材料力学-扭转截面几何性质 42页PPT文档
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材料力学土木类扭转PPT课件
符号T表示。
扭矩大小可利用截面法来确定。
Me
1
Me
A Me
A
1
B
1
T
x 1 1
T Me
Me
T
1
B
第4页/共42页
扭矩的符号规定 按右手螺旋法则确定: 扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。
T T
T (+)
T T
T (-)
仿照轴力图的做法，可作扭矩图，表明沿杆 轴线各横截面上扭矩的变化情况。
第5页/共42页
l
Me (b)
D2
Ⅱ
Me
l
第31页/共42页
解：Wp1
πd13 16
Wp2
πD23 16
1 4
t 1,max
T1 Wp1
Me Wp1
16M πd13
e
t 2,max
T2 Wp 2
Me Wp 2
16M e
πD23 1 4
t t 1，max
2,max
已知 0.8
得
D2 d1
3
Me
A Me
A
1
Me
1 1
T
1 1
T
1
Me
+
B
x
T Me
Me
B
T图
第6页/共42页
例 3-1 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮 输入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分 别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。
第7页/共42页
e
t
t
x
f b
t'
材料力学第四版 第三章 扭转PPT课件
也不变，各纵向线倾斜同一角度.
分析：微体既无轴向正应变，也无横向正应 变，只是相邻横截面之间发生相对错动，既 只有剪切变形。
结论： 1)横截面上无正应力σ
2)横截面上有切应力τ，
切应力垂直于半径方向。
（薄壁圆筒）切应力的计算公式: R0
切应力沿壁厚均匀分布于横截面上
平均半径：r
壁厚：δ
dArd
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩
一、外力偶矩的计算
力偶矩M作功：W Me
功率： P Me n2
已知轴的传递功率P：kW（千瓦） 轴的转速n：r/min（转/分钟）
外力偶矩2：6nM 0eM Ne m P91504090nPkW r/min
二、扭矩与扭矩图
n
M
M
n
采用“截面法” 求横截面上的内力：
MeB 1 MeC 2
MeA 3 MeD
由平衡方程
B1 C 2 A 3 D
Mx 0 T1MeB0 Me2
T 1M eB 35 N m 0
同理,在 CA 段内
B
T1 x MeB
M x 0 T 2 M e C M e B 0
MeC T2 x
BC
T 2 M e 2 M e 3 7N 0 m 0
MeB
MeC
MeA n
MeD
B
C
A
D
MeB 1
MeC 2
MeA 3
n
MeD
B1C 2 A
3D
解: （1）计算外力M偶e矩9549npkw
Me1 15915Nm
r/min
Me2 Me3 4774.5 Nm
Me4 6366Nm (2)计算 BC、CA、AD段内任一横截面上的扭矩
分析：微体既无轴向正应变，也无横向正应 变，只是相邻横截面之间发生相对错动，既 只有剪切变形。
结论： 1)横截面上无正应力σ
2)横截面上有切应力τ，
切应力垂直于半径方向。
（薄壁圆筒）切应力的计算公式: R0
切应力沿壁厚均匀分布于横截面上
平均半径：r
壁厚：δ
dArd
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩
一、外力偶矩的计算
力偶矩M作功：W Me
功率： P Me n2
已知轴的传递功率P：kW（千瓦） 轴的转速n：r/min（转/分钟）
外力偶矩2：6nM 0eM Ne m P91504090nPkW r/min
二、扭矩与扭矩图
n
M
M
n
采用“截面法” 求横截面上的内力：
MeB 1 MeC 2
MeA 3 MeD
由平衡方程
B1 C 2 A 3 D
Mx 0 T1MeB0 Me2
T 1M eB 35 N m 0
同理,在 CA 段内
B
T1 x MeB
M x 0 T 2 M e C M e B 0
MeC T2 x
BC
T 2 M e 2 M e 3 7N 0 m 0
MeB
MeC
MeA n
MeD
B
C
A
D
MeB 1
MeC 2
MeA 3
n
MeD
B1C 2 A
3D
解: （1）计算外力M偶e矩9549npkw
Me1 15915Nm
r/min
Me2 Me3 4774.5 Nm
Me4 6366Nm (2)计算 BC、CA、AD段内任一横截面上的扭矩
材料力学课件 扭转
x ＝ y
2020/3/22
17
5.3 纯剪切
剪应力互等定理：
单元体两个相互垂直的平面 上，垂至于两平面交线的剪 应力总是同时存在，且大小 相等，都指相（或都背离） 两平面的交线。
纯剪应力状态：
y
τy
d
a
τx
τx
x
dy
b
τy
z
dx
c
单元体平面上只有剪应力而无正应力，则称该单元
体为纯剪应力状态。
2020/3/22
4、扭矩图——扭转变形的内力图
➢扭矩图的作图步骤：
①先画基线（横坐标x轴），基线‖轴线； ②画纵坐标， “正在上，负在下”； ③标注正负号、值的大小及图形名称。
➢扭矩图的注意事项：
①多力偶作用时要分段求解，一律先假定为正方向；
②基线‖轴线，“正在上，负在下”，比例一致，封闭图形
③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力
19
思考题
指出下面图形的剪应变
剪应变为 α
2020/3/22
剪应变为 0
20
5.4 圆轴扭转时的应力和变形
前面推导得到：薄壁圆筒横截面 剪应力与扭矩之间的关系：
T 2R 2t
t——壁厚 R ——平均半径
τ
T
τ
剪应力沿壁厚均匀分布
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21
5.4 圆轴扭转时的应力和变形
一、圆截面杆受扭时横截面上的应力
值的大小，不带正负号；
④202阴0/3/2影2 线一定垂直于基线，阴影线可画可不画。
8
例题：
例5-1： 已知A轮输入功率为50kW，B、C、D轮输出功率分别 为15、15、20kW，轴的转速为300r/min，画出该轴扭矩图。
材料力学-扭转截面几何性质
Wt
Ip R
——抗扭截面模量（系数）
解决三类强度问题 ：
§3–5 圆轴扭转时的变形和刚度计算
扭转角：任意两横截面相对转过的角度
1 扭转角 (1)等直圆轴 (2) 阶梯轴
d T dx GI p
lT
dx
0 GI p
Tili GI pi
Tl GI p
(3)变截面轴
l
3、有一外径为100mm、内径为80mm的空心圆轴，与一直径为80mm的实心 圆轴用键相连接。在A轮处由电动机带动，输入功率N1=150kW；在B、C轮 处分别负载N2=75kW，N3=75kW。若已知轴的转速为n=300r／min，容许剪 应 力 []=45MPa ； 键 的 尺 寸 为 10mml0mm30mm ， 其 容 许 应 力 为 []=100MPa和[c]=280MPa。 (1)校核空心轴及实心轴的强度（不考虑键槽的影响）； (2)求所需键数n。
矩形截面杆扭转分自由扭转和约束扭转。杆两端无约束， 翘曲程度不受任何限制的情况，属于自由扭转。此时，杆各横 截面的翘曲程度相同，纵向纤维长度无变化，横截面上只有剪 应力，没有正应力。杆一端被约束，杆各横截面的翘曲程度不 同，横截面上不但有剪应力，还有正应力，这属于约束扭转。
max
Mn
h t 2
y -z z dA dA
3 通过形心的主轴称为形心主轴 或形心惯性主轴；
0
z
§4.4 平行移轴公式 图形对形心轴的惯性矩 和惯性积为：
I zc A yc2dA
I yc A zc2dA I yczc A yc zcdA
图形对平行于形心轴y、 z轴的惯性矩和惯性积为：
材料力学-扭转ppt课件
´
a
b
dy
´
c
d
T
①无正应力 dx
②横截面上各点处只产生垂直于半径
的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小
不变，. 方向与该截面的扭矩方向一19 致。
二、薄壁圆筒剪应力
根据实验观测的结果，圆轴截面
上应力应该如右图分布:
且扭矩T应该是截面上所有剪切
力对圆心的矩的总和。因此有
T
AdAr0 T
r0 AdAr02r0tT
由 m 0 x
m2 1 m3 2
T1
A1 B2
m1 3 m4
x
C 3D
分别有
T1m2 0 T1m2 4.78kNm
.
13
②求扭矩（扭矩按正方向设）
利用截面法: 分别用1-1 ， m2
2-2 ， 3-3截面将AB ， BC与CD段截开,选研究 对象，画受力图：
由 m 0 x
A
m3 2 m1
T2
.
21
四、薄壁圆筒扭转变形
L
A
A'
在圆轴截面上 AA' R
在圆轴表面上 AA' L
RL
.
22
五、剪切虎克定律：
T=m
T ( 2A0t) ( LR)
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限 时（τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系:
.
23
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无 量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢
薄壁圆筒横截面
T T 2 r02 t 2A0 t
扭转剪应力的计
算公式
其中A0：平均半径所作.圆的面积。
材料力学截面的几何性质课件
截面的对称性
截面可以是对称的或非对称的。
对称截面是指沿中心线对称的截面，如圆形、正 方形等。
非对称截面是指不沿中心线对称的截面，如椭圆 形、三角形等。
截面的重心
重心是物体质量的集中点，对于规则形状的物体，重心位置可以通过几何计算得 到。
对于截面，重心是截面质量的集中点，其位置可以通过计算截面的面积和质量得 到。
材料力学的发展历程
总结词
材料力学的发展经历了多个阶段，从最早的实验观察到现代的理论建模和计算机模拟。
详细描述
最初的材料力学研究主要基于实验观察和经验总结，随着数学和物理学的发展，人们开始建立更精确 的理论模型，并使用计算机进行模拟和分析。这些理论模型和方法在解决复杂工程问题方面发挥了重 要作用。
02
意义
主惯性矩是衡量截面抗弯和抗扭能力的一个重要参数，其 值越大，抗弯和抗扭能力越强。
04
材料力学截面的弯曲性质
弯曲的定义
弯曲是指物体在力的作用下发 生形变，其中物体的一部分相 对于另一部分发生转动。
弯曲变形通常发生在梁、柱等 细长结构中，其中截面上的应 力分布不均匀。
弯曲变形可以通过施加外力或 重力等作用力引起，也可以由 热膨胀、收缩等因素引起。
扭转的变形能
1 2
变形能
物体在受到外力作用时，由于发生变形而储存的 能量称为变形能。
扭转变形能
物体在扭转变形时，由于变形而储存的能量称为 扭转变形能。
3
扭转变形能的计算
扭转变形能可以通过计算截面上的剪切应变和剪 切胡克常数来计算。
扭转的稳定性
01
稳定性
在材料力学中，稳定性是指物体在外力作用下保持其平衡状态的能力。
剪切变形能
材料力学(扭转) PPT课件
y
3、斜截面上的 应力分析
x
n
x
z
t
Fn 0 dA zdAcos sin dAsin cos 0
Ft 0 dA dAcos cos dAsin sin 0
sin 2
讨论：
外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图
功率、转速和外力偶矩之间的关系
ω = 2π n /60 ，1 kW = 1000 N•m/s
功率：P 角速度： 转速：n 外力偶矩：T 功率、转速和外力偶矩之间的关系：
T P P 2n
若功率P的单位为千瓦，转速n的单位为转/分：
T 9549 P ( N m) n
T
第三章 扭转
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
例4-1 NA=19kW,NB=44kW,
TA
NC=25kW, n=150rpm
求：作图示传动轴的扭矩图
解：1. 求外力偶
TA
TA= 9549 19 =1210Nm
150
同样 TB=2800Nm, TC=1590Nm
TA
Mn
2.截面法求内力( 设正法)
Mn IPFra bibliotek变形
Mnl GI p
强度条件 max
Mn Wp
刚度条件 d Mn 180
dx G I p
第三章的基本要求
1．掌握根据轴的传递功率和转速计算外力偶矩；
2．掌握扭转时内力（即扭矩）的计算以及扭矩图的画 法；
3．掌握扭转切应力的计算方法；
45
第三章 扭转
材料力学扭转PPT课件
方向如图所示
Nm
MB
MC
MA
MD
14
材
料 力
外力偶矩、扭矩和扭矩图
学
Mechanics of Materials
各段的扭矩为
MB 1 MC 2
MA 3
MD
T1=MB=3.5103 N·m
1
2
3
T2=MB+ MC =7103 N·m T3= -MD= -4.68103 N·m
MB
T1
若扭矩为正，表明
B
C
A
主动轮 D
13
材 料 力 学
Mechanics of Materials
外力偶矩、扭矩和扭矩图
解 主动轮和从动轮的外力偶矩分别为
MA
9549 PA n
11.68 103
Nm
MB
MC
9549 PB n
3.50 103
Nm
MD
9549 PD n
4.68 103
材 料 力 学
Mechanics of Materials
第四章 扭转
1
材 料 力 学
Mechanics of Materials
引言-概念
工程实例
2
材 料 力 学
Mechanics of Materials
引言-概念
受力特点：两个等值反向的 力偶矩分别作用在杆件两端 垂直于轴线的平面内
变形特点：杆件的各横截面 绕杆的轴线发生相对转动
12
材 料 力 学
Mechanics of Materials
外力偶矩、扭矩和扭矩图
例 如图所示的传动轴的转速n=300转 /分，主动轮的输入功率PA=367kW，从动 轮B、C及D的输出功率分别为 PB=PC=110kW，PD=147kW，绘制该轴 的扭矩图，并确定最大扭矩Tmax及其所在位
材料力学扭转教学课件PPT
200 kW。试做轴力图。
(a)
P2
P3
P1
n
P4
B
C
D
A
例题3-2图
m P2 2
m P3 3
P1
m1
m n
4 P4
B
C
D
A
m2
m3
m1
m4
(b)
B
C
A
D
解:1.计算外力偶矩
m1
m2
9.55 P1 15.9kN .m
m3
n
9.55
P2
n
4.78kN
.m
m4
9.55 P4 n
6.37kN .m
2.由计算简图用截面法计算各段轴内的扭矩，然后画扭矩图
§3.1 扭转的概念和实例
➢ 扭转变形 ——作用在垂直于杆件轴线的平面内 的力偶矩，使得杆件的任意两个 横截面都发生了绕轴线的相对转 动。
➢ 扭转变形杆件的内力 ——扭矩（T ）
➢ 轴 ——主要承受扭矩的构件
m A'
g
A
m B j B'
扭转的受力特征 ：在杆件的两端作用两个大小相等、
转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
dA
O r
dA
dA
O
A
G 2
dj
dx
dA
G
dj
dx
A
2dA
T
GI p
dj
dx
令 Ip A 2dA
dj
dx
T GI p
代入物理关系式
G
dj
dx
得：
T
Ip
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
(a)
P2
P3
P1
n
P4
B
C
D
A
例题3-2图
m P2 2
m P3 3
P1
m1
m n
4 P4
B
C
D
A
m2
m3
m1
m4
(b)
B
C
A
D
解:1.计算外力偶矩
m1
m2
9.55 P1 15.9kN .m
m3
n
9.55
P2
n
4.78kN
.m
m4
9.55 P4 n
6.37kN .m
2.由计算简图用截面法计算各段轴内的扭矩，然后画扭矩图
§3.1 扭转的概念和实例
➢ 扭转变形 ——作用在垂直于杆件轴线的平面内 的力偶矩，使得杆件的任意两个 横截面都发生了绕轴线的相对转 动。
➢ 扭转变形杆件的内力 ——扭矩（T ）
➢ 轴 ——主要承受扭矩的构件
m A'
g
A
m B j B'
扭转的受力特征 ：在杆件的两端作用两个大小相等、
转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
dA
O r
dA
dA
O
A
G 2
dj
dx
dA
G
dj
dx
A
2dA
T
GI p
dj
dx
令 Ip A 2dA
dj
dx
T GI p
代入物理关系式
G
dj
dx
得：
T
Ip
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
材料力学第3章 扭转幻灯片PPT
对于承受几个外力偶矩作用的轴，其不同横截面上的扭 矩不尽一样。为了表示扭矩的大小和正负随截面位置的变化， 可用扭矩图来形象描述之。
第3章 扭 转 图3-4
第3章 扭 转 例3-1 传动轴〔见图3-5(a)〕的转速n=300r/min，主动轮 为A，输入功率PA=50kW，两个从动轮为B、C，其中B轮输 出功率PB=30kW。试作轴的扭矩图。 解 (1〕扭力偶矩计算。A轮为主动轮，故MA的方向与 轴的转向一致；而作用在从动轮B、C上的扭力偶矩MB、 MC的方向与轴的转向相反。MA、MB的大小分别为
第3章 扭 转
图3-6
第3章 扭 转
由于圆筒两横截面间的距离不变，故横截面上没有正应 力；圆筒的半径不变，故在通过轴线的纵向截面上亦无正应 力。在变形过程中，相邻横截面p-p与q-q发生相对错动，矩 形变成了平行四边形，这种变形称为剪切变形。纵向线倾斜 的角度γ是矩形方格变形前后直角的改变量，即为切应变 〔见图3-6(e)〕，故横截面上只有切应力，它组成与扭力偶 矩平衡的内力系。由于筒壁很薄，可认为切应力沿壁厚均匀 分布〔见图3-6(c)〕，q-q 截面上切应力组成的内力是横截 面的扭矩T，由q-q截面以左局部圆3
第3章 扭 转
3.2 扭力偶矩、扭矩与扭矩图
1.扭力偶矩的计算
在工程实际中，可以根据力偶与力矩的理论，计算轴承
受的扭力偶矩。对于传动轴等构件，往往只给出轴所传递的
功率和转速，可利用动力学知识，根据功率、转速和扭力偶
矩之间的关系
P=Meω
求出作用在轴上的扭力偶矩为
MeN?m9549nPr/kmwin
（3-1）
第3章 扭 转
2.扭矩与扭矩图 为了计算圆轴的应力和变形，首先要分析其横截面上 的内力。如图3-4(a)所示圆轴，承受外力偶矩Me作用，现用 截面法分析任意横截面n-n上的内力。在n-n截面处假想地将 圆轴截开，取其左段为研究对象，作用在轴左段上的外力 偶矩为Me，由平衡理论可知，作用在n-n截面上分布内力系 的合成结果必为一力偶，而且该力偶的作用面在横截面内。 将作用于横截面的内力偶矩称为该截面的扭矩，用T来表示 〔见图3-4(b)〕。由轴左段平衡条件
第3章 扭 转 图3-4
第3章 扭 转 例3-1 传动轴〔见图3-5(a)〕的转速n=300r/min，主动轮 为A，输入功率PA=50kW，两个从动轮为B、C，其中B轮输 出功率PB=30kW。试作轴的扭矩图。 解 (1〕扭力偶矩计算。A轮为主动轮，故MA的方向与 轴的转向一致；而作用在从动轮B、C上的扭力偶矩MB、 MC的方向与轴的转向相反。MA、MB的大小分别为
第3章 扭 转
图3-6
第3章 扭 转
由于圆筒两横截面间的距离不变，故横截面上没有正应 力；圆筒的半径不变，故在通过轴线的纵向截面上亦无正应 力。在变形过程中，相邻横截面p-p与q-q发生相对错动，矩 形变成了平行四边形，这种变形称为剪切变形。纵向线倾斜 的角度γ是矩形方格变形前后直角的改变量，即为切应变 〔见图3-6(e)〕，故横截面上只有切应力，它组成与扭力偶 矩平衡的内力系。由于筒壁很薄，可认为切应力沿壁厚均匀 分布〔见图3-6(c)〕，q-q 截面上切应力组成的内力是横截 面的扭矩T，由q-q截面以左局部圆3
第3章 扭 转
3.2 扭力偶矩、扭矩与扭矩图
1.扭力偶矩的计算
在工程实际中，可以根据力偶与力矩的理论，计算轴承
受的扭力偶矩。对于传动轴等构件，往往只给出轴所传递的
功率和转速，可利用动力学知识，根据功率、转速和扭力偶
矩之间的关系
P=Meω
求出作用在轴上的扭力偶矩为
MeN?m9549nPr/kmwin
（3-1）
第3章 扭 转
2.扭矩与扭矩图 为了计算圆轴的应力和变形，首先要分析其横截面上 的内力。如图3-4(a)所示圆轴，承受外力偶矩Me作用，现用 截面法分析任意横截面n-n上的内力。在n-n截面处假想地将 圆轴截开，取其左段为研究对象，作用在轴左段上的外力 偶矩为Me，由平衡理论可知，作用在n-n截面上分布内力系 的合成结果必为一力偶，而且该力偶的作用面在横截面内。 将作用于横截面的内力偶矩称为该截面的扭矩，用T来表示 〔见图3-4(b)〕。由轴左段平衡条件
材料力学课件-扭转
T
max
max
WP
即须使抗扭截面系数 Wp 相等
18
例 如图的轴的许用切应力为 60 MPa ， 校核强度。若将实心 圆轴改为内外径之比为 0.7 的空心圆轴，在强度相等的条件下， 求空心圆轴外径，并求两者的重量比。
m1=1kNm
D = 60
m2 =3kNm
D1
2 kNm
T
1 kNm
[解] （1）内力扭矩图：
y
Fx x
水平方向和竖直方向分量为
T
x (r)sin
T r sin
IP
y
(r)cos
T r cos
IP
水平方向合力为
Fx
xdA
A
A
Tr sin
IP
rdr d
T IP
d2
π2
r 2dr sin d
0
0
Td 3 24 I P
27
竖直方向合力为
Fy
A
ydA
A
Tr IP
cos
TC tL
C max
TC WP C
tL [ ]
πd
3 2
16
d2
16 t L
π[ ]
13
22
t
C
例5.3 图中结构由两段等截面圆轴
d1 A
L1 B L2
d2 构成。圆轴总长度为 L ，全长上作 用着均布力偶矩 t 。材料许用切应
L
力为 [ ]。要使圆轴重量为最轻，确
tL1
tL
定两段轴的长度 L1 和 L2 ，以及直
A
T
GI P
d
dx
d T
dx GIP
材料力学扭转概要PPT课件
j AC
=
M x2lAC GIP
=
320 0.5
80109 0.054
= 0.0033rad
第30页/3共259页
T
2
T1
d
T3
Mx1=0.5kN·m Mx2 =0.32kN·m
lAB=300mm
B
A
lAB
T
T1
2
φAB
B
A
lAB
C
lAC
d
T3
φAC
C
lAC
G=80GPa
d=50mm
j AB
单位长度扭转角［θ］=0.20/m。试求轴所需的直径。
解：（1）轴的扭矩图
7
Mx (kN·m)
+
第43页/共59页
3.5
+
（2）求直径
max
=
M xmax Wp
[ ]
Mx (kN·m)
7
+
3.5
+
Wp
M xmax
[ ]
=
7103 N m 40106 Pa
=
0.175106 mm 3
d 3 16WP = 3 16 0.175106 mm 3 = 96mm
= 51.0MPa
第22页/共59页
（2）空心圆截面
T
由面积相等，且内、外直径比
α =0.5
1 d 2 = D2 (1 2 )
4
4
D
D/2
T
D =115mm
WP
=
πD3 16
(1 4 )
=
3.14 (115)3 16
109 m3
[1 (0.5)4 ]
材料力学课件(路桥)第4章扭转
计算过程中需要考虑材料的弹性模量、泊松比、剪切模量等参数，以及 结构的几何尺寸和边界条件。
强度条件的工程意义
满足强度条件是保证路桥工程安全性和 稳定性的基础。
通过满足强度条件，可以防止桥梁结构 在承受外力矩和扭矩时发生破坏或过度
变形。
在路桥工程的设计、施工和运营过程中 ，需要定期进行检测和维护，以确保结
扭矩的量纲
扭矩的量纲是力和长度（L）的乘积，表示为ML^2。
量纲是描述物理量本质属性的方式，通过量纲可以判断物理量的性质和相互关系 。
03
扭转的应力分析
切应力与剪切应变的关系
切应力与剪切应变的关系是线 性的，即剪切应变与切应力成 正比。
在剪切弹性范围内，切应力与 剪切应变之间的关系可以用剪 切弹性模量来描述。
扭转过程中，杆件上各点的角位移和 剪切变形程度不同，导致杆件横截面 绕其自身轴线发生转动。
扭转的物理现象
01
杆件在扭转时，横截面上的正应 力分布不均匀，呈现出剪切变形 的特点。
02
杆件上各点的剪切变形程度与该 点到轴线的距离成正比，导致横 截面上的切向力分布不均匀。
扭转的分类
根据杆件上所受外力矩的方向， 扭转可分为左旋和右旋两种类型
构的强度和稳定性。
05
扭转的刚度条件
刚度条件的定义
刚度条件是指在材料力学中，杆件在受到扭矩作用时，其横 截面上的剪切应力和剪切变形之间的关系。
刚度条件是材料力学中一个重要的基本概念，它描述了杆件 在扭矩作用下抵抗变形的能力。
刚度条件的计算方法
根据材料力学的基本理论，刚度条件可以通过杆件的剪切 弹性模量和剪切应变来计算。
材料力学课件(路桥)第4章 扭转
目录 CONTENTS
强度条件的工程意义
满足强度条件是保证路桥工程安全性和 稳定性的基础。
通过满足强度条件，可以防止桥梁结构 在承受外力矩和扭矩时发生破坏或过度
变形。
在路桥工程的设计、施工和运营过程中 ，需要定期进行检测和维护，以确保结
扭矩的量纲
扭矩的量纲是力和长度（L）的乘积，表示为ML^2。
量纲是描述物理量本质属性的方式，通过量纲可以判断物理量的性质和相互关系 。
03
扭转的应力分析
切应力与剪切应变的关系
切应力与剪切应变的关系是线 性的，即剪切应变与切应力成 正比。
在剪切弹性范围内，切应力与 剪切应变之间的关系可以用剪 切弹性模量来描述。
扭转过程中，杆件上各点的角位移和 剪切变形程度不同，导致杆件横截面 绕其自身轴线发生转动。
扭转的物理现象
01
杆件在扭转时，横截面上的正应 力分布不均匀，呈现出剪切变形 的特点。
02
杆件上各点的剪切变形程度与该 点到轴线的距离成正比，导致横 截面上的切向力分布不均匀。
扭转的分类
根据杆件上所受外力矩的方向， 扭转可分为左旋和右旋两种类型
构的强度和稳定性。
05
扭转的刚度条件
刚度条件的定义
刚度条件是指在材料力学中，杆件在受到扭矩作用时，其横 截面上的剪切应力和剪切变形之间的关系。
刚度条件是材料力学中一个重要的基本概念，它描述了杆件 在扭矩作用下抵抗变形的能力。
刚度条件的计算方法
根据材料力学的基本理论，刚度条件可以通过杆件的剪切 弹性模量和剪切应变来计算。
材料力学课件(路桥)第4章 扭转
目录 CONTENTS
材料力学第三章_扭转 PPT课件
§6-3 圆杆扭转时的应力和强度条件
极惯性矩I p 2dA
A
实心圆轴
Ip
D 4
32
d
o
D
空心圆轴
Ip
（D4
32
d4）
D
4
（1
4）
32
dD
d
o
d D
§6-3 圆杆扭转时的应力和强度条件
强度条件：
max
T WP
圆轴扭转强度条件：
max
例6-3 图示轮C为主动轮，
A、B、D轮为从动轮，转 速为n=300r/min，TA=351N•m， TB=351N•m， TC=1170N•m， TD=468N•m， G=80GPa，
[]=40MPa，[]=0.3°/m，
试设计传动轴的直径d。
解： 1.绘扭矩图 Mnmax=702 N•m
2. 按强度条件设计直径d
参考坐标系如图所示，矩形1和2的面
积及形心位置分别为:
120 1
A1=10120=1200 mm2
A2=1070=700 mm2
2
10 z yc1 =120/2=60 mm
80
zc1 =10/2=5 mm
yc2 =10/2=5 mm，zc2 =10＋70/2=45 mm
zc
Sy A
S y1 S y2 A1 A2
§6-3 圆杆扭转时的应力和强度条件
扭转平面假设：圆杆的横截面变形后仍保持为平面，直径变形后 仍为直径 推论：横截面上只有切应力，没有正应力
§6-3 圆杆扭转时的应力和强度条件
（二）圆轴扭转应力
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5 静矩是截面对于一定的坐标轴而言的，同一截面对 于不同的坐标轴，其静矩 不同。
已知：矩形截面b×h
求： sz和 sy
解：
Sz
yc
A
bh2 2
Sy
zcA
hb2 2
y
c
h
b
z
已知：图示图形 求： zc和yc
解：
zc
A1z1 A2z2 A1 A2
120105701045 120107010
h
2
Iz
bh 3 12
b
Iy
z2dA
A
2 b
z2hd
z
2
Iy
hb 3 12
y
dy
y
c
z
b
已知：实心圆截面直径D,空心圆截面直径D、d.
求：Iy和Iz。
y
解： 1 实心圆
d
Dc
z
IpA2 d A Iy Iz 2 Iy 2 Iz
Iy
Iz
D4
64
2 空心圆
Iy
yc1 yc
Ⅰ
140
c1
Ⅱ c zc
c2
100
z
20
0.1 40.20.80 0.04m 67 0.1 40.0 20.10.02
Iz c 0 .0 1 0 .2 1 2 3 ( 4 0 .0 0 .8 0) 4 2 0 .0 6 0 .2 1 7 7 4 .6 1 9 6 m 0 4
2 惯性半径
iz
Iz A
iy
Iy A
y
dA A
y
ρ
0
z
z
3 极惯性矩
y
dA A
y
ρ
Ip
2dA
A
0
z
z
1圆
IP
2dA
A
D 2
2 2d
D4
0
32
2 空心圆
IP
2dA
A
D
2 d
2
22
d
D4
32
(14)
d D
dA
D ρ dρ 0
zc
zci Ai Ai
组合图形
y y yc
dA c
0
zc
z
z
注:
1 静矩有符号.
2当Sz=0yc=0，即平面图形对某一轴的静矩为零，则
该轴必然过形心
3当yc=0Sz=0，即若某一轴通过形心，则图形对该轴
的静矩为零。
4由平面图形的形心必在对称轴上，故平面图形对于对 称轴的静矩总是等于零。
Ayc2d A2a aycd Aa2
dA
A
y
yc
Iz Izc ac b2A
y
c
zc
a
IyzIycZc abA
0
b zc
z
z
已知：T形截面。
y
20
求： Izc
解：形心 c(0 yc) ycA1A y1 1 A A2 2y2A1yA 11 A A 220
Mx、 Mx´ 为扭矩
Me
Mx
x
M
' x
扭矩的符号规定：按右手螺旋法则，扭矩矢 量方向与截面外法线相同为正，反之为负。
Me
Me
x
三、扭矩图
例题： 1、一传动轴作200r／min的匀速转动，轴上装有五个轮子。主动轮2输 入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的功率为18kW、12kW、 22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。
dA
dρ ρ 0
d D
4 惯性矩与极惯性积的关系
Ip
2dA
A
(y2
A
z2)dA
y2dA
A
Az2dAIz
Iy
5 组合图形的惯性矩
Iz Izi
Iy Iyi
y
dA A
y
ρ
0
z
z
已知：矩形 bh
求：Iy和Iz
解：
h
Iz
y2dA
A
2 h
y2bdy
0
zc
z
z
• 同一图形：坐标轴不同-静矩不同，数值可正，可负， 可为零！
• 量纲：m 3
• 2. 形心
yc
A
ydA
Sz
AA
sz ycA
zc
zdA A
Sy
AA
sy zc A
3 组合图形的静矩和形心
sz yciAi sy zciAi
yc
yci Ai Ai
外力特点：在杆件上作用着大小相等、转向相反、作 用平面垂直于杆件轴线的两组平行力偶系。
变形的特点：当杆件发生扭转变形时，任意两 个横截面将绕杆轴线作相对转动而产生相对角位移。 这种相对角位移称为扭转角，用表示。
轴：以扭转变形为主的杆件。
§3–2 外力偶矩的计算，扭矩和扭转图
一、外力偶矩的计算
已知轴所传递的功率和轴的转速，则外力偶矩（N•m）
m 9549N n
N——功率，单位为千瓦（KW） n——转速，单位为rod/min
m 7024N n
N——功率 ，单位为马力 n——转速，单位为rod/min
二、扭转时的内力——扭矩
Me
扭矩 左:
ΣMx = 0, Mx – Me = 0 Mx = Me
右: ΣMx = 0, Me –Mx´= 0 Mx´ = Me
第7章 平面图形的几何性质
概述
• 构件的横截面积都是具有一定几何形状 的平面图形，构件的承载能力（强度， 刚度，稳定性等）都与平面图形的一些 几何性质（横截面积，极惯性矩等）有 关。因此需要
第7章 平面图形的几何性质
§7.1 静矩和形心
1 静矩
y
Sz
ydA
A
dA c
Sy
zdA
A
y yc
19.7mm
120 10
y 10
C1(5 60) C2(45 5)
80
z
yc
A1y1 A2y2 A1 A2
12 10 0 6 07 0 1 0 53.7 9 mm 12 10 07 0 10
§4.2 惯性矩和惯性半径 1 惯性矩
Iz
y2dA
A
Iy
z2dA
A
Iz c 0 .1 1 0 .0 2 3 2 0 .04 2 0 .6 1 0 .7 0 2 4 .4 1 3 6 m 0 4
IzcIzcIzIcI1.1 2 1 2 60 m 4
• 作业 • 4.2 • 4.7 • 4.9
第三章 扭 转
§3–1 扭转的概念
Iz
D4(14)
64
§4.3 惯性积
Iyz
yzdA
A
1 y、z之一为图形对称轴则Iyz=0；
2 惯性积为零的一对座标轴称为
惯性主轴；
y -z z dA dA
3 通过形心的主轴称为形心主轴 或形心惯性主轴；
0
z
§4.4 平行移轴公式 图形对形心轴的惯性矩 和惯性积为：
Izc A yc2dA
Iyc Azc2dA Iyczc AyczcdA
图形对平行于形心轴y、 z轴的惯性矩和惯性积为：
y
yc
dA
yc
A
y
c
zc
a
0 b zc
z
z
Iz
y2dA
A
zzc b
Iyz
yzdA
A
yyc a
Iy
z2dA
A
Iz
y2dA
A
A(yc
a)2dA
已知：矩形截面b×h
求： sz和 sy
解：
Sz
yc
A
bh2 2
Sy
zcA
hb2 2
y
c
h
b
z
已知：图示图形 求： zc和yc
解：
zc
A1z1 A2z2 A1 A2
120105701045 120107010
h
2
Iz
bh 3 12
b
Iy
z2dA
A
2 b
z2hd
z
2
Iy
hb 3 12
y
dy
y
c
z
b
已知：实心圆截面直径D,空心圆截面直径D、d.
求：Iy和Iz。
y
解： 1 实心圆
d
Dc
z
IpA2 d A Iy Iz 2 Iy 2 Iz
Iy
Iz
D4
64
2 空心圆
Iy
yc1 yc
Ⅰ
140
c1
Ⅱ c zc
c2
100
z
20
0.1 40.20.80 0.04m 67 0.1 40.0 20.10.02
Iz c 0 .0 1 0 .2 1 2 3 ( 4 0 .0 0 .8 0) 4 2 0 .0 6 0 .2 1 7 7 4 .6 1 9 6 m 0 4
2 惯性半径
iz
Iz A
iy
Iy A
y
dA A
y
ρ
0
z
z
3 极惯性矩
y
dA A
y
ρ
Ip
2dA
A
0
z
z
1圆
IP
2dA
A
D 2
2 2d
D4
0
32
2 空心圆
IP
2dA
A
D
2 d
2
22
d
D4
32
(14)
d D
dA
D ρ dρ 0
zc
zci Ai Ai
组合图形
y y yc
dA c
0
zc
z
z
注:
1 静矩有符号.
2当Sz=0yc=0，即平面图形对某一轴的静矩为零，则
该轴必然过形心
3当yc=0Sz=0，即若某一轴通过形心，则图形对该轴
的静矩为零。
4由平面图形的形心必在对称轴上，故平面图形对于对 称轴的静矩总是等于零。
Ayc2d A2a aycd Aa2
dA
A
y
yc
Iz Izc ac b2A
y
c
zc
a
IyzIycZc abA
0
b zc
z
z
已知：T形截面。
y
20
求： Izc
解：形心 c(0 yc) ycA1A y1 1 A A2 2y2A1yA 11 A A 220
Mx、 Mx´ 为扭矩
Me
Mx
x
M
' x
扭矩的符号规定：按右手螺旋法则，扭矩矢 量方向与截面外法线相同为正，反之为负。
Me
Me
x
三、扭矩图
例题： 1、一传动轴作200r／min的匀速转动，轴上装有五个轮子。主动轮2输 入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的功率为18kW、12kW、 22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。
dA
dρ ρ 0
d D
4 惯性矩与极惯性积的关系
Ip
2dA
A
(y2
A
z2)dA
y2dA
A
Az2dAIz
Iy
5 组合图形的惯性矩
Iz Izi
Iy Iyi
y
dA A
y
ρ
0
z
z
已知：矩形 bh
求：Iy和Iz
解：
h
Iz
y2dA
A
2 h
y2bdy
0
zc
z
z
• 同一图形：坐标轴不同-静矩不同，数值可正，可负， 可为零！
• 量纲：m 3
• 2. 形心
yc
A
ydA
Sz
AA
sz ycA
zc
zdA A
Sy
AA
sy zc A
3 组合图形的静矩和形心
sz yciAi sy zciAi
yc
yci Ai Ai
外力特点：在杆件上作用着大小相等、转向相反、作 用平面垂直于杆件轴线的两组平行力偶系。
变形的特点：当杆件发生扭转变形时，任意两 个横截面将绕杆轴线作相对转动而产生相对角位移。 这种相对角位移称为扭转角，用表示。
轴：以扭转变形为主的杆件。
§3–2 外力偶矩的计算，扭矩和扭转图
一、外力偶矩的计算
已知轴所传递的功率和轴的转速，则外力偶矩（N•m）
m 9549N n
N——功率，单位为千瓦（KW） n——转速，单位为rod/min
m 7024N n
N——功率 ，单位为马力 n——转速，单位为rod/min
二、扭转时的内力——扭矩
Me
扭矩 左:
ΣMx = 0, Mx – Me = 0 Mx = Me
右: ΣMx = 0, Me –Mx´= 0 Mx´ = Me
第7章 平面图形的几何性质
概述
• 构件的横截面积都是具有一定几何形状 的平面图形，构件的承载能力（强度， 刚度，稳定性等）都与平面图形的一些 几何性质（横截面积，极惯性矩等）有 关。因此需要
第7章 平面图形的几何性质
§7.1 静矩和形心
1 静矩
y
Sz
ydA
A
dA c
Sy
zdA
A
y yc
19.7mm
120 10
y 10
C1(5 60) C2(45 5)
80
z
yc
A1y1 A2y2 A1 A2
12 10 0 6 07 0 1 0 53.7 9 mm 12 10 07 0 10
§4.2 惯性矩和惯性半径 1 惯性矩
Iz
y2dA
A
Iy
z2dA
A
Iz c 0 .1 1 0 .0 2 3 2 0 .04 2 0 .6 1 0 .7 0 2 4 .4 1 3 6 m 0 4
IzcIzcIzIcI1.1 2 1 2 60 m 4
• 作业 • 4.2 • 4.7 • 4.9
第三章 扭 转
§3–1 扭转的概念
Iz
D4(14)
64
§4.3 惯性积
Iyz
yzdA
A
1 y、z之一为图形对称轴则Iyz=0；
2 惯性积为零的一对座标轴称为
惯性主轴；
y -z z dA dA
3 通过形心的主轴称为形心主轴 或形心惯性主轴；
0
z
§4.4 平行移轴公式 图形对形心轴的惯性矩 和惯性积为：
Izc A yc2dA
Iyc Azc2dA Iyczc AyczcdA
图形对平行于形心轴y、 z轴的惯性矩和惯性积为：
y
yc
dA
yc
A
y
c
zc
a
0 b zc
z
z
Iz
y2dA
A
zzc b
Iyz
yzdA
A
yyc a
Iy
z2dA
A
Iz
y2dA
A
A(yc
a)2dA