量子力学-波函数与波动方程 Ⅴ. 不含时间的薛定谔方程,定态问题 Ⅵ. 不确定关系_
2量子力学-波函数和薛定谔方程
在时刻t、在 (x,y,z) 点附近，单位体积内找到 粒子的概率，即概率密度 w(x, y, z, t) 为：
w(x, y, z, t)=dW(x, y, z, t)/dτ = C |Φ(x, y, z, t)|2
(2)归一化波函数
由于粒子存在于空间中，即在整个空间出现的 总的概率为1，所以有
|
(rr )
|2
d
(2) 动量平均值
一维情况：令ψ(x)是归一化波函数，相应动量表象 波函数为
1
c( px ) (2 h)1/ 2
i
(x) e h
px x
dx
| c( px ) |2 粒子动量为px的概率密度， 则有
px
px
px
| c( px ) |2
dpx
§2.3 薛定谔(Schrodinger)方程
§2.1 波函数的统计解释
一. 波函数 二. 波函数的统计解释 三. 波函数的性质 四. 多粒子体系的波函数
一. 波函数
1. 经典粒子运动状态的描述 经典粒子的运动状态由坐标 r 和动量 p 来描述
2. 微观粒子的运动状态由波函数 (r,t) 来描述
基于下述考虑: 1.经典粒子的描述方法反映不了波粒二象性； 2.坐标 r 和动量 p 不能同时确定，不确定关系； 3.自由粒子可以用德布罗意平面波描述。
• 3个问题？ (1) 是怎样描述粒子的状态呢？ (2) 如何体现波粒二象性的？ (3) 描写的是什么样的波呢？
二. 波函数的统计解释
经典概念中 粒子意味着
1. 有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2. 有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
量子力学-第二章波函数和薛定谔方程
因发现原子理论新的有 效形式与狄拉克
荣获1933年
RETURN
诺贝尔物理学奖
32
二. 方程的讨论
1. 概率流密度和守恒定律 设t时刻，x点周围单位体积内粒子出现的概率
w x,t * x,t x,t
概率随时间的变化规律
w * *
t
t t
因为 i 2 1 U x
t 2m
概率密度：
w x, y, z,t dW C x, y, z,t 2
dV
3.波函数的性质
(1) x, y,是z,t单 值、有界、连续的； (2) x, y,与z,t C描x写, y同, z,一t 状态。
20
(3)波函数的归一性 ① (x, y是, z)平方可积的,则可归一化，
2
dV 1
玻恩（M.Born)：在某一时刻, 空间 x 处粒子出现 的概率正比于该处波函数的模方。粒子在空间出 现的概率具有波动性的分布，它是一种概率波。
19
设波函数 x, y, z,t t 时刻处于 x—x+dx，y—y+dy，z—z+dz内的
概率
dW x, y, x,t C x, y, z,t 2 dxdydz
c
q v B mv 2
q Br v
c
r
mc
与玻尔量子化条件联立,得
r2
n
1 2
2 q
c B
所以,粒子能量可能值为
En
1 2
mv 2
(n
1) 2
qB mc
(n 0,1, 2, )
10
V(x) 3.德布罗意假设的实验V(验x)证
（1）德布罗意—革末（Davison—Germer）
波函数与薛定谔方程
波函数与薛定谔方程引言：在量子力学中，波函数与薛定谔方程是两个核心概念。
波函数描述了粒子的量子态，而薛定谔方程则给出了波函数的时间演化规律。
本文旨在解释波函数与薛定谔方程的概念，并探讨它们在量子力学中的重要性。
一、波函数的定义与性质：波函数用符号Ψ表示，是随时间和空间变化的数学函数。
对于一个单粒子的量子系统，波函数Ψ(x,t)是描述其位置和时间依赖的函数，其中x表示位置，t表示时间。
波函数的模的平方|Ψ(x,t)|²（也称为概率密度）给出了在某个位置找到粒子的概率。
波函数的归一化要求概率密度在整个空间积分为1，即∫|Ψ(x,t)|²dx = 1。
另外，波函数是复数形式的，通过它可以得到粒子的相位和幅度信息。
二、薛定谔方程及其意义：薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1925年提出的，用于描述量子系统的演化。
薛定谔方程的一般形式为：ih∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，h是普朗克常数，Ψ是波函数，H是哈密顿算符。
薛定谔方程可以看作是一个时间演化方程，它告诉我们波函数如何随时间变化。
三、薛定谔方程的解与量子态的演化：薛定谔方程的解Ψ(x,t)给出了波函数在时间和空间上的演化规律。
解薛定谔方程有多种方法，其中最常见的是分离变量法、微扰法和数值计算法。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子在不同时间、不同位置的波函数。
薛定谔方程解的平方Ψ(x,t)²表示了在经典条件下，在某个位置x找到粒子的概率密度分布。
波函数的演化规律是通过薛定谢方程来描述的，因此它反映了量子态的演化过程。
波函数的演化可以告诉我们粒子的位置、动量和能量等重要信息。
四、波函数的物理意义：波函数不仅仅是一个数学概念，它具有重要的物理意义。
首先，波函数的平方给出了在某个位置找到粒子的概率密度分布。
这一点与经典物理中的粒子位置概念是不同的，因为在量子力学中，粒子的位置是模糊的，只能通过概率来描述。
其次，波函数还包含了粒子的相位信息。
量子力学中的波函数与薛定谔方程
量子力学中的波函数与薛定谔方程量子力学是研究微观粒子行为的物理学分支，它提供了一种描述微观粒子状态和性质的数学框架。
波函数和薛定谔方程是量子力学中最基本的概念和方程，它们对于理解量子世界起着至关重要的作用。
一、波函数的概念与性质在量子力学中，波函数是描述一个粒子状态的数学函数。
波函数通常用希腊字母Ψ表示，它的本质是由Schrödinger方程产生的解。
波函数的平方的绝对值表示了在给定的坐标和时间点上发现粒子的概率密度。
波函数具有以下几个重要的性质：1. 归一化性：波函数的归一化要求其在整个空间范围内的概率积分为1，保证了粒子存在的概率。
2. 连续性：波函数在连续性要求下需要满足薛定谔方程，保证了粒子的连续性。
3. 可复的性：波函数可复性表示波函数可以是复数形式，具有实部和虚部。
二、薛定谔方程薛定谔方程是描述量子体系中波函数随时间演化的基本方程，由奥地利物理学家艾尔温·薛定谔于1926年提出。
薛定谔方程可以用于求解各种量子力学问题，从而得到波函数。
薛定谔方程的一般形式为：HΨ = EΨ其中，H是哈密顿算符，Ψ是波函数，E是能量。
薛定谔方程可以通过对哈密顿算符作用于波函数得到，它描述了波函数随时间的变化规律。
三、波函数与薛定谔方程的应用波函数和薛定谔方程在量子力学的各个领域都有广泛的应用。
下面以几个典型的例子来说明其在实际问题中的应用。
1. 粒子在势场中的行为：通过求解薛定谔方程，可以得到粒子在给定势场中的波函数。
根据波函数的模方，可以得到粒子在势场中的概率分布，进而研究其运动规律。
2. 量子力学中的双缝实验：双缝实验是量子力学的经典实验之一。
通过薛定谔方程可以得到双缝实验中的波函数，从而解释了粒子的波粒二象性。
3. 原子与分子结构：波函数和薛定谔方程在原子与分子结构的研究中发挥了关键作用。
通过求解薛定谔方程，可以得到原子与分子的能级结构和等离子态。
四、波函数与薛定谔方程的发展与挑战自薛定谔方程提出以来，波函数与薛定谔方程的研究不断发展，并面临着一些挑战。
定态薛定谔方程与不含时薛定谔方程
一、概述薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，描述了微观粒子的运动规律。
在量子力学中，薛定谔方程有两种常见形式，即定态薛定谔方程和不含时薛定谔方程。
本文将对这两种方程进行详细介绍和比较。
二、定态薛定谔方程1. 定态薛定谔方程的概念定态薛定谔方程是描述粒子在给定势场中的稳定状态下的运动规律的方程。
它是一个经典的波动方程，通过求解定态薛定谔方程，可以得到粒子在不同能级下的波函数和能量。
2. 定态薛定谔方程的数学形式定态薛定谔方程的数学形式为一维情况下的定态薛定谔方程为\[-\dfrac{ℏ^2}{2m} \dfrac{d^2ψ(x)}{dx^2} + V(x) ψ(x) = E ψ(x)\] 其中ℏ是普朗克常数，m 是粒子的质量，V(x) 是势能函数，E 是粒子的能量。
3. 定态薛定谔方程的物理意义定态薛定谔方程的解是波函数ψ(x)，它描述了粒子在给定势场中的稳定状态。
波函数的模长平方|ψ(x)|^2 表示了粒子出现在空间中不同位置的概率分布，能量 E 则是粒子的可能能级。
三、不含时薛定谔方程1. 不含时薛定谔方程的概念不含时薛定谔方程描述了粒子在外势场作用下的运动规律，它包含了时间变量 t。
通过求解不含时薛定谔方程，可以得到粒子在给定势场下的时间演化规律。
2. 不含时薛定谔方程的数学形式不含时薛定谔方程的一维形式为\[iℏ \dfrac{dψ(x,t)}{dt} = -\dfrac{ℏ^2}{2m}\dfrac{d^2ψ(x,t)}{dx^2} + V(x) ψ(x,t)\]其中 i 是虚数单位，ψ(x,t) 是描述粒子状态的波函数，V(x) 是势能函数。
3. 不含时薛定谔方程的物理意义不含时薛定谔方程的解是随时间演化的波函数ψ(x,t)，它描述了粒子在外势场中的运动规律。
通过求解不含时薛定谔方程，可以得到粒子在不同时间下的波函数演化，从而揭示了粒子在外势场中的时间行为。
四、定态薛定谔方程与不含时薛定谔方程的比较1. 数学形式定态薛定谔方程和不含时薛定谔方程在数学形式上有所不同。
量子力学中的波动方程与波函数解
量子力学中的波动方程与波函数解量子力学是描述微观世界中粒子行为的一套理论体系。
在量子力学中，波动方程与波函数解是非常重要的概念和工具。
本文将就量子力学中的波动方程以及如何求解波函数进行探讨。
一、波动方程的引入在量子力学中，波动方程用于描述粒子在时间演化过程中的行为。
波动方程的基本形式是薛定谔方程，也叫薛定谔波动方程。
它的一般形式如下：iħ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数除以2π，Ψ是波函数，t是时间，H是系统的哈密顿算符。
二、波函数的物理意义波函数Ψ是量子力学中描述粒子的状态的函数。
它包含了关于粒子位置、动量等物理量的所有信息。
波函数的模的平方|Ψ|²表示了在某个位置上找到粒子的概率密度。
三、定态薛定谔方程在某些情况下，系统的哈密顿算符H并不显含时间变量。
这时，薛定谔方程可以简化为定态薛定谔方程。
定态薛定谔方程的形式如下：HΨ = EΨ其中，E是能量本征值，Ψ是相应的能量本征函数或波函数。
四、波函数的求解方法对于简单的量子系统，我们可以通过求解薛定谔方程来得到波函数的解析表达式。
但对于一般的复杂系统，解析解往往难以获得，只能通过近似方法或数值计算来获得波函数的解。
数值方法主要包括薛定谔方程的数值求解和量子力学算符的数值模拟。
常见的数值方法有蒙特卡洛法、矩阵对角化方法、微扰理论等。
五、波函数解的物理意义和应用波函数解提供了关于粒子在量子力学体系中的行为的丰富信息。
通过波函数解，我们可以计算系统的能谱、态密度、相干性等物理量，并进一步研究系统的特性。
波函数解的应用非常广泛。
它在原子物理、凝聚态物理、量子信息等领域都有重要的应用。
例如，在原子物理中，通过求解氢原子的薛定谔方程，可以得到氢原子的波函数，从而计算能级和跃迁概率等物理量。
在凝聚态物理中，波函数解可用于研究晶体结构、电子能带等问题。
在量子信息领域，波函数解是研究量子计算和量子通信等问题的基础。
六、总结波动方程与波函数解是量子力学中的重要概念和工具。
波函数及薛定谔方程详解课件
03ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CATALOGUE
薛定谔方程在量子力学中的应用
无限深势阱
无限深势阱模型描述粒子被限 制在一定空间范围内运动的情 形，通常用于描述微观粒子在
势能无限高区域的行为。
在无限深势阱中，波函数具有 特定的边界条件，即在势阱边
界处波函数为零。
薛定谔方程在无限深势阱中的 解为分段函数，表示粒子在不 同势阱内的能量状态。
波函数及薛定 谔 方程详解课件
contents
目录
• 波函数简介 • 薛定谔方程概述 • 薛定谔方程在量子力学中的应用 • 波函数与薛定谔方程的关系 • 实验验证与实例分析 • 总结与展望
01
CATALOGUE
波函数简介
波函数的定 义
波函数是一种描述微观粒子状 态的函数，它包含了粒子在空 间中的位置和动量的信息。
06
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总结与展望
波函数与薛定谔方程的意义
波函数
波函数是描述微观粒子状态的函数， 它包含了粒子在空间中的位置、动量 和自旋等所有信息。通过波函数，我 们可以计算出粒子在给定条件下的行 为和性质。
薛定谔方程
薛定谔方程是描述波函数随时间变化 的偏微分方程，它反映了微观粒子在 运动过程中所遵循的规律。通过求解 薛定谔方程，我们可以预测粒子在不 同条件下的行为和性质。
时间相关形式
在有限域中，薛定谔方程的形式为 ifrac{dpsi}{dt}=Hpsi，其中H为哈密 顿算子。
薛定谔方程的解
分离变量法
对于具有周期性势能的情况，可以将波函数分离为几个独立的函数，分别求解 后再组合得到原方程的解。
微扰法
对于势能存在微小扰动的情况，可以通过微扰法求解薛定谔方程，得到近似解。
量子力学 第二章 波函数和薛定谔方程
x px
t E J
二.量子力学中的测量过程 1.海森伯观察实验 2.测量过程 被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响 不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上 它们就不可能同时具有确定的值
i p
p2 2
对自由粒子：
2 E p
2
∴
2 i 2 t 2
3.力场中运动粒子的波动方程 能量关系：
E p2 U (r , t ) 2
2 i 2 U (r , t ) t 2
4.三个算符
2 H 2 U 2
1。与宏观粒子运动不同。
2。电子位置不确定。
3。几率正比于强度，即 ( r , t )
2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的 强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒 子的几率成正比。
2 数学表达： (r , t ) | (r , t ) |
归一化：
2 (r , t )d | (r , t ) | d 1
3 2 i ( pr Et )
e
(r ) p
1 (2)
3 2
e
i pr
(r , t )
( r ) dp dp dp x y z c( p, t ) p
其中：
而：
i Et c( p, t ) c( p) e
而在晶体表面反射后的晶电子状态
状态的迭加。
p
为各种值的
量子力学中的波函数与薛定谔方程
量子力学中的波函数与薛定谔方程量子力学是描述微观粒子行为的一门物理学科，它提出了一种新的描述方式——波函数。
波函数是量子力学的核心概念，它可以用来描述粒子的位置、能量、动量等性质。
而薛定谔方程则是描述波函数随时间演化的数学表达式。
本文将重点讨论波函数与薛定谔方程在量子力学中的重要性和应用。
一、波函数的概念与性质波函数（ψ）是量子力学中对粒子状态的描述。
它是一个复数函数，包含了粒子位置、能量等信息，并且满足归一化条件，即在整个空间内的积分平方和为1。
波函数的模的平方，即|ψ|²表示粒子在某个位置上的出现概率密度。
波函数具有叠加原理，也就是说多个波函数可以叠加形成新的波函数。
这个叠加过程可以用波函数的线性组合来表示，其中各个波函数所对应的系数表示了它们的相对贡献程度。
二、薛定谔方程的形式与意义薛定谔方程是描述波函数随时间演化的方程，它是由薛定谔于1925年提出的。
薛定谔方程的一般形式为：Ĥψ = Eψ其中Ĥ为哈密顿算符，E为能量本征值，ψ为波函数。
这个方程描述了体系中的粒子在不同的势场中的运动规律。
三、波函数与薛定谔方程的应用1. 原子结构与电子行为在原子结构研究中，波函数被用来描述电子在原子核周围的分布情况。
薛定谔方程可以求解出不同原子的能级和电子轨道分布，从而解释和预测原子光谱的性质。
2. 材料物性与波函数分析波函数可以用来研究材料的结构和物性。
通过计算材料中的波函数，可以得到材料的能带结构、电子密度分布等信息，从而揭示其导电性、磁性等特性。
3. 量子力学中的粒子碰撞在粒子碰撞研究中，波函数描述了入射粒子和出射粒子之间的相互作用。
利用薛定谔方程求解波函数，可以计算出散射截面、角分布等碰撞参数。
4. 量子计算和量子通信波函数的叠加性为量子计算和量子通信提供了基础。
量子计算利用波函数的叠加原理，利用量子态的叠加特性进行并行运算，从而加快计算速度；量子通信利用波函数的纠缠性质，实现了安全的信息传输。
量子力学中的波动方程和波函数演化
量子力学中的波动方程和波函数演化量子力学是描述微观世界中微粒行为的一套理论体系，其中波动方程和波函数演化是重要的概念和工具。
本文将详细介绍量子力学中的波动方程和波函数演化。
一、波动方程在量子力学中，波动方程描述了粒子在各种势场中的运动行为。
波动方程的一般形式为薛定谔方程，即薛定谔波动方程。
薛定谔方程的表达式为：$$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = \hat{H}\psi$$其中，$\psi$表示波函数，$\hat{H}$表示哈密顿算符，$i$表示虚数单位，$\hbar$为普朗克常数除以$2\pi$。
薛定谔方程是一个偏微分方程，用于描述波函数随时间的演化。
它表示波函数的时间导数与哈密顿算符作用于波函数之间的关系。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到波函数随时间的演化规律。
二、波函数演化波函数演化是指波函数随时间的变化过程。
根据薛定谔方程，我们可以求解得到波函数在不同时间的表达式，从而了解粒子的运动状态随时间的演变。
在一维情况下，假设势能场为静态的，即不随时间变化，那么波函数的时间演化可以由薛定谔方程的定态解得到。
定态波函数一般形式为：$$\psi(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}$$其中，$A$、$B$为常数，$k$为波矢。
对于势能场为动态的情况，波函数的时间演化需要考虑势能的变化。
这时可以采用定态波函数的线性叠加形式，即波函数可以表示为各个定态波函数的叠加。
在三维情况下，波函数的时间演化可以通过薛定谔方程的定态解以及球谐函数展开得到。
定态波函数的形式为：$$\psi(r,\theta,\phi) = \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l}C_{lm}Y_{lm}(\theta,\phi)\frac{e^{ikr}}{r}$$其中，$C_{lm}$为系数，$Y_{lm}(\theta,\phi)$为球谐函数，$k$为波矢。
量子力学第二章波函数和薛定谔方程PPT课件
③波函数一般满足连续性、有限性、单值性。
10
3．波函数的归一化条件
令
(r,t)C (r,t)
t 时刻，在空间任意两点 r 和1
对几率是：
处r 2 找到粒子的相
((rr1 2,,tt))2 2C C((rr1 2,,tt))2 2((rr1 2,,tt))2 2
r , t 和 r ,所t 描写状态的相对几率是相同的，
这里的 是常数C 。
11
非相对论量子力学仅研究低能粒子，实物粒子不会产 生与湮灭。这样，对一个粒子而言，它在全空间出现的 几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率具有相对 性，只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不 取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数 后，所描写的粒子状态不变，即:
➢ 2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
➢ 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
The current density of particles and conservation
laws
➢ 2.5 定态薛定谔方程
Time independent Schrödinger equation
8
设粒子状态由波函数 (r ,描t)述，波的强度是
(r,t)2*(r,t)(r,t)
按Born提出的波函数的统计解释,粒子在空间中
某一点 r 处出现的概率与粒子的波函数在该点模的
平方成比例
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的几
量子力学第二章波函数及薛定谔方程 ppt课件
例.1 已知一维粒子状态波函数为
(rv,t)Aexp 1 2a2x22 it
求归一化的波函数，粒子的几率分布，粒子在何处 出现的几率最大。
解:
(1).求归一化的波函数
(r ,t)2d xA2 e d a2x2 x A 2
归一化常数 Aa/ 1/2
1
a2
归一化的波函数
(rv,t)a/
则微观粒子在t 时刻出现在 rv 处体积元dτ内的
几率
d W (r v ,t) C (r v ,t)2d
观客这体表运明动描的写一粒种子统的计波规是律几性率，波波(函概数率波 )rr,,反t 有映时微
也称为几率幅。
某一点按Brov r处n提出出现的的波概函率数与的粒统子计的解波释函,数粒在子该在点空模间的中
3 3 e i(2 x h )/h , 6 (4 2 i)e i2 x /h .
2.已知下列两个波函数
1(x)
Asin
n
2a
(xa)
0
| x|a | x|a
n1,2,3,L
2(x)
Asin
n
2a
(xa)
| x|a
n1,2,3,L
0
| x|a
试判断: (1)波函数 1 ( x ) 和 2 ( x ) 是否描述同一状态?
440 Hz + 439 Hz + 438 Hz + 437 Hz + 436 Hz
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。 例如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小 ≈1A0 。
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？
“ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒 子也不是经典的波，但是我们也可以说，“ 电子既 是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析在量子力学中，薛定谔方程（Schrodinger Equation）是描述微观粒子行为的基本方程。
它以奥地利物理学家厄尔温·薛定谔（Erwin Schrodinger）的名字命名，是量子力学理论的核心。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m ∇²Ψ + VΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常量除以2π，∂Ψ/∂t表示波函数关于时间的偏导数，m是粒子的质量，∇²Ψ表示波函数的拉普拉斯算子，V是势能函数，Ψ表示波函数。
波函数Ψ是描述量子粒子的状态的数学函数。
它包含了粒子的位置、动量、自旋等信息。
根据量子力学的基本假设，波函数Ψ的模的平方|Ψ|² 可以解释为在不同位置找到粒子的概率密度。
薛定谔方程是一个偏微分方程，求解它得到的波函数解析表达式可以提供关于粒子行为的重要信息。
然而，对于复杂系统，薛定谔方程的解析求解并不容易。
因此，通常采用数值方法或近似方法进行求解。
对于简单系统，我们可以得到薛定谔方程的解析解。
以一维简谐振子为例，假设势能函数V(x) = 1/2 mω²x²，其中ω是振动频率。
代入薛定谔方程，可以得到一维简谐振子的波函数解析解：Ψ(x) = (mω/πħ)^(1/4) * exp(-mωx²/2ħ) * H(n) ((mω/ħ)^(1/2)x)其中H(n)是埃尔米特多项式（Hermite Polynomial），n为非负整数。
除了一维简谐振子，薛定谔方程的解析解还可以得到其他简单系统的波函数解。
例如，无限深势阱、方势垒、氢原子等都有其特定的波函数解析表达式。
对于更复杂的系统，如多粒子体系或相互作用系统，薛定谔方程的解析解非常困难。
这时，我们常常采用数值方法，如薛定谔方程的数值求解算法（如分裂算子法、变分法等）来获得波函数的近似解。
总之，薛定谔方程与波函数解析是量子力学研究中的重要内容。
量子力学中的波函数与薛定谔方程
量子力学中的波函数与薛定谔方程量子力学是一门研究微观粒子行为和性质的科学，它有着广泛的应用，涉及领域包括原子物理、凝聚态物理以及纳米技术等。
在量子力学中，波函数和薛定谔方程是两个核心概念，它们在理解和描述微观粒子的行为中起着重要的作用。
一、波函数的概念及性质波函数是描述微观粒子的状态的数学函数，通常用Ψ表示。
在三维空间中，波函数是位置矢量r和时间t的函数，即Ψ(r, t)。
波函数一般是复数，其绝对值的平方表示粒子出现在某个位置的概率密度。
根据波函数的性质，可以得出以下几点：1. 法波叠加性：如果物理系统同时存在多个可能的状态，波函数可以叠加这些状态，并通过线性组合来描述。
这是量子力学与经典力学的明显区别之一。
2. 规范化条件：波函数必须满足归一化条件，即∫Ψ*(r, t)Ψ(r, t)dV = 1，其中dV表示三维空间的体积元。
3. 相位不确定性：波函数乘以一个常数因子并不改变物理量的概率密度，因此相位的选择并不固定，只有波函数的相位差才是物理可观测的。
二、薛定谔方程的基本原理薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一，描述了波函数随时间演化的规律。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ(r, t)/∂t = -ħ²/2m∇²Ψ(r, t) + V(r)Ψ(r, t)其中ħ是普朗克常数的约化常数，m是粒子的质量，V(r)是粒子在位置r上的势能。
薛定谔方程是一个偏微分方程，通过求解薛定谔方程可以得到粒子的波函数，从而获得粒子的态信息。
薛定谔方程的解决方法有很多种，常见的包括分离变量法、变换法和数值方法等。
波函数的演化可以用薛定谔方程的解析解或数值解来描述，从而预测粒子的行为和性质。
三、波函数与量子态的关系波函数不仅仅是描述微观粒子的数学函数，它还与量子态有着密切的关系。
量子态可以看作是波函数的集合，表示了物理系统的所有可能状态。
波函数的演化过程中，量子态也相应地发生变化。
例如，一个具有确定能量的量子态会随着时间的推移而演化为多个能量本征态的叠加。
量子物理学中的薛定谔方程与波函数
量子物理学中的薛定谔方程与波函数量子物理学是一门非常神秘和富有挑战性的学科。
它探究的是原子和分子的微观世界。
在这个领域里，薛定谔方程和波函数是两个非常关键的概念。
本文将解释这些概念，并探讨它们在量子物理学中的重要性。
什么是薛定谔方程？薛定谔方程是描述量子系统的一个数学方程式。
它由奥地利物理学家艾尔温·薛定谔在1925年提出。
该方程式包括两个部分。
第一部分是哈密顿量，它表示系统的能量。
第二部分是波函数，它描述了物质的波动性。
薛定谔方程可以用来预测物质在量子级别上的行为。
通过求解这个方程式，我们可以确定一个量子物体在特定条件下的位置和能量。
这个方程式的发现提供了量子力学的基础，并深刻影响了现代物理学的发展。
薛定谔方程具有非常重要的应用。
它被广泛用于研究化学反应、半导体器件和量子计算等领域。
它还被用于描述新型材料的电子结构，对于研究材料的物理性质和特殊性能具有重要意义。
什么是波函数？波函数是指物体在特定时间实现某个状态的概率幅函数。
波函数可用于描述量子物体在不同位置的概率分布。
一般来说，波函数是一个包容性的概念，用于描述物质粒子在量子状态下的各种性质和特征。
在物理学中，波函数通常用希腊字母Ψ来表示。
Ψ( x , t )的平方表示了在某个时间点 t ，量子物体出现在 x 点的概率。
当然，这个概率并不等同于粒子实际出现在 x 点的机会，它只是在统计意义上的一个概率。
量子力学中的波函数呈现出诸如波动性、干涉性、不确定性等非经典性质。
例如，薛定谔方程可以描述双缝实验中的干涉效应，并解释有关实验结果的奇怪表现。
量子力学中还存在着类似于位置-动量不确定性原理等基本性质，这些都是通过对波函数的分析得出的。
波函数的概念并不容易理解。
但它的实际应用却是非常广泛和有力的。
许多技术和应用，例如核医学、半导体器件、量子计算等生活中应用，都依赖于对波函数的理解和利用。
从薛定谔方程与波函数的角度出发，我们可以更好地理解量子力学和量子物理学的许多基本概念。
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析量子力学是一门对于微观世界的描述和研究的科学，而薛定谔方程则是量子力学的核心公式之一。
薛定谔方程的提出不仅改变了科学界对于微观世界的认知，而且对于现代科技的发展也有着深远的影响。
本文将探讨薛定谔方程的内容以及与之相关的波函数解析。
首先，我们需要了解薛定谔方程的基本形式。
薛定谔方程是一个描述粒子在量子力学中运动的方程，它的一般形式可以写作：iħ∂ψ/∂t = Ĥψ其中，ψ是波函数，t是时间，ħ是普朗克常数，Ĥ是哈密顿算符。
薛定谔方程的这种形式被称为时间-相关薛定谔方程，它描述了波函数随时间演化的规律。
在解析波函数之前，我们首先需要了解波函数的物理意义。
波函数的平方模的绝对值的平方在某一点上的积分值，也就是密度波，表示了在这一点上找到粒子的概率。
因此，波函数可以看作是描述粒子在空间中分布的函数。
解析波函数是指通过薛定谔方程求得波函数的具体形式。
对于简单的系统，如自由粒子、势垒和谐振子等，可以通过求解薛定谔方程的定态解来得到波函数的具体形式。
定态解是指波函数不随时间变化的解，可以表示为：ψ(r,t) = Σ C_n ψ_n(r) e^(-iE_n t/ħ)其中，C_n是展开系数，ψ_n(r)是波函数的空间部分，E_n是能量。
对于不定态解，即波函数随时间变化的解，我们可以将波函数按能量本征态（定态解）展开。
这样，就可以得到波函数的解析表达式。
波函数的具体形式与实际问题密切相关。
对于一维自由粒子，其波函数的解析表达式为ψ(x,t) = A e^(ikx-ωt)，其中A是归一化常数，k是波数，ω是角频率。
这个解析表达式描述了自由粒子在空间中传播的波动性质。
对于势垒问题，波函数的解析解也可以通过求解薛定谔方程得到。
在势垒的两侧，波函数可以分别表示为反射波和透射波。
量子力学中的概率幅分布的特点使得粒子在势垒处发生反射和透射现象。
在实际的研究中，波函数的解析解不仅提供了精确的理论描述，还为物理定律的验证和应用提供了基础。
不含时的薛定谔方程
不含时的薛定谔方程
不含时的薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，用于描述粒子在给定势能下的波函数演化。
该方程将物质波的概念和波动方程相结合，通过求解该方程可以得到波函数的演化规律以及对应的能量。
不含时薛定谔方程的一般形式为：i ħ ∂Ψ(r, t)∂t=HΨ(r, t)，其中Ψ(r, t) 是波函数，H 是哈密顿算符，i 是虚数单位，ħ 是约化普朗克常数，r 是位置向量，t 是时间。
这个方程描述了粒子在空间中某一点的波函数随时间变化的规律。
不含时薛定谔方程的一个重要特性是，当哈密顿量不显式地包含时间时，该方程描述的是一个定态问题，即粒子在某一时刻的状态与时间无关。
此时，波函数将不随时间演化，只与粒子的能量有关。
通过求解不含时薛定谔方程，可以得到定态粒子的能量本征态和对应的能量本征值。
在实际应用中，不含时薛定谔方程通常用于计算粒子在给定势能下的稳定状态，即定态问题。
对于不同的势能函数，薛定谔方程会有不同的解，对应着不同的能量本征态和能量本征值。
这些解可以用在实际的物理问题中，例如计算分子的能级结构、原子光谱等。
不含时薛定谔方程的求解方法通常包括分离变量法、变分法、格林函数法等。
这些方法可以将复杂的多维问题简化为一系列的一维问题，从而可以方便地得到波函数的近似解或精确解。
总之，不含时薛定谔方程是量子力学中描述粒子状态演化的基本方程，可以用于解决一系列重要的物理问题，包括分子的能级结构、原子光谱、量子隧穿效应等。
对于这些问题的研究不仅有助于深入理解微观世界的规律，同时也为实际应用提供了重要的理论支持。
量子力学与原子：波函数、薛定谔方程与不确定性原理
• 波函数的引入：薛定谔方程的提出 • 电子自旋的发现：施特恩-盖拉赫实验 • 量子力学的矩阵表述：海森堡矩阵力学
量子力学的理论进展
• 波动力学的发展：狄拉克方程、泡利方程等 • 量子电动力学的发展：费曼图、重整化方法等 • 量子场论的发展：量子场论的基本原理、粒子物理标准模型等
02 波函数的概念及其物理意义
薛定谔方程在量子力学中的作用
• 薛定谔方程可以描述量子系统的动力学性质 • 薛定谔方程可以用于研究量子系统的物理性质，如能量本征值、本征态等
04 不确定性原理的基本概念及其影响
不确定性原理的提出与表述
不确定性原理的提出
• 量子力学的测量问题揭示了一个基本现象：不确定性原 理 • 不确定性原理表明，一个粒子的位置和动量不能同时被 精确测量
不确定性原理的解释
• 不确定性原理与波函数的概率解释有关 • 不确定性原理与量子力学的测量问题有关
不确定性原理对科学技术的影响与应用
不确定性原理对科学技术的影响
• 不确定性原理揭示了量子力学描述微观粒子的基本特征， 对科学技术的发展产生了深远影响 • 不确定性原理限制了微观粒子的精确测量，推动了量子 测量技术的发展
波函数的概率解释及其意义
波函数的概率解释
• 波函数的模平方表示粒子在某个位置出现的概率密度 • 波函数的相位表示粒子在某个位置出现的概率幅
波函数概率解释的意义
• 量子力学描述微观粒子的不确定性，波函数的概率解释反映了这种不确定性 • 量子力学预测的实验结果与波函数的概率解释相符
波函数的测量与坍缩现象
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量子力学与原子：波函数、薛定谔方 程与不确定性原理
CREATE TOGETHER
量子力学波函数与波动方程
的模的平方来描述。
但是， 电子是一个个出现的；
空间电子稀疏时，但时间足够长后，干 涉花纹照样出现。
§2.2 波函数的玻恩（Max Born,1926年） 概率诠释—概率波
Max Born 真正将量子粒子的微粒性和波动性 统一起来。 如电子用一波函数 (x) 来描述，则 ① 从上面分析可以看到，在 x x dx 范围 内，接收到电子多少是与
当然也不能用经典粒子和经典波来描述。
§2.1 波粒两象性：想像一个实验实验事实：
a．每次接收到的是一个电子，即电子确 是以一个整体出现； b. 电子数的强度 P1,P2，但
P1 P2 P12；
c．电子枪发射稀疏到，任何时刻空间至多 一个电子，但足够长的时间后，也有同样结果
因此，我们可得到下面的结论： a´. 不能认为，波是电子将自己以一定的 密度分布于空间形成的（因接收到的是一个个 电子），也不是大量电子分布形成的（稀疏时， 也有同样的现象）；
P(r, t)dr (r, t) 2 dr
（ P(r, t)dr 1 ）
说明两点： ① (r, t) 不是对物理量的波动描述。它有意 义的是，在体积元 r r dr 中发现粒子的概率 2 (r, t) dr ，所以它不代表物理实体，仅是 为 一概率波；
② 粒子是由波函数 (x, t) 来描述，但波函 数并不能告诉你，t0 时刻测量时，粒子在什么位 置。粒子位置可能在 x1 ，可能在 x 2 , 2 (x , t ) ，而 1 0 dx 在 x1 x1 dx 中发现粒子的概率为 也就是说， (x, t0 ) 2 在某 x 处越大，则在 t 0 时刻测 量发现粒子在该处的机会越多。（这表明，我 们讲的是能预言到什么，但我们不能说出测量的 结果）。
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rN,t)
2.3 2.6 2.7
第五讲
第二章 波函数与波动方程 Ⅴ. 不含时间的薛定谔方程，定态问题
A. 不含时间的薛定谔方程 B. 定态 Ⅵ. 不确定关系 A. 一些例子 B. 一些实验
C. 不确定关系是波粒二象性的 必然结果
D. 能量－时间不确定关系 E. 一些应用举例 第三章 一维定态问题 Ⅰ. 一般性质 A. 简并性定理 B. 不同的分立能级的波函数
解可表为
(r, t) eiHˆ (r,pˆ )(tt0) (r, t0 )
如何从 t 0 时刻的波函数来确定 t
时刻的波函数的问题，是量子力学要解决 的重要问题之一。
若自由粒子在 t 0 时，处于态
(x,0)
(22
)1
4
e(
x2 42
i
PK x
/
)
C(Px
)
1 (2π
)1
2
eiPx
x
dPx
C(Px
则
i (r, t) Hˆ (rˆ, Pˆ , t)(r, t)
t
称为含时间的薛定谔方程
但应注意，同一力学量的经典表示，可
得不同的量子力学表示，所以力学量表为
算符时，应注意：
a. 在直角坐标中表示分量 Pi ，再代 入算符表示；
b. 对于与 pi 形成线性函数形式的物理
量 Pifi(x,y,z) ，则取
有解
T(t) AeiEt /
所以，当 H 与 t 无关时，含时间的
薛定谔方程的特解为：
E(r,t) uE(r)eiEt /
其中 Hˆ (r, pˆ )uE(r) EuE(r)
•
方程被称为不含时间的薛定谔方程，或称 为能量本征方程。
1. 在上述方程中，E 实际上是体系的 能量。因为在经典力学中，粒子在一个与 t 无关的位势中运动，体系机械能守恒， 即具有一定的能量。而在量子力学中，对 应波函数随时间变化为
我们已知，当 Hˆ 与 t 无关时, 即 V(r,t) V(r) ，态随时间演化的规律为
(r, t) eiHˆ (r,pˆ )(tt0 )/ (r, t0 )
若 t＝t0 时处于定态，即 t0 时波函数为
E(r,t0 ) uE(r)eiEt0 /
则
E (r, t) eiHˆ (r,pˆ )(tt0 )/ E(r,t0 ) uE(r)eiEt
均值不随时间变化
A *Er,tA r, Pˆ Er,tdr
u*ErA r, Pˆ urdr
e．任何不显含 t 的力学量在该态中取 值的概率不随时间变化。
根据态叠加原理，若对体系测量力学
量 Aˆ 的值，如可取 a1, a2，…… ，那么
体系的可能态必为
(r, t) ca1 (t)va1 (r) ca2 (t)va2 (r)
对体系可按各种定态波函数展开来表 示。但只有按自身的定态波函数展开时， 系数 C 才与 t 无关。否则与 t 有关。
B. 定态： 1. 定态定义：具有确定能量的态，称
为体系的定态，或者说，以波函数
E(r,t) uE(r)eiEt /
（其中 Hˆ (r,pˆ )uE(r) EuE(r) ）描述的态称为定态。
在 t 0 时，概率密度最大处位于 x 0
（有一宽度 ( ) ）, 而平均动量为 PK 。
在 t0 时刻，粒子处于 x 的概率密度为
(22)1 2 1
t0
2m2
2
1
2
(x t0
em
PK
)2
22 1
t0
2m2
2
其包络线中心位于 PK t0 m 。所以群速 度
vg
PK m
dE dP PPK
3. 波函数随时间的演化 -Green函数
4．粒子数守恒 5. 多粒子体系的薛定谔方程
Ⅳ. 含时间的薛定谔方程（Austrian） A. Schrödinger’s equation的建立 对于自由粒子，是以一个波函数
(r, t) c(p) 1 ei(prEPt) dp
(2 )3 2
来描述。这波函数满足
2 2 1 2 1 t0
2m 2
2
1
2
x2e
x
t0 m
PK
2
1 t0 2m2 2
dx
t0PK m2
2 1
t0
2m 2
2
t
0PK
m2 t0PK
m2
2 1
t0
2m 2
2
高斯波包的传播
3. 波函数随时间的演化- Green函数
t 时刻的波函数，可由 t' 时刻的波
i
1
2
i
Pifi (x,y,z) fi(x,y,z)Pi
（fi 为实函数 ）
†
c. 如果是矢量，则先以 x,y,z 直角坐
标下的分量来表示，然后再作替换
Pi
i xi
，然后再换为其它坐标。
d. 如果力学量为
则
F
1 2
kk
fkk (q)pk pk
Fˆ
1 2
kk
i
†
qk
fkk (q)
E (r, t) 2 uE (r) 2
0 ˆj 0 t
这表明，在任何地方都无概率源，空间的 概率密度分布不变。
c．概率通量矢，不随时间变化
ˆj
i 2m
* E
r,
t
E
r,
t
E
r,
t
* E
r,
t
i 2m
u*E(r)uE(r) uE(r)u*E(r)
d．任何不含 t 的力学量在该态的平
是正交的
Ⅴ. 不含时间的薛定谔方程，定态问题
由初态 (x, t0 ) 求 (x, t) 一般是很困
难的，我们将介绍一些极为有用的特例，
即位势与时间无关， V(r, t) V(r) 。
A. 不含时间的薛定谔方程
i (r, t) Hˆ (rˆ, pˆ)(r, t)
t
pˆ 2 2m
V(r
)
(r,
由于 H 与 t 无关，可简单地用分离变 数法求特解。
令 (r, t) T(t)u(r)
iu(r) dT(t) Hˆ (r,pˆ )u(r)T(t)
dt
i 1 dT(t) 1 Hˆ (r, pˆ )u(r) 常数 T(t) dt u(r)
于是有
i dT(t) ET(t) dt
Hˆ (r, pˆ )uE(r) EuE(r)
2. 定态的性质：若体系的哈密顿量与 t 无关
a．体系在初始时刻（t＝0）处于一定 能量本征态 uE(r) ，则在以后任何时刻， 体系都处于这一本征态所相应的定态上
E(r,t) uE(r)eiEt /
它随时间变化仅表现在因子 eiEt / 上 。
b．体系的概率密度不随时间变化， 概率通量矢的散度为 0
概率通量矢是处处连续的。
5. 多粒子体系的薛定谔方程
设：体系有 n 个粒子，质量分别为
m1, m2 ，所处的位势为 V(ri ) ，相互作用 为 Vij(ri ,rj) ，则
Hˆ
i
Pi2 2mi
i
N
V(ri ) Vij(ri , r j)
ij
i
t
(r1
,r2
,
rN,t)
Hˆ (r1,P1,r2,P2, rN,PN,t) (r1,r2,
i 2m
(*
* )
ds
所以
d dt
2dr
0
若取
2
j i (* * ) 1 Re(*Pˆ)
2m
m
j 称为概率通量矢，则
j 0 t
上述表示即为概率守恒的微分形式。
d dt
dr
v
s
j
ds
这表明，单位时间内，体积中发现粒 子的总概率增加 (减少) 是等于从该体积表 面（S面）流入 (流出) 该区域中的概率。
i
qk
B. Schrödinger equation的讨论 1. 量子力学的初值问题： 当体系在 t0 时刻的状态为
(r, t 0 )
以后任何时刻的波函数 (r, t) 就完全由 S.eq. 所决定。这就是量子力学的因果 律，决定状态的演化。
如 Hˆ (rˆ, Pˆ , t) Hˆ (rˆ, Pˆ ) ，那 t 时刻的
现体系处于定态
E(r,t) uE(r)eiEt/
(ca1 va1 (r) ca2 va2 (r) )eiEt /
显然 cai 与 t 无关
2
cai (t)
cai eiEt /
2
2
cai
这正表明，对处于定态中的体系，测量
不显含 t 的力学量 Aˆ 取可能值的概率不变
Ⅵ. 不确定关系 由于粒子应由态函数 (r, t) 来描述。因
eiEt /
所以相应的实际上是体系的能量。描述动
量为 Px 的自由粒子的波函数，它随时间变
化就是
1 eiPx / iEPxt / 2
2. 一般而言，上述方程对任何 E 值都
• 有非零解。但由于对波函数有概率解释，
波函数有一定要求（自然条件），以及一
些特殊的边界要求(无穷大位势边界处等)。
这样能满足方程的解就只能取某些 E值 。由这而自然地获得能量的分立值（而 测量值只能是方程的非零解所对应的值）
3. 根据态叠加原理
E(r,t) uE(r)eiEt /
是含时间的薛定谔方程的一个特解，即， 是该体系的一个可能态。
所以普遍的可能态，即普遍解一定可 表为
(r,t) C(E)uE(r)eiEt/ dE