可化为一元二次方程的分式方程应用题解析
可化为一元二次方程的分式方程
可化为一元二次方程的分式方程为了满足字数要求，我将详细解释可化为一元二次方程的分式方程的概念、一些示例、解题步骤和技巧。
以下是一个关于分式方程的完整解释。
分式方程是一个方程，其中包含了分式表达式。
一元二次方程则是一个具有形如 ax^2 + bx + c = 0这种形式的方程，其中 a、b和c是实数，且a ≠ 0。
将分式方程化为一元二次方程可以使我们更容易解决和求解方程。
要将分式方程化为一元二次方程，我们需要遵循以下简单的步骤：步骤一：将分式方程的分子和分母的多项式部分展开。
这可能包括分布律、乘法法则和化简等操作。
步骤二：将方程两侧的分母相乘，以消除分母。
这可以通过将每个项乘以缺少的分母部分来完成。
步骤三：将分母相乘后，将等式的两侧约分。
这可以通过因子分解来完成。
步骤四：将等式的两侧移项并整理，使所有项在一侧，并将方程表示为 ax^2 + bx + c = 0的形式。
这样，分式方程就被转化为了一元二次方程。
为了更好地理解这些步骤，考虑以下示例：例1：将分式方程1/(x+2)+1/(x+3)=1/x化为一元二次方程。
步骤一：展开分子和分母，我们得到：(x+3)(x+2)+x(x+2)=(x+3)(x)步骤二：两侧相乘，我们得到：(x+3)(x+2)x+x(x+2)(x+3)=(x+3)(x)^2步骤三：约分两侧，我们得到：x(x+3)+x(x+2)(x+3)=(x+3)x^2步骤四：移项并整理，我们得到：x^2+3x+x^3+2x^2+3x^3=0合并同类项，我们得到：4x^3+3x^2+3x=0现在这个方程可以被看作一个一元二次方程，其中a=4，b=3，c=0。
例2：将分式方程(3x-7)/(x+2)+(x+1)/(x+3)=4/(x+3)化为一元二次方程。
步骤一：展开分子和分母，我们得到：(3x-7)(x+3)+(x+1)(x+2)=4(x+2)步骤二：两侧相乘，我们得到：(3x-7)(x+3)(x+2)+(x+1)(x+2)(x+3)=4(x+2)(x+3)步骤三：约分两侧，我们得到：(3x-7)(x+3)+(x+1)(x+3)=4(x+3)步骤四：移项并整理，我们得到：(3x^2-4x-19)(x+3)=4x+12展开和合并同类项中的项，我们得到：3x^3+5x^2-34x-57=4x+12现在这个方程可以被看作一个一元二次方程，其中a=3，b=5，c=-21解决这个一元二次方程可以使用一般的求解方法，例如，可以使用公式法、配方法、因式分解等方法来求解。
实际问题与一元二次方程-(含答案)
实际问题与一元二次方程-(含答案)实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似。
都是根据问题中的相等关系列出方程，解方程，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步提高分析问题、解决问题的意识和能力。
在利用一元二次方程解决实际问题时，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。
主要研究下列两个内容：1.列一元二次方程解决实际问题。
一般情况下，列方程解决实际问题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答六个步骤。
找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键。
2.一元二次方程根与系数的关系。
一般地，如果一元二次方程ax^2+bx+c=（a≠0）的两个根是x1和x2，那么x1+x2=-b/a，x1•x2=c/a。
知识链接点击一：列方程解决实际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的一种能力。
列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系，从而正确地列出方程。
概括来说就是实际问题——数学模型——数学问题的解——实际问题的答案。
一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下：1) 审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系。
2) 设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设(分直接与间接)。
3) 列：是指列方程，根据等量关系列出方程。
4) 解：就是解所列方程，求出未知量的值。
5) 验：是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义，不满足要求的应舍去。
6) 答：即写出答案，不要忘记单位名称。
总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键。
点击二：一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系。
一般地，如果一元二次方程ax^2+bx+c=（a≠0）的两个根是x1和x2，那么x1+x2=-b/a，x1•x2=c/a。
一元二次方程应用题含答案
一元二次方程应用题精选一、数字问题1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
2、一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．二、销售利润问题3、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：1〕假设商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？2〕要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡〞政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查说明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定本钱共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?1三、平均变化率问题增长率1〕原产量+增产量=实际产量．2〕单位时间增产量=原产量×增长率．3〕实际产量=原产量×〔1+增长率〕．6.某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？7.某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？四、形积问题8、有一块长方形的铝皮，长24cm、宽18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个没盖的盒子，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高．9、如图，在一块长为32m，宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路，余下局部作为耕地要使耕地的面积是540m2，求小路宽的宽度．2五、围篱笆问题10、如图，利用一面墙〔墙的长度不超过45m〕，用80m长的篱笆围一个矩形场地．⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?墙D CA B第21题图（六、相互问题〔传播、循环〕（11、〔1〕参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?（（（（（（（(2)要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,方案安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?（（（（（（（某初三毕业班的每一个同学都把自己的照片向全班其他的同学各送一张留作纪念，全班（共送了3080张照片．如果该班有x名同学，根据题意可列出方程为?（（（（（（（12、有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感．（1〕求每一轮传染中平均一个人传染了几个人？（2〕如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患上流感？313、某种植物的主干长出假设干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？七.行程问题：14、甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。
初二数学一元二次方程试题答案及解析
初二数学一元二次方程试题答案及解析1.将方程x2+4x+2=0配方后，原方程变形为（）A．(x+4)2=2B．(x+2)2=2C．(x+4)2=－3D．(x+2)2=－5【答案】A【解析】∵x2+4x+2=0，∴x2+4x=﹣2，∴x2+4x+4=﹣2+4，∴（x+2）2=2．故选A．【考点】解一元二次方程2.解方程：【答案】∴x1=2+，x2=2﹣【解析】用配方法解这个方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．试题解析：∵2x2﹣8x+3=0∴2x2﹣8x=﹣3∴x2﹣4x+4=﹣+4∴（x﹣2）2=，∴x=2±，∴x1=2+，x2=2﹣【考点】解一元二次方程3.用指定的方法解下列方程：（1）x2+4x﹣1=0（用配方法）；（2）2x2﹣8x+3=0（用公式法）．【答案】（1）x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（2）x1=，x2=．【解析】（1）先把常数项移到方程左边，再两边加上4得到x2+4x+4=5，然后把方程左边写成完全平方式，再利用直接开平方法解方程；（2）利用一元二次方程的求根公式中求解．试题解析：（1）解：x2+4x=1，x2+4x+4=5（x+2）2=5，x+2=±，所以x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（2）解：∵a=2，b=﹣8，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣8）2﹣4×2×3=40 ∴x==，∴x1=，x2=．【考点】1．解一元二次方程-配方法；2．解一元二次方程-公式法．4.解方程：(1) (2x－1)(x＋3)＝4 (2)【答案】（1）x1=1,x2=（2）x=【解析】（1）整理到一元二次方程的一般形式后再利用因式分解法进行解方程即可（2）先去分母变为整式方程后再进行求解，最后检验即可试题解析：（1）整理得：2x2+5x-7=0(x-1)(2x+7)=0∴x-1="0" 或2x+7=0∴x1=1,x2=两边同乘(2x-1)(x+2)得：x(x+2)+(2x-1)=(2x-1)(x+2)整理得：x2-x-1=0解得：x=经检验x=是原分式方程的根.【考点】1、解一元二次方程；2、可化为一元二次方程的分式方程5.己知一元二次方程x2﹣3x+m﹣1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根．【解析】（1）由方程有两个不相等的实数根，可知△＞0，即可求得关于m的不等式，从而得m 的范围；（2）方程有两个相等的实数根，当△=0时，即可得到一个关于m的方程求得m的值试题解析：△=（﹣3）2﹣4（m﹣1），（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，解得m＜．（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△=0，即9﹣4（m﹣1）=0解得m=∴方程的根是：x1=x2=．【考点】根的判别式6.已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）A．1B．﹣1C．0D．无法确定【答案】B．【解析】根据题意得：（m-1）+1+1=0，解得：m=-1．故选B．【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．7.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x各队参赛，可列出的方程为_________．【答案】x（x-1）=28．【解析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．试题解析：每支球队都需要与其他球队赛（x-1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：x（x-1）=28．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．8.根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】根据题意易知方程一个解的取值范围是0.61＜ｘ＜0.62.故选C.【考点】一元二次方程的解．9.用适当的方法解下列方程：（1）（2）【答案】(1) x1=3，x2="2;(2)" .【解析】（1）运用公式法求解即可；（2）移项，化成完全平方直接开平方即可求解. 试题解析：∵a=2，b=-5，c=3∴△=b2-4ac=(-5)2-4×2×3=1＞0∴x=即x1=3，x2=2;(2)移项得：∴即：解得：.【考点】1.解一元二次方程----公式法；2.解一元二次方程—直接开平方法.10.已知关于的方程（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．【答案】(1)证明见解析；（2）4+或4+．【解析】（1）根据关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0的根的判别式的符号来证明结论；（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；再根据三角形的周长公式进行计算．试题解析：（1）证明：∵△=（m+2）2-4（2m-1）=（m-2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m-2）2+4＞0，即△＞0，∴关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意，得12-1×（m+2）+（2m-1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：m+2-1=2+1=3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为；该直角三角形的周长为1+3+=4+；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为1+3+=4+．【考点】1.根的判别式；2.一元二次方程的解；3.勾股定理．11.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P、Q为AB边及BC边上的两个动点。
分式方程与一元二次方程应用(20题)
分式方程与一元二次方程应用（20题）一．分式方程1．星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，结果小明比小芳早6分钟到达，求小芳的速度．2．某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同，原计划平均每天生产多少个零件？3．黄麻中学为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用12000元购买的科普类图书的本数与用9000元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？4．甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的倍，甲队比乙队多筑路20天．（1）求乙队筑路的总公里数；（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里．5．某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2013年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务．（1）问实际每年绿化面积多少万平方米？（2）为加大创城力度，市政府决定从2016年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？二、一元二次方程6．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为多少米？7．巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率．8．列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？9．某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？。
数学九年级上册一元二次方程的应用--知识讲解(基础)
一元二次方程的应用--知识讲解（基础）【学习目标】1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一 般步骤；2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.【要点梳理】要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.要点二、一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用 其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位 数.如：一个三位数，个位上数为a ，十位上数为b ，百位上数为c ，则这个三位数可表示为： 100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-2，x+2.2.平均变化率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为(1)na xb += (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为(1)na xb -= (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.)3.利息问题(1)概念：本金：顾客存入银行的钱叫本金.利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期数：存入银行的时间叫期数.利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.(2)公式:利息=本金×利率×期数利息税=利息×税率本金×(1+利率×期数)=本息和本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)4.利润(销售)问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润×总件数5.形积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.要点诠释：列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.【典型例题】类型一、数字问题1．已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．【答案与解析】设其中一个数为x ，那么另一个数可表示为(12-x)，依题意得x(12-x)＝32，整理得x 2-12x+32＝0解得 x 1＝4，x 2＝8，当x ＝4时12-x ＝8；当x ＝8时12-x ＝4．所以这两个数是4和8．【总结升华】 数的和、差、倍、分等关系，如果设一个数为x ，那么另一个数便可以用x 表示出来，然后根据题目条件建立方程求解．举一反三：【高清ID 号：388525 关联的位置名称（播放点名称）：数字问题 例1】【变式】有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数.【答案】设个位数字为x ，则十位数字为(2)x -.由题意，得： 10(2)+3(2)x xx x -=- 整理，得：2317200x x -+=解方程，得：(35)(4)0x x --=∴ 15,3x = 24x = 经检验，53x =不合题意,舍去（注意根的实际意义的检验） ∴当4x =时, 2x -=2∴10(2)102424x x -+=⨯+=答：这个两位数为24.类型二、平均变化率问题2． 2010年5月中央召开了新疆工作座谈会，为实现新疆跨越式发展和长治久安，作出了重要战略决策部署．为此我市抓住机遇，加快发展，决定今年投入5亿元用于城市基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2012年当年用于城市基础设施维护与建设资金达到8.45亿元．(1)求从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率；(2)若2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率相同，预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共多少亿元?【答案与解析】(1)设从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x ，由题意得5(1+x)2＝8.45．解得x 1＝30%，x 2＝-2.3(不合题意，舍去)．答：从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为30%．(2)这三年共投资5+5(1+x)+8.45＝5+5(1+0.3)+8.45＝19.95(亿元)答：预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共19.95亿元．【总结升华】本题是常见的增长率问题，要理解a(1+x)n ＝b(其中a 是原来的量，x 是平均增长率，n 是增长的次数，b 是增长到的量)的含义．原来的量经过一次增长后达到a(1+x)；在这个基础上，再增长一次即经过第二次增长后达到a(1+x)(1+x)＝a(1+x)2；在这个基础上，再增长一次即经过三次增长后达到a(1+x)(1+x)(1+x)＝a(1+x)3；…；依次类推．举一反三：【高清ID 号：388525 关联的位置名称（播放点名称）：增长率问题例3】【变式】某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两次降价的百分数相同，求平均每次降价率.【答案】设平均每次降价率为x ，则第一次降价为600x ，降价后价格为：600600600(1)x x -=-，第二次降价为：600(1)x x -⋅，降价后价格为： 600(1)x --600(1)x x -⋅2600(1)x =-.根据题意列方程，得：2600(1)384x -=216(1)25x -= 415x -=± ∴115x =， 295x = 295x =不合题意，舍去（注意根的实际意义的检验） ∴0011205x == 答：平均每次下降率为0020.类型三、利润（销售）问题3．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a 元，则可卖出(350-10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品?每件商品售价多少元?【答案与解析】设每件商品的售价为a 元．根据题意，得(a-21)(350-10a)＝400．∴ a 2-56a+775＝0，∴ (a-25)(a-31)＝0，∴ a-25＝0或a-31＝0，∴ a 1＝25，a 2＝31．当a ＝31时，加价31-21＝10，不合题意，舍去．∴ 350-10a ＝350-10×25＝100．答：每件商品售价为25元，需要卖出100件商品．【总结升华】列一元二次方程解应用题往往求出两解，有的解不合实际意义或不合题意．应舍去，必须进行检验．类型四、形积问题4．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD，求该矩形草坪BC边的长．【答案与解析】设草坪ABCD的BC边长x米，则宽AB为根据题意，得整理得：x2-32x+240＝0，∴ (x-12)(x-20)＝0．解得：x1＝12，x2＝20又由题意知：BC≤16．∴ x＝20(不合题意，舍去)．∴该矩形草坪BC边的长为12米．【总结升华】1．结合图形分析数量关系是解决面积等几何问题的关键；2．注意检验一元二次方程的两个解是否符合题意．。
可化为一元二次方程的分式方程
可化为一元二次方程的分式方程一、重点、难点1、会用去分母的方法解分式方程。
2、会用换元法解分方式方程。
3、正确理解增根的意义，会排除方程的增根。
二、考点1、掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法。
2、掌握用换元法解某些可化为一元二次方程的分式方程。
3、掌握列分式方程解应用题的一般方法和步骤。
三、例题分析第一阶段例1、解下列分式方程：思路分析：以上两方程都可用去分母的方法化为整式方程，但在去分母的过程中可能产生增根，解得整式方程的解后一定要检验，以确定所得的根是否是分式方程的根。
解：（1）方程两边同乘以(1-x) (1+x),去分母(1-x)+(1-x)(1+x)=2(1+x)整理得x2+3x=0x1=0, x2= -3检验把x=0代入(1-x)(1+x)≠0把x= -3代入(1-x)(1+x)≠0∴x1=0, x2= -3是原方程的解。
方程两边同乘以(1+x)(x+2)(x-2)得(2x-5)(x-2)+4(x+1)=(x+2)(x+1)整理得 x2-8x+12=0解方程x1=2,x2=6检验：把x=2代入(x+1)(x+2)(x-2)=0,∴x=2是增根，舍去把x=6代入(x+1)(x+2)(x-2)≠0∴原方程的根是x=6点评：分式方程根的情况较复杂，它是由化简后的整式方程根的情况及验根后的结果来决定的。
例2、解下列方程思路分析：第（1 ）题用去分母法，将方程两边同时乘以最简公分母(x+1)(x-1),就可转化为整式方程。
第（2）题若用去分母法，转化成的整式方程次数较高，不适合。
可把原方程变形为，此时若设即可把原方程变为一个关于y的整式方程。
解：（1）方程两边同乘以(x+1)(x-1),得2+x-1=x2-1,整理得 x2-x-2=0,解这个方程得 x1=2, x2= -1.经检验：x= -1是增根，故舍去，x=2是原方程的根。
∴原方程的根是x=2.(2)原方程的变形为解这个方程，得解得x3=x4=1.例3、解方程思路分析：此题可用换元法解，把(x2+x)看作一个整体，可以设y=x2+x,原方程变为；若把x2+x+1看作是一个整体，可设y=x2+x+1，则x2+x=y-1，原方程就变为解题时，也可以不设铺助未知数y，直接把x2+x或x2+x+1看成一个整体进行变形，其思维方法仍属于换元法。
专题08一元二次方程(含解析)讲解
专题08 一元二次方程一、解读考点二、考点归纳归纳 1：一元二次的有关概念基础知识归纳：1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一般形式:ax2+bx+c=0（其中a、b、c为常数，a≠0），其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．基本方法归纳：一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有1个未知数；（3）所含未知数的最高次数是2．注意问题归纳：在一元二次方程的一般形式中要注意a ≠0.因为当a =0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．【例1】若x =﹣2是关于x 的一元二次方程225x ax a 02-+=的一个根，则a 的值为（ ）A . 1或4B . ﹣1或﹣4C . ﹣1或4D . 1或﹣4【答案】B ．考点：一元二次方程的解和解一元二次方程． 归纳 2：一元一次方程的解法 基础知识归纳： 一元二次方程的解法1、直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b <0时，方程没有实数根．2、配方法：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±．3、公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法． 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x4、因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．基本方法归纳：（1）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解;（2）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解;（3）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时,可考虑用配方法求解; （4）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解．注意问题归纳：用公式法求解时必须化为一般形式；用配方法求解时必须两边同时加上一次项的系数一半的平方．【例2】用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．x x（其中b2﹣4ac≥0）．【答案】12【解析】试题分析：应用配方法解一元二次方程，要把左边配成完全平方式，右边化为常数．考点：解一元二次方程-配方法．归纳 3：一元二次方程的根的判别式基础知识归纳：一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）：（1）b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）b2－4ac＝0⇔方程有两个的实数根；（3）b2－4ac＜0⇔方程没有实数根．基本方法归纳：若只是判断方程解得情况则根据一元二次方程的根的判别式判断即可．注意问题归纳：一元二次方程的根的判别式应用时必须满足a≠0；一元二次方程有解分两种情况：1、有两个相等的实数根；2、有两个不相等的实数根．【例3】下列方程没有实数根的是（）A．x2＋4x＝10 B．3x2＋8x－3＝0C．x2－2x＋3＝0 D．（x－2）（x－3）＝12【答案】C．【解析】试题分析：A、方程变形为：x2+4x-10=0，△=42-4×1×（-10）=56＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意；B、△=82-4×3×（-3）=100＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故B选项不符合题意；C、△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，所以方程没有实数根，故C选项符合题意；D、方程变形为：x2-5x-6=0，△=52-4×1×（-6）=49＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故D选项不符合题意．故选C．考点：根的判别式．归纳 4：根与系数的关系基础知识归纳：一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝ba，x1x2＝ca．基本方法归纳：一元二次方程问题中，出现方程的解得和与积时常运用根与系数的关系．注意问题归纳：运用根与系数的关系时需满足：1、方程有解；2、a≠0．【例4】若α、β是一元二次方程x2+2x-6=0的两根，则α2+β2=（）A. -8B. 32C. 16D. 40【答案】C．考点：根与系数的关系．归纳 5：一元二次方程的应用基础知识归纳：1、一元二次方程的应用1. 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步．2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：（1）增长率等量关系:A.增长率＝×100%；B.设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a（1+m）n=b;当m为平均下降率，n 为下降次数，b为下降后的量时，则有a（1-m）n=b．（2）利润等量关系:A.利润＝售价-成本；B.利润率＝利润成本×100%．（3）面积问题3、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例5】如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草。
一元二次方程-分式方程
一元二次方程-分式方程1 / 8一元二次方程 分式方程一、选择题（题型注释）1．方程：①21203x x -= ②22250x xy y -+= ③0172=+x ④202y =中一元二次方程是（ ）A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ①和③2．一元二次方程2321x x -=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）A ．3，2，1B ．3，－2，1C ．3，－2，－1D ．－3，2，13．方程()()120x x -+=的两根分别为( )A ．1x ＝－1，2x ＝2B ．1x ＝1，2x ＝2C ．1x ＝―l，2x ＝－2D ．1x ＝1，2x ＝－24．用配方法解方程642=+x x ，下列配方正确的是（ ）A ．()1022=+x B ．()2242=+x C ．()822=+x D ．()622=+x5．已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是A.a<2 B,a>2 C.a<2且a ≠1 D.a<－26．某超市一月份的营业额为200万元，一月份、二月份、三月份的营业额共1000万元，如果平均每月的增长率为x ，则由题意列方程为 Ａ、()100012002=+x Ｂ、10002200200=⨯+x Ｃ、10003200200=⨯+x Ｄ、()()[]10001112002=++++x x 7．已知x=1是方程x 2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是A.1B.2C.-2D.-18．喜迎国庆佳节，天音百货某服装原价400元，连续两次降价a ％后售价为225元.下列所列方程中，正确的是（ ）A 、400（1＋a ％）2＝225B 、400（1－2a ％）＝225C 、400（1－a ％）2＝225D 、400（1－a 2％）＝2259．教师节期间，某校数学组教师向本组其他教师各发一条祝福短信.据统计，全组共发了240条祝福短信，如果设全组共有x 名教师，依题意，可列出的方程是（ ）A ．(1)240x x +=B ．(1)240x x -=C ．2(1)240x x +=D ．1(1)2402x x -= 10．已知2222(1)(3)8x y x y ++++=，则22x y +的值为（ ）A ．－5或1B ．1C ．5D ．5或－111．已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程(a+b)x 2+2cx+(a+b)＝0的根的情况是( )A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根12．已知关于x 的方程()2kx 1k x 10+--=，下列说法正确的是A.当k 0=时，方程无解B.当k 1=时，方程有一个实数解C.当k 1=-时，方程有两个相等的实数解D.当k 0≠时，方程总有两个不相等的实数解13．若解分式方程22x m 1x 1x 1x x x++-=++产生增根，则m 的值是（ ） （A ）1-或 2- （B ） 1-或 2 （C ） 1或 2（D ） 1或 2-14．某种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10％，则这种商品每件的进价为A.240元B.250元C.280元D.300元15．甲、乙两人同时分别从A 、B 两地沿同一条公路骑自行车到C 地，已知A 、C 两地间的距离为110千米，B 、C 两地间的距离为100千米，甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时到达C 地，求两人的平均速度。
专题06 一元二次方程及其应用(解析版)
专题06 一元二次方程及其应用命题点1配方法1. 一元二次方程x 2－6x －5＝0配方后可变形为( )A . (x －3)2＝14B . (x －3)2＝4C . (x ＋3)2＝14D . (x ＋3)2＝4【答案】A【解析】x 2－6x －5＝0，x 2－6x ＝5，x 2－6x ＋9＝5＋9，(x －3)2＝14，故选A. 命题点2跟与系数之间的关系2.方程x 2＋x －12＝0的两个根为( )A ．x 1＝－2，x 2＝6B ．x 1＝－6，x 2＝2C ．x 1＝－3，x 2＝4D ．x 1＝－4，x 2＝3【答案】D【解析】∵x 2＋x －12＝0，∴(x ＋4)(x －3)＝0，解得x 1＝－4，x 2＝3. 命题点3根的个数3. 下列方程中，没有．．实数根的是( ) A ．2x ＋3＝0 B ．x 2－1＝0 C .2x ＋1＝1 D ．x 2＋x ＋1＝0 【答案】D 【解析】选项逐项分析正误A由2x ＋3＝0，得2x ＝－3，解得x ＝－324. 关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个相等的实根，则k的值为( )A. k＝－4B. k＝4C. k≥－4D. k≥4【答案】B【解析】因为方程有两个相等的实数根，所以b2－4ac＝42－4k＝0，解得k＝4.5. 若关于x的方程x2－2x＋c＝0有一根为－1，则方程的另一根为( )A. －1B. －3C. 1D. 3【答案】D【解析】设方程的另一个根为x2，则根据根与系数关系有－1＋x2＝2，解得x2＝3.6. 一元二次方程x2－3x－2＝0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是( )A. x1＝－1，x2＝2B. x1＝1，x2＝－2C. x1＋x2＝3D. x1x2＝2【答案】C【解析】根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝3，x1x2＝－2，排除A、B、D 选项，故选C.命题点4一元二次方程应用7.随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止至2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．已知2013年底该市汽车拥有量为10万辆．设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x.根据题意列方程得( )A. 10(1＋x)2＝16.9B. 10(1＋2x)＝16.9C . 10(1－x)2＝16.9D . 10(1－2x)＝16.9【答案】A【解析】因为年增长率为x ，从2013年到2015年连续增长两年，开始量为10万辆，结束量为16.9万辆，则可列方程10(1＋x )2＝16.9.8. 方程2x －4＝0的解也是关于x 的方程x 2＋mx ＋2＝0的一个解，则m 的值为______． 【答案】－3【解析】∵ 2x －4＝0，解得 x ＝2，把x ＝2代入方程x 2＋mx ＋2＝0，解得 m ＝－3. 9.设m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2018＝0的两个实数根，则m 2＋3m ＋n ＝________．【答案】2016【解析】把m 代入方程得m 2＋2m 的值，再用根与系数的关系求出两根之和m ＋n 的值，再把所求代数式化成此两代数式的形式， 即可整体代入求解，∵m 、n 是一元二次方程x2＋2x －2018＝0的两个实数根，∴m 2＋2m －2018＝0，即m 2＋2m ＝2018，且m ＋n ＝－2，则原式＝(m 2＋2m )＋(m ＋n )＝2018－2＝2016.10. 用一条长40 cm 的绳子围成一个面积为64 cm 2的矩形，设矩形的一边长为x cm ，则可列方程为______________．【答案】 x (402－x )＝64 【解析】矩形一边长为x ，则另一边长为402－x ，所以可列方程x (402－x )＝64.命题点5解方程11. 解方程：2(x －3)2＝x 2－9.【答案】解：原方程可化为2(x －3)2＝(x ＋3)(x －3)， 2(x －3)2－(x ＋3)(x －3)＝0， (x －3)[2(x －3)－(x ＋3)]＝0， (x －3)(x －9)＝0， ∴x －3＝0或x －9＝0， ∴x 1＝3，x 2＝9. 命题点6化简求值12. 已知关于x 的方程x 2－(2m ＋1)x ＋m(m ＋1)＝0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)已知方程的一个根为x＝0，求代数式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值(要求先化简再求值)．【答案】(1)证明：根据根的判别式b2－4ac＝(2m＋1)2－4m(m＋1)＝4m2＋4m＋1－4m2－4m＝1＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；(2)解：将x＝0代入方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0得：0－(2m＋1)·0＋m(m＋1)＝0，即m2＋m＝0，原式＝4m2－4m＋1＋9－m2＋7m－5＝3m2＋3m＋5＝3(m2＋m)＋5，将m2＋m＝0代入式中，原式＝5.13.红旗连锁超市花2000元购进一批糖果，按80%的利润定价无人购买，决定降价出售，但仍无人购买，结果又一次降价后才售完，但仍盈利45.8%，两次降价的百分率相同，问每次降价的百分率是多少？【答案】解：设每次降价的百分率是x，则2000元糖果按80%的利润定价为：2000(1＋80%)＝3600(元)，∴3600(1－x)2＝2000(1＋45.8%)，∴(1－x)2＝0.81，∴1－x＝±0.9，∴x＝0.1＝10%，或x＝1.9(舍去)，答：每次降价的百分率是10%.14.某地区2014年投入教育经费2900万元，2016年投入教育经费3509万元．(1)求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率．(2)按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到2018年需投入教育经费4250万元．如果按(1)中教育经费投入的增长率，到2018年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元？请说明理由．(参考数据： 1.21＝1.1， 1.44＝1.2， 1.69＝1.3， 1.96＝1.4)【答案】解：(1)设2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率为x，由题意得2900(1＋x)2＝3509，解得x 1＝0.1 x 2＝－2.1(不合题意，舍去)，答：2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.(2)按10%的增长率，到2018年投入教育经费为3509(1＋10%)2＝4245.89(万元)， 因为4245.89<4250.答：按此增长率到2018年该地区投入的教育经费不能达到4250万元． 满分冲关1.有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( )A . 12x(x －1)＝45B . 12x(x ＋1)＝45 C . x(x －1)＝45 D . x(x ＋1)＝45【答案】A【解析】根据题意：每两队之间都比赛一场，每队参加x －1场比赛，共比赛12x (x －1)场比赛，根据题意列出一元二次方程12x (x －1)＝45.故选A.2. 若关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋p ＝0(p ≠0)的两个不相等的实数根分别为a 和b ，且a 2－ab ＋b 2＝18，则a b ＋b a的值是( )A . 3B . －3C . 5D . －5【答案】D【解析】根据一元二次方程根与系数的关系得a ＋b ＝3，ab ＝p ，给a 2－ab ＋b 2＝18左边配方得(a ＋b )2－3ab ＝18，所以9－3ab ＝18，得ab ＝－3，所以b a ＋a b ＝a 2＋b 2ab＝（a ＋b ）2－2ab ab ＝9＋6－3＝－5，故选D.3. 定义新运算：a ★b ＝a(1－b)，若a ，b 是方程x 2－x ＋14m ＝0(m ＜1)的两根，则b ★b－a ★a 的值为( )A . 0B . 1C . 2D . 与m 有关【答案】A【解析】∵a ，b 是方程x 2－x ＋14m ＝0(m <0)的两根．∴a ＋b ＝1，ab ＝14m .∴b ★b －a ★a ＝b (1－b )－a (1－a )＝b (a ＋b －b )－a (a ＋b －a )＝ab－ab ＝0.故选A.4. 已知，一元二次方程x 2－8x ＋15＝0的两根分别是⊙O 1和⊙O 2的半径，当⊙O 1与⊙O 2相切时，O 1O 2的长度是( )A . 2B . 8C . 2或8D . 2<O 1O 2<8【答案】C【解析】一元二次方程x 2－8x ＋15＝0两根分别是3和5，所以两个圆的半径分别是3和5，当两圆外切时，圆心距是8，当两圆内切时，圆心距是2.故选C.5.已知3是关于x 的方程x 2－(m ＋1)x ＋2m ＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为( )A . 7B . 10C . 11D . 10或11【答案】D【解析】∵3是方程x 2－(m ＋1)x ＋2m ＝0的一个实数根，∴9－3(m ＋1)＋2m ＝0，解得m ＝6，所得方程为x 2－7x ＋12＝0，解之得x 1＝3，x 2＝4，若等腰△ABC 的腰长为3，底边长为4，则其周长为3＋3＋4＝10，若等腰△ABC 的腰长为4，底边长为3，则周长为4＋4＋3＝11.6. 已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2－2＝0的两根为x 1和x 2，且(x 1－2)(x 1－x 2)＝0，则k 的值是________．【答案】－2或－94【解析】∵(x 1－2)(x 1－x 2)＝0，∴x 1－2＝0或x 1－x 2＝0.①如果x 1－2＝0，那么x 1＝2，将x ＝2代入x 2＋(2k ＋1)x ＋k 2－2＝0，得4＋2(2k ＋1)＋k 2－2＝0，整理得k 2＋4k ＋4＝0，解得k ＝－2；②如果x 1－x 2＝0，那么(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝[－(2k ＋1)]2－4(k 2－2)＝4k ＋9＝0，解得k ＝－94.又∵b 2－4ac ＝(2k ＋1)2－4(k 2－2)≥0，解得k ≥－94.所以k 的值为－2或－94.7. 水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．(1)若将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是________斤(用含x 的代数式表示)；(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？【答案】解：(1)100＋200x ；【解法提示】将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是100＋x0.1×20＝(100＋200x )斤．(2)根据题意得：(4－2－x )(100＋200x )＝300， 解得x ＝12或x ＝1，∵每天至少售出260斤， ∴x ＝1.答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．8. 李明准备进行如下操作实验：把一根长40 cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2，李明应该怎么剪这根铁丝？(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．【答案】解：(1)设剪成的较短的这段为x cm ，较长的这段就为(40－x )cm ，由题意得(x 4)2＋(40－x 4)2＝58， 解得x 1＝12，x 2＝28，当x ＝12时，较长的为40－12＝28 cm ， 当x ＝28时，较长的为40－28＝12＜28(舍去)． 答：李明应该把铁丝剪成12 cm 和28 cm 两段． (2)李明的说法正确．理由如下：设剪成的较短的这段为m cm ，较长的这段就为(40－m )cm ，由题意得(m 4)2＋(40－m 4)2＝48，化简得：m 2－40m ＋416＝0， ∵(－40)2－4×416＝－64＜0， ∴原方程无实数根，∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2.9. 某蛋糕产销公司A 品牌产销线，2015年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，预计以后四年每年销售量按5000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2014年底就投入资金10.89万元，新增了一条B 品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求．B 品牌产销线2015年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，预计以后四年每年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增，这样，2016年A ，B 两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B 品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数．(1)求A 品牌产销线2018年的销售量；(2)求B 品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数．【答案】解：(1)A 品牌产销线2018年的销售量为9.5－(2018－2015)×0.5＝8(万份)； (2)设A 品牌产销线平均每份获利的年递减百分比为x ，B 品牌产销线的年销售量递增相同的份数为k 万份，依题意可列：⎩⎪⎨⎪⎧（9.5－0.5）＋（1.8＋k ）＝11.4（1.8＋2k ）·3（1＋2x ）2＝10.89， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.6x ＝5%，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.6x ＝－105%，∵x >0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.6x ＝5%，∴2x ＝10%，即B 品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数为10%.。
四分式方程
四、 可化为一元二次方程的方程——分式方程1、分式方程定义： 中含有未知数的方程叫分式方程。
2、分式方程的解法:解分式方程时一般把 转化为 再解 ，在方程变形时有可能产生不适合 原方程的根，这种根叫做原方程的 ，（使方程的分母为 的解称为原方程的增根。
）因此，解分式方程必须例1、解方程：x 32-x 1=例2、22121--=--x x x例3、（2008数理报）分式方程0111=+--+-x xx kx x有增根x =1,求k 的值。
3、分式方程的应用例4、（2008数理报）某公路上一路段的道路维修工程准备对外招标，现有甲、乙两个工程队竞标，竞标资料显示：若由两对合作6天可以完成，共需工程费10200元，若甲单独完成此工程甲对比乙队少用5天，但几甲队每天的工程费用比乙队多300元，工程指挥部决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，若从节省资金角度考虑应该选择哪一个队？为什么？练习题：1、（2007重庆市）分式方程1321=-x 的解为（ ）（A ）2=x （B ）1=x （C ）1-=x （D ）2-=x2、(2007年甘肃省白银)将方程132142+-=+-x x x 去分母并化简后，得到的方程是（ ） A ．0322=--x x B ．0522=--x x C ．032=-x D ．052=-x3、（2007山东省潍坊市）解分式方程81877x x x --=--，可知方程（ ） A ．解为7x =B ．解为8x =C ．解为15x =D ．无解 4、若分式方程7667=----xxx x 有增根，则增根是： 5、(2007泸州市)方程11262213x x =+--的解x= 。
6、(2007江西省南昌市)方程212x x =-的解是 ． 7、（2007年天津市）方程)1(56)1(2-=+-x x x x 的整数．．解是 。
8、（2007岳阳市）.分式方程3x+4－1＝0的解是____________ 9、（2007资阳市）方程21044xx x --=--的解是____________ .10、(2007湖北省荆门市)若方程322x mx x -=--无解，则m =______．11、（2007年山东省青岛市）某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路x m ，则根据题意可得方程 ()240024008120%x x -=+12、（2007年上海市）解方程：22321011x xx x x --+=-- 13、（2007年河南省实验区）解方程：32322x x x +=+- 14、(2007山东省滨州市)解方程：22111x x x -=--． 15、（2007年浙江省）解方程21124x x x -=--． 16、（2006陕西省）解分式方程：22322=--+x x x 17、(2007年连云港市)解方程：11322x x x -=---． 18、解分式方程：1223x x =+．19、(2007年广东省中山市)某文具厂加工一种学生画图工具2500套，在加工了1000套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的1.5倍，结果提前5天完成任务，求该文具厂原来每天加工多少套这种学生画图工具。
第10课时 一元二次方程和分式方程的应用-2022年广东中考数学总复习课件
1.随着我国新能源汽车的生产技术不断提升，市场 上某款新能源汽车的价格由今年 3 月份的 270 000 元/ 辆下降到 5 月份的 243 000 元/辆.若价格继续下降，且
月平均降价的百分率保持不变，则预测到今年 7 月份
该款新能源汽车的价格将会(参考数据： 0.9 ≈0.95)
() A.低于 22 万元/辆 C.超过 22 万元/辆
经检验，x＝0.18 为方程的解，且符合题意．
答：电动车每行驶 1 千米所需电费为 0.18 元．
14.(2021·上海)现在 5G 手机非常流行，某公司第 一季度总共生产 80 万部 5G 手机，三个月生产情况如 图.
(1)求 3 月份生产了多少部手机？ (2)5G 手机速度很快，比 4G 下载速 度每秒多 95 MB，下载一部 1 000 MB 的 电影，5G 比 4G 要快 190 秒，求 5G 手机 的下载速度.
答：5G 手机的下载速度是每秒 100 MB.
15.甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲 队筑路 60 km，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙
队筑路总长是甲队筑路总长的 4 倍，甲队比乙队多筑 3
路 20 天. (1)求乙队筑路的总长；
(2)若甲、乙两队平均每天筑路长度之比为 5∶8，
求乙队平均每天筑路多少千米.
解：设计划平均每天修建步行道的长度为 x 米，
则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为
1.5x 米，
依题意，得1
200 x
－112.50x0
＝5，
解得 x＝80，
经检验，x＝80 是原方程的解，且符合题意．
答：计划平均每天修建步行道的长度为 80 米．
13.小马驾车从 A 地到 B 地，驾驶原来的燃油汽车
人教版九年级数学上册 期末复习(易错题精选、一元二次方程)二套含答案
人教版九年级数学上册期末复习01—易错题精选一、选择题（每小题3分，共24分）1.关于x 的方程22210m x x --+=（）有实数解，那么m 的取值范围是（ ）A .2m ≠B .3m ≤C .3m ≥D .32m m ≤且≠2.某校九年级一班共有学生50人，现在对他们的生日（可以不同年）进行统计，则正确的说法是（ ）A .至少有两名学生生日相同B .不可能有两名学生生日相同C .可能有两名学生生日相同，但可能性不大D .可能有两名学生生日相同，且可能性很大3.如图①是33⨯正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD 的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有（ ）A .4种B .5种C .6种D .7种4.如图，在正方体的表面展开图中，要将a -、b -、c -填入剩下的三个空白处（彼此不同），则正方体三组相对的两个面中数字和均为零的概率为（ ） A .12 B .13C .14D .16 5.有两个一元二次方程：2:0M ax bx c ++=，2:0N cx bx a ++=，其中0a c +=，下列四个结论中，错误的是（ ）A .如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根B .如果方程M 的两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同C .如果5是方程M 的一个根，那么15是方程N 的一个根 D .如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x =6.如图，在ABC △中，AB AC =，D 是边BC 的中点，一个圆过点A ，交边AB 于点E ，且与BC 相切于点D ，则该圆的圆心是（ ）A .线段AE 的中垂线与线段AC 的中垂线的交点B .线段AB 的中垂线与线段AC 的中垂线的交点C .线段AE 的中垂线与线段BC 的中垂线的交点D .线段AB 的中垂线与线段BC 的中垂线的交点7.已知二次函数2y x bx c =++的图象过点1A m （，），3B m （，），若点12M y -（，），21N y -（，），38K y （，）也在二次函数2y x bx c =++的图象上，则下列结论正确的是（ ）A .123y y y ＜＜B .213y y y ＜＜C .312y y y ＜＜D .132y y y ＜＜8.已知抛物线20y ax bx c a =++（＞）过20-（，），23（，）两点，那么抛物线的对称轴（ ） A .只能是1x =- B .可能是y 轴 C .在y 轴右侧 D .在y 轴左侧二、填空题（每小题4分，共32分）1.请写出一个符合下列全部条件的函数解析式________；（1）图象不经过第三象限；（2）当1x -＜时，y 随x 的增大而减小；（3）图象经过点11-（，）. 2.若抛物线2y ax c =+与x 轴交于点0A m （，），0B n （，），与y 轴交于点0C c （，），则ABC △称为“抛物三角形”.特别地，当0mnc ＜时，称ABC △为“倒抛物三角形”，此时a ，c 应分别满足条件________.3.已知圆的两条平行弦分别长6dm 和8dm ，若这圆的半径是5dm ，则两条平行弦之间的距离为________.4.如图，AB 是O e 的弦，6AB =，点C 是O e 上的一个动点，且°45ACB ∠=.若点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，则MN 长的最大值是________.5.有四张正面分别标有数字3-，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，则使关于x 的分式方程11222ax x x-+=--有正整数解的概率为________.6.如图，边长为6的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转°60得到FC ，连接DF .则在点E 运动过程中，DF 的最小值是________.7.如图，已知二次函数20y ax bx c a =++（≠）的图象经过点（1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中110x -＜＜，212x ＜＜，下列结论：①0abc ＜；②2a b a -＜＜；③284b a ac +＜；④10a -＜＜，其中正确结论的序号是________.8.如图，已知直线334y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，P 是抛物线21252y x x =-++上的一个动点，其横坐标为a ，过点P 且平行于y 轴的直线交直线334y x =-+于点Q ，则当PQ BQ =时，a 的值是________.三、解答题（共64分）1.（6分）用四块如图①所示的瓷砖拼铺一个成正方形的地板，使拼铺的图案成轴对称图形或中心对称图形，请你在图②和③中各画出一种拼法.（要求两种拼法各不相同）2.（8分）张彬和王华两位同学为得到一张观看足球比赛的入场券，商量后计划通过转盘游戏来决定，并各自设计了一种方案：张彬：将一个可以自由转动并标有阴影区域面积的转盘（如图①），随意转动，当指针指向阴影区域时，张彬得到入场券；否则，王华得到入场券；王华：将分成4等分且分别标有数字1，2，3，4的转盘，随意转动两次，当指针所指两个数字之和为偶数，王华得到入场券；否则，张彬得到入场券.（1）使用张彬设计的方案，随机转动转盘一次，指针指向阴影区域的概率是多少？（2）请你运用所学的概率知识，帮助张彬和王华选出公平的游戏方案.3.（11分）如图①所示，AB 是O e 的直径，AC 是弦，直线EF 和O e 相切于点C ，AD EF ⊥，垂足为D .（1）求证：DAC BAC ∠=∠；（2）若把直线EF 向上平行移动，如图②所示，EF 交O e 于G ，C 两点，若题中的其他条件不变，试探究与DAC ∠相等的角是哪一个？说明理由.4.（12分）等腰ABC △的直角边10cm AB BC ==，点P ，Q 分别从A ，C 两点同时出发，均以1cm /秒的相同速度作直线运动，已知P 沿射线AB 运动，Q 沿边BC 的延长线运动，PQ 与直线AC 相交于点D .设P 点运动时间为t ，PCQ △的面积为S .（1）求出S 关于t 的函数关系式；（2）当点P 运动几秒时，PCQ ABC S S =△△？（3）作PE AC ⊥于点E ，当点P ，Q 运动时，线段DE 的长度是否改变？证明你的结论.5.（13分）已知Rt ABO △中，边1AB OB ==，°90ABO ∠=.【问题探究】（1）以AB 为边，在Rt ABO △的右边作正方形ABCD ，如图①，则点O 与点D 的距离为________.（2）以AB 为边，在Rt ABO △的右边作等边三角形ABC ，如图②，求点O 与点C 的距离.【问题解决】（3）若线段1DE =，线段DE 的两个端点D ，E 分别在射线OA ，OB 上滑动，以DE 为边向外作等边三角形DEF ，如图③，则点O 与点F 的距离有没有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，说明理由.6.（14分）如图，抛物线2:L y x bx c =++经过A （0，3），B （1，0）4两点，点M 为顶点.（1）求b ，c 的值；（2）将OAB △绕点B 顺时针旋转：①当旋转°90时，点A 落在点C 的位置，将抛物线L 通过向上或向下平移后经过点C .求平移后所得抛物线1L 的表达式；②记OAB △绕点B 顺时针旋转过程中点A 的对应点为A '，点O 的对应点为O '，在抛物线1L 上是否存在A '，使得以点O ，A ，O '，A '为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点A '的坐标；若不存在，请说明理由.期末复习—易错题精选参考答案一、1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】D .二、1.【答案】211y x =--（）（答案不唯一） 2.【答案】0a ＜，0c ＞3.【答案】1dm 7dm 或4.【答案】5.【答案】146.【答案】1.57.【答案】①②8.【答案】4144-+-或或三、1.【答案】答案不唯一.2.【答案】解：（1）根据转盘中阴影部分扇形的圆心角度数和°°°10070170+=则P （指针指向阴影区域）°°1701736036==.（2）由（1）得张彬设计的方案中，张彬得到入场券的概率为1736P =，王华得到入场券的概率为171913636P =-=，则张彬的方案不公平. 利用王华的方案画树状图如下：由树状图得，共有16种等可能的结果，两次数字之和为偶数的有8种，则王华得到入场券的概率为81162P ==，张彬得到入场券的概率为12P =，∴王华的设计方案公平. 3.【答案】（1）证明：如图①，连接OC .EF Q 与O e 相切于点C ，OC EF ∴⊥...AD EF AD OC OCA DAC ∴∴∠=∠Q ⊥，∥.OA OC OCA BAC DAC BAC =∴∠=∠∴∠=∠Q ，，（2）解：BAG ∠与DAC ∠相等.理由如下：如图②，连接BC ，则B AGD ∠=∠.AB Q 是直径，AD EF ⊥，°90BCA GDA ∴∠=∠=，°90B BAC ∴∠+∠=，°90AGD DAG ∠+∠=.BAC DAG ∴∠=∠，BAC CAG DAG CAG ∴∠-∠=∠-∠.即BAG DAC ∠=∠.4.【答案】解：（1）当10t ＜秒时，P 在线段AB 上，此时CQ t =，10PB t =-.211101022S t t t t ∴=⨯⨯-=-（）（）. 当10t ＞秒时，P 在线段AB 的延长线上，此时CQ t =，10PB t =-.211101022S t t t t ∴=⨯⨯-=-（）（）. （2）1502ABC S AB BC ==Q g △， 211010502PCQ t S t t ∴=-=△当＜秒时，（）. 整理，得2101000t t -+=，无解.当10t ＞秒时，2110502PCQ S t t =-=△（）.整理，得2101000t t --=，解得5t =±.∴当点P 运动5±（秒时，PCQ ABC S S =△△.（3）当点P ，Q 运动时，线段DE 的长度不会改变.证明：过Q 作QM AC ⊥，交直线AC 于点M .易证APE QCM △≌△，2AE PE CM QM ∴====. ∴四边形PEQM 是平行四边形，且DE 是对角线EM 的一半.又EM AC ==Q ，DE ∴=.∴当点P ，Q 运动时，线段DE 的长度不会改变.同理，当点P 在点B 右侧时，DE =综上所述，当点P ，Q 运动时，线段DE 的长度不会改变.5.【答案】（1（2）过点C 作CD OB ⊥，垂足为点D .连接OC ，则°30CBD ∠=.1AB BC ==Q ，∴在Rt CBD △中，12CD =，BD =，1OD ∴=+.∴在Rt CDO △中，OC ==.（3）点O 与点F 的距离有最大值. 作ODE △的外接圆M e ，连接MD ，ME ，MF ，MO ，OF ，则OF MO MF +≤. 设MF 与DE 交于点N .°°4590AOB DME ∠=∴∠=Q ，.1DE =Q ，∴可得M e 的半径为2MD ME MO ===. MD ME =Q ，DF EF =，MF ∴垂直平分DE .1122MN DE ∴==，22NF EF ==.12OF OM MF ∴+=+≤OF ∴最大值. 6.【答案】解：（1）已知抛物线L 经过点A （0，3），B （1，0），将其代入2y x bx c =++，得310c b c =⎧⎨++=⎩，，解得43.b c =-⎧⎨=⎩， 即b ，c 的值分别为4-和3.（2）①根据点A ，B 坐标，可知3OA =，1OB =，如图，将OAB △绕点B 顺时针旋转°90后，可得点C 坐标为（4，1）.当4x =时，由243y x x =-+得3y =，可知抛物线L 经过点（4，3），∴将原抛物线沿y 轴向下平移2个单位后过点C .∴平移后的抛物线1L 的表达式为241y x x =-+.②存在.如图，OAB △绕点B 旋转过程中，当点A '，B ，A 三点在同一直线上时满足以点O ，A ，O '，A '为顶点的四边形是平行四边形.AB A B '=Q ，OB O B '=，∴四边形OAO A ''为平行四边形.根据图形的旋转性质，可知3O A OA ''==，1OB O B '==，且°90AOB A O B ''∠=∠=， ∴点A '的坐标为23-（，）. 又Q 抛物线1L 的表达式为241y x x =-+，∴抛物线1L 的顶点坐标为23-（，）. ∴点A '坐标与抛物线1L 的顶点坐标重合.∴抛物线1L 上存在一点23A '-（，），使得以点O ，A ，O '，A '为顶点的四边形是平行四边形.人教版九年级数学上册期末专项复习02—一元二次方程考点1 巧用一元二次方程的定义及相关概念求值题型1 利用一元二次方程的定义确定字母的取值1.已知231m x -=（）是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A .3m ≠B .3m ≥C .2m -≥D .23m m -≥且≠2.已知关于x 的方程211210m xm m x +++--=（）（）.（1）m 取何值时，它是一元二次方程？并写出这个方程；（2）m 取何值时，它是一元一次方程？题型2 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值1.若一元二次方程2243680a x a x a -+++-=（）（）没有常数项，则a 的值为________.2.已知关于x 的一元二次方程221510m x x m -++-=（）的常数项为0，求m 的值.题型3 利用一元二次方程的根的概念求字母或代数式的值1.已知关于x 的方程20x bx a ++=的一个根是0a a -（≠），则a b -的值为（） A .1- B .0 C .1 D .22.已知关于x 的一元二次方程2243160k x x k +++-=（）的一个根为0，求k 的值.3.已知实数a 是一元二次方程2201610x x -+=的根，求代数式22120152016a a a +--的值.题型4 利用一元二次方程根的概念解决探究性问题1.已知m ，n 是方程2210x x --=的两个根，是否存在实数a 使22714367m m a n n -+--（）（）的值等于8？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.考点2 一元二次方程的解法归类类型1 限定方法解一元二次方程方法1 形如20x m n n +=（）（≥）的一元二次方程用直接开平方法求解1.方程24250x -=的解为（）A .25x = B .52x = C .52x =± D .25x =±2.用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（）A .255x -=B .230x -=C .240x +=D .210x +=（）方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解1.用配方法解方程234x x +=，配方后的方程变为（）A .227x -=（）B .221x +=（）C .221x -=（）D .222x +=（）2.解方程：2420x x +-=.3.已知221016890x x y y -+-+=，求x y的值.方法3 能化成形如0x a x b ++=（）（）的一元二次方程用因式分解法求解1.一元二次方程22x x x -=-（）的根是（）A .1-B .0C .1和2D .1-和22．解下列一元二次方程：（1）220x x -=；（2）21690x -=；（3）2441x x =-.方法4 如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解1.用公式法解一元二次方程2124x x =-，方程的解应是（）A .x =B .xC .xD .x2.用公式法解下列方程.（1）23170x x +-=（）；（2）24352x x x --=-.类型2 选择合适的方法解一元二次方程1.方程24490x -=的解为（） A .27x = B .72x =C .172x =，272x =-D .127x =，227x =- 2.一元二次方程293x x -=-的根是（）A .3B .4-C .3和4-D .3和43.方程135x x +-=（）（）的解是（）A .11x =，23x =-B .14x =，22x =-C .11x =-，23x =D .14x =-，22x = 4.解下列方程.（1）23360y y --=；（2）22310x x -+=.类型3 用特殊方法解一元二次方程方法1 构造法1.解方程：2619100x x ++=.2.若m ，n ，p 满足8m n -=，2160mn p ++=，求m n p ++的值.方法2 换元法a .整体换元1.若280a b a b +++-=（）（），则a b +的值为（）A .4-或2B .3或32- C .2-或4 D .3或2- 2.已知22260x xy y x y -++--=，则x y -的值是（）A .2-或3B .2或3-C .1-或6D .1或6-3.解方程：223220x x ---+=（）（）.4.解方程：123448x x x x ----=（）（）（）（）.b .降次换元1.解方程：432635623560x x x x -+-+=.c .倒数换元1.解方程：2322x x x x --=-.方法3 特殊值法1.解方程：2013201420152016x x --=⨯（）（）.考点3 根的判别式的四种常见应用题型1 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1.已知关于x 的方程2110kx k x +--=（），下列说法正确的是（）A .当0k =时，方程无解B .当1k =时，方程有一个实数解C .当1k =-时，方程有两个相等的实数解D .当0k ≠时，方程总有两个不相等的实数解2.已知方程220x x m --=没有实数根，其中m 是实数，试判断方程2210x mx m m +++=（）有无实数根.题型2 利用根的判别式求字母的值或取值范围1.已知关于x 的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根.（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值.2．已知关于x 的一元二次方程2220mx m x -++=（），（1）证明：不论m 为何值，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根.题型3 利用根的判别式求代数式的值1.已知关于x 的方程22140x m x +-+=（）有两个相等的实数根，求21212m m m--+（）的值.2.已知关于x 的一元二次方程2200mx nx m +-=（≠）有两个相等的实数根，求222416mn m n ++-（）的值.题型4 利用根的判别式确定三角形的形状1.已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程220b c x a b x b a -+-+-=（）（）有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状.2.已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程204a c a c x bx -+++=（）有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状.考点4 一元二次方程与三角形的综合题型1 一元二次方程与三角形三边关系的综合1.三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程27120x x -+=的解，则第三边的长为（）A .3B .4C .3或4D .无法确定 2.根据一元二次方程根的定义，解答下列问题.一个三角形两边长分别为3cm 和7cm ，第三边长为cm a ，且整数a 满足210210a a -+=，求三角形的周长.题型2 一元二次方程与直角三角形的结合1.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程217600x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长为________.2.已知a ，b ，c 分别是ABC △的三边，当0m ＞时，关于x 的一元二次方程220c x m b x m ++--=（）（）有两个相等的实数根，试判断ABC △的形状，并说明理由.3.已知ABC △的三边a ，b ，c 中，1a b =-，1c b =+，又已知关于x 的方程2420120x x b -++=的根恰为b 的值，求ABC △的面积.题型3 一元二次方程与等腰三角形的综合1.等腰三角形一条边的长为3，另两条边的长是关于x 的一元二次方程2120x x k -+=的两个根，则k 的值是（）A .27B .36C .27或36D .182.已知关于x 的一元二次方程220a c x bx a c +++-=（）（），其中a ，b ，c 分别为ABC △的三边的长.（1）如果1x =-是方程的根，试判断ABC △的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC △的形状，并说明理由；（3）如果ABC △是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.考点5 根与系数的关系的四种应用类型 题型1 利用根与系数的关系求代数式的值1.设方程24730x x --=的两根为1x ，2x ，不解方程求下列各式的值. （1）1233x x --（）（）； （2）211211x xx x +++； （3）12x x -.题型2 利用根与系数的关系构造一元二次方程1.构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数.题型3 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围1.已知关于x 的一元二次方程22210x mx m --+=的两根的平方和是294，求m 的值.2.已知关于x 的方程2220x x a ++-=.（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（2）若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根.题型4 巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性4.已知1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，是否存在实数k ，使12123222x x x x --=-（）（）成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.考点6：可化为一元二次方程的分式方程的应用 题型1 营销问题1.某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完，第二次去采购时发现批发价每件上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的售价均为2.8元，问：第二次采购玩具多少件？（说明：根据销售常识，批发价应该低于销售价）题型2 行程问题3.从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车到达乙站比慢车早25分钟，快车和慢车每小时各行驶多少千米？应用3 工程问题4.某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天才能完成此项工程.（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天；（2）若甲工程队单独施工a 天后，再由甲、乙两工程队合作________天（用含a 的代数式表示）可完成此项工程；（3）如果甲工程队施工每天需收取施工费1万元，乙工程队施工每天需收取施工费2.5万元，那么甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？考点7 几种常见的热门考点 题型1 一元二次方程的根1.若一元二次方程220150ax bx --=有一根为1x =-，则a b +=________.2.若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有一根为1-，且2a =，求20162015a b c+（）的值.题型2 一元二次方程的解法1.用配方法解方程2210x x --=时，配方后所得的方程为（）A .210x +=（）B .210x -=（）C .212x +=（）D .212x -=（）2.一元二次方程2230x x --=的解是（） A .11x =-，23x =B .11x =，23x =-C .11x =-，23x =-D .11x =，23x =3.选择适当的方法解下列方程：（1）21210x x x -+-=（）（）；（2）221327x x x -=+-（）（）.题型3 一元二次方程根的判别式1.若关于x 的方程220x x a ++=不存在实数根，则a 的取值范围是（） A .1a ＜B .1a ＞C .1a ≤D .1a ≥2.已知关于x 的一元二次方程210x m +-=（）有两个实数根，则m 的取值范围是（）A .34m -≥ B .0m ≥ C .1m ≥ D .2m ≥3.在等腰三角形ABC 中，三边长分别为a ，b ，c .其中5a =，若关于x 的方程2260x b x b +++-=（）（） 有两个相等的实数根，求ABC △的周长.题型4 一元二次方程根与系数的关系1.已知α，β是关于x 的一元二次方程22230x m x m +++=（）的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是（） A .3B .1C .3或1-D .3-或12.关于x 的方程231210ax a x a -+++=（）（）有两个不相等的实数根1x ，2x ，且有12121x x x x a +-=-，求a 的值.3.设1x ，2x 是关于x 的一元二次方程222420x ax a a +++-=的两个实数根，当a 为何值时，2212x x +有最小值？最小值是多少？题型5 一元二次方程的应用1.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？2.某校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个图形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A ，B 出发，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程1cm （）与时间t s （）满足关系：2131022t t t =+（≥），乙以4cm/s 的速度匀速运动，半圆的长度为21cm .（1）甲运动4s 后的路程是多少？（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？题型6 新定义问题1.若1x ，2x 是关于x 的方程20x bx c ++=的两个实数根，且122x x k +=（k 是整数），则称方程20x bx c ++=为“偶系二次方程”．如方程26270x x --=，2280x x --=，227304x x +-=，26270x x +-=，2440x x ++=都是“偶系二次方程”.判断方程2120x x +-=是否是“偶系二次方程”，并说明理由.期末专项复习—一元二次方程答案解析考点1 题型1 1.【答案】D【解析】由题意，得3020m m -⎧⎨+⎩≠，≥，解得2m -≥且3m ≠.2.【答案】解：（1）当21210m m ⎧+=⎨+⎩，≠时，它是一元二次方程，解得1m =.当1m =时，原方程可化为2210x x --=.（2）当22010m m ⎧-⎨+=⎩≠，或者当120m m ++-（）≠且211m +=时，它是一无一次方程.解得1m =-或0m =.故当1m =-或0m =时，它是一元一次方程. 题型2 1.【答案】8【解析】由题意得80240.a a -=⎧⎨-⎩，≠解得8a =.2.【答案】由题意，得21010m m ⎧-=⎨-⎩，≠，解得1m =-.题型3 1.【答案】A【解析】∵关于x 的方程20x bx a ++=的一个根是0a a -（≠），20a ab a ∴-+=.10a a b ∴-+=（）.0a Q ≠，1.a b ∴-=-2.【答案】解：把0x =代入2243160k x x k +++-=（），得2160k -=，解得14k =，24k =-.40k +Q ≠，4k ∴-≠，4k ∴=.3.【答案】解：∵实数a 是一元二次方程2201610x x -+=的根，2201610a a ∴-+=.221201620161a a a a ∴+=-=-，.22222120162015201520152016120162016a aa a a a a a a a a +∴--=--=--=-=-题型41.【答案】解：由题意可知22210210m m n n --=--=，，22227143677232773747m m a n n m m a n n a a ⎡⎤⎡⎤∴-+--=-+--=+-=-+⎣⎦⎣⎦（）（）（）（）（）（）（），由 478a -+=（）得9a =-，故存在满足要求的实数a ，且a 的值等于9-.考点2 类型1 方法1 1.【答案】C 2.【答案】C 方法2 1.【答案】C2.【答案】解：22242042262x x x x x x +-=+=+=+=，，（），1222x x =-=-3.【答案】解：2222221016890102516640580x x y y x x y y x y -+-+=-++-+=-+-=，（）（），（）（），558.8x x y y ∴==∴=，，方法3 1.【答案】D2.【答案】解：（1）21220200 2.x x x x x x -=-===，（），， （2）21233169043430.44x x x x x -=+-==-=，（）（），， （3）2221214414410210.2x x x x x x x =--+=-===，，（），方法4 1.【答案】B2.【答案】解：（1）2231703730x x x x +-=-+=（），，224743313b ac ∴-=--⨯⨯=（），12x x x ∴=∴= （2）2243524430x x x x x --=---=，，224444364b ac x ∴-=--⨯⨯-=∴=（）（），1231.22x x ∴==-，类型2 1.【答案】C 2.【答案】C 3.【答案】B4.【答案】解：（1）22221919133360200442422y y y y y y y y --=--=-+-=-=-=±，，，（），，122 1.y y ∴==-，（2）2223231043421122x x b ac x ±-+=-=--⨯⨯=∴=⨯，（），，即1211.2x x ∴==， 类型3 方法11.【答案】解：将原方程两边同乘6，得26196600x x +⨯+=（）（）.解得615x =-或64x =-.1252.23x x ∴=-=-，2.【答案】解：因为8m n -=，所以8m n =+.将8m n =+代入2160mn p ++=中，得28160n n p +++=（），所以228160n n p +++=，即 2240n p ++=（）.又因为240n +（）≥，20p ≥，所以400n p +=⎧⎨=⎩，，解得40.n p =-⎧⎨=⎩，所以84m n =+=，所以4400m n p ++=+-+=（） 方法2 a1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】223220.x x ---+=（）（）设2x y -=，原方程化为2320y y -+=， 解得121 2.y y ==，当1y =时，213x x -==，， 当2y =时，22 4.x x -==， 原方程的解为1234x x ==，.4.【答案】解：原方程即[][]142348x x x x ----=（）（）（）（），即22545648x x x x -+-+=（）（）.设255y x x =-+，则原方程变为1148y y -+=（）（）. 解得1277y y ==-，.当2557x x -+=时，解得12x x ==当2557x x -+=-时，254112230∆=--⨯⨯=-（）＜，方程无实数根．∴原方程的根为12x x = b1.【答案】解：经验证0x =不是方程的根，原方程两边同除以2x ，得22356635620x x x x -+-+=， 即2211635620x x x x +-++=（）（）. 设1y x x =+，则22212x y x+=-，原方程可变为26235620y y --+=（）. 解得152y =，2103y =. 当152x x +=时，解得12x =，212x =；当1103x x +=时，解得33x =，413x =.经检验，均符合题意.∴原方程的解为12x =，212x =，33x =，413x =. c1.【答案】解：设2x y x-=，则原方程化为32y y -=，整理得2230y y --=，∴13y =，21y =-.当3y =时，23x x -=，∴1x =-. 当1y =-时，21x x-=-，∴1x =.经检验，1x =±都是原方程的根， ∴原方程的根为11x =，21x =-. 方法31.【答案】解：方程组2013201620142015x x -=⎧⎨-=⎩，的解一定是原方程的解，解得4029x =.方程组2013201520142016x x -=-⎧⎨-=-⎩，的解也一定是原方程的解，解得2x =-.∵原方程最多有两个实数解， ∴原方程的解为14029x =，22x =-.【解析】解本题也可采用换元法．设2014x t -=，则20131x t -=+，原方程可化为120152016t t +=⨯（），先求出t ，进而求出x . 考点3 题型1 1.【答案】C【解析】当0k =时，方程为一元一次方程，解为1x =；当0k ≠时，因为222141211k k k k k ∆=--⋅-=++=+（）（）（）≥0，所以当1k =时，4∆=，方程有两个不相等的实数解；当1k =-时，0∆=，方程有两个相等的实数解； 当0k ≠时，0∆≥，方程总有两个实数解.故选C . 2.【答案】解：220x x m --=Q 没有实数根，2124440m m ∴∆=--⋅-=+（）（）＜，即1m -＜.对于方程2210x mx m m +++=（），2224144m m m m ∆=-⋅+=-（）（）＞，∴方程2210x mx m m +++=（）有两个不相等的实数根. 题型21.【答案】解：（1）根据题意得2444242080b ac k k -=--=-（）＞， 解得25k ＜.（2）由k 为正整数，可得1k =或2k =.利用求根公式可求出方程的根为1x =- ∵方程的根为整数，∴52k -为完全平方数， ∴k 的值为2.2.【答案】（1）证明：[]22228442m m m m m ∆=-+-=-+=-（）（）. ∵不论m 为何值，220m -（）≥，即0△≥.∴不论m 为何值，方程总有实数根.（2）解：解关于x 的一元二次方程2220mx m x -++=（），得222m m x m +±-=（）.∴12x m=，21x =. ∵方程的两个根都是正整数，∴2m 是正整数，∴1m =或2m =.又∵方程的两个根不相等，∴2m ≠，∴1m =. 题型31.【答案】解：∵关于x 的方程22140x m x +-+=（）两个相等的实数根，∴2214140m ∆=--⨯⨯=（），即214m -=±.∴52m =或32m =-. 当52m =时，25111221216514m m m --==-++（）； 当32m =-时，231152********m m m ---==--+-（）. 2.【答案】解：由题意可知，22480b ac n m -=+=， ∴28m n =-，∴222222222222222416816168mn mn mn mn mn m n m m n m m n m n n m ====++-+++-++-+（）. ∵0m ≠，2228mn n m m∴==-.题型41.【答案】解：∵一元二次方程220b c x a b x b a -+-+-=（）（）有两个相等的实数根， ∴[]2240a b b c b a ---⋅-=（）（）（）， ∴40a b a c --=（）（）， ∴a b =或a c =， ∴此三角形是等腰三角形.2.【答案】解：∵方程204a ca c x bx -+++=（）有两个相等的实数根， ∴2222404a cb ac b a c -∆=-+⋅=--=（）（）， 即222b c a +=，∴此三角形是直角三角形. 考点4 题型1 1.【答案】C2.【答案】解：由已知可得410a ＜＜，则a 可取5，6，7，8，9.（第一步） 当5a =时，代入2210215105210a a -+=-⨯+≠，故5a =不是方程的根. 同理可知6a =，8a =，9a =都不是方程的根，7a =是方程的根．（第二步） ∴ABC △的周长是37717cm ++=（）. 题型2 1.【答案】132.【答案】解：ABC △是直角三角形．理由如下：原方程可化为20b c x cm bm +-+-=（）， 2222444ma m c b c b m a b c ∆--++-=（）（）=（）. ∵0m ＞，且原方程有两个相等的实数根，∴2220a b c +-=，即222a b c +=∴ABC △是直角三角形.3.【答案】解：将x b =代入原方程，整理得2419120b b -+=，解得14b =，234b =.当14b =时，3a =，5c =，∵222345+=，即222a b c +=，∴ABC △为直角三角形，且°90C ∠=.∴1134622ABC S ab ==⨯⨯=△； 当234b =时，3104a =-＜，不合题意，舍去.因此，ABC △的面积为6. 题型3 1.【答案】B2.【答案】解：（1）ABC △是等腰三角形.理由如下：把1x =-入原方程，得20a c b a c +-+-=，所以a b =，故ABC △是等腰三角形.（2）ABC △是直角三角形.理由如下：方程有两个相等的实数根，则2240b a c a c ∆=-+-=（）（）（），所以2220b a c -+=，所以222a b c =+，故ABC △是直角三角形.（3）如果ABC △是等边三角形，则a b c ==，所以方程可化为2220ax ax +=，所以210ax x +=（），所以方程的解为10x =，21x =-. 考点5 题型11.【答案】解：根据一元二次方程根与系数的关系，有1274x x +=，1234x x =-. （1）12121237333939344x x x x x x --=-++=--⨯+=（）（）（）. （2）2222122111212121212122112121212112====111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++++++-+++++++++++++（）（）（）（）（）（）（）27372101444=3732144-⨯-+-++（）（）.（3）222121212127397=4=4=4416x x x x x x x x -+--⨯-∴-==Q（）（）（）（），. 题型21.【答案】解：设方程25230x x +-=的两根为1x ，2x ， 则1225x x +=-，1235x x =-. 设所求方程为20y py q ++=，其两根为1y ，2y ， 令111y x =-，221y x =-.∴121212*********==3x x p y y x x x x x x +=-+=--=+（）（），12121211153q y y x x x x ==--==-（）（）. ∴所求的方程为225+033y y -=，即23250y y +-=. 题型31.【答案】解：设方程两根为1x ，2x ，由已知得1212=221=.2m x x m x x ⎧+⎪⎪⎨-+⎪⎪⎩，∵222121212292=4x x x x x x +=+-（），即221292224m m -+-⨯=（）， ∴28330m m +-=. 解得111m =-，23m =.当111m =-时，方程为2211230x x ++=，21142230∆=-⨯⨯＜，方程无实数根，∴11m =-不合题意，舍去；当3m =时，方程为22235034250x x --=∆=--⨯⨯-，（）（）＞，方程有两个不相等的实数根，符合题意. ∴m 的值为3.2.【答案】解：（1）∵224121240a a -⨯⨯-=-（）＞，解得3a ＜. ∴a 的取值范围是3a ＜.（2）设方程的另一根为1x ，由根与系数的关系得111212x x a +=-⎧⎨⋅=-⎩，，解得113.a x =-⎧⎨=-⎩，题型44.【答案】解：不存在.理由如下：∵一元二次方程24410kx kx k -++=有两个实数根，∴0k ≠，且24441160k k k k ∆=--⨯+=-（）（）≥，∴0k ＜.∵1x ，2x 是方程24410kx kx k -++=的两个实数根， ∴121x x +=，1214k x x k+=.∴212121212922294k x x x x x x x x k+--=+-=-（）（）（）. 又∵12123222x x x x --=-（）（）， ∴939425k k k +-=-∴=，. 又∵0k ＜，∴不存在实数k ，使12123222x x x x --=-（）（）成立. 考点61.【答案】解：方法一：设第二次采购玩具x 件，则第一次采购玩具10x -（）件，由题意得1001500.510x x+=-. 整理得211030000x x -+=， 解得150x =，260x =，经检验150x =，260x =都是原方程的解.当50x =时，第二次采购时每件玩具的批发价为150503÷=（元），高于玩具的售价，不合题意，舍去； 当60x =时，第二次采购时每件玩具的批发价为15060 2.5÷=（元），低于玩具的售价，符合题意，因此第二次采购玩具60件.方法二：设第一次采购玩具x 件，则第二次采购玩具10x +（）件，由题意得1001500.510x x +=+， 整理得29020000x x -+=， 解得140x =，250x =，经检验，140x =，250x =都是原方程的解.第一次采购40件时，第二次采购401050+=（件），批发价为150503÷=（元），不合题意，舍去； 第一次采购50件时，第二次采购401060+=（件），批发价为15060 2.5÷=（元），符合题意.因此第二次采购玩具60件. 题型23.【答案】解：设慢车每小时行驶x 千米，则快车每小时行驶12x +（）千米，依题意得150150251260x x -=+.解得172x =-（不合题意，舍去），260x =.所以1272x +=.∴快车每小时行驶72千米，慢车每小时行驶60千米. 应用34.【答案】解：（1）设乙工程队单独施工x 天完成此项工程，则甲工程队单独施工30x +（）天完成此项工程，由题意得1120130x x +=+（），整理，得2106000x x --=， 解得130x =，220x =-.经检验130x =，220x =-都是分式方程的解，但220x =-不符合题意，应舍去，故30x =，3060x +=. 故甲、乙两工程队单独完成此项工程分别需要60天，30天. （2）203a -（）（3）由题意得11 2.520643a a +++-（）（）≤，解得36a ≥.故甲工程队至少要单独施工36天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元. 考点7 题型11.【答案】2015【解析】把1x =-代入方程中得到20150a b +-=，即2015a b +=.2.【答案】解：∵2a =，∴40c -≥且40c -≥，即4c =，则2a =-.又∵1-是一元二次方程20ax bx c ++=的根，∴0a b c -+=，∴242b a c =+=-+=.∴原式201622020154-+==⨯（）.题型2 1.【答案】D 2.【答案】A3.【答案】解：（1）21210x x x -+-=（）（），1120x x x --+=（）（）， 1310x x --=（）（），12113x x ==，.（2）221327x x x -=+-（）（），22441327x x x x -+=+-， 2680x x -+=，1224x x ==，.题型3 1.【答案】B 2.【答案】B3.【答案】解：∵关于x 的方程2260x b x b +++-=（）（）有两个相等的实数根，∴22460b b ∆=+--=（）（），∴12b =，210b =-（舍去）.当a 为腰时，ABC △周长为55212=++. 当b 为腰时，225+＜，不能构成三角形． ∴ABC △的周长为12. 题型4 1.【答案】A2.【答案】解：由题意，得1231a x x a ++=，1221a x x a +=（），∴31211a a a a a++-=-（），∴210a -=，即1a =±.又∵方程有两个不相等的实数根，∴[]2314210a a a ∆=-+-⋅+（）（）＞，即210a -（）＞，∴1a ≠，∴1a =-.3.【答案】解：∵方程有两个实数根，∴2224420a a a ∆=-+-（）（）≥，∴12a ≤.又∵122x x a +=-，21242x x a a =+-，∴22221212122224x x x x x x a +=+-=--（）（）. ∵12a ≤，且2220a -（）≥，∴当12a =时，2212x x +的值最小． 此时222121122422x x +=--=（），即最小值为12.【解析】本题中考虑0△≥从而确定a 的取值范围这一过程易被忽略. 题型51.【答案】解：设每件商品降价x 元，则售价为每件60x -（）元，每星期的销量为30020x +（）件. 根据题意，得6040300206080x x --+=（）（）. 解得11x =，24x =.又要顾客得实惠，故取4x =，即销售单价为56元. 答：应将销售单价定为56元.2.【答案】解：（1）当4t =时，221313144142222t t =+=⨯+⨯=. 答：甲运动4s 后的路程是14cm . （2）设它们运动了s m ，根据题意， 得21342122m m m ++=.解得：13m =，214m =-（不合题意，舍去）.答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3s .（3）设它们运动了s n 后第二次相遇，根据题意，得213421322n n n ++=⨯（）. 解得17n =，218n =-（不合题意，舍去）.答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7s . 题型61.【答案】解：不是.理由如下：解方程2120x x +-=，得14x =-，23x =.12432 3.5x x +=+=⨯.∵3.5不是整数，∴方程2120x x +-=不是“偶系二次方程”.。
可化为一元二次方程的分式方程练习题
可化为一元二次方程的分式方程练习题1、如果关于x的方程$\frac{m}{x}+n x=2$是分式方程，那么$m$、$n$的取值范围是什么？2、方程的解是什么？$$\frac{x-1}{m}=\frac{x}{x-2}$$3、当$m=1$时，方程$x-\frac{3}{x-3}=0$无解。
4、若方程$\frac{5+m}{1}=-1$有解$x=2$，则$m=-\frac{7}{2}$。
5、当$m=-2$时，方程$x-\frac{2}{x-2}=0$会产生增根。
6、方程$x^2+2x+2$的实数解是$x=-1$。
7、用换元法解方程$\frac{2(x^2+1)}{6(x+1)}=\frac{2}{x+1}-7$，设$y=x+1$。
于是原方程变形为$y^2+6y-7=0$。
8、用换元法解方程$x^2+\frac{191}{x}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+7=0$，设$y=x+\frac{1}{2}$，则原方程化为关于$y$的方程$y^2-\frac{3}{4}y+\frac{7}{4}=0$。
9、求解分式方程$\frac{x^2+2x}{x^2-4x+1}=\frac{1}{2}$，将分式化简为$\frac{x^2+2x}{(x-2)^2-3}=\frac{1}{2}$，设$y=x-2$，则原方程变形为$2y^2+4y-1=0$。
10、求解方程$x^2+2x+\frac{1}{x^2-1}=1$，将分母有理化得$x^2+2x+\frac{1}{(x+1)(x-1)}=1$，设$y=x+1$，则原方程变形为$y^4+2y^3-3y^2-2y+1=0$。
11、方程$x^2-3x+2=\frac{1}{x-1}$的解为$x=2$。
12、分式方程$x+\frac{3}{x+3}=0$的根为$x=-3$。
13、分式方程$\frac{x-4}{x-2}+\frac{2}{x+1}=2$的根为$x=4$。
一元二次方程50题 参考答案与试题解析
一元二次方程参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．【分析】方程变形后，开方即可求出解．【解答】解：（2x﹣1）2﹣121＝0，（2x﹣1）2＝121，2x﹣1＝±11，2x＝±11+1．∴x1＝6，x2＝﹣5．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．2．【分析】根据直接开平方法可以解答此方程．【解答】解：∵（x﹣2）2﹣9＝0，∴（x﹣2）2＝9，∴x﹣2＝±3，∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，解得，x1＝5，x2＝﹣1．【点评】本题考查解一元二次方程﹣直接开平方法，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．3．【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）先整理为一般式，再利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵4（x﹣5）2＝16，∴（x﹣5）2＝4，∴x﹣5＝2或x﹣5＝﹣2，解得x1＝7，x2＝3；（2）将方程整理为一般式，得：x2+2x﹣8＝0，∴（x+4）（x﹣2）＝0，则x+4＝0或x﹣2＝0，解得x1＝﹣4，x2＝2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．4．【分析】利用直接开平方法求解可得．【解答】解：∵（x﹣1）2＝3，∴x﹣1＝±，解得：，．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．5．【分析】首先两边直接开平方可得2x﹣3＝±5，再解一元一次方程即可．【解答】解：两边直接开平方得：2x﹣3＝±5，则2x﹣3＝5，2x﹣3＝﹣5，故x＝4，x＝﹣1．【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元一次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．6．【分析】先两边开方得到2x﹣1＝±（3﹣x），然后解两个一次方程即可．【解答】解：2x﹣1＝±（3﹣x），2x﹣1＝3﹣x或2x﹣1＝﹣3+x，所以x1＝，x2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方的方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．7．【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）先将方程整理为一般式，再利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵121x2﹣25＝0，∴121x2＝25，则x2＝，∴x1＝，x2＝﹣；（2）将方程整理为一般式得x2+2x﹣3＝0，∴（x﹣1）（x+3）＝0，则x﹣1＝0或x+3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．8．【分析】先把给出的方程进行整理，再利用直接开方法求出解即可．【解答】解：（y+2）2﹣6＝0，（y+2）2＝12，y+2＝±2，y1＝2﹣2，y2＝﹣2﹣2．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．9．【分析】移项后利用直接开平方法求解可得．【解答】解：∵y2﹣4＝0，∴y2＝4，则y1＝2，y2＝﹣2．【点评】本题主要考查解一元二次方程﹣直接开平方法，形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p ≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．10．【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）（x+1）2＝5，x+1＝±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）去分母得：3﹣（x+2）（1﹣x）＝x2﹣4，整理得：3+x2+x﹣2＝x2﹣4，即x＝﹣5，经检验：x＝﹣5是原方程的根．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．11．【分析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）先去分母，把分式方程化为3+x﹣5（x﹣1）＝﹣2x，然后解整式方程后进行检验确定原方程的解．【解答】解：（1）x+1＝±2，所以x1＝1，x2＝﹣3；（2）解方程两边同乘（x﹣1）得3+x﹣5（x﹣1）＝﹣2x，解这个方程得x＝4．检验：当x＝4时，x﹣1≠0，所以x＝4是原方程的解．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．也考查了解分式方程．12．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）方程利用完全平方公式变形，开方即可求出解．【解答】解：（1）两边都乘以（x+3）（x﹣1），得：（x﹣1）2﹣2（x+3）＝（x﹣1）（x+3），整理得：x2﹣2x+1﹣2x﹣6＝x2+2x﹣3解得，x＝﹣，检验：当x＝﹣时，（x+3）（x﹣1）≠0，所以，原分式方程的解为x＝﹣；（2）方程两边同除以2，变形得x2﹣2x＝，配方，得x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，开方得：x﹣1＝±，解得：x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元二次方程，熟练掌握运算方法是解本题的关键．13．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘法运算即可；（2）利用配方法得到（x﹣2）2＝3，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）原式＝4﹣2+×3＝2+；（2）x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝3，（x﹣2）2＝3，x﹣2＝±，所以x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了二次根式的混合运算．14．【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）方程整理得：x2+4x＝1，配方得：x2+4x+4＝5，即（x+2）2＝5，开方得：x+2＝±，解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）去分母得：2x2﹣x+5＝2x2﹣10x，解得：x＝﹣，经检验x＝﹣是分式方程的解．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，以及解分式方程，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．15．【分析】（1）方程利用直接开平方法求出解即可；（2）方程利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：x2＝9，开方得：x＝±3，解得：x1＝3，x2＝﹣3；（2）方程整理得：x2﹣4x＝1，配方得：x2﹣4x+4＝5，即（x﹣2）2＝5，开方得：x﹣2＝±，解得：x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，以及直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．16．【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，则x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，∴x﹣1＝，∴x＝1，即x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．17．【分析】首先展开化为x2﹣6x+9＝0，再配方后开方计算即可求解．【解答】解：（x﹣4）（x﹣2）+1＝0，方程化为x2﹣6x+9＝0，（x﹣3）2＝0，解得x1＝x2＝3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．18．【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣6x＝﹣4，配方得：x2﹣6x+9＝5，即（x﹣3）2＝5，开方得：x﹣3＝±，解得：x1＝3+，x2＝3﹣；（2）去分母得：5x+10＝6x﹣3，解得：x＝13，经检验x＝13是分式方程的解．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，以及解分式方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．19．【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．【解答】解：∵x2﹣8x+11＝0，∴x2﹣8x＝﹣11，则x2﹣8x+16＝﹣11+16，即（x﹣4）2＝5，∴x﹣4＝±，∴x＝4±．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）根据解分式方程的步骤依次计算可得．【解答】解：（1）∵x2﹣8x＝﹣1，∴x2﹣8x+16＝﹣1+16，即（x﹣4）2＝15，则x﹣4＝±，∴x＝4；（2）两边都乘以x﹣2，得：3+1﹣x＝x﹣2，解得x＝3，经检验x＝3是原分式方程的解．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21．【分析】（1）利用解一元二次方程的方法﹣直接开平方法解方程即可；（1）先移项得x2﹣4x＝3，再把方程两边加上4得到x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，然后利用直接开平方法求解；【解答】解：（1）（2x+3）2＝9，∴2x+3＝±3，∴2x+3＝3或2x+3＝﹣3，∴x1＝0，x2＝﹣3；（2）x2﹣4x﹣3＝0，移项得，x2﹣4x＝3，方程两边加上4得，x2﹣4x+4＝7，配方得，（x﹣2）2＝7，∴x﹣2＝±，∴x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．22．【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）整理为一般式，再利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣2x＝1，∴x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，则x﹣1＝±，∴x＝1；（2）方程整理为一般式，得：x2﹣4x﹣12＝0，∵（x+2）（x﹣6）＝0，∴x+2＝0或x﹣6＝0，解得x＝﹣2或x＝6．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．23．【分析】利用配方法求解可得．【解答】解：∵2x2﹣4x＝8，∴x2﹣2x＝4，则x2﹣2x+1＝4+1，即（x﹣1）2＝5，∴x﹣1＝，则x1＝+1，x2＝+1．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．24．【分析】方程变形后，利用配方法求出解即可．【解答】解：方程变形得：x2﹣4x＝5，即x2﹣4x+4＝9，变形得：（x﹣2）2＝9，开方得：x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，解得：x1＝5，x2＝﹣1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．25．【分析】方程利用配方法求出解即可．【解答】解：方程变形得：x2+2x＝1，配方得：x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2，开方得：x+1＝±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．26．【分析】方程移项后，二次项系数化为1，两个加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【解答】解：方程移项得：3x2﹣6x＝﹣1，即x2﹣2x＝﹣，配方得：（x﹣1）2＝，开方得：x﹣1＝±，解得：x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．27．【分析】把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣5的一半的平方．【解答】解：把方程x2﹣5x+2＝0的常数项移到等号的右边，得x2﹣5x＝﹣2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣5x+（﹣）2＝﹣2+（﹣）2，配方，得（x﹣）2＝．开方，得x﹣＝±，解得x1＝，x2＝．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．28．【分析】先进行移项，然后系数化1，再进行配方，即可求出答案．【解答】解：移项，得2x2﹣3x＝﹣1，二次项系数化为1，得x2﹣x＝﹣，配方x2﹣x+（）2＝﹣+（）2，（x﹣）2＝，由此可得x ﹣＝，x 1＝1，x 2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．29．【分析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：配方得x 2﹣4x +4＝1+4，即（x ﹣2）2＝5，开方得x ﹣2＝±，∴x 1＝2+，x 2＝2﹣．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x 2+px +q ＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax 2+bx +c ＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x 2+px +q ＝0，然后配方．30．【分析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：移项得x 2﹣4x ＝3，配方得x 2﹣4x +4＝3+4，即（x ﹣2）2＝，开方得x ﹣2＝±，∴x 1＝2+，x 2＝2﹣．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x 2+px +q ＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax 2+bx +c ＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x 2+px +q ＝0，然后配方．31．【分析】先利用配方法将原式化为完全平方的形式，再用直接开平方法解答．【解答】解：原式可化为x2+4x+4﹣7＝0即（x+2）2＝7，开方得，x+2＝±，x1＝﹣2+；x2＝﹣2﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法，熟悉完全平方公式是解题的关键．32．【分析】在本题中，把常数项﹣4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．【解答】解：由原方程移项，得x2﹣2x＝4，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣2x+1＝5，配方，得（x﹣1）2＝5，∴x＝1±，∴x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．33．【分析】解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．然后利用直接开平方法即可求解．【解答】解：2x2﹣4x﹣1＝0x2﹣2x﹣＝0x2﹣2x+1＝+1（x﹣1）2＝∴x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．34．【分析】先将已知方程转化为一般式，然后根据求根公式解答．【解答】解：由原方程，得x2+2x+2＝0．这里a＝1，b＝2，c＝2．∵△＝b2﹣4ac＝（2）2﹣4×1×2＝0．∴x＝＝﹣．即x1＝x2＝﹣．【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣公式法．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．35．【分析】整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可，也可以用因式分解法求解．【解答】解：方法一、整理得：x2+3x+2＝0，b2﹣4ac＝32﹣4×1×2＝1，x＝，x1＝﹣1，x2＝﹣2；方法二、整理得：x2+3x+2＝0，（x+1）（x+2）＝0，x+1＝0，x+2＝0，x1＝﹣1，x2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键．36．【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【解答】解：（1）∵x2+2x＝29，∴x2+2x+1＝29+1，即（x+1）2＝30，则x+1＝±，∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）∵a＝2，b＝﹣，c＝﹣1，∴△＝（﹣）2﹣4×2×（﹣1）＝10＞0，则x＝，即x1＝，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．37．【分析】首先找出a、b、c的值，计算根的判别式，进一步利用求根公式求得答案即可．【解答】解：x2+4x﹣5＝0，∵a＝1，b＝4，c＝﹣5，∴△＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×（﹣5）＝36，则x＝＝，解得x1＝﹣5，x2＝1．【点评】此题考查用公式法解一元二次方程，掌握用公式法解方程的步骤与方法是解决问题的关键．38．【分析】（1）直接开平方法求解可得；（2）根据公式法求解可得．【解答】解：（1）（x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，解得x1＝﹣1，x2＝3；（2）x2﹣x﹣1＝0，∵a＝1，b＝﹣，c＝﹣1，∴△＝3﹣4×1×（﹣1）＝7＞0，x＝，解得x1＝，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．39．【分析】先进行整理，再根据公式法求解可得．【解答】解：x2﹣4＝6（x+2）．整理得x2﹣6x﹣16＝0，∵a＝1，b＝﹣6，c＝﹣16，∴△＝36﹣4×1×（﹣16）＝100＞0，x＝＝3±5，解得x1＝﹣2，x2＝8．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．40．【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）利用配方法求解可得．【解答】解：（1）方程两边除以2，得：（x﹣1）2＝9，则x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，则x1＝4，x2＝﹣2；（2）原方程可整理为：x2﹣4x﹣1＝0，∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，则x＝＝2，解得：x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．41．【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣7，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣7）＝44＞0，则x＝＝2，即x1＝2+，x2＝2﹣；（2）∵3x（2x+1）＝2（2x+1），∴3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，则（2x+1）（3x﹣2）＝0，∴2x+1＝0或3x﹣2＝0，解得x1＝﹣，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．42．【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）整理为一般式，再利用公式法求解可得．【解答】解：（1）∵（x﹣3）2﹣4＝0，∴（x﹣3）2＝4，则x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，解得x1＝5，x2＝1；（2）将方程整理为一般式，得：x2﹣3x﹣1＝0，∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，则x＝，即x1＝，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．43．【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣8，c＝3，∴△＝（﹣8）2﹣4×1×3＝52＞0，∴x＝＝4，即x1＝4+，x2＝4﹣；（2）方程整理为一般式，得：2x2﹣7x＝0，则x（2x﹣7）＝0，∴x＝0或2x﹣7＝0，解得x1＝0，x2＝3.5．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．44．【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，则x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，∴x﹣1＝，∴x＝1；（2）∵3x（2x+3）＝2（2x+3），∴3x（2x+3）﹣2（2x+3）＝0，∴（2x+3）（3x﹣2）＝0，则2x+3＝0或3x﹣2＝0，解得x＝﹣或x＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．45．【分析】（1）直接利用配方法解方程得出答案；（2）直接利用提取公因式法解方程进而得出答案．【解答】解：（1）x2﹣6x＝﹣7，则x2﹣6x+9＝﹣7+9，故（x﹣3）2＝2x﹣3＝±，解得：x1＝3+，x2＝3﹣；（2）x（x﹣2）＝6﹣3xx（x﹣2）﹣3（2﹣x）＝0，（x﹣2）（x+3）＝0，则x﹣2＝0或x+3＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣3．【点评】此题主要考查了配方法以及因式分解法解方程，正确掌握解题方法是解题关键．46．【分析】（1）利用直接开平方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣9＝0，∴x2＝9，则x1＝3，x2＝﹣3；（2）∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x+1）（x﹣3）＝0，则x+1＝0或x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．47．【分析】（1）先整理为一般式，再利用因式分解法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）将方程整理为一般式为5x2﹣4x﹣1＝0，则（x﹣1）（5x+1）＝0，∴x﹣1＝0或5x+1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣0.2；（2）∵x（x﹣2）＝3x﹣6，∴x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0，则（x﹣2）（x﹣3）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．48．【分析】利用因式分解法或直接开平方法求解可得．【解答】解：方法一：∵（2x+3）2＝（x﹣1）2，∴2x+3＝x﹣1或2x+3＝1﹣x，解得x1＝﹣4，x2＝﹣．方法二：∵（2x+3）2＝（x﹣1）2，∴（2x+3）2﹣（x﹣1）2＝0，则（2x+3+x﹣1）（2x+3﹣x+1）＝0，∴3x+2＝0或x+4＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝﹣．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．49．【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2+4x﹣8＝0，∴x2+4x＝8，则x2+4x+4＝8+4，即（x+2）2＝12，∴x+2＝±2，∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2；（2）∵（x﹣3）2＝5（x﹣3），∴（x﹣3）2﹣5（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（x﹣3﹣5）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣8＝0，解得x1＝3，x2＝8．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．50．【分析】（1）先把方程化为整式方程3（x+3）＝5（x+1），再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解；（2）先把方程化为整式方程5﹣2（x+1）＝2x，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．（3）先利用配方法得到（x﹣2）2＝5，然后利用直接开平方法解方程；（4）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）去分母得3（x+3）＝5（x+1），解得x＝2，经检验，原方程的解为x＝2；（2）去分母得5﹣2（x+1）＝2x，解得x＝，经检验，原方程的解为x＝；（3）x2﹣4x+4＝5，（x﹣2）2＝5，x﹣2＝±，所以x1＝2+，x2＝2﹣；（4）x2+x﹣6＝0，（x+3）（x﹣2）＝0，x+3＝0或x﹣2＝0，所以x1＝﹣3，x2＝2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法解一元二次方程和解分式方程．。
可化为一元二次方程的分式方程的解法(1)――去分母法
4．解下列关于x的方程：
A．0个B．1个C．2个D．无数多个厴缫廄劊鮐碱鸩绍拟牆岖鲻倫释墮鵜匀誆煢灘紡灯訌独楼犊閉蜡驅苈凤線飯絲勻饿崍馀詬贪誅羁蚕赘詬坛鐳贬鑑騖筆簀澀諸坝鈍餡郟鎖训襖稈蕕轲卺運刿傴赈揮鎵师龅領迹鯪铰駝鈣嶧蔦库問鹬围諭復橢饗溆齷纰坝伞听戇鰨韩詞饯。
2．方程 去分母，整理得．Байду номын сангаас
3．解下列分式方程
（1） （2）
(3) （4）
可化为一元二次方程的分式方程的解法（1）——去分母法
一、复习
1．什么是分式方程？解分式方程的一般步骤是什么？
2．解下列方程：（1） （2）
二、学习内容
1．例题：
例1解分式方程：
例2解分式方程：
例3解关于x的分式方程：
2．练习：解下列方程：
【课后作业】
1．方程 个数是（）麗騸绵缏間獲睜啞鶯裢貼種铁缤蚁岿睾产怄疖幃顥憤緋許抛銚讶绲囁锕鰉誦蕕怼幫訖馀棧锁綰纺鳞壟医畢閆枣购贏饩囂鵓導摻壶邏东顳诶铊錒謂納铳辍铿挟湯瞩襝缭缽积饞鄶驁聽硕濁睜苇鲒銷搶踬鹣緲澇匭绍讦仪謚偉赛鍰苏煉珲。
一元二次方程分式方程的解法及应用知识讲解(提高)含答案
1,2=0；当m＜0时，方程没有实数解．中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解（提高）【考纲要求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2.会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元二次方程1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)．2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成x2=m的形式，当m＞0时，方程的解为x=±m；当m＝0时，方程的解x（2）配方法：通过配方把一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 变形为 x + ⎪ =如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 (a ≠0)的两个根是 x 、x ，那么 x + x = - ，x ⋅ x = c ．aa⎛ ⎝ b ⎫2 b 2 - 4ac 2a ⎭ 4a 2的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（ 3 ） 公 式 法 ： 对 于 一 元 二 次 方 程 ax 2 + bx + c = 0 ， 当 b 2 - 4ac ≥ 0 时 ， 它 的 解 为x = -b ± b 2 - 4ac 2a．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一 般方法．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中 a ≠ 0 .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化 1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为 ∆ = b 2 - 4ac ．△>0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根； △＝0 ⇔ 方程有两个相等的实数根； △<0 ⇔ 方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．要点诠释：△≥0 ⇔ 方程有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系b 121 212要点诠释：（1）对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． （2）解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分 解法，再考虑用公式法．（3）一元二次方程 a x 2 + bx + c = 0 (a ≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以①不解方程判定方程根的情况；②根据参系数的性质确定根的范围；③解与根有关的证明题．（4）一元二次方程根与系数的应用很多：①已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；②已 知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；③已知方程两根，求作以方程两根或其代 数式为根的一元二次方程．考点二、分式方程1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法．3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点三、一元二次方程、分式方程的应用1．应用问题中常用的数量关系及题型(1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．(2)体积变化问题关键是寻找其中的不变量作为等量关系.(3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝利润成本价×100%．明确这几个关系式是解决这类问题的关键．(4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，使能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.(5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分问题增长量＝原有量×增长率；现有量＝原有量+增长量；现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．要点诠释：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．【典型例题】类型一、一元二次方程1．阅读材料：为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0，我们可以将x2-1看作一个整体，然后设x2-1=y，那么原方程可化为y2-5y+4=0……①，解得y=1，y=4，12当y=1时，x2-1=1，∴x2=2，∴x=±2；当y=4时，x2-1=4，∴x2=5，∴x=±5，故原方程的解为x=2，1x=-2，x=5，x=-5．234解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；（2）请利用以上知识解方程x4-x2-6=0．2【思路点拨】此题考查了学生学以致用的能力，解题的关键是掌握换元思想． 【答案与解析】（1）换元法；（2）设 x 2 = y ，那么原方程可化为 y 2 - y - 6 = 0解得 y = 3 ； y = -21 2当 y = 3 时， x 2 = 3 ；∴ x = ± 3当 y = -2 时， x 2 = -2 不符合题意，舍去．所以原方程的解为 x = 3 ， x = - 3 ．1 2【总结升华】应用换元法解方程，体现了转化的数学思想.举一反三：【高清课程名称：一元二次方程、分式方程的解法及应用 高清 ID 号： 405754 关联的位置名称（播放点名称）：例 3】【变式】设 m 是实数，求关于 x 的方程 x 2 - mx - 3x + m + 2 = 0 的根． 【答案】x 1=1,x 2=m+2.2．已知关于 x 的一元二次方程 ax 2 + bx + 1 = 0(a ≠ 0) 有两个相等的实数根，ab 2求的值.(a - 2) 2 + b 2 - 4【思路点拨】由于这个方程有两个相等的实数根，因此⊿＝b 2 - 4a = 0 ，可得出 a 、b 之间的关系，ab 2然后将化简后，用含 b 的代数式表示 a ，即可求出这个分式的值．(a - 2) 2 + b 2 - 4【答案与解析】∵ ax 2 + bx + 1 = 0(a ≠ 0) 有两个相等的实数根，∴⊿＝ b 2 - 4ac = 0 ，即 b 2 - 4a = 0 ．ab 2ab 2ab 2 ab 2∵ = = =(a - 2) 2 + b 2 - 4 a 2 - 4a + 4 + b 2 - 4 a 2 - 4a + b 2 a 2∵ a ≠ 0 ，∴ ab 2 b 2 =a a= 4【总结升华】本题需要综合运用分式和一元二次方程来解决问题，考查学生综合运用多个知识点解决问题的能解得，x=3+522力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度．举一反三：【变式】关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根，∴(-3)2-4(-k)＞0．即4k>-9，解得，k>-9 4．（2）若k是负整数，k只能为－1或－2．如果k＝－1，原方程为x2-3x+1=0．3-5，x=．12（如果k＝－2，原方程为x2-3x+2=0，解得，x=1，x=2．）12类型二、分式方程3．解方程：【思路点拨】把原方程右边化为【答案与解析】代入原方程求解较为简单.原方程变为经检验，【总结升华】是原方程的根.时，x 2 - 6x + 5 = -因为， ，所以最简公分母为：，若采用去分母的通常方法，运算量较大，可采用上面的方法较好.举一反三：【变式 1】解方程：【答案】原方程化为方程两边通分，得化简得 解得经检验：是原方程的根.【变式 2】 解方程：7 31 4- =-x 2 - 6x - 4 x 2 - 6x + 5 x 2 - 6x + 9【答案】设k = x 2 - 6x + 5，则原方程可化为：731 4 -=-k - 9kk + 4去分母化简得：20k 2 - 147k - 1116 = 0∴(k - 12)(20k + 93) = 0∴k = 12 ，k = -9320当k = 12时，x 2 - 6x - 7 = 0(x - 7)(x + 1) = 0解之得：x = -1，x = 712当k = - 93 9320 2020x 2 - 120x + 193 = 0解此方程此方程无解.经检验：x = -1，x = 7是原分式方程的根.124．m为何值时，关于x的方程会产生增根？【思路点拨】先把原方程化为整式方程，使分母为0的根是增根，代入整式方程求出m的值.【答案与解析】方程两边都乘以整理，得，得【总结升华】分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根.举一反三：【变式】当m为何值时，方程会产生增根()A.2B.－1C.3D.－3【答案】分式方程，去分母得，将增根代入，得m＝3.所以，当m＝3时，原分式方程会产生增根.故选C.类型三、一元二次方程、分式方程的应用5．要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天.现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成.问规定日期是多少天？【思路点拨】设规定日期是x天，则甲的工作效率为【答案与解析】设规定日期为x天根据题意，得解得经检验是原方程的根答：规定日期是6天.，乙的工作效率为，工作总量为1.由题意得1000【总结升华】工程问题涉及的量有三个，即每天的工作量、工作的天数、工作的总量．它们之间的基本关系是：工作总量=每天的工作量×工作的天数．举一反三：【高清课程名称：一元二次方程、分式方程的解法及应用高清ID号：405754关联的位置名称（播放点名称）：例4-例5】【变式】据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．【答案】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，550=，2x-40x解得：x=22，经检验：x=22是原分式方程的解，且符合题意．答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克．6．某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队工程费共5500元．⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．【思路点拨】第一问是工程问题，工程问题中有三个量：工作总量，工作效率，工作时间，这三个量之间的关系是：工作总量=工作效率×工作时间第二问只要求出每天应各付甲、乙、丙各队多少钱，并由第一问求出甲、乙、丙各队单独完成这项工作所需的天数，即可求出在规定时间内单独完成此项工程哪个队花钱最少.【答案与解析】⑴设甲队单独做需天完成，乙队单独做需天完成，丙队单独做需天完成，依题意，得①×＋②×＋③×，得＋＋＝．④④－①×，得＝，即z＝30，④－②×，得＝，即x＝10，④－③×，得＝，即y＝15．经检验，x＝10，y＝15，z＝30是原方程组的解．⑵设甲队做一天厂家需付元，乙队做一天厂家需付元，丙队做一天厂家需付元，根据题意，得由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队．此工程由甲队单独完成需花钱元；此工程由乙队单独完成需花钱元.所以，由甲队单独完成此工程花钱最少．【总结升华】这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队单独完成这项工程所需时间分别为天，天，天，可列出分式方程组．在求解时，把整式方程组来解．，，分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为。
人教版小学数学五年级上册 可化为一元二次方程的分式方程的应用题课件
则 (同类量) 实际工期为
( y 4)天,
(相原关计量划)每天挖
960米, y
实际每天挖
课本例4
960 米, y4
某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计
划多挖20米, 结果提前4天完成任务.
原计划每天挖多少米?
(解法2：)
根据题意, 得
960 960 20. y4 y
y y– = y y 去分母, 得 960 –(960 3840) 20 2–80 ,
x 设原计划用 天，
则 (同实类际量用)了 原(相计关划量每) 天用煤
实际每天用煤
x( +20) 天, 350 吨, x 350 吨. x 20
(解法1：) 根据题意, 得
去分母并整理得
x , 解得 1=50
350 350 2. x x 20 x x 2+20 –3500=0, x . 2= –70
则 (同类量) 中巴车行驶全程需
(相大关客量车)速度为
( y 1 )小时, 2
300千米/ 小时, y
中巴车速度为
300 y1
千米/ 小时,
2
例题1、在高速公路上，A、B两地间的距离为300千米.
中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全
程少用半小时. 求这两种车速度.
(解法2：) 根据题意, 得
课本第118页练习题3 某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，
每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天， 贮存的煤原计划用多少天？每天烧多少吨？
解法2：
(间接法)
y 设原计划每天用 吨，
则 (同类量) 实际每350天, y
350 天. y2
专题21.4一元二次方程的解法(精选精练100题)(专项练习)1「含答案」
专题21.4 一元二次方程的解法（精选精练100题）（专项练习）【题型目录】1、直接开平方法解一元二次方程（1-20题）；2、配方法解一元二次方程（21-40题）；3、公式法解一元二次方程（41-60题）；4、因式分解法解一元二次方程（61-80题）；5、换元法解一元二次方程（81-90题）；6、解可化以一元二次方程的分式方程（91-100题）．四、因式分解法解一元二次方程1．用因式分解法解方程:(1)2411x x =；(2)()2224x x -=-2．用因式分解法解下列方程：(1)()()()262x x x --=-；(2)()()22167920x x --+=．3．用因式分解法解下列方程：(1)()()120x x +-=；(2)()()3521127x x x --=-+．4．用因式分解法解下列方程：(1)269x x -=-；(2)224(3)25(2)0x x ---=．5．用因式分解法解下列方程：(1)250x x +=；(2)(5)(6)5x x x --=-．6．用因式分解法的方法解下列方程：(1)22150x x --＝ ；(2)2326x x （＋）＝＋7．因式分解法解方程：(1)()()23525x x -=-；(2)()()22200abx a b x ab ab -++=¹；8．用因式分解法解下列方程：(1)()2236x x +=+；(2)231212x x +=；(3)()223240x x +-=；(4)()()()521123x x x -=-+．9．用因式分解法解下列一元二次方程：(1)21502x x -=；(2)()()23727x x -=-；(3)()22210x x +-=．10．用因式分解法解下列方程：(1))23x x =；(2)()()221210x x x ---=．11．用因式分解法解下列方程．(1)2560x x --=(2)3(2)2(2)x x x -=-12．用因式分解法解下列方程：(1)()2218x x -=-；(2)()()2222x x x -=-；(3)23x -=-．13．用因式分解法解下列方程：(1)2350y y -=；(2)2412x x =；(3)296x x +=-；(4)229(1)x x =-．14．用因式分解法解下列方程．(1)()()222320x x ---=；(2)()2211t t -+=．15．用因式分解法解下列方程：(1)()2212x x -=；(2)()()222310y y +--=．16．用因式分解法解下列方程：（1）(2)(4)0x x +-=； （2）4(21)3(21)x x x +=+．17．用因式分解法解下列方程：(1)(2)(23)6x x --=；(2)()44x x -=-．18．用因式分解法解方程：(1)3x (2x +1)=2(2x +1)；(2)22(3)(52)x x -=-．19．用因式分解法解方程．(1)22437365x x x x +-=--(2)()233x x x -=-20．用因式分解法解一元二次方程(1)()()41570x x +-=；(2)2(23)4(23)x x +=+．五、换元法解一元二次方程21．()()233320y y -+-+=．22．解方程：2231712x x x x -+=-．23．若实数x ，y 满足2222()(2)3x y x y ++-=，求22x y +的值．24．解方程：226212x x x x--=-．25．解方程()225160x --=．26．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22xy +的值．27．阅读下面的例题，回答问题：例：解方程：220x x --=令y x =，原方程化成220y y --=解得122,1y y ==-（不合题意，舍去） 2,2x x \=\=±\ 原方程的解是122,2x x ==-．请模仿上面的方法解方程：()21160x x ----=28．阅读下列材料：为解方程4260x x --=可将方程变形为()22260x x --=然后设2x y =，则()222x y =．例：4260x x --=，解：令2x y =，原方程化为260y y --=，解得12y =-，23y =，当12y =-时，22x =-（无意义，舍去）当23y =时，23x =，解得x =\原方程的解为1x =2x =．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：(1)()()22225260x x x x ----=；(2)()23511x x ++-=．29．阅读材料：在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：2–320x x +=．解：设x t =，则原方程可化为：2–320t t +=．解得：1212t t ==，．当1t =时，1x =，∴1x =±；当2t =时，2x =，∴2x =±．∴原方程的解是：12341122x x x x ==-==-，，，．上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：(1)解方程：220x x -=；(2)解方程：42–1090x x +=．(3)解方程：221211x x x x +-=+．30．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组2()3()22()3x y x y x y x y ++-=-ìí+--=î，按常规思路解方程组计算量较大．可设x y a +=，x y b -=，那么方程组可化为23223a b a b +=-ìí-=î，从而将方程组简单化，解出a 和b 的值后，再利用x y a +=，x y b -=解出x 和y 的值即可．用上面的思想方法解方程：(1)222432x x x x ++=+；(2)2250x x ++-=六、解可化以一元二次方程的分式方程31．解分式方程：2216111x x x +-=--．32．解分式方程：221226x x x x+++=．33．解分式方程：11133x x +=+-34．解分式方程：()2218111x x x --=+-35．解分式方程：241142x x +=--．36．解分式方程：224124x x x -=-+-37．解分式方程21211x x x -=++38．解分式方程：252112x x x+-＝3．39．解分式方程：2164122x x x x +=--40．解分式方程：2212111x x x -+=--1．(1)10x =，2114x =(2)12x =，24x =【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的方法是解题的关键；（1）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程；（2）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：移项，得：24110x x -=，因式分解，得：(411)0x x -=于是，得：0x =或4110x -=，∴10x =，2114x =．（2）移项，得()22240x x --+=，即()()22220x x ---=，因式分解，得：(2)(22)0x x ---=，整理，得：(2)(4)0x x --=，于是，得20x -=或40x -=，∴12x =，24x =．2．(1)12x =，27x =(2)1227x =，234x =【详解】（1）方程左右两边都有因式()2x -，先移项，然后利用提公因式法将等式的左边因式分解；（2）直接利用平方差公式将方程的左边因式分解．（1）移项，得()()()2620x x x ----=，∴()()2610x x ---=，即()()270x x --=，∴20x -=或70x -=，∴12x =，27x =．（2）因式分解，得()()42836428360x x x x -++---=．化简，得()()072234x x --=，∴7220x -=或340x -=，∴1227x =，234x =．3．(1)11x =-，22x =(2)112x =-，223x =【详解】解：（1）()()120x x +-=Q ，10x \+=或20x -=，11x \=-，22x =．（2）原方程可化为2620x x --=，()()21320x x \+-=，210x \+=或320x -=，112x \=-，223x =．4．(1)123x x ==(2)12164,73x x ==【分析】（1）先移项，然后利用完全平方公式因式分解求解；（2）先移项，然后直接开平方即可解答此方程．【详解】（1）解：269x x -=-2690x x -+=()230x -=解得：123x x ==；（2）解：224(3)25(2)0x x ---=[][]220()5232()x x --=-，[][]2(3)5(2)2(3)5(2)0x x x x -+----=，()5()0232x x --+=或()5()0232x x ---=，解得12164,73x x ==．【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是明确方程的特点，选择合适的方法解方程．5．(1)10x =，25x =-(2)15=x ，27x =【分析】（1）直接用因式分解法求解即可；（2）先移项，再用因式分解法求解即可．【详解】（1）∵250x x +=∴()50x x +=∴0x =或50x +=∴10x =，25x =-（2）∵(5)(6)5x x x --=-∴()(5)(6)50x x x ----=∴(5)(61)0x x ---=∴50x -=或610x --=∴15=x ，27x =【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解答本题的关键．6．(1)15x ＝，23x -＝；(2)13x -＝，21x -＝【分析】（1）直接利用因式分解法求解即可；（2）先移项，再利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：22150x x --＝ ，（x ﹣5）（x +3）＝0，则x ﹣5＝0或x +3＝0，∴15x ＝，23x -＝；（2）解：2326x x ++（）＝，2323x x ++（）＝（），移项，得23230x x ++（）﹣（）＝，则（x +3）（x +1）＝0，∴x +3＝0或x +1＝0，∴1231x x --＝，＝．【点睛】本题考查了因式分解法求解一元二次方程，熟练进行因式分解是解题的关键．7．(1)121353x x ==，(2)12b a x x a b==【分析】（1）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；【详解】（1）解：()()23525x x -=-方程变形为：()()23525x x -+-=0，∴()()50532x x éù+ë-=û-，∴()()53130x x --=，∴12135,3x x ==；（2）解：()()22200abx a b x ab ab -++=¹()()0ax b bx a --=，∵0ab ¹，∴0,0a b ¹¹，∴12,ba x x a b==【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解此题的关键．12(2)122x x ==(3)12x =-，225x =-(4)112x =，28x =-【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）原方程可变形为()()2230x x ++-=，即()()210x x +-=，所以20x +=或10x -=，即12x =-，21x =．（2）原方程可变形为2440x x -+=，即()220x -=，所以122x x ==．（3）原方程可变形为()()3223220x x x x +-++=，即()()2520x x ++=，所以20x +=或520x +=，即12x =-，225x =-．（4）原方程可变形为()()21530x x -++=，即()()2180x x -+=，210x -=或80+=x ，∴112x =，28x =-．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握适合因式分解法解一元二次方程——把方程的右边化为0，左边能通过因式分解化为两个一次因式的积的形式的方程是解题的关键．12(2)17x =，2193x =(3)113x =-，21x =-【分析】（1）利用提公因式法进行因式分解，求解即可；（2）通过移项，提公因式法进行因式分解，求解即可；（3）利用平方差公式，进行因式分解，求解即可．【详解】（1）解：21502x x -=因式分解，得1502x x æö-=ç÷èø．于是0x =，1502x -=，解得10x =，210x =；（2）()()23727x x -=-移项，得()()237270x x ---=，因式分解，得()()73720x x --+=éùëû，于是70x -=，3190x -=，解得17x =，2193x =；（3）()22210x x +-=因式分解，得()()21210x x x x éùéù+++-=ëûëû，于是310x +=，10x +=，解得113x =-，21x =-．【点睛】此题考查了因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解的有关方法．10．(1)120x x =，(2)12112x x ==，【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵)23x x =，∴)230x x -=，∴)310x x éù-=ëû，∴)310x -=或0x =，解得120x x ==，；（2）解：∵()()221210x x x ---=，∴()()21210x x x ---=，即()()1210x x --=，∴10x -=或210x -=，解得12112x x ==，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．11．(1)18x =，27x =-(2)12x =，223x =【分析】（1）首先把方程变形可得(8)(7)0x x -+=，进而得到两个一元一次方程，然后分别求出x 的值即可；（2）首先对方程进行整理，得出3(2)2(2)0x x x ---=，再因式分解可得(2)(32)0x x --=，然后得出两个一元一次方程，求解即可得出答案．【详解】（1）2560x x --=，(8)(7)0x x \-+=，80x \-=或70x +=，18x \=；27x =-；（2）3(2)2(2)x x x -=-，移项，得3(2)2(2)0x x x ---=，(2)(32)0x x \--=，20x \-=或320x -=，12x \=；223x =．【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程的方法和步骤是解题关键．12．(1)1212x x ==-(2)12x =，22x =-(3)12x x ==【分析】（1）先移项，再把括号展开进行因式分解，即可求解；（2）先移项，再提取公因式()2x -进行因式分解，即可求解；（3）先移项，再用完全平方公式进行因式分解，即可求解．【详解】（1）解：()22180x x +-=，241840x x x -+=+，24410x x ++=，()2210x +=，210x +=，21x =-，1212x x ==-．（2）解：()()22220x x x ---=，()()2220x x x ---=，()()220x x ---=，20x -=或20x --=，12x =，22x =-．（3）解：230x -+=，(20x =，0x =，12x x ==【点睛】本题主要考查了用因式分解法求解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．13．(1)1250,3y y ==(2)120,3x x ==(3)123x x ==-(4)1211,42x x ==-【分析】（1）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（2）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（3）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（4）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：2350y y -=，()350y y -=，解得：1250,3y y ==；（2）解：2412x x =，24120x x -=，()430x x -=，解得：120,3x x ==；（3）解：296x x+=-2690x x ++=即()230x +=，解得：123x x ==-；（4）解：229(1)x x =-，()22910x x --=，即()()22310x x --=，∴()()31310x x x x +--+=，即()()41210x x -+=，解得：1211,42x x ==-．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．14．(1)125,13x x ==(2)1211,2t t ==【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解．【详解】（1）解：()()222320x x ---=，∴()()()()2322320x x x x -+--éùé-ùëûëû-=，∴()()3510x x --=，∴350x -=或10x -=，∴125,13x x ==．（2）解：()2211t t -+=∴()22110t t -+-=，∴()()1210t t --=，∴1211,2t t ==．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．123(2)1213,42y y =-=【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：移项，得()22120x x --=，因式分解，得()()12120x x x x -+--=，得10,130x x -=-=或，解得：1211,3x x ==；（2）解：因式分解，得()()2312310y y x y ++-+-+=，合并同类项，得()()41230y y +-+=，得410230y y +=-+=或，解得：1213,42y y =-=．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．16．（1）12=2,=4x x -；（2）1213,24x x =-=．【分析】运用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：（1）∵(2)(4)0x x +-=；∴20x +=，40x -=，∴12x =-，24x =；（2）4(21)3(21)x x x +=+，4(21)3(21)0x x x +-+=，(21)(43)0x x +-=，∴210x +=或430x -=，∴112x =-，234x =．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．122(2)122x x ==【分析】（1）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程；（2）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：(2)(23)6x x --=，223466x x x --+=，即2270x x -=，∴()270x x -=，解得：12720,x x ==；（2）解：()44x x -=-，即2440x x -+=，()220x -=，解得：122x x ==．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．18．(1)1x =-12，2x =23；(2)1x =2，2x =83．【分析】（1）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值；（2）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值．【详解】（1）解：∵3x （2x +1）-2（2x +1）=0，∴（2x +1）（3x -2）=0，∴2x +1=0或3x -2=0，解得1x =-12，2x =23；（2）解：∵22(3)(52)x x -=-，∴22(3)(5)02x x --=-，∴(352)(3520)x x x x +---+=-，即(2)(308)x x --=，∴2-x =0或3x -8=0，解得1x =2，2x =83．【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤．19．(1)113x =-，213x =(2)112x =，23x =【分析】（1）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可；（2）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可．【详解】（1）解：22437365x x x x +-=--2910x -=（3x +1）（3x -1）=03x +1=0，3x -1=0113x =-，213x =．（2）解：()233x x x -=-2263x x x -=-22730x x -+=（2x -1）（x -3）=02x -1=0，x -3=0112x =，23x =．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键．20．(1)114x =-，275x =(2)132x =-，212x =【分析】（1）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可；（2）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可．【详解】（1）解：()()41570x x +-=；410x +=，570x -=，解得：114x =-，275x =（2）解：()()223423x x +=+，()()2234230x x +-+=，()()232340x x ++-=；()230x +=，()2340x +-=解得：132x =-，212x =．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键是将它化为两个一元一次方程．21．2y =或1y =【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，将()3y -看作一个整体，设3y t -=，利用因式分解法求得t 的值，进而即可求得y ．【详解】解：设3y t -=，则原方程即2320t t ++=，∴()()120t t ++=，∴10t +=或20t +=，解得1t =-或2t =-，∴31y -=-或32y -=-，解得，2y =或1y =．22．1234111,22x x x x =+==-=【分析】本题考查了换元法解可以化为一元二次方程的分式方程等知识．设21x y x =-，原方程变为1732y y +=，解得12y =或23y =．再分别代入21x y x =-，求出1x =或12x =-或2x =，代入最简公分母进行检验即可求解．【详解】解：设21x y x =-，则211x x y-=，原方程变为1732y y +=，去分母得：26720y y -+=，解得12y =或23y =．当2112x x =-时，去分母得：2210x x --=，解得：1x =当2213x x =-时，去分母得：22320x x --=，解得：12x =-或2x =，检验：当1x =()()2110x x x +-¹，当12x =-或2x =时，()()2110x x x +-¹，∴分式方程的解为1234111,22x x x x ===-=．23．223x y +=．【分析】本题主要考查用换元法解一元二次方程，解答本题的关键在于，掌握整体代换思想方法的应用，将22x y +看成一个整体t ，转换成一个关于t 的一元二次方程求解即可．【详解】解：令22x y t +=，则，原方程变为，()23t t -=，即，2230t t --=，()()310t t -+=解得：13t =，21t =-；又220x y +³Q ，∴223x y +=．24．123,1x x ==-【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．可根据方程特点设22y x x =-，则原方程可化为260y y --=，解一元二次方程求y ，再求x ．【详解】设22y x x =-，则原方程化为61y y-=\260y y --=，即()()320y y -+=，解得12y =-，23y =．当12y =-时，222x x -=-，该方程无解，当23y =时，223x x -=．解得13x =，21x =-，检验：当13x =时，原方程左边69632196=--=-==-右边，当21x =-时，原方程左边61232112=+-=-==+右边，∴13x =，21x =-都是原方程的根，∴原方程的根是13x =，21x =-．25．13x =，23x =-，31x =，41x =-【分析】设25y x =-，求出y 后，可得关于x 的方程，再解方程即可．【详解】设25y x =-，原方程化为2160y -=，解得14y =，24y =-，当14y =时，254x -=，29x =，则13x =，23x =-；当24y =-时，254x -=-，21x =，则31x =，41x =-，所以原方程的解为13x =，23x =-，31x =，41x =-．【点睛】本题考查了换元法和直接开平方法解方程，掌握求解的方法是关键．26．22x y +的值为3【分析】设22x z y +=，然后用因式分解法求解即可，求解时注意220x y +>.【详解】设22x z y +=，∴(2)3z z -=．整理得：2230z z --=，∴(3)(1)0z z -+=．∴121,3z z ==-．∵220z x y =+>，∴1z =- (不合题意，舍去)∴3z =．即22x y +的值为3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．27．1224x x =-=，【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令1m x =-，则原方程化为260m m --=，解方程得到3m =，则1=3x -，据此求解即可．【详解】解：令1m x =-，则原方程化为260m m --=，∴()()320m m -+=，解得3m =或2m =-（不合题意，舍去），∴1=3x -，∴13x -=±，解得1224x x =-=，．28．(1)11x =，21x =，341x x ==(2)10x =、25x =-【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；（1）令22x x y -=，原方程化为2560y y --=，进而得出226x x -=，221x x -=-，解方程，即可求解；（2y =，原方程化为2321y y -=，解得113y =-，21y =，进而分别解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：令22x x y -=，原方程化为2560y y --=，解得16y =，21y =-．当16y =时，226x x -=，解得1x =．当21y =-时，221x x -=-，解得1x =．\原方程的解为：11x =，21x =，341x x ==（2y =，原方程化为2321y y -=，解得113y =-，21y =当113y =-13=-（无意义舍去）当21y =1=，解得10x =、25x =-．\原方程的解为10x =、25x =-．29．(1)1234022x x x x ====-，，；(2)12341133x x x x ==-==-，，，；(3)1x =和12x =-．【分析】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．（1）设x t =，则原方程可化为220t t -=，解方程求得t 的值，再求x 的值即可；（2）设2x a =，则原方程可化为2–1090a a +=，解方程求得a 的值，再求x 的值即可；（3）设21x m x +=，则原方程可化为2–1m m=，整理得2––20m m =，解方程求得m 的值，再求x 的值，检验后即可求得分式方程的解．【详解】（1）解：设x t =，则原方程可化为：220t t -=．解得：1202t t ==，．当0=t 时，0x =，∴0x =；当2t =时，2x =，∴2x =±．∴原方程的解是：1234022x x x x ====-，，；（2）解：设2x a =，则原方程可化为2–1090a a +=，即()()190a a --=，解得：1a =或9a =，当1a =时，21x =，∴1x =±；当9a =时，29x =，∴3x =±；∴原方程的解是：12341133x x x x ==-==-，，，；（3）解：设21x m x +=，则原方程可化为2–1m m=，整理得2––20m m =，∴()()120m m +-=，解得：1m =-或2m =，当1m =-时，211x x+=-，即210x x ++=，由141130D =-´´=-<知此时方程无解；当2m =时，212x x+=，即2210x x --=，解得：1x =或12x =-，经检验1x =和12x =-都是原分式方程的解．30．(1)1=1x -；2=2x ；31x =41x =(2)11x =-，21x =【分析】该题主要考查了换元思想解方程，一元二次方程的解答，分式方程的解答，解题的关键是运用换元法进行整体代换；（1）设2(0)2x t t x =¹+，将原方程化为2320t t -+=，解得2t =或1t =，再分别代入22x t x =+求解分式方程的解即可；（2()0t t =³，则有222x x t +=，将原方程化为：2450t t +-=，解得5t =-（舍）或1t =t =求解即可；【详解】（1）设2(0)2x t t x =¹+，\原方程化为23t t+=，\2320t t -+=，解得2t =或1t =，当1t =时，212x x =+，解得2x =或=1x -，经检验，=1x -或2x =是方程的解；当2t =时，222x x =+，解得1x =1x =-，经检验，1x =或1x =∴原方程的解为：1=1x -；2=2x ；31x =；41x =（2()0t t =³，则有222x x t +=，\原方程可化为：2450t t +-=，解得5t =-（舍）或1t =，1=，\2210x x +-=，解得11x =-或21x =-；经检验：11x =，21x =是原方程的解．31．4x =-【分析】本题主要考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤求解即可，注意解分式方程最后要验根，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．【详解】解：2216111x x x +-=--方程左右同乘以21x -、去分母得：()()()221116x x x ++--=，去括号得：2222116x x x x +++-+=，移项、合并同类项得：2340x x +-=，因式分解得：()()410x x +-=，∴40x +=或10x -=，解得：14x =-，21x =，检验：14x =-，则211150x -=¹，故是原分式方程的根，21x =，则2210x -=，故是原分式方程的增根，∴原分式方程的解为4x =-．32．12x =-，22x =-，31x =【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，能把解分式方程转化成解一元二次方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验．原方程化为211226x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，设1x a x +=，则原方程变形为2226a a +-=，求出a 的值，当4a =-时，方程为14x x+=-，求出方程的解，当2a =时，方程为12x x +=，求出方程的解，最后进行检验即可．【详解】解：原方程化为：211226x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，设1x a x+=，则原方程化为：2226a a +-=，即2280a a +-=，解得：4a =-或2a =，当4a =-时，14x x+=-，整理得：2410x x ++=，Q 24411120D =-´´=>，x \=解得：12x =-，22x =-；当2a =时，12x x +=，整理得：2210x x -+=，()210x -=，解得：1x =，经检验12x =-，22x =-，31x =都是原方程的解，所以原方程的解是12x =-22x =-，31x =．33．12x x ==【分析】方程两边同乘以()()33x x +-可得一个关于x 的一元二次方程，再利用直接开平方法解一元二次方程即可得．【详解】解：11133x x +=+-，方程两边同乘以()()33x x +-，得()()3333x x x x +--+=+，去括号，得2933x x x --+=+，移项、合并同类项，得215x =，直接开平方，得12x x ==经检验，12x x ==【点睛】本题考查了解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键，需注意的是，分式方程的解要进行检验．34．5x =【分析】根据分式方程的解法步骤求解即可．【详解】解：去分母，得()222181x x --=-，去括号，得2224281x x x -+-=-移项、合并同类项，得2450x x --=，解得11x =-，25x =，经检验，5x =是方程的解．【点睛】本题考查解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法步骤是解答的关键．35．=1x -【分析】方程两边同时乘以()24x -，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．【详解】解：241142x x +=--，方程两边同时乘以()24x -，得()2442x x +-=+，即220x x --=，()()210x x -+=，解得122,1x x ==-，检验：当2x =时，()24x -0=，当=1x -时，()240x -¹．∴=1x -是原方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键，注意要检验．36．x =4【分析】两边都乘以x 2-4化为整式方程求解，然后验根即可．【详解】解：224124x x x -=-+-，两边都乘以x 2-4，得2(x -2)-4x =-(x 2-4)，x 2-2x -8=0，(x +2)(x -4)=0，x 1=-2，x 2=4，检验：当x =-2时，x 2-4=0，当x =4时，x 2-4≠0，∴x =4是原分式方程的根．【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．37．x =3【分析】将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可．【详解】解：21211x x x -=++化为整式方程得()2211x x -+=，整理得2230x x --=，解得123,1x x ==-，检验：当x =3时，x +1¹0；当x =-1时，x +1=0，∴原分式方程的解是x =3．【点睛】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的法则及步骤是解题的关键．38．x 1＝56，x 2＝18【分析】观察可得最简公分母是12x （2x ﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：方程的两边同乘12x （2x ﹣1），得24x 2+5（2x ﹣1）＝36x （2x ﹣1），整理，得48x 2﹣46x +5＝0，即()()65810x x --=解得x 1＝56，x 2＝18，检验：当x ＝56或18时，x （2x ﹣1）≠0．即原方程的解为：x 1＝56，x 2＝18．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．39．83x =-【分析】将分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，注意分式方程的结果要进行检验．【详解】解：整理，得：1641(2)2xx x x +=--，去分母，得：216(2)4x x x +-=，221624x x x +-=，232160x x +-=，(2)(38)0x x -+=，解得：12x =，283x =-，检验：当2x =时，(2)0x x -=，2x \=不是原分式方程的解，当83x =-时，(2)0x x -¹，83x \=-是原分式方程的解，\分式方程的解为83x =-．【点睛】本题考查解分式方程，解一元二次方程，掌握解分式方程和因式分解法解一元二次方程的步骤是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验．40．2x =-【分析】先去分母化为整式方程求解，最后记得检验即可．【详解】解：原方程可化为()()2121111x x x x --=-+-去分母得()()()()211211x x x x -+-=+-，解得11x =，22x =-经检验11x =是增根，2x =-是原方程的解，\原方程的解为2x =-．故答案为2x =-．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握一般步骤是解题的关键，需要注意的是最后要记得检验是否为方程的根．。
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总费用/元 人数/人 每人费用/元
原 来 120
x
120
x
现 在 120
x+2
120
x+2
例1： 一组学生组织春游，预计共需费
用120元，后来又有2人参加进来，费用不
变，这样每人可少分摊 3元，问原来这组
学生的人数是多少？
解：设原来这组学生的人数为x人
120
x
120
x+2
中考中的分式应用题解析
复习:
列方程解应用题的一般步骤: 分析----找出等量关系 设元----用含字母的代数式表示相关的量 列方程（组） 解方程（组） 检验并作答
例1： 一组学生组织春游，预计共需费 用120元，后来又有2人参加进来，费用不 变，样每人可少分摊 3元，问原来这组 学生的人数是多少？
去分母，整理得x2-35x-750=0． 解得xl＝50，x2=-15． 经检验，xl＝50，x2＝-15都是原方程的根．
但x＝-15不合题意，舍去，所以只取x=50． 答：他第一次买小商品50件．
5.某文化用品商店出售一批规格相同的钢笔，如 果每支钢笔的价格增加1元，那么120元钱可以买到的钢笔数 量将会减少6支，求现在每支钢笔的价格是多少元？
（2）甲工厂单独加工完这批新产品所需的时间为：
960÷16=60（天）
所需要费用为：
80×60＋5×60＝5100（元）
乙工厂单独加工完这批新产品所需的时间为：
960÷24＝40（天）
所需要费用为：
120×40＋5×40＝5000（元）
设他们合作完成这批新产品所用的时间
为y天，于是
11 y( + )=1
（1）求甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新 产品。
（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个 厂家单独完成；也可以由两个厂家同时合作完成。 在加工过程中，公司需派一名工程师每天到厂进行 技术指导，并负担每天5元的误餐补助费。
请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方 案，并说明理由。
解：（1）设甲工厂每天能加工x件产品，则乙工厂每天能加
４.某顾客第一次在商店买若干件小商品花去5元，第二次再去 买该小商品时，发现每一打（12件）降价0.8元，他比第一次多买 了10件，这样，第二次共花去2元，且第二次买的小商品恰好成 打，问他第一次买的小商品是多少件？
解：设他第一次买的小商品为x件．根据题意，可列方程：
5 2 0.8
－
=
x x+10 12
60 40
解得：y=24（天）所需费用为：
(80+120) ×24 +5 × 24=4920（元）
因为甲乙两家工厂合作所用时间和钱数都最少，所以 选择甲乙两家工厂合作加工完这批新残品比较合适。
2.某校组织学生360名师生去参观某公园，如果租用甲 种客车客车刚好坐满；如果租用乙种客车可少用一 辆，且余40个空座位. (1)已知甲种客车比乙种客车少20个座位,求甲、乙两 种客车各有多少个座位。 （2）已知甲种客车的租金每辆400元，乙种客车的租 金每辆480元。这次参观同时租用这两种客车，其中甲 种客车比乙种客车少祖一辆，所用租金比单独租用任 何一种客车要节省， 按这种方案需用租金多少元？
（２）设公司安排装运甲、乙、丙各为x、y、z辆，最 大利润为A百元．依题意知：
X+y+z=20 2x+y+1.5z=36
∴ X=16-0.5z y=4-0.5z
∴A=10x+7y+6z=188-2.5z
X=16-2.5z≥1 又∵ y=4-2.5z≥1
z≥1
∴z的范围是：1≤z≤6的整数．
又∵z必被２整除 ∴z=2、4、6 经检验：当z=2时, A最大＝183, 这时x=15,y=3 答：安排装运甲种蔬菜辆15，乙种蔬菜辆3，丙种蔬菜2辆， 可使公司获得最大利润，最大利润是1.83万元．
3.下表所示为装运甲乙丙三种蔬菜的重量及利润， 某汽运公司计划装运甲乙丙三种蔬菜到外地销售(每 辆汽车按规定满载，并且每辆汽车只能装一种蔬菜)
甲 每辆汽车满载重量的吨数(吨) 2
每吨蔬菜可获利润(百元) 5
乙丙 1 1.5 74
⑴若用8辆汽车装运乙、丙种蔬菜11吨到A地销售， 问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆?
＝3
整理，得：x2-26x +25 = 0
经检解验这，个x1=方－程10，，得x：2x=18=都－是10原，方x程2=的8 根，
但x1=－10不合题意，应舍去，所以x =8
答：原来这组学生为8人
例2： 某品牌瓶装饮料每箱价格26元，
某商店对该瓶装饮料进行“买一送一”促
销活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶， 这相当于每瓶比原价便宜了0.6元，问该 品牌饮料一箱有多少瓶？
解：设甲种每辆客车有 x个座位，则乙种客车每
辆有(x+20)个座位，根据题意，可列方程：
360 360+40
－
=1
x
x+20
解得:x1=60,x2=-120.
经检验x1=60,x2=-120都是原方程的根. 但x2=-120不合题意舍去,只取x=60,这时x+20=80. 答:甲乙两种客车的作为分别有个个座位。
工(x+8)件产品。 根据题意，得：
96 0 96 0
=
+2 0
x
X+ 8
整理得:x2+8x-384=0, x1=16,x2=-24. 经检验:x1=16,x2=-24都是原方程的根。但是每天 能加工的产品数不能为负数，
所以x=-24舍去，只取X=16.当x=16时，x+8=24. 答：甲、乙两个工厂每天各能加工16件和24件新产品。
⑵公司计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜36 吨到B地销售(每种蔬菜不少于1车)如何安排装运，可 使公司获得最大利润?最大利润是多少?
解:（１）设用x辆汽车装运乙种蔬菜，则用(8-x)辆汽 车装运丙种蔬菜，则: x+1.5(8-x)=11
解得x=2,这时8-x=6
答：装运乙种蔬菜２辆，装运丙种蔬菜６辆．
解：设该品牌饮料一箱有y瓶
总费用/元 瓶数/瓶 每瓶费用/元
原 来 26 现 在 26
y
26
y
y＋3
26
y＋3
1.“丽园”开发公司生产的960件 新产品，需要精加工后，才能投放市场。现有甲、 乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加 工完这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20 天，而乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，公司 需付甲工厂加工费用每天80元，乙工厂加工费用每 天120元。