高考数学一轮复习 12.3不等式选讲课件

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3.若不等式|x+1|+|x-3|≥a+ 4 (a≠0)对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范
a
围是
.
答案 (-∞,0)∪{2}
解析
当a<0时,满足题意;当a>0时,∵|x+1|+|x-3|的最小值为4,∴a+
4 a
≤4.
∴a=2.综上可知a∈(-∞,0)∪{2}.
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4.不等式|x-1|+|2x+1|>1的解集是
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c,然后根据a、b的值解出即可. b.c<0,则|ax+b|≤c的解集为⌀;|ax+b|≥c的解集为R. (2)|x-a|+|x-b|≥c、|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法 a.令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根. b.把这些根由小到大排序,它们把数轴分为若干个区间. c.在所分的各区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,求所得的各不 等式在相应区间上的解集. d.这些解集的并集就是原不等式的解集. 8.不等式证明的常用方法 (1)比较法;
abc
a
b
c
b a
+a
b
+
c a
≥ac 3+2bc+2 +bc2=9
当且仅当a=b=c=
时等号成1 立
3
,故
选C.
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2.若|a-c|<|b|,则下列不等式中正确的是 ( ) A.a<b+c B.a>c-b C.|a|<|b|+|c| D.|a|>|b|-|c|
答案 C 取a=1,b=-2,c=0,选项A、B、D均不成立,故选C.
课标版 理数 § 12.3 不等式选讲
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知识梳理
1.两实数大小比较的三种情况 设a、b为两个实数,它们在数轴上的点分别记为A、B.如果A落在B的右 边,则称a大于b,记为a>b;如果A落在B的左边,则称a小于b,记为a<b;如果A 与B重合,则称a与b相等,记为a=b. 2.不等式的基本性质 (1)对称性:a>b⇔b<a. (2)传递性:a>b,b>c⇒a>c.
或 2(x或x1)1,(x2) 5
x2, (x1)(x2)5,
解得x≥2或x≤-3.
故原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.
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(2)原不等式可转化为-1≤|x-2|-1≤1,故0≤|x-2|≤2,解得0≤x≤4,故所求不 等式的解集为[0,4].
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形如|x-a|+|x-b|>c(或<c)(c>0)型的不等式主要有三种解法: 1.零点分段讨论法:含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分 类讨论法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等 式(组),一般步骤是: (1)令每个绝对值符号里的代数式为零,并求出相应的根; (2)将这些根按从小到大排序,它们把实数集分为若干个区间; (3)在所分的各区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,求所得的各不等 式在相应区间上的解集. (4)这些解集的并集就是原不等式的解集.
5.排序不等式
=a 1 a=2
b1 b2
设0≤a1≤a2≤…≤an,0≤b1≤b2≤…≤bn,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排
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列, 则有:a1b1+a2b2+…+anbn≥a1c1+a2c2+…+ancn≥a1bn+a2bn-1+…+anb1,即顺序和 ≥乱序和≥逆序和. 6.绝对值三角不等式 定理1:若a、b为实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当④ ab≥0 时,等号成立. 定理2:设a、b、c为实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|, 等号成立⇔⑤ (a-b)(b-c)≥0 . 7.绝对值不等式的解法 (1)|ax+b|≤c、|ax+b|≥c型不等式的解法: a.c>0,则|ax+b|≤c可化为-c≤ax+b≤c;|ax+b|≥c可化为ax+b≥c或ax+b≤-
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典例题组
含绝对值的不等式的解法
典例1 (1)(2014广东,9,5分)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为
.
(2)(2013江西,15(2),5分)在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为
.
答案 (1){x|x≤-3或x≥2} (2)[0,4]
x 1,
解析 (1)原不等式等价于 (x1)(x2)5
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(3)a>b⇒a+c>b+c. (4)a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc. (5)a>b>0⇒an>bn,其中n为正整数,且n≥2. (6)a>b>0⇒ n >a ,n 其b 中n为正整数,且n≥2. (7)a>b,c>d⇒a+c>b+d. (8)a>b>0,c>d>0⇒ac>bd.
a1 ≥a2 n, 当且an仅当naa11=aa2 2=…an =an时,等号成立. 4.柯西不等式
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二维形式的柯西不等式:设a1、a2、b1、b2均为实数,则( + )( + )≥(a1
b1+a2b2)2,其中等号成立⇔a1b2=a2b1. 柯西不等式的向量形式:设α、β为两个向量,则|α||β|≥|α·βa |1.2 当a且22 仅b 1 2当bβ22是
零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
柯西不等式的一般形式:设a1、a2、…、an、b1、b2、…、bn为实数,则(
a
2 1
+a
2 +…+
2
a
)2 (
n
b
+2
1
b+22 …+
)b≥n2 (a1b1+a2b2+…+anbn)2,其中等号成立⇔
…= a n 或bj=0( j=1,2,…,n).
bn
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3.重要不等式
(1)设a、b∈R,则a2+b2≥2ab.当且仅当① a=b 时,等号成立.
(2)基本不等式:如果a、b为正数,则 a ≥b ,当且a b 仅当② a=b 时,等
2
号成立.
(3)三个正数的算术-几何平均不等式:如果a、b、c为正数,则 a≥ b c
3
3 a,b当c 且仅当③ a=b=c 时,等号成立. (4)一般形式的算术-几何平均不等式:如果a1、a2、…、an为n个正数,则
.
答案 R
解析
原不等式等价于
x
1
或2
,
3 x 1
或
1 2
x
x 1, x
2 解 1得x≤-3
x
1,
或1 , -
1
<x< 2
1 2
1或x≥1,所以原不等式的解集为R.
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5.若不等式 x >1 |a-2|+1对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是
x
.
答案 1<a<3 解析 ∵ x 的1x 最小值为2,∴|a-2|+1<2,∴1<a<3.
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(2)综合法; (3)分析法; (4)反证法; (5)放缩法; (6)数学归纳法; (7)换元法; (8)导数与积分法; (9)构造法.
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1.已知a、b、c是正实数,且a+b+c=1,则 1 +1 1 + 的最小值为 ( )
abc
A.3 B.6 C.9 D.12
答案 C 把a+b+c=1代入 1+ 1 +1 得到a b + c +a b=3c+ a b c