平面向量经典习题-提高篇
数学必修四平面向量提高题答案
数学4（必修） 第二章 平面向量 [提高训练C 组]一、选择题1.C (1,3),(2,3),//326,23AB a AC b AB AC b a a b =-=-⇒-=--=2.C 12(2sin cos ,2cos sin ),PP θθθθ=+---122(2PP ==≤= 3.C 单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当0b =时，与可以为任意向量； ||||b a b a -=+，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；还要考虑夹角4.C 2236916cos a b a a b b +=++=+= 5.C 21cos ,423a ba b πθθ====6.D 设(2,),b ka k k ==，而||25b =，则,(4,2),(4,2)k b ==±=--或二、填空题1.4 2(2c o s 3,2s i n 1),288s i )164a b a b πθθθ→→-=-+-=+-≤= 2.直角三角形 (1,1),(3,3),0,A B AC A B A C A B A C ==-=⊥3.(2222--或设所求的向量为22(,),220,1,x y x y x y x y -=+===4. 由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得22222222222222446a b a b a b a b a b a b ++-=+⇒+=+--=+⨯-= 5．43(,)55- 设2243(,),435,1,,55b x y x y x y x y =-=+===- 三、解答题 1.解：（1）若a b a c ⋅=⋅且0a ≠，则b c =，这是一个假命题因为,()0a b a c a b c ⋅=⋅⋅-=，仅得()a b c ⊥-（2）向量a 在b 的方向上的投影是一模等于cos a θ（θ是a 与b 的夹角），方向与a 在b 相同或相反的一个向量．这是一个假命题因为向量a 在b 的方向上的投影是个数量，而非向量。
高中数学专项训练(平面向量提升版)(含答案)
高中数学专项训练（平面向量提升版）（含详细解答）1. 若向量a ⃗=(−2,0),b ⃗⃗=(2,1),c ⃗=(x,1)满足条件3a ⃗⃗+b⃗⃗与c ⃗⃗共线，则x 的值为( ) A. −2 B. −4 C. 2 D. 42. 正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则λ+μ=( )A. 2B. 83C. 65D. 853. 如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、AD上的点，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=45AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，连接AC 、MN 交于P 点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则λ的值为( )A. 35B. 37C. 411D. 4134. 如图，已知△OAB ，若点C 满足，则1λ+1μ=( )A. 13B. 23C. 29D. 925. 已知平面向量a ⃗,b ⃗⃗是非零向量，|a ⃗|=2，a ⃗⊥(a ⃗+2b ⃗⃗)，则向量b ⃗⃗在向量a⃗⃗方向上的投影为( ) A. 1 B. −1 C. 2 D. −26. 若向量a ⃗⃗=(1,0)，b ⃗⃗=(2,1)，c ⃗⃗=(x,1)满足条件3a ⃗⃗−b ⃗⃗与c ⃗⃗共线，则x 的值( ) A. 1 B. −3 C. −2 D. −17. 已知向量BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−3)，向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4,−2)，则△ABC 的形状为( ) A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 直角非等腰三角形 D. 等腰非直角三角形 8. 设D 为△ABC 所在平面内一点，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+43AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λDC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ∈R)，则λ=( ) A. 2 B. 3 C. -2 D. −39. 已知边长为2的正方形ABCD 中，E 为AD 中点，连BE ，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅EA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=( ) A. −2 B. −1 C. 1 D. 210. 已知单位向量a ⃗⃗,b ⃗⃗满足|a ⃗+3b ⃗⃗|=√13，则a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为( )A. π6B. π4C. π3D. π211. 设向量a ⃗=(2,1)，b ⃗⃗=(0,−2).则与a ⃗+2b⃗⃗垂直的向量可以是( ) A. (3,2) B. (3,−2) C. (4,6) D. (4,−6)A. 25B. −25 C. 35D. −3513. 已知向量m⃗⃗⃗⃗=(1,2)，n ⃗⃗=(2,3)，则m ⃗⃗⃗⃗在n ⃗⃗方向上的投影为( ) A. √13B. 8C. 8√55D. 8√131314. 已知平面向量a ⃗=(−2,x)，b ⃗⃗=(1,√3)，且(a ⃗⃗−b⃗⃗)⊥b ⃗⃗，则实数x 的值为( ) A. −2√3 B. 2√3 C. 4√3 D. 6√315. 已知向量a ⃗⃗，b ⃗⃗满足a ⃗⋅b ⃗⃗=1，|a ⃗⃗|=2，|b ⃗⃗|=3，则|a ⃗−b⃗⃗|=( ) A. √13 B. 6 C. √11 D. 516. 向量a ⃗⃗=(2,−1)，b ⃗⃗=(−1,2)，则(2a ⃗+b ⃗⃗)⋅a ⃗=( )A. 6B. 5C. 1D. −617. 已知向量a ⃗=(−√3,1)，b⃗⃗=(√3,λ).若a ⃗⃗与b ⃗⃗共线，则实数λ=( ) A. −1 B. 1 C. −3 D. 318. 已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos15°,sin15°)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos75°,sin75°)，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=( ) A. 2 B. √3 C. √2 D. 1 19. 已知向量a ⃗⃗，b ⃗⃗满足|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2√3，a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角的余弦值为sin17π3，则b ⃗⃗⋅(2a ⃗−b ⃗⃗)等于( ) A. 2 B. −1 C. −6 D. −1820. 已知向量a ⃗⃗,b ⃗⃗满足|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，a ⃗⃗⋅b ⃗⃗=1，那么向量a ⃗⃗,b ⃗⃗的夹角为( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°21. 已知向量a →，b →满足|a ⃗⃗|=1,|b ⃗⃗|=2，|a ⃗⃗−2b ⃗⃗|=√13，则a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为______．22. 已知向量a ⃗=(cos θ,sin θ)，b ⃗⃗=(√3,−1)，则|2a ⃗−b ⇀|的最大值为________． 23. 已知a ⃗=(1,2sinθ)，b ⃗⃗=(cosθ,−1)，且a ⃗⃗⊥b ⃗⃗，则tanθ=______． 24. 设x ∈R ，向量a⃗⃗=(x,1)，，且a ⃗⃗⊥b ⃗⃗，则______ ．25. 已知向量a ⃗=(sinθ,1)，b ⃗⃗=(−sinθ,0)，c ⃗=(cosθ,−1)，且(2a ⃗⃗−b ⃗⃗)//c ⃗⃗，则sin2θ等于______ ． 26. 已知单位向量e 1⃗⃗⃗⃗，e 2⃗⃗⃗⃗的夹角为θ，且cosθ=14，若向量a ⃗=e 1⃗⃗⃗⃗+2e 2⃗⃗⃗⃗，则|a ⃗|=______． 27. 已知向量a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为2π3，|a ⃗⃗|=√2，则a ⃗⃗在b ⃗⃗方向上的投影为______． 28. 设θ∈(0,π2)，向量a ⃗=(cosθ,2)，b ⃗⃗=(−1,sinθ)，若a ⃗⃗⊥b ⃗⃗，则tanθ=______． 29. 在△ABC 中，已知∠ACB =90°，CA =3，CB =4，点E 是边AB 的中点，则CE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ______ ．30. 平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则λμ= ______ ．31.已知a⃗=(√3sinx,cosx+sinx),b⃗⃗=(2cosx,sinx−cosx),f(x)=a⃗⋅b⃗⃗．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[5π24,5π12]时，对任意的t∈R，不等式mt2+mt+3≥f(x)恒成立，求实数m的取值范围．32.已知向量a⃗=(sinx,34)，b⃗⃗=(cosx,−1)．(1)当a⃗//b⃗⃗时，求cos2x−sin2x的值；(2)设函数f(x)=2(a⃗+b⃗⃗)⋅b⃗⃗，已知f(α2)=34，α∈(π2,π)，求sinα的值．33.已知a⃗=(sinx,−cosx)，b⃗⃗=(√3cosx,−cosx)，f(x)=2a⃗⋅b⃗⃗．(1)求f(x)的解析式；(2)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若f(A)=2，b=1，△ABC的面积为√32，求a的值．34.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos A2=2√55，AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3．(1)求△ABC的面积；(2)若b+c=6，求a的值．35.已知向量a⃗=(3,−1)，|b⃗⃗|=√5，a⃗⋅b⃗⃗=−5，c⃗=xa⃗+(1−x)b⃗⃗．(Ⅰ)若a⃗⊥c⃗，求实数x的值；(Ⅱ)当|c⃗|取最小值时，求b⃗⃗与c⃗⃗的夹角的余弦值．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标运算和平面向量共线的条件，属于基础题． 先利用平面向量运算法则求出3a ⃗⃗+b ⃗⃗，再由向量共线的条件能求出x ． 【解答】解：∵向量a ⃗=(−2,0),b ⃗⃗=(2,1),c ⃗=(x,1)，∴3a ⃗+b⃗⃗=(−6,0)+(2,1)=(−4,1)， ∵3a ⃗⃗+b ⃗⃗与c⃗⃗共线， ∴x −1×(−4)=0，解得x =−4． 故选B ． 2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了平面向量的基本定理，坐标运算和几何应用，属于中档题． 建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出λ，μ． 【解答】解：以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为1，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，M(1,12)，N(12,1)，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,12)， BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−12,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1)． ∵AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗， ∴{λ−12μ=112λ+μ=1，解得{λ=65μ=25．∴λ+μ=85，故选D ． 3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平面向量的线性运算，共线定理，及三点共线的充要条件，属于中档题． 根据向量加减的运算法则和向量共线的充要条件及三点共线的充要条件即可求出答案．解：∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=45AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=λ(54AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+32AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =54λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+32λAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗， ∵M 、N 、P 三点共线． ∴54λ+32λ=1， ∴λ=411，故选C ． 4.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量的运算以及平面向量基本定理，属于基础题．根据向量的三角形法则和向量的数乘运算用向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗表示出向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，从而求出λ=13，μ=23，再代值计算即可．【解答】解：∵OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， ∴λ=13，μ=23， ∴1λ+1μ=3+32=92．故选D ． 5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，属基础题．先根据向量垂直，得到a ⃗⋅b⃗⃗=−2，再根据投影公式即可求出． 【解答】解：∵平面向量a ⃗⃗,b ⃗⃗是非零向量，|a ⃗⃗|=2，a ⃗⊥(a ⃗+2b⃗⃗)， ∴a ⃗⃗⋅(a ⃗⃗+2b ⃗⃗)=0，即a ⃗2+2a ⃗⋅b ⃗⃗=0，即a ⃗⋅b ⃗⃗=−2， ∴向量b ⃗⃗在向量a ⃗⃗方向上的投影为a⃗⃗·b ⃗⃗|a ⃗⃗|=−22=−1．故选B ．【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题目． 根据平面向量的坐标运算与共线定理，列出方程即可求出x 的值． 【解答】解：∵向量a⃗=(1,0)，b ⃗⃗=(2,1)，c ⃗=(x,1)， ∴3a ⃗−b ⃗⃗=(1,−1)， 又3a ⃗−b⃗⃗与c ⃗⃗共线， ∴x ×(−1)−1×1=0， 解得x =−1． 故选D ． 7.【答案】A【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积的关系，属基础题．由已知向量的坐标求得AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标，可得|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，结合BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0得答案． 【解答】 解：∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4,−2)， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,1)， ∴|BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√10． 又BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1×3−3×1=0． ∴△ABC 的形状为等腰直角三角形． 故选A ． 8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．若BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λDC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ∈R)，可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，化简与AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+43AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗比较，即可得出．【解答】解：若BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λDC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ∈R)，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 化为：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ−1λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+43AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗比较，可得：1λ=−13，λ−1λ=43，解得λ=−3． 则λ=−3．故选D ． 9.【答案】B【解析】【分析】考查向量加法的几何意义，相反向量的概念，以及数量积的运算及计算公式．可画出图形，据图可得出BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，从而便得到BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅EA⃗⃗⃗⃗⃗⃗，这样进行数量积的运算即可． 【解答】 解：如图，BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−EA⃗⃗⃗⃗⃗⃗； ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅EA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=0−1=−1．故选B ．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量的模和夹角，属于基础题.可知|a ⃗⃗|=|b ⃗⃗|=1，这样对|a ⃗⃗+3b ⃗⃗|=√13两边平方即可求出a ⃗⃗⋅b ⃗⃗的值，进而求出cos <a ⃗⃗,b⃗⃗>的值，从而得出a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角． 【解答】 解：(a ⃗⃗+3b ⃗⃗)2=a ⃗2+6a ⃗⋅b ⃗⃗+9b ⃗⃗2 =1+6a ⃗⋅b ⃗⃗+9 =13， ∴a ⃗·b⃗⃗=12， ，∴a ⃗⃗,b ⃗⃗的夹角为π3． 故选C ．11.【答案】A【解析】解：∵向量a⃗=(2,1)，b ⃗⃗=(0,−2)． ∴a ⃗+2b⃗⃗=(2,−3)， ∵(2,−3)⋅(3,2)=6−6=0，∴与a ⃗+2b⃗⃗垂直的向量可以是(3,2)． 故选：A ．求出a ⃗+2b ⃗⃗=(2,−3)，由此利用向量垂直的性质能求出与a ⃗+2b⃗⃗垂直的向量的可能结果． 本题考查向量的坐标运算、向量垂直等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题． 12.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解：a⃗+λb⃗⃗=(2−λ,4+λ)，∵a⃗+λb⃗⃗与c⃗⃗共线，∴3(2−λ)−2(4+λ)=0，解得λ=−25．故选B．13.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了向量的投影的定义，属于基础题．m⃗⃗⃗⃗在n⃗⃗方向上的投影为m⃗⃗⃗⃗⋅n⃗⃗⃗|n⃗⃗⃗|，代值计算即可．【解答】解：m⃗⃗⃗⃗=(1,2)，n⃗⃗=(2,3)，则m⃗⃗⃗⋅n⃗⃗=1×2+2×3=8，|n⃗⃗|=√22+32=√13，则m⃗⃗⃗⃗在n⃗⃗方向上的投影为m⃗⃗⃗⃗⋅n⃗⃗|n⃗⃗|=√13=8√1313．故选D．14.【答案】B【解析】【分析】本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式，属于基础题．根据题意，由向量坐标计算公式可得a⃗−b⃗⃗的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得(a⃗−b⃗⃗)·b⃗⃗=(−3)×1+(x−√3)×√3=0，解可得x的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量a⃗=(−2,x)，b⃗⃗=(1,√3)，则a⃗−b⃗⃗=(−3,x−√3)，又由(a⃗⃗−b⃗⃗)⊥b⃗⃗，则(a⃗−b⃗⃗)·b⃗⃗=(−3)×1+(x−√3)×√3=0，解可得x=2√3．故选B．15.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平面向量数量积与模长公式的应用问题，是基础题．根据平面向量数量积的定义与模长公式，求模长|a⃗−b⃗⃗|即可．【解答】解：向量a⃗⃗，b⃗⃗满足a⃗⋅b⃗⃗=1，|a⃗⃗|=2，|b⃗⃗|=3，∴(a⃗−b⃗⃗)2=a⃗2−2a⃗⋅b⃗⃗+b⃗⃗2=22−2×1+32=11，∴|a⃗−b⃗⃗|=√11．故选C．16.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量的数量积的运算，属于基础题．解：向量a⃗⃗=(2,−1)，b ⃗⃗=(−1,2)， 2a ⃗+b⃗⃗=(3,0)， 则(2a ⃗+b ⃗⃗)⋅a ⃗=6， 故选A ．17.【答案】A【解析】解：∵a ⃗⃗//b ⃗⃗，∴−√3λ−√3=0，解得λ=−1． 故答案为A ．利用向量共线定理即可得出−√3λ−√3=0，解出即可． 熟练掌握向量共线定理是解题的关键． 18.【答案】D【解析】【分析】本题考查平面向量坐标减法运算，考查向量模的求法，是基础题． 由已知向量的坐标求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标，代入向量模的计算公式求解． 【解答】解：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos15°,sin15°)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos75°,sin75°)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos75°−cos15°,sin75°−sin15°)， 则．故选D ．19.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查诱导公式的应用，两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，由题意利用两个向量的数量积的定义求得a ⃗⃗⋅b ⃗⃗ 的值，可得b ⃗⃗(2a ⃗−b⃗⃗)的值．属于基础题． 【解答】解：∵向量a⃗⃗，b ⃗⃗满足|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2√3， a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角的余弦值为sin 17π3=sin (−π3)=−√32，∴a ⃗⋅b ⃗⃗=1×2√3×(−√32)=−3， ∴b ⃗⃗⋅(2a ⃗−b ⃗⃗)=2a ⃗⋅b ⃗⃗−b ⃗⃗2=2⋅(−3)−12=−18， 故选D ．20.【答案】B【解析】【分析】本题考查向量数量积的计算公式，关键是掌握向量夹角的计算公式． 【解答】解：根据题意，设向量a ⃗⃗,b ⃗⃗的夹角为θ，又由|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，a ⃗⃗⋅b ⃗⃗=1，又由0°≤θ≤180°，则θ=60°；故选B．21.【答案】60°【解析】【分析】本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量的数量积的定义，属于基础题．将|a⃗⃗−2b⃗⃗|=√13的等号两边平方，带入|a⃗⃗|=1,|b⃗⃗|=2，解出a⃗⃗与b⃗⃗的夹角的余弦值，从而得到夹角．【解答】解：设a⃗⃗与b⃗⃗的夹角为θ，∵|a⃗|=1,|b⃗⃗|=2，|a⃗⃗−2b⃗⃗|=√13，∴a⃗2−4a⃗⋅b⃗⃗+4b⃗⃗2=13，即1−4×1×2⋅cosθ+4×4=13，∴cosθ=1，∴θ=60°，2故答案为60°．22.【答案】4【解析】【分析】本题主要考查向量的线性运算和模的运算以及三角函数公式的应用，三角函数与向量的综合题是高考考查的重点，要强化复习．先根据向量的线性运算得到2a⃗−b⃗⃗的表达式，再由向量模的求法表示出|2a⃗−b⇀|，再结合正弦和余弦函数的公式进行化简，最后根据正弦函数的最值可得到答案．【解答】解：∵2a⃗−b⇀=(2cosθ−√3,2sinθ+1)，)≤4．∴|2a⃗−b⃗⃗|=√(2cosθ−√3)2+(2sinθ+1)2=√8+8sin(θ−π3∴|2a⃗−b⃗⃗|的最大值为4．故答案为：4．23.【答案】12【解析】【分析】本题考查三角函数值的求解，涉及向量的垂直和数量积的关系，属于基础题．由题意可得1×cosθ+2sinθ×(−1)=0，化简后，由同角三角函数的关系可得答案．【解答】解：由题意可知：a⃗=(1,2sinθ)，b⃗⃗=(cosθ,−1)，∵a⃗⃗⊥b⃗⃗，∴1×cosθ+2sinθ×(−1)=0，化简得cosθ=2sinθ，故tanθ=sinθcosθ=12，故答案为12．24.【答案】5【解析】【分析】本题考查向量的坐标运算，向量垂直的坐标表示，向量的模，属于基础题．根据题意，由a⃗⊥b⃗⃗可得a⃗⋅b⃗⃗=0，解可得x的值，即可得a⃗⃗的坐标，由向量的坐标计算公式可得a⃗+2b⃗⃗的坐标，由向量模的公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，向量a⃗⃗=(x,1)，b⃗⃗=(1,−2)，因为a⃗⊥b⃗⃗，则有a⃗·b⃗⃗=x−2=0，解得x=2，故a⃗=(2,1)，又由b⃗⃗=(1,−2)，则a⃗+2b⃗⃗=(4,−3)，则，故答案为：5．25.【答案】−1213【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，关键是利用向量平行的坐标表示方法求出关于三角函数式．根据题意，由向量的坐标运算可得求出2a⃗−b⃗⃗=(3sinθ,2)，进而由向量平行的坐标表示方法可得有3sinθ×(−1)=2cosθ，化简可得，tanθ=−23，进而由二倍角公式变形分析可得sin2θ=2sinθcosθ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθtan2θ+1，代入tanθ的值计算即可得答案．【解答】解：根据题意，a⃗=(sinθ,1)，b⃗⃗=(−sinθ,0)，c⃗=(cosθ,−1)，则2a⃗−b⃗⃗=(3sinθ,2)，又由(2a⃗−b⃗⃗)//c⃗，则有3sinθ×(−1)=2cosθ，即−3sinθ=2cosθ，化简可得，tanθ=−23，sin2θ=2sinθcosθ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθtan2θ+1=2×(−23)(−23)2+1=−1213，即sin2θ=−1213；故答案为−1213．26.【答案】√6【解析】【分析】利用题意首先求得e1⃗⃗⃗⃗⋅e2⃗⃗⃗⃗的值，然后结合平面向量模的计算公式整理计算即可求得最终结果．本题考查平面向量数量积的定义，平面向量模的计算等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．【解答】解：由题意可得：e1⃗⃗⃗⃗⋅e2⃗⃗⃗⃗=1×1×14=14，则：|a⃗⃗|=√(e1⃗⃗⃗⃗+2e2⃗⃗⃗⃗)2=√e1⃗⃗⃗⃗2+4e1⃗⃗⃗⃗⋅e2⃗⃗⃗⃗+4e2⃗⃗⃗⃗2=√1+4×14+4×1=√6．故答案为√6．27.【答案】−√22【解析】解：根据条件，a⃗⃗在b⃗⃗方向上的投影为：|a⃗⃗|cos<a⃗⃗,b⃗⃗>=√2cos2π3=−√22．故答案为：−√22．由条件，可得出a⃗⃗在b⃗⃗方向上的投影为|a⃗⃗|cos2π3，从而求出投影的值．考查向量夹角的概念，向量投影的概念及计算公式．28.【答案】12【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标运算，也考查了同角的三角函数关系应用问题，是基础题．根据两向量垂直时的坐标运算，将向量a⃗=(cosθ,2)，b⃗⃗=(−1,sinθ)代入，列方程即可求出tanθ的值．【解答】解：设θ∈(0,π2)，向量a⃗=(cosθ,2)，b⃗⃗=(−1,sinθ)，若a⃗⃗⊥b⃗⃗，则a⃗·b⃗⃗=0，∴(cosθ,2)·(−1,sinθ)=−cosθ+2sinθ=0，，∴sinθcosθ=12，∵tanθ=sinθcosθ，∴tanθ=12，故答案为12．29.【答案】72【解析】【分析】本题考查平面向量的运算及平面向量的数量积，属于基础题．根据向量的运算法则进行计算即可．【解答】 解：如图：CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =12(CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2)=12×(16−9)=72． 故答案为72．30.【答案】29【解析】解：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+μ(−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=(λ+μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(λ2−μ)BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， ∴{λ+μ=112λ−μ=0，解得λ=23，μ=13， ∴λμ=29， 故答案为：29根据向量的三角形法则和平行四边形法则计算即可．本题考查了向量的三角形法则和平行四边形法则，属于基础题．31.【答案】解：(1)∵a ⃗=(√3sin x,cos x +sin x),b ⃗⃗=(2cos x,sin x −cos x),f(x)=a⃗⋅b ⃗⃗， ∴f(x)=2√3sinxcosx +(cosx +sinx)(sinx −cosx) =√3sin2x −cos2x =2sin(2x −π6)，令2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2(k ∈Z)， 解得：−π6+kπ≤x ≤π3+kπ，所以，函数f(x)的单调递增区间为：[−π6+kπ,π3+kπ](k ∈Z)， 单调递减区间为[π3+kπ,5π6+kπ](k ∈Z)．(2)当x ∈[5π24,5π12]时，π4≤2x −π6≤2π3，∴√2≤f(x)≤2，不等式mt 2+mt +3≥f(x)当x ∈[5π24,5π12]时恒成立， 必须且只需mt 2+mt +3≥f(x)max 成立即可， 即mt 2+mt +1≥0对任意的t ∈R ，即可， ①当m =0时，恒成立②当m ≠0时，只需满足{m >0Δ≤0, 解得：0<m ≤4， 综合所得：0≤m ≤4．【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量的坐标运算，正弦型函数的单调区间，恒成立问题的应用．属于中档题．(1)首先根据向量的坐标运算求出函数的解析式，进一步变函数为正弦型函数，最后求出单调区间．(2)根据函数的定义域求出函数的值域，进一步利用恒成立问题，利用分类讨论的思想求出m 的取值范围．32.【答案】解：(1)因为a ⃗//b ⃗⃗， 所以34cos x +sin x =0， 所以tan x =−34． 故cos 2x −sin2x =cos 2x−2sinxcosx sin 2x+cos 2x=1−2tanx1+tan 2x=1−2×(−34)1+(−34)2=85．(2)f(x)=2(a ⃗+b ⃗⃗)⋅b ⃗⃗ =2sinxcosx −32+2(cos 2x +1)=sin2x +cos2x +32=√2sin (2x +π4)+32，因为f(α2)=34，所以f(α2)=√2sin (α+π4)+32=34， 即sin (α+π4)=−3√28， 因为α∈(π2,π)， 所以3π4<α+π4<5π4，故cos (α+π4)=−√1−(3√28)2=−√468， 所以sinα=sin [(α+π4)−π4]=√22[sin (α+π4)−cos (α+π4)] =√22×(−3√28+√468) =−3+√238．【解析】本题主要考查向量数量积的应用以及向量共线的坐标公式，以及向量和三角函数的综合应用，根据向量数量积的关系求出函数，结合三角函数的性质是解决本题的关键．属于中档题．(1)根据向量关系的坐标关系进行转化，结合三角函数的性质进行求解即可．(2)根据向量数量积的公式求出函数f(x)的解析式，结合三角函数的公式进行化简求解．33.【答案】解：(1)f(x)=2√3sinxcosx +2cos 2x=√3sin2x +cos2x +1=2sin(2x +π6)+1；(2)∵f(A)=2sin(2A +π6)+1=2，∴sin (2A +π6)=12， ∵A ∈(0,π)，∴2A +π6∈(π6,13π6)，∴2A +π6=5π6，∴A =π3． ∴S △ABC =12bcsinA =12×1×c ×√32=√32， ∴c =2，由余弦定理可得，a 2=b 2+c 2−2bccosA =3， ∴a =√3．【解析】本题考查平面向量的数量积及三角函数恒等变换，余弦定理解三角形及面积公式的应用，属于中档题．(1)根据平面向量的数量积公式和三角恒等变换化简即可；(2)根据f(A)=2计算A ，根据面积计算c ，再利用余弦定理求出a ．34.【答案】解：(1)因为cos A 2=2√55， 所以cosA =2cos 2A 2−1=35，sinA =45． 又由AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3得bccosA =3，所以bc =5 因此S △ABC =12bcsinA =2． (2)由(1)知，bc =5，又b +c =6，由余弦定理，得a 2=b 2+c 2−2bccosA =(b +c)2−165bc =20，所以a =2√5【解析】本题考查向量的数量积是应用，余弦定理的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．(1)利用二倍角公式求出余弦函数值，利用同角三角函数基本关系式求出正弦函数值，利用向量的数量积求出bc ，然后求解三角形的面积． (2)利用余弦定理以及(1)的结果，代入求解即可．35.【答案】解：(Ⅰ)设b⃗⃗=(m,n)， ∴{m 2+n 2=53m −n =−5， 解得{m =−1n =2或{m =−2n =−1，当b⃗⃗=(−1,2)时， ∴c ⃗=x(3,−1)+(1−x)(−1,2)=(4x −1,2−3x)， ∵a ⃗⊥c ⃗，∴3(4x −1)−(2−3x)=0， 解得x =13，当b ⃗⃗=(−2,−1)时， ∴c ⃗=x(3,−1)+(1−x)(−2,−1)=(5x −2,−1)， ∵a ⃗⊥c ⃗，∴3(5x −2)+1=0， 解得x =13，(Ⅱ)设b ⃗⃗与c⃗⃗的夹角θ 由(Ⅰ)可知，当b⃗⃗=(−1,2)时，c ⃗=(4x −1,2−3x)， 则|c⃗|2=(4x −1)2+(2−3x)2=25x 2−20x +5=25(x −25)2+1， 当x =25时，|c⃗|取最小值，则|c ⃗|=1，c ⃗=(35,45)， ∴b ⃗⃗⋅c ⃗=−35+85=1，|b⃗⃗|=√5 ∴cosθ=b⃗⃗⋅c ⃗|b⃗⃗|⋅|c ⃗|=√55当b⃗⃗=(−2,−1)时，c ⃗=(5x −2,−1)， 则|c ⃗|2=(5x −2)2+(−1)2=25(x −25)2+1， 当x =25时，|c ⃗|取最小值，则|c ⃗|=1，c ⃗=(0,−1)， ∴b ⃗⃗⋅c ⃗=1，|b⃗⃗|=√5 ∴cosθ=b ⃗⃗⋅c ⃗|b ⃗⃗|⋅|c ⃗|=√55【解析】(Ⅰ)根据向量的数量积和向量的模，先求出b ⃗⃗，再根据向量的垂直即可求出x的值，(Ⅱ)根据二次函数的性质即可求出x 的值，再根据向量的夹角公式即可求出．本题考查了向量的数量积的运算和向量的垂直以及二次函数的性质，属于中档题．。
平面向量经典习题-提高篇
平面向量：1. 向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，假设向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－13C ．－1D ．－23[答案] C[解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)， ∵λa ＋b 与c 共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.2. (文)向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，假设a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－3 D ．1 [答案] C[解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0， ∴k ＝－3.(理)a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( )A ．－611B ．－116C.611D.116 [答案] C[解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a ＋b 与a －λb 垂直，∴(a ＋b )·(a －λb )＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝611.3. 设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 间的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° [答案] B[解析] 如图，在▱ABCD 中，∵|a |＝|b |＝|c |，c ＝a ＋b ，∴△ABD 为正三角形， ∴∠BAD ＝60°，∴〈a ，b 〉＝120°，应选B.(理)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( )A.12B.13C.14D.15 [答案] A [解析] ∵|a －b |＝32，∴|a |2＋|b |2－2a ·b ＝34， ∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°，设|b |＝*，则1＋*2－*＝34，∵*>0，∴*＝12.4. 假设AB →·BC →＋AB→2＝0，则△ABC 必定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 [答案] B[解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形．5. (文)假设向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示c 为( ) A ．－a ＋3b B ．a －3b C ．3a －b D ．－3a ＋b [答案] B[解析] 设c ＝λa ＋μb ，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝－2λ－μ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1μ＝－3，∴c ＝a －3b ，应选B.(理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，假设AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A.14a ＋12bB.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b [答案] B[解析] ∵E 为OD 的中点，∴BE →＝3ED →， ∵DF ∥AB ，∴|AB ||DF |＝|EB ||DE |，∴|DF |＝13|AB |，∴|CF |＝23|AB |＝23|CD |，∴AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋23CD →＝a ＋23(OD →－OC →) ＝a ＋23(12b －12a )＝23a ＋13b .6. 假设△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19 [答案] D[解析] 据得cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935，故AB →·BC →＝|AB →|×|BC →|×(－cos B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19.7. 假设向量a ＝(*－1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9*＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 3 C ．32D ．6 [答案] D[解析] a ·b ＝4(*－1)＋2y ＝0，∴2*＋y ＝2，∴9*＋3y ＝32*＋3y≥232*＋y＝6，等号在*＝12，y ＝1时成立．8. 假设A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，假设O 不在l 上，存在实数*使得*2OA →＋*OB →＋BC →＝0，实数*为( ) A ．－1 B ．0 C.－1＋52 D.1＋52[答案] A[解析] *2OA →＋*OB →＋OC →－OB →＝0，∴*2OA →＋(*－1)OB →＋OC →＝0，由向量共线的充要条件及A 、B 、C 共线知，1－*－*2＝1，∴*＝0或－1，当*＝0时，BC→＝0，与条件矛盾，∴*＝－1. 9. (文)P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( )A ．最大值为8B ．最小值为2C ．是定值6D ．与P 的位置有关 [答案] C[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为*轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，AB →＋AC →＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，设P (*,0)，－1≤*≤1，则AP →＝(*，－3)，∴AP →·(AB →＋AC →)＝(*，－3)·(0，－23)＝6，应选C. (理)在△ABC 中，D 为BC 边中点，假设∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|AD →|的最小值是()A.12B.32 C.2D.22[答案]D[解析]∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1， ∴|AB →|·|AC →|·cos120°＝－1， ∴|AB →|·|AC →|＝2，∴|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC→|＝4， ∵D 为BC 边的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC→|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－2)≥14(4－2)＝12，∴|AD →|≥22. 10. 如下图，点P 是函数y ＝2sin(ω*＋φ)(*∈R ，ω>0)的图象的最高点，M ，N 是该图象与*轴的交点，假设PM →·PN →＝0，则ω的值为( ) A.π8B.π4 C ．4 D ．8 [答案] B[解析] ∵PM→·PN →＝0，∴PM ⊥PN ，又P 为函数图象的最高点，M 、N 是该图象与*轴的交点，∴PM ＝PN ，y P ＝2，∴MN ＝4，∴T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.11. 如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E 、F 两点，且交其对角线于K ，其中AE →＝13AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC→，则λ的值为( ) A.15B.14 C.13D.12[答案] A[解析] 如图，取CD 的三等分点M 、N ，BC 的中点Q ，则EF ∥DG ∥BM ∥NQ ，易知AK →＝15AC →，∴λ＝15. 12. 向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，假设m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( ) A.12B ．2 C ．－2 D ．－12[答案] C[解析] m a ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)， 由条件知(2m －4)·(－1)－(3m ＋8)×4＝0， ∴m ＝－2，应选C.13. 在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6 [答案] B [解析] CM →·CB → ＝(CA →＋AM →)·CB → ＝(CA →＋13AB →)·CB →＝CA →·CB →＋13AB →·CB → ＝13|AB →|·|CB →|·cos45°＝13×32×3×22＝3. 14. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________. [答案]152[解析] 由条件知，|AB →|＝|AC →|＝|BC →|＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，〈AB →，CB →〉＝60°，CD →＝23CB →， ∴AB →·AD →＝AB →·(AC →＋CD →)＝AB →·AC →＋AB →·23CB →＝3×3×cos60°＋23×3×3×cos60°＝152.15. 向量a ＝(3,4)，b ＝(－2,1)，则a 在b 方向上的投影等于________．[答案] －255[解析] a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－25＝－255.16. 向量a 与b 的夹角为2π3，且|a |＝1，|b |＝4，假设(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________. [答案] 1[解析] ∵〈a ，b 〉＝2π3，|a |＝1，|b |＝4，∴a ·b ＝|a |·|b |·cos〈a ，b 〉＝1×4×cos 2π3＝－2，∵(2a ＋λb )⊥a ，∴a ·(2a ＋λb )＝2|a |2＋λa ·b ＝2－2λ＝0，∴λ＝1.17. ：|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB ，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ＋)，则m n＝________.[答案] 3[解析] 设mOA →＝OF →，nOB →＝OE →，则OC →＝OF →＋OE →， ∵∠AOC ＝30°，∴|OC →|·cos30°＝|OF →|＝m |OA →|＝m ， |OC →|·sin30°＝|OE →|＝n |OB →|＝3n ，两式相除得：m3n ＝|OC →|cos30°|OC →|sin30°＝1tan30°＝3，∴mn ＝3.18. (文)设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )分别与*轴、y 轴正方向一样的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________． [答案] 5[解析] 由条件知，i 2＝1，j 2＝1，i ·j ＝0，∴OA→·OB →＝(－2i ＋j )·(4i ＋3j )＝－8＋3＝－5，又OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 〈OA →，OB →〉＝55cos 〈OA →，OB →〉，∴cos 〈OA →，OB →〉＝－55，∴sin 〈OA →，OB →〉＝255， ∴S △OAB ＝12|OA →|·|OB →|·sin 〈OA →，OB →〉＝12×5×5×255＝5.19. 平面向量a ＝(1，*)，b ＝(2*＋3，－*)．(1)假设a ⊥b ，求*的值． (2)假设a ∥b ，求|a －b |. [解析] (1)假设a ⊥b ，则a·b＝(1，*)·(2*＋3，－*)＝1×(2*＋3)＋*(－*)＝0，整理得*2－2*－3＝0，解得*＝－1或*＝3.(2)假设a∥b，则有1×(－*)－*(2*＋3)＝0，则*(2*＋4)＝0，解得*＝0或*＝－2，当*＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，∴|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝－22＋02＝2，当*＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，∴|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝22＋－42＝2 5.。
提高题专题复习平面向量多选题专项训练练习题及答案
提高题专题复习平面向量多选题专项训练练习题及答案一、平面向量多选题1．若a →，b →，c →是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ）A ．若a b →→=，则a b →→=B ．若a c b c →→→→⋅=⋅，则a b →→=C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→D ．若a b a b →→→→+=-，则a b →→⊥ 答案：ACD【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断．【详解】对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确；对于，当且时，，但，可以不相等，故错误；对应，若，，则方向相同解析：ACD【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断．【详解】对应A ，若a b =，则向量,a b 长度相等，方向相同，故||||a b =，故A 正确； 对于B ，当a c ⊥且b c ⊥时，··0a c b c ==，但a ，b 可以不相等，故B 错误； 对应C ，若//a b ，//b c ，则,a b 方向相同或相反，,b c 方向相同或相反，故,a c 的方向相同或相反，故//a c ，故C 正确；对应D ，若||||a b a b +=-，则22222?2?a a b b a a b b ++=-+，∴0a b =，∴a b ⊥，故D 正确．故选：ACD【点睛】本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．2．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ）A ．a 与b 的夹角为钝角B ．向量a 在bD ．mn 的最大值为2答案：CD【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断；对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用()∥判断；对于D ，利用C 的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断.【详解】对于A ，向量(解析：CD【分析】对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断.【详解】对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为22a b b ⋅=，错误； 对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12=(2m •n )12≤ (22m n +)2=2，即mn 的最大值为2，正确； 故选：CD.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.3．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ）A ．()25,4a b +=B ．2b =C ．a 与b 的夹角为45°D ．()//2a a b + 答案：AC【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解.由向量，，则，故A 正确；，故B 错误；解析：AC【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解.【详解】由向量()1,0a =，()2,2b =，则()()()21,022,25,4a b +=+=，故A 正确；222b =+=，故B 错误；21cos ,21a b a b a b ⋅⨯<>===⋅+ 又[],0,a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为45°，故C 正确；由()1,0a =，()25,4a b +=，140540⨯-⨯=≠，故D 错误.故选：AC【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.4．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，不解三角形，确定下列判断错误的是（ ）A ．B ＝60°，c ＝4，b ＝5，有两解B ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3.9，有一解C ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3，有一解D ．B ＝60°，c ＝4，b ＝2，无解答案：ABC【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解.【详解】对于，因为为锐角且，所以三角解析：ABC【分析】根据判断三角形解的个数的结论：若B 为锐角，当c b <时，三角形有唯一解；当sin c B b c <<时，三角形有两解；当sin c B b >时，三角形无解：当sin c B b =时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解.【详解】对于A ，因为B 为锐角且45c b =<=，所以三角形ABC 有唯一解，故A 错误；对于B ，因为B 为锐角且sin 4 3.92c B b c =⨯=<=<，所以三角形ABC 有两解，故B 错误；对于C ，因为B 为锐角且 sin 43c B b ==>=，所以三角形ABC 无解，故C 错误；对于D ，因为B 为锐角且sin 42c B b ==>=，所以三角形ABC 无解，故D 正确.故选：ABC.【点睛】本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题.5．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．已知A 、B 、C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 答案：AC【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断，由数量积及平面向量共线定理判断D ．【详解】解：因为不能构成该平面的基底，所以，又有公共解析：AC【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ．【详解】解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a 与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；故选：AC ．【点睛】本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．6．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（ ）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC =B ．ABC ∆是钝角三角形 C ．ABC ∆的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC ∆答案：ACD【分析】先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.【详解】因为所以可设：（其中），解得：所以，所以A 正确；由上可知：边最大，所以三角形中角最大，又 ，所以角为解析：ACD【分析】先根据已知条件求得::4:5:6a b c =，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.【详解】因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=所以可设：91011a b x a c x b c x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x === 所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确；由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大， 又222222(4)(5)(6)1cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⨯⨯ ，所以C 角为锐角，所以B 错误；由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小，又222222(6)(5)(4)3cos 22654c b a x x x A cb x x +-+-===⨯⨯， 所以21cos22cos 18A A =-=，所以cos 2A cosC = 由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得：()20,A π∈，0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以2A C =，所以C 正确； 由正弦定理得：2sin c R C =，又sin 8C ==所以2R =，解得：R =D 正确. 故选:ACD.【点睛】本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.7．下列命题中，结论正确的有（ ）A ．00a ⨯=B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若//AB CD ，则A ､B ､C ､D 四点共线；D ．在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，0AC BD ⋅=，则四边形ABCD 为菱形. 答案：BD【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；【详解】解：对于A ，，故A 错误；对于B ，若，则，所以，，故，即B 正确；对于C ，，则或与共线，故C 错误；对于D ，在四边形中，若解析：BD【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；【详解】解：对于A ，00a ⨯=，故A 错误；对于B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，所以2222||2a b a b a b a b +=++⋅=+，2222||2a b a b a b a b -=+-⋅=+，故||||a b a b +=-，即B 正确；AB CD或AB与CD共线，故C错误；对于C，//AB CD，则//对于D，在四边形ABCD中，若0=，所以四边形ABCD是平行+=，即AB DCAB CD四边形，又0⊥，所以四边形ABCD是菱形，故D正确；AC BD⋅=，所以AC BD故选：BD【点睛】本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题.8．已知a、b是任意两个向量，下列条件能判定向量a与b平行的是（）=A．a b=B．a bC．a与b的方向相反D．a与b都是单位向量答案：AC【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A选项，若，则与平行，A选项合乎题意；对于B选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B选项不合乎题意；对于C选项，若与的方向相反，解析：AC【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A选项，若a b=，则a与b平行，A选项合乎题意；=，但a与b的方向不确定，则a与b不一定平行，B选项不合乎题对于B选项，若a b意；对于C选项，若a与b的方向相反，则a与b平行，C选项合乎题意；对于D选项，a与b都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则a与b不一定平行，D选项不合乎题意.故选：AC.【点睛】本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.9．在下列结论中，正确的有（）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．平行向量又称为共线向量C．两个相等向量的模相等D．两个相反向量的模相等答案：BCD【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确解析：BCD【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；C. 相等向量方向相同，模相等，正确；D. 相反向量方向相反，模相等，故正确；故选：BCD【点睛】本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.10．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ）A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λab B ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为aD ．若存在实数λ使得λa b ，则a b a b +=-答案：AB 【分析】 根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 当时，则、方向相反且，则存在负实数解析：AB【分析】 根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A 选项正确，D 选项错误； 若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误；若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确.故选：AB.【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.11．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（ ） A ．AB BC = B ．AB BC = C ．AB CD AD BC -=+ D ．AD CD CD CB +=-答案：BCD【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.【详解】菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B 结论正确，A 结论错误；因为，，且，所以，即C 结论正确；因为，解析：BCD 【分析】 由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】 菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B 结论正确，A 结论错误； 因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =， 所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确；因为AD CD BC CD BD +=+=，||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.12．在ABCD 中，设AB a =，AD b =，AC c =，BD d =，则下列等式中成立的是（ ）A ．a b c +=B ．a d b +=C ．b d a +=D ．a b c += 答案：ABD【分析】根据平行四边形及向量的加法法则即可判断.【详解】由向量加法的平行四边形法则，知成立，故也成立；由向量加法的三角形法则，知成立，不成立.故选：ABD【点睛】本题主要考查解析：ABD【分析】根据平行四边形及向量的加法法则即可判断.【详解】由向量加法的平行四边形法则，知a b c +=成立， 故a b c +=也成立；由向量加法的三角形法则，知a d b +=成立，b d a +=不成立.故选：ABD【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，属于容易题.13．已知实数m ，n 和向量a ，b ，下列说法中正确的是（ ）A ．()m a b ma mb -=-B ．()m n a ma na -=-C ．若ma mb =，则a b =D ．若()0ma na a =≠，则m n = 答案：ABD【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性.【详解】根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当时，，但与不一定相等， 解析：ABD【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性.【详解】根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当0m =时，0ma mb ==，但a 与b 不一定相等，故C 不正确；D 中，由ma na =，得()0m n a -=，因为0a ≠，所以m n =，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本小题主要考查向量数乘运算，属于基础题.14．点P 是ABC ∆所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ∆的形状不可能是( ) A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形答案：AD 【解析】 【分析】由条件可得，再两边平方即可得答案. 【详解】∵P 是所在平面内一点，且， ∴， 即， ∴，两边平方并化简得， ∴，∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形， 故解析：AD 【解析】 【分析】由条件可得||||AB AC AC AB -=+，再两边平方即可得答案. 【详解】∵P 是ABC ∆所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=， ∴|||()()|0CB PB PA PC PA --+-=， 即||||CB AC AB =+， ∴||||AB AC AC AB -=+， 两边平方并化简得0AC AB ⋅=， ∴AC AB ⊥，∴90A ︒∠=，则ABC ∆一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形， 故不可能是钝角三角形，等边三角形， 故选：AD. 【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题. 15．下列说法中错误的是( )A ．向量AB 与CD 是共线向量,则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上 B ．零向量与零向量共线 C ．若,a b b c ==，则a c =D ．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量答案：AD 【分析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B解析：AD 【分析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B 正确； 若,a b b c ==，则a c =，故C 正确； 温度是数量，只有正负，没有方向，故D 错误. 故选：AD 【点睛】本题考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义，属于基础题.二、平面向量及其应用选择题16．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进50 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ）A 3B 2C 31- D 21-解析：C 【分析】易求30ACB ∠=︒，在ABC 中，由正弦定理可求BC ，在BCD 中，由正弦定理可求sin BDC ∠，再由90BDC θ∠=+︒可得答案．【详解】45CBD ∠=︒，30ACB ∴∠=︒，在ABC 中，由正弦定理，得sin sin BC AB CAB ACB =∠∠，即50sin15sin30BC =︒︒，解得BC =，在BCD 中，由正弦定理，得sin sin BC CD BDC CBD=∠∠50sin 45=︒，sin BDC ∴∠=sin(90)θ+︒=，cos θ∴=故选：C ． 【点睛】该题考查正弦定理在实际问题中的应用，由实际问题恰当构建数学模型是解题关键． 17．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭解析：D 【分析】设CO yBC =，则()1AO AC CO AC yBC yAB y AC =+=+=-++，根据3BC CD =得出y 的范围，再结合()1AO xAB x AC =+-得到,x y 的关系，从而得出x的取值范围. 【详解】 设CO yBC =，则()()1AO AC CO AC yBC AC y AC AB y AB y AC =+=+=+-=-++, 因为3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， 所以10,3y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又因为()1AO xAB x AC =+-，所以x y =-，所以1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的线性运算，考查利用向量关系式求参数的取值范围问题，难度一般.18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2c A a C c +=且a b =，则cos B 等于（ ）AB ．14CD．2解析：B 【分析】利用正弦定理可得sin 2sin B C =，结合a b =和余弦定理，即可得答案； 【详解】cos cos 2sin cos sin cos 2sin c A a C c C A A C C +=⇒+=，∴sin()2sin sin 2sin A C C B C +=⇒=， ∴2b c =，又a b =，∴22222114cos 12422ba cb B ac b ⋅+-===⋅⋅，故选：B. 【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，考查运算求解能力，求解时注意进行等量代换求值. 19．在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ∆的外心，若AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）A ．34B ．53C ．73D ．83解析：C 【分析】作出图形，先推导出212AM AB AB ⋅=，同理得出212AM AC AC ⋅=，由此得出关于实数λ、μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出43λμ+的值. 【详解】如下图所示，取线段AB 的中点E ，连接ME ，则AM AE EM =+且EM AB ⊥，()212AM AB AE EM AB AE AB EM AB AB ∴⋅=+⋅=⋅+⋅=，同理可得212AM AC AC ⋅=，86cos6024AB AC ⋅=⨯⨯=，由221212AM AB AB AM AC AC ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，可得()()3218AB AC AB AB AC AC λμλμ⎧+⋅=⎪⎨+⋅=⎪⎩，即642432243618λμλμ+=⎧⎨+=⎩，解得512λ=，29，因此，52743431293λμ+=⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 20．ABC ∆中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形解析：D 【分析】由已知22:tan :tan a b A B =，利用正弦定理及同角的三角函数的基本关系对式子进行化简，然后结合三角函数的性质再进行化简即可判断． 【详解】∵22:tan :tan a b A B =，由正弦定理可得，22sin sin tan sin cos sin sin sin tan sin cos cos AA A A BB B B B B AB===， ∵sin sin B 0A ≠，∴sin cos sin cos A BB A=， ∴sin cos sin cos A A B B =即sin 2sin 2A B =，∵()(),0,,0,A B A B ππ∈+∈， ∴22A B =或22A B π+=，∴A B =或2A B π+=，即三角形为等腰或直角三角形，故选D ． 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理的应用，利用正弦定理进行代数式变形是解题的关键和难点．21．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若1c =，45B =︒，3cos 5A =，则b 等于（ ） A ．35 B ．107C ．57D解析：C 【分析】利用同角三角函数基本关系式可得sin A ，进而可得cos (cos cos sin sin )C A B A B =--，再利用正弦定理即可得出． 【详解】 解：3cos 5A =，(0,180)A ∈︒︒．∴4sin 5A ，34cos cos()(cos cos sin sin )(55C A B A B A B =-+=--=-=．sin C ∴==由正弦定理可得：sin sin b cB C=，∴1sin 5sin 7c B b C ===． 故选：C ． 【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．3323 B ．5323C ．7323D ．8323解析：B 【分析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度．【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒， 在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45sin 30HB =︒︒，20HB =． ∴sin 20sin60103OH HB HBO =∠=︒=，103534623v ==（米/秒）． 故选B ． 【点睛】 本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．23．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）A 62B ．162)2C 62D ．162)2解析：A【分析】由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝30°，可得∠AEB ＝105°．计算sin105°，代入正弦定理sin30sin105AE AB=︒︒，化简求得AE = 【详解】由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝DA =BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°=， △ABE 中，由正弦定理可得sin30sin105AE AB=︒︒，∴12AE=AE = 故选:A ．【点睛】本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．24．在ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确．．．的是（ ） A ．23BG BE = B ．2CG GF = C ．12DG AG = D ．0GA GB GC ++=解析：C 【分析】由三角形的重心定理和平面向量的共线定理可得答案． 【详解】ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，可得G为重心，则23BG BE =，2CG GF =，12DG GA =且0GA GB GC ++= 故选：C 【点睛】本题考查了三角形的重心定理和向量共线定理，属于中档题． 25．在ABC 中，若A B >，则下列结论错误的是（ ） A ．sin sin A B > B ．cos cos A B <C ．sin 2sin 2A B >D ．cos2cos2A B <解析：C 【分析】由正弦定理结合三角形中的大边对大角得sin sin A B >，由余弦函数性质判断B ，然后结合二倍角公式判断CD ． 【详解】设ABC 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ， 由A B >，则,a b >∴sin sin 0A B >>，A 正确； 由余弦函数性质知cos cos A B <，B 正确；sin 22sin cos A A A =，sin 22sin cos B B B =， 当A 为钝角时就有sin 2sin 2A B <，C 错误，；2cos212sin A A =-，2cos 212sin B B =-，∴cos2cos2A B <，D 正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题． 26．a ，b 为单位向量，且27a b +=，则向量a ，b 夹角为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒解析：C 【分析】首先根据题的条件27a b +=，得到2()7a b +=，根据a ，b 为单位向量，求得12a b ⋅=，进而求得向量夹角. 【详解】 因为27a b +=，所以2()7a b +=，即22447a a b b +⋅+=， 因为221a b ==，所以12a b ⋅=，所以1cos ,2a b <>=，因为向量a ，b 夹角的范围为[0,180]︒︒， 所以向量a ，b 夹角的范围为60︒， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的平方与向量模的平方是相等的，已知向量数量积求向量夹角，属于简单题目.27．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）A ．43-B ．34-C ．34D ．43解析：A【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan2C，从而求得tan C ．【详解】∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即22212sin 22ab C a b ab c ⨯⋅=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-，又222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab CC ab ab +-⋅-===-，∴sin cos 12C C +=， 即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴222tan2242tan 1231tan2CC C ⨯===---， 故选：A ． 【点睛】本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力．28．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．以上均有可能解析：C 【分析】ABAB 和ACAC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由12AB AC ABAC⋅=可求出A ∠，即得三角形形状。
数学4必修第二章平面向量提高训练C组及答案
3t),
f
(t )
1 (t3 4
3t)
4 解：Q AB AC, AB AC 0.
Q AP AQ, BP AP AB,CQ AQ AC, uBuPurCuQuur (AuPuur ABuu)ur(AQuuurACu)uur
AP AQ AP AC AB AQ AB AC
r 3,1),b
(
1, 2
3) 2
得
ar gb
0, ar
2, b
1
[ar (t2 3)b ]g(kar tb) 0,kar 2 tar gb k(t 2 3)ar gb t(t2 3)b 2 0
4k
t3
3t
0,k
1 (t 3 4
三、解答题
1 已知 ar ,b, cr 是三个向量，试判断下列各命题的真假 （1）若 ar b ar rc 且 ar 0 ，则b cr （2）向量 a 在 b 的方向上的投影是一模等于 ar cos （ 是 a 与 b 的夹角），方向与 a 在
b 相同或相反的一个向量
2 证明：对于任意的 a,b, c, d R ，恒有不等式 (ac bd)2 (a2 b2 )(c2 d 2 )
3 C 单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当b 0 时， a 与 c 可以为任意向
量；
| a b | | a b | ，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；还要考虑夹角
4 5
C C
ar
r 3b
ar
2
6ar gbr
r 9b
2
高中数学必修4平面向量典型例题及提高题
平面向量之答禄夫天创作【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 ：既有大小又有方向的量。
记作：AB 或a 。
：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。
：长度为1的向量。
若e 是单位向量，则||1e =。
：长度为0的向量。
记作：0。
【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
：长度和方向都相同的向量。
：长度相等，方向相反的向量。
AB BA =-。
8.三角形法则：AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）：以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。
：//a b a b λ=⇔。
当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。
：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+22||a a =，2||()a b a b +=+13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅；cos ||||a b a b θ⋅=⋅14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=；121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=：（1）若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线。
（2）若ma mb =，则a b =。
（3）若ma na =，则m n =。
（4）若a 与b 不共线，则a 与b 都不是零向量。
（5）若||||a b a b ⋅=⋅，则//a b 。
（6）若||||a b a b +=-，则a b ⊥。
AC AB AD 为与的和向量，且,AC a BD b ==，则AB =，AD =。
5.已知点C 在线段AB 上，且35AC AB =,则AC =BC ，AB =BC 。
(1,4),(3,8)a b =-=-，则132a b -=。
高中数学平面向量基础提高练习题含答案【选择填空精选50题难度分类】().doc
一、选择题（共36题）【基础题】1. 下列物理昼 ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨电流强度;⑩摩擦系数，其中不是向量的有（ ） A.4个B. 5个C.6个D.7个2. 下列六个命题中正确的是（）①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若丨a \ = \ b I ,贝ij a=b ；③若店=& ,则ABCD 是平行四边形；④平行四边形ABCD 中，一定有乔 =&；⑤若 m =n. n =k,则 m=k ；⑥若a//b,b//c ，贝\\a//c.以下说法错谋的是（ ）A. 零向虽与任一非零向虽平行 C. 平行向量方向相同B. 零向量与单位向量的模不相等D.平行向量一定是共线向量—》 1 —> —> —》 —》 1 ―> AC=-BC (C) BA = BC (D) BC=- AC 2(C) MB + AD-BM(D) OC-OA + CD---------------------------——•I -------- ►已知向量0M = (3,—2),CW = (-5-1),则/MN 等于(已知向量"（3-1）,/? = （-1,2）,则-3a 一 2b 的坐标是（A.①②③B.④⑤C.④⑤⑥D.⑤⑥4. 已知B 是线段AC 的中点, 则卜-列各式正确的是（） 5. 下列四式不能化简为朮的是（(A) (AB+CD) +BC(B) CAD+MB ) + ^BC + CM6、 A. (8,1)B. (-8,1)C ・（4冷）D.（-4冷） 7、A. (7,1)B. (-7-1)C. (-7,1)D ・(7-1)3.(A) A^=~BC (B)8. 与向量a=(-5, 4)平行的向量是( )5 4A. (-5k, 4k)B.C. (-10, 2)D. (5k, 4k)k k9.已知a = (_1,3)上=(兀厂1), SLa // b ,贝!J x 等于( )A. 3B. -3 c. 13D. -13—>10.已知d ==(昇) ，b = (-#,#),下列各式正确的是( )-> -> b (B) a ■ b -> T-》—>(A) a =J丿=1 (C) a = b (D)a与〃平行11.在四边形ABCD中，AB=DC ,且花・BD=0,则四边形ABCD是( )(A)矩形(B)菱形(C)直角梯形(D)等腰梯形【中等难度】12、下面给出的关系式屮正确的个数是( )①0Q = 0②H・b=bV③疋=\a\z@)@・b)C = U(b・C⑤云・b <a-b(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 313.已知ABCD为矩形，E是DC的中点，且篇=；,AD = b f则旋 =( )(A) h + ^a (B) b _(C) a +^h(D) a —^h-- 》—► > —> -- A14.已知ABCDEF 是正六边形，.FL AB = a , AE = b ,则BC =( )T T -> T -> ->(A) y(/z- b) (B) j(b-a) (C) d+*b15.设a, 〃为不共线向量，AB =6t+2ft, BC =—4 a—b, CD= —5 a—3〃,-> ->(D) ^(a+b)则卞列关系式中正确的是（）16. 设;与幺;是不共线的非零向量，凡与;+kw ；共线，则k 的值是()(A) 1(B) -1(C)±1(D)任意不为零的实数17. 在MBC 中,M 是 BC 的中点，AM=1,点 P 在 AM 上满足一 PA = 2PM PA (PB + ~PC )等于 ( ) 4 4 4 4 A.- B.- C.——D.——9 33918.己知a 、〃均为单位向量，它们的夹角为60。
平面向量提高题
D．16
8. 如图，O 为 ABC 的外心，AB 4, AC 2,BAC 为钝角，M 是边 BC 的中点，则 AM AO 的
值为（ ）
A． 4
B． 5
C． 6
D． 7
9.
（2020·山东省高三二模）如图，在
ABC
中，
BAC
3
，
AD
2DB
，
P
为
CD
上一点，且
满足
AP
m
AC
1 2
AB
，若
AC
3
，
D．5
6. 如图，在 ABC 中， AD AB ， DC 2BD ，| AB | 2 ，则 AC AB 的值为
B AD
C
A． 4
B． 3
C． 2
D． 8
7. 如图，点 O 为 ABC 内一点，且 OA OB OC 0 ，OAOB 0 ，AB 2 ，则 CACB （ ）
A．2
B．4
C．8
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11. 在 ABC 中， AC 2AB 2 ， BAC 120 ， O 是 BC 的中点， M 是 AO 上一点，且
AO 3MO ，则 MB MC 的值是______.
12.
是半径为1的圆 O 的直径， 是圆 O 上一点， Q 为平面内一点，且 BQ 1 BP 2 AB ，
AB AD ( )
A． 1 3
B． 2 3
C．1
D．2
15. （湖南省永州市 2018 届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题）在 ABC 中，
BAC 60 ， AB 5 ， AC 6 ， D 是 上一点，且 AB CD 5 ，则 BD 等于
A．1
高中数学必修4平面向量典型例题与提高题(可编辑修改word版)
= - = ⋅ ⋅ 平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量：既有大小又有方向的量。
记作： AB 或 a 。
2. 向量的模：向量的大小（或长度），记作： | AB | 或| a | 。
3. 单位向量：长度为 1 的向量。
若 e 是单位向量，则| e |= 1。
4. 零向量：长度为 0 的向量。
记作： 0 。
【0 方向是任意的，且与任意向量平行】5. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6. 相等向量：长度和方向都相同的向量。
7. 相反向量：长度相等，方向相反的向量。
AB BA 。
8. 三角形法则：AB + BC = AC ； AB + BC + CD + DE = AE ； AB - AC = CB （指向被减数）9. 平行四边形法则：以 a , b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为 a + b ， a - b 。
10.共线定理： = ⇔ 。
当> 0 时， 同向；当< 0 时，反向。
a b a / /b a 与b a 与b11. 基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12. 向量的模：若 = (x , y ) ， 则 = 22 ，， +a | a | a | a | | ab | 13. 数量积与夹角公式： a ⋅ b =| a | ⋅ | b | cos ；cos = | a | |b |14.平行与垂直： a / /b ⇔ a = b ⇔ x 1 y 2 = x 2 y 1 ； a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0 ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0题型 1.基本概念判断正误：（1）若 a 与b 共线， b 与c 共线，则 a 与c 共线。
（2）若 ma = mb ，则 a = b 。
（3）若 ma = na ，则 m = n 。
（4）若 a 与b 不共线，则 a 与b 都不是零向量。
（5）若 a ⋅ b =| a | ⋅ | b | ，则 a / /b 。
提高题专题复习平面向量多选题练习题含答案
提高题专题复习平面向量多选题练习题含答案一、平面向量多选题1．设向量(1,1)a =-，(0,2)b =，则（ ）A ．||||a b =B ．()a b a -∥C ．()a b a -⊥D ．a 与b 的夹角为4π 【答案】CD 【分析】根据平面向量的模､垂直､夹角的坐标运算公式和共线向量的坐标运算，即可对各项进行判断，即可求出结果. 【详解】 对于A ，(1,1)a =-，(0,2)b =，2,2a b ∴==，a b ∴≠，故A 错误； 对于B ，(1,1)a =-，(0,2)b =，()=1,1a b ∴---，又(0,2)b =，则()12100-⨯--⨯≠，()a b ∴-与b 不平行，故B 错误；对于C ，又()()()11110a b a -⋅=-⨯-+-⨯=，()a b a ∴-⊥，故C 正确； 对于D ，又2cos ,22a b a b a b⋅<>===⋅，又a 与b 的夹角范围是[]0,π，a ∴与b 的夹角为π4，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：本题考查了平面向量的坐标运算，熟记平面向量的模､垂直､夹角坐标运算公式及共线向量的坐标运算时解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题.2．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的为（ ）A ．当0x =时，[]2,3y ∈B ．当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =C ．若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．x y -的最大值为1- 【答案】BCD 【分析】利用向量共线的充要条件判断出A 错，C 对；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出B 对，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则OP ON OM =+，然后可判断出D 正确. 【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故A 错 当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ 1153(2)222OB OB AB OA OB =+-+=-+，故B 对x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故C 对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴，1y ；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故D 正确 故选：BCD 【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.3．在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，2DE EC =，AE 交BD 于F 且2AE BD ⋅=-，则下列说法正确的有（ ）A ．1233AE AC AD =+ B ．25DF DB =C ．,3AB AD π=D ．2725FB FC ⋅=【答案】BCD 【分析】根据向量的线性运算，以及向量的夹角公式，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于选项A ：()22233133AE AD DE AD DC AD AD D C A A A C =+=+=+-=+，故选项A 不正确； 对于选项B ：易证DEF BFA ，所以23DF DE BF AB ==，所以2235DF FB DB ==，故选项B 正确；对于选项C ：2AE BD ⋅=-，即()223AD A B D AB A ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，所以 2221233AD AD AB AB -⋅-=-，所以1142332AD AB -⋅-⨯=-，解得：1AB AD ⋅=，11cos ,212AB AD AB AD AB AD⋅===⨯⨯，因为[],0,AB AD π∈，所以,3AB AD π=，故选项C 正确； 对于选项D ：()()332555AB FB FC DB FD DC AD BD AB ⎛⎫⋅=⋅+=-⋅+ ⎪⎝⎭()()()3233255555AD AD AB AB AD A AB AB B AD ⎡⎤⎛⎫=-⋅-+=-⋅+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭22969362734252525252525AB AB AD AD =⨯-⋅-⨯=⨯--=，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：选项B 的关键点是能得出DEF BFA ，即可得23DF DE BF AB ==，选项D的关键点是由于AB 和AD 的模长和夹角已知，故将FB 和FC 用AB 和AD 表示，即可求出数量积.4．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成2πθθ⎛⎫≠⎪⎝⎭角的两条数轴，1e ，2e 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系中，若12OM xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OM 的反射坐标，记为(),OM x y =.在23πθ=的反射坐标系中，()1,2a =，()2,1b =-.则下列结论中，正确的是（ ）A ．()1,3a b -=-B ．5a =C ．a b ⊥D ．a 在b 上的投影为3714-【答案】AD 【分析】123a b e e -=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；3a =，故B 错误；32a b ⋅=-，故C 错误；由于a 在b 上的投影为3372147a b b-⋅==-，故D 正确.【详解】()()121212223a b e e e e e e -=+--=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；()2122254cos33a e e π=+=+=B 错误；()()22121211223222322a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=+⋅-=-，故C 错误；由于()22227b e e =-=a 在b 上的投影为327a b b-⋅==，故D 正确。
数学提高题专题复习平面向量多选题练习题及答案
数学提高题专题复习平面向量多选题练习题及答案一、平面向量多选题1．已知向量(2,1),(3,1)a b ==-，则（ ）A ．()a b a +⊥B ．|2|5a b +=C ．向量a 在向量b 上的投影是2D ．向量a 的单位向量是⎝⎭【答案】ABD 【分析】多项选择题需要要对选项一一验证: 对于A:利用向量垂直的条件判断； 对于B:利用模的计算公式； 对于C:利用投影的计算公式； 对于D:直接求单位向量即可． 【详解】(2,1),(3,1)a b ==-对于A: (1,2),()(1)2210,a b a b a +=-+⋅=-⨯+⨯=∴()a b a +⊥，故A 正确；对于B:222(2,1)2(3,1)(4,3),|2|(4)35a b a b +=+-=-∴+=-+=，故B 正确；对于C: 向量a 在向量b 上的投影是2||(3)a b b ⋅==--，故C 错误；对于D: 向量a 的单位向量是55⎛ ⎝⎭，故D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．2．在ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，AE 与BD 交于O ，且AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，2AB AC AE +=，2CD DA =，1AB =，则（ ）A ．0AC BD ⋅=B ．0OA OE ⋅=C ．34OA OB OC ++= D ．ED 在BA 方向上的正射影的数量为712【答案】BCD 【分析】根据AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅以及正弦定理得到sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，从而求出B C =，进一步得到B C A ==，ABC 等边三角形，根据题目条件可以得到E 为BC的中点和D 为AC 的三等分点，建立坐标系，进一步求出各选项. 【详解】由AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅得cos cos AB BC B CA BC C ⋅=⋅，||cos ||cos AB B CA C ⋅=⋅，正弦定理，sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，()0sin B C =-，B C =，同理：A C =，所以B C A ==，ABC 等边三角形.2AB AC AE +=，E 为BC 的中点，2CD DA =，D 为AC 的三等分点.如图建立坐标系，3A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，136D ⎛ ⎝⎭，解得3O ⎛ ⎝⎭， O 为AE 的中点，所以，0OA OE +=正确，故B 正确；1323,,,23AC BD ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，AC BD ⋅=123310236⨯--≠，故A 错误； 32OA OB OC OA OE OE ++=+==，故C 正确； 13,63ED ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，13,22BA ⎛= ⎝⎭，投影712||ED BA BA ⋅=，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】如何求向量a 在向量b 上的投影，用向量a 的模乘以两个向量所成的角的余弦值就可以了，当然还可以利用公式a b b⋅进行求解.3．已知向量(4,3)a k =，(4,3)b k =，则（ ） A ．若a b ⊥，则0k =B ．若//a b ，则1k =C ．若a b >，则1k <D ．若a b a b +=-，则a b ⊥【答案】AD 【分析】先根据a b ⊥建立方程44330k k ⨯+⨯=解得0k =，判断选项A 正确；再根据//a b ，建立方程(4,3)(4,3)k k λ=解得1k =±，判断选项B 错误；接着根据a b >建立不等式4(3)(4)3k k +>+解得11k -<<，判断选项C 错误；最后根据a b a b +=-，化简整理得到a b ⊥，判断选项D 正确.【详解】解：因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b ⊥，则44330k k ⨯+⨯=，解得0k =，故选项A 正确；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，//a b ，则λa b ，即(4,3)(4,3)k k λ=，解得1k =±，故选项B 错误；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b >，则>，解得11k -<<，故选项C 错误；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b a b +=-，则0a b ⋅=，0a ≠，0b ≠，所以a b ⊥，故选项D 正确. 故答案为：AD. 【点睛】本题考查利用向量垂直求参数、利用向量共线求参数、根据向量的模的大小关系求参数的范围、利用向量的运算判断向量垂直，是中档题.4．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．1122AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133BM BA BD =+ D ．1233CM CA CD =+【答案】ABD 【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点. 对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得1122AD AB AC =+，故A 正确； 对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；对于C 选项，()2212=3333BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误； 对于D 选项，()22123333CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.5．下列各式结果为零向量的有（ ） A ．AB BC AC ++ B ．AB AC BD CD +++ C ．OA OD AD -+ D ．NQ QP MN MP ++-【答案】CD 【分析】对于选项A ，2AB BC AC AC ++=,所以该选项不正确；对于选项B ，2AB AC BD CD AD +++=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD -+=,所以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP ++-=，所以该选项正确. 【详解】对于选项A ，2AB BC AC AC AC AC ++=+=,所以该选项不正确；对于选项B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD DA AD -+=+=,所以该选项正确； 对于选项D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，所以该选项正确. 故选：CD 【点睛】本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQ B ．1233BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅> D ．4S =【答案】BD 【分析】利用向量的共线定义可判断A ；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B ；利用向量数量积的定义可判断C ；利用三角形的面积公式即可判断D. 【详解】由20PA PC +=，2QA QB =，可知点P 为AC 的三等分点，点Q 为AB 延长线的点， 且B 为AQ 的中点，如图所示：对于A ，点P 为AC 的三等分点，点B 为AQ 的中点， 所以PB 与CQ 不平行，故A 错误； 对于B ，()22123333BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+, 故B 正确；对于C ，cos 0PA PC PA PC PA PC π⋅==-<，故C 错误； 对于D ，设ABC 的高为h ，132ABCS AB h ==，即6AB h =， 则APQ 的面积1212226423233APQS AQ h AB h =⋅=⋅⋅=⨯=，故D 正确； 故选：BD 【点睛】本题考查了平面向量的共线定理、共线向量、向量的加法与减法、向量的数量积，属于基础题7．在ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AC ，AB 中点，下列说法正确的是（ ） A ．0AB AC AD +-= B ．0DA EB FC ++=C ．若3 ||||||AB AC ADAB AC AD+=，则BD 是BA在BC的投影向量D．若点P是线段AD上的动点，且满足BP BA BCλμ=+，则λμ的最大值为18【答案】BCD【分析】对选项A，B，利用平面向量的加减法即可判断A错误，B 正确.对选项C，首先根据已知得到AD为BAC∠的平分线，即AD BC⊥，再利用平面向量的投影概念即可判断C正确.对选项D，首先根据,,A P D三点共线，设(1)BP tBA t BD，01t≤≤，再根据已知得到12ttλμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而得到21111()()2228ty t t，即可判断选项D 正确.【详解】如图所示：对选项A，20AB AC AD AD AD AD+-=-=≠，故A 错误.对选项B，111()()()222DA EB FC AB AC BA BC CA CB++=-+-+-+111111222222AB AC BA BC CA CB=------111111222222AB AC AB BC AC BC=--+-++=，故B正确.对选项C，||ABAB，||ACAC，||ADAD分别表示平行于AB，AC，AD的单位向量，由平面向量加法可知：||||AB ACAB AC+为BAC∠的平分线表示的向量.因为3||||||AB AC ADAB AC AD+=，所以AD为BAC∠的平分线，又因为AD为BC的中线，所以AD BC⊥，如图所示：BA 在BC 的投影为cos BD BA BBABD BA，所以BD 是BA 在BC 的投影向量，故选项C 正确. 对选项D ，如图所示：因为P 在AD 上，即,,A P D 三点共线， 设(1)BPtBA t BD ，01t ≤≤.又因为12BD BC =，所以(1)2t BP tBA BC . 因为BP BA BC λμ=+，则12tt λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，01t ≤≤.令21111()2228t ytt ， 当12t =时，λμ取得最大值为18.故选项D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.8．关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（ ） A ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =；B ．已知(,3)a k =，(2,6)b =-，若//a b ，则1k =-；C ．非零向量a 和b ，满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为30º；D ．0||||||||a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD 【分析】通过举反例知A 不成立，由平行向量的坐标对应成比例知B 正确，由向量加减法的意义知，C 正确，通过化简计算得D 正确． 【详解】对A ，当0a = 时，可得到A 不成立； 对B ，//a b 时，有326k =-，1k ∴=-，故B 正确． 对C ，当||||||a b a b ==-时，a 、b 、a b -这三个向量平移后构成一个等边三角形，a b + 是这个等边三角形一条角平分线，故C 正确．对D ，22()()()()110||||||||||||a b a b a b a a a b b b +⋅-=-=-=，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查两个向量的数量积公式，两个向量加减法的几何意义，以及共线向量的坐标特点．属于基础题．9．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ） A ．a 为单位向量 B ．//b BCC ．a b ⊥D ．()6a b BC +⊥【答案】ABD 【分析】求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC ab AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误；对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.10．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个B ．满足10OA OB -=B 共有3个C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个 【答案】BCD 【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果． 【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ， 设(,)B m n ，若10OA OB -=22(1)(2)10m n -+-(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确． 当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．。
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平面向量：1.已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b与向量c＝(1，－2)共线，则实数λ等于( )A．－2 B．－1 3C．－1 D．－2 3[答案] C[解析] λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa＋b与c共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.2.(文)已知向量a＝(3，1)，b＝(0,1)，c＝(k，3)，若a＋2b与c垂直，则k＝( )A．－1 B．－ 3C．－3 D．1[答案] C[解析] a＋2b＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)，∵a＋2b与c垂直，∴(a＋2b)·c＝3k＋33＝0，∴k＝－3.(理)已知a＝(1,2)，b＝(3，－1)，且a＋b与a－λb互相垂直，则实数λ的值为( )A．－611B．－116C.611D.116[答案] C[解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a ＋b 与a －λb 垂直，∴(a ＋b )·(a －λb )＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝611.3. 设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 间的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30°[答案] B[解析] 如图，在▱ABCD 中，∵|a |＝|b |＝|c |，c ＝a ＋b ，∴△ABD 为正三角形， ∴∠BAD ＝60°，∴〈a ，b 〉＝120°，故选B.(理)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( )A.12B.13C.14D.15[解析] ∵|a －b |＝32，∴|a |2＋|b |2－2a ·b ＝34， ∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°，设|b |＝x ，则1＋x 2－x ＝34，∵x >0，∴x ＝12.4. 若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形[答案] B[解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形．5. (文)若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示c 为( ) A ．－a ＋3b B ．a －3b C ．3a －b D ．－3a ＋b[答案] B[解析] 设c ＝λa ＋μb ，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝－2λ－μ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1μ＝－3，∴c ＝a －3b ，故选B.(理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF→等于( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b[解析] ∵E 为OD 的中点，∴BE →＝3ED →， ∵DF ∥AB ，∴|AB ||DF |＝|EB ||DE |，∴|DF |＝13|AB |，∴|CF |＝23|AB |＝23|CD |，∴AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋23CD →＝a ＋23(OD →－OC →)＝a ＋23(12b －12a )＝23a ＋13b .6. 若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19[答案] D[解析] 据已知得cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935，故AB →·BC →＝|AB →|×|BC→|×(－cos B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19.7. 若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12B ．2 3C ．3 2D ．6[答案] D[解析] a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ＝32x ＋3y≥232x ＋y＝6，等号在x ＝12，y ＝1时成立．8. 若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数x 使得x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，实数x 为( ) A ．－1 B ．0 C.－1＋52D.1＋52[答案] A[解析] x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，∴x 2OA →＋(x －1)OB →＋OC →＝0，由向量共线的充要条件及A 、B 、C 共线知，1－x －x 2＝1，∴x ＝0或－1，当x ＝0时，BC→＝0，与条件矛盾，∴x ＝－1. 9. (文)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( ) A ．最大值为8 B ．最小值为2 C ．是定值6 D ．与P 的位置有关[答案] C[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为x 轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，AB →＋AC →＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，设P (x,0)，－1≤x ≤1，则AP →＝(x ，－3)，∴AP →·(AB →＋AC →)＝(x ，－3)·(0，－23)＝6，故选C.(理)在△ABC 中，D 为BC 边中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|AD →|的最小值是( )A.12B.32 C. 2 D.22[答案] D[解析] ∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1， ∴|AB →|·|AC →|·cos120°＝－1， ∴|AB →|·|AC →|＝2，∴|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝4，∵D 为BC 边的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－2)≥14(4－2)＝12，∴|AD →|≥22.10. 如图所示，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0)的图象的最高点，M ，N 是该图象与x 轴的交点，若PM →·PN →＝0，则ω的值为( )A.π8 B.π4 C ．4 D ．8[答案] B[解析] ∵PM →·PN →＝0，∴PM ⊥PN ，又P 为函数图象的最高点，M 、N 是该图象与x 轴的交点，∴PM ＝PN ，y P ＝2，∴MN ＝4，∴T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.11. 如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E 、F 两点，且交其对角线于K ，其中AE →＝13AB →，AF →＝12AD →，AK→＝λAC →，则λ的值为( )A.15B.14C.13D.12[答案] A[解析] 如图，取CD 的三等分点M 、N ，BC 的中点Q ，则EF ∥DG ∥BM ∥NQ ，易知AK →＝15AC →，∴λ＝15.12. 已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( ) A.12 B ．2 C ．－2 D ．－12[答案] C[解析] m a ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)， 由条件知(2m －4)·(－1)－(3m ＋8)×4＝0， ∴m ＝－2，故选C.13. 在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →等于( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6[答案] B[解析] CM →·CB → ＝(CA →＋AM →)·CB → ＝(CA →＋13AB →)·CB→ ＝CA →·CB →＋13AB →·CB → ＝13|AB →|·|CB →|·cos45° ＝13×32×3×22＝3. 14. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________. [答案] 152[解析] 由条件知，|AB →|＝|AC →|＝|BC →|＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，〈AB →，CB →〉＝60°，CD →＝23CB →， ∴AB →·AD →＝AB →·(AC →＋CD →)＝AB →·AC →＋AB →·23CB →＝3×3×cos60°＋23×3×3×cos60°＝152.15. 已知向量a ＝(3,4)，b ＝(－2,1)，则a 在b 方向上的投影等于________． [答案] －255[解析] a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－25＝－255. 16. 已知向量a 与b 的夹角为2π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________. [答案] 1[解析] ∵〈a ，b 〉＝2π3，|a |＝1，|b |＝4，∴a ·b ＝|a |·|b |·cos〈a ，b 〉＝1×4×cos 2π3＝－2，∵(2a ＋λb )⊥a ，∴a ·(2a ＋λb )＝2|a |2＋λa ·b ＝2－2λ＝0，∴λ＝1.17. 已知：|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB ，且∠AOC＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ＋)，则m n＝________.[答案] 3[解析] 设mOA →＝OF →，nOB →＝OE →，则OC →＝OF →＋OE →，∵∠AOC＝30°，∴|OC→|·cos30°＝|OF→|＝m|OA→|＝m，|OC→|·sin30°＝|OE→|＝n|OB→|＝3n，两式相除得：m3n＝|OC→|cos30°|OC→|sin30°＝1tan30°＝3，∴mn＝3.18.(文)设i、j是平面直角坐标系(坐标原点为O)分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且OA→＝－2i＋j，OB→＝4i＋3j，则△OAB的面积等于________．[答案] 5[解析] 由条件知，i2＝1，j2＝1，i·j＝0，∴OA→·OB→＝(－2i ＋j)·(4i＋3j)＝－8＋3＝－5，又OA→·OB→＝|OA→|·|OB→|·cos〈OA→，OB→〉＝55cos〈OA→，OB→〉，∴cos〈OA→，OB→〉＝－55，∴sin〈OA→，OB→〉＝255，∴S△OAB＝12|OA→|·|OB→|·sin〈OA→，OB→〉＝12×5×5×255＝5.19.已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)．(1)若a⊥b，求x的值．(2)若a∥b，求|a－b|.[解析] (1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，则x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2，当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，∴|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝－22＋02＝2，当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，∴|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝22＋－42＝2 5.。