(最新整理)16章二次根式全章导学案
八年级下册第十六章 二次根式导学案
第十六章二次根式导学案16.1二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系。
二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件难点：理解)0(0≥≥aa三、学习过程（一）复习回顾：（1）已知ax=2，那么x是a的________________, 记为____,a一定是____数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =______；正数a的算术平方根为_____，0的算术平方根为____；负数的算术平方根___________ 。
（二）自主学习(1)面积为3的正方形的边长为_________，面积为S的正方形的边长为；(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2,则它的宽为。
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t(单位：秒)与开始下落时的高度h(单位：米)满足关系式25th=。
如果用含h的式子表示t，则t= ；.说一说他们的共同特征.定义: 一般地我们把形如a（0≥a）叫做二次根式，a叫做________，称。
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥aa，12+x归纳：二次根式应满足两个条件：①___________________________②____________________________2、当a＞0时，a的算术平方根，因此0；当a=00的算术平，这就是说，当0a≥0≥。
即3、二次根式和算术平方根有什么关系？二次根式都是______的算术平方根；带有______算术平方根是二次根式．（三）合作探究例1：当x是怎样的实数时，2-x在实数范围内有意义？例2当x 呢？练习：1、x取何值时，下列各二次根式有意义？①43-x③2、（1有意义，则a的值为___________．（2）若在实数范围内有意义，则x为（）。
A.正数B.负数C.非负数D.非正数43、(1)在式子xx+-121中，x 的取值范围是____________.(2)已知y x +2＝0，则=-y x _____________.(3)已知233--+-=x x y ,则x y = _____________。
第16章《二次根式》整章(教案)
1.加强对二次根式乘除法运算的讲解，通过对比练习，使学生更好地掌握运算规则。
2.增加与实际生活相关的案例，培养学生的数学建模能力。
3.提高小组讨论的参与度，鼓励学生发表自己的观点，提高课堂互动性。
4.设计更多针对难点的练习题，帮助学生突破学习难点。
5.在课堂总结环节，加入互动性游戏或竞赛，提高学生的记忆效果。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次根式的性质和运算规则这两个重点。对于难点部分，如二次根式的乘除法和加减法，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式相关的实际问题，如计算特定图形的面积。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用几何图形拼凑出$\sqrt{9}$和$\sqrt{16}$，演示二次根式的基本原理。
第16章《二次根式》整章（教案）
一、教学内容
第16章《二次根式》整章，教学内容如下：
1.二次根式的概念及性质；
2.二次根式的乘除法运算；
3.二次根式的加减法运算；
4.最简二次根式；
5.二次根式的化简与证明；
6.二次根式的实际应用。
本章将通过具体实例，引导学生掌握二次根式的性质与运算方法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。同时，注重提高学生的逻辑思维和运算能力，为后续学习打下坚实基础。
其次，在实践活动和小组讨论中，我发现部分学生在解决实际问题时，将问题抽象为二次根式的数学模型的能力较弱。针对这一问题，我计划在今后的教学中，加入更多与实际生活相关的案例，引导学生学会将实际问题转化为数学模型。
此外，学生在小组讨论中的参与度还有待提高。在今后的教学中，我会更加注重激发学生的讨论兴趣，鼓励他们积极发表自己的观点，提高课堂互动性。
第16章 二次根式 小结复习 导学案
第16章二次根式小结复习导学案一、复习导入（一）导入课题:本节课我们一起复习“二次根式”（板书课题）.（二）复习目标:1.复习与回顾本章的重要知识点.2.总结本章的重要思想方法.（三）复习重、难点:重点: 二次根式的性质和运算.难点: 熟练准确的计算.二、分层复习第一层次学习（一）复习指导1.复习内容: P1页到P19页.2.复习时间: 8分钟.3.复习要求: 通过课本和笔记复习和回顾本章的重要知识点.4.复习参考提纲:（1）二次根式: 一般地, 我们把形如的式子叫二次根式.（2）最简二次根式：满足条件①被开方数不含；②被开方数中不含的二次根式, 叫做最简二次根式.（3）二次根式的性质:（a≥0）；(a)2= （a≥0）；2a＝；ab= (a≥0,b≥0),b（4）二次根式的运算:①二次根式的加减：二次根式加减时, 可以先将二次根式, 再将的二次根式进行合并.②二次根式的乘除法:乘法：×= (a≥0,b≥0),除法: = (a≥0,b>0).③二次根式的混合运算：先乘方（或开方）, 再, 最后, 有括号时先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的, 可适当改变运算顺序进行简便运算．（二）自主复习: 学生可参考复习参考提纲进行自学.（三）互助学习:1.师助生: 明了学情；差异指导.2.生助生：相互交流、矫正错误.（四）强化:1.强调公式2a.2.强调本章的数学思想方法.第二层次学习（一）复习指导1.复习内容: 典例剖析, 考点跟踪.2.复习时间: 15分钟.3.复习要求：完成所给例题, 也可查阅资料或和其他同学研讨.4.复习参考提纲:例1 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A.21B.4C.3D.8例2 若 与|x-y-3|互为相反数, 则x+y 的值为( )A.3B.9C.12D.27 例3 计算:()().212120132012+⋅- 例4 计算: (-1)101+(π-3)0+( )-1- .已知a=3+2 , b=3-2 , 求a2b-ab2的值．例6 先化简,再求值: 6)6()3)(3(2+---+a a a a ,其中12-=a . （二）自主复习: 学生完成复习参考提纲中的例题.（三）互助学习:1.师助生: 明了学情；差异指导.2.生助生：学生自主研讨疑难之处.（四）强化:1.点两位学生口答例1.例2；点三位学生板演例3、例4、例5.2.点评其中的易错点.三、评价:1.学生学习的自我评价（围绕三维目标）.2.教师对学生的评价: （1）表现性评价；（2）纸笔评价: 课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.。
(完整)16章 二次根式全章导学案
16。
1二次根式(1)学习目标:1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式，掌握二次根式有意义的条件。
2、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a· ·预 习 案（一）复习回顾:(1）已知a x =2，那么a 是x 的_ ____；x 是a 的___ _， 记为_ ___,a 一定是__ __数。
(2）4的算术平方根为2,用式子表示为 =______；正数a 的算术平方根为_____，0的算术平方根为____；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
思考：16 ,πs,3-b 等式子.说一说他们的共同特征.定义： 一般地我们把形如a (0≥a ）叫做二次根式，a 叫做______。
“”称为 。
1、判断下列各式，哪些是二次根式在后面“√",哪些不是在后面“×”？为什么？3（ ），16-（ ）,34（ ），)0(3≥a a ( ),12+x ( ) 2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ,负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式a 中,字母a 必须满足 , a 才有意义。
3、根据算术平方根意义计算 ：（1） 2)4( = （2） = (3)2)5.0( = （4)2)31(= 根据计算结果,你能得出结论： （0≥a ）4、由公式)0()(2≥=a a a ,我们可以得到公式a =2)(a ，利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
如（5)2=5或5=(5）2.练习：(1）把下列非负数写成一个数的平方的形式：6= 0.35=合 作 探 究例1:当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？________)(2=a 42)3(练习1:x 取何值时，下列各二次根式有意义?①② ③例2：在式子xx+-121中，x 的取值范围是什么?练习2：x 取何值时,下列各二次根式有意义？① ② ③训练案1、计算： 2)3(= 2)5.0(= 2= 2= 2、二次根式1-a 中，字母a 的取值范围是（ ）A 、 a ＜lB 、a ≤1C 、a ≥1D 、a ＞1 3、已知03=+x 则x 的值为（ )A 、 x >—3B 、x 〈-3C 、x =—3D 、 x 的值不能确定4有意义,则a 的值为_______．若xx+-121有意义，x 的取值范围是________。
(完整版)16.1二次根式导学案
第十六章 二次根式16．1二次根式（ 1）（第一课时）教课目的：1、认识二次根式的看法；2、认识二次根式的基天性质；3、经过二次根式原看法和性质的研究，提升数学研究能力和归纳表达能力。
要点：二次根式的看法和基天性质难点：二次根式的基天性质的灵巧运用。
教课过程：一、复习，小组合作商讨。
1、（ 1）假如 x 24 ，那么 x ；（2）假如 x 23 ，那么 x；（ 3）假如 x 2a(a 0) ，那么 x2、什么叫做一个数的平方根？如何表示？什么是一个数的算术平方根？如何表示？3、平方根拥有哪些性质？4、（ 1） 16 的平方根是什么 ? 算术平方根是什么？（ 2） 0 的平方根是什么？算术平方根是什么？（ 3）－ 7 有没有平方根？有没有算术平方根？ 5、思虑a - a a 分别表示什么含义？二、预习导学1、自主预习新课。
2、思虑：请你凭着自己已有的知识,谈谈对二次根式a 的认识。
3、导入新课，完成思虑：（1）面积为 3 的正方形的边长为 ，面积为 S 的正方形的边长为（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为 130，则它的宽是m 。
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t （单位： s ），与开始落下时离地面的高度 h （单位： m ），满足关系式 h 5t 2 。
假如用含有 h 的式子表示 t ，则 t 为三、小组合作研究h1、式子3S 65它们有什么共同特色？52、二次根式的定义：3、二次根式有什么特色？例题 1、说一说，以下各式是二次根式吗 ?( 1 ) 3 2 , (2)6, ( 5 )x y ，( 6 )a 2( 3 ) 1 2 ,( 4 ) - m 1 ,(7)354、追踪训练：判断，以下各式中那些是二次根式？a 10 ,0.04 ,a2,5, a , 3 8.5、思虑：二次根式根号内字母的取值范围应具备什么条件？例题 2、当x是如何的实数时，以下二次根式有意义？(1) 2x 4(2) 1 3x(3) x21( 4) x3总结：求二次根式中字母的取值范围的基本依照：四、拓展训练1、当x是如何的实数时，以下二次根式有意义？2111x ( 2)2(1)(x 2)3( 4)xx 3 1 2x22、已知二次根式1a有意义 , 那 A(a,) a在第象限。
新人教版八年级数学第16章二次根式导学案(全章)
1、理解 a ² b ＝ ab （a≥0，b≥0） ， ab = a ² b （a≥0，b≥0） ，并利用它 们进行计算和化简 2、由具体数据，发现规律，导出 a ² b ＝ ab （a≥0，b≥0）并运用它进行计算； •利用逆向思维，得出 ab = a ² b （a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简． 二次根式的乘法运算和化简。 二次根式的乘法运算公式的双向使用。 学 习 过 程 备 注
1、理解二次根式的性质，能运用二次根式的性质进行二次根式的运算和化简； 2、经历探索 a 2=|a|的过程，培养分类的数学思想。
二次根式的性质及运用。 运用二次根式的性质进行二次根式的化简。 学 习 过 程 备 注
一、自主学习 感受新知 ⑴形如 ⑵ a （a≥0）是一个 ⑶( a )2＝ 二、自主交流 探究新知 【探究】 ⑴计算： ． 的式子叫做二次根式； 数；
a³ b＝
( a ≥ 0 ，b ≥ 0
)
这就是说：两个二次根式相乘，用被开方数的积作积的被开方数。 【注意】a ，b 必须都是非负数，上式才能成立。在本章中，如果没有特别说 明，所有字母都表示正数。 反过来也成立： ab ＝ 二、自主应用 巩固新知 【例 1】计算：
第7页
³
( a ≥ 0 ，b ≥ 0
1 2 7 2 ） =______； （ ） =_______； （ 0 ）2=_______． 3 2
根据以上结果，你能发现什么规律？ 【归纳】二次根式的性质： （ a ）2= 三、自主应用 巩固新知 【例 1】计算： ⑴（ （a≥0）
3 2 ） 2
⑵（3 5 ）2
⑶（
5 2 ） 6
⑷（
7 2 ） 2
1 2
6 ）2
（4） （-3
第16章二次根式全章导学案
第16章二次根式全章导学案学习目标：了解二次根式的概念，明白得二次根式有意义的条件，并会求二次根式中所含字母的取值范畴。
明白得二次根式的非负性学习重难点：二次根式有意义的条件和非负性的明白得和应用 学法指导：小组合作交流 一对一检查过关 导：看书后填空：二次根式应满足两个条件：（1）形式上必须是a 的形式。
（2）被开方数必须是 数。
判定下列格式哪些是二次根式?⑴ 3.0 ⑵ 3- ⑶ 2)21(- ⑷ ()223≥-a a⑸ 12+a ⑹ 3+a ⑺ a ⑻()02〈-x x学：代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。
（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 当x 是如何样实数时，下列各式在实数范畴内有意义？2-x ⑵x-21 ⑶13-+-x x ⑷2x ⑸3x （6）()01-a（1）常见的非负数有：a a a ,,2（2）几个非负数之和等于 0，则这几个非负数都为0. 已知：0242=-++b a ，求a,b 的值。
巩固练习：已知(),03122=-++b a 求a,b 的值2.已知053232=--+--y x y x 则y x 8-的值为 练：1.下列各式中：①52+-x ②2009 ③33 ④π ⑤22a - ⑥3+-x 其中是二次根式的有 。
2.若1213-+-x x 有意义，则x 的取值范畴是 。
3.已知122+-+-=x x y ，则=yx 4.函数x y +=2中，自变量x 的取值范畴是（）（A ） X>2 (B) X ≥2 (C) X>-2 (D) X ≥-2 5.若式子aba 1+-有意义，则P （a,b ）在第（ ）象限（A ）一 (B)二 (C)三 (D)四 6.若,011=-++b a 则=+20112011b a7.方程084=--+-m y x x ，当y>0时，m 的取值范畴是 8.已知01442=-+++-y x y y ，求xy 的值展：小组展现成果，提出质疑 评:1. 组内互助，解决质疑并进行小组评判。
第16章 二次根式 全章导学案
§16.1.1《二次根式》导学案【学习目标】1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
【学习重点】二次根式有意义的条件．【学习过程】【活动一】知识链接（5分钟）这些知识你还记得吗？（先独立完成1分钟，后同桌互查1分钟。
）1、如果对于任意数x ,有x 2 = a ，那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 是x 的______;所以a 一定是_______数。
2、如果对于一个正数x ,有x 2 = a ，那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 仍是x 的______;所以a 一定是_______数。
3、正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______； 式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；【活动二】自主交流 探究新知（25分钟）1、二次根式定义的学习：（12分钟）完成P2—思考中的内容，阅读例1以上的内容，尝试完成下面的问题：1） 思考：如何判定一个式子是否是二次根式？2）判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34，5-， ，12+x3）已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是 。
4）下列各式一定是二次根式的是（ ）A 、12+xB 、12-xC 、1--xD 、x总结：二次根式应满足的条件： 。
2、 二次根式有意义的条件的学习：（13分钟）自学课本P--2页例1后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ：1）x 取何值时，下列各二次根式有意义？①43-x ②223x +③x--212）（1）若33a a ---有意义，则a 的值为___________．（2）若 在实数范围内有意义，则x 为（ ）。
A.正数B.负数C.非负数D.非正数总结：二次根式有意义的条件是：【活动三】课内小结 (学生归纳总结) （3分钟）1．非负数a 的算术平方根a (a≥0)叫做二次根式.二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围4(0)3a a ≥x -有限制：被开方数a 必须是非负数。
最新课标RJ人教版 八年级数学 下册第二学期(导学案)第十六章 二次根式(第16章全单元 导学案)
第十六章二次根式16.1 二次根式第1课时二次根式的概念第十六章 二次根式16.1 二次根式第2课时 二次根式的性质一、学习目标：1.掌握二次根式的基本性质：（a ）2=a （a ≥0）；a a =2；2.能利用上述性质对二次根式进行化简. 二、学习重点、难点重点：二次根式的性质（a ）2=a （a ≥0）；a a =2．难点：综合运用性质对二次根式进行化简和计算。
三、学习过程（一）自学导航（课前预习）（1）什么是二次根式，它有哪些性质？ （2）二次根式52-x 有意义，则x 。
（3）在实数范围内因式分解：-=-226x x ( )2=（x + ）(y - ) （二）合作交流（小组互助） 1、计算(1) 2)4(= (2)()=23（3）2)5.0( = （4）2)31(= 根据计算结果，能得出结论： （0≥a ） 2.计算：（1）=24 =22.0 =2)54(=220 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a ﹥0时，=2a（2） =-2)4( =-2)2.0( =-2)54( =-2)20(观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a<0时，=2a （3）=20 得到：当a=0时，=2a________)(2=a3.归纳总结将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的非常重要的性质： 性质一：（a ）2=a （a ≥0）；性质二：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0a a 0a 00a a 2a a 4. （1）阅读课本思考：什么是代数式？我们前面还学过那些代数式吗？（2）思考、讨论：二次根式的性质)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系。
四.精讲点评利用a a =2可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“a ”的取值。
五.当堂达标1、化简下列各式（1）（5.1）2 （2）（52）2（3）22)33()10(-+--计算：（4）)0(42≥x x (5)4x2、化简下列各式 （1）)3()3(2≥-a a （2）()232+x （x ＜-2）六.拓展延伸（1）a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2)(____________.(2) 把(2-x)21-x 的根号外的（2-x ）适当变形后移入根号内，得（ ） A 、x -2 B 、2-x C 、x --2 D 、2--x(3) 已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x七.教后反思16.2 二次根式的乘除第1课时 二次根式的乘法一、学习目标a ≥0，b ≥0）（a ≥0，b ≥0），并利用它们进行计算和化简二、学习重点、难点重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
人教版八年级下册数学第16章二次根式导学案
目录16.1 二次根式⑴................................................................................................................................... - 2 -16.1 二次根式⑵.................................................................................................................................... - 4 -16.2.1 二次根式的乘法......................................................................................................................... - 6 -16.2.2 二次根式的除法......................................................................................................................... - 8 -16.2.3 最简二次根式........................................................................................................................... - 10 -16.3.1 二次根式的加减法................................................................................................................... - 12 -16.3.2 二次根式的混合运算............................................................................................................... - 14 -第16章《二次根式》复习............................................................................................................... - 16 -16.1 二次根式⑴学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
人教版八下第16章二次根式全章导学案
(A) X>2(B) X> 2 (C) X>-2 (D) X第十六章二次根式全章导学案16.1二次根式第一课时二次根式的概念学习目标：了解二次根式的概念，理解二次根式有意义的条件，并会求二次根式中所含字母的取值范围。
理解二次根式的非负性学习重难点：二次根式有意义的条件和非负性的理解和应用 学法指导：小组合作交流 一对一检查过关导：(1)形式上必须是a 的形式。
(2)被开方数必须是 数。
(-2)2当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义?J x — 2⑵，1⑶ J 3 - x + J x —1 ⑷ J X 2J 2 —x(1)常见的非负数有：a 2,a,ja(2) 几个非负数之和等于 0,则这几个非负数都为 0.已知：2a • 4 • ..b - 2 =0，求 a,b 的值。
巩固练习：已知2a b -32=0,求a,b 的值2. ___________________________________________________ 已知 Jx-2y -3 + 2x-3y -5 = 0 则Jx_8y 的值为 _________________________________________________练：1.下列各式中：①- x 25 ②，2009③33 ④二 ⑤- 2 a 2⑥、- x 3其中是二次根式的有 ___________ 。
--- 12. ---------------------------- 若•. 3 - X 有意义，则x 的取值范围是I2x —13.已知 y - 2 •・、2 - x • 1，则 £ 二 _________4.函数目二、2 x 中，自变量x 的取值范围是()看书后填空：二次根式应满足两个条件: 判断下列格式哪些是二次根式 ？⑸ a 21⑹a 3学：代数式有意义应考虑以下三个方面：指数幕、负整数指数幕的底数不能为 ⑺a⑻..一 2x x 0(1)二次根式的被开方数为非负数。
八年级数学第十六章_二次根式导学案(全章)
第十六章 二次根式导学案二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。
三、学习过程 （一）复习回顾：（1）已知a x =2，那么a 是x 的______;x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
（二）自主学习(1)16的平方根是 ；(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式25t h =。
如果用含h 的式子表示t ，则t = ； (3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。
思考：16，5h，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做_____________。
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。
3、根据算术平方根意义计算 ：(1) 2)4( (2)（3）2)5.0( （4）2)31( 根据计算结果，你能得出结论：，其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
最新课标RJ人教版 八年级数学 下册第二学期(导学案)第十六章 二次根式(第16章全单元 导学案)
第十六章二次根式图①图②倍，面积为6m2，则它的宽为_____m．【变式题】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？方法总结:被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.1.下列各式:)1x≥一定是二次根式的个数有( )A.3个B.4个C.5个D.6个2.(1)x的取值范围是___________;(2)若式子12x+-在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________.探究点2：二次根式的双重非负性问题1：当x问题2：a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？要点归纳：二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a____0；例3 若22(4)0a c-+-=，求a-b+c的值.方法总结:多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.例4 已知y8+,求3x+2y的算术平方根.【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足4 b=，求此三角形的周长．已知|3x-y-1|和x+4y的平方根．1.下列式子中，不属于二次根式的是（）A.B.2.（）A.x＞2B.x≥2C.x＜2D.x≤23.当x=____取最小值，其最小值为______．第十六章二次根式要点归纳：2a =(a ____0),即一个非负数的算术平方根的平方等于_________.例1(教材P3例2变式题)计算：22(1);(2).⎛ ⎝例2 在实数范围内分解因式：242(1)3;(2)4 4.x y y --+计算：22(1)()(2)(). ；探究点2议一议:下面根据算术平方根的意义填空，你有什么发现？1.计算：=24 ;=22.0 ;=2)54( ; =220 .观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=>2,0a a 时 .2.计算：=-2)4( ;=-2)2.0( ;=-2)54( ;=-2)20( .观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<2,0a a 时 . 3.计算：=20 ;当==2,0a a 时 .探究点3：代数式的定义列代数式的要点：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运算如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为负数的算术平0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：第十六章二次根式.)0b.,≥..相乘..k a b k⋅⋅=⋅⋅⋅⋅（例2 计算:(273.⎛⎝(n b mn=例3 比较大小(一题多解):533与；(2)3 6.--方法总结:比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.1.( )B.4 D.22.下面计算结果正确的是( )A.=B. =C. =D.=3.=_________.探究点2：积的算术平方根的性质一般的()0,0≥≥=⋅baabba()______0,0_a b=吵要点归纳：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.例4 (教材P7例2变式题)化简：（12()00x y ,≥≥ ．方法总结: 当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或完全平方的积的形式，此时运用乘法公式可以简化运算. 1. 计算：2.下面是意大利艺术家列奥纳多·达·芬奇所创作世界名画，，求出它的面积.a bc n abc ⋅⋅⋅=()m a n b mn =A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x为一切实数2.下列运算正确的是（）A.532-=(2)(4)8=-⨯-=5315=⨯= 3.计算：(1)⨯______ ；(2)⨯_______ ;(3)_____.=4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：12（）--第十六章二次根式...探究点3：最简二次根式思考前面我们学习了二次根式的除法法则，你会去掉这样的式子分母的根号吗？要点归纳：（1）把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.（2）我们把满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.例3 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．探究点4：二次根式除法的应用例4 (教材P9例7变式题)高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡．据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式t 从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间t1的多少倍？1.的结果是（）A．9 B．3 C．D．2.下列根式中，最简二次根式是（）A B C D3.=k取值范围是（）A.k≥1B.k≥2C. 1＜k≤2D. 1≤k≤24.化下列各式的计算中，结果为52的是（）A.210÷ B.52⨯ C.40121÷ D.58⨯5. 化简：6.在物理学中有公式W=I2Rt，其中W表示电功(单位：焦耳)，I表示电流(单位：安培)，R表示电阻(单位：欧姆)，t表示时间(单位：秒)，如果已知W、R、t，求I，则有I=若W=2400焦耳，R=100欧姆，t=15秒．试求电流I．刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正a和a-3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？第十六章 二次根式..观察下图并思考：(1)由左图，易得2a +3a = ； (2)当a =2时，分别代入左、右得2_23+；(3)当a =3时，分别代入左、右得233+；......的值？结果能进行化简吗？(式)相加，根指数例1 若最简根式2.方法总结:确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，指数都为2列关于待定字母的方程求解即可.【变式题】可以合并，义，求x的取值范围.1.）2.m=_____.3.________(填序号）.②探究点2：二次根式的加减及其应用思考现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？问题1 怎样列式求两个正方形边长的和?问题2 所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能,把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算的依据）.要点归纳：二次根式的加减法法则:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.加减法的运算步骤：(1)化——将非最简二次根式的二次根式化简；(2)找——找出被开方数相同的二次根式；(3)并——把被开方数相同的二次根式合并.例2 (教材P13例2变式题)计算：(;例3 已知a ,b,c 满足(20a c -=.(1)求a ,b ,c 的值；(2)以a ,b ,c 为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.分析：(1)若几个非负数的和为零，则这几个非负数必须为零；(2)根据三角形的三边关系来判断.【变式题】有一个等腰三角形的两边长分别为.2= B. =C.= =1.中，与能进行合并的是（）A B.C D2.下列运算中错误的是（）A. B. C. 2 D.23（=3.则这个三角形的周长为________.4.计算:______；_________(2)；b，求(2*3)－(27*32)的值．第十六章二次根式例2 甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，其中有一段路基的横断面设计为上底宽，下底宽的梯形，这段路基长500 m，那么这段路基的土石方(即路基的体积,其中路基的体积=路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？计算：(1 2 1⎝()；() .探究点2：利用乘法公式进行二次根式的运算问题1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些?问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗?例3(教材P14例4变式题)计算：212)；((2);⨯方法总结:进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算.【变式题】计算：20182018133;（）（）（）⨯201720192222.（）（（+-⨯计算：())))2(1)1(2).；探究点3：求代数式的值a nb 的式子，构1.下列计算中正确的是（）3=1=-2=2.计算2.-=3.设,310,3101-=+=ba则a b(填“>”“< ”或“=”）.4.计算：。
第16章 二次根式导学案
16.1二次根式的概念,意义及性质学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a ≥0（a ≥0）和)0()(2≥=a a a （a ≥0） 基础知识1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a （a ≥0），12+x 2、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 ,a 才有意义。
3、根据算术平方根意义计算 ：(1) 2)4( =(2) = （3）2)5.0(= （4）2)31(= 根据计算结果，你能得出结论： ，其中（a ≥0）,4、由公式)0()(2≥=a a a （a ≥0），我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2.练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：6 0.35 (2)在实数范围内因式分解72-x 4a 2-115、x 取何值时，下列各二次根式有意义？①43-x ③________)(2=a 2)3(x--216、（1有意义，则a 的值为___________． （2）若在实数范围内有意义，则x 为（ ）。
A.负数 C.非负数 D.非正数 7、(1)在式子xx +-121中，x 的取值范围是____________.(2)已知42-x +y x +2＝0，则=-y x _____________. (3)已知233--+-=x x y ,则x y = _____________。
8、若0112=-+-y x ，那么x = ，y = 。
9、当x = 时，代数式有最小值，其最小值是 。
10、在实数范围内因式分解：（1）-=-229x x ( )2=（x + ）(y - )（2）-=-223x x ( )2=（x + ）(y - ) 巩固练习1、一个数的算术平方根是a ，比这个数大3的数为（ ） A 、3+a B 、3-a C 、3+a D 、32+a 2、二次根式1-a 中，字母a 的取值范围是（ ） A 、 a ＜l B 、a ≤1 C 、a ≥1 D 、a ＞1 2、已知03=+x 则x 的值为A 、 x >-3B 、x <-3C 、x =-3D 、 x 的值不能确定 3、下列计算中，不正确的是 （ ）。
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16。
1二次根式(1）学习目标:1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式，掌握二次根式有意义的条件.2、掌握二次根式的基本性质:)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a· ·预 习 案（一）复习回顾：（1）已知a x =2，那么a 是x 的_ ____;x 是a 的___ _, 记为_ ___，a 一定是__ __数。
(2）4的算术平方根为2，用式子表示为=______；正数a 的算术平方根为_____, 0的算术平方根为____；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
思考：16 ，πs，3-b 等式子.说一说他们的共同特征.定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做______.“”称为 。
1、判断下列各式,哪些是二次根式在后面“√"，哪些不是在后面“×”？为什么？3（ ）,16-（ )，34（ ） )，)0(3≥a a （ ），12+x ( ）2、当a 为正数时a 指a 的 ,而0的算术平方根是 ,负数 ,只有非负数a 才有算术平方根.所以,在二次根式a 中,字母a 必须满足 ， a 才有意义。
3、根据算术平方根意义计算 :(1） 2)4( = （2) = (3）2)5.0( = （4）2)31(= 根据计算结果，你能得出结论： （0≥a )4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ，利用此公式可以把任意一个________)(2=a 42)3(非负数写成一个数的平方的形式。
如(5)2=5或5=(5)2。
练习：（1）把下列非负数写成一个数的平方的形式:6= 0.35=合 作 探 究例1:当x 是怎样的实数时,2-x 在实数范围内有意义？练习1:x 取何值时,下列各二次根式有意义？①② ③例2：在式子xx+-121中，x 的取值范围是什么?练习2：x 取何值时，下列各二次根式有意义?① ② ③训练案1、计算： 2)3(= 2)5.0(= 2= 2= 2、二次根式1-a 中，字母a 的取值范围是（ ）A 、 a ＜lB 、a ≤1C 、a ≥1D 、a ＞1 3、已知03=+x 则x 的值为( ）A 、 x 〉—3B 、x 〈-3C 、x =—3D 、 x 的值不能确定x--214有意义，则a 的值为_______．若xx+-121有意义，x 的取值范围是________.5、当x = 时，代数式,其最小值是 。
6、在实数范围内因式分解:(1）-=-229x x （ ）2=(x + ）（y - )（2)-=-223x x ( )2=(x + ）（y — )16。
2二次根式的性质学习目标 ：1、掌握二次根式的基本性质：a a =2 ，能利用上述性质对二次根式进行化简.预习案一、复习引入：1、定义： 一般地我们把形如a (0≥a ）叫 ，a 叫做______。
“”称为 .2、二次根式52-x 有意义,则x = . 3、在实数范围内因式分解：-=-226x x ( ）2=（x + ）(y — ） （二)自主学习1、计算：=24= =220观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=>2,0a a 时2、计算：-2)4(=观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到:当=<2,0a a 时 3、计算:=20 当==2,0a a 时归纳总结0000a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩练习1、化简下列各式:（1）、=23.0 （2)、=-2)5.0( （3)、=-2)6( （4）、()22a = （0<a ） 4、讨论二次根式的性质)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系。
练习2：化简：(1= (2） 0)x=(3）2)4(-π= （4）)3()3(2≥-a a =注：利用a a =2可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“a ”的取值。
探究案例1：化简：（1）()232+x (x ＜-2） (2）若0＜x ＜1,化简：4)1(2+-xx －4)1(2-+x x（3）(22（x ＞0，y ＞0) （4）a 、b 、c 为三角形的边，则化简b ac --练习3：2)12(-x —2)32(-x )2(≥x 练习4：若2＜x ＜3，化简:3)2(2-+-x x例2：5、已知42-x +y x +2＝0，求x y -的值练习5：若2140x y -+-=，求 3212xy ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭的值。
训练案1、把()212--x x 的根号外的()x -2适当变形后移入根号内，得（ ） A 、x -2B 、2-x C 、x --2 D 、2--x 2、已知实数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：16.2二次根式的乘法学习目标：理解a b ab a ≥0，b ≥0)ab a b （a ≥0，b ≥0)，并利用其进行计算化简预习案（一)复习引入（149=__ __,49⨯49_ _49⨯ （21625=____1625⨯；1625_ _1625⨯（二）、探索新知交流总结规律：一般地,对二次根式的乘法规定为乘法法则： a ·b ＝ab ．(a ≥0，b ≥0 积的算术平方根： ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）练习1:57 = （2139= （3x yz = （427443= ba（5= （6= （7= （8）9×27=探 究 案例1（1）×（22()y y x-练习1：计算: ①55×215 3zy x③312a ·231ay例2、化简（逆用乘法法则（1 = （ = （3） =练习2:化简= = = = =总结:1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。
2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数进行因数或因式分解. （2）分解后把能开尽方的开出来。
例3、 判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2训 练 案1、等式1112-=-•+x x x 成立的条件是( ）A ．x ≥1B ．x ≥—1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-1 2、二次根式6)2(2⨯-的计算结果是（ ） A ．26 B ．-26 C ．6 D ．12 3、若04144222=+-++++-c c b b a ,则c a b ••2=（ ) A ．4 B ．2 C ．-2 D ．1 2、化简：（1）360= （2= (3= （4= （5）432x =3、计算：（1）3018⨯； (2）7523⨯； （3)68×（-26）； （4；4、不改变式子的值,把根号外的非负因式适当变形后移入根号内. （1） -332 (2） aa 212-16.4二次根式的除法学习目标：掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
能熟练进行二次根式的除法运算及化简。
预习案(一）复习回顾1二次根式的乘法法则: 积的算术平方根的性质:2、计算: (1）38×（—46） (2）3612ab ab ⨯3、填空： （1规律：（2=____；；一般地，对二次根式的除法规定练习1、计算：（1= （2= （ = (4=探究案问题:对于二次根式运算的结果有什么要求? 最简二次根式(化简二次根式的要求）：1．被开方数中不含能 因数或因式（如== ，== )2。
分母中不含有根式（由2aa a ==与(0)b bc bcca a c ac ==≠，则==）（注：分子分母同时乘以 的= = )3.根号内不能是 数或 式(如：= = = == = = = ）练习2:化简：（1） = (2) = （3）= （4)208=例1：化简：(1 （30,0)m n（4练习3：化简 (1）2 (2)xx 823 （ （例2:计算（（2） （3练习4：计算（1(2）( （3)521312321⨯÷（4）2147431⨯÷(5） 21541)74181(2133÷-⨯（6）ab b a ab b 3)23(235÷-•(a 〉0,b 〉0）总结：1、灵活变形，大小根号可以互换. 2、除法变成 （除数变成 )3、带分数要变成 (注意带分数与分数与根式乘法的区别）4、注意结果符号(同号得 ，异号得 .）16.5二次根式的加减学案学习目标：理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式,理解和掌握二次根式加减的方法． 预习案（一）、复习引入1、计算．（1）x x 32+；（2）222532x x x +-；（3）y x x 32++;（4）22223a a a +-（二）计算下列各式．（1） = （2） = (3 =二次根式的被开方数相同也是可以合并，如表面上看不相同，但它们也可以合并（与同类项类似把33与32-， a 2-与a 4称为同类二次根式（化简之后，被开方数 ）练习1;中,（ ）．A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④练习2．若最简二次根式123+x 与13-x 是同类二次根式，则x ＝______．+ = 3+ =所以，二次根式加减时,先将二次根式化成 ，•再将同类二次根式进行 ．探究案例1．计算 （2）—（3)+)+）归纳: 将不是最简二次根式的项化为 二次根式；将 的最简二次根式进行 ．练习3：计算（1） )27131(12-- (2） )512()2048(-++（3) yy x y x x1241+-+ （4）)461(9322x x x x x x --例2．已知4x 2+y 2—4x-6y+10=0,求（23+y -（x )的值．练习4.先化简，再求值．)364()36(3xy yx x xy y x y x +-+，其中x =32,y =27．训练案1．下列：①17=1,其中错误有（ ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个2．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ )(A ）3和18 （B ）3和31 （C ）b a 2和2ab (D ）1+a 和1-aA ．5252=+ B.15354=- C 。