2016辽宁经济职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解析)

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2016辽宁经济职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解
析)
一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知a＞b＞0，全集为R，集合，，
，则有（）
A．（）B．（）C．
D．
2．已知实数a，b均不为零，，且，则等于（）
A．B．C．D．
3．已知函数的图像关于点（-1，0）对称，且当（0，＋∞）时，，则当（-∞，-2）时的解析式为（）
A．B．C．D．
4．已知是第三象限角，，且，则等于（）A．B．C．D．
5．（理）已知抛物线上两个动点B、C和点A（1，2）且∠BAC＝90°，则动直线BC必过定点（）
A．（2，5）B．（-2，5）C．（5，-2）D．（5，2）
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（文）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，、，两点，若，则等于（）
A．4p B．5p C．6p D．8p
6．设a，b，c是空间三条直线，，是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）
A．当c⊥时，若c⊥，则∥
B．当时，若b⊥，则
C．当，且c是a在内的射影时，若b⊥c，则a⊥b
D．当，且时，若c∥，则b∥c
7．两个非零向量a，b互相垂直，给出下列各式：
①a·b＝0；②a＋b＝a-b；③|a＋b|＝|a-b|；④|a|＋|b|＝a＋b；⑤（a＋b）·（a-b）＝0．
其中正确的式子有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
8．已知数列的前n项和为，，现从前m项：，
，…，中抽出一项（不是，也不是），余下各项的算术平均数为37，则抽出的是（）
A．第6项B．第8项C．第12项D．第15项
9．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为、，点A在双曲线第
一象限的图象上，若△的面积为1，且，，则双曲线方程为（）
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A．B．C．
D．
10．在正三棱锥A-BCD中，E，F分别是AB，BC的中点，EF⊥DE，且BC＝1，则正三棱锥A-BCD的体积等于（）
A．B．C．D．
11．（理）某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（）
A．种B．种C．种D．种
（文）某师范大学的2名男生和4名女生被分配到两所中学作实习教师，每所中学分配1名男生和2名女生，则不同的分配方法有（）
A．6种B．8种C．12种D．16种
12．已知是定义在R上的偶函数，且对任意，都有
，当[4，6]时，，则函数在区间[-2，0]上的反函数的值为（）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上
13．（理）已知复数，，则复数的虚部等于
________．
（文）从某社区150户高收入家庭，360户中等收入家庭，90户低收入家庭中，用分层抽样法选出100户调查社会购买力的某项指标，则三种家庭应分别抽取的户数依次为________．
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14．若实数a，b均不为零，且，则展开式中的常数项等于________．
15．代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A码头南偏东60°的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米／时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A码头从受到台风影响到影响结束，将持续多少小时________．
16．给出下列4个命题：
①函数是奇函数的充要条件是m＝0：
②若函数的定义域是，则；
③若，则（其中）；
④圆：上任意点M关于直线的对称点，
也在该圆上．
填上所有正确命题的序号是________．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知二次函数对任意，都有成立，
设向量（sin x，2），（2sin x，），（cos2x，1），（1，2），当[0，]时，求不等式f（）＞f（）的解集．
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18．（12分）（理）甲、乙队进行篮球总决赛，比赛规则为：七场四胜制，即甲或乙队，谁先累计获胜四场比赛时，该队就是总决赛的冠军，若在每场比赛中，甲队获胜的概率均为0.6，每场比赛必须分出胜负，且每场比赛的胜或负不影响下一场比赛的胜或负．
（1）求甲队在第五场比赛后获得冠军的概率；
（2）求甲队获得冠军的概率；
（文）有甲、乙两只口袋，甲袋装有4个白球2个黑球，乙袋装有3个白球和4个黑球，若从甲、乙两袋中各任取出两球后并交换放入袋中．
（1）求甲袋内恰好有2个白球的概率；
（2）求甲袋内恰好有4个白球的概率；
注意：考生在（19甲）、（19乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（19甲）计分．
19甲．（12分）如图，正三棱锥P-ABC，PA＝4，AB＝2，D为BC中点，点E在AP 上，满足AE＝3EP．
（1）建立适当坐标系，写出A、B、D、E四点的坐标；
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（2）求异面直线AD与BE所成的角．
19乙．（12分）如图，长方体中，，，M是AD中点，N是中点．
（1）求证：、M、C、N四点共面；
（2）求证：；
（3）求证：平面⊥平面；
（4）求与平面所成的角．
20．（12分）已知函数．
（1）若在[1，＋∞上是增函数，求实数a的取值范围；
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（2）若x＝3是的极值点，求在[1，a]上的最小值和最大值．
21．（12分）已知椭圆方程为，射线（x≥0）与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）．
（1）求证直线AB的斜率为定值；
（2）求△面积的最大值．
22．（14分）已知等差数列的首项为a，公差为b；等比数列的首项为b，公比为a，其中a，，且．
（1）求a的值；
（2）若对于任意，总存在，使，求b的值；
（3）在（2）中，记是所有中满足，的项从小到大依次组成的数列，又记为的前n项和，的前n项和，求证：≥．
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参考答案
1．A2．B3．B4．D5．（理）C（文）A6．B7．A8．B9．A
10．B11．（理）A（文）C12．B13．（理）（文）25，60，15
14．-672 15．2.5小时16．①，④
17．解析：设f（x）的二次项系数为m，其图象上两点为（1-x，）、B（1＋x，）因为，，所以，由x的任意性得f （x）的图象关于直线x＝1对称，若m＞0，则x≥1时，f（x）是增函数，若m＜0，则x≥1时，f（x）是减函数．
∵，，，，，，
∴当时，
，．
∵，∴．
当时，同理可得或．
综上：的解集是当时，为；
当时，为，或．
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18．解析：（理）（1）设甲队在第五场比赛后获得冠军为事件M，则第五场比赛甲队获胜，前四场比赛甲队获胜三场
依题意得．
（2）设甲队获得冠军为事件E，则E包含第四、第五、第六、第七场获得冠军四种情况，且它们被彼此互斥．
∴．（文）设甲袋内恰好有4个白球为事件B，则B包含三种情况．
①甲袋中取2个白球，且乙袋中取2个白球，②甲袋中取1个白球，1个黑球，且乙袋中取1个白球，1个黑球，③甲、乙两袋中各取2个黑球．
∴．
19．解析：（甲）（1）建立如图坐标系：O为△ABC的重心，直线OP为z轴，AD为y轴，x轴平行于CB，
得A（0，，0）、B（1，，0）、D（0，，0）、E（0，，）．
（2），，，，，
设AD与BE所成的角为，则．
∴．
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（乙）（1）取中点E，连结ME、，
∴，MC EC．∴MC．∴，M，C，N四点共面．
（2）连结BD，则BD是在平面ABCD内的射影．
∵，∴Rt△CDM～Rt△BCD，∠DCM=∠CBD．
∴∠CBD+∠BCM=90°．∴MC⊥BD．∴．
（3）连结，由是正方形，知⊥．
∵⊥MC，∴⊥平面．
∴平面⊥平面．
（4）∠是与平面所成的角且等于45°．
20．解析：（1）．
∵x≥1．∴，
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当x≥1时，是增函数，其最小值为．
∴a＜0（a＝0时也符合题意）．∴a≤0．
（2），即27-6a-3＝0，∴a＝4．
∴有极大值点，极小值点．
此时f（x）在，上时减函数，在，＋上是增函数．
∴f（x）在，上的最小值是，最大值是，（因
）．
21．解析：（1）∵斜率k存在，不妨设k＞0，求出M（，2）．直线MA方程为，直线MB方程为．
分别与椭圆方程联立，可解出，．∴．∴（定值）．
（2）设直线AB方程为，与联立，消去y得
．
由 ＞0得-4＜m＜4，且m≠0，点M到AB的距离为．
设△AMB的面积为S．∴．
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当时，得．
22．解析：（1）∵，a，，
∴∴∴
∴．
∴a＝2或a＝3（a＝3时不合题意，舍去）．∴a＝2．
（2），，由可得
．∴．
∴b＝5
（3）由（2）知，，∴．∴．∴，．
∵，．
当n≥3时，
．
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∴．综上得．。