浅析构造法在解题中的应用

浅析构造法在解题中的应用

袁炳金

（ 四川省射洪中学 ，629200）

数学的人文价值不仅为数学是现代文明的一部分，而且体现为数学对现代文明的深远影响。所以，置身于平凡抽象的数学问题中，追求思维简易化，挖掘蕴涵其中的数学思想，整理归纳其中的数学方法，学会“点石成金”之术，建立完整的知识网络体系，发展真正的数学创新能力，这是数学学习的宗旨。构造法，它是根据问题中的条件或结论的特征，以问题中的数学关系为“框架”，以问题中的数学“元件”，构造出新的对象或数学模型，从而使问题转化并得到解决的方法。它往往表现出简洁、明了、精巧，新颖等特点。但如何应用构造法解题，这是一项创造性工作，现结合一些具体的题目，略陈管见。

一、构造对偶式 解决问题前，充分观察所给式子的结构特征，构造出与已知式子结构相同或对称，奇偶、正余函数对换的式子，然后把它与原式经过或加减或乘除进行研究，有时会得到意想不到的效果。

例1. （1）求︒︒+︒+︒50cos 20sin 50cos 20sin 2

2

的值；

（2）求证

1

21212......654321-<-⋅⋅n n

n

（1）解：令A=︒︒+︒+︒50cos 20sin 50cos 20sin 2

2

构造对偶式 B=︒︒+︒+︒50sin 20cos 50sin 20cos 2

2

则：︒︒+︒︒+=+50sin 20cos 50cos 20sin 2B A

︒+=70sin 2————————————————① ︒-︒+︒-=-30sin 100cos 40cos B A

2

1)3070cos()3070cos(-︒+︒+︒-︒= 21

70sin -

︒-=————————————————② 由（①+②）÷2得A=4

3

（2）证明：令n n A 21

2......654321-⋅⋅=

构造对偶式 1

22......765432+⋅⋅=n n

B

显然：A

211

21

2

+<⇒+=<⇒n A n AB A

二、构造向量

向量作为高中数学中很不起眼的一章，平时我们仅限于它自身知识的学习及作为其他章节的工具来用。但实际上，因为它与标量的不同而形成的特殊运算规律与性质为我们解决多组数据或多维问题提供了很好的思维方向。 例2. （1）已知41sin sin =

+βα，3

1

cos cos =+βα，求)tan(

βα+的值。 （2）已知πγβα20<<<<，0cos cos cos ,0sin sin sin =++=++γβαγβα， 求αβ-的值。

（3）求使函数x x x f cos 2sin )(-=取得最大值时的x tan 的值。 （1）解：构造向量)sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a

得)4

1

,31(=+，如图1

43

3

141

2

tan ==+⇒βα 724)tan(=

+⇒βα

（2）解：构造向量)sin ,(cos ),sin ,(cos ),sin

,(cos γγββαα===

由题=++1===，如图2，,,三等分单位圆， 又πγβα20<<<<, 所以3

2π

αβ=

- （3）解：构造向量)cos ,(sin ),2,1(x x b a =-=

显然b a x f ∙=)(，而≤∙，所以当且仅当a 与b 同向时)(x f 取最大值，

图1

图2

此时2

1tan -

=x 。 三、构造方程

方程是我们再熟悉不过的了，但我们的学习不止与此，其它非方程问题是否也能够运用方程的思想来研究呢？ 例3. （1）求

(3)

1

313132+++的值； （2）在ABC ∆中，求证：8

1

cos cos cos ≤C B A （1）解：构造方程

x =+++ (31)

313132 则：x x 31

31......)313131(313132+=++++=

2

1=⇒x

当然，学习了等比数列我们这是一个无穷递缩等比数列的所有项之和问题，

21

3

1131

11=-=-=q

S a

（2）证明：构造方程: 令C B A x cos cos cos =

[]C B A B A x cos )cos()cos(2

1

-++=

,02cos )cos(cos 2=+--⇒x C B A C

由08)(cos 2≥--=∆x B A

)(cos 81

2B A x -≤⇒

8

1≤⇒x

四、构造数列

数列作为特殊的函数，它与函数既联系又区别。对于正整数问题我们可以考虑用数列思想来研究。

例4. （1）已知不等式()3

2log 12121......21111+>+++++-a a n n n 对于N ∈n 且2≥n 恒成立，求a 的范围；

（2）设()1......3221+++⨯+⨯=n n S n ，求证：

()()2

1212

+<<+n S n n n （1）解：构造数列{n a }: 令n

n n a n 21

......2111+++++=

则：)

1(2112121......31211++++++++=

+n n n n n a n