备战2021高考数学(理)数列错题笔记

备战2021高考数学（理）数列错题笔记
专题06 数列
易错点1 求通项n a 忘记验证n=1
☞典例分析
数列}{
n a 的前n 项和2
22n S n n =-+，求通项公式n a .
【错解】()()2
2
122121223n n n n n n n a S S n -⎡⎤-+----+=⎣⎦
-=-=
【错因分析】当2n ≥时，()()2
2
122121223n n n n n n n a S S n -⎡⎤-+----+=⎣⎦
-=-=，
【试题解析】
当1n =时，111a S ==，
当2n ≥时，()()2
2
122121223n n n n n n n a S S n -⎡⎤-+----+=⎣⎦
-=-=，
经检验11a =不满足23n a n =- ，所以1,123,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故答案为：1,1
23,2n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩
已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法
(1)形如a n ＋1＝a n f (n )，常用累乘法，即利用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n
a n －1求通项公式．
(2)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，常用累加法．即利用恒等式a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)求通项公式． (3)形如a n ＋1＝ba n ＋d (其中b ，d 为常数，b ≠0,1)的数列，常用构造法．其基本思路是：构造a n ＋1＋x ＝b (a n ＋
x )(其中x ＝d
b －1)，则{a n ＋x }是公比为b 的等比数列，利用它即可求出a n . (4)形如a n ＋1＝pa n qa n ＋r (p ，q ，r 是常数)的数列，将其变形为1a n ＋1＝r p ·1a n ＋q
p .
若p ＝r ，则⎩⎨⎧⎭⎬
⎫1a n 是等差数列，且公差为q p ，可用公式求通项；
若p ≠r ，则采用(3)的办法来求．
(5)形如a n ＋2＝pa n ＋1＋qa n (p ，q 是常数，且p ＋q ＝1)的数列，构造等比数列．将其变形为a n ＋2－a n ＋1＝(－q )·(a n ＋1－a n )，则{a n －a n －1}(n ≥2，n ∈N *)是等比数列，且公比为－q ，可以求得a n －a n －1＝f (n )，然后用累加法求得通项．
(6)形如a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝f (n )的式子， 由a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝f (n )，①
得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝f (n －1)，② 再由①－②可得a n .
(7)形如a n ＋1＋a n ＝f (n )的数列，可将原递推关系改写成a n ＋2＋a n ＋1＝f (n ＋1)，两式相减即得a n ＋2－a n ＝f (n ＋1)－f (n )，然后按奇偶分类讨论即可．
(8)形如a n ·a n ＋1＝f (n )的数列，可将原递推关系改写成a n ＋2·a n ＋1＝f (n ＋1)，两式作商可得2(1)
()
n n a f n a f n ++=，然后分奇、偶讨论即可．
(9)a n ＋1－a n ＝qa n ＋1a n (q ≠0)型，将方程的两边同时除以a n ＋1a n ，可构造一个等差数列． 具体步骤：对a n ＋1－a n ＝qa n ＋1a n (q ≠0)两边同时除以a n ＋1a n ，得到1a n －1
a n ＋1＝q ，即 1
a n ＋1－1
a n ＝－q ，
令b n ＝1a n ，则{b n }是首项为1
a 1，公差为－q 的等差数列.
(10)a n ＝pa r n －1(n ≥2，p >0)型，一般利用取对数构造等比数列．
具体步骤：对a n ＝pa r n －1两边同取常用对数，得到lg a n ＝r lg a n －1＋lg p ，令b n ＝lg a n ，则{b n }可归为a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)型.
1．数列{}n a 的前n 项和满足2
32n S n n =-+，则数列n a 的通项公式为_____________.
易错点2 忽略数列中为0的项
☞典例分析
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则当n S 最大时，n =
__________．
【错解】由1118S S =，得1111101817
11+
1822
a d a d ⨯⨯=+，即1=14a d -，由10a >可知0d <，解不等式组111(1)0,0
n n a a n d a a nd +=+-≥⎧⎨=+<⎩即14(1)0,140d n d d nd -+-≥⎧⎨
-+<⎩得1415n <≤．又n ∈*N ，故当15n =时n S 最大． 【错因分析】由于150a =，所以1415S S =，当14n =或15n =时n S 最大，错解中忽略了数列中为0的项．
【试题解析】 【正解1】由1118S S =，得1111101817
11+
1822
a d a d ⨯⨯=+，即1=14a d -，由10a >可知0d <，解不等式组111
(1)0,0n n a a n d a a nd +=+-≥⎧⎨
=+≤⎩即14(1)0,140d n d d nd -+-≥⎧⎨-+≤⎩得1415n ≤≤．故当14n =或15n =时n S 最大．
【正解2】由1118S S =，可得1=14a d -，所以2(1)2914()222n n n d S dn d n -=-+
=--841
8
d ，由n ∈*
N n S
并结合n S 对应的二次函数的图象知，当14n =或15n =时n S 最大．
【正解3】由1118S S =，得121314151617180a a a a a a a ++++++=，即157=0a ，15=0a ，由10a >可知0d <，
故当14n =或15n =时n S 最大．
数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题 1．等差数列的前n 项和与函数的关系 等差数列的前n 项和公式为1(1)2
n n n S na d -=+可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，令A ＝d 2，B ＝a 1－d
2，则S n ＝An 2＋Bn .
当A ≠0，即d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上，为抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上一群孤立的点．利用此性质可解决前n 项和S n 的最值问题． 2．等差数列前n 项和的最值
(1)若等差数列的首项a 1>0，公差d <0，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n 项和有最大值，且满
足⎩
⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，
a n ＋1≤0. (2)若等差数列的首项a 1<0，公差d >0，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n 项和有最小值，且满
足⎩⎪⎨⎪
⎧
a n ≤0，a n ＋1
≥0. 3．求等差数列前n 项和的最值的方法
(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *. (2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取得最值．
(3)项的符号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0的项数n ，使S n 取最大值；当a 1<0，d >0时，满足⎩
⎪⎨⎪⎧
a n ≤0，
a n ＋1≥0的项数n ，使S n 取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使S n 取最值的n 有
两个．
4．在等差数列{}n a 中，若10a >，()p q S S p q =≠，则（1）p q +为偶数⇒当2
p q
n +=
时n S 最大；（2）p q +为奇数⇒当12p q n +-=
或1
2
p q ++时n S 最大．
2．等差数列{}n a 中，12a =，1015S =，记2482n n B a a a a =++++，则当n =__________时，n B 取得
最大值.
易错点3 忽视奇数项或偶数项的符号
☞典例分析
在等比数列{}n a 中，246825a a a a =，求19a a 的值.
【错解】因为{}n a 为等比数列，所以192846a a a a a a ==，由246825a a a a =可得2
19()25a a =，故195a a =±.
【错因分析】错解中忽略了在等比数列中，奇数项或偶数项的符号相同这一隐含条件．
【试题解析】因为{}n a 为等比数列，所以192846a a a a a a ==，由246825a a a a =可得219()25a a =，故19a a =
5±．又在等比数列中，所有的奇数项的符号相同，所以190a a >，所以195a a =．
1．特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．
2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.
3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．
4．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立．
3．已知等比数列{}n a 中，2346781,64a a a a a a ==，则5a = A ．2± B ．−2 C ．2
D ．4
应用等比数列性质时的注意点
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.
易错点4 忽视q =1致错
☞典例分析
在数列{}n a 中，若2(0)n n
n a m m m =-≠，求{}n a 的前n 项和n S ．
【错解】123n n S a a a a =++++
2422()()n n a a a a a a =+++-++
+
222
(1)(1)
11n n a a a a a a
--=---. 【错因分析】错解在进行等比数列求和时忽略了对公比是否等于1的讨论；此外，还需讨论相关数列是否为等比数列.
【试题解析】当1m =时，0n a =，所以0n S =；
当1m =-时，2
1m =，所以(1)1(1)12
n n
n m m S n n m ---=-=+
-； 当1m ≠±时，222
(1)(1)
11n n n m m m m S m m
--=---． 综上，222
0,11(1)
,12(1)(1)
,111n n n n m S n m m m m m m m m ⎧
⎪=⎪--⎪=+
=-⎨⎪
⎪---≠±⎪
--⎩.
1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．
2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a n ，a n
＋1
的式子应进行合并．
3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．
4．各项均为正数的数列{}n a 的首项11
a λ
=，前n 项和为n S ，且2
11n n n S S a λ+++=.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足n
n n b a λ=，求{}n b 的前n 项和n T .
1.数列求和，一般应从通项入手，若通项未知，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
2.解决非等差、非等比数列的求和，主要有两种思路
(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减 来完成；
(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．
1．数列的定义
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．所以，数列的一般形式可以写成123,,,,,,n a a a a 简记为{}n a ．
2．数列的分类
3．数列的表示方法
（1）列举法：将数列中的每一项按照项的序号逐一写出，一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况． （2）解析法：主要有两种表示方法，
①通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即()n a f n =．
②递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项(或前几项)，且任一项n a 与它的前一项1n a - (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
（3）图象法：数列是特殊的函数，可以用图象直观地表示．数列用图象表示时，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图．由此可知，数列的图象是无限个或有限个孤立的点． 4．数列的前n 项和与通项的关系
数列的前n 项和通常用n S 表示，记作12n n S a a a =++
+，则通项1
1,2n n
n S a S S n -⎧=⎨-≥⎩．
若当2n ≥时求出的n a 也适合1n =时的情形，则用一个式子表示n a ，否则分段表示． 5．等差数列与一次函数的关系
由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，可得1()n a dn a d =+-． 令p d =，1q a d =-，则n a pn q =+，其中p ，q 为常数．
（1）当0p ≠时，(,)n n a 在一次函数y px q =+的图象上，数列{}n a 的图象是直线y px q =+上均匀分布的一群孤立的点，且当0d >时数列{}n a 为递增数列，当0d <时数列{}n a 为递减数列．
（2）当0p =时，n a q =，等差数列为常数列，数列{}n a 的图象是平行于x 轴的直线（或x 轴）上均匀分布的一群孤立的点． 6．等差数列的前n 项和
首项为1a ，末项为n a ，项数为n 的等差数列{}n a 的前n 项和公式：11()(1)
=
=22
n n n a a n n S na d +-+．
令2d p =
，12
d q a =-，可得2
n S pn qn =+，则 ①当0p ≠，即0d ≠时，n S 是关于n 的二次函数，点(,)n n S 是函数2=y px qx +的图象上一系列孤立
的点；
②当0p =，即0d =时，n S 是关于n 的一次函数(0q ≠，即10)a ≠或常函数(0q =，即10)a =，
点(,)n n S 是直线y qx =图象上一系列孤立的点．
我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n 项和的相关问题． 7．用前n 项和公式法判定等差数列
等差数列的前n 项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列{}n a 的前n
项和2
n S an bn c =++，那么当且仅当0c =时，数列{}n a 是以a b +为首项，2a 为公差的等差数列；
当0c ≠时，数列{}n a 不是等差数列． 8．等差数列的常用性质
由等差数列的定义可得公差为d 的等差数列{}n a 具有如下性质：
（1）通项公式的推广：()n m a a n m d =+-，,m n ∈*
N ．
（2）若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+(,)m n,p,q ∈*
N ．
特别地，①若2m n p +=，则2m n p a a a +=(,)m n,p ∈*
N ；
②若m n t p q r ++=++，则m n t p q r a a a a a a ++=++(,)m n,p,q,t,r ∈*
N ．
③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即
1211.n n i n i a a a a a a -+-+=+==+=
（3）下标成等差数列的项2,,,
k k m k m a a a ++组成以md 为公差的等差数列．
（4）数列{}(,n ta t λλ+是常数)是公差为td 的等差数列．
（5）若数列{}n b 为等差数列，则数列{}n n ta b λ±(,t λ是常数)仍为等差数列． （6）若,p q a q a p ==，则0p q a +=． 9．与等差数列各项的和有关的性质
利用等差数列的通项公式及前n 项和公式易得等差数列的前n 项和具有如下性质： 设等差数列{}n a （公差为d ）和{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ， （1）数列{
}n S n
是等差数列，首项为1a ，公差为1
2d ．
（2）232(1),,,
,,
k k k k k mk m k S S S S S S S ----构成公差为2k d 的等差数列．
（3）若数列{}n a 共有2n 项，则S S nd -=奇偶，
1
n n S a
S a +=奇偶．
（4）若数列{}n a 共有21n -项，则S S -=奇偶n a ，
(,1n S n S na S n ==-奇奇
偶(1))n S n a =-偶． （5）2121n n n n S a T b --=，21212121m m
n n
S a m T n b ---=⋅-． 10．等比数列的性质
若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，前n 项和为n S ，则有如下性质：
（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =；若2m n r +=，则2(,)m n r a a a m n,p,q,r =∈*
N ．
推广：1211;n n i n i a a a a a a -+-==
=①②若m n t p q r ++=++，则m n t p q r a a a a a a =．
（2）若,,m n p 成等差数列，则,,m n p a a a 成等比数列． （3）数列{}(0)n a ≠λλ仍是公比为q 的等比数列；
数列1{
}n a 是公比为1
q
的等比数列； 数列{}||n a 是公比为||q 的等比数列；
若数列{}n b 是公比为q'的等比数列，则数列{}n n a b 是公比为qq'的等比数列． （4）23,,,,
k k m k m k m a a a a +++成等比数列，公比为m
q ．
（5）连续相邻k 项的和（或积）构成公比为(k
q 或2
)k q 的等比数列．
（6）当1q =时，n m S n S m =；当1q ≠±时，11n
n m
m S q S q -=-． （7）m n
n m m n n m S S q S S q S +=+=+．
（8）若项数为2n ，则
S q S =偶
奇
，若项数为21n +，则1
S a q S -=奇偶． （9）当1q ≠-时，连续m 项的和（如232,,,m m m m m S S S S S --）仍组成等比数列（公比为m q ，2m ≥）
．注意：这里连续m 项的和均非零． 11．求和常用方法
方法1→错位相减法求和的注意点
在运用错位相减法求数列前n 项和时要注意四点： ①乘数（式）的选择；
②对公比q 的讨论（是否为1）；
③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律； ④相消项中构成数列的项数． 方法2→裂项相消法求和的注意点 在应用裂项相消法求和时应注意：
（1）把通项裂项后，是否恰好等于相应的两项之差；
（2）在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，是否还有其他项． 方法3→求和方法——分组求和法的解题步骤 利用分组求和法解题的步骤： ①根据通项公式的特征准确拆分，将其分解为可以直接求和的一些数列的和； ②分组求和，分别求出各个数列的和；
③得出结论，对拆分后每个数列的和进行组合，解决原数列的求和问题．
1．（2020·北京高考真题）在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）
． A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项
D ．无最大项，无最小项
2．（2020·全国高考真题（理））数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若155121022k k k a a a ++++++=-，
则k =（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．（2019·全国高考真题（理））已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则
3a =（ ）
A ．16
B ．8
C ．4
D ．2
4．（2020·淮南第一中学）已知各项为正数的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为7911a a a =（ ）
A ．16
B ．
C ．±
D ．32
5．（2020·华东师范大学第三附属中学）“2ac b =”是“a 、b 、c 成等比数列”的（ ）条件 A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
6．（2020·宁夏兴庆·银川一中）已知数列{}n a 的通项公式为262n a n =-，要使数列{}n a 的前n 项和n S 最大，则n 的值为 A ．14
B ．13或14
C ．12或11
D ．13或12
7．（2020·浙江上虞·高三二模）已知等比数列{}n a 满足28a =，354441a a a =-，则3a =（ ） A ．2
B ．2±
C ．4
D ．4±
8．（2020·湖北武汉）已知等比数列{}n a 中，1a ，101a 是方程210160x x -+=的两根，则215181a a a ⋅⋅的值为（ ）
A ．64
B ．
64±
C ．256
D ．256±
9．（2020·福建漳州·高三其他（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若334
a =，321
4S =，则{}
n a 的公比为（ ） A ．1
3
-或12
B ．
13或12
- C ．-3或2
D ．3或-2
10．（2020·湖南长沙·高三月考）在等比数列{}n a 中，已知19n
n n a a +=，则该数列的公比是( )
A ．3-
B ．3
C ．3±
D ．9
11．已知数列a ，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a 的取值范围是________.
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________。