状态重构和状态观测器设计要求
现代控制理论状态反馈和状态观测器的设计实验报告
本科实验报告课程名称：现代控制理论实验项目：状态反馈和状态观测器的设计实验地点：中区机房专业班级：自动化学号：学生姓名：指导教师：年月日现代控制理论基础一、实验目的（1）熟悉和掌握极点配置的原理。
（2）熟悉和掌握观测器设计的原理。
（3）通过实验验证理论的正确性。
（4）分析仿真结果和理论计算的结果。
二、实验要求（1）根据所给被控系统和性能指标要求设计状态反馈阵K。
（2）根据所给被控系统和性能指标要求设计状态观测器阵L。
（3）在计算机上进行分布仿真。
（4）如果结果不能满足要求，分析原因并重复上述步骤。
三、实验内容（一）、状态反馈状态反馈是将系统的状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入叠加形成控制作为受控系统的控制输入，采用状态反馈不但可以实现闭环系统的极点任意配置，而且也是实现解耦和构成线性最优调节器的主要手段。
1.全部极点配置给定控制系统的状态空间模型，则经常希望引入某种控制器，使得该系统的闭环极点移动到某个指定位置，因为在很多情况下系统的极点位置会决定系统的动态性能。
假设系统的状态空间表达式为（1）其中 n m C r n B n n A ⨯⨯⨯::;:;: 引入状态反馈，使进入该系统的信号为Kx r u -=（2）式中r 为系统的外部参考输入，K 为n n ⨯矩阵. 可得状态反馈闭环系统的状态空间表达式为（3）可以证明，若给定系统是完全能控的，则可以通过状态反馈实现系统的闭环极点进行任意配置。
假定单变量系统的n 个希望极点为λ1,λ2, …λn, 则可以求出期望的闭环特征方程为=)(*s f (s-λ1)(s-λ2)…(s-λn)=n n n a s a s +++-Λ11这是状态反馈阵K 可根据下式求得K=[])(100*1A f U c -Λ（4）式中[]bA Ab b U n c 1-=Λ，)(*A f是将系统期望的闭环特征方程式中的s 换成系统矩阵A 后的矩阵多项式。
例1已知系统的状态方程为u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=•111101101112 采用状态反馈，将系统的极点配置到-1，-2，-3，求状态反馈阵K..其实，在MATLAB的控制系统工具箱中就提供了单变量系统极点配置函数acker(),该函数的调用格式为K=acker(A,b,p)式中，p为给定的极点，K为状态反馈阵。
7.5线性控制系统课件J
算法：给定被估计系统(7.23)，设{A, C}为能观测，对所要 * 设计的全维观测器指定一组期望的极点 {1* , , n }
Step1 导出对偶系统 {AT, CT, BT}。
算法：给定被估计系统(7.23)，设{A, C}为能观测，对所要 * 设计的全维观测器指定一组期望的极点 {1* , , n }
ˆ 为被观测系统状态x的重构状态。 x 其中，
三 降维状态观测器
由于系统的输出 y 中包含有系统状态的部分信息，在直接
利用这部分信息的基础上，可以构造出维数低于被估计系 统的状态维数观测器。
三 降维状态观测器
由于系统的输出 y 中包含有系统状态的部分信息，在直接
利用这部分信息的基础上，可以构造出维数低于被估计系 统的状态维数观测器。
ˆ (t ) 和x(t)的等价性采用渐近等价提法，即有 一般x
ˆ (t ) lim x(t ) lim x
t t
观测器按其功能分为状态观测器和函数观测器。其输 ˆ (t ) 渐近等价于原系统状态的观测器称为状态观测器， 出x 其输出w(t)渐近等价于原系统状态的一个函数Kx的观测器 (K为常数阵)称为函数观测器。 状态观测器按其结构分为全维观测器和降维观测器。
试确定其全维状态观测器，且指定观测器的特征值为
1 2 和2 4 解：对给定线性时不变系统，系统维数n=2，有
C 1 0 rank rank 2n CA 0 1
由能观性秩判据知，(A,C)完全能观。 从而，可构造任意配置的全维状态观测器。
法1：归结为配置状态观测器矩阵(A-LC)的特征值 1 2 和2 4的综合2×1矩阵L。
ˆ ) 是修正反馈项。 其中L( y Cx
状态重构和状态观测器设计要求
2. 渐近状态观测器
Asymptotic state observer 前面讨论的开环状态观测器没有利用被控系统的可直接测量
得到的输出变量来对状态估计值进行修正，估计效果不佳
✓ 其估计误差 x(t) xˆ(t)将会因为矩阵A 具有在 s 平面 右半闭平面的特征值，导致不趋于零而趋于无穷或 产生等幅振荡。
的特征值均具负实部；而A22是系统的不可观部分，由可检测 的假定，A22的特征值具有负实部，故系统渐近稳定，即
limx% 0,
t
x0,xˆ0,u
于是定理的充分性得证。定理的必要性证明略去。
证毕。
下面分析状态估计误差是否能趋于零。
先定义如下状态估计误差:
x x xˆ
则有
x(xxˆ)A(xxˆ)G(yyˆ) A(xxˆ)GC(xxˆ) (AGC)x
t
即状态估计值可以渐近逼近被估计系统的状态, ➢ 则称该状态估计器为渐近状态观测器。
根据上述利用输出变量对状态估计值进行修正的思想，和状 态估计误差须渐近趋于零的状态观测器的条件，可得如下的 状态观测器:
x ˆ& Ax ˆBuG(yyˆ) yˆCx ˆ
(31)
其中G 称为状态观测器的反馈矩阵。 于是重构状态方程为
M
a
* 1
a1
其中 ai* 和 ai (i=1, 2, …, n)分别为期望的状态观测器 的极点所决定的特征多项式的系数和原被控系统的
特征多项式的系数。
✓ 因此, 原系统Σ(A,B,C)的相应状态观测器的反馈阵G为
G TG%
例3-1 设线性定常系统的状态空间模型为（P265 习题10-5-5）
显然, 当 x(0) xˆ(0) 时, 则有 x(t) xˆ(t) , ✓ 即估计值与真实值完全相等。
实验五 状态观测器的设计
实验五 状态观测器设计一、实验目的：（1） 理解观测器在自动控制设计中的作用（2） 理解观测器的极点设置（3） 会设计实用的状态观测器二、实验原理：如果控制系统采用极点配置的方法来设计，就必须要得到系统的各个状态，然后才能状态反馈进行极点配置。
然而，大多数被控系统的状态是不能直接得到的，怎么办？于是提出了利用被控系统的输入量和输出量重构原系统的状态，这样原系统的状态就能被等价取出，从而进行状态反馈，达到改善系统的目的。
另外，状态观测器可以用来监测被控系统的各个参量。
观测器的设计线路不是唯一的，本实验采用较实用的设计。
给一个被控二阶系统，其开环传递函数是12(1)(1)K T s T s ++ ，12 K K K = 设被控系统状态方程X=AX+BuY=CX构造开环观测器， X、 Y 为状态向量和输出向量估值 X=AX+Bu Y=CX由于初态不同，估值 X状态不能替代被控系统状态X ，为了使两者初态跟随，采用输出误差反馈调节，即加入 H(Y-Y)，即构造闭环观测器，闭环观测器对重构造的参数误差也有收敛作用。
X=AX+Bu+H(Y-Y)Y=CX也可写成 X=(A-HC)X+Bu+HY Y=CX只要（A-HC ）的特征根具有负实部，状态向量误差就按指数规律衰减，且极点可任意配置，一般地，（A-HC ）的收敛速度要比被控系统的响应速度要快。
工程上，取小于被控系统最小时间的3至5倍，若响应太快，H 就要很大，容易产生噪声干扰。
实验采用X=AX+Bu+H(Y-Y)结构，即输出误差反馈，而不是输出反馈形式。
由图可以推导： 11112222[()]1[()]1K x u Y y g T s K x u Y y g T s =+-+=+-+所以： 111111112222122121 ()1 ()K g K x x u Y y T T T K g K x x x Y y T T T =-++-=-+- 比较： X=Ax+Bu+H(Y-Y)Y=Cx可以得到：[]1111111222221210 , B= , C=01,10g K K T T g T A H g K g K T T T ⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==≠⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦选择观测器极点为1λ，2λ即有：12()()s s λλ++故：特征式 d e t ()S I A H C-+=12()()s s λλ++ 取：1212min 3520,5,2,0.5,0.2K K T T t λ-======，求解12g g ⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、实验设备：THBDC-1实验平台THBDC-1虚拟示波器Matlab/Simulink 软件四、实验步骤：按要求设计状态观测器(一)在Matlab环境下实现对象的实时控制1、将ZhuangTai_model.mdl复制到E:\MA TLAB6p5\work子目录下，运行matlab，打开ZhuangTai_model.mdl注：‘实际对象’模块对应外部的实际被控对象，在simulink下它代表计算机与外部的接口：●DA1对应实验面板上的DA1，代表对象输出，输出通过数据卡传送给计算机；●AD1对应实验面板上的AD1，代表控制信号，计算机通过数据卡将控制信号送给实际对象；2、如图，在Simulink环境下搭建带状态观测器的系统实时控制方框图3、如图正确接线，并判断每一模块都是正常的，包括接好测试仪器、设置参数、初始化各个设备和模块；接成开环观测器，双击误差开关，使开关接地。
状态观测器的设计
原系统状态变量估计值
y1 x = T x = x = y2 z y 2
∧ ∧
�
∧ x = x ∧ x
∧ 1 2
∧
& ∧
y = z + L y
原系统状态变量估计值
C11 C11C2 y x = Tx = z + Ly Inm 0
∧
5,降维状态观测器结构图
(二)设计 1, 实际降维状态观测器的特征多项式和希望观测 器特征多项式的系数应相等.
如果
<
特征值为正,~ → ∞,不允许 x 特征值为负,~ → 0. x
t →∞
因此,要求A阵具有负根, 极点靠近虚轴近,如-0.1,e 0.1t 衰减慢.
三,观测器存在条件 定理5-4,系统∑(A, B, C )完全能观测是观测器存在 0
的充分条件,而且观测器的极点可以任意配置. 证明:AC能观,设为能观标准型.
5.5 状态观测器的设计
引言:(1)系统设计离不开状态反馈 (2)实际系统的状态变量不是都能用物理 方法测得到的 (3)需要设法得到状态变量 →采用状 态观测器实现状态重构
一,状态观测器定义 设线性定常系统∑0=(A, B, C )的状态向量x不能直接检测. 如果动态系统 ∑ g 以 ∑ 0 的输入u和输出y作为其输入量,能产 生一组输出量 x 渐近于x,即 lim[ x x] = 0, 则称 ∑ g 为 ∑ 0 的一个
y1 y1 = (6 + 1)( z + [0 1] ) + ([ 6 11] [0 0] + (1 0)u y2 y2
= 5 z 6 x1 6 x2 + u
(6)变换后系统状态变量的估计值为
状态观测器设计
基于M A T L A B的状态观测器设计预备知识：极点配置基于状态反馈的极点配置法就是通过状态反馈将系统的闭环极点配置到期望的极点位置上，从而使系统特性满足要求。
1. 极点配置原理假设原系统的状态空间模型为：若系统是完全可控的，则可引入状态反馈调节器，且：这时，闭环系统的状态空间模型为：2. 极点配置的MATLAB函数在MATLAB控制工具箱中，直接用于系统极点配置的函数有acker()和place()。
调用格式为：K=acker(A,C,P) 用于单输入单输出系统其中：A，B为系统矩阵，P为期望极点向量，K为反馈增益向量。
K=place(A,B,P)(K,prec,message)=place(A,B,P)place()用于单输入或多输入系统。
Prec为实际极点偏离期望极点位置的误差；message是当系统某一非零极点偏离期望位置大于10%时给出的警告信息。
3. 极点配置步骤：（1）获得系统闭环的状态空间方程；（2）根据系统性能要求，确定系统期望极点分布P；（3）利用MATLAB极点配置设计函数求取系统反馈增益K；（4）检验系统性能。
已知系统模型如何从系统的输入输出数据得到系统状态？初始状态：由能观性，从输入输出数据确定。
不足：初始状态不精确，模型不确定。
思路：构造一个系统，输出逼近系统状态称为是的重构状态或状态估计值。
实现系统状态重构的系统称为状态观测器。
观测器设计状态估计的开环处理：但是存在模型不确定性和扰动！初始状态未知！应用反馈校正思想来实现状态重构。
通过误差来校正系统：状态误差，输出误差。
基于观测器的控制器设计系统模型若系统状态不能直接测量，可以用观测器来估计系统的状态。
L是观测器增益矩阵，对偏差的加权。
真实状态和估计状态的误差向量误差的动态行为：的极点决定了误差是否衰减、如何衰减？通过确定矩阵L来保证。
也即极点配置问题。
要使得误差衰减到零，需要选取一个适当的矩阵L，使得A－LC是稳定的。
现代控制理论_状态观测器（PDF）
x
ˆx是否与一样？
（2）闭环状态观测器
如果利用输出对状态误差进行校正，构成
闭环状态观测器。
&
[]
ˆˆ
=−++
x A H C x bu H y
两个输入：
控制作用u
待观测系统的输出：y
待观测系统的输出
一个输出：
状态估计值：ˆx
六、带状态观测器的状态反馈系统
原系统
-ˆx
反馈是否与
反馈一样？
x H 与K 阵的求法？
状态观测器
反馈：ˆx ˆ()()
()x A bk x bv bk x x A bk x bv bkx
=−++−=−++&%()x
A H C x =−&%%带状态观测器的状态反馈系统
分离定理
如果系统(A,B,C)可控可观，则系统的状态反馈矩阵K和观测器反馈矩阵H可分别进行设计。
这个性质成为闭环极点设计的分离性。
例：010
()()()
05100
t t u t
⎡⎤⎡⎤
=+
⎢⎥⎢⎥
−
⎣⎦⎣⎦
x x
&
[]
()10()
y t x t
=
X不可测量，设计状态反馈，期望极点为
λ1=-7.07+j7.07
=-7.07-j7.07
λ27.07j7.07。
状态重构与状态观测器的设计_5.4_5.5
解 根据给定的受控系统， 根据给定的受控系统，求得能观测性矩阵及能控性矩阵的 秩为
C 1 1 0 rank CA = rank 1 2 1 = 3 2 CA 1 4 4
1 1 1 A2 B = rank 0 1 4 = 3 1 2 4
ˆ x = e ( A−GC )t x0 , x0 = x0 − x0 , t0 = 0
5.4 状态重构与状态观测器的设计
3. 全维状态观测器极点任意配置条件 定理5-4 可用图 所示的结构，设计全维状态观测 可用图5-6所示的结构 所示的结构， 定理
重构出系统所有的状态， 器，重构出系统所有的状态 ，并且观测器的极点可 以任意配置的充分必要条件是系统完全能观测。 以任意配置的充分必要条件是系统完全能观测。
5.4 状态重构与状态观测器的设计
4. 设计反馈矩阵 设计反馈矩阵G （1）按照极点配置的方法 ）
（2）极点选取：若是选得离虚轴愈远，状态误差趋 ）极点选取：若是选得离虚轴愈远， 于零的速度就愈快。 于零的速度就愈快。过于远离虚轴则状态观测器的 频带过宽，将降低状态观测器抗高频干扰的性能。 频带过宽，将降低状态观测器抗高频干扰的性能。
,上式变为： 上式变为： 上式变为
ɺ x = ( A − BK ) x +BKx +Bv
（4）同时 观测器的状态误差方程 ）同时,
ɺ x = ( A − GC )x
（5） 上两式= 0 ɺ
（6）特征方程 ）
λ I − A + BK
0
BK x B x + 0 v A- GC
现代控制理论8_状态观测器
五、状态观测器设计
状态变量
可测量的
不可测量的
用状态观测 器重构
状态观测器：
利用系统已知量y,u，构造一个模型，将系统状 态变量进行估计。实现状态变量估计的物理装置。
状态观测器定义：
设线性定常系统Σ0=(A,B,C)的状态变量X不能直
接检测。如果动态系统 Σˆ 以Σ0的输入u和输出y作为输
H与K阵的求法？
1 用 xˆ 反馈与X反馈是否一样？
（1）X反馈
反馈控制律： u = v= Cx
（2） xˆ 反馈
反馈控制律： u = v − kxˆ xˆ 反馈： x& = Ax + bu
= Ax + bv − bkxˆ = Ax + bv − bkxˆ + bkx − bkx = ( A − bk)x + bv + bk(x − xˆ) = ( A − bk)x + bv + bkx%
u(t)
y(t) = [1 0] x(t)
X 不可测量，设计状态反馈，期望极点为
λ1=-7.07+j7.07 λ2=-7.07-j7.07
5
¾ 计算 sI − (A − HC) = 0
¾ 两式系数对应相等，求出H
例
x& (t)
=
⎡0 ⎢⎣−2
1⎤ −3⎥⎦
x(t)
+
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦
u(t)
y(t) = [2 0] x(t)
设计状态观测器使其极点为λ1,2 = −10 求H
六、带状态观测器的状态反馈系统
-
原系统
状态观测器
xˆ 反馈是否与 x 反馈一样？
状态观测器设计共20页
Chapter6 状态观测器设计在工程实际中能量测的信号只是系统的输出y ，而不是系统的内部状态。
有的状态变量是物理量，有的则不是物理量，因而状态变量未必都可以测量得到。
当状态不能全部量测时，我们就无法获得系统的状态信息，因而状态反馈在工程上就不能实现。
1964年，Luenberg er G D ⋅⋅（龙伯格）提出的“状态观测器”理论成功的解决了系统状态信息的获取问题。
Luenberg er G D ⋅⋅认为，当已知系统输入为u ，系统的输出为y ，他们必然与其内部状态x 有联系，也就是说我们应该能通过测量),(y u 对未知的状态量x 进行推论和估计。
“状态观测器”本质上是一个“状态估计器”（或称动态补偿器），其基本思路是利用容易量测的被控对象的输入u 和输出y 对状态进行估计（和推测）。
6.1 观测器设计考虑线性时不变系统Cx y Bu Ax x=+=， （6-1） 基于（6-1）人为地构造一个观测器，观测器的输出为x ~，如果能满足 0)~(lim =-∞→x x t （6-2）则观测器的输出x ~可以作为内部状态)(t x 的估值，从而实现“状态重构-即重新构造“状态x ~”来作为“原状态x ”的估值。
观测器的输出x ~应该能由系统输入u 和系统输出y 综合而成（系统输入u 和系统输出y 在工程实际中容易检测到）。
∞→t 只是数学上的表述，实际工程中是很快的过程（<s 1）。
为了得到估计值x ~，一个很自然的想法是构造一个模拟系统 Bu x A x +=~~，x C y ~~= （6-3） 用该模拟部件（6-3）去再现系统（6-1）。
因为模拟系统（6-3）是构造的，故x ~是可量测的信息，若以x ~作为x 的估值。
其估计误差为x x e -≡~，（6-3）减（6-1），满足方程 Ae e = （6-4） 讨论：①若A 存在不具有负实部的特征值，Ae e= 将不会稳定，则当初始误差0)0(≠e ，即)0()0(~x x ≠时，有0)]()(~[lim ≠-∞→t x t x t ，这样x ~就不能作为x 的估计值，即Ae e = 不能作为一个观测器。
状态观测器设计
状态观测器 （state observer ）背景：60年代初期，为了对控制系统实现状态反馈或其他需要，D.G.吕恩伯格、R.W.巴斯和J.E.贝特朗等人提出状态观测器的概念和构造方法，通过重构的途径解决了状态的不能直接量测的问题。
由龙伯格（Luenberger ）提出的状态观测器理论，解决了在确定性条件下受控系统的状态重构问题，从而使状态反馈成为一种可实现的控制律。
在噪声环境下下的状态观测涉及随机最优估计理论，即卡尔曼滤波技术。
状态观测器的出现，不但为状态反馈的技术实现提供了实际可能性，而且在控制工程的许多方面也得到了实际应用，例如复制扰动以实现对扰动的完全补偿等。
定义：根据系统的外部变量(输入变量和输出变量)的实测值得出状态变量估计值的一类动态系统，也称为状态重构器。
如果动态系统Σ^以Σ0的输入，输出y 作为其输入量，能产生一组输出X ^渐近于x ，即lim t→∞（x- x ^）=0，则称Σ^为Σ0的一个状态观测器。
构造状态观测器的的基本原则是:（1）观测器Σ^应以Σ0 的输入变量和输出变量为其输入变量。
（2）Σ0必须完全可观，或其不可观子系统是渐近稳定的。
（3）Σ^的输出变量x ^是原系统Σ0的状态变量x 的实时估计值，x ^与x 之间的偏差随时间的衰减应满足一定的快速性。
（4）Σ^在结构上应尽量简单，即具备尽可能低的维数，以便于物理实现。
结构：构成状态观测器的方法依需要的不同而有差别。
最简单的是开环状态观测器（图1）。
这种观测器实质上就是按被观测系统复制的一个模型，但其状态变量可以直接输出。
只要初始条件相同x ^ (0)＝x(0), x ^(t)就可作为被观测系统的状态x(t)的一个精确的估计。
但这个条件往往很难满足。
此外，这种开环观测器对外界干扰的抗干扰性和对参数变动的灵敏度都很差，它的输出x ^ (t)不能成为x(t)的一个良好估计。
因此开环状态观测器几乎没有实用价值。
采用闭环方式构成的状态观测器能克服开环状态观测器的缺点。
状态观测器设计
基于M A T L A B的状态观测器设计预备知识：极点配置基于状态反馈的极点配置法就是通过状态反馈将系统的闭环极点配置到期望的极点位置上，从而使系统特性满足要求。
1. 极点配置原理假设原系统的状态空间模型为：若系统是完全可控的，则可引入状态反馈调节器，且：这时，闭环系统的状态空间模型为：2. 极点配置的MATLAB函数在MATLAB控制工具箱中，直接用于系统极点配置的函数有acker()和place()。
调用格式为：K=acker(A,C,P) 用于单输入单输出系统其中：A，B为系统矩阵，P为期望极点向量，K为反馈增益向量。
K=place(A,B,P)(K,prec,message)=place(A,B,P)place()用于单输入或多输入系统。
Prec为实际极点偏离期望极点位置的误差；message 是当系统某一非零极点偏离期望位置大于10%时给出的警告信息。
3. 极点配置步骤：（1）获得系统闭环的状态空间方程；（2）根据系统性能要求，确定系统期望极点分布P；（3）利用MATLAB极点配置设计函数求取系统反馈增益K；（4）检验系统性能。
已知系统模型如何从系统的输入输出数据得到系统状态？初始状态：由能观性，从输入输出数据确定。
不足：初始状态不精确，模型不确定。
思路：构造一个系统，输出逼近系统状态称为是的重构状态或状态估计值。
实现系统状态重构的系统称为状态观测器。
观测器设计状态估计的开环处理：但是存在模型不确定性和扰动！初始状态未知！应用反馈校正思想来实现状态重构。
通过误差来校正系统：状态误差，输出误差。
基于观测器的控制器设计系统模型若系统状态不能直接测量，可以用观测器来估计系统的状态。
L是观测器增益矩阵，对偏差的加权。
真实状态和估计状态的误差向量误差的动态行为：的极点决定了误差是否衰减、如何衰减？通过确定矩阵L来保证。
也即极点配置问题。
要使得误差衰减到零，需要选取一个适当的矩阵L，使得A－LC是稳定的。
全维状态观测器
e z-Tx
Fz Gy Hu -TAx -TBu
Fz - FTx FTx GCx Hu - TAx - TBx
step1：计算对偶系统系数矩阵A AT , B CT .
step2：对 ( A, B )和期望特征值组 1，2， ，n ，采用极点配置算法，计算使
i ( A BK ) i，i 1,2,3....n 的qxn状态反馈状态矩阵K 。其中(•) 表示所示矩阵的特征值。 step3：取 L K T . step4：计算(A-LC)。 step5：所综合全维观测器为
xˆ 完全等同于被观测状态x。
函数观测器特点：以重构被观测系统状态的函数如反馈线性函数kx为目标，将等价指标取
为重构输出w和被观测状态函数kx的渐近等价，即
limw(t) limkx(t) k为常数阵
t
t
结构角度：全维观测器和降维观测器 维数等于被观测系统的状态观测器称为全维观测器，维数小于被观测系统的状态观测器为 降维观测器。
lim xˆ (t) lim x(t)
充分必要条件是被观测系统 不能观t测部分为渐t近稳定，充分条件为被观测系统(A,C)完全能观测。
证：基于对偶原理，(A,C)能观测性等价于 ( AT ,CT ) 能控性。由此，并利用线性时不变系统镇定问题对应
结论，即可证得
lim
~x(t)
0，等价地这又意味着lim
lim xˆ(t) lim x(t)
t
t
并且，称ˆ 状态 xˆ为被观测系统状态x的重构状态，所构造系统ˆ 为被观测系统 的一个状态观测器。
设计状态观测器
第一题说明状态观测器的目的，以
及设计状态观测器的原则
当利用状态反馈配置极点时，需用传感器测量状态变量以便实现反馈，但通常只有被控对象的输入量和输出量能用传感器测量，多数状态变量不易或不能测量，于是提出了利用被控对象的输入量和输出量建立状态观测器来重构状态的思想。
但是，被控对象的初始状态很可能很不同，模拟系统中积分器的初
始条件又只能预估，因而两个系统的初始状态总有差异，即使两个系统
的ABC阵完全一样（通常不可能），也必定存在估计状态与被控对象实
际状态的误差（x^-x），难以实现所需要的状态反馈。
但估计状态与被控对象实际状态的误差存在，
必然导致（y^-y）存在，可以根据反馈原理将（y^-
y）反馈至估计状态微分处
6
可以将状态观测器看为两个输入(u,y)，输出为x^的系统观测器正常工作的条件（t→∞）（x^(t)-x(t))=0
要求A-HC特征值具有负实部
注意：选择H阵参数时，应防止数值过大带来的
实现困难，通常希望观测器响应速度比状态反
馈系统的响应速度要快些。
第二题状态反馈配置极点是否唯一？
为什么？举例说明？
9
对于单输入系统，被配置极点确定时，K唯一
对于多输入系统，被配置极点确定时，K阵不唯一。
其原因在于K阵是一个p×n的矩阵，共有个p×n未知数，而方程只有n个，当p=1时，未知数等于方程数，解唯一，当p>1时，未知数>方程数解不唯一
结论
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➢ 即, 由观测器得到的 xˆ (t) 只是 x(t) 的一种开环估计值。 ➢ 为了和下面讨论的状态观测器区分开来, 通常把该观测
➢ 其结构如下图所示。
u
+
B
x' ∫ x C y
+
A
+ B
xˆ
xˆ
∫
+
开环状态观测器
A
yˆ C
xˆ
图3-1 开环状态观测器的结构图
比较系统(A,B,C)和 ˆ (A, B,C) 的状态变量，有
x & (t)x ˆ& (t)A x(t)x ˆ(t)
则状态估计误差 x xˆ 的解为
x (t) x ˆ(t) e A tx (0 ) x ˆ(0 )
❖ 此时若 x(0) xˆ(0) 或出现对被控系统状态x(t)或 状态观测器状态 xˆ (t)的扰动, 则将导致状态估计 误差 x(t) xˆ(t) 将不趋于零而为趋于无穷或产生 等幅振荡。
➢ 所以, 由于上述状态观测器不能保证其估计误差收敛到 零, 易受噪声和干扰影响, 其应用范围受到较大的限制。
Open-loop state observer 设线性定常连续系统的状态空间模型为(A,B,C), 即
x& Ax Bu
y
Cx
其中系统矩阵A、输入矩阵B和输出矩阵C都已知。 ➢ 这里的问题是： ✓ 若状态变量 x(t) 不能完全直接测量到, 如何构造一个 系统随时估计该状态变量 x(t)？
➢ 对此问题一个直观想法是：
➢ 换句话说，为了实现状态反馈控制律，就要设法利用巳 知的信息（输入量及输出量），通过一个模型(或系统、 或软件)来对状态变量进行估计。
➢ 状态观测器是指在不考虑噪声干扰下，状态值的观测或 估计问题，即所有测量值都准确无差且原系统内外部无 噪声干扰。
✓ 对于存在噪声干扰时的状态观测或估计问题，则可 用卡尔曼(Kalman)滤波理论来分析讨论(最优估计)。
✓ 则这种渐近逼近的状态变量的值即为原系统的状态 变量的估计值
✓ 并可用于状态反馈闭环系统中代替原状态变量作为 反馈量来构成状态反馈律
这种重构或估计系统状态变量的装置称为状态观测器（state observer），它可以是由电子、电气等装置构成的物理系统, 也可以是由计算机和计算模型及软件来实现的软系统。
器称为开环状态观测器。
2. 渐近状态观测器
Asymptotic state observer 前面讨论的开环状态观测器没有利用被控系统的可直接测量
得到的输出变量来对状态估计值进行修正，估计效果不佳
✓ 其估计误差 x(t) xˆ(t)将会因为矩阵A 具有在 s 平面 右半闭平面的特征值，导致不趋于零而趋于无穷或 产生等幅振荡。
t
即状态估计值可以渐近逼近被估计系统的状态, ➢ 则称该状态估计器为渐近状态观测器。
根据上述利用输出变量对状态估计值进行修正的思想，和状 态估计误差须渐近趋于零的状态观测器的条件，可得如下的 状态观测器:
x ˆ& Ax ˆBuG(yyˆ) yˆCx ˆ
()
其中G 称为状态观测器的反馈矩阵。 于是重构状态方程为
➢ 可以预见，如果利用输出变量对状态估计值进行修正， 即进行反馈校正，则状态估计效果将有本质性的改善。
➢ 下面将讨论该类状态观测器系统的特性及设计方法。
如果对任意矩阵 A 的情况都能设计出相应的状态观测器, 对 于任意的被控系统的初始状态都能满足下列条件:
lim [x(t) xˆ(t)] 0
状态重构和状态观测器 设计要求
概述
状态反馈相对于输出反馈的优越性是显而易见的。系统的任 意极点配置、镇定、解耦控制、无静差跟踪等，都有赖于引 入适当的状态反馈才能够实现。
状态可控的线性定常系统可通过线性状态反馈来进行任意极 点配置，以使闭环系统具有所期望的极点及性能品质指标。
➢ 但是，由于 1) 描述内部运动特性的状态变量有时并不是 能直接测量的，2) 而且有时并没有实际物理量与之直接 相对应而为一种抽象的数学变量。
➢ 这些情况下，用状态变量作为反馈变量来构成状态反馈 系统带来了具体工程实现上的困难。
为此，提出了状态变量的重构或观测估计问题? Reconstruction, observation, estimation
所谓的状态变量的重构或观测估计问题，即设法另外构造一 个物理上可实现的动态系统, ✓ 它以原系统的输入和输出作为它的输入 ✓ 而它的状态变量的值能渐近逼近原系统的状态变量 的值或者其某种线性组合
本节主要讨论状态观测器理论。 ➢ 重点掌握: ✓ 状态观测器的结构、误差分析、设计方法 ✓ 带状态观测器的状态反馈闭环系统的分析
10.3.1 全维状态观测器及其设计
Full-dimensional state observer 下面分别介绍
➢ 开环状态观测器 ➢ 渐近状态观测器
1. 开环状态观测器
✓ 利用仿真技术来构造一个和被控系统有同样动力学 性质（即有同样的系数矩阵A, B和C）的如下系统， 用模型系统的状态变量作为系统状态变量的估计值 （即重构被控系统的状态变量）:
xˆ& A xˆ B u
yˆ
C xˆ
其中 xˆ 为被控系统状态变量 x(t) 的估计值。
该状态估计系统称为开环状态观测器，简记为 ˆ (A, B,C)
显然, 当 x(0) xˆ(0) 时, 则有 x(t) xˆ(t) , ✓ 即估计值与真实值完全相等。
➢ 但是，一般情况下是很难做到这一点的。这是因为:
1. 有些被控系统难以得到初始状态变量 x(0), 即不能保 证 x(0) xˆ(0);
2. 若矩阵 A 的某特征值位于 s 平面的虚轴或右半开平 面上(实部 Re s0), 则矩阵指数函数 eAt 中包含不随 时间 t 趋于无穷而趋于零的元素。
x ˆ& (AG C)x ˆBuG y
➢ 该状态估计器称为全维状态观测器, 简称为状态观测器, 其结构如下图所示。
u
B+
x'
x
∫
+ A
+ B 闭环状态观测器
+ xˆ +
G xˆ
∫
A
y C
+
- yˆ C
xˆ