完美的正方形

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完美正方形

完美正方形
在数学园地里，开放着许许多多的名花，“图论”是其中名贵的一束，而“完全正方形”在这束鲜花中更是芳香迷人的一朵。

数学中，把一个正方形分成有限个互不重叠的正方形，其中任两个不同，叫做正方形的完全正方化；把用互不相待的正方形组成的正方形叫完全正方形。

1926年，苏联数学家鲁金对“完美正方形”的存在提出了猜想。

所谓“完全正方形”，是指它可以用一些大小各不相同，并且边长为整数的小正方形铺满。

这个问题引起了当时正在英国剑桥大学读书的塔特、斯通等四名学生的兴趣。

到1938年，他们终于找到了一个由63个大小不同的正方形组成的大正方形，人们称它为63阶的完美正方形。

次年有人给出了一个39阶的完美正方形。

1964年，塔特的学生，滑铁卢大学的威尔逊博士找到了一个25阶的完美正方形。

这个图形保持了12年的最佳纪录，这是不是阶数最小的完美正方形呢？ 1978年，荷兰特温特技术大学的杜依维斯蒂尤，用大型电子计算机算出了一个21阶的完美正方形。

这是完美正方形的最终目标了。

因为鲁金曾证明，小于21阶的完美正方形是不存在的。

如何出一个完美的正方形

如何出一个完美的正方形正方形，作为几何学中的一种基本形状，具有四条边相等且四个角皆为直角的特点，十分规整美观。

无论是画画、设计、建筑还是手工制作等领域，正方形都是一个常见且重要的要素。

在本文中，我们将探讨如何出一个完美的正方形，并介绍几种常用的方法和技巧。

一、用尺子和直角三角板绘制最常见且简单的方法是使用尺子和直角三角板。

以下是具体步骤：1. 准备工作：选择一张干净的纸或者绘画板，并确保直角三角板的边缘是平整的。

2. 选择边长：根据需要确定正方形的边长，假设边长为a。

3. 绘制边界线：使用尺子绘制一条水平线段，长度为a，作为正方形的一条边界线。

4. 绘制第二条边界线：将直角三角板的一条直边放置在第一条边界线的末端，再用尺子沿着直角三角板的另一条直边绘制一条垂直线段，长度也为a，与第一条边界线相交，形成正方形的两个相邻边。

5. 完成正方形：将直角三角板移至刚刚绘制的垂直线段的末端，并用尺子沿着直角三角板的边绘制直线，长度同样为a，与前两条线段相交，形成正方形的另外两条边。

至此正方形完成。

二、使用绘图软件绘制如今，随着计算机技术的不断进步，绘图软件已成为绘制几何图形的一种常用工具。

以下是使用常见绘图软件绘制正方形的步骤：1. 打开绘图软件：打开你擅长使用的绘图软件，如AutoCAD、Adobe Illustrator等。

2. 创建新文档：选择创建新文档，设置画布大小和单位，并确保画布是方形的。

3. 绘制边界线：使用绘图软件中的直线工具，在画布上绘制一条水平线段，长度为a，作为正方形的一条边界线。

4. 复制并旋转：选择绘制好的水平线段，使用软件中的复制功能复制一份，并旋转90度，使其与水平线段相交，形成正方形的两个相邻边。

5. 连接线段：使用直线工具绘制两条直线，连接旋转后的线段与前两条线段的末端，形成正方形的另外两条边。

至此，在绘图软件上绘制的正方形完成。

三、利用物体或工具辅助绘制除了尺子和绘图软件，我们还可以利用一些常见的物体或工具来辅助绘制正方形。

人教版八年级第24讲完美的正方形

人教版八年级第24讲完美的正方形学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，正方形ABCD 的对角线BD 长为2，若直线l 满足：（1）点D 到直线l 的距离为，（2）A 、C 两点到直线l 的距离相等，则符合题意的直线l 的条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于点G ，若AE=3ED ，DF=CF ，则AG GF的值是( )A ．43B ．54C ．65D ．763．已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB=BC ，②∠ABC=90°，③AC=BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A ．选①②B ．选②③C ．选①③D ．选②④ 4．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点()5,3D 在边AB 上，以C 为中心，把CDB △旋转90︒，则旋转后点D 的对应点'D 的坐标是( )A ．()2,10B ．()2,0-C ．()2,10或()2,0-D ．()10, 2或()2,0-5．如图，在正方形ABCD 中，6AB =，点E 在边CD 上，且3CD DE =.将ADE ∆沿AE 对折至AFE ∆，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ，CF .则下列结论：①ABG AFG ∆∆≌；②BG CG =；③AG CF ；④EGC AFE S S ∆∆=；⑤145AGB AED ∠+∠=︒.其中正确的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题 6．如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，点E 为CD 边上一点，30DAE ∠=︒，点M 为AE 的中点，过点M 作直线分别与AD ，BC 相交于点P ，Q .若PQ AE =，则AP 长为______cm .7．如图，在正方形ABCD 中，点E ，N ，P ，G 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点M ，F ，Q 都在对角线BD 上，且四边形MNPQ 和AEFG 均为正方形，则MNPQ AEFG S S 正方形正方形的值等于_____．三、解答题8．如图，已知Rt △ABC 中，∠ABC =90°，先把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°至△DBE 后，再把△ABC 沿射线平移至△FEG ，DF 、FG 相交于点H ．（1）判断线段DE 、FG 的位置关系，并说明理由；（2）连结CG ，求证：四边形CBEG 是正方形．9．如图，在ABC 中，,,AB AC AD BC =⊥垂足为点,D AN 是ABC 外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ．()1求证：四边形ADCE 为矩形；()2当ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．10．如图①，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 在AB 边上（不与点A ，B 重合），点F 在BC 边上（不与点B ，C 重合）.第一次操作：将线段EF 绕点F 顺时针旋转，点E 落在正方形上时，记为点G ；第二次操作：将线段FG 绕点G 顺时针旋转，点F 落在正方形上时，记为点H ；依此操作下去……（1）图②中的三角形EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为______，求此时线段EF 的长.（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH .①请判断四边形EFGH 的形状为______，此时AE 与BF 的数量关系是______.②以①中的结论为前提，设AE 的长为x ，四边形EFGH 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式及面积y 的取值范围.11．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B ，C ，G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上．连结AF ，若M 为AF 的中点，连结DM ，ME ，试猜想DM 与ME 的数量关系，并证明你的结论．拓展与延伸：(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，其他条件不变，则DM 和ME 的关系为__________________；(2)如图②摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，使点F 在边CD 上，点M 仍为AF 的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]① ②12．如图，正方形OABC 的边OA ，OC 在坐标轴上，点B 的坐标为()4,4-，点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向点O 运动；点Q 从点O 同时出发，以相同的速度沿x 轴的正方向运动，规定点P 到达点O 时，点P 停止运动，点Q 也停止运动.连接BP ，过点P 作BP 的垂线，与过点Q 平行于y 轴的直线l 相交于点D ，BD 与y 轴交于点E ，连接PE ，设点P 运动的时间为()s t .（1）求PBD ∠的度数及点D 的坐标（用t 表示）.（2）当t 为何值时，PBE ∆为等腰三角形？（3）探索POE ∆周长是否随时间t 的变化而变化.若变化，说明理由；若不变，试求出这个定值.13．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，点F 是BC 延长线上一点，AE EG ⊥交DCF ∠的平分线CG 于点G .求证：AE EG =.参考答案1．B【解析】试题分析：如图，连接AC与BD相交于O，∵正方形ABCD的对角线BD长为2，∴OD=，∴直线l∥AC并且到D的距离为3，同理，在点D的另一侧还有一条直线满足条件，故共有2条直线l．故选B．考点：正方形的性质．2．C【分析】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.【详解】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是矩形，∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=32 a，∴FM=52 a，∵AE∥FM，∴36552AG AE aGF FM a===，故选C．【点睛】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．3．B【解析】试题分析：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．故选B．考点：1.正方形的判定；2.平行四边形的性质．4．C【分析】先根据正方形的性质求出BD、BC的长，再分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况，然后分别根据旋转的性质求解即可得．【详解】四边形OABC是正方形，(5,3)D5,3,2,90BC OC AB OA AD BD AB AD B∴======-=∠=︒由题意，分以下两种情况：（1）如图，把CDB △逆时针旋转90︒，此时旋转后点B 的对应点B '落在y 轴上，旋转后点D 的对应点D 落在第一象限由旋转的性质得：2,5,90B D BD B C BC CB D B '''''====∠=∠=︒10OB OC B C ''∴=+=∴点D 的坐标为(2,10)（2）如图，把CDB △顺时针旋转90︒，此时旋转后点B 的对应点B ''与原点O 重合，旋转后点D 的对应点D ''落在x 轴负半轴上由旋转的性质得：2,5,90B D BD B C BC CB D B ''''''''''====∠=∠=︒∴点D ''的坐标为(2,0)-综上，旋转后点D 的对应点D 的坐标为(2,10)或(2,0)-故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．5．C【解析】【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt △ABG ≌Rt △AFG ；在直角△ECG 中，根据勾股定理可证BG=GC ；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF ，由平行线的判定可得AG ∥CF ；分别求出S △EGC 与S △AFE 的面积比较即可；求得∠GAF=45°，∠AGB+∠AED=180°-∠GAF=135°．【详解】AB AD AF ==，AG AG =，90B AFG ∠=∠=︒，()Rt ABG Rt AFG HL ∴∆≅∆，故①正确；123EF DE CD ===，设BG FG x ==，则6CG x =-. 在Rt ECG ∆中，根据勾股定理，得()()222642x x -+=+，解得3x =，363BG GC ∴==-=，故②正确 ,CG BG BG GF ==，CG GF ∴=，FGC ∴∆是等腰三角形，GFC GCF ∠=∠.又Rt ABG Rt AFG ∴∆≅∆，AGB AGF ∴∠=∠2180AGB AGF AGB FGC ∠+∠=∠=︒-∠22AGF GCF GFC GCF =∠+∠=∠=∠AGB GCF ∴∠=∠，//AG CF ∴故③正确；1134622GCE S GC CE ∆=⋅=⨯⨯=， 1162622AFE S AF EF ∆=⋅=⨯⨯=， BGC AFE S S ∆∆∴=，故④正确；BAG FAG ∠=∠，DAE FAE ∠=∠，又90BAD ∠=︒，45GAE ∴∠=︒180135AGB AED AGE AEG GAE ∴∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒，故⑤错误.故选C.【点睛】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．。

完美的正方形

《向正方形致敬》是一幅画。画中有
四个正方形，他们一个比一个小，其中三个正方形比把自己小的正方形包在里面。这幅画有价值的地方在于可以联想。数学家说它是几何图形；孩子们说它是积木；艺术家说它是通道。四个绝对标准的正方形严密相套，丝毫没有调皮和欺骗的姿态，然而，颜色却在近于刻板的图形中悄悄变幻，从苍白的橙色到深粉色，微妙的过程消失在人们漫不经心的一瞥中。作品用一种深沉的语言表现色彩本身的魅力，不惜牺牲绘画艺术的趣味和美感，理性的画面使人感到一种可爱的沉默。

由此可见，我们一个向外走，一个向
内走行，这正符合我们彼此的人生秩序。成年人追求更小的“正方形”，意即放下、消融自我。因为到了一定的年纪，你就会明白；外在的追求无穷无尽，而这正是我们焦虑、痛苦、烦恼的原因。那一个大过一个的“正方形”，可以看做不断成长的自我，那一个小于一个的“正方形”，可以看做不断缩减的自我。自我的“扩展”为了生存，为了自我价值的实现，而自我的“缩减”是为了更好地存在，为了充分认识自己真实的身份从而活在当下。这一内一外，有来有回，才是一个完美的人生。
形边上一动点，沿A→D→C→B→A 的路径匀
速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）(2013年浙江省衢州市)
A
B
C
D
链接考纲，详见考纲P45第12题及
P51第12题
函数关系式

23．（2013杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1．（1）求证：∠APE=∠CFP；（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x，． ①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值； ②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y 的值．

华师大版数学八年级下册_知识拓展：完美正方形

完美正方形
我们能不能将一个大正方形分割为一些彼此互不相同的小正方形？或者反过来说，我们能不能用一些大小各不相同的小正方形拼合成一个大正方形？答案是可以的。

这样的一个大正方形，叫做完美正方形（又称完全正方形）。

第一个完美正方形是由英国剑桥大学的四位数学家组成的研究小组于1938年发现的。

这个完美正方形可分为69个小正方形，因此称为69阶完美正方形。

此后，又有许多其他阶的完美正方形被发现。

于是，人们试图寻找一个由个数最少的小正方形拼合而成的（即最低阶的）完美正方形。

利用电子计算机已经证明：不存在20阶或20阶以下的完美正方形。

1978年，荷兰数学家杜伊杰斯廷发现了21阶的完美正
方形，边长为112，如图（图中数字为小正方形边长）。

更加奇妙的是，它还是一个简单完美正方形，即其中的小正方形不构成任何矩形。

杜伊杰斯廷的发现很可能是独一无二的，也就是说，很可能再也没有与此不同的21阶完美正方形了。

第16讲完美的正方形

第十六讲完美的正方形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，换句话说：正方形是各边都相等的矩形，正方形是各角都相等的菱形，正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的一切性质．矩形、菱形，正方形都是特殊的四边形，它们的概念交错，关系复杂，性质有许多相似之处，一些判定和性质定理又是可逆的，所以在学习中注重概念的理解，着眼于概念间的区别与联系．连正方形的对角线，能得到特殊三角形、全等三角形，由于正方形常常与直角三角形联系在一起，所以在解有关正方形问题时要用到直角三角形性质，具有代数风格，体现数形结合思想．熟悉以下基本图形，基本结论：例题求解【例1】如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．(北京市竞赛题)思路点拨图中还有等腰三角形，利用等腰三角形性质计算．注可以证明，在所有用长相等的四边形中，正方形的面积最大．我们熟悉的“七巧板”，那是把一块正方形板切分成三角形、正方形、平行四边形的7块，用它可以拼出许多巧妙的图形，“七巧板”是我国古代人民智慧的结晶．【例2】如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OC⊥OF，分别交AB、BC 于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为( )A．7 B．5 C．4 D．3(江苏省泰州市中考题)思路点拨AE、CF、EF不在同一个三角形中，运用全等三角形寻找相等的线段，使分散的条件集中到同一个三角形中．【例3】如图，正方形ABCD中，E、F是AB、BC边上两点，且EF=AC+FC，DG⊥EF于G，求证：DC=DA．(重庆市竞赛题)思路点拨构造AE+FC的线段是解本例的关键．【例4】已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBZ的平分线于N(如图甲)．(1)求证：MD=MN(2)若将上述条件中的“M是AB中点”改为“M是AB上的任意一点”，其余条件不变(如图乙)，则结论“MD=MN”还成立吗?如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(上海市闽行区中考题)思路点拨对于图甲，取AD中点F，通过构造全等三角形证明MD=MN；这种证法能否迁移到图乙情景中去?从而作出正确的判断．注探索是学习的生命线，深入探究、学会探索是时代提出的新要求．数学解题中的探索活动可从以下几个方面进行：(1)在题设条件不变情况下，发现挖掘更多的结论；(2)通过强化或弱化来改变条件，考查结论是否改变或寻求新的结论；(3)构造逆命题．对于例3，请读者思考，在不改变题设条件的前提下，(1)∠EDF等于多少度?(2)怎样证明明逆命题?例4改变点的位置，赋以运动，从特殊到一般，(1)的结果为(2)的猜想提供了借鉴的依据，又为猜想设置了障碍，前面的证明思路是后面的证明模式．【例5】操作：将一把三角尺放在边长为l的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．探究：设A，P两点间的距离为x(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论；(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的关系式，并写出x的取值范围；(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由(图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2、图3备用)．思路点拨本例是探究式的操作型试题，第(1)问需抓住滑动中∠BPQ是直角这一不变量，画出滑动中一般情形的图形，通过观察提出猜想，再给予论证，第(3)问需要在操作中观察出使△PCQ是等腰三角形的两种情形．注数学学习是一个生动活泼的过程，动手实践，自主探索是学习数学的重要形式，它说明了存在的事实是怎样被发现和被发现的现象又是怎样获得证实的，解这类问题，需边操作，边观察、边思考，综合运用相关知识方法探究结论．学力训练1．如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′= ．河南省中考题)2．如图，正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，CE=CF ，若∠BEC=60°，则∠EFD 的度数为． (苏州市中考题)3．如图，∠POQ=90°，边长为2㎝的正方形ABCD 的顶点B 在OP 上，C 在OQ 上，且∠OBC=30°，则A 、D 到OP 的距离分别为． (南京市中考题)4．如图，正方形ABCD 中，CE ⊥MN ，若∠MCE ＝35°，则∠ANM 的度数是．5．如图，E 是边长为l 的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值为( ) (河北省中考题)A ．22 B ．21 C ．23 D ．326．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于E ，8 ABCD S 四边形，则BC 的长为( )A ．2B ．3C ．3D ．22 (武汉市选拔赛试题)7．如图，在正方形ABCD 中，C 为CD 上的一点，延长月C 至F ，使CF=CE ，连结DF ，BE 与DF 相交于G ，则下面结论错误的是( )A ．BE=DFB ．BG ⊥DFC ．∠F+∠CEB=90°D ．∠FDC+∠ABG ＝90°(山东省临沂市中考题)8．如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，Rt △CEF 的面积为200，则BE 的值是( )A ．15B ．12C ．11D ．109．(1)如图甲，若点P 为正方形ABCD 边AB 上一点，以PA 为一边作正方形AEFP ，连BE 、DP ，并延长DP 交BE 于点H ，求证：DH ⊥BF ；(2)如图乙，若点P 为正方形ABCD 内任一点，其余条件不变，(1)的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．(泰州市中考题)10．如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，PF⊥CD，PE⊥BC，C、F分别为垂足，探索AP与EF的关系．11．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面积．( “希望杯”邀请赛试题)12．如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF=50°，则∠CME+∠CNF= ．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，OC=24，则BC边的长为．( “希望杯”邀请赛试题)14．如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7㎝2和11㎝2，则△CDE 的面积等于 cm 2．(武汉市选拔赛试题)15．如图，将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在边CD 上的E 点，然后压平得折痕FG ，若GF 的长为13cm ，则线段CE 的长为． (北京市竞赛题)16．将一个正方形分割成n 个小正方形(n>1)，则n 不可能取( )A ．4B ．5C ．8D ．9(江苏省竞赛题)17．如图，正方形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，若∠PAQ=45°，∠BAP=20°，则∠AQP=( )A ．65°B ． 60°C ．35°D ．70°18．如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE=a ，AF=b ，若S EFGH =32，则a b 等于( )A ．22B ．32C ．23D ．33 ( “希望杯”邀请赛试题) 19．如图，BF 平行于正方形ADCD 的对角线AC ，点E 在BF 上，且AE=AC ，CF ∥AC ，则∠BCF 等于( )A ．150°B ．135°C ． 105°D ．120°20．图甲中，正方形ABDE 、CDFI 、EFGH 的面积分别为17，10，13，图乙中，DPQR 为矩形，对照图乙，计算图甲中六边形ABCIGH 的面积．(江苏省竞赛题)21．如图，在正方形ABCD中，P是CD上一点，且AP=BC+CP，Q为CD中点，求证：∠BAP=2∠QAD．22．如图，有4个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动．(1)判定四边形PQEF的形状；(2)PE是否总是经过某一定点，井说明理由；(3)四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小、最大?各是多少?23．如图a，D为线段AE上任一点，分别以AD、DE为边作正方形ABCD和正方形DEFG，连结BF、AG、CE、BG、BE、BG、BE分别交AD，DC于P、Q两点．(1)①找出图中三对相等的线段(正方形边长相等除外)；②找出图中三对相等的钝角；③找出图中一对面积相等的钝角三角形，这两个三角形全等吗?(2)如图b，当正方形ABCD和正方形DEFG都变为菱形，且∠GDE=∠ADC时，(1)中的结论哪些成立，哪些不成立?请对不成立的情况说明理由．(3)如图“当正方形ABCD和正方形DEFG都变为矩形，且DA＞DC，DE>DG，△ABD∽△EFD时，(1)中的结论哪些不成立，哪些成立？．如果成立，请证明．(郴州市中考题)24．如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小，并证明你的结论．(北京市竞赛题)。

小学校心理健康教育《完美的正方形》教案

完美的正方形设计意图：《完美的正方形》描写了一个正方形一周七天的经历，生活带给它风雨和伤痛，它却用乐观的心态面对，积极调整自我，让这些阻碍和挫折成就了更好的自己。

佛语中“孔雀食毒而颜色愈加鲜艳，海蚌含沙而珍珠熠熠发光”，你所经历的一切终将成为你生命中的财富，大概就是这个意思。

五年级是小学生思维迅速发展的时期，他们开始能够对事物的本质进行理解与分析，能够联系到自己生活，理解与领悟到绘本故事所表达的内涵。

小学生在生活中也会遇到来自家庭、同伴、学习等方面的困难和挫折，不少孩子缺乏有效的应对方法和策略，实际上，有一些孩子也很难通过告诉他们方法来改变（尤其是那些内在资源和力量较弱的孩子），这时候艺术疗愈的方法能够很好的帮助到孩子们，帮助他们在潜意识开展工作和转化。

发展性艺术治疗以积极心理学为理念，以艺术为手段，通过艺术各种形式，调节、管理不良情绪，有效调节身心平衡，激发个体自身潜能来解决问题，提升生命质量，提高主观幸福感，让生活充满乐观和希望，使个体生命更加充实而有意义。

教学目标：1.通过活动认识到，生活中每个人都会遭遇各种困难与挫折；2.正确看待挫折，尝试用积极的方法来应对和转化挫折，发现生命的多种可能性；3.在创作过程中，整合和疗愈过去的经历，纾解学生的不良情绪。

教学重难点：1.引导学生根据绘本联系到自己现实生活中遇到的问题及困难；2.提供一个温暖而安全的环境，让学生能够走进自己内心。

课时：1课时年级：5年级教学准备：分组4人一组、正方形卡纸、A4纸、三首轻音乐起来看游戏规则（PPT 出示）：1.老师给大家30秒钟回忆最近一周发生的事情（可以是任何事情）比如：昨天娇娇老师第一次见到同学们就被大家的热情感动了，我这两天都特别开心！ 2.击鼓传花：鼓响时大家开始传，至鼓停止为止；3. 传的人可以下座位，其他人不能下座位（师提醒：只能用传的方式，不能扔、抛）；4.此时球在谁手中(或其座位前),谁就来分享；设计意图：在首学环节，通过游戏的方式激发孩子对课堂的兴趣，游戏的内容也跟后面的内容联系紧密，激发学生思考，引出课题。

完美正方形

完美正方形完美正方形「完美正方形」是指在一正方形内切割出大小都相异的小正方形.而我们的研究,则放宽条件,允许同样大小的正方形不超过三个.我们先估算出正方形中可切割的最大正方形边长范围,再以方格纸手画的方式找出边长1至25的解,在过程中,我们发现可用放大的方式解决边长为合数的正方形.因此我们将重点放在边长为质数的正方形,我们将正方形分割成两个连续整数边长的正方形,则剩下少一单位的缺角正方形区域.我们探讨缺角正方形区域的解,再讨论分析回原来的正方形.最后解出了边长1至100中全部有解的正方形.对於更大边长的正方形,我们的方法也可行.所以我们以流程图来表示解决问题的过程,并用电脑试算边长1至1000的完美正方形.研究动机在暑假专书研读:名人趣题妙解书中,我们看到了塔尔塔利亚的巧分格纸,觉得很感兴趣,所以我们将完美正方形与巧分格纸两个融合,当作我们科展的题目.研究目的「完美正方形」是指,在一正方形内切割成不同大小,边长为整数的正方形,且这些切割出的正方形,均不能全等,这个主题在文献上有不错的研究成果.而我们的研究,则放宽条件,允许每一种同样大小的正方形不超过三个,希望可以探讨边长1～100中哪些正方形有解,哪些正方形无解如果有解如何切割文献探讨1926年,苏联数学家鲁金对"完美正方形"的存在提出了猜想.到1938年,他们终于找到了一个由63个大小不同的正方形组成的大正方形,人们称它为63阶的完美正方形.次年有人给出了一个39阶的完美正方形.1964年,塔特的学生,滑铁卢大学的威尔逊博士找到了一个25阶的完美正方形.1948年,威尔科克斯提出了一个24阶的完美正方形,在往后的30年中,人们一度以为24就是完美正方形的最小阶.1978年,荷兰特温特技术大学的杜依维斯蒂尤,用大型电子电脑算出了一个21阶的完美正方形.这是完美正方形的最终目标了.因为鲁金曾证明,小於21阶的完美正方形是不存在的.。

2010年新课标八年级数学竞赛培训第16讲：完美的正方形

2010年新课标八年级数学竞赛培训第16讲：完美的正方形一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．（4分）如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．2．（4分）如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′=．3．（4分）如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为．4．（4分）如图，∠POQ=90°，边长为2的正方形ABCD的顶点B在OP上，C在OQ上，且∠OBC=30°，则A到OP的距离分别为．5．（4分）如图，正方形ABCD中，CE⊥MN，若∠MCE=35°，则∠ANM的度数是．6．（4分）已知：如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF 分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF=50°，则∠CME+∠CNF=度．7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，OC=，则BC边的长为．8．（4分）如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米，则△CDE的面积等于平方厘米．9．（4分）如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得A点落在边CD上的E点，然后压平得折痕FG，若GF的长为13cm，则线段CE的长为．二、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）10．（5分）将一个正方形分割成n个小正方形（n＞1），则n不可能取（）A．4 B．5 C．8 D．911．（5分）如图，ABCD是边长为1的正方形，EFGH是内接于ABCD的正方形，AE=a，AF=b，若S EFGH=，则|b﹣a|等于（）A．B．C．D．12．（5分）正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则∠CBO等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°13．（5分）如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（）A．B．C．D．14．（5分）如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（）A．2 B．3 C．D．15．（5分）如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，延长BC到F，使CF=CE，连接DF，BE的延长线与DF相交于G，则下列结论错误的是（）A．BE=DF B．BG⊥DFC．∠F+∠CEB=90°D．∠FDC+∠ABG=90°16．（5分）如图，正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为200，则BE的长为（）A．10 B．11 C．12 D．1517．（5分）在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为．三、解答题（共11小题，满分0分）18．如图，正方形ABCD中，E、F是AB、BC边上两点，且EF=AE+FC，DG⊥EF 于G，求证：DG=DA．19．（1）如图，已知在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N．试判定线段MD与MN的大小关系；（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB边上或AB延长线上任意一点”，其余条件不变．试问（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．20．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P（如在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．图（1）、（2））探究：设A、P两点间的距离为x．（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；（2）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．21．如图，若点P为正方形ABCD边AB上一点，以PA为一边作正方形AEFP，连BE、DP，并延长DP交BE于点H，求证：DH⊥BE．22．已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足．求证：AP=EF．23．如图，正方形ABCD中，AB=，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面积．24．图甲中，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为17，10，13，图乙中，DPQR为矩形，对照图乙，计算图甲中六边形ABCIGH的面积．25．如图，在正方形ABCD中，P是CD上一点，且AP=BC+CP，Q为CD中点，求证：∠BAP=2∠QAD．26．如图，有4个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动．（1）判定四边形PQEF的形状；（2）PE是否总是经过某一定点，并说明理由；（3）四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小、最大？各是多少？27．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AB=2，则△OAB的面积为．28．如图，正方形被两条与边平行的线段EF，GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小并证明你的结论．2010年新课标八年级数学竞赛培训第16讲：完美的正方形参考答案一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．75°；2．；3．15°；4．；5．55°；6．100；7．5；8．；9．7cm；二、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）10．B；11．D；12．B；13．A；14．C；15．C；16．C；17．；三、解答题（共11小题，满分0分）18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．1；28．；。

初中数学竞赛第十六讲完美的正方形(含答案)

第十六讲完美的正方形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，换句话说：正方形是各边都相等的矩形，正方形是各角都相等的菱形，正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的一切性质．矩形、菱形，正方形都是特殊的四边形，它们的概念交错，关系复杂，性质有许多相似之处，一些判定和性质定理又是可逆的，所以在学习中注重概念的理解，着眼于概念间的区别与联系．连正方形的对角线，能得到特殊三角形、全等三角形，由于正方形常常与直角三角形联系在一起，所以在解有关正方形问题时要用到直角三角形性质，具有代数风格，体现数形结合思想．熟悉以下基本图形，基本结论：例题求解【例1】如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．(2001年北京市竞赛题)思路点拨图中还有等腰三角形，利用等腰三角形性质计算．注可以证明，在所有用长相等的四边形中，正方形的面积最大．我们熟悉的“七巧板”，那是把一块正方形板切分成三角形、正方形、平行四边形的7块，用它可以拼出许多巧妙的图形，“七巧板”是我国古代人民智慧的结晶．【例2】如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OC⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为( )A．7 B．5 C．4 D．3. (2001年江苏省泰州市中考题)思路点拨AE、CF、EF不在同一个三角形中，运用全等三角形寻找相等的线段，使分散的条件集中到同一个三角形中．【例3】如图，正方形ABCD中，E、F是AB、BC边上两点，且EF=AC+FC，DG⊥EF于G，求证：DC=DA．(重庆市竞赛题)思路点拨构造AE+FC的线段是解本例的关键．【例4】已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM 且交∠CBZ的平分线于N(如图甲)．(1)求证：MD=MN(2)若将上述条件中的“M是AB中点”改为“M是AB上的任意一点”，其余条件不变(如图乙)，则结论“MD=MN”还成立吗?如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(上海市闽行区中考题)思路点拨对于图甲，取AD中点F，通过构造全等三角形证明MD=MN；这种证法能否迁移到图乙情景中去?从而作出正确的判断．注探索是学习的生命线，深入探究、学会探索是时代提出的新要求．数学解题中的探索活动可从以下几个方面进行：(1)在题设条件不变情况下，发现挖掘更多的结论；(2)通过强化或弱化来改变条件，考查结论是否改变或寻求新的结论；(3)构造逆命题．对于例3，请读者思考，在不改变题设条件的前提下，(1)∠EDF等于多少度?(2)怎样证明明逆命题?例4改变点的位置，赋以运动，从特殊到一般，(1)的结果为(2)的猜想提供了借鉴的依据，又为猜想设置了障碍，前面的证明思路是后面的证明模式．【例5】操作：将一把三角尺放在边长为l的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．探究：设A，P两点间的距离为x(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论；(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的关系式，并写出x的取值范围；(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由(图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2、图3备用)．思路点拨本例是探究式的操作型试题，第(1)问需抓住滑动中∠BPQ 是直角这一不变量，画出滑动中一般情形的图形，通过观察提出猜想，再给予论证，第(3)问需要在操作中观察出使△PCQ 是等腰三角形的两种情形．注数学学习是一个生动活泼的过程，动手实践，自主探索是学习数学的重要形式，它说明了存在的事实是怎样被发现和被发现的现象又是怎样获得证实的，解这类问题，需边操作，边观察、边思考，综合运用相关知识方法探究结论．学历训练1．如图，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与△CBP ′重合，若PB=3，则PP ′= ． (2002年河南省中考题)2．如图，正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，CE=CF ，若∠BEC=60°，则∠EFD 的度数为． (2000年苏州市中考题)(第1题) (第2题) (第3题) (第4题)3．如图，∠POQ=90°，边长为2㎝的正方形ABCD 的顶点B 在OP 上，C 在OQ 上，且∠OBC=30°，则A 、D 到OP 的距离分别为． (2003年南京市中考题)4．如图，正方形ABCD 中，CE ⊥MN ，若∠MCE ＝35°，则∠ANM 的度数是．(第5题) (第6题) (第7题) (第8题)5．如图，E 是边长为l 的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值为( )(2003年河北省中考题)A ．22B ．21C ．23D ．32 6．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于E ，8 ABCD S 四边形，则BC的长为( )A．2 B．3 C．3D．22(2003年武汉市选拔赛试题)7．如图，在正方形ABCD中，C为CD上的一点，延长月C至F，使CF=CE，连结DF，BE与DF相交于G，则下面结论错误的是( )A．BE=DF B．BG⊥DF C．∠F+∠CEB=90°D．∠FDC+∠ABG＝90°(2001年山东省临沂市中考题)8．如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为200，则BE的值是( )A．15 B．12 C ．11 D．109．(1)如图甲，若点P为正方形ABCD边AB上一点，以PA为一边作正方形AEFP，连BE、DP，并延长DP交BE于点H，求证：DH⊥BF；(2)如图乙，若点P为正方形ABCD内任一点，其余条件不变，(1)的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．(2002年泰州市中考题)10．如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，PF⊥CD，PE⊥BC，C、F分别为垂足，探索AP与EF的关系．11．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面积．(第1l届“希望杯”邀请赛试题)12．如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF=50°，则∠CME+∠CNF= ．(第12题) (第13题) (第14题)13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=3，以AB 为一边向三角形外作正方形ABEF ，正方形的中心为O ，OC=24，则BC 边的长为．(第13 “希望杯”邀请赛试题)14．如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7㎝2和11㎝2，则 △CDE 的面积等于 cm 2．(武汉市选拔赛试题)15．如图，将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在边CD 上的E 点，然后压平得折痕FG ，若GF 的长为13cm ，则线段CE 的长为． (2002年北京市竞赛题)(第15题) (第17题) (第18题)16．将一个正方形分割成n 个小正方形(n>1)，则n 不可能取( )A ．4B ．5C ．8D ．9. (第16届江苏省竞赛题)17．如图，正方形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，若∠PAQ=45°，∠BAP=20°，则∠AQP=( )A ．65°B ． 60°C ．35°D ．70°18．如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE=a ，AF=b ，若S EFGH =32，则a b 等于( ) A ．22 B ．32 C ．23 D ．33 (第12届“希望杯”邀请赛试题) 19．如图，BF 平行于正方形ADCD 的对角线AC ，点E 在BF 上，且AE=AC ，CF ∥AC ，则∠BCF 等于( )A ．150°B ．135°C ． 105°D ．120°(第19题) (第20题)20．图甲中，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为17，10，13，图乙中，DPQR为矩形，对照图乙，计算图甲中六边形ABCIGH的面积．(第15届江苏省竞赛题)21．如图，在正方形ABCD中，P是CD上一点，且AP=BC+CP，Q为CD中点，求证：∠BAP=2∠QAD．22．如图，有4个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动．(1)判定四边形PQEF的形状；(2)PE是否总是经过某一定点，井说明理由；(3)四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小、最大?各是多少?23．如图a，D为线段AE上任一点，分别以AD、DE为边作正方形ABCD和正方形DEFG，连结BF、AG、CE、BG、BE、BG、BE分别交AD，DC于P、Q两点．(1)①找出图中三对相等的线段(正方形边长相等除外)；②找出图中三对相等的钝角；③找出图中一对面积相等的钝角三角形，这两个三角形全等吗?(2)如图b，当正方形ABCD和正方形DEFG都变为菱形，且∠GDE=∠ADC时，(1)中的结论哪些成立，哪些不成立?请对不成立的情况说明理由．(3)如图“当正方形ABCD和正方形DEFG都变为矩形，且DA＞DC，DE>DG，△ABD ∽△EFD时，(1)中的结论哪些不成立，哪些成立？．如果成立，请证明．(2003年郴州市中考题)24．如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小，并证明你的结论．(北京市竞赛题)。

完美正方形

完美正方形「完美正方形」是指在一正方形内切割出大小都相异的小正方形．最早由莫伦提出．数学家们一度花了很大精力都无任何结果，以至于1930年苏联著名数学家鲁金猜想，不可能把一个正方形分割成有限个大小不同的正方形．莫伦对此猜想提出了挑战，并提供了一个解决思路：如果同一个矩形有两个不同的正方形剖分，且其中一个剖分的每个正方形都不同于另一个剖分的每个正方形，那么，这两个剖分再添上两个正方形（它异于两个剖分中的任何一个正方形），便可构造出一个完美正方形，而在此之前，完美矩形已经有了比较丰富的成果．1939年，斯普拉格按照莫伦的构想成功地构造出一个55阶的完美正方形，其边长为4205．几个月后，阶数更小（28阶）、边长更短（1015）的完美正方形由剑桥大学三一学院的四位大学生构造出来．1948年，威尔科克斯构造出24阶完美正方形，但其中含有一个完美矩形（此类正方形称为混完美正方形，完全由正方形构造成的正方形称为纯完美正方形），一直到1978年，这个纪录才被打破．1967年，威尔森构造成功25阶、26阶完美正方形．1962年，荷兰特温特技术大学的杜伊维斯廷证明：不存在20阶以下的完美正方形．1978年，杜伊维斯廷借助计算机技术，成功地构造出一个21阶的完美正方形，它是唯一的，且它不仅阶数最低，同时数字也更简单，此外构造上它也有许多优美的特点，比如2的某些次幂恰好位于一条对角线上，等等．杜伊维斯廷同时还证明了：低于21阶的完美正方形不存在．1982年，杜伊维斯廷又证明了：不存在低于24阶的混完美正方形．1992年，布卡姆和杜伊维斯廷给出了21～25阶全部207个纯完美正方形：阶数21 22 23 24 25个数 1 8 12 26 160至此，完美正方形的讨论暂时画上一个句号．但数学家的研究并没有停止，他们又研究了不同大小正方形是否可以填充整个平面的问题，此外他们还将完美剖分的问题推广到莫比乌斯带、圆柱面、环面和克莱茵瓶上，也取得了许多有趣的成果．但是立方体填充被证明是没有的．。

完美正方形与莫比乌斯环的关系

完美正方形与莫比乌斯环的关系英文版The relationship between a perfect square and a Möbius strip is a fascinating concept that explores the interconnectedness of geometry and topology. A perfect square is a shape with four equal sides and four right angles, while a Möbius strip is a surface with only one side and one edge. At first glance, these two shapes may seem unrelated, but upon closer inspection, their relationship becomes clear.To understand the connection between a perfect square and a Möbius strip, we must first examine their properties. A perfect square is a two-dimensional shape that lies flat on a plane, with all four sides meeting at right angles. It has four corners, or vertices, and four sides of equal length. In contrast, a Möbius strip is a three-dimensional shape that twists and turns in a way that creates the illusion of having only one side. It has a single edge that loops around the surface and connects back to itself.The key to understanding the relationship between these two shapes lies in their surfaces. A perfect square has a flat, continuous surface that can be easily visualized and measured. On the other hand, a Möbius strip has a twisted surface that is continuous but non-orientable, meaning it cannot be divided into two distinct sides. This unique property of the Möbius strip allows it to be transformed into a perfect square through a process known as cutting and reattaching.By cutting a Möbius strip along its center line and twisting one of the resulting halves, we can create a perfect square. The twist in the Möbius strip introduces an additional dimension to the shape, transforming it from a two-dimensional surface into a three-dimensional object. This transformation highlights the interconnectedness of geometry and topology, showing how seemingly unrelated shapes can be manipulated and transformed into one another.In conclusion, the relationship between a perfect square and a Möbius strip demonstrates the intricate connections between geometry and topology. By exploring theproperties and transformations of these shapes, we gain a deeper understanding of the fundamental principles that govern the world of mathematics.完美正方形与莫比乌斯环的关系完美正方形和莫比乌斯环之间的关系是一个引人入胜的概念，探讨了几何和拓扑之间的相互关系。

完美矩形与完美正方形

若一个矩形可以分割为大小不一的正方形，则称之为完美矩形（perfect rectangle ）；如果一个正方形可以分割成若干个大小不一的小正方形，则称这个正方形为完美正方形（perfect square ）.完美正方形当然是完美矩形.首先考虑一下，为何定义里面要强调“大小不一”？若允许相同，任何正方形都可以分割为若干小正方形，问题就很平凡.例1.十个不同大小的正方形拼成给出了一个完美矩形，最小的一个正方形边长为3，你能求出矩形的边长吗？分析：我们用a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、k 分别表示每个正方形的边长，不难得到以下关系式：a ＝g ＋3，h ＝g －3，b ＝a ＋3－d ，e ＝b －d ，f ＝d －e ,h ＝d ＋f ＋3，c ＝b ＋e ,k ＝f ＋h ，e ＋c ＝f ＋k ．解出：a ＝25， b ＝17， c ＝23，d ＝11， e ＝6， f ＝5， g ＝22， h ＝19， k ＝24．所以，矩形的长和宽分别是65和47．它可以分割为10个正方形，因此叫做10阶完美矩形．当然，未知数的个数也可以不必这么多，你可以思考一下：设出哪几个正方形的边长就够了？下面是一个9阶完美矩形，其长和宽分别是33和32，组成它的9个正方形边长从小到大依次是：1，4，7，8，9，10，14，15，18．据说这个完美矩形是剑桥大学的学生（布鲁克斯等4人，后来都是著名的组合学家）在1938年发现的.你可以尝试用方程组自己求出它们的边长，培养一点小小的成就感.完美矩形的最小阶数是9，且仅有两种构图，见上图。

我们再欣赏几个10阶完美矩形：完美矩形与完美正方形(65×47) (105×104)(111×98) (115×94)(130×79) (57×55)刚才我们说过，完美矩形的阶数可以很小，边长也不会太大.那么，最小的完美正方形边长多少？是几阶的呢？因为完美正方形不容易找到，所以一开始有人认为完美正方形不存在。

完美的正方形经典讲义

完美的正方形正方形是四边形中最特殊的一种，它是中心对称图形也是轴对称图形，在分析有关条件与结论之间的关系时，可以利用这种性质进行分析，把图形（主要是三角形）进行旋转实现线段与角的位置的转化，在解题过程中综合中心对称、轴对称及等腰三角形、线段的垂直平分线、角的平分线的知识来解决问题。

例1：如图：四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作等边三角形ABE ，CE 与DB 相交于点F ，则∠AFD= 度．ＡＥＣＤＢＦ例2：如图：将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠,使得A 点落在CD 上的E 点,然后压平得折痕FG ，若FG=13cm ，求线段CE 之长．例3：如图：已知Ｅ、Ｆ分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于点M 、N ．若∠EAF=050，求∠CME +∠CNF 的度数．CMＡ NDF E例4：如图：正方形ABCD 中，Ｅ、Ｆ是AB 、BC 边上两点，且EF=AE+FC ，D G ⊥EF 于G ．说明：DG=DA例5：如图，操作：把正方形CGEF 的对角形CE 放在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（C G ﹥BC ），取线段AE 的中点M ．探索：线段MD 、MF 的关系，并加以说明．FA DB C GEＥＧ上题中，若将正方形CGEF绕点C旋转任意角度(如图)，其它条件不变．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．AＤＢＦＭＣＥＧ课后作业：1．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC =∠CDA=090，BE ⊥AD 于E ，四边形ABCD 的面积为8，则BE 的长为( )A ．2 Ｂ．３Ｃ．3 Ｄ．22２．如图，正方形ABCD 的面积为256，点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，直角三角形CEF 的面积为200，则BE= ．３．如图，Ａ在线段B Ｇ上，四边形ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米，则△CDE 的面积等于平方厘米．４．如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 、F 、G 、H 分别在正方形的四条边上，已知E F ∥GH ，EF=GH ．(1)若AE=AH=a 31，求四边形EFGH 的周长和面积；（2）求四边形EFGH 的周长的最小值.BCDAEＦAＤＢＣＥＣD ＥＢ AＦＧADHBEGFC５．如图,已知正方形ABEF 和ACGH 在三角形BAC 的外侧,M 是BC 边的中点。

第3讲完美的正方形

NM GEF D C B A 图1G E FD CB A 图2H O G E F DC B A 图3E P FD CB A ABCD EFM第三讲完美的正方形上一讲我们探讨了如何区分各种不同的平行四边形，这一讲我们来研究最特殊的平行四边形——正方形的性质的应用。

之所以称之为完美的正方形，是因为正方形集中了各种平行四边形的所有特征，例如：四边相等、四个内角都是直角、两条对角线相等且互相垂直平分、每条对角线都平分其内角、有四条对称轴、一个对称中心等。

这都将是我们解决实际问题的依据和法宝，我们要会灵活应用。

在实际解题中，我们常对正方形进行割补或折叠，通过平移、旋转、对称等方法把正方形问题转化为特殊的三角形或全等三角形问题来解决。

【例题讲解】1.(1)如图，在正方形ABCD 中，点P ，1P 为正方形内的两点，且PB=PD,BP P CBP AB B P 11,∠=∠=,则P BP 1∠=___________。

(2)如图，P 为正方形ABCD 内一点，若PA ︰PB ︰PC=1︰2︰3，则APB ∠=___________。

(3)如图，正方形ABCD ，E 为BF 上一点，四边形AEFC 恰是一个菱形，AE 交BC 于点M ，则MCE ∠=_________。

(4)如图，在正方形ABCD 中，AB=8,Q 是CD 的中点，设,α=∠DAQ 在CD 上取一点P ，使α2=∠B A P ,则CP=___________。

2. 点F 为正方形ABCD 对角线AC 上任意一点，FE ⊥AB 于E ，FG ⊥AD 于G ，取CF 、BG 的中点M 、N,连结MN.试探求MN 与BG 之间的关系.引申1：若将原题中“点F 在对角线AC 上”改为“点F 在直线AC 上”时，上述结论是否依然成立.引申2：若将原题中的正方形AEFG 绕点A 顺时针旋转任意角度，其它条件不变，则上述结论是否依然成立.3.(1)如图，点F 是正方形ABCD 的边CD 的中点，AF 交BC 延长线于点G ，点E 是CD 延长线上一点，点H 是AE 的中点.∠EAF=45°.求BG DEFH-的值.(2)如图，点E 是正方形ABCD 的边AD 上一点，BE 的中垂线HF 交BC 的延长线于点F ，EF 交CD 于点G ，连接BG .①求∠EBG 的度数；②若正方形ABCD 的边长是3，求△DEG 的周长.【练习】1.如图1，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别是27cm 和211cm ，求△CDE 的面积。

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