含绝对值的函数的图像
绝对值函数图像的画法
For personal use only in study and research; not for commercial useFor personal use only in study and research; not for commercial use首先要从简单的绝对值函数画起。
2-=x y ：是一条以()0,2为拐点的折线。
或者可以理解为将直线2-=x y 在x 轴下面的部分沿x 轴翻折上去然后再着手于复杂的图像的画法。
221121-++=x x y ，先单独画出两个绝对值的图像，再合到一起。
（叠加后直线的斜率不同） 其中-2和4由两个绝对值为零算的，3为由x=-2和x=4算得的y 值。
最后，最复杂的二次函数中的绝对值的画法。
122--=x x y ，很显然绝对值是将x 变成正数，由前面的图像可知a x y -=的图像总会关于a x =轴对称，故x y 21-=关于y 轴对称，又122-=x y 也关于y 轴对称，所以图像合并起来就容易多了。
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
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x-y的绝对值等于零的图像
x-y的绝对值等于零的图像y等于x绝对值的函数图像如下图：y=|x|是分段函数。
x≥0时 y=x。
x《0时 y=-x。
图像是一二象限的角平分线。
扩展资料：绝对值函数的定义域是一切实数，值域是一切非负数。
在计算机语言或计算器中，绝对值函数常记作abs(x) 。
（1）绝对值函数是偶函数，其图形关于y轴对称。
（3）绝对值函数仅在原点不可微，其他点处可微。
（4）与符号函数的关系：∣x∣=sgn(x)·x 或 x=sgn(x)·∣x ∣。
参考资料：百度百科---绝对值函数带有绝对值的函数图像怎么画最根本的方法就是找绝对值的零点，然后消去绝对值，分段画图像。
最简单的比如y=|x|，显然，绝对值内的零点是x=0，那么你就分两段来讨论，x≤0和x＞0，可得x≤0时的图像是y=-x，x＞0时的图像为y=x，是个V字形。
复杂一点的比如y=|(x-1)(x+5)|+|(x-3)(x+4)|可以看到，这里要去除的绝对值符号有两个，因此需要同时判断两个绝对值符号内代数式的正负。
首先还是找零点，两个绝对值的零点共有四个，分别是x=-5,x=-4,x=1和x=3，那么你就需要将整个数轴分成5段来考虑，分别是(-∞,-5)、(-5,-4)、(-4,1)、(1,3)和(3,+∞)，分界点带进去算，是多少就是多少，分段考虑每个绝对值符号内代数式的正负。
比如(-4,1)这个区间，(x-1)(x+5)《0的区间是-5到1，因此，-4到1这个区间内，(x-1)(x+5)《0成立，而(x-3)(x+4)＜0可得-4到3，因此，-4到1区间内，(x-3)(x+4)也是小于0的，因此就消去了绝对值符号可得在该区间内的函数表达式为y = -(x-1)(x+5)-(x-3)(x+4) = -2x²-5x+17原来的绝对值函数在-4到1这个区间内的就是函数y = -2x²-5x+17在该区间内的一段。
高考数学微专题4 分段函数(含有绝对值的函数)的图象与性质 课件
实数 m 的最小值为( )
27 A. 8
29 B. 8
13 C. 4
15 D. 4
【思路分析】 根据已知计算出 f(x)＝21n[1－|2x－(2n＋1)|]≤21n，画出
图象，计算 f(x)＝332，解得 x＝289，从而求出实数 m 的最小值．
内容索引
【解析】 由题意，得当 x∈[1,2)时，f(x)＝12×f(x－1)＝12(1－|2x－3|)； 当 x∈[2,3)时，f(x)＝12f(x－1)＝14(1－|2x－5|)；…，可得在区间[n，n＋1)(n ∈Z)上，f(x)＝21n[1－|2x－(2n＋1)|]≤21n，所以当 n≥4 时，f(x)≤332.作出函 数 y＝f(x)的图象，如图所示，当 x∈72，4时，由 f(x)＝18(1－|2x－7|)＝332， 解得 x＝289，则 m≥289，所以实数 m 的最小值为289.
【答案】 ABD
1234
内容索引
－x2＋2， x≤1， 3. (2022 浙江卷)已知函数 f(x)＝x＋1x－1， x>1，
则 ff12＝
________；若当 x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则 b－a 的最大值是________.
1234
内容索引
【解析】 f12＝－122＋2＝74，f74＝74＋47－1＝3278，所以 ff12＝3278.当 x≤1 时，由 1≤f(x)≤3，得 1≤－x2＋2≤3，所以－1≤x≤1；当 x>1 时， 由 1≤f(x)≤3 可得 1≤x＋1x－1≤3，所以 1<x≤2＋ 3.综上，由 1≤f(x)≤3， 得－1≤x≤2＋ 3，所以[a，b]⊆[－1,2＋ 3]，所以 b－a 的最大值为 3＋
内容索引
含绝对值的函数
含绝对值的函数知识定位灵活的掌握含有绝对值的函数，主要包括图像画法、函数解析式、与分段函数之间的联系。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中与二次函数相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用知识梳理1、用“三点定形法”画单绝对值函数)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象：)0()(≠+-=a k h x a x f 与)0()()(2≠+-=a k h x a x g 的图象类似，它们的顶点都是（k h ,），开口方向相同，对称轴相同，单调区间相同。
所不同的是前者的图象是折线，在对称轴两侧是两条射线，而后者的图象是抛物线，在对称轴两侧是两条曲线。
所以可用三点定其型。
三点中，顶点（k h ,）必取，然后在其两侧任意各取一点，分别以顶点为端点，过另一点作出射线，即得)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象。
2.用“两点定形法”作双绝对值差式函数b x a x x f ---=)(的图象（1）当a<b 时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+<-=---=)()(2)()(b x a b b x a ba x a x ba b x a x x f ，可见其图象是由两端为两条平行的射线，中间为连接两射线的端点构成的图形，而图象总是在两个绝对值代数式的零点处转折。
（2）当a>b 时同理。
据此，可以点))(,()),(,(b f b a f a 确定函数b x a x x f ---=)(的图象3.用“多点定形法”作多绝对值函数)()(212211i i i a a a a x m a x m a x m x f <<<-++-+-= 的图象因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+++-++++<≤+++-+---+<++++----=)()()()()()()()()()(221121212211211221121i i i i i i i i i i a x a m a m a m x m m m a x a a m a m a m x m m m a x a m a m a m x m m m x f可知其图象是由i 个顶点i A A A 21、、、 决定的折线图，各顶点横坐标由各绝对值代数式的零点决定，中间由1-i 条顺次连接相邻两点的线段组成，两端为两条射线。
常用函数图像
函数图形基本初等函数幂函数（1)幂函数（2)幂函数（3)指数函数（1）指数函数（2）指数函数（3）对数函数（1）对数函数（2）三角函数（1）三角函数（2）三角函数（3）三角函数（4）三角函数（5）反三角函数（1）反三角函数（2）反三角函数（3）反三角函数（4）反三角函数（5）反三角函数（6）反三角函数（7）反三角函数（8）双曲函数（1）双曲函数（2）双曲函数（3）双曲函数（4）双曲函数（5）双曲函数（6）双曲函数（7）反双曲函数（1）反双曲函数（2）反双曲函数（3）反双曲函数（4）反双曲函数（5）反双曲函数（6）y=sin(1/x) (1)y=sin(1/x) (2)y=sin(1/x) (3)y=sin(1/x) (4)y = [1/x](1)y = [1/x](2)y=21/xy=21/x (2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x)y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数y = |x| 符号函数y = sgnx 取整函数y= [x]极限的几何解释(1) 极限的几何解释(2)极限的几何解释(3)极限的性质(1) (局部保号性)极限的性质(2) (局部保号性) 极限的性质(3) (不等式性质) 极限的性质(4) (局部有界性) 极限的性质(5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1)lim(1+1/x)^x 的一般形式(2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(3)e的值(1)等价无穷小(x->0)sinx等价于xarcsinx等价于x tanx等价于x arctanx等价于x1-cosx等价于x^2/2sinx等价于x数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞) 夹逼定理(1)夹逼定理(2)数列的夹逼性(1) 数列的夹逼性(2) pi 是派的意思(如果你没有切换到公式版本)^是次方的意思,$是公式的标记符,切换到公式版(安装mathplayer)就看不到$了文案编辑词条B 添加义项?文案，原指放书的桌子，后来指在桌子上写字的人。
衔接点05 含绝对值函数的图象(解析版)
衔接点05 含绝对值函数的图象【基础内容与方法】1.绝对值在自变量上，则去掉函数y 轴左边的图像，再把y 轴右边的图像沿y 轴翻折得到新的图像；2.绝对值在函数解析式上，把x 轴下方的图像沿x 轴翻折得到新的图像；3.同时，函数图像也遵循平移的原则. 类型一：含绝对值的一次函数1．已知函数+2y k x b =+的图象经过点（2-，4）和（6-，2-），完成下面问题： （1）求函数+2y k x b =+的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质； （3）已知函数1+12y x =的图象如图所示，结合你所画出+2y k x b =+的图象，直接写出1+2+12k x b x +＞的解集．【答案】（1）3242y x =-++；（2）当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少；（3）60x -<<．（1）根据在函数+2y k x b =+中，把点（2-，4）和（6-，2-）代入，可以求得该函数的表达式； （2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象，根据函数图像增减性几块得出结论； （3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集． 解：（1）根据题意，得4622=⎧⎨⋅-++=-⎩b k b解方程组，得324⎧=-⎪⎨⎪=⎩k b所求函数表达式为3242y x =-++． （2）列表如下：描点并连线,函数的图象如图所示， 由图像可知，3242y x =-++性质为：当2x <-时，y 随x 增大而增大；当2x >-时，y 随x 增大而减少．（3）由图象可知：1+2+12k x b x+＞的解集是：60x-<<．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．类型二：含绝对值的二次函数（一）绝对值在自变量上2．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中，m＝．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①方程﹣x2+2|x|+1＝0有个实数根；②关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，a的取值范围是．【答案】（1）1；（2）详见解析；（3）①函数的最大值是2，没有最小值；②当x＞1时，y随x的增大而减小；（4）①2；②1＜a＜2．【解析】（1）根据对称可得m=1；（2）画出图形；（3）①写函数的最大值和最小值问题；②确定一个范围写增减性问题；（4）①当y=0时，与x轴的交点有两个，则有2个实数根；②当y=a时，有4个实根，就是有4个交点，确定其a的值即可．解：（1）由表格可知：图象的对称轴是y轴，∴m＝1，故答案为：1；（2）如图所示；（3）性质：①函数的最大值是2，没有最小值； ②当x ＞1时，y 随x 的增大而减小； （4）①由图象得：抛物线与x 轴有两个交点 ∴方程﹣x 2+2|x |+1＝0有2个实数根； 故答案为2；②由图象可知：﹣x 2+2|x |+1＝a 有4个实数根时，即y ＝a 时，与图象有4个交点，所以a 的取值范围是：1＜a ＜2． 故答案为1＜a ＜2．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，结合图像作答是解题的关键． 3．写出函数12)(2+-=x xx f 在什么范围内，y 随x 的增大而增大，. y 随x 的增大而减小？【答案】()f x 的单调递增区间是(1,0]-和(1,)+∞，单调递减区间是(,1]-∞-和(0,1]【解析】由题意转化条件为2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨++<⎩，作出函数图象，数形结合即可得解.由题意2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨++<⎩，其图象如图所示：由该函数的图象可得函数2()2||1f x x x =-+的单调递增区间是(1,0]-和(1,)+∞，单调递减区间是(,1]-∞-和(0,1].【点睛】本题考查了分段函数单调区间的确定，考查了二次函数图象与性质及数形结合思想的应用，属于基础题.（二）绝对值在解析式上 4．探究函数22y x x=-的图象与性质.(1)下表是y 与x 的几组对应值.其中m 的值为_______________；(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并已画出了函数图象的一部分，请你画出该图象的另一部分；(3)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：_____________________________；(4)若关于x 的方程220x x t --=有2个实数根，则t 的取值范围是___________________. 【答案】(1)3；(2)见解析；(3)图象关于直线x=1轴对称.（答案不唯一）；(4)t ＞1或t=0.【解析】（1）把x =3代入解析式计算即可得出m 的值；（2）画出图象即可；（3）根据图象得出性质；（4）观察图象即可得出结论．解：（1）当x =3时，y =2323-⨯=3，∴m =3； （2）如图所示：（3）图象关于直线x =1轴对称．（答案不唯一）（4）观察图象可知：当t ＞1或t =0时，关于x 的方程220x x t --=有2个实数根． 【点睛】本题考查了函数的图象及性质．解题的关键是画出图象． 5．某班数学兴趣小组对函数6||y x =的图象和性质将进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x 的取值范围是除0外的全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：其中，m =_________．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出一条函数性质． （4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴交点情况是________，所以对应方程60||x =的实数根的情况是________． ②方程62||x =有_______个实效根； ③关于x 的方程6||a x =有2个实数根，a 的取值范围是________． 【答案】（1）3；（2）见解析；（3）在第一象限内，y 随着x 的增大而减小；（4）①无交点，无实数根；②2；③0a >．【解析】（1）把x=-2代入6||yx=求得y的值，即可得出m的值；（2）根据表格提供的数据描点，连线即可得到函数6||yx=的另一部分图象；（3）观察图象，总结出函数的性质即可；（4）①由于x的值不能为0，故函数值也不能为0，从而可得出函数图象与x轴无交点，因而6||x=无实数根；解：（1）把m=-2代入6||yx=得，63|2|y==-，所以，m=3，故答案为：3（2）如图所示:（3）观察图象可得，在第一象限内，y随着x的增大而减小；（答案不唯一）（4）①∵0x≠，∴y≠0∴函数图象与x轴无交点，∴6||x=无实数根；故答案为：无交点；无实数根；②求方程62||x=的根的个数，可以看成函数6||yx=与直线y=2的交点个数，如图，函数6||yx=与直线y=2有两个交点，故方程62||x=有2个实数根，故答案为：2；③由②的图象可以得出，关于x的方程6||ax=有2个实数根，a的取值范围是0a＞，故答案为：0a＞．【点睛】本题考查的是反比例函数，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数的性质及函数特征．6．在学习函数时，我们经历了“确定函数的表达式利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题“的学习过程，在画函数图象时，我们通过列表、描点、连线的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习过绝对值的意义(0(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩）．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题： 在函数y=|kx -1|+b 中，当x=0时，y=-2；当x=1时，y=-3． (1)求这个函数的表达式；(2)在给出的平面直角坐标系中，请直接画出此函数的图象并写出这个函数的两条性质； (3)在图中作出函数y=3x -的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx -1|+b≤3x-的解集． 【答案】（1）y=|x -1|-3．（2）图象见解析．性质：图象关于直线x=1对称，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，函数的最小值为-3． ；（3）1≤x≤3或-3≤x<0．【解析】（1）根据在函数y ＝|kx−1|＋b 中，当x=0时，y=-2；当x=1时，y=-3，可以求得该函数的表达式； （2）由题意根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象； （3）由题意直接根据图象可以直接写出所求不等式的解集． 解：（1）在函数y=|kx -1|+b 中，当x=0时，y=-2；当x=1时，y=-3∴2131b k b -=+⎧⎨-=-+⎩，解得：31b k =-⎧⎨=⎩，即函数解析式为：y=|x -1|-3．（2）图象如下：图象关于直线x=1对称，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，函数的最小值为-3． （3）图象如下，观察图像可得不等式|kx -1|+b≤3x-的解集为：1≤x≤3或-3≤x<0． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．7．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数⎪⎩⎪⎨⎧>--≤=)1(1)1(2x x x x y 的图象与性质．列表：描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图所示．（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象； （2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题： ① 点()15,A y -，27,2B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，15,2C x ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,6D x 在函数图象上，1y 2y ，1x 2x ；（填“＞”，“＝”或“＜”）② 当函数值2y =时，求自变量x 的值；③ 在直线1x =-的右侧的函数图象上有两个不同的点()33,P x y ，()44,Q x y ，且34y y =，求34x x +的值；④ 若直线y a =与函数图象有三个不同的交点，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）①<，<；②3x =或1x =-；③342x x +=；④0<<2a . 【解析】 【分析】(1)描点连线即可；(2)①观察函数图象，结合已知条件即可求得答案； ②把y=2代入y=|x -1|进行求解即可；③由图可知1x 3-时，点关于x=1对称，利用轴对称的性质进行求解即可； ④观察图象即可得答案. 【详解】 (1)如图所示： (2)①()1A 5,y -，27B ,y 2⎛⎫- ⎪⎝⎭， A 与B 在1y x=-上，y 随x 的增大而增大，12y y ∴<；15C x ,2⎛⎫⎪⎝⎭，()2D x ,6， C 与D 在y=|x 1|-上，观察图象可得12x <x ， 故答案为<，<； ②当y 2=时，12x =-，1x 2∴=-(不符合)， 当y 2=时，2x 1=-，x 3∴=或x 1=-； ③()33P x ,y ，()44Q x ,y 在x=1-的右侧，1x 3∴-时，点关于x=1对称，34y y =， 34x x 2∴+=；④由图象可知，0<a<2.【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；能够通过描点准确的画出函数图象是解题的关键．。
【高中数学】绝对值函数的图像
1.一个绝对值函数图像（“V ”函数）y m a x =-
2.二个绝对值函数()()f x a x m b x n m n =-+-< 其它可以化为这种形式 写成分段形式()()()(),,,a b x am bn x n f x a b x am bn m a b x am bn x x n m +-->⎧⎪=--+⎨⎪-+++<⎩
从图中可以得到一些有用的结论：
当0a b +=时，()f x 有最大值和最小值
当0a b +>时，()f x 有最小值
当0a b +<时，()f x 有最大值
都在分界点取最值！
分三大类0,0,0a b a b a b +=+>+<共8个图
①当0a b +=时有两种情形
【高中数学】绝对值函数的图像
a b+>时有三种情形
②当0
a b+<时有三种情形
③当0
注：对于三个以上的绝对值函数图像，用同样的方法可以得到。
（高考很难见到！）三个以上绝对值配合图像求最值：奇尖偶平，取中间。
绝对值函数图象与绝对值不等式
• 形式不便于统一，几何意义不明显
厦门一中衔接课程
➢一、绝对值的概念：
4．简单应用——绝对值方程的解法：
• 数形结合
厦门一中衔接课程
➢一、绝对值的概念：
4．简单应用——绝对值方程的解法：
• 数形结合，分类讨论
厦门一中衔接课程
➢二、绝对值函数的图象：
• 函数图象的作用：把解方程、解不等式问题转化为函数图象的公共点问题
（ⅲ） x a x b c(c 0) 的解法：零点分段法
求出使得每个绝对值符号内的表达式等于零的未知数的值（称为零点）， 将零点依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间， 讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号， 转化为不含绝对值的不等式去解．
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y
当 a 0 时，把 y x 的图象左移 a 个单位．
O1
x
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➢二、绝对值函数的图象：
• 2.简单应用——绝对值函数图象的作法： • 思考：（1）如何确定每个绝对值内的符号？
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探索：不等式|x|<1的解集。 主要方法有:
方法一: 利用绝对值的几何意义观察； 方法二: 利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论; 方法三: 两边同时平方去掉绝对值符号; 方法四: 利用函数图象观察.
这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路.
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方法一：绝对值的几何意义 |x|<1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合.
所以-1<x<1
-1
0
1
方法二:绝对值的定义，分类讨论
①当x≥0时，原不等式可化为x＜1 ∴ 0≤x＜1
②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1
中考数学模拟试题函数的绝对值与符号
中考数学模拟试题函数的绝对值与符号函数的绝对值与符号在中考数学中，函数是一个重要的概念，而绝对值函数则是函数中的一个特殊形式。
绝对值函数的图像是一条"V"形曲线，它有很多实际应用。
本文将探讨函数的绝对值与符号的相关内容，从而帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、绝对值函数的定义绝对值函数是一个以0为对称轴的折线函数，定义如下：当x≥0时，f(x) = x当x<0时，f(x) = -x二、绝对值函数的图像与性质1. 图像：绝对值函数的图像是一条"V"形曲线，开口向上。
2. 性质：（1）非负性：对于任意实数x，有|f(x)| ≥ 0。
（2）对称性：若a为任意实数，则f(a) = f(-a)。
（3）单调性：在x＞0的区间上，f(x)为递增函数；在x＜0的区间上，f(x)为递减函数。
（4）极值点：绝对值函数的极值点发生在x=0处。
三、绝对值函数与符号的关系1. 正数的绝对值：若x＞0，则|f(x)| = x，即正数的绝对值等于其本身。
2. 负数的绝对值：若x＜0，则|f(x)| = -x，即负数的绝对值等于其相反数。
3. 非负数的符号：若f(x) ≥ 0，则x ≥ 0，即非负数的符号与其本身一致。
4. 负数的符号：若f(x) < 0，则x < 0，即负数的符号与其相反数一致。
四、绝对值函数的应用举例1. 距离计算：绝对值函数可以用于计算两个点在坐标轴上的距离。
例如，点A的坐标为a，点B的坐标为b，则点A和点B之间的距离为|a-b|。
2. 温度计算：绝对值函数可以用于计算摄氏度和华氏度之间的转换。
例如，将摄氏度C转换为华氏度F的公式为F = 9/5 * C + 32，将华氏度F转换为摄氏度C的公式为C = 5/9 * (F - 32)。
在转换过程中，需要使用绝对值函数来确保转换后的温度是非负的。
3. 判断奇偶性：绝对值函数可以用于判断一个整数的奇偶性。
26.7 含绝对值符号的函数+雷刚
第五节 含绝对值符号的函数26.7 含绝对值符号的函数1.形如)(x f y =的函数试一试 如何作出函数21+=x y 的图像？ 根据绝对值的定义，函数21+=x y 可以表示为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-≥+=021021x x x x y ，， （1）作当x ≥0时，21+=x y 的图像，即图26.7.1中的射线AC ； （2）作当x >0时，21+-=x y 的图像，即图26.7.1的射线AB ； （3）图26.7.1中的折线BAC 即为函数21+=x y 的图像。
由上面我们可以看出，对于函数)(x f y =，当自变量x 取值互为相反数时，所得到的函数值相等，即)()(x f x f -=，因此函数)(x f =图像就是函数)(x f y =（x ≥0）的图像与)0)((<-=x x f y 的图像的全部，并且函数)(x f 的图像关于y 轴对称。
例1 作函数3412--=x x y 的图像解 因为222x x x ==，所以3412--=x x y 是)(x f y =类型的函数 （1）作出当x ≥0时，3412--=x x y 的图像，这是一个开口向上的抛物线在y 轴右边的部分。
由03412=--x x 可以得知，抛物线与x 轴的交点为（2-，0）和（6，0），与y 轴的交点为（0，－3）.抛物线的顶点坐标为（2，－4），如图26.7.2所示，曲线ABC 就是当x ≥0时，3412--=x x y 的图像； （2）以y 轴为对称轴，作曲线ABC 的对称图形''C AB ；（3）图中的曲线ABC B C ''即为3412--=x x y 的图像由此，我们可以发现： 画函数)(x f y =的图像的一般步骤：①先作出)0)((>=x x f y 的图像；②将)0)((>=x x f y 的图像沿y 轴翻折到y 轴左侧，就得到了函数)(x f y =的图像例2 已知方程1+=ax x ，有一个负根且无一正根，求a 的取值范围分析 可以把等号两边的式子看作是函数，从函数图像入手比较直观地解决问题 解 原方程即ax x =-1，如图26.7.3，在同一坐标系作函数1-=x y 与ax y =的图像 1-=x y 是尖点（0，－1）的“V ”字形折线，而ax y =是过原点斜率为a 的直线，如图虚线OA 是ax y =的一个极根位置，y 轴是它的另一根限位置，易见当1≥a （即直线OA 的向上的方向与x 轴正方向的夹角不小于︒45）时，OA 与1-=x y 的图像交点位于第三 象限，即方程ax x =-1有一个负根且没有正根。
分析绝对值函数的特点与图像
分析绝对值函数的特点与图像绝对值函数是数学中一类常见的函数，它具有独特的特点和图像。
本文将从多个角度对绝对值函数进行分析，探讨其特点和图像的相关性。
绝对值函数的定义如下：\[ f(x) = |x| = \left\{\begin{array}{ll}x, & \mbox{if } x \geq 0 \\-x, & \mbox{if } x < 0\end{array}\right.\]从定义可以看出，绝对值函数的特点之一是其自变量的值是非负数和负数的情况下的函数值的综合。
下面将分别从函数的解析表达式、特点和图像等方面对绝对值函数进行分析。
1. 解析表达式绝对值函数的解析表达式随着自变量的正负而变化，可以用分段函数的形式表示。
当自变量x大于等于零时，函数值等于x；当自变量x 小于0时，函数值等于-x。
这种定义方式使得绝对值函数具备了两段具有不同特性的解析表达式，进一步反映了绝对值函数的特点。
2. 特点（1）非负性特点：绝对值函数的函数值永远大于等于0，即对于任意的x，有f(x) ≥ 0。
这是由于绝对值函数的定义决定的。
（2）对称性特点：绝对值函数关于y轴对称，即f(-x) = f(x)，这可以从绝对值函数的定义中直接得出。
（3）间断性特点：绝对值函数在x = 0处不连续，形成一个特殊的间断点，即左极限和右极限不相等。
因为当x大于0时，函数值是x；而当x小于0时，函数值是-x，使得在x = 0处函数的值发生跳变。
3. 图像绝对值函数的图像是一条以原点(0,0)为顶点，向右打开的V型曲线。
具体地说，当x大于0时，图像上的点位于直线y = x上；当x小于0时，图像上的点位于直线y = -x上。
这样，整体来看，绝对值函数的图像就是由两条直线组成的。
绝对值函数的图像特点可以通过以下几个方面进行进一步分析和理解：（1）切线特点：绝对值函数的图像在x = 0处的切线斜率为0，即在该点处切线是水平的。
绝对值的十一种常见问题
绝对值的十一种常见问题绝对值是数学中常见且重要的概念，而在使用绝对值时，有一些常见问题需要注意。
以下是绝对值的十一种常见问题及其解答：1. 什么是绝对值？绝对值是一个数与零之间的距离。
绝对值表示一个数的大小，但忽略了它的正负。
2. 如何计算一个数的绝对值？一个数的绝对值可以通过取该数的绝对值函数来计算。
绝对值函数表示为|a|，其中a是一个数。
3. 绝对值函数的图像是什么样子的？绝对值函数的图像呈现V形，开口向上或向下。
图像关于y轴对称，过原点。
4. 绝对值可以为负数吗？不可以，绝对值总是非负的。
无论输入是正数、负数，或零，绝对值的结果都不会是负数。
5. 绝对值可以为零吗？是的，绝对值可以是零。
当输入为零时，绝对值的结果也是零。
6. 如何解决含有绝对值的方程或不等式？含有绝对值的方程或不等式可以分情况讨论来解决。
根据绝对值的定义，将绝对值分开，并根据绝对值的正负情况得出不同的解。
7. 绝对值有哪些常见的性质？- |a| ≥ 0，即绝对值总是非负的。
- |a| = 0 当且仅当a = 0。
- |ab| = |a| |b|，即绝对值的乘积等于各个数的绝对值的乘积。
- |a/b| = |a| / |b|，即绝对值的除法等于被除数和除数的绝对值的除法。
8. 如何求解包含多个绝对值的复杂方程？对于包含多个绝对值的复杂方程，可以将绝对值分情况讨论，并使用不等式或方程来解决每种情况。
9. 绝对值可以用于求解哪些实际问题？绝对值可以用于求解诸如距离、温度变化、利润等实际问题。
它提供了一种对数值的无偏估计。
10. 绝对值存在什么常见误区？一个常见的误区是错误地认为|a + b| = |a| + |b|。
实际上，只有当a和b同时具有相同的符号时，该等式才成立。
11. 绝对值可以应用于复数吗？绝对值可以应用于复数。
对于复数a + bi，其绝对值定义为√(a^2 + b^2)。
希望这份文档能帮助你对绝对值的理解更加深入。
绝对值函数图像的画法
首先要从简单的绝对值函数画起。
2x y ：是一条以0,2为拐点的折线。
或者可以理解为将直线
2x y 在x 轴下面的部分沿x 轴翻折上去然后再着手于复杂的图像的画法。
221
121
x x y ，先单独画出两个绝对值的图像，再合到一起。
（叠加后直线的斜率不同）
其中-2和4由两个绝对值为零算的，3为由x=-2和x=4算得的y 值。
最后，最复杂的二次函数中的绝对值的画法。
122x x y
，很显然绝对值是将x 变成正数，由前面的图像可知a x y 的图像总会关于a x 轴对称，故x y 21关于y 轴对称，又122x y 也关于y 轴对称，所以图像合并起来就容易多了。
初二数学绝对值函数知识点详解
初二数学绝对值函数知识点详解绝对值函数是初中数学中常见的一种函数类型，也是大家较早接触到的函数之一。
它在图像上以V形展现，更好地帮助我们理解和应用数学知识。
本文将详细探讨初二数学中的绝对值函数及其应用。
一、绝对值函数定义及性质绝对值函数是一个以自变量x为输入，返回其绝对值| x |为输出的函数。
其数学定义如下：f(x) = | x |绝对值函数的图像为一条从原点出发的V形曲线，关于y轴对称。
它的性质如下：1. f(x) ≥ 0，即绝对值函数的输出值永远大于等于零；2. 当x > 0时，f(x) = x，即在正数区间上，绝对值函数的输出等于自变量的值；3. 当x < 0时，f(x) = -x，即在负数区间上，绝对值函数的输出等于自变量的绝对值的相反数。
二、绝对值函数的图像与性质绝对值函数的图像是一条以原点为顶点的V形曲线。
在图像上，我们可以观察到以下性质：1. 绝对值函数的对称轴为y轴，即图像关于y轴对称；2. 当x > 0时，函数图像为一条直线，斜率为1，倾斜向上；3. 当x < 0时，函数图像为一条直线，斜率为-1，倾斜向下；4. 当x = 0时，函数图像通过原点(0,0)。
三、绝对值函数的运算性质绝对值函数具有一些独特的运算性质，我们来逐一了解：1. | a | = | -a |，即任意实数a的绝对值与其相反数的绝对值相等；2. | a · b | = | a | · | b |，即两个实数的乘积的绝对值等于它们的绝对值的乘积；3. | a ± b | ≤ | a | ± | b |，即两个实数的和或差的绝对值小于等于它们的绝对值之和或差值；4. | a + b | ≥ | a | - | b |，即两个实数的和的绝对值大于等于它们的绝对值之差；5. | 1 | = 1，即任意实数1的绝对值等于1。
四、绝对值函数的应用绝对值函数在实际问题中有许多应用，我们举两个例子来说明：1. 温度变化问题：假设某地初始温度为10摄氏度，随着时间的推移，温度每小时上升2摄氏度。
绝对值函数图像的画法
起首要从简略的绝对值函数画起.
2-=x y ：是一条认为()0,2拐点的折线.
或者可以懂得为将直线2-=x y 在x 轴下面的部分沿x 轴翻折上去 然后再着手于庞杂的图像的画法.
221121-++=x x y ,先单独画出两个绝对值的图像,再合到一路.（叠加后直线的斜率不合）
个中-2和4由两个绝对值为零算的,3为由x=-2和x=4算得的y 值. 最后,最庞杂的二次函数中的绝对值的画法.
122--=x x y ,很显然绝对值是将x 变成正数,由前面的图像可知a x y -=的图像总会关于a x =轴对称,故x y 21-=关于y 轴对称,又122-=x y 也关于y 轴对称,所以图像归并起来就轻易多了.。
高考数学基础知识综合复习专题1含绝对值的函数课件
答案 [-1,
2+1
]
2
的取值范围是
.
解析 因为|bx-a|≤b-ax2,且 b>0,所以丨 x- 丨≤1- x2.令 t= ,则原不等
式为|x-t|≤1-tx2,即 tx2-1≤x-t≤1-tx2,
+1
1
且
t≥,
2 +1
+1
2+1
t∈[-1,
].
(ⅲ)当a>1时,因为x∈[-1,1],
1
2
1
4
所以 f(x)=|x2-a|+|a2-x|=a-x2+a2-x=-(x+ )2+a2+a+ ,
1
1
2
此时 M=f(- )=a +a+ ,
2
4
1
3
2 + + ≤ 4,
4
由
得 1<a≤ .
2
> 1,
3
2
综上所述,a 的取值范围为[-1, ].
5.(2020年1月浙江学考)设a,b∈R,函数f(x)=ax2+bx-3,g(x)=|x-a|,
.
答案 2+2 3
解析 因为函数f(x)=|x2+ax-2|-6在[2,b]上恰有两个零点,则必在x=2
与x=b时恰好取到零点的边界.
若x=2,f(x)的零点满足f(2)=|22+2a-2|-6=0,解得a=2或a=-4.
当a=2时,f(x)=|x2+2x-2|-6,满足f(x)在[2,b]上恰好有两个零点,则
高二下第8讲 函数遇上绝对值
高二下第8讲 绝对值函数题型一、含绝对值函数的最值，单调性，对称性1、含一个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）()||f x x =的图像是以原点为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点处取得最小值“(0)0f =”，无最大值；在函数(,0],[0,)x ∈−∞↓+∞↑；对称轴为：0x = （2）()||(0)f x kx b k =+≠图像是以(,0)bk−为顶点的“V ”字形图像；在顶点取得最小值：“()0b f k −=”，无最大值；函数在(,],[,)b b x k k ∈−∞−↓−+∞↑；对称轴为：b x k=−（3）函数()||(0)f x k x b k =+≠：0k >时，函数是以(,0)b −为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点取得最小值：“()0f b −=”，无最大值；函数在(,],[,)x b b ∈−∞−↓−+∞↑；对称轴为：x b =−0k <时，是以(,0)b −为顶点的倒“V ”字形图像，函数在顶点取得最大值：“()0f b −=”，无最小值；函数在(,],[,)x b b ∈−∞−↑−+∞↓；对称轴为：x b =− 习题1、已知函数()||f x a x b =−在(,1)x ∈−∞↑，求实数,a b 的范围。
2、若函数()2f x a x b =−+在[0,+∞)上为增函数,则实数a 、b 的取值范围是 。
3、（2012届高三一模黄浦区文14） 已知函数()y f x =是R 上的偶函数，当0x ≥时，有2||(),2()sin (0);2x x f x x x ππππ⎧−>⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩关于x 的方程()()f x m m R =∈有且仅有四个不同的实数根，若α是四个根中的最大根，则sin()3πα+= ．1544、函数与D ）A 、 B 、、 D 、5、（2010理）若实数x 、y 、m 满足|x −m |﹥|y −m |，则称x 比y 远离m ． (1) 若x 2−1比1远离0，求x 的取值范围；(2) 对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：a 3+b 3比a 2b +ab 2远离2； (3) 已知函数f (x )的定义域{|,,}24k D x x k Z x R ππ=≠+∈∈．任取x ∈D ，f (x )等于sin x 和cos x 中远离0的那个值．写出函数f (x )的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明） 解析：(1) (,( 2.)x ∈−∞+∞；(2) 对任意两个不相等的正数a 、b ，有332a b +>222a b ab +>33222|2|2()()0a b a b ab a b a b +−−+−=+−>，所以3322|2|2a b a b ab +−>+−，即a 3+b 3比a 2b +ab 2远离2；(3) 3sin ,(,)44()cos ,(,)44x x k k f x x x k k ππππππππ⎧∈++⎪⎪=⎨⎪∈−+⎪⎩，性质：1︒f (x )是偶函数，图像关于y 轴对称，2︒f (x )是周期函数，最小正周期2T π=，3︒函数f (x )在区间(,]242k k πππ−单调递增，在区间[,)224k k πππ+单调递减，k ∈Z ， 4︒函数f (x )的值域为(2．2、含两个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性（1）函数()||||()f x x m x n m n =−+−<的图像是以点(,),(,)A m n m B n n m −−为折点的“平底形”图像；在[,]x m n ∈上的每点，函数都取得最小值n m −，无最大值；函数在(,],[,)x m x n ∈−∞↓∈+∞↑ ，在[,]x m n ∈无单调性；对称轴为2m nx +=。