高中物理竞赛-波动

——“半波损失”
多普勒效应
人耳听到的声音的频率与声源的频率相同吗？
天津站
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三种频率与多普勒效应
波源的频率 — s—波源在单位时间内的振动次数，或在单
位时间内发出完整波的数目。
波的频率 —w—单位时间内波传播距离中完整波的数目，
或介质中质点在单位时间内振动的次数。
观察者接收到的频率 动次数或完整波数。
1 A1 cos1
A1 sin 1
x A2 cos2
x
（1）2 1 2k k 0,1,2, A A1 A2 , 若A1=A2，A = 2A1，称为干涉相长。
（2）2 1 (2k 1) k 0,1,2,
A | A1 A2 |, 若A1 = A2，A = 0。称为干涉相消。
2、同方向、不同频率的两个简谐振动的合成 拍
A2 A12 A22 2 A1 A2 cos
( 20
10 )
2
r2
r1
I I1 I2 2 I1I2 cos
干涉加强的条件： 2k , k 0,1,2,3,...
A Amax A1 A2 , I Imax I1 I2 2 I1I2
干涉减弱的条件： (2k 1) , k 0,1,2,3,...
vmax
A
2
为速度振幅；速度比位移的相位超前
3、
加速度: a
d2 x dt 2
2 Acos(t
)
2
2 Acos(t ) 2 x
a 2 x
amax 2 A 为加速度振幅；加速度与位移反相。
（1） x、v、a 周期均为T。
（2）v比 x 超前π/2， a与 x 反相。
x
(x-t 曲线叫振动曲线)
A Amin | A1 A2 |, I Imin I1 I2 2 I1I2
10= 20 时，
r2
r2
r1
r1
k, k 0,1,2...
(2k
1)
2
,
k
相长干涉
0,1,2... 相消干涉
三、驻波
1、驻波的形成：两列振幅相同的相干波在同一直线
上相向传播时交汇处产生的干涉。
2、驻波的方程
m
二、简谐振动的特征量 x Acos(t )
1、振幅 A ：质点离开平衡位置的最大距离。
A
x02
v02
2
由振动系统的初始状态决定。
2、角频率（圆频率）ω : 2秒内质点的振动数。 2 2 由振动系统本身的性质决定。
T
对弹簧振子： k , 1
k ,
T 2 m
m
2 m
k
对单摆：
g/l,
（2） 相干条件：同频率、同振动方向、 相位差恒定。
（3）干涉规律
相干波源：
y10 A10 cos(t 10 ) y20 A20 cos(t 20 )
两列相干波在P点引起的振动
y1
A1 cos(
t
2
r1
10 )
r1
y2
A2
cos(
t
2
r2
20 )
●
S1
●P
r2
● S2
叠加结果： y y1 y2 Acos( t )
五、简谐振动的能量
以水平弹簧
E
Ek
Ep
1 2
m
dx dt
2
A
1 2
kx 2
1 2
kA2
振子为例： Ek 、Ep 周期为T/2
x A
Ek
Ep
1 4
kA2
T o
t E 1 kA2 2
-A
Ek
Ep
E
Ek A o
x
A
EP t T/2
七、 一维简谐振动的合成
1、 同方向、同频率的两个简谐振动的合成
y 2Acos 2 x cos t
3、驻波的特点
（1）驻波的波形：不随时间改变
（2）频率特点：各质点同频率 （3）振幅特点： 两相邻波腹（节）间距为 λ/2
相邻的波腹与波节间距为λ/4 （4）相位特点： 同一段振动同相
相邻段振动反相
（5）能量特点：能量不传播
4、半波损失
（1）波密波疏，反射点无相位突变； （2）波疏波密，反射点相位突变.
上,L为两弹簧自然长度,如使m向右有一小位移后,
静止施放,则质点每秒通过原点的次数为______
解：质点离开其平衡位置位移为x, (1987.二.2)
所受合力为-2kx.由牛顿定律,
其自由振动方程为:
k
k
m
d2 x dt 2
2kx,即
d2 dt
x
2
2k m
x
0
L
L
∴其振动频率为： 1 2k
2 m
质点每秒通过原点为1 2k 次。
动力学方程：
d2
dt 2
2
运动方程：x Acos(t ) Acos(t )
w= k/m
g/l
注1：弹簧振子水平放置， 注2： 竖直放置或放在固定的光滑
1
1
k串 i ki
斜面上都可以做简谐振动。
k并 ki
i
例.质量为m的质点在水平光滑面上,两侧各接一弹
性系数为k的弹簧,如图,弹簧另一端被固定于壁
若 2 1 0, 质点2 比质点1 相位超前△ 若 2 1 0, 质点2 比质点1 相位滞后△
注1：超前与滞后是相对的。
注2：通常将 限制在≤π。
三、 简谐振动的速度和加速度 都是简谐振动
1、位移: x Acos(t )
2、速度: v dx A sin( t )
dt A cos(t )
竞赛内容和要求
机械振动
一、简谐振动的定义
1、定义：物体运动时，如果离开平衡位置的位 移（或角位移）随时间按余弦（或正弦）函数的 规律变化，称这个物体在作简谐振动或简谐运动。
2、两个特例：“弹簧振子”和“单
摆” 。
弹 簧 振
单 摆
子
弹簧振子
单摆
动力学特征： f kx
M mg sin l
l
mgl
（2） 应用：
①已知某时刻的波振面，用作
图法确定下一时刻的波振面。
②用惠更斯原理作图法解释波
的衍射现象 。
③用惠更斯原理作图法解释波
的反射和折射规律。
t t+△t t+△t
u△t
t
5、波的干涉 （1）波的叠加原理
波动互不相干地按自身的方式传播，在波的交汇 处，质元的振动是相交汇的各个波单独传播时激发的 振动之和。
x 一定
① x 一定，y t 给
出 x 点的振动方程。
0
T
t
② t 一定，y x 给 y
出 t 时刻空间各点位移
分布，即波形曲线。
0
波形曲线
t 一定 x
③ 一般地 y =y (x, t ) 表 y(x,t) y(x+△x,t+△t)
波线上各质点在不同时刻 y 的位移，反映了波形的传
u
播。
0 △x
4、两个同频率简谐振动的相位差：
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
它们的相差为：
(t 2 ) (t 1 ) 2 1
（也可写成 1 2 ） 若 2k (k为整), 两质点振动步调相同 (同相)
若 (2k 1) (k为整), 两质点振动步调相反 (反相)
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
x = x1+ x2 =A cos( t+ )
A A12 A22 2A1A2 cos
arctan A1 sin1 A2 sin2 A1 cos 1 A2 cos 2
两种特殊情况：
y
A
ω
A2
A2 sin 2
2
A1
o
2 A2
（特征）
w 1 A2 2 （适于各种弹性波）
2
（4） 单位时间内垂直通过某一截面的能量, 称为波通过 该截面的能流，或叫能通量。
在一个周期内能流的平均值称为平均能流:
P u S w
（5） 能流密度（波的强度）
通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流 称为平均能流密度，通常称为能流密度或波的强度。
x
y ( x+x , t +t ) = y (x,t) ,
其中x = u t 。
2、 波的能量 波的强度
W
Wk
W p
V 2 A2 sin2 (t
x u
)
（1）波动能量的特点
① 对某一质元，其动能与势能等值同相。同时达最大，
同时为0 。质元经过其平衡位置时具有最大的振动速度 , 同时其形变也最大，因而动能、势能最大；质元在最大 位移时，动能、势能均为零。
xmax A
t
v
vmax A
t
a
amax 2 A
t
四、 简谐振动的旋转矢量表示法
x Acos(t )
M(t) ω A
1、矢量 （A模与振幅等值)以匀角速 度ω(与角频率等值)逆时针旋转。
AM
ωt
(t =0)
2、t
=0时，A与x
轴正向夹角为
。O
x x0 x
3、t =t 时，A与x 轴正向夹角为(ωt + )。
（3）波源作一次全振动，将传出一个完整的波形。
3、波的几何描述
（1）波射线 ——表示波的传播方向的射线。简称波线。
（2）波振面 ——由振动相位相同的点联成的面（同相面）
简称波面。
波线
波面
某时刻处在最前面的波面，称为波前。
波面
y
波
λ
线o
λ
x
球面波
平面波
λ
（3）波形曲线：表示任一时刻同一波线上各质元相对
为简化问题，设两谐振 x1 Acos(1t )
动的振幅和相位都相等。 x2 Acos(2t
x
=
x1+
x2
2 A cos( 2
2
1
t ) cos( 2
2
1
t
当 2 1时， 2- 1 2+ 1
) )
合振动 不是简 谐振动。
x A0(t )cos(t )
A0 (t )
2 A cos( 2
这样,矢量逆时针匀角速度旋转过程中，其端 点M在x 轴上的投影点坐标为：
x = A cos (ωt + )
恰为x 轴上简谐振动。
4、 旋转矢量法的应用
（1）画图
①利用旋转矢量制 ②已知振动曲线画旋转矢
作振动曲线：
x
x
量在任意时刻的位置：
t
（2）求振动初相
（3）求两个简谐振动的相位差 （4）两个简谐振动的合成问题
1
2
g l
,
T 2
l g
3、 相位（位相，周相）： x Acos(t )
( t + )是 t 时刻的相位，反映质点的运动状态。
t =0 时位相值 ，称初相，
由振动系统的初始状态决定。
arctan(
v0
x0
)
为方便计，规定： (或0 2 )
注：角频率ω就是相位的变化速率。
拍频 : 单位时间内强弱变化的次数。设拍周期为Tb
2 A cos
2
2
1
(t
Tb
)
2Acos
2
2
1
t
2
1
2
Tb
π
2π
Tb 2 1
1 / Tb
2 1
2π
2
1
实例：双簧口琴、双簧管(oboe)、钢琴(piano)调音(钢琴与 标准音叉声波形成拍—拍频越小，说明钢琴的音越准)。
机械波
——R单位时间内观测者接收到的振
多普勒效应——当波源或观察者或两者均相对介质运动， 以上三种频率不同的现象。
一 波源不动，观察者相对介质以速度 vR运动
观察 者接 收的 频率
nR
=
u + vR u
nw
观察者向波源运动
nR
=
u
- vR u
nw
观察者远离波源
二 观察者不动,波源相对介质以 vs运动
u
一、机械波的基本特征
1、 机械波产生条件:
（1）波源 ——产生振动。 （2）弹性媒质 ——传播振动。由以弹性力互相联系
着的质点组成。
2、 波动的特征：
（1）波动中每一个质点均在其平衡位置附近振动， 不“随波逐流”，传播的是振动状态。
（2）波动中，传播方向上各质点的振动依次滞后， 即后动的点在相上总滞后于先动的点。各点的振动频率 均与波源的相同。
② 波动质元中总能量：W= △Wk + △Wp ≠const ，随时间
t 作周期性的变化。
③ 波的实质是能量的传播过程，且波的能量是以波的
传播速度和方向传播的。
（2）能量密度： 波动传播时，介质单位体 积内的总
机械能。w
W V
2 A2 sin2[(t
（3）平均能量密度（对时间平均)
x u
)]
于各自平衡位置的分布情况曲线。
4、波的特征量 ——波速、波长与波频 u
波速由介质的性质决定， 波频由波源的振动频率决定 （波源、观测者均不动时） 。
二、 平面简谐行波
1、波函数：
即从振动落后或超前的角度考虑问题并求得波动方程。
y Acos[ (t x ) ]
u
（2）波函数的意义：
y
振动曲线
I
P
S
uw
1 2
A2 2u
I
1
A2 2u
2
对无吸收媒质：波传播时振幅的变化
①平面波：A1= A2 ； ②球面波： A1 r1 = A2 r2
4、惠更斯原理
（1）原理内容: 介质中波传到的各点, 都可看作是发射子波的波源 (点波源)。在以后的任一时刻, 这些子波面的包络面 （包迹）就是该时刻的波前 。
2
1
t
)
随ｔ缓变；
cos(t ) cos(2 1 t ) 随ｔ快变。
2
合振动可看作振幅缓变的“简谐振动”。
x1 t
x2 t
x t
拍 x 2Acos( 2 1 ) t cos( 2 1 ) t
2
2
A0 (t )
2 Acos(
2
1 ) t
2
合振动的强弱A02(t)随 t 变化的现象－拍(beat)
S S’
Hale Waihona Puke Baidu
B
vsT
uTS vSTS (u vS )TS
观察
W
u
u
u (u vS )TS u
波源向观察者运动
u
vS
S
者接
R W uv S S
收的 频率
u