分数计算技巧

分数计算技巧

对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握一些特殊的运算技

巧。分数计算技巧也是数学竞赛中的考点之一。

1.凑整法

与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律(如交换律、结合律、分配律)，使部分的和、差、积、商成为整数、整十数........................

从而使运算得到简化。

12 3 1 7

例 1 计算(34+63+14+S3)X(2_20)

13 2 1 7

原式=+ + + )

7

平知护俗朋

7

= 20X2-20X 一

20

= 40-7 = 33.

1 4

例2 计第4^ X 25 + 32-^4 +0.25X125

解匕

1 4

原式+ + 十 4 中--4 + 0.25x4 x31

= 100 + 54-84-|+31 = 144p

2.约分法

2空竺乞空

10013 22S69 10602

6209 10693 33337

2-------- x ---------- +---------

10013 22869 10602

26235 10693 w10602

10013 X22369X33337

5x^xlix^§l lix'lix'si ix2xlix31.

-i ------- 1 -------- — X-——---------------------- X―; ----------- - ----- —

9,x^x7xllKll 违*协＞3

5x3x2

7x11

77

30

例4计算处⑴护。-…X(1—苏

解：

1 0

2 QQ 原式= 99X - x-x - x-x —^1.

顺J 2 3 4 99

1x2x3+2x4x6+7x14x21

1x3x5 + 2x6x10 + 7x21x35

IX 2X3 + 2S X(1X 2X3) + 73X (IX 2X 3)

IX 3X5+23X (IX 3X5) +73X (IX JX5)

(1X2X3)X(]+23+73)

(1X3X5)X(H23 +75)

MX? 2

__ _______ = _

1X3X5 5

3.裂项法

将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，从而简化运算。

因U貫 1 1 1 1 1 1

恥创畀 2 6 12 20 30 42

解’

原式

二右

例7

在自然数1〜100中找出10个不同的数，使这10个数的倒数的和等于1。

解：

这道题看上去比较复杂，要求10个分子为1、而分母不同的分数的和等于1，似乎无从下手。但如果巧用1/n-1/（n+1）=1/n（n+1）来做，就非常简单了。

因知T冷士W 存”崔所以可根据题中所求，添上括号。

此题要求的是10个数的倒数和为1,于是做成：

1 = （1冷）+ （卜护（卜扣（卜扣（卜护（卜护（卜护（卜扣「存命

11111111 1 1

= 4

1x2

・---- + ------- + ------ + ------ + + -------------- + ------ + -------- + ---

2x3 3x4 4x5 5x6 6x7 7x8 8x9 9x10 10 1111111111

=一+__ q --------p___ + ------ + ____ + ____ + ____ + ___

2 6 12 20 30 42 56 72 90 10

解：

原式=

1

FV7

1

3x7

1

T X5+

1 1

5X7+6X7

所以，要求的10 个数是：2、6、12、20、30、42、56、72、90、10。

本题的解不是唯一的，例如由1/10+1/30=1/9+1/45 可知，用9和45可以替换上面解答中的10和30，同样符合要求。

4•代数法

解；

通分计算太麻烦，不可职注意到每个括号中都有

1 1 1

2 j 4 不妨设-+ - +- = A,

则原式=〔1 十A) x (A + £) - (1 + A + £) x A

1 , 1 . 1

=A +—+ A1 + - A - A - A1 - - A

1 」

=r

5.分组法

原式二(1+3+5+7+9+11+13+15+17)+4+^- + ^-^

11111111

—+ ———+—-— +—一一

+ ―—

3 3

4 4

5 5 6

6

111111 1、

7 7 8 8 9 9 10^

解：

利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。分母为n的分数之和为

1 1 1

——H ------

2 3 4

例9计算"中畤+嗚+嗚+哙+吩+吩+吩

1+17

2

1111

----- +Z +r+

3x4 - 4x5 ---- 5x6 6x7

1 1

----- +

7x8 - 8x9

1 I 1

2 2

例〃计算（尹〒—方"（宁厂

丄+ —丄)

30 42 56 72 90