)Ω＝{0,1,2,3,4}4．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．(1)写出这个试验的基本事件空间；(2)求这个试验基本事件的总数；(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件．解：(1)这个试验的基本事件空间Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．(2)易知这个试验的基本事件的总数是6.(3)记“第1次取出的数字是2”这一事件为A，则A＝{(2,0)，(2,1)}．[层级二应试能力达标]1．下面事件：①某项体育比赛出现平局；②抛掷一枚硬币，出现反面；③全球变暖会导致海平面上升；④一个三角形的三边长分别为1,2,3.其中是不可能事件的是( )A．①B．②C．③D．④解析：选D 三角形的三条边必须满足两边之和大于第三边．2．在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是( )A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．以上选项均不正确解析：选C 若取1,2,3，则和为6，否则和大于6，所以“这三个数字的和大于6”是随机事件．3．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的基本事件共有( )A．7个B．8个C．9个D．10个解析：选C “点P落在x轴上”包含的基本事件的特征是纵坐标为0，横坐标不为0，因A中有9个非零数，故选C.4．已知集合A是集合B的真子集，下列关于非空集合A，B的四个命题：①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．其中正确的命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C ∵集合A是集合B的真子集，∴A中的任意一个元素都是B中的元素，而B中至少有一个元素不在A中，因此①正确，②错误，③正确，④正确．5．下列给出五个事件：①某地2月3日下雪；②函数y＝a x(a>0，且a≠1)在定义域上是增函数；③实数的绝对值不小于0；④在标准大气压下，水在1 ℃结冰；⑤a，b∈R，则ab＝ba.其中必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________．解析：由必然事件、不可能事件、随机事件的定义即可得到答案．答案：③⑤④①②6．从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的基本事件数为________．解析：从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)共10种情况，其中(1,2,4)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,5)中三个数字之和为奇数．答案：47．设集合A＝{x|x2≤4，x∈Z}，a，b∈A，设直线3x＋4y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝1相切为事件M，用(a，b)表示每一个基本事件，则事件M所包含的基本事件为___________．解析：A＝{－2，－1,0,1,2}，由直线与圆相切知，|3a＋4b|5＝1，所以3a＋4b＝±5，依次取a＝－2，－1,0,1,2，验证知，只有⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝2，⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝－2满足等式．答案：(－1,2)，(1，－2)8．将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x ，第二次朝下面的数字为y .用(x ，y )表示一个基本事件．(1)请写出所有的基本事件．(2)满足条件“x y为整数”这一事件包含哪几个基本事件？ 解：(1)先后抛掷两次正四面体的基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．共16个基本事件．(2)用A 表示满足条件“x y为整数”的事件，则A 包含的基本事件有：(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共8个基本事件．9．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S 1，S 2，…，S 10站．若甲在S 3站买票，乙在S 6站买票，设基本事件空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A 表示甲可能到达的站的集合，B 表示乙可能到达的站的集合．(1)写出该事件的基本事件空间Ω；(2)写出事件A 、事件B 包含的基本事件；(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？解：(1)Ω＝{S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6，S 7，S 8，S 9，S 10}；(2)A ＝{S 4，S 5，S 6，S 7，S 8，S 9，S 10}；B＝{S，S8，S9，S10}．7(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，……，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．。
随机事件和样本空间知识点
随机事件和样本空间知识点
随机事件是在一次试验中可能发生或不发生的事件。
样本空间是指所有可能的结果构成的集合。
以下是关于随机事件和样本空间的相关知识点：
1. 样本空间：在一次试验中，所有可能的结果构成的集合。
通常用大写字母S表示，其中的元素称为样本点。
例如，掷一
枚硬币的样本空间为S = {正面，反面}。
2. 随机事件：样本空间中的一个子集称为随机事件。
也就是说，随机事件是样本空间中的一个特定的结果组合。
例如，从掷一枚硬币的样本空间中，可以定义一个事件A，表示出现正面，即A = {正面}。
3. 必然事件和不可能事件：样本空间和空集分别对应着必然事件和不可能事件。
必然事件是指在每次试验中必然发生的事件，记作S；而不可能事件是指在每次试验中不可能发生的事件，
记作∅。
4. 事件的运算：事件之间可以进行运算，包括并集、交集和补集。
- 并集：表示同时包含两个事件的结果。
例如，事件A和事
件B的并集为A∪B，表示包含事件A和事件B中任意一个
结果的集合。
- 交集：表示同时满足两个事件的结果。
例如，事件A和事件B的交集为A∩B，表示包含同时满足事件A和事件B结果的集合。
- 补集：表示不属于一个事件的结果。
例如，事件A的补集为A的补，记作A'，表示所有不属于事件A结果的集合。
5. 事件的概率：事件发生的可能性称为概率。
概率一般用一个实数表示，范围在0到1之间。
这些是关于随机事件和样本空间的基本知识点，可以帮助我们理解随机事件的概念和计算概率的方法。
随机事件与样本空间
或ห้องสมุดไป่ตู้
随机试验的试验结果称为随机事件，常用英文大写字母A，B，C等表示；
Ａ＝“出现偶数点”，Ｂ＝“出现４点” ，则
Ｂ ＝ A 随机事件一般可分解为更简单的事件，在一定条件下，不可以再分解的事件称为基本事件，一般用ω1、ω2、ω3等表示；
在样本空间中， ω1、ω2、ω3称为样本点。
Ａ＝“出现偶数点”，Ｂ＝“出现４点” ，则
试验的所有可能结果是已知的，但在试验前是不知试验将发生什么结果，并在相同的条件下，试验可以重复进行。
则 Ａ 与 Ｂ 互 为 对 立 事 件 。 随机试验的试验结果称为随机事件，常用英文大写字母A，B，C等表示；
随机事件一般可分解为更简单的事件，在一定条件下，不可以再分解的事件称为基本事件，一般用ω1、ω2、ω3等表示；
随机试验的试验结果称为随机事件，常用英文大写字母A，B，C等表示；
下一张幻灯片
两两互斥（互不相容）完备事件组
A1 , A2 , , An 两 两 互 斥 完 备 事 件 组 ，就 是 指 事 件
组中每两个都是互斥事件，并且
n
A1 A2 An Ai i 1
例如： A i ＝“出现ｉ点” ｉ＝１，２，…，6。 A1 , A2 , , A6 为 两 两 互 斥 完 备 事 件 组
例 如 抛 骰 子 时 ： Ａ ＝ “ 出 现 偶 数 点 ”， 在样本空间中， ω1、ω2、ω3称为样本点。
随机试验的所有基本事件组成的集合，称为样本空间，记为
；
在样本空间中， ω1、ω2、ω3称为样本点。
Ｂ ＝ “ 出 现 奇 数 点 ”； 事件Ａ包含事件Ｂ，就是指Ｂ发生必导致Ａ发生。
试验的所有可能结果是已知的，但在试验前是不知试验将发生什么结果，并在相同的条件下，试验可以重复进行。
人教B版必修三3.1.1-3.1.2随机现象事件与基本事件空间
课堂检测
共有15种可能情况；
（3）“A没被选中”包含下列5个基本事
件：{(B，C，D，E)，(B，C，D，F)，
(B，C，E，F)，(B，D，E，F)，(C，D，
E，F)}。
练习. 投掷一颗骰子，观察掷出的点数， 令A={2，4，6}，B={1，2}，把A，B看作 数的集合，试用语言叙述下列表达式对应 事件的意义。
阅读课本例1-例4，理解概念试验。
随机现象满足的条件：
（1）在相同的条件下可以重复进行; （2）试验的所有结果是明确可知的，但不止 一个； （3）每次试验总是出现这些结果中的一个， 但在一次试验之前却不能确定这次试验会出 现哪一个结果。
练习： 1.判断以下现象是否为随机现象： （1）某路口单位时间内通过“红旗”牌轿车 的辆数； （2）n边形的内角和为(n－2)·180°； （3）某同学竞选学生会主席成功的可能性； （4）一名篮球运动员每场比赛所得的分数.
随机事件中的基本概念： 练习.指出下列事件是必然事件、不可能事件还是 随机事件： （1）某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠 军； （2）同一门炮向同一目标发射多发炮弹，其中 50%的炮弹击中目标； （3）某人给朋友打电话，却忘记了朋友电话号码 的最后一位数字，就随意地在键盘上按了一个数字， 恰巧是朋友的电话号码； （4）技术非常发达后，不需要任何能量的“永动 机”将会出现。
3.1.1随机现象
感受一：
有些事件 我们事先无 法肯定它会 不会发生
有些事情我 们事先能断定它 一定会发生或黄 球吗？说说你的想法？
转盘转动后，指针指 向黄色区域
这两人各买1张彩票， 她们中奖了
随机现象：当在相同的条件下多次观察同一现象， 每次观察到的结果不一定相同，不能预言会出现 哪个结果。 必然现象：在一定条件下必然发生某结果的现象。
事件与概率
事件与概率知识讲解一、随机现象与随机事件1．必然现象与随机现象：必然现象：在一定的条件下必然发生的现象随机现象：在一定的条件下可能发生也可能不发生的现象练习：（1）地球上，向上抛一块石头，石头会落到地面上；（2）在标准状态下，水在100°C 下沸腾；（3）掷一枚硬币，正面向上；（4）从粉笔盒中取粉笔，取出的是红粉笔。
答案：2．事件与事件空间在同样条件下重复进行试验时，始终不发生的结果称为不可能事件，一定发生的结果称为必然事件，有可能发生也可能不发生的结果成为随机事件.基本事件：在试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描述的事件基本事件空间：所有基本事件构成的集合,常用Ω表示.练习下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ ①在标准大气压下，水加热至90℃沸腾；②某人买一张彩票中奖；③将一根长为a 的铁丝，随意折两下，构成一个三角形；④连续两次抛一枚硬币，两次都出现正面朝上；⑤当x R ∈时，sin cos 2x x +<答案：3.事件的运算事件的和（并）：A+B （A ∪B ）事件A 与事件B 中至少有一个发生事件的积（交）：AB （A ∩B ）事件A 与事件B 同时发生二、随机事件的频率与概率一般地，在n 次重复的试验中，事件A 发生的频率m n，当n 很大时，总在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动的幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A 。
0()1P A ≤≤思考：如果()P A =0，那么在一次试验中，事件A 一定不会发生吗？ 如果()P A =1，那么在一次试验中，事件A 一定发生吗？“频率”和“概率”的区别（1）频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映随机事件出现的可能性；（2）概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性。
随机现象的两个特征：（1）结果的随机性；（2）频率的稳定性.三、概率的加法公式1．互斥事件互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。
3.1随机现象,事件,基本事件空间
定义4 基本事件： 定义4：基本事件：
在一次试验中， 在一次试验中，所有可能出现的每一个结果 不能再分解也不能同时发生， 都不能再分解也不能同时发生，这样的事件 称为基本事件 基本事件。 称为基本事件。
定义5 基本事件空间： 定义5：基本事件空间：
所有基本事件构成的集合称为基本事件空间 所有基本事件构成的集合称为基本事件空间 的集合称为
为了探究随机现象的规 律性，需要对随机现象进行观 察。我们把观察随机现象或为 了某种目的而进行的实验统称 为试验 试验。 试验
练习： 下列随机现象中， 练习： 下列随机现象中，一次试验各指什
么？它们各有几次试验？ 它们各有几次试验？ 列列车， （1）一天中，从北京开往沈阳的 列列车， ）一天中，从北京开往沈阳的7列列车 全都正点到达； 全都正点到达； 次质地均匀的硬币， （2）抛10次质地均匀的硬币，硬币落地时有 ） 次质地均匀的硬币 5次正面向上； 次正面向上； 次正面向上 解：（1）一列列车开出，就是一次试验，共有 ：（ ）一列列车开出，就是一次试验， 7次试验； 次试验； 次试验 （2）抛一次硬币，就是一次试验。共有 次 ）抛一次硬币，就是一次试验。共有10次 试验。 试验。
这个试验的基本事件空间Ω 解： （1）这个试验的基本事件空间Ω ={（正，正，正）， ={（ ），（正 ），（正 （正， 正，反），（正，反，正），（正，反，反）， ），（反 ），（反 （反，正，正），（反，正，反），（反，反，正）， （反，反，反）} （2）基本事件的总数是8 基本事件的总数是8 （3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含 恰有两枚正面向上” 3个基本 事件，分别是（ ），（正 ）（反 事件，分别是（正，正，反），（正，反，正）（反， 正，正）
例1. 我们如果把硬币上刻有国徽的一面
高中复习 概率初步
职高数学 《概率》 第一轮复习随机事件一、高考要求：理解随机试验与随机事件、基本事件与基本事件空间、事件之间的关系等概念.二、知识要点：(一)、随机试验与随机事件:1. 自然界和人类社会中存在着各种各样的现象,其中一类现象的特点是在基本条件相同的情况下,出现的结果是相同的.而另一类现象的特点是在基本条件相同的条件下,却可能出现不同的结果.究竟出现哪一种结果,随“机遇”而定,带有偶然性,这类现象称为随机现象.2. 研究随机现象,通常要进行观察和试验,某些试验具有以下特性:(1) 可以在相同的条件下重复地进行;(2) 每次试验的可能结果不止一个,并且事先明确试验的所有可能结果;(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.我们将具有上述三个特性的试验叫做随机试验,简称试验.在随机试验中,这些结果称为此随机试验的随机事件,简称事件.(二)、基本事件与基本事件空间:1. 在一随机试验中,它的每一个可能出现的结果都是一个随机事件,它们是这个试验的最简单的随机事件,我们称这些简单的随机事件为基本事件.换句话说:随机试验的每一个可能结果,我们称为基本事件.根据事件在一定条件下是否发生,可以分成如下几类:(1) 必然事件:在一定条件下必然发生的事件;(2) 不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件;(3) 随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件.2. 一个随机试验的一切可能结果组成的集合叫做这个试验的基本事件空间,也称样本空间,常用Ω表示,基本事件也称为样本空间的样本点,常用ω表示.样本空间的子集就是事件,常用大写字母A 、B 、C 等表示.(三)、事件之间的关系:1. 事件的并:事件A 或事件B 称为事件A 与B 的并(或和),记作A ∪B(或A+B),也就是说,“A ∪B”表示A 、B 中至少有一个发生.2. 事件的并:事件A 且事件B 称为事件A 与B 的交(或积),记作A∩B(或A·B),也就是说,“A∩B”表示A 、B 都发生.3. 对立事件:事件非A 称为事件A 的对立事件,记作A ,也就是说,“A ”表示A 不发生.显然,,A A A A φ==Ω .4. 互斥事件:如果事件A 与事件B 不可能同时发生,则称事件A 与事件B 是互斥事件.显然,A B φ= .三、典型例题：例1:一个口袋中有大小相同的1个白球和3个黑球,从中摸出二个球(1) 共有多少种不同的结果?(2) 摸出两个黑球有多少种不同的结果?高考数学 《概率初步》 第一轮复习 例2:设A 、B 、C 是三个事件,试用A 、B 、C 表示下列各事件:(1)A 、B 、C 都不发生; (2)A 、B 、C 中至少有一个发生;(3)A 、B 、C 至多有一个发生; (4)A 、B 、C 中恰有一个发生.四、归纳小结：1. 判断一个试验是否是随机试验必具备三个条件,缺一不可: (1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.2. 互斥事件与互为对立事件的区别与联系:对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件,互斥事件A,B 只强调A B φ= ,而互为对立事件不仅A B φ= ,且A B =Ω ,此时,B=A .五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下面四个语句中,表示随机事件的是( )A.在52张扑克牌中任抽4张B.掷两棵骰子出现的点数之和等于1C.型号完全相同的红、白、黄色球各2个,从中任取1个是红球D.异性电荷互相吸引2. 下列事件中是必然事件的是( )A.电影院某天的上座率超过50%B.一人射击三次,中26环C.如果m 、n 都是实数,那么m+n=n+mD.连续三次抛一枚硬币,结果出现三次正面3. 抛掷一颗骰子,“出现奇数点”的事件是( )A.基本事件B.必然事件C.不可能事件D.随机事件4. 在下列每对事件中,既是互斥事件又是对立事件的是( )A.恰有一件次品和恰有2件次品B.至少有一件次品和全是次品C.至少有一件正品和至少有一件次品D.至少有一件次品和全是正品5. 从装有3个红球和2个白球的口袋中任取2个球,那么是互斥而不是对立的事件是( )A.至少有一个白球与都是白球B.至少有一个白球与至少有一个红球C.恰有一个白球与恰有两个白球D.至少有一个白球与都是红球6. 设事件1A 、2A 、3A 分别表示甲、乙、丙三个射手击中目标,则123A A A 表示( )A.恰有一个射手击中目标B.至少有一个射手击中目标C.三个射手同时击中目标D.至多有一个射手击中目标（二）填空题：7. 随机试验“将一枚硬币抛2次,观察出现的点数”的样本空间是 .8. 从一副桥牌(52张)中,任取1张:(1) “抽出红桃”与“抽出黑桃”;(2) “抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;高考数学《概率初步》第一轮复习(3)“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”.上述每对事件中,是互斥事件但不是对立事件的是.9.A、B、C是三个事件,用A、B、C表示事件“A、B、C中至多有一个发生”为.高考数学 《概率初步》 第一轮复习事件的概率一、高考要求：1.理解概率的统计定义,并会运用定义解决相关的概率问题.2.理解等可能事件的概率的概念,掌握古典概率的计算和古典概型的应用.二、知识要点：1. 概率的统计定义:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率总是接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作P(A).2. 古典概型:在随机试验中,如果其可能出现的结果只有有限个,且它们出现的可能性是均等的,这样的随机试验称为古典概型.3. 等可能事件的概率:一般地,对于古典概型,如果试验的基本事件总数为n,随机事件A所包含的基本事件数为m,我们就用m n来描述事件A 出现的可能性大小,称它为事件A 的概率,记作P(A),即()m P A n=,可用古典概型计算的概率称为古典概率,又称为等可能事件的概率.显然, 事件A 满足0≤()P A ≤1,并且()1,()P P φΩ==0.三、典型例题：例1: 15名新生中有3名优秀生,随机将15名新生平均分配到3个班级中去.(1) 每班级各分配一名优秀生的概率是多少?(2) 3名优秀生分配到同一班级的概率是多少?例2:甲、乙二人参加普法知识竞答,共有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个,甲、乙二人依次各抽一题,求甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是多少?四、归纳小结：1. 判断一个随机试验是否为古典概型有两个条件: (1)结果有限;(2)各结果出现的机会均等.2. 求事件概率的解题步骤:(1)找出欲求其概率的事件A(注意“事件”与“事件的概率”相混淆和表述上的错误);(2)弄清“一次试验”是什么?高考数学 《概率初步》 第一轮复习(3)判断一次试验的样本空间是什么?基本事件个数是否有限,是否具有等可能性?(4)求一次试验的基本事件总个数n;(5)求事件A 包含的基本事件个数m;(6)用古典概率的计算公式求事件A 的概率.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 在100张奖券中,有4张中奖券,从中任抽2张都中奖的概率是( )A.150B.125C.1825D.14950 2. 从6名同学中选出4个参加数学竞赛,其中甲被选中的概率为( )A.13B.12C.35D.233. 一道单项选择题中有17道小题,每道小题各有4个选择项,其中有且只有一个正确项,该大题选择全部正确的概率是( )A.14B.117C.1714D.171744. 从1,2,3,4,5,6六个数字中,任取两个数都是偶数的概率是( ) A.15 B.21 C.14 D.1155. 从11,22,33,44,55这5个数字中,任取两个数都是奇数的概率是( ) A.25 B.310 C.710 D.9106. 在100件产品中,有95件正品,5件次品,从中任取2件,其正、次品各半的概率为( )A.893990B.19198C.91216D.1495 7. 若有4个房间安排3人居住,每人可以进住任意一个房间,且进住房间是等可能的,则指定的3个房间中各有1人的概率是( ) A.4333C B.3334C C.4333P D.3334P （二）填空题：8. 在下列随机试验中:(1)掷一颗骰子,设骰子的构造是均匀的,观察掷得的点数;(2)连续掷两枚硬币,把两枚硬币看成第一枚和第二枚,观察出现的结果;(3)同时掷两枚完全相同的硬币,不考虑顺序问题,观察出现的结果;(4)在100件产品中,有95件合格品,5件次品,从中任取2件,观察其中所含次品件数. 是古典概型的是 (只填序号).9. 如果在10000张奖券中只有一、二、三等奖,其中1个一等奖,5个二等奖,10个三等奖(各奖项不可兼得),则买1张奖券中奖的概率是 .10. 某号码锁有6个拨盘,每个拨盘上有从0到9共10个数字,当6个拨盘上的数字组成某个六位数字号码(开锁号码)时,锁才能打开.如果不知道开锁号码,试开一次就把锁打开的概率是 .高考数学 《概率初步》 第一轮复习11. 一个口袋内装有相同的7个白球和3个黑球,从中任意摸出2个,得到1个白球和1个黑球的概率是 .12. 从52张一副扑克牌中取出3张,3张都是同一类牌的概率是 .13. 同时抛掷两棵骰子,总数出现7点的概率是 .14.则这批种子发芽的概率是 .（三）解答题：15. 在10件产品中,有7件合格品,3件次品,从中任取2件,计算:(1)2件都是合格品的概率;(2)2件都是次品的概率;(3)1件是合格品,1件是次品的概率.16. 从含有两件正品12,a a 和一件次品1b 的3件产品中每次任取1件,每次取出后放回,连续取2次,求取出的2件中恰好有一件次品的概率.17. 从含有两件正品12,a a 和一件次品1b 的3件产品中每次任取1件,每次取出后不放回,连续取2次,求取出的2件中恰好有一件次品的概率.18．10张奖券中有3张中奖券,甲首先从中抽出2张,乙再从余下的8张中任意抽出3张,规定抽出中奖券多者获胜.求：(1)甲获胜的概率；(2)甲乙成平局的概率；(3)乙获胜的概率.高考数学 《概率初步》 第一轮复习概率的加法公式一、高考要求：理解概率的加法公式及其适用条件,掌握该公式的应用.二、知识要点：1. 概率的加法公式:(1) 如果事件A 、B 互斥,则()()()P A B P A P B =+ ;(2) 如果事件A 、B 不互斥,则()()()()P A B P A P B P A B =+- .2. 概率的加法公式的推广:如果事件123,,,,n A A A A 两两互斥,则有123123()()()()()n n P A A A A P A P A P A P A =++++ .三、典型例题：例1:甲、乙二人参加普法知识竞答,共有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个,甲、乙二人依次各抽一题,求甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?例2:在20件产品中,有5件次品,从中任取3件,其中至少有1件是次品的概率是多少?四、归纳小结：概率的加法公式分两种情况:(1)当A B φ= 即A 、B 互斥时,()()()P A B P A P B =+ ;(2)如果事件A 、B 不互斥,则()()()()P A B P A P B P A B =+- .特别地,()1()P A P A =-.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 已知A 、B 是互斥事件,且31(),()85P A P B ==,则()P A B 的值是( ) A.340 B.740 C.310 D.23402. 一个电路上装有甲、乙两根保险丝,若甲熔断的概率是0.2,乙熔断的概率是0.3,至少有高考数学《概率初步》第一轮复习一根熔断的概率是0.4,则两根同时熔断的概率是( )A. 0.5B. 0.1C. 0.9D. 0.063.事件A、B互斥的充要条件是( )A.()()()P A B P A P B=+B.()()()P A B P A P B=+C.()()()P A B P A P B=⋅D.()()()P A B P A P B=⋅（二）填空题：4.某地区在高考升学考试预测中,考分在450分以下的概率为0.27,考分在450～500分的概率为0.25,考分在500～550分的概率为0.21,考分在550～600分的概率为0.12,考分在600分以上的概率为0.05,若预测500分为上线分,则上线考生的概率为.5.已知A Bφ=,且3()8P A=,1()5P B=,则()P A B的值是.（三）解答题：6.掷红、蓝两棵骰子,事件A=“红骰子点数大于3”,B=“蓝骰子点数大于3”,求A∪B的概率.7.一个口袋内有4个不同的红球和6个不同的白球,从中任取4个不同的球,试求红球的个数不比白球少的概率.高考数学 《概率初步》 第一轮复习概率的乘法公式一、高考要求：理解相互独立事件的概念、概率的乘法公式及适用条件,掌握公式的应用.二、知识要点：1. 相互独立事件:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,我们把这样的两个事件叫做相互独立事件.2. 条件概率:设A 、B 是Ω的两个事件,且P(A)≠0,在A 发生的前提条件下B 发生的概率称为条件概率,记为P(B/A).计算公式为:()(/)=()A B P A B P B A P A = 在发生的前提条件下中包含的基本事件数A 包含的基本事件数.3. 概率的乘法公式:(1) 如果A 、B 相互独立,则P(A∩B) = P(A)·P(B);(2) 如果A 、B 不相互独立,则P(A∩B) = P(A)·P(B/A)= P(B)·P(A/B).4. 概率的乘法公式的推广:如果事件123,,,,n A A A A 两两互斥,则有123123()()()()()n n P A A A A P A P A P A P A =⋅⋅⋅⋅ .三、典型例题：例1:设100件产品中有5件不合格品,而5件不合格品中有3件次品、2件废品,现从中任取1件(设100件产品被抽到都是等可能的),求:(1)抽得的是废品的概率;(2)已知抽得的是不合格品,它是废品的概率.例2:甲、乙两人独立地破译密码,他们译出的概率分别为0.3和0.2,求:(1)两人都译出的概率;(2)两人都译不出的概率;(3)恰有一个人能译出的概率;(4)至多有一人能译出的概率.四、归纳小结：1. 判断两个事件是否相互独立的方法是分析事件A(或B)是否发生,对事件B(或A)发生的概率有没有影响,若没有影响即独立,否则有条件.2. A 、B 相互独立时,P(A∩B) = P(A)·P(B).可用充要条件来叙述.3. 相互独立事件的性质:(1)如果事件A 、B 相互独立,则事件A 、B;A 、B ;A 、B 也相互独立;(2)如果A 、B 相互独立,则P(A/B) = P(A),P(B/A)=P(B);高考数学 《概率初步》 第一轮复习(3)两个事件A 、B 相互独立与互斥是两个不同的概念,没有明显的联系,但在某些条件下,两者也有一定的关系,例如,当P(A)＞0,P(B)＞0时,如果A 、B 互斥,则A 、B 一定不相互独立.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列命题中,真命题是( )A.对立事件一定是互斥事件B.互斥事件一定是对立事件C.互斥事件一定是相互独立事件D.相互独立事件一定是互斥事件2. 事件A,B 相互独立的充要条件是( )A.P(A∩B) = P(A) + P(B)B.P(A ∪B) = P(A) + P(B)C.P(A∩B) = P(A)·P(B)D.P(A ∪B) = P(A)·P(B)3. 任意抛掷两枚硬币,事件A=“第一次出现正面”,事件B=“第二次出现正面”,则P(B/A)=( )A.41B.13C.12D.1 4. 调查有两个子女的家庭,发现这个家庭已有一个女孩,则这个家庭还有一个女孩的概率是( )A.41B.13C.12D.1 5. 有一数学题,甲能解答的概率是15,乙能解答的概率是13,两人都未解答的概率为( ) A.151 B.815 C.1415 D.7156. 甲、乙两人投篮,甲投中的概率是35,乙投中的概率是23,每人各投一次,至少有一人投中的概率为( )A.52B.1315C.215D.35（二）填空题：7. 设甲、乙两射手彼此独立地射击同一目标,甲击中目标的概率P(A)=0.8,乙击中目标的概率P(B)=0.5,则甲、乙两射手至少有一人击中目标的概率P(A ∪B)= .8. 一小孩掷硬币,第二次才掷出币值的概率是 ,第二次掷出币值的概率是 .9. 某射手射击一次,击中目标的概率为0.9,他连续射击4次,且各次射击是否击中相互之间没有影响,那么他第2次未击中、其他3次都击中的概率是 .10. 在一段线路中并联着三个自动控制的常开开关,只要其中有一个开关能够闭合,线路就能正常工作,假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.8,则在这段时间内线路能正常工作的概率是 -.（三）解答题：11．设有12根签中有3根彩签,甲乙两人抽签,甲先抽(不放回),乙后抽.求(1)甲乙都抽到彩签的概率;(3分)(2)甲未抽到彩签而乙抽到彩签的概率; (5分)高考数学 《概率初步》 第一轮复习- -- 11 - (3)甲抽到彩签与乙未抽到彩签的概率. (6分)12．在某次中等职业学校英语等级考试中,学生之间的考试成绩互不影响,甲、乙、丙三人考试达标的概率分别是45、43、23,试求: (1)三人都考试达标的概率(3分);(2)只有两人考试达标的概率(4分);(3)几人考试达标的事件最易发生(5分)?13．甲乙两人各进行一次射击,如果甲击中目标的概率为0.7,乙击中目标的概率为0.8,试计算:(1)恰有一人击中目标的概率;(6分)(2)至少有一人击中目标的概率.(4分)14．两人同猜一个谜语,甲能猜出的概率为35,乙能猜出的概率为56,计算下列各事件的概率:(1) 两人都猜出;(2) 两人中至少有一人猜出;(3) 两人中只有一人猜出.15．有5个乒乓球,3个新的,2个旧的,从其中每次取1个,有放回的取2次,设A={第一次取到新球},B={第二次取到新球}.求:(1)两次都取到新球的概率;(2)第一次取到新球,而第二次未取到新球的概率;(3)恰有1次取到新球的概率;(4)至少有1次取到新球的概率.16．有5个乒乓球,3个新的,2个旧的,从其中每次取1个,无放回的取2次,设A={第一次取到新球},B={第二次取到新球}.求:(1)两次都取到新球的概率;(2)第一次取到新球,而第二次未取到新球的概率;(3)恰有1次取到新球的概率;(4)至少有1次取到新球的概率.高考数学 《概率初步》 第一轮复习- -- 12 - 独立重复试验一、高考要求：理解n 次独立重复试验的含义,会应用独立重复试验概型的计算公式解题.二、知识要点：1. n 次独立重复试验:如果构成n 次独立试验的每一次试验只有两个可能的结果A 与A ,并且在每次试验中事件A 发生的概率都不变,那么这样的n 次独立试验,就叫做n 次独立重复试验或n 重伯努利试验.2. 独立重复试验概型:在n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k(0≤k≤n)次的概率问题叫做独立重复试验概型或伯努利概型.3. 独立重复试验概型的计算公式:一般地,如果在1次试验中某事件发生的概率是p,那么在n 次独立重复试验中,这个事件恰好发生k 次的概率为 ()(1)k k n k n n P k C pp -=-. 三、典型例题：例:10件产品中有3件不合格品,每次取1件,有放回地抽取3次,试求恰有1件不合格品的概率.四、归纳小结：1. 判断一个随机试验是不是独立重复试验有以下两个条件:(1)试验是重复进行的或者是可以重复进行的;(2)重复进行的试验是相互独立的.2. 独立重复试验概型和古典概型的区别是:古典概型的样本空间中的基本事件具有等可能性,而独立重复试验概型中,可能发生的结果一般不是等可能的.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 独立重复试验应满足的条件是:①每次试验之间是相互独立的;②每次试验只有发生与不发生两种结果之一;③每次试验中发生的机会是均等的;④各次试验发生的事件是互斥的.其中正确的是( )A.①②B.②③C.①②③D.①②④2. 下列试验中,是独立重复试验概型的是( )A.从100件产品中,有放回地抽取10件,检查每件是一级品、二级品,还是次品;B.从100件产品中,无放回地抽取10件,检查每件是合格品,还是次品;C.某射手在相同的条件下射击n 次,对每次射击考察中几环;D.从某品种小麦种子中抽取100粒做发芽试验.3. 某射手射击一次,击中目标的概率是0.9,他射击4次,恰好击中3次的概率等于二项式4(0.90.1)+的展开式的( )A.第一项B.第二项C.第三项D.第四项（二）填空题：4. 下面问题中:高考数学 《概率初步》 第一轮复习- - - 13 - (1)某射手对射击目标仅射击一次,其击中目标的概率为0.7;(2)某气象台天气预报的准确率是0.8,5次预报恰有4次准确;(3)一个正四面体,四个面上分别写有数字1,2,3,4,将这个正四面体向地上连抛3次,写有数字1的一面恰有2次与地面接触. 是独立重复试验问题的是 .5. 某兽药对病牛的治愈率为90%,今有3头病牛服用了这种药,至少有2头病牛被治愈的概率为 .（三）解答题：6. (2000高职-26)(本小题满分14分)湖北省电脑体育彩票的投注方式是从0,1,2,…,9这十个数字中任选六个数字(可以重复),再从0,1,2,3这四个数字任选一个特别号码,为一注投注号码,若六个数字及顺序与摇奖机确定的数字及顺序完全一致,则可中一等奖;在此基础上,如果特别号码也相同,则可中特等奖,但特等奖、一等奖不可兼得.求: (1)某人任投一注,中特等奖的概率(5分);(2)某人任投一注,中一等奖的概率(5分);(3)某人投入五注,恰有一注中特等奖的概率(4分).7. (2001高职-20)(本小题满分12分)在人寿保险赔付方案的制定过程中,很重视研究某一年龄段投保人的死亡率.假定一个投保人活到70岁的概率为0.6,现有三个投保人.求(1)三个投保人全部都活到70岁的概率(4分);(2)三个投保人都活不到70岁的概率(4分);(3)三个投保人至少有一个活到70岁的概率(4分).8．甲、乙两射手独立地射击同一目标,且击中目标的概率分别是0.8和0.7.①甲、乙各进行一次射击,求目标被击中的概率;②甲进行三次射击,求目标被击中两次的概率.9． 已知某些同一类型高射炮在它们控制的区域内击中某种速度的敌机的概率为20%.(1) 假设有5门这种高射炮控制这个区域,求敌机进入这个区域后被击中的概率;(2) 要使敌机一旦进入这个区域后有90%以上的概率被击中,须至少布臵几门高射炮?(已知lg2=0.3010)。
数学自我小测：随机现象事件与基本事件空间
自我小测1．从8个同类产品(其中有6个正品、2个次品)中，任取3个的试验，是必然现象的是( )．A．3个都是正品B．至少有1个是次品C．3个都是次品D．至少有一个是正品2．下列事件中是不可能事件的是（)．A．三聚氰胺可有效提高婴幼儿奶粉的品质B．金融危机影响汽车工业的发展C．夏季的某一天，北京的气温超过33度D．立春过后，某地下起了大雪3．先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正反面情况,则下列事件包含3个基本事件的是( ）．A．“至少一枚硬币正面向上”B．“只有一枚硬币正面向上"C．“两枚硬币都是正面向上"D．“两枚硬币一枚正面向上,另一枚反面向上”4．已知集合A＝{－9，－7,－5，－3，－1,0，2，4，6,8｝，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系中的点，观察点的位置，则事件“点落在x轴上”包含的基本事件共有（)．A．7个B．8个C．9个D．10个5．有下列事件：(1)射击运动员杜丽射击一次命中10环;（2)太阳从西方落下；（3)在高一(1)班有三位同学的生日在同一天；（4)从若干把外形相同的不同钥匙中随意取出一把,恰好打开门锁．其中是随机事件的有________．6．投掷两颗骰子，点数之和为8所含的基本事件有________种．7．“从0,1,2,3，4中不返回地取两次，每次取一个数，构成有序实数对(x,y），x表示第一次取出的数字，y表示第二次取出的数字”，则这个事件的基本事件空间是________．8．一套分上、中、下三册的选集，随机地放到书架上．(1）写出这个试验的基本事件空间;(2)求这个试验基本事件的总数；(3）写出“上册在三册中的最左边”这一事件所包含的基本事件．参考答案1.答案：D 由于8个同类产品中有2个是次品，若从中任取3个，其中至少有1个是正品．故现象“至少有1个是正品”是必然现象．应选D.2.答案：A3.答案：A “至少一枚硬币正面向上”包括“1分正面向上，2分正面向上”，“1分正面向上，2分正面向下"，“1分正面向下,2分正面向上”三个基本事件．4.答案：C 点落在x轴上所包含的基本事件的特征是(x，0），又依题意，x≠0，且A中有9个非零常数，所以共包含9个基本事件．5.答案：(1）(3)(4）(2)是必然事件．6.答案：5 基本事件为（2，6），（3，5)，（4,4），（5,3），(6,2）．7.答案：Ω＝{（0，1），(0，2）,(0,3），（0,4），（1，0），(1，2），（1，3)，（1,4)，(2,0）,(2，1），（2,3），(2，4)，(3，0），（3,1）,(3，2),（3,4)，(4,0),（4，1)，(4,2），（4，3）}8。
事件与基本事件
教师让学生阅读定义，思考并提出疑问
试验中不能再分的最简单的随机事件， 其他事件都可以用他们来描述，这样的 事件称为基本事件，所有基本事件构成 的集合称为基本事件空间。
教师把学生提出的疑问以问题的形式展 现给学生，并组织学生讨论：
木条构成三角形。
（1）、在地球上，太阳每天从东方升起
（2）、抛掷一枚均匀的硬币，正面向上
（3）、杜丽射击一次，命中十环
（4）、边长分别为10cm、20cm、 40cm的小木条构成三角形
20cm
10cm
40cm
设计意图：
创设问题情境，教师利用多媒体展示生活 中的实例,直接刺激学生的感官意识，大大 激发学生的学习兴趣，让学生感受数学的 生活化，并乐于亲近数学，从而引出题课。
3、学法分析：建构主义认为“数学学习并非是一个被动 接受的过程，而是主动建构的过程”。通过创设问题 情景，让学生亲身经历、观察体验，从而加深对概念 的理解，充分调动学生积极性。通过生活实例，引导 学生分组讨论，合作学习，培养学生的团队合作意识。 再通过典型例题的分析和总结，引导学生抽象概括， 培养学生思维的全面性。俗话说：“授之以鱼，不如 授之以渔”，在教学中应注重发挥学生的主体性，让 学生在学习 中学会怎样发现问题、分析问题、解决 问题。
2、过程与方法：通过生活实例的引入，让数学走进 生活，使学生对具体实例的感性认识上升到对定 义的理性认识；通过归纳定义后再加以应用，可 培养学生的信息迁移能力和类比推理能力；通过 对典型例题方法的归纳和总结，培养学生抽象概 括能力。
3、情感、态度与价值观： 营造亲切、和谐的氛围，以“趣”激学；随机事件的 发生既有随机性，又有规律性，使学生了解偶然性 寓于必然性之中的辩证思想；引导学生树立科学的 人生观和价值观，培养学生的综合 素质。通过对各 种现象及事件的分析，培养学生严谨的逻辑思维， 使学生乐于亲近数学、感受数学、喜欢数学，并体 会数学的应用价值。
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学科：数学课型：新授课执笔人：刘世彬程猛审核人：曹光峰
§2.1.1 事件与基本事件空间
班级：组别：姓名：
课前预习案：
预习目标:了解必然现象与随机现象的含义；掌握必然事件，不可能事件，随机事件的概念；掌握基本事件和基本事件空间的概念和含义
预习内容：
1. 必然现象与随机现象的概念和含义
2. 必然事件，不可能事件，随机事件的概念
3. 本事件和基本事件空间的概念和含义
学习目标：
（1）联系实际，了解随机现象及随机事件。
（2）了解事件的基本事件空间。
（3）要注重对概念的理解，区分事件与基本事件及基本事件空间等概念。
教学重点、难点:
重点：基本事件和基本事件空间的概念
难点：实际问题中，正确的求出某试验中事件A包含的基本事件的个数和基本事件空间中的基本事件的总数。
教学过程:
一、创设情境
情境1：日常生活中，有些问题是很难给予准确的回答的, 例如，
①抛一枚硬币,它将正面朝上还是反面朝上?
②购买本期福利彩票是否能中奖？
③7：20在某公共汽车站候车的人有多少？
④你购买本期体育彩票是否能中奖？等等。
但当我们把某些事件放在一起时, 会表现出令人惊奇的规律性. 这其中蕴涵什么?
二、课堂探究 课内探究一：小组讨论下列实例，理解必然事件，不可能事件，随机事件
在10
个同类产品中，有8个正品，2个次品，从中任意抽取3个检验
问题1：抽到的次品数是多少？能否抽到3个次品？
问题2：有人说一定会抽到正品，这种说法对吗？
成果展示，汇报交流：
归纳总结，提升拓展：
课内探究二：（1
） 一先一后掷两枚硬币，观察正反面出现的情况，试写出所有可能结果。
（2） 掷一颗骰子，掷出的点数可能有哪些？
成果展示，汇报交流：
归纳总结，提升拓展：
课内探究三：掷一颗骰子，观察掷出的点数。
（1） 写出这个试验的基本事件空间
（2） 设事件A 表示“出现偶数点”，用集合表示事件A ，它与Ω有什么关系？
（3） 事件A 包含几个基本事件？什么叫事件A 发生了（或不发生）？成果展示，汇报交流
练习：写出探究二的第（1）题中“至少有一次出现
正面”包括的基本事件。
例1：一个盒子中装有10个完全相同的球，分别以号码1、2…10，从中任取一球，观察球的号码，写出这个试验的基本事件和基本事件空间
例2：连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面
（1）写出这个试验的基本事件空间；
（2）求这个试验的基本事件的总数；
（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？
例3：袋中有红、白、黄、黑颜色大小相同的四个小球（1）从中任取一球（2）从中任取两球（3）先后各取一球。
分别求上述试验的基本事件总数
归纳总结，提升拓展：
三：反馈训练，巩固落实
1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是（）
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件D．无法确定
2.课本P94页练习A第二题
四、回顾小结：
课后提高案
1.下列试验能够构成事件的是
A.掷一次硬币
B.射击一次
C.标准大气压下，水烧至100℃
D.摸彩票中头奖
2. 在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6这
一事件是
A.必然事件
B.不可能事件
C.随机事件
D.以上选项均不正确
3. 下面事件是必然事件的有
①如果a、b∈R，那么a·b=b·a②某人买彩票中奖③3+5>10
A.①
B.②
C.③
D.①②
5. 下面事件是随机事件的有
①连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面朝上②异性电荷，相互吸引③在标准大气压下，水在1℃时结冰
A.②
B.③
C.①
D.②③。