第三章 对偶问题与灵敏度分析

产品A 产品B 资源限制
劳动力
9
4
360
设备
4
5
200
原材料
3
பைடு நூலகம்
10
300
单位利润 70
120
OR1
2
对偶模型
设每个工时收费Y1元，设备台时费用Y2 元，原材料附加费Y3元。 出租收入不低于生产收入：
9y1+4y2+3y3 ≥70
4y1+5y2+10y3 ≥120 目标：ω=360y1+200y2+300y3 出租收入越多越好？至少不低于某数
+y3=1
y1 ≥ 0y2 ≤ 0y3 无约束
OR1
8
3.1.3对偶问题的基本性质
对称性：对偶问题的对偶问题是原问题
弱对偶性：极大化原问题的任一可行解的目标 函数值，不大于其对偶问题任意可行解的目标 函数值 (鞍型图)
无界性：原问题无界，对偶问题无可行解
对偶定理：若一个问题有最优解，则另一问题 也有最优解，且目标函数值相等。若原问题最 优基为B，则其对偶问题最优解Y*=CBB-1
OR1
3
原问题与对偶问题之比较
原问题：
maxZ=70X1+120X2
对偶问题：
minω=360y1+200y2+300y3
9X1+4X2≤360 4X1+5X2 ≤200 (3.1) 3X1+10X2 ≤300 X1≥0 X2≥0
9y1+4y2+3y3 ≥70 4y1+5y2+10y3 ≥120 (3.2) y1 ≥0, y2 ≥0, y3 ≥0
（参看P96）
例题4： 87.5 ≤ C2 ≤ 233.33；36 ≤ C1 ≤ 96
OR1
11
灵敏度分析
右端项的灵敏度分析：
bi变化到什么程度可以保持最优基不变？用尺度
xB= B-1b ≥0
例题5：
1 -3.12 1.16 360
B-1b= 0 0.4 -0.2 200 ≥0
0 -0.12 0.16 b3
σ6=C6-YP6=110-（0，13.6，5.2）（6，5，7）T = 110-104.4=5.6 大于零，有利可图，将P6左乘B-1， 加入到末表之中，继续迭代，直到求得最优解。
OR1
13
3.3用计算机进行灵敏度分析
例题7 参见P102
OR1
14
习题课：
P78——2.10
（1）唯一最优解：H3 ≤ 0 ，H5≤ 0 ， H1 ≥0 （2）无穷多最优解： H3=0， H1 ≥0， H5 0 ， H2>0
第三章 对偶问题与灵敏度分析
要求： 了解LP对偶问题的实际背景 了解对偶问题的建立规则与基本性质
掌握对偶最优解的计算及其经济解释
掌握LP的灵敏度分析 理解计算机输出的影子价格与灵敏度分 析的内容
OR1
1
3.1 对偶问题
3.1.1 对偶问题的提出
回顾例题1： 现在A、B两产品销路不畅，可以 将所有资源出租或外卖，现在要谈判，我们的价 格底线是什么？
OR1
16
习题课：
P81——2.16
设白天电视广告X1个，黄金时间电视广告X2个， 广播广告X3个，杂志广告X4个
maxZ=40X1+90X2+50X3+2X4
8X1+15X2+6X3+3X4 ≤16
30X1+40X2+20X3+X4 ≥200
8X1+15X2 ≤10
X1 ≥3 X2 ≥2
X3 ≥5 X3 ≤10
OR1
18
习题课：
P107——3.2 1、对，根据若对偶性 2、对，同上 3、对，同上 4、对，因为影子价格是每增加一个单位
的某种资源，对目标函数的贡献程度
5、对，根据强对偶定理
OR1
19
习题课
P107——3.5 注：目标函数为最大化 1、这是线性规划的逆运算 对偶问题最优解 ： Y1=4、Y2=2、Y3=0、Y4=4、Y5=0
影子价格所含有的信息： 1、资源紧缺状况
2、确定资源转让基价
参见：P40
3、取得紧缺资源的代价
OR1
10
3.2灵敏度分析
为什么进行灵敏度分析？ 灵敏度分析的两把尺子：
σj =Cj-CBB-1pj≤ 0； xB= B-1b ≥0 3.2.1 价值系数的灵敏度分析
Cj变化到什么程度可以保持最优基不变？用
minZ=3x1+2x2-6x3+x5
2y1+ y2- y3 ≤3
2x1+x2-4x3+x4+3x5 ≥7
y1 +3y3 ≤2
x1+ 2x3 -x4 ≤ 4
-4y1+ 2y2 ≤-6
-x1+3x2 -x4+ x5 =-2
y1 -y2 -y3 ≥ 0
x1，x2，x3 ≥0; x4 ≤ 0;x5无限制
3y1
b3的变化范围：227.586 ≤ b3 ≤ 400
OR1
12
其它形式的灵敏度分析
新产品的分析：
在资源结构没有变化的条件下，是否生产这种新 产品，就看它的竞争力如何。
例题6：新增一种C产品，单位利润110元，使用劳动 力6工时，设备5台时，原材料7公斤，问要否调整 产品结构？
先算检验数σj =Cj-CBB-1pj
OR1
4
3.1.2对偶规则
原问题一般模型： maxZ=CX
AX ≤b
X ≥0
对偶问题一般模型： min ω=Yb YA ≥C Y ≥0
OR1
5
对偶规则
原问题有m个约束条件，对偶问题有m个变量 原问题有n个变量，对偶问题有n个约束条件 原问题的价值系数对应对偶问题的右端项 原问题的右端项对应对偶问题的价值系数 原问题的技术系数矩阵转置后为对偶问题系数
X OR1 4 ≥5 X4 ≤10 X j≥0 j=1、2、3、4
17
习题课：
P81——2.17
设A产品生产X1单位，B产品生产X2单位， C产品销毁X3单位
maxZ=5X1+10X2+3（2X2-X3）-1X3
2X1+3X2 ≤200
3X1+4X2 ≤240
2X2-X3 ≤10
X1、X2、X3 ≥0
矩阵 原问题的约束条件与对偶问题方向相反 原问题与对偶问题优化方向相反
OR1
6
对偶规则
.
原问题
对偶问题
目标函数 max min 目标函数
约束条件 ≤ ≥
变量
≥≤
=
无约束
≥≥
变量符号 ≤
≤
约束条件
无约束 =
OR1
7
对偶规则简捷记法
原问题标准则对偶问题标准
原问题不标准则对偶问题不标准
例题2
max ω=7y1+4y2-2y3
OR1
9
3.1.4对偶最优解的经济解 释—影子价格
Z= ω=CX=Yb Z/ b=(Yb)’=Y
Z=Yb= ∑yibi的意义：Y是检验数的反数。在Y确定的前 提下，每增加一个单位的i种资源，对目标函数的贡献。
结合例题1讲解影子价格：y1=0:第一种资源过剩
y2=13.6：设备台时最紧张，每增加一个台时， 利润增加 13.6元。y3=5.2…
OR1
20
习题课
P109——3.8 1、原问题的最优解：X1=6，X5=10，其余
为零;对偶问题最优解：Y1=2,Y2=0
C1的变化范围：以C1代入末表， C1 ≥1
右端项变化范围： xB= B-1b ≥0
b1 ≥-6，b2≥-10
OR1
21
或 H5=0， H1 ≥0， H3 0， H4>0 （3）无界解： H5≥0， H4 0 ， H1 ≥0， H3 0 （4）退化最优解： H1=0 ， H3 0 ， H5 0
（5）非最优解，X1进基，X2出基：
H1 ≥0， H3>0 ， H2>0， 5 < H1
H2 7
OR1
15
习题课：
P79——2.11 1、对 2、错，可能有最优解 3、对 4、对 5、错 6、错 7、错在“可行” 8、对 9、错