重力加速度的测定

重力加速度的测量

摘要：在高中物理的学习中有多种测量重力加速度的方法，如：“滴水法测量重力加速度”、“利用机械能守衡测量重力加速度”等等，本文介绍利用 “单摆”、“复摆”、“弹簧振子”、“气垫导轨测定”这四种方法测量重力加速度。 关键词：单摆 复摆 弹簧振子 气垫导轨 重力加速度 周期

一、引言：在本实验中，用以下四种方法测量重力加速度，将其所测结果进行比较并得出较为精确的测量方法及其测量值。 二、实验内容：

实验目的：

1． 掌握用单摆，复摆，弹簧振子，气垫导轨测定当地的重力加速度的方法。 2． 学习所涉及仪器的使用方法。 3． 了解不同测量方法的特点及精度。

方法一：单摆法

应用单摆来测量重力加速度是实验室常用的一种方法, 其方法简单方便, 因为单摆的振动周期是决定于振动系统本身的性质, 即决定于重力加速度g 和摆长l , 只需要量出摆长l , 并测定摆动的周期T,

根据单摆小球做接近简谐振动时的周期2T =g 值。 实验原理 ：

如图（1）所示，当单摆的摆角很小（小于50

）时，可看作简谐运动，其

固有周期为2T π=由公式可得22

4g l T π=故只要测定摆长l 和单摆

的周期T ，即可算出重力加速度g 。

实验器材：长约1米的细线、小铁球、铁架台（连铁夹）、米尺、秒表。 实验步骤

（1）将细线的一端穿过铁球上的小孔并打结固定好，线的另一端固定在铁架台上，构成一个单摆。

（2）用毫米刻度的米尺测定单摆的摆长l （摆线静挂时从悬挂点到球心的距离）。

（3）让单摆摆动（摆角小于50

），测定n （30）次全振动的时间t ，用公式

求出

单摆的平均周期T ；

（4）用公式2

2

4g l T π=算出重力加速度g 。

实验数据记录、处理：

05167.01

)(5

1

2

=-'-'=

∑='n L L S i i L cm ；30332.01

)

(5

1

2

=--=

∑=n D D S i i

D cm

米尺m 0.05c =∆仪 ；0719

.02

2=∆+=''仪L L S σcm 游标卡尺002cm .0=∆仪 ；30332.022=∆+=仪D D S σcm

)072.0567.65(±=±'=''L L L σcm ；

)30.019.15(D D D ±=±=σcm

168

.0)2

1(22=+='D L L σσσcm ；)168.0327.66(L ±=±=L L σcm 单摆周期数据处理：

s 001.0=∆仪 ；

=--=

∑=1

)

(5

1

2

n T T S i i

T 0.0021s

=∆+=22

T T S 仪σ0.0023s ； =±=T σT T （1.635±0.0023）s

求得g 的近似值：==2

24T L g π978.48cm/s 2

003786.02E 2

=⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=T L T L g σσ ；g g E g ⋅=σ=3.71

实验结论：=±=g g g σ2

/71.348.978s cm ）（± 。

注意事项：

1、 细线不可伸缩，长度约1m

。小球应选用密度较大的金属球，直径应较小（最好不超过

2㎝）。

2、 单摆的上端不要卷在夹子上，而要用夹子加紧，以免单摆摆动时摆线滑动或者摆长改变。

3、 最大摆角小于5º，可用量角器测量，然后通过振幅来掌握。

4、 摆球摆动时要在同一个竖直平面内。

5、 计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低点时开始计时，以后摆球从同一方向通过最低点时进行计数，且在数零的同时按下秒表，开始计时计数，并且要测多次全振动的总时间，然后除以振动次数，如此反复三次，求得周期的平均值作为单摆的周期。

方法二：复摆法

实验原理：

如图（2），在重力作用下能绕固定水平转轴在竖直面内自由摆动的刚体称为复摆（物理摆）。设刚体的质量为m ，重心G 到转轴O 的距离为h ，绕O 轴的转动惯量为I ，当OG 连线与铅垂线的夹角为θ时，刚体受到的重力矩：

M mgh θ=- （1）

式中的负号表示力矩的方向与角位移的方向相反。当摆角θ<5°时，sin θθ≈ ，此时：

M mgh θ=- （2）

于是由刚体转动定律22

d M I dt θ

=可得：

22d mgh

dt I

θθ=- （3） 令2mgh

I

ω=

,可得复摆的动力学方程： 22

20d dt

θωθ+= （4） 其摆动周期：

22T π

ω

=

= （5） 若令'

I

L mh

=

，则复摆的周期公式可改写为：

2T = （6）

它与单摆的周期公式相同，因而又把L ' 称为复摆的等值单摆长（即等效摆长）。可见，只要能测出复摆的周期T 及其等效摆长L ' 就可求出重力加速度g ：

2'

24g L T

π= （7）

复摆的周期可以测得非常精确，但直接测量L ' 相当困难，一是重心G 的位置不易确定，h 难以精确测定；二是复摆不可能做成密度均匀的理想形状，其I 难以精确计算。不过，可以利用复摆的共轭特性来间接测量L ' 。

如图（3），复摆的共轭特性是指在重心G 的两旁总可以找到两个共轭点O 和O ΄（与重心三点共线），当两点之间的距离等于等效摆长L ' 时，以O 为悬点的摆动周期和以O ΄为悬点的摆动周期正好相等。证明如下：设复摆对重心G 轴的转动惯量为I G ，根据平行轴定理可得复摆对转轴O 到重心的距离为h 的转动惯量：

2G I I mh =+ （8）

复摆以O 为悬点的等效摆长：

'G I I

L h mh mh

=

=+ （9） 同理可以求得复摆以O ΄为悬点（到重心的距离为L ΄-h ）的等效摆长：