浅析构造法在解题中的应用
构造法在高中数学解题中的应用方法
构造法在高中数学解题中的应用方法一、引言高中数学是学生的重要学科之一，也是学生学习数理知识的基础。
在高中数学学习中，构造法是一种重要的解题方法，它可以帮助学生解决许多数学问题。
构造法是通过构造一些特定的对象或图形，从而找到问题的解决方法。
在高中数学解题中，构造法的应用方法非常丰富，可以帮助学生更好地理解和解决数学问题。
本文将介绍构造法在高中数学解题中的应用方法，以及一些常见的例题解析。
1. 定义法在解决高中数学问题中，构造法的一个重要应用方法是定性定义法。
通过定义一些特定的概念或对象，可以帮助学生更好地理解问题的本质，并找到解决问题的方法。
在解决平面几何问题时，可以通过定义某些特定的角度、线段或图形来简化问题，从而更容易找到解决方法。
2. 图形构造法3. 数学模型构造法4. 逻辑推理构造法5. 等价转化构造法三、构造法在高中数学解题中的实例分析1. 例题一已知正方体的一条对角线长为a，求其表面积和体积。
解析：通过构造正方体的一个侧面，可以将问题转化为求正方体的一个侧面的面积和一个侧面的体积。
然后通过等价转化构造法，可以将问题转化为求正方体的一个侧面的面积和一个侧面的体积。
然后通过数学模型构造法，可以构造一个函数模型，通过求导数的方法，可以求出正方体的一个侧面的面积和一个侧面的体积。
最后通过逻辑推理构造法，可以得出正方体的表面积和体积的表达式。
已知直角三角形ABC，AB=3，BC=4，求AC的长度。
解析：通过构造直角三角形ABC的三条边，可以得到等边三角形ABC。
然后通过图形构造法，可以求得等边三角形ABC的高和底边，并得到等边三角形ABC。
通过等价转化构造法，可以将问题转化为求等边三角形ABC的高和底边。
然后通过逻辑推理构造法，可以得出等边三角形ABC的高和底边的表达式。
最后通过数学模型构造法，可以构造一个函数模型，通过求导数的方法，可以求出等边三角形ABC的高和底边的值，从而求得AC的长度。
四、总结在学习高中数学过程中，学校应该更加重视构造法的教学，培养学生的数学思维和解题能力，提高他们解决数学问题的效率和准确性。
数学系毕业论文浅谈构造法在高中数学解题中的应用
浅谈构造法在高中数学解题中的应用摘要构造法就是根据题设条件和结论所具有的特征和性质，构造出一些新的满足条件或结论的数学形式，并借助它来认识与解决原数学问题的一种思想方法.构造法作为一种重要的数学思想方法，在数学产生时就存在,历史上有不少数学家都曾用构造法解决过数学上的很多难题.另外,构造法在中学数学教学中有着十分重要的地位，特别是在高中数学教学中，合理地运用构造法可以更快捷、更简单的解决比较复杂的数学问题，提高解题效率,同时也能够提高学生的思维能力、培养学生的创新意识.可见构造法对于数学理论的研究,发展和数学问题的解决都具有重要的意义，尤其在中学数学教学中，构造法的研究和学习显得非常重要。
本文主要分成两个部分：第一部分主要是对构造法的概念、历史、特征、常用到的思想方法和类型、优点、注意事项作出简单的介绍；第二部分是从构造向量、函数、数列、方程、几何模型、复数、等价命题这些在高中数学中常见的构造出发，通过举例分析来探讨分析构造法在高中数学中的应用.关键词解题构造法应用高中数学目录1.引言 (2)2.构造法概述 (2)2.1构造法 (2)2.2构造法的历史 (2)2.3构造法的特征 (3)2.4构造法中常用到的思想方法 (3)2.5构造法中常用到的类型 (3)2.6构造法的优点 (4)2.7构造法的注意事项 (4)3.构造法在解题中的应用 (5)3.1构造向量 (5)3.2构造函数 (6)3.3构造数列 (6)3.4构造方程 (8)3.5构造几何模型 (9)3.6构造复数 (10)3.7构造等价命题 (11)4.结束语 (12)致谢 (13)参考文献 (14)浅谈构造法在高中数学解题中的应用摘要构造法作为一种数学思想方法，在高中数学教学中有着重要的地位，利用构造法可以更快捷、更简单的解决比较复杂的数学问题，在解题中被广泛运用.鉴于此，本文主要对构造法作了简单的介绍，并从构造向量、函数、数列、方程、几何模型、复数、等价命题这些常见的构造出发，通过举例探讨分析构造法在高中数学中的应用.关键词解题构造法应用高中数学1 引言波利亚说过：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒.”解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手.在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径.构造法就是这样的手段之一，它是一种新颖独特、快捷灵活的解题方法.本文将对构造法及其在中学数学中的应用做简单探讨，通过示例，不断加深对构造法的理解.2 构造法概述2.1 构造法构造法就是综合运用已有的知识和方法，根据题设条件和结论所具有的特征和性质，构造出一些新的满足条件或结论的数学形式，并借助它来认识与解决原数学问题的一种思想方法.其解题模式如下：对题设条件或所求结论进行充分细致的分析，然后通过创造性的思维构造出函数、图形、方程、数列等相应的模型，最后进行推演，实现转化得出结论.2.2 构造法的历史构造法作为一种重要的数学思想方法，在数学产生时就存在，它的研究主要经历了三个阶段：直觉数学阶段、算法数学阶段、现代构造数学阶段.历史上有不少数学家都曾用构造法解决过数学上的很多难题，如欧几里得在《几何原本》中证明“素数的个数是无限的”就是一个典型的范例.随着科学技术的发展，计算机科学及现代数学将对数学的构造性提出新的要求，使构造性数学具有突出的重要地位.如现在的组合数学、计算机科学中所涉及的数学，都应用了构造的思想，尤其是图论，更是应用了构造的思想，此外，在拓扑学、维数理论等的研究中，许多数学家应用构造法来发展他们的理论.2.3 构造法的特征构造思想方法作为一种常用的数学思想方法，具有其自身独特的显著特征，主要表现在：构造性、直观性、可行性、灵活性以及思维的多样性.⑴构造性体现在构造法是通过构造一个辅助问题而使原问题得到转化；⑵直观性体现在构造法解决问题的步骤比较直观；⑶可行性体现在构造法不仅能判定某种数学对象的存在，而且在有限步骤内能具体找到它；⑷灵活性体现在用构造法解题，针对某一具体问题，怎样去进行构造，这与学生的数学基本功和解题经验都密切相关；⑸思维的多样性体现在构造法不同于一般的逻辑方法，一步一步寻求必要条件，直至推导出结论，它属于非常规思维，解题常要用到分析、综合、观察、比较、联想、想象等多种思维形式.2.4 构造法中常用到的思想方法构造法中常用到一些数学思想方法，例如：⑴类比构造：由于问题中研究对象有着形式上、本质上的相同或相似，通过构造类似的数学形式，运用新数学形式的丰富内涵达到解决问题的目的；⑵归纳构造：对于与n有关的问题，直接不容易构造出，而以具体的特殊的如()()()3ff进而推进到()n f等；,1f,2⑶逆向构造：是指按逆向思维方式，向原有数学形式的相反方向去探求，通过构造(形式上，关系上或程度上)对立的数学形式来解决问题；⑷联想构造：联想是由一事物想另一事物的思维方式和过程，这种联想通常是事物的形式、结构、范围、关系等因素作用的结果.2.5 构造法中常用到的类型下面介绍一些常用的构造方法：⑴构造数学命题法：如果遇到的数学问题直接证明有困难时，可构造其等价命题，并通过证明其等价命题成立从而使所论命题获证；⑵构造数学关系法：由题设条件及所给的数量关系，构造一种新的函数、方程、多项式等具体数学关系，使问题在新的关系下实现转化从而获得解决的方法称为构造数学关系法；⑶构造几何图形法：在解题时若以数形结合的思想作指导，对于某些较复杂的问题，通过构造图形启发思维，借助于图形的直观来解题往往使解题方法简捷，几何证题中的辅助线，代数方程应用题中的示意图都属于这一类；⑷构造结论法：就是按照命题的条件和要求构造出符合结论的数学对象，从而断定命题正确性的证题方法。
构造法在解题中的应用
构造法在解题中的应用
构造法是一种常见的解题技巧，它通过构造出满足特定条件的对象，来证明某个结论的存在性或者非存在性。
在解题中，构造法通常可以应用在以下几类问题中：
1.存在性证明问题。
比如，证明一个数列中存在质数，可以通过构造出一个满足条件的数列来证明。
2.反证法证明问题。
比如，证明某个命题不成立时，可以通过构造一个反例来证明。
3.计数问题。
比如，计算某个集合中元素的个数，可以通过构造一一对应的映射来计算。
4.结构问题。
比如，证明某个结构的存在性或者非存在性，可以通过构造出满足条件的结构来证明。
总之，构造法在解题中的应用非常广泛，可以帮助我们更好地理解问题，并且提供了解决问题的有效手段。
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构造法在中学数学中的运用
构造法在中学数学中的运用引言：构造法是数学中一种常见的解题方法，它利用几何图形的相关性质，通过构造出新的图形或加上新的辅助线，从而达到解题的目的。
构造法在中学数学中具有广泛的应用，能够帮助学生更好地理解数学知识，培养学生的逻辑思维能力和创造性思维能力。
本文将从基本概念、构造方法和案例分析三个方面来探讨构造法在中学数学中的运用。
一、基本概念1. 构造法的定义构造法是数学解题的一种方法，它利用辅助线、辅助角等手段，通过构造新的图形或加入新的元素来解决问题。
构造法主要运用于几何、代数和三角等数学领域，能够帮助学生更深入地理解数学题目，提高解题效率。
构造法在中学数学中的应用具有以下优势：（1）几何直观性：构造图形能够直观地展示几何问题的性质和规律，让学生更容易理解和记忆。
（2）逻辑性强：构造法要求学生通过合理的线索和推理，找到解题的突破口，培养学生的逻辑思维能力。
（3）启发性强：构造法要求学生有创造性地处理数学问题，培养学生的创造性思维，使他们在数学学习中更具探索精神。
二、构造方法1. 构造辅助线构造辅助线是构造法的一种常见操作，它是通过在原有图形中加入一些辅助线，从而使问题得到更好地解决。
在求解三角形中某个角的大小时，可以通过构造高或中线等辅助线，从而将问题转化为更易解的几何问题。
在解决角相关性质问题时，构造辅助角也是一种常用的构造方法。
通过在角的某一边上构造出一个相等的角或互补的角等辅助角，能够为原问题提供更多的线索和信息，帮助学生更好地解决问题。
3. 构造新图形构造新图形是构造法的另一种重要方法，例如在解决圆的性质问题时，可以通过在给定圆上构造出一些特殊的线段，从而使问题得到更好地解决。
三、案例分析1. 例题一如图所示，AB为直径，C为圆上一点，CE⊥AB于E,连接DE交AC于F.如果⊙O经过D，使得EF ⊥AC于F'.（1）证明：D ，F'，O三点共线；（2）若AB=2,AC=4，求|CE|.解：由于AD为直径，所以F为90度角，即∠DEF=90度。
浅谈构造法在解题中的应用
摘要构造法作为数学解题中的一种重要的思想方法，它是根据题设条件和结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助它来认识与解决原问题的一种方法.构造法的内涵十分丰富并且没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛的普遍性和特殊的实际问题为基础，针对一些数学问题的特点而采用相应的解决办法.合理运用构造法不仅可以提高解题效率，而且也能够发展学生的思维能力和创新意识.鉴于此，本文的重点主要体现在构造法在解题中的应用.具体来说，本文主要基于构造法的理论简介，探讨它在不等式、函数、以及其他特例中等问题的相关应用.关键词:构造法，解题，应用Analysis to application of structured method insolving problemsAbstractStructured method as an important method of thinking in mathematics problem solving, it is based on the special question condition and conclusion, constructs some new mathematical forms, and with the help of a method to recognize and solve the original problem. The content of structured method is very rich and has no completely fixed models to be applied to practical problems, It is based on a wide range of practical problems of universality and particularity, for some of the features of mathematical problems and solutions using the corresponding method. Proper and rational use of the structured method can not only improve the efficiency of solving the problems, but also develop the students' t thinking ability and sense of innovation. In view of this, the focus of this paper is mainly reflected in construction method in solving the problem. Specifically, This paper is mainly based on the theory of structured method, explores it in the inequality, function, and other special medium problems in related practical applications.Keywords: structured method, problem solving, application目录一、引言 (1)二、构造法的理论简介 (1)（一）构造法 (1)（二）构造法的历史过程 (2)1.构造法与构造主义 (2)2.直觉数学阶段 (2)3.算法数学阶段 (2)4.现代构造数学阶段 (3)（三）构造法的特征 (3)三、构造法在解题中的应用 (3)（一）构造法在不等式中的应用 (3)1.构造函数 (4)2.构造向量 (5)3.构造数列 (5)4.构造几何模型 (6)（二）构造法在函数中应用 (7)1.构造函数 (7)2.构造方程 (8)3.构造复数 (10)4.构造级数 (10)5.构造辅助命题 (11)（三）构造法在其他特例中的应用 (12)1.构造新的数学命题 (12)2.构造递推关系 (13)3.构造反例 (14)4.构造实际模型 (14)四、结束语 (15)参考文献 (16)致谢 (16)一、引言数学的学习过程离不开解题，美国数学家哈尔莫斯也曾说过“数学真正的组成部分应该是问题和解，问题才是数学的心脏”.一个好的问题解决方式往往有多种.而数学思维方法是解数学题的灵魂，构造法作为一种传统的数学思想方法，在数学产生时就存在.历史上有不少数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾用构造法解决过数学上的很多问题.数学蕴含着丰富的美，构造法则起到了锦上添花的作用.近几年来，构造法在中学数学中也有了很高的地位.利用造法解题需要有扎实的基础知识、较强的观察能力、创造思维和综合运用能力等.构造法反映了数学发现的创造性思维特点，我们所学的“构造”并不是“胡思乱想”，不是随便“编造”出来的，而是以我们所掌握的知识为背景，以具备扎实的能力为基础，通过仔细观察，认真分析去发现问题的每一个环节以及它们的联系，进而为寻求解题方法创造条件.在运用构造法解题的步骤中，不仅可以巩固学生的基本知识，还能培养学生观察、分析、联想、猜测等数学能力，激发学生的创造性思维.所以在数学教学中，应注重对学生在日常训练中运用构造法解题，使学生体会数学知识间的内在联系和相互转化，能创造性的构造数学模型，巧妙的解决问题，从而获得学习的轻松感和愉悦感，培养与增强了学生学习数学的积极性，提高他们的解题能力.构造法作为一种重要的化归手段，在数学解题中有着重要的作用.本文从构造函数、构造方程等常见构造及特殊构造出发，浅谈构造法在数学解题中的应用.二、构造法的理论简介（一）构造法构造法是数学中的一种基本方法，它是指当某些数学问题使用通常办法或按定势思维去解决很难奏效时，根据问题的条件和结论特征，从新的角度，新的观点观察、分析、解释对象，抓住反映问题的条件和结论之间的内在联系，把握问题的数量、结构等关系的特征，构造出满足条件或结论的新的对象，或构造出一种新的问题形式，使原问题中隐晦不清的关系和性质在新构造的数学对象（或问题形式）中清楚地展现出来，从而借助该数学对象（或问题形式）简捷的解决问题的方法.构造法是解决各类数学题常用而且重要的方法之一，它在解决不同题目时的思考方式灵活多样,构造的形式也不尽相同，如何系统的理解和掌握构造及其构造的思路对数学学习就显得十分必要和重要.本文结合数学实际阐述了构造法在数学解题中的重要性和必要性.我们在解题过程中出于某种需要，要么把题设条件中的关系构造出来，要么将关系设想在某个模型上得以展现，要么将已知条件经过适当的逻辑组合而构造出一种新的形式，从而使问题得以解决.在这种思维过程中，对已有的知识和方法采取分解、组合、变换、类比限定、推广等手段进行思维的再创造，构造新的式子或图形来帮助解题.所谓“构造法”即是在解题中利用已知条件和数学知识所具备的典型特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象，一种新的数学形式；或者利用具体问题的特殊性，为解决的问题设计一个合理的框架，从而使问题转化并得到解决.总之用构造法解题的关键就是搞清对什么进行构造，构造成什么，以及如何构造的问题.（二）构造法的历史过程1.构造法与构造主义从数学产生的那天起，数学中构造性的方法也就伴随着产生了.但是构造性方法这个术语的提出，直接把这个方法推向极端，并致力于这个方法的研究，与数学基础的直觉派是密切相关的.直觉派出于对数学“可信性”的考虑，提出了一个著名的口号：“存在必须是被构造的”.这就是构造主义.2.直觉数学阶段直觉派的先驱者是19世纪末德国的克隆尼克，他明确提出并强调了能行性，主张没有能行性就不得承认它的存在性.他认为数学的出发点不是集合论，而是自然数论,并且批判传统数学缺乏构造性，创立具有构造性的“直觉数学”.3.算法数学阶段“发现集合论悖论以后，有些数学家认定了解决这些悖论所引起的问题的唯一彻底的方法就是把所有的一般集合论概念都从数学中排除，只限于研究那些可以能行的定义或构造的对象”，这就是布劳威创立直觉数学的想法.由于马尔科夫的工作，使构造性方法进入了“算法数学”的阶段.4.现代构造数学阶段1967年比肖泊的书出版以后，宣告了构造法进入“现代构造数学”阶段.他通过重建现代分析的一个重要组成部分，重新激发了构造法的活力.实际上，构造法在古代数学的建立与发展中也起着重要的作用.以西方的《几何原本》和中国的《九章算术》为例，尽管两者在逻辑推理方式上迥异，但在运用构造性方法方面却有着一些共同之处.我国古代数学所采用的构造方法，注重问题解决的能行性，数学家吴文俊曾指出，《九章算术》中的开方术经过一千多年发展到宋代的增开方与正负开方术的求方程根的数值解法是中国古代数学构造性与机械性思想方面的代表性成就.由此可知，在数学发展之初，大量的直观经验需要加以总结和提高，构造方法此时就体现出极强的应用价值，所以在中西方古代数学中产生了深远的影响.（三）构造法的特征一般来说，构造法具有如下两个基本特征：1．对所讨论的对象能有较为直观的描述.2．不仅能判明某种数学结论的存在，而且能够实现运演操作并求出表述的结果，利用构造法证明某个问题，具有简捷易懂，说服力强的特点.当我们遇到复杂的问题或实际问题而无从下手解决时，如果我们恰到好处的构造出一个数学模型来，便会有种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉.三、构造法在解题中的应用理解和掌握构造思想方法有助于实现数学从常量到变量的这个认识上的飞跃，构造法的前提和基础是熟悉相关的概念，很多数学问题繁冗复杂，难寻入口，若巧妙运用构造思想，能使解答别具一格，耐人寻味. （一）构造法在不等式中的应用不等式是研究数的性质、方程函数等的重要工具之一，在函数的单调性和极值问题中，不等式的应用非常重要.但在不等式的证明中，掌握有一定的难度，而构造法是一种极具创造性的解题方法,体现了各种数学解题方法.下面谈谈怎么用构造法解决在不等式中的相关应用.函数是数学知识的中心之一， 方程可以看作是函数值为零的情况，不等式可以看作是两个函数之间的不等关系，因此方程和不等式都是函数的特殊表现形式.利用函数的性质来解决不等式问题也是一种行之有效的办法.例1.已知R e d c b a ∈,,,,,且满8a b c d e ++++=,2222216a b c d e ++++=,试确定e 的最大值.（美国第七届中学数学竞赛题）分析：根据222228,16a b c d e a b c d e +++=-+++=-这两个式子构造 以d c b a ,,,为系数的二次函数作为辅助工具手段，从中转化出e 的不等式.解：由于222228,16a b c d e a b c d e +++=-+++=-,构造二次函数：()()()2222242f x x a b c d x a b c d =++++++++()()()()2222x a x b x c x d =+++++++0≥. 由已知条件得：()()22481616e e -≤-, 解得：1605e ≤≤当d c b a ===时，有=max e 165. 例2.已知(),,1,1a b c ∈-，求证2abc a b c +>++. 分析：因为()()()212abc a b c bc a b c +-++=-+--,所以构造一次函数y kx b =+的形式，根据k 的正负来判断函数的单调性.解：∵()()212abc a b c bc a b c +-++=-+--,∴可构造函数()()(1)2,1,1f x bc x b c x =-+--∈-,∵(),1,1b c ∈- 所以1<bc 即01<-bc ,∴ ()f x 在R 上是单调减函数,∵()1,1a ∈-,∴()()()()11110f a f b c bc b c >=--+=-->,即()120bc a b c -+-->.平面向量是数学教学中非常重要的教学工具，它不仅反应数量关系，而且体现位置关系，所以充分利用向量模型可以解决、几何及三角等数学问题，实现数形之间的转化，其解题思路简单，尤其是对几何问题，效果更显著.例3.已知1,0,=+>b a b a ,≤分析： 观察此题的结构，左边是和的形式，右边是常数，对左边的式子稍加变形就能表示出两个向量的坐标,然后计算出两个向量的模，再结合数量积和模的关系就构造了一个不等式，从而结论得证.证明：设()1,1=m ,()12,12++=b a n 则有,1212+++=⋅b a n m , 与2=m ,21212=+++=b a n , 因为n m n m ≤⋅,所以≤解后反思 ：本例通过构造二维向量，利用向量数量积的定义及性质来求最大值，大大降低了本题求最大值的难度，在求最值中，巧妙构造适当的向量，会收到直观明快，出奇制胜的效果，同时也体现了向量解决问题的优越性.例4.已知a ,b ,c 均为正数,求函数y =值.解：构造向量()a x ,=α , ()b x c ,-=β ,原函数为：()()22b a x c x y ++-+≥+=βα ()22b a c ++=,即y 3.构造数列数列问题以其多变的形式和灵活的求解方法出现在数学解题中，在解决诸多数学问题尤其是在不等式证明中，通常可以构造一个数列，利用数列的性质和求和运算来解题，很有使用价值.例5.()2112n ⋅⋅⋅++.证明：()2112n x n =⋅⋅⋅++,,,2,1 =n()()221112122n n x x n n +-=+++ ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=2321n n n 04932322<++-++=n n n n ， 1n n x x +∴<),2,1( =n 即{n x }是递减数列,于是n x 120x <=<,()2112n ⋅⋅⋅++. 此题的巧妙之处在于恰当的构造了一个辅助数列{n x }，而利用数列自身的性质，将难于证明的问题变易，使问题迎刃而解.例6.求不超过8的最大整数.分析：如果把8展开去计算，计算量比较大且相当麻烦，想到是的共轭根式，而0<<1,我们先去计算8+8 问题就简化多了.解：x y 则y x +=222,16xy x y =+=, ()28844442x y x y x y +=+-()[]442222222y x y x y x --+=()2256832=--61472=.即8+8=61472.因为0<8<1,所以不超过8的最大整数为61471.本例题通过对偶思想，构造对偶数列8，使问题得到巧妙解决. 4.构造几何模型 如果原问题的已知条件，数量关系有比较明显的几何意义或者是以某一种形式可以和几何图形建立联系，那么我们就可以把已知条件或要证不等式中的代数量直观化为某个图形中的几何量，即构造出一个符合条件的几何图形，便可应用该图形的性质及相应的几何知识证明不等式.例7.m >，()0m n >>.分析：由隐含条件可知0m n >>和22m n -的形式考虑到可以构造一个直角三角形ABC ，如图所示使AB m =，BC n =，90C ︒∠=，显然AC =， 0m n >> ，2mn n >，222mn n >,222mn n n ∴->n >; n m >>.数形结合是针对具体问题的特点而构造出的几何模型，是借用一类问题的性质，来研究一类问题的思维方法，是丰富学生联想，拓展学生思维，培养学生创造意识和创造思维的手段之一.数形结合有助于找到解答思路，也常使解答简捷，是一种很常用的解题法，一些不等式问题若能发现其几何意义，合理巧妙地构造图形，则可达到事半功倍的效果.（二）构造法在函数中应用构造函数需牢固掌握各类初等函数的性质.构造函数的过程要求我们敏锐地观察、正确地判断、合理地选择适当的函数，并准确运用函数的性质.有些数学问题本质上就是将其中某些变化的量建立起联系来构造函数，再利用函数性质就能解决，其基本思想就是将数学问题转化为函数问题来解答，它的用途非常广泛，常见的有不等式的证明、解方程、做辅助函数等，下面谈谈如何用构造法解决在函数中的应用.1.构造函数例8.(一般形式的中值定理)设f 和g 是闭区间[]b a ,上的两个连续函数,在开区间()b a ,内都可导,则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得()()[]()()()[]()ξξf a g b g g a f b f '-='-.分析:将结果中的ξ换成变量x ,可得()()[]()()()[]()x f a g b g x g a f b f '-='-,作恒等变换()()[]()()()[]()0='--'-x f a g b g x g a f b f , 则 ()()[]()()()[]()()0='---x f a g b g x g a f b f ,积分得()()[]()()()[]()C x f a g b g x g a f b f =---,作辅助函数()()()[]()()()[]()x f a g b g x g a f b f x F ---=.BC A证明: 作辅助函数:()()()[]()()()[]()x f a g b g x g a f b f x F ---=,显然()x F 在闭区间[]b a ,上满足Rolle 理的条件,故在()b a ,内至少存 在一点ξ,使得()0='ξF 即()()[]()()()[]()ξξf a g b g g a f b f '-='-.从一般形式的中值定理的证明看出:微分中值类问题中的证明,关键是构造一个辅助函数,构造方法一般从结论出发,通过对条件和结论的分析,构造出辅助函数,具体的构造方法如下:将欲证结论中的ξ换成x ,然后等式两端积分,再将积分结果移项,使等式一端为常数,则等式的另一端即为所求的辅助函数. 2.构造方程方程是数学解题的一个重要工具，对于很多数学问题，根据其已知条件，数量关系构造出与结论相关的函数方程，在已知与未知之间搭起桥梁，通过对辅助方程及方程的性质（比如求根、找根与系数的关系、找判别式等）的研究，来解决原问题，使解答简捷、合理.例9. 设R y x ∈,且322=++y xy x ，求22y xy x +-的最值.分析：观察已知条件所给的两个代数式的结构特点，设22x xy y k -+=,则易得到22x y +与22x y 的等式.联想到将22,x y 看作是某一个方程的两个根，则代数式的最值问题转化为方程是否有解的问题，问题就容易解决多了.解：由已知322=++y xy x ，并设22x xy y k -+=,可得2232k x y ++= , 222694k k x y -+= 所以22,x y 是关于t 所构造函数方程22369024k k k t t +-+-+=的两个根, 2236902k k k +⎛⎫∴∆=--+≥ ⎪⎝⎭或21090k k -+≤. 19k ∴≤≤当y x ==1时，221x xy y -+=；当3,3x y ==时,22y xy x +-=9.综上可知22y xy x +-的最小值为1,最大值为9. 例10.设242210,210a a b b +-=--=且210,0ab a -≠≠.求2000221ab b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值.分析：通过仔细观察，可将2210,0a a a +-=≠变为211210a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再由 ()222210b b --= 发现21,b a可看作是2210x x --=的两个根，同时2000221ab b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭等价为2000221b b a a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭构造函数方程使问题变得简单.解：将2210,a a +-=变形为211210a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0a ≠ ,()222210b b --=,∴21,b a是2210x x --=的两个根, 即212b a+=，211b a =-.所以2000221ab b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=()200020002211211b b aa ⎛⎫++=-= ⎪⎝⎭.例11.锐角,,αβγ满足222sin sin sin 12sinsinsin222222αβγαβγ++=-,求证αβγπ++=.证明：已知条件可视为关于sin2α的一元二次方程，由题意可得222sin 2sin sin sin sin sin 10222222αβγαβγ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由2222224sin sin 4sin sin 14cos cos 222222βγβγβγ⎛⎫∆=-+-= ⎪⎝⎭, 因为,,αβγ为锐角，即,,222αβγ也均为锐角，由一元二次求根公式得sinsinsincoscoscos 2222222αβγβγβγ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭, 又022απ<< ，则sin02α>，再由022βγπ<+<，则有2222aβγπ+=-， 故αβγπ++=. 3.构造复数复数是实数的延伸，一些难以解决的实数问题可以转化为复数问题，虽然数的结构会变得复杂，但常使问题简明化，正所谓“退一步海阔天空”.复数内容的增加使学生更加全面的认识数的概念，也把学生的思维打开，而不是局限于实数那个狭小的范围内.例12.求函数y =.分析：可以看作是2x i +的模,可以看作是()13x i -++的模,然后利用复数模的性质求解.解：设()12122,1315z x i z x i z z i =+=-++⇒+=+, 因为1212z z z z +≥+,≥=当 1z ,2z 同向时，即12x x-=时 ,25x =.综上可知y .4.构造级数级数与函数、数列、导数等诸多知识密切的联系在一起，根据问题条件中的数量关系和结构特征，构造出一个级数，然后依据理论，使问题在新的关系下得到转化而获解.下面就是一个构造级数的例子.例 13.设{}n x 的定义如下：()()12121,,,3,42n n n x a x b x x x n --===+=⋅⋅⋅ 求lim n n x →∞.解析：构造级数11()k k k x x ∞-=-∑ 设00x = 具体的写出{}1k k x x --如下：()02112x x b a b a ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭,()()()13221221111222x x x x x x x b a ⎛⎫-=+-=--=-- ⎪⎝⎭,()()()24332332111222x x x x x x x b a ⎛⎫-=+-=--=-- ⎪⎝⎭,……,()2112k k k x x b a --⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,……,因此lim n n x →∞=11()k k k x x ∞-=-∑()()2211223k k b a a a b -∞=⎛⎫=--+=+ ⎪⎝⎭∑. 本题中的级数11()k k k x x ∞-=-∑就是构造的级数，它通过合适的构造，使原问题变得更加简单易求. 5.构造辅助命题在解决某些数学问题时，如果缺乏现成的根据，那么我们不妨构造一个辅助命题作为依据，只要证明了这个命题是真命题，原命题就迎刃而解.这种解决数学问题的方法，称为构造辅助命题.例14.解方程53232+=--x x x . （1） 分析：直接去原方程的绝对值符号得53232+=--x x x . （2）如果方程（1）与（2）同解，问题就容易解决.但在初等数学中没有定理可用来解决直接判定这两个方程是否同解.注意到方程（1）的定义域为R ,而对于任何R x ∈恒有()()03532322>+=++--x x x x ，于是可构造辅助命题：设方程()()x x f ϕ=. （3） 的定义域为A ,如果对于任何A x ∈，恒有()()0>+x g x f ，那么方程（3）与方程()()x x f ϕ=. （4） 同解.证明：先证（3）的解是（4）的解. 设1x 是（3）的任一解，则()()11x x f ϕ=， 两边平方得()()[]()()[]01111=+⋅-x x f x x f ϕϕ;()()11x x f ϕ=∴.再证（4）的解必是（3）的解.设2x 是（4）的任一解，则()()22x x f ϕ=，上式可改写为()()22x x f ϕ=，这表明2x 是方程（3）的解，命题得证. 根据上述辅助命题，解例题方程（1）只需解方程（2); 解得：1-=x 或7=x .下列方程也可根据这个辅助命题求解： (1).;311x x x -=-++ (2).x x x -=-+7322.（三）构造法在其他特例中的应用综合上面，我们所列举构造法的一些应用，其实构造法的应用不仅仅这些，还有其他的,下面我们列举一些其他的构造法，可以让我们更进一步去研究构造法的应用. 1.构造新的数学命题当一些问题直接证明（或求解）较困难时，可以寻找与之等价（或接近）的较易证明的另一问题，比如构造原命题的逆否命题、构造矛盾命题等.例15.求证在自然数集中，存在()N n n ∈+,12个连续的自然数，使得前1+n 个自然数的平方和等于后n 个数的平方和.分析：这是一个证明存在性的问题，直接证明不易入手，但可以从题目的“连续”和“12+n ”的条件发现这12+n 个数中，中间的那个数（即第1+n 个数）是关键.不妨设这个数为m ，则第一个数为n m -，第12+n 个数为n m +，这样就把问题转化为：求以m 为未知数的方程，()()21221∑∑==+=+-nk nk k m m k m 的自然数解，此方程不难求解，移项得()()[]02122=++--∑=m k m k m n k ,化简得 ()0122=+-m n n m ,解得 0=m （舍去），()()N n n n m ∈+=,12.即存在第一个数为()12+n n ，第1+n 个数为()122+n n ，最后一个数为()32+n n 的12+n 个连续自然数，符合题目所求.2.构造递推关系根据函数方程和递推关系之间的联系，根据已知条件和各种定理以及相应的运算法则，构造一个递推关系，能产生意想不到的效果.例16.设12,x x 是方程2310x x ++=的两个根，试求7712x x +的值. 分析：令()12()n n f n x x n N =+∈ ，由12123,1x x x x +=-=()13f =-, ()27f =, ()2f n +=2212n n x x +++()()()1112121212n n n n x x x x x x x x ++=++-+()31()f n f n =-+-重复迭代就可以任意算出()f n 的值，这里()13f =-,()27f =,()318f =-,()447f =; ()5123f =-,()6322f =, ()7843f =-,所以7712x x +=-843.例17.用1,2两个数字写成n 位数，其中任意相邻的两位不全为1，记n 位数的个数为()n f ，求()10f .解:把满足条件的n 位数分成两类:第一类以1开头的数，其第二位数必是2,因此划去这两个数字共有()2-n f ;第二类以2开头，则第二位可以是1，也可以是2,划去第一位数字2，共有()1+n f 个数.所以()()()21-+-=n f n f n f . 因为()21=f ,()32=f ,所以()53=f ,()84=f ,()135=f ,()216=f ,()347=f ; ()558=f ,()899=f ,()14410=f . 即10位数共有144个. 3.构造反例为了说明一个问题不真，常常选择一个符合题设条件但命题不成立的反例，这个过程叫做构造反例.选择特殊值，极端的情形，常常都是构造反例，反例是用已知为真的事实去揭露另一个判断的虚假性.例18.若命题x ,y 为无理数，则“y x ”也为无理数是否成立? 如果从正面回答这个问题有点难度，因此构造范例如下：解：（12==y x ,（2,有2yx ===⎪⎭.论它是有理数还是无理数，都给这个命题提供了反例，避免了从正面去证明这个命题. 4.构造实际模型数学源于生活而又应用于生活，当遇到抽象问题时，一时难以下笔，则可以考虑从实际生活中找原型，并将数学问题放到实际生活情境中去研究，巧妙地构造出新的数学模型，化抽象为具体，化复杂为简单，从而使问题求解带来意想不到的结果.构造模型就是换一种问题语境，其目的在于，为抽象的数学形式寻求某种具体背景，以便于通过直观的意义来解决问题.例19.求方程10=+++w z y x 有多少组正整数解?分析:这是一个不定方程问题,若用代数法进行讨论非常繁琐,若通过构造法将其转化为组合问题,则此题很容易得到解答.即构造10个相同的小球,放在4个盒子中,则每个盒子不空的总的放法即为方程解的组数.其又相当于将10个小球排成一排放在两条竖线之间,则球与球之间构成9个空位,在9个空位间划3条竖线,将每两条竖线间的小球依次装人4个盒子中,共有3C =84种装法,所以原方程有84组正整数解.9可见,通过构造模型可使抽象的数学问题具体化,形象化,从而使问题易于解答.构造法是数学中主要的解题方法之一，具有扎实的基本理论、基本运算的功底，是综合的分析解决问题的基础.同时多方位地、多角度的构造辅助问题，有机的将科学知识融汇贯通，提高解决问题的能力.构造法的应用还有很多，需要针对不同的数学问题采用其相应的构造方法，这里不能一一枚举，但通过以上几例可见，构造法在解题应用中不但具有把问题由繁化简，由难化易，由抽象化具体的转化功能，而且还具有保证解答正确的“保险”功能，因此构造法是解决数学问题应用甚广的一种方法.在解决数学问题中若能巧妙恰当地运用构造法，则可以达到事半功倍的效果.四、结束语笔者在形成论文的过程中，参考了大量的文献资料,对构造法在解题中的应用有了更深层次的理解和认识.在此系统的介绍了构造法的理论简介以及在不同类型题中的相关应用，使我们更进一步的了解构造法的有关知识，为更好的运用打下坚实的基础.同时，从本文的例子可以看出，构造法在解题中有意想不到的功效，它能使问题得到很快解决.但它也不拘一格，我们应具体问题具体分析，多种构造法要学会灵活运用.构造法的核心是根据题设条件，结论特征恰当构造一种新的数学对象.它在许多问题的解决过程中显示出令人瞩目的特殊作用，往往能化繁为简，化难为易，得到简捷明快，出奇制胜的效果，它已成为解决数学问题的重要方法.用构造法解决问题正是学习者主动建构知识的过程，在这个过程中，对自己已有的知识经验进行调整，整合或者重新组合，从而构造出新的数学对象，这样新旧知识发生冲突，从而引发认知结构的重组，构成新的认知结构，培养人们分析问题时的创新能力.同时提高我们作为学习者的学习、研究的能力，为将来成为优秀的数学教师打好基础、做好准备.参考文献[1] 高桐乐,数学解题中的基本模型构造.第二版1989 ,（11）.[2] 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浅议构造法在数学中的作用
浅议构造法在数学中的作用1. 引言1.1 构造法的定义构造法是数学中一种重要的解题方法，它是通过构造出具体的对象或者结构来解决问题的方法。
在数学中，构造法通常包括直接构造出所需对象、通过归纳法逐步构造出解、通过反证法推导出矛盾等方式。
构造法的基本思想是通过建立数学对象之间的关系，从而达到解决问题的目的。
通过构造法，我们可以更清晰地理解问题的本质，找到问题的解决方案。
构造法在数学中具有广泛的应用，涉及代数、几何、组合数学、数论、概率论等多个领域。
构造法的核心是通过建立有效的构造方法和技巧，解决一系列复杂的数学问题。
通过构造法，我们可以深入理解数学的内在规律，提高解决问题的效率和准确性。
构造法在数学领域中具有重要的地位和作用，对于推动数学的发展和教育具有积极的意义。
1.2 构造法在数学中的重要性构造法在数学中起着至关重要的作用。
它不仅是数学研究中常用的方法，也是数学教学中的重要内容。
构造法可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，促进数学领域的发展。
构造法在数学中的重要性体现在它对解决问题的作用上。
通过构造法，我们可以借助具体的步骤和方法找到问题的解决方案，为数学理论的发展提供实际的指导。
构造法不仅可以用于证明定理和命题，还可以用于解决实际问题，推动数学领域的研究进展。
构造法在数学教育中的重要性也不可忽视。
通过教授构造法，可以帮助学生培养逻辑思维和创造性思维能力，提高他们解决问题的能力和数学素养。
构造法可以激发学生对数学的兴趣，让他们更好地理解和掌握数学知识，为将来深入研究数学打下坚实的基础。
2. 正文2.1 构造法在代数中的应用构造法在代数中的应用是一种重要的数学方法，通过构造法，我们可以更好地理解和解决代数问题。
在代数中，构造法常常被用于证明存在性和唯一性问题，以及构造出满足特定条件的对象。
一种常见的代数问题是求解某种结构的存在性问题，比如群、环、域等代数结构。
通过构造法，我们可以构造出满足特定条件的结构，从而证明其存在性。
构造法在高考数学解题中的应用探究
构造法在高考数学解题中的应用探究1. 引言1.1 构造法在高考数学解题中的应用探究构造法是一种在数学问题中常用的解题方法，它利用构造新对象或者研究已有对象的性质来解决问题。
在高考数学中，构造法被广泛运用于各种类型的题目中，包括代数、几何、概率、数学建模以及解答题等。
通过构造法，可以更加灵活地解决问题，提高解题效率。
在代数题中，构造法常常用于证明方程的解法是否正确或者求解特定的解。
通过构造新的代数式或者等式，可以更加直观地理解问题，简化解题过程。
构造法可以用于证明一元二次方程有两个不同实数根的情况。
在几何题中，构造法可以用来构造特殊的图形或者角度，从而推导出问题的解。
通过构造各种几何图形，可以更清晰地看到几何关系，简化证明过程。
构造法可以用来证明三角形的角平分线相交于内心。
在概率题中，构造法可以用来构造特定的概率空间或者事件，帮助求解概率问题。
通过构造不同的概率模型，可以更好地理解问题，找到解题思路。
构造法可以用来计算抛硬币的概率问题。
在数学建模中，构造法可以用来构造数学模型，帮助分析实际问题。
通过构造各种数学模型，可以更准确地描述实际情况，指导解决问题的方法。
构造法可以用来建立人口增长的数学模型。
2. 正文2.1 构造法在代数题中的应用构造法在代数题中的应用是高考数学解题中的重要部分。
代数题通常涉及方程、不等式的求解以及函数的性质等内容，而构造法的运用可以帮助我们简洁而有效地解决这些问题。
在代数题中，构造法可以被应用于方程组的解法。
通过构造合适的方程组，我们可以很快地得到未知数的取值。
在解二元一次方程组时，我们可以通过构造一个新的方程来消去其中一个未知数，从而简化求解过程。
构造法还可以被用于不等式的证明。
通过构造一个或多个具体的数值来验证给定的不等式是否成立，我们可以快速判断不等式的真假。
构造法也可以帮助我们找到不等式的最优解。
在函数的性质证明中，构造法同样可以发挥重要作用。
通过构造一个特殊的函数形式，我们可以验证函数的性质，并推断出一些重要结论。
构造法在解数学题中的应用
构造法在解数学题中应用较为广泛，适用于解答有关函数、方程、不等式、向量等题目.在解题遇到困难时，抓住条件与结论的内在联系，可尝试从新的视角寻找解题的思路，将一些看似无关的知识点关联起来，构造出新数学模型，借助构造法来解题，可使问题快速得解.运用构造法解题的关键，就在于冲破常规思维的束缚，将相关的知识点进行对比，开展联想，构造满足条件或结论的新数学模型.一、构造函数函数的图象、性质是解答高中数学问题的重要依据.函数具有许多特殊的性质，如函数的单调性、周期性、奇偶性等，函数的图象具有较强的直观性.借助函数的图象、性质能帮助我们快速寻找到解题的思路.在解题时，我们可以将问题与函数关联起来，通过对题设的分析联想到函数的图象、性质，将代数式进行适当的变形，构造出恰当的函数模型，再利用函数的图象、性质来解题.例1.设x,y∈R，(x-1)2013+2013()x-1=-1，且(y-2)2013+2013()y-2=1，求x+y的值.分析：我们仔细观察题目中式子的特点，可明显看出两个式子的形式、结构一致，可考虑从两者的形式上寻找解题的突破口.根据式子的形式、结构构造函数f（t ）=t2013+2013t，而该函数为奇函数，则可利用奇函数的性质来建立关系式，求得x+y的值.解：设f()t=t2013+2013t，由已知可得f(x-1)=-1，f(y-2)=1，而f（-t）=（-t）2013-2013t=-（t2013+2013t）=-f（t），则函数f（t）为奇函数，由f'()t≥0,可得f()t为增函数，则f(x-1)=-f(y-2)=f(2-y)，解得x+y=3.解答此类问题，关键在于从局部与整体两个角度观察代数式，明确它们之间的联系，通过构造函数来确定它们之间的关系.对于本题，我们通过巧妙构造函数f（t），便可使问题变得更加直观、简单.二、构造方程在解题时，仔细分析题目中的数量关系，找到其中的等量关系，或发现已知量与未知量间的关系，便可建立方程模型，然后借助熟悉的方程及其根、判别式、根与系数的关系来解题.在构造方程时，除了构造一些特殊的方程外，还可以通过挖掘题设中隐含的方程式，运用方程思想来进行求解.例2.已知x+y+z=5，xy+yz+zx=3，求z的最大值.分析：通过观察我们很容易看出，题目中的两个已知式子具有一定的相似性，于是寻找两个式子间的联系，对已知条件进行变形可得{x+y=5-z,xy=3-z(5-z),根据这两式的特征可联想到韦达定理，于是构造一元二次方程，利用一元二次方程的判别式来求z的最值，解：由题意可知{x+y=5-z,xy=3-z(x+y),即{x+y=5-z,xy=3-z(5-z),把x,y看作方程t2-()5-z t+()z2-5z+3=0的两根，则判别式∆=(5-z)2-()z2-5z+3≥0,即-3z2+10z+13≥0，解得-1≤z≤133.三、构造不等式不等式知识与诸多知识点联系紧密，相互融合.它是分析、解答数学问题的重要依据.在构造不等式时，将函数、方程、数列、解析几何等知识与不等式知识联系起来，可以帮助我们快速找到解题的思路.在解题时，可灵活运用不等式的性质，如传递性、对称性、加法单调性等来解题.例3.设a，b，c∈R+，求证:H=a b+c+b c+a+c a+b≥32.分析：将不等式变形可得H=a b+c+b c+a+ca+b=a2ab+ac+b2bc+ba+c2ca+cb，于是联想到柯西不等式的基本形式(a12b1+a22b2+⋯+an2bn)∙(b1+b2+⋯b n)≥(a1+a2+⋯+a n)2，便可构造新不等式，利用柯西不等式来证明结论成立.知识导航42解：H =a b +c +b c +a +c a +b =a 2ab +ac +b 2bc +ba+c 2ca +cb，由柯西不等式可得H =a 2ab +ac +b 2bc +ba +c 2ca +cb≥(a +b +c )2(ab +bc )+(bc +ba )+(ac +bc )=(a 2+b 2+c 2)+2(ab +bc +ac )2(ab +bc +ac )≥32.即不等式H =a b +c +b c +a +c a +b ≥23成立.四、构造向量向量是是数学中的一个重要模型，具有“数”与“形”的双重身份.在解题时，可通过分析题目条件，找到题设条件中包含或内隐的一些向量知识，在原有题目的基础上构造出新向量模型.再利用向量的数乘运算、加法运算、减法运算、数量积公式、向量的模公式等来进行向量运算，求得问题的答案.例4.已知a ，b ，x ，y ∈R ，且a 2+b 2=1，x 2+y 2=1，求证:ax +by ≤1.分析：通过观察所要求证的结论ax +by ≤1可发现，ax +by 可由两个向量的乘积构成，由此可联想到向量的乘法运算，于是构造向量(a ,b )与向量(x ,y )，将问题转化为向量问题来求解.解：设m =(a ,b )，n =(x ,y )，则ax +by =m ·n =a 2+b 2·x 2+y 2cos θ，而cos θ≤1，所以ax +by ≤1.通过构造向量，将不等式问题转化为向量问题求解，能使解题过程变得更加简便且运算简单，可以轻松证明不等式.构造法是解答数学问题的一种重要方法.运用构造法解题，不仅能提升解题的效率，还有助于培养同学们的创造性思维能力和发散性思维能力.在构造数学模型时，要学会观察、分析、比较，将问题与其他知识关联起来，由此及彼，由一般到特殊，联想到合适的数学模型.当采用常规思路解题受阻时，要敢于尝试，转换思路，从已有的信息出发大胆联想、大胆猜测.可变换、重组题目中的数据或条件，结合头脑中已有的知识，构造出恰当的数学模型，为解题做好铺垫.（作者单位：西华师范大学数学与信息学院）立体几何中的距离问题主要是求点到直线的距离、异面直线之间的距离、两个平面之间的距离、点到平面的距离等.此类问题侧重于考查点、线、面的位置关系以及简单几何体的特征结构，对同学们的逻辑推理能力和空间想象能力的要求较高.本文主要谈一谈解答立体几何中距离问题的两个“妙招”.一、通过空间向量运算求解有些立体几何中的距离问题较为复杂，采用常规方法求解较为困难，此时，我们可以通过空间向量运算来解题.首先根据几何体的结构特征建立合适的空间直角坐标系，或选择合适的基底，将各个点、线段用向量或基底表示出来，然后运用向量的加法、减法、数乘运算法则、数量积公式、模的公式等，合理开展向量运算，求得空间中点、线、面之间的距离.例题：如图1，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为菱形，∠B 1A 1A =∠C 1A 1A =60°,AC =4,AB=2,平面ACC 1A 1⊥平面ABB 1A 1,Q 在线段AC 上移动，P 为棱AA 1的中点.若二面角B 1-PQ -C 1的平面角的余弦值为求点P 到平面BQB 1的距离.图1解题宝典43。
构造法在高中数学解题中的应用方法
构造法在高中数学解题中的应用方法
构造法是一种常用的数学解题方法，特别适用于几何问题的解决。
下面我们将介绍在
高中数学解题中构造法的应用方法。
一、构造辅助线：
1. 构造线段、角的等分线：通过构造等分线可以将原先复杂的形状简化为几个简单
的相等的部分，便于解题。
2. 构造三角形的高线、中线、角平分线：通过利用三角形的性质，可以确定三角形
的一些特殊线段，从而解题。
3. 构造平行线、垂直线：通过构造平行线和垂直线，可以得到一些等角关系、相似
三角形等，从而解题。
二、构造形状：
1. 构造圆、三角形、四边形：通过构造几何形状，可以利用其性质来解题。
2. 构造相似形：通过构造相似形状，可以利用相似三角形等性质来解题。
三、构造特殊点：
1. 构造重心、垂心、外心、内心：通过构造特殊点，可以利用它们的性质来解题。
2. 构造交点、中点：通过构造交点和中点，可以得到一些等分线段、等角关系等，
从而解题。
四、构造长度关系：
1. 构造比例关系：通过构造长度的比例，可以利用这些比例关系来解题。
2. 构造勾股定理：通过构造特殊的长度关系，可以利用勾股定理来解题。
构造法是一种灵活但有效的解题方法，在高中数学解题中应用广泛。
通过构造辅助线、形状、特殊点和长度关系等，可以利用它们的性质来解决各种几何问题。
在解题过程中要
善于观察和发现，合理运用构造法，提高解题的效率和准确性。
构造法在高中数学解题中的应用方法
构造法在高中数学解题中的应用方法
构造法是一种在数学解题中常用的方法，它通过构造一些特殊的对象或者关系，来解决问题。
在高中数学中，构造法经常用于代数问题、几何问题、组合问题等各个领域的解题过程中。
下面我们将重点介绍构造法在高中数学解题中的应用方法。
1. 构造等式：当遇到代数式中有未知数的时候，可以通过构造等式的方式来求解。
已知一个三位数的百位数字等于个位数字的平方，十位数字加个位数字等于百位数字的平方，则可以设这个三位数为abc（其中abc分别表示百位、十位、个位数字），则可以得到以下两个方程：a=b^2，b+c=a^2。
通过解方程组，可以得到a=1，b=1，c=1，故该三位数为111。
2. 构造函数关系：当遇到函数的性质需要求证时，可以通过构造函数关系的方式来解决。
证明对于任意实数x，都有f(x)=f(x+1)，可以构造一个以1为周期的函数
f(x)=sin(2πx)，通过对任意实数x和x+1代入，可以证明f(x)和f(x+1)相等。
1. 构造特殊图形：当遇到几何问题需要求证时，可以通过构造一些特殊的图形来解决。
证明一个四边形是平行四边形，可以先构造一个与该四边形相似的平行四边形，再证明它们是全等的。
1. 构造排列组合关系：当遇到排列组合问题需要求解时，可以通过构造排列组合关系的方式来解决。
求从10个球中选出3个球的方案数，可以通过构造一个由10个球组成的数列，并在数列中标记出选中的球，再计算方案数。
浅谈构造法在初级中学数学解题中的应用.doc
浅谈构造法在初中数学解题中的应用－[摘要］构造法是数学解题中常用的方法之一，适用于一些难以运用定向思维方法求解的数学问题，其本质就是利用已知数学关系式和数学理论，构造出满足条件的数学对象．数学构造法是一种极具创新性和技巧性的数学方法，往往会给学生解题带来眼前一亮的效果.ﻪ［关键词]初中数学构造法实践应用ﻭ解题思路是解决数学问题的核心,只有学生具有清晰明了的解题思路,才会取得显著的解题效果.数学构造法利用题设与结论之间的内在联系，将数学问题与学生熟知的数学概念、定理、公式等知识联系起来,实现未知向已知转化,复杂向简便转化.数学构造法的关键在于构造．那么,什么样的题型需要构造？怎样构造才更加有效呢?本文将从初中数学知识出发，探讨构造法在数学解题中的应用.一、方程构造法ﻪﻭ和ｂ4+b2－３=０,试根据已知条件求解代数式ａ4b4+4a4的值.ﻪﻭ分析:对于本题，学生首选的思路就是整体替换,利用已知条件中的a4、b2替换欲求解代数式中的a4b4.可是，在尝试过后不难发现,这样的做法不仅复杂，而且行不通.对此，教师不妨引导学生使用方程构造法，实现已知与未知的形式统一.由题中已知条件实数a、b满足代数式4a４-2a2-3=0 ﻪﻭ和b4+b2-3=０，所以我们可以得到（-２a2）２+(-２ａ２)-3=0 ﻪﻭ .ﻪ二、图形构造法ﻭ．ﻪ分析:对于此题,很多学生拿到手的第一件事就是想办法去除根号，再进行不等式的化简和证明．但是，这样的思路却被不等式复杂的形式所限制,难以解决.此时，我们不妨构造几何图形，将代数向图形进行转化,利用边长关系来进行证明.首先,由已知条件0 图1ﻪ∴OA+OC+ＯＢ+OD≥ＡC+BＤ＝22,即结论得证.ﻪ这样就实现了构造几何图形辅助代数的证明. ﻭ三、函数构造法ﻭ图2 ﻭ总之,构造法在初中数学解题中有着重要的意义和地位.我们必须以学生为本,致力于构造法的实践应用教学,提高学生解决初中数学实际问题的能力. ﻪﻭﻪﻭﻪﻭﻭﻭﻭﻭﻪ浅谈汉字字形基本知识的学习，中小学教育，《中小学教育》ﻭ内容摘要：对于没有接触过汉字的欧美留学生来说,汉字字形的学习是学习难点中的难点。
构造法在高中数学解题中的应用方法
构造法在高中数学解题中的应用方法
构造法是一种在数学解题中常用的方法，它通过构造特定的数、图形或形式来解决问题。
构造法在高中数学中的应用十分广泛，不仅能够帮助学生理解问题，还能够培养学生
的逻辑思维和创造力。
一、构造法在代数问题中的应用
1. 构造特殊的数：通过构造特殊的数来解决问题，如通过构造一个满足条件的整数、有理数或无理数等。
在解方程问题中，可以通过构造特殊的数来找到解的规律或确定解的
范围。
2. 构造函数式：通过构造合适的函数式来解决问题。
在函数的极值问题中，可以通
过构造一个函数式来描述问题，并通过分析函数式的性质来确定极值点。
3. 构造方程组：通过构造一组方程来解决问题。
在线性方程组的解题中，可以通过
构造一组满足条件的方程来确定未知数的值。
三、构造法在概率与统计问题中的应用
1. 构造样本空间：通过构造合适的样本空间来解决概率问题。
在求解随机事件的概
率问题中，可以通过构造一个恰当的样本空间来确定事件发生的可能性。
2. 构造频数表或频率分布图：通过构造频数表或频率分布图来解决统计问题。
在统
计一组数据的分布特征时，可以通过构造一个频数表或频率分布图来描述数据的分布情
况。
3. 构造统计模型：通过构造合适的统计模型来解决概率与统计问题。
在求解样本均值、方差等问题时，可以通过构造一个适当的统计模型来计算所需的统计量。
构造法在高中数学解题中的应用
在高中数学中,构造法是一种使用解方程绘制图形的方法，用于求解许多几何题目。
它也有助于理解数学的思想和技巧，以及学习解题方法。
构造法是数学分析的重要工具，能够使我们快速和准确地求出解答。
集合全体几何学性质的指令如何逐步实现目标。
首先，我们需要在几何图形上绘制已知的量，例如圆、线或角度，然后使用形状和角与边形成满足要求的形状，如三角形或者梯形，最后指出特殊形式的参数就可以了。
如果参数化并被开展，那么就可以把特定题型最优解转换成函数，并给出一个可行的答案。
在高中数学中，构造法可以应用于解决条件——几何问题。
这些问题侧重于找出满足某些要求的几何形状，如求一个三角形的边长，求圆的半径，求梯形的面积等。
例如有题问：在RR=3的圆内且距原点最近的点P的坐标是多少？首先要绘制RR=3的圆，并计算出离原点最近的点到原点的距离肯定大于等于半径。
这里半径为3，即MP≥3，然后，以原点为端点，经由P点绘制一条边满足MP=3即可，即得到直角PQR（Q为原点）。
这时我们可以求出P点的坐标：令∠QPR=90°，∵QP=3，∴∠PR=60°，由正弦定理可得：PR=3sin60°=3×0.866=2.598，得到P点的坐标：P（2.598，0）。
另外，构造法还可以应用于解决极坐标问题，如找到某两点之间的极坐标和直角坐标，求点在极坐标系中的指定距离空间坐标，求圆上某一点、求极坐标系中某角度等。
总之，构造法是在高中数学解题中比较常用的方法，广泛应用于解几何问题，考察学生如何才能应用构造法分析几何性质，明确步骤，正确使用正负的思维来判断，思考出最优解。
构造法在中学数学中的运用
构造法在中学数学中的运用
构造法是指通过构造图形或物体来解决问题的一种方法。
在中学数学中，构造法常常被用来帮助学生理解和解决各种数学问题，从而提高他们的数学能力和思维能力。
通过构造法，学生可以更直观地理解数学概念，同时培养他们的创造力和解决问题的能力。
本文将探讨构造法在中学数学中的运用，并阐述其重要性和优势。
构造法在中学数学中的运用主要体现在几何学和图形运动方面。
在几何学中，构造法被用来解决各种几何问题，例如证明几何定理、求解几何问题等。
通过构造图形或物体，学生可以更好地理解几何定理和性质，并通过观察和实践来发现几何规律。
在证明两条直线平行时，可以通过构造平行线的方法来解决问题；在求解三角形的面积时，可以通过构造高、中线等方法来辅助计算。
构造法不仅可以帮助学生解决问题，还可以增强他们对数学知识的理解和记忆。
构造法在图形运动方面也有重要的应用。
在中学数学中，学生需要学习各种图形的平移、旋转、对称等运动，构造法可以帮助他们更直观地理解这些运动规律，并掌握相应的变换方法。
在学习正多边形的对称性质时，可以通过构造正多边形的对角线，然后观察对称性质来理解；在学习图形的旋转运动时，可以通过构造旋转中心和旋转角度，然后进行实际操作来体会旋转规律。
通过构造法，学生可以更深入地理解图形运动的性质和规律，从而更好地掌握相关知识和技能。
构造法在中学数学中的运用具有重要的意义和作用。
通过构造法，学生可以更深入地理解数学知识，提高他们的数学能力和解决问题的能力。
教师和学生都应该重视构造法在数学学习中的作用，共同努力，为学生的数学发展和提高努力。
构造法在中学数学中的运用
构造法在中学数学中的运用【摘要】构造法是中学数学中一种重要的解题方法，通过引导学生进行具体的构造操作，培养他们的解决问题的能力。
在几何问题中，构造法可以帮助学生更好地理解和证明定理；在代数问题中，构造法可以让学生更直观地理解代数关系；在概率问题中，构造法可以帮助学生从实际情况中找到规律；在数论问题中，构造法可以帮助学生找到整数的性质和规律。
构造法的应用不仅是单纯地求解问题，更是让学生在实际操作中理解数学知识，培养他们的逻辑思维和创新能力。
构造法在中学数学中具有广泛的应用，不仅能够提高学生的数学水平，也能够激发他们的学习兴趣，是数学学习中不可或缺的重要方法之一。
【关键词】构造法、中学数学、解决问题、思路、几何问题、代数问题、概率问题、数论问题、广泛应用、学生能力、重要方法。
1. 引言1.1 构造法在中学数学中的运用构造法是中学数学中一种常用的解题方法，通过构造出符合条件的情况，来解决数学问题。
构造法在中学数学中的运用涉及了几何、代数、概率和数论等多个领域，可以帮助学生更好地理解数学知识，并培养他们的解决问题能力。
在日常生活和学习中，我们经常会遇到各种数学问题，而构造法正是帮助我们解决这些问题的利器。
通过构造出符合条件的图形、方案或数的性质，我们可以简化问题，找到解题的关键点，从而更快地得出结论。
构造法在几何问题中的应用尤为广泛，比如证明两角相等、证明三点共线等问题都可以通过画图构造来解决。
在代数问题中，构造法可以帮助我们找到未知数的关系，从而得出答案。
在概率问题中，通过构造各种可能的事件，可以计算出概率的大小。
而在数论问题中，构造法可以帮助我们找到规律，并证明一些数论结论。
构造法在中学数学中有着广泛的应用，不仅可以帮助学生更好地理解数学知识，还可以培养他们解决问题的能力。
构造法是数学学习中重要的方法之一，希望学生能够认真学习和掌握这种方法，从而在数学学习中取得更好的成绩。
2. 正文2.1 解决数学问题的基本思路解决数学问题的基本思路是指导学生如何正确有效地解决各种数学难题的一套方法论。
构造法在数学解题中的应用_毕业论文
浅谈构造法在解题中的应用内容摘要数学思想方法在中学数学教学中有着十分关键的地位，在高中数学教学中，构造思想方法是一种极具创造性的数学思想方法，它充分渗透在其他的数学思想方法之中。
利用构造法解题可以更直观，更简单的解决比较复杂的数学问题。
鉴于此，本文的重点主要体现在构造法在解题中的应用上。
具体来说，本文将重点阐述以下几个问题：构造法的理论简介及应用:如构造函数、构造向量、构造数列、构造方程、构造几何模型、构造递推关系式、构造等价命题等。
【关键词】数学解题构造法数学问题Construction method in solving problemsAbstractMathematical way of thinking in mathematics teaching in secondary schools has a very key position.mathematics teaching in high school,structure of thinking is a highly creative mathematical thinking.It fully permeate into other mathematical way of thinking.Solving Problems by construction can be more intuitive and easier to solve complicated mathematical problems.In view of this,This article focuses mainly in the construction method in solving problems.Specifically,this article focuses on the following issues:the definition of construction method,In Algebra:Construction expression and formula, structural equation, structural relationship, constructors, construction proposition, construction sequence, structural model, structural vector, etc.【Key words】Mathematical problem solving Construction method Math problems目录一、引言 (2)二、构造法的理论简介 (2)（一）构造法 (2)（二）构造法的历史过程 (3)（三）构造法的特征 (3)三、构造法在解题中的应用 (4)（一）构造函数 (4)（二）构造向量 (5)（三）构造数列 (5)（四）构造方程 (6)（五）构造几何模型 (7)（六）构造递推关系式 (8)（七）构造等价命题 (8)四、结束语 (9)参考文献： (9)致谢： (9)浅谈构造法在解题中的应用学生姓名：指导老师：一、引言数学思想方法是解数学题的灵魂，构造法作为一种传统的数学思想方法，在数学产生时就存在。
构造法在高中数学解题中的应用方法
构造法在高中数学解题中的应用方法1. 引言1.1 介绍构造法在高中数学解题中的重要性构造法在高中数学解题中扮演着重要的角色，它是一种重要的解题方法，可以帮助学生更好地理解和解决数学问题。
构造法在高中数学学习中扮演着至关重要的角色，不仅仅是因为它可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，更重要的是，构造法可以培养学生的逻辑思维能力和创造性思维能力。
通过构造法解题，学生需要分析问题的特点，寻找问题的根本规律，然后根据规律进行构造推导，最终达到解题的目的。
构造法的应用不仅可以让学生更好地理解和应用数学知识，还可以培养他们的逻辑思维能力和创造性思维能力，提高他们的问题解决能力和创新能力。
构造法在高中数学解题中具有重要的应用价值，对学生的数学学习和发展起着积极的促进作用。
2. 正文2.1 什么是构造法构造法是一种数学解题方法，通常用于解决几何、代数和概率等问题。
它是一种通过构造特定形状或对象来达到解题目的目的的方法。
在解决问题时，我们可以通过构造法来建立一定的几何图形或特定的代数表达式，从而找到问题的解决方案。
构造法的核心思想是通过构造特定的结构或对象，来揭示问题的本质并找到解决问题的方法。
构造法有许多种形式，比如利用平移、旋转、反射等方法来构造几何图形，利用等式变形、代数式构造等方法来解决代数问题，利用概率模型来构造概率问题的解决方法等。
构造法在数学解题中起着至关重要的作用，它能够帮助我们更好地理解问题的本质并找到解决问题的方法。
通过构造法，我们能够更加灵活地思考和处理各种数学问题，提高解题的效率和准确性。
在高中数学学习中，掌握构造法的方法和技巧对于提高数学解题能力至关重要。
2.2 构造法的基本原理构造法的基本原理是一种通过建立特定结构或模型来解决数学问题的方法。
在数学解题中，构造法通常涉及到创建或构建一些可以帮助我们理解和解决问题的图形、符号、方程式或其他形式的模型。
1. 确定问题：首先需要确切地理解题目要求和问题类型，确定需要解决的具体问题。
构造法在中学数学中的运用
构造法在中学数学中的运用1. 引言1.1 构造法在中学数学中的运用构造法在中学数学中的运用是一种重要的解题方法，通过构造新对象或建立新关系来解决数学问题。
在中学数学教学中，构造法被广泛应用于几何、代数、数论、概率论等不同领域。
构造法可以帮助学生更好地理解数学知识，培养其解决问题的能力和思维方式。
在几何中的运用方面，构造法常常用于证明几何定理或解决几何问题。
通过构造新的图形或引入新的线段，可以简化证明过程或找到问题的解决办法。
在代数中的运用方面，构造法常常用于推导代数式，解方程组，或证明代数恒等式。
通过构造新的代数表达式或引入新的变量，可以简化代数运算或推导过程。
在概率论中的运用方面，构造法常常用于确定概率分布，推导概率关系，或求解概率问题。
通过构造新的随机变量或引入新的事件，可以简化概率计算或解决概率难题。
在解题方法中的运用方面，构造法常常用于解决复杂问题或找到问题的解决路径。
通过构造特定的对象或建立特定的关系，可以帮助学生思路清晰，步步推进，最终解决难题。
构造法在中学数学教学中起着重要作用，可以帮助学生培养综合运用数学知识的能力，提高解决问题的技巧和水平。
构造法的学习策略包括加强数学建模设计能力、提高问题解决思维能力、培养抽象思维能力等。
构造法的发展前景将在不断的科学研究和教学实践中得到进一步拓展和完善，为数学教育的发展提供新的思路和方法。
2. 正文2.1 构造法在几何中的运用构造法在几何中是一种重要的思维方法，通过构造辅助线、引入新点或者借助几何工具等方式，来解决几何问题。
在几何中，构造法可以被广泛运用于证明几何定理、求解几何问题以及展示几何关系等方面。
构造法在几何证明中起着至关重要的作用。
通过构造法，我们可以有效地展示几何定理的证明过程，使得证明更加直观明了。
在证明三角形相似时，可以通过构造高、角平分线或者相似三角形等方式，来展示各边、角之间的对应关系，从而达到证明的目的。
构造法在几何问题求解中也具有极大的帮助。
构造法在数学解题中的应用
构造法在数学解题中的应用
随着新型数学教学对学生能力和思维开拓的新要求，构造法作为一种独特的数学解决问题的方法，得到了广泛的应用。
通过学生自身创造性的构思，从实际问题中寻找出解决方法的技巧，将巧妙的思维技巧应用在数学解题中，从而提升学生的解题能力。
构造法的核心思想是，结合实际材料，从而构造出相应的解决方案的过程。
无论是数学问题，还是其它类型的问题，学生都可以从它们中构造出一个有效的解决方案。
它教会学生思想的灵活性，激发学生创新思维，促进理解和解决问题的能力。
作为一种先进的教学方法，构造法引入了新的解决问题的方法。
它可以培养学生思维能力和综合素质，培养学生未知领域探索的能力。
通过解决问题，学生需要分析认识问题，并从中找出解决问题的途径。
学生需要学会积极思考，从实际材料和经验中总结出具有普遍性的规律，这有助于他们更好地理解数学概念，在解决实际问题时，可以灵活运用。
此外，构造法也是一种解决数学问题的有效方法。
在解题过程中，学生需要从数学中获取有关的知识，并将其应用到实际问题中。
例如，在解决几何图形问题时，可以通过图形中可以找到的条件，找到几何描述的方法，从而解决问题。
同样，在解决抽象数学问题时，也可以通过对数学定理的利用，将数学定理运用到实际问题中，解决问题。
总之，构造法在数学解题中具有重要的作用。
它不仅可以提高学生独立思考和综合素质，还可以提升学生解题能力，从而避免学生受
到学习困难的影响。
此外，构造法也可以深化学生对数学概念的理解，促进学生对数学问题的独创性解决。
因此，构造法在数学解题中的应用有着重要意义，应受到认真重视。
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浅析构造法在解题中的应用袁炳金（ 四川省射洪中学 ，629200）数学的人文价值不仅为数学是现代文明的一部分，而且体现为数学对现代文明的深远影响。
所以，置身于平凡抽象的数学问题中，追求思维简易化，挖掘蕴涵其中的数学思想，整理归纳其中的数学方法，学会“点石成金”之术，建立完整的知识网络体系，发展真正的数学创新能力，这是数学学习的宗旨。
构造法，它是根据问题中的条件或结论的特征，以问题中的数学关系为“框架”，以问题中的数学“元件”，构造出新的对象或数学模型，从而使问题转化并得到解决的方法。
它往往表现出简洁、明了、精巧，新颖等特点。
但如何应用构造法解题，这是一项创造性工作，现结合一些具体的题目，略陈管见。
一、构造对偶式 解决问题前，充分观察所给式子的结构特征，构造出与已知式子结构相同或对称，奇偶、正余函数对换的式子，然后把它与原式经过或加减或乘除进行研究，有时会得到意想不到的效果。
例1. （1）求︒︒+︒+︒50cos 20sin 50cos 20sin 22的值；（2）求证121212......654321-<-⋅⋅n nn（1）解：令A=︒︒+︒+︒50cos 20sin 50cos 20sin 22构造对偶式 B=︒︒+︒+︒50sin 20cos 50sin 20cos 22则：︒︒+︒︒+=+50sin 20cos 50cos 20sin 2B A︒+=70sin 2————————————————① ︒-︒+︒-=-30sin 100cos 40cos B A21)3070cos()3070cos(-︒+︒+︒-︒= 2170sin -︒-=————————————————② 由（①+②）÷2得A=43（2）证明：令n n A 212......654321-⋅⋅=构造对偶式 122......765432+⋅⋅=n nB显然：A<B 1211212+<⇒+=<⇒n A n AB A二、构造向量向量作为高中数学中很不起眼的一章，平时我们仅限于它自身知识的学习及作为其他章节的工具来用。
但实际上，因为它与标量的不同而形成的特殊运算规律与性质为我们解决多组数据或多维问题提供了很好的思维方向。
例2. （1）已知41sin sin =+βα，31cos cos =+βα，求)tan(βα+的值。
（2）已知πγβα20<<<<，0cos cos cos ,0sin sin sin =++=++γβαγβα， 求αβ-的值。
（3）求使函数x x x f cos 2sin )(-=取得最大值时的x tan 的值。
（1）解：构造向量)sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a得)41,31(=+，如图14331412tan ==+⇒βα 724)tan(=+⇒βα（2）解：构造向量)sin ,(cos ),sin ,(cos ),sin,(cos γγββαα===由题=++1===，如图2，,,三等分单位圆， 又πγβα20<<<<, 所以32παβ=- （3）解：构造向量)cos ,(sin ),2,1(x x b a =-=显然b a x f ∙=)(，而≤∙，所以当且仅当a 与b 同向时)(x f 取最大值，图1图2此时21tan -=x 。
三、构造方程方程是我们再熟悉不过的了，但我们的学习不止与此，其它非方程问题是否也能够运用方程的思想来研究呢？ 例3. （1）求 (3)1313132+++的值； （2）在ABC ∆中，求证：81cos cos cos ≤C B A （1）解：构造方程x =+++ (31)313132 则：x x 3131......)313131(313132+=++++=21=⇒x当然，学习了等比数列我们这是一个无穷递缩等比数列的所有项之和问题，213113111=-=-=qS a（2）证明：构造方程: 令C B A x cos cos cos =[]C B A B A x cos )cos()cos(21-++=,02cos )cos(cos 2=+--⇒x C B A C由08)(cos 2≥--=∆x B A)(cos 812B A x -≤⇒81≤⇒x四、构造数列数列作为特殊的函数，它与函数既联系又区别。
对于正整数问题我们可以考虑用数列思想来研究。
例4. （1）已知不等式()32log 12121......21111+>+++++-a a n n n 对于N ∈n 且2≥n 恒成立，求a 的范围；（2）设()1......3221+++⨯+⨯=n n S n ，求证：()()21212+<<+n S n n n （1）解：构造数列{n a }: 令nn n a n 21......2111+++++=则：)1(2112121......31211++++++++=+n n n n n a n11)1(211211+-+++=-+n n n a a n n 0221121>+-+=n n 所以{}n a 单调递增只需32log 121)1(2+>-a a a )251,1(+∈⇒a （2）证明：构造数列{n a }: 令)1(+=n n a n而212)1(+=++<<n n n a n n )21(......)212()211(......321++++++<<++++⇒n S n n2)1(222)1(22+<+<<+⇒n n n S n n n 五、构造函数在高中阶段函数的地位是相当重要的，函数的图像和性质（尤其是函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性）为我们解决很多问题都带来了极大的方便。
所以在解题时，我们可以构造函数的性质解题或利用函数图像数形结合解题。
例5. （1）解方程：()x x x x +=-+-331212；（2）已知()1,0,,∈z y x ，证明：()()()1111<-+-+-x z z y y x 。
（1）解：构造函数x x x f +=3)(，显然)(x f 为单调递增函数由题)()12(x f x f =-x x =-⇒12 1=⇒x（2）证明：构造函数()()()1111)(--+-+-=x z z y y x x f1)1(--++--=yz z y x z y )1,0(∈x则)(x f 为一次函数或常值函数，且)1,0(,∈z y 。
因为0)1)(1()1()0(<---=+---=z y z y yz f 且0)1(<-=yz f0)(<⇒x f即：()()()1111<-+-+-x z z y y x 得证。
当然，根据题目的条件我们还可以构造曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）来解题。
六、构造几何图形在解决代数问题时还可以构造一些几何图形，让所给的量与关系在图形中反应出来，我们通过数形结合使问题变得简洁、明了，从而解决问题达到事半功倍的效果。
例6.（1）在ABC ∆中，2,3==a A π，则()_________max =∆ABC S ；（2）若+∈R c b a z y x ,,,,,，且k c z b y a x =+=+=+， 证明：2k cz by ax <++。
（1） 分析：因为任何一个三角形都有外接圆，由2==BC a ，3π=A ，所以构造图3所示ABC ∆的外接圆。
当点A 在BC 所对的优弧上时，∠A 的大小都不变。
很显然，当A 移动到弦BC 的中垂线与BC 的优弧的交点A ’时，三角形的面积最大。
此时三角形为等边三角形，()3max =∆ABC S 。
（2） 分析：由条件构造边长为k 的正ABC ∆（如图4）。
在三边上依次取分点D 、E 、F使z CD y BF x AE ===,,。
很显然ABC CD F BEF AED S S S S ∆∆∆∆<++。
然后运用正弦定理的面积公式即可得出结论：2k cz by ax <++。
七、构造二项式或多项式 例7.（1）化简_______1010910210110110010=+⋅⋅⋅++c c c c c c ;(2 )有限集S 的全部元素之积称为S 的“积数”，给定⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⋅⋅=1001,,41,31,21M ，则M的所有含偶数个元素的子集的“积数”之和为__________。
解：（1）构造1010)1()1(x x ++，因为c c c c c c 1010910210110110010+⋅⋅⋅++c c c c c c 010910810110910010+⋅⋅⋅++=表示1010)1()1(x x ++展开式中9x 项的系数，而图3y CF 图4201010)1()1()1(x x x +=++，20)1(x +展开式中9x 项的系数为c 920。
所以，=+⋅⋅⋅++c c c c c c 1010910210110110010c920。
（2）构造99992210)1001()41)(31)(21(x a x a x a a x x x x +⋅⋅⋅+++=+⋅⋅⋅+++， 由题即求9731a a a +⋅⋅⋅++。
显然199=a ，再分别令1=x 和1-=x 即可得20048519731=+⋅⋅⋅++a a a 。
总之，在解决有关数学问题时，我们要善于从多角度认识题目中的条件和结论的特征，挖掘出它们之间的内在联系，熟练、灵活的我们所学的数学知识必将能得到意想不到、事半功倍的效果。