有限元法理论及应用参考答案

有限元法理论及应用大作业

1、试简要阐述有限元理论分析的基本步骤主要有哪些？

答：有限元分析的主要步骤主要有：

（1）结构的离散化，即单元的划分；

（2）单元分析，包括选择位移模式、根据几何方程建立应变与位移的关系、根据虚功原理建立节点力与节点位移的关系，最后得到单元刚度方程；

（3）等效节点载荷计算；

（4）整体分析，建立整体刚度方程；

（5）引入约束，求解整体平衡方程。

2、有限元网格划分的基本原则是什么？指出图示网格划分中不合理的地方。

题2图

答：一般选用三角形或四边形单元，在满足一定精度情况，尽可能少一些单元。

有限元划分网格的基本原则:

1.拓扑正确性原则。即单元间是靠单元顶点、或单元边、或单元面连接

2.几何保持原则。即网络划分后，单元的集合为原结构近似

3.特性一致原则。即材料相同，厚度相同

4.单元形状优良原则。单元边、角相差尽可能小

5.密度可控原则。即在保证一定精度的前提下，网格尽可能的稀疏一些。（a）(b)中节点没有有效的连接，且（b）中单元边差相差很大。

（c）中没有考虑对称性，单元边差很大。

3、分别指出图示平面结构划分为什么单元？有多少个节点？多少个自由度？

题3图

答：（a ）划分为杆单元， 8个节点，12个自由度。 （b ）划分为平面梁单元，8个节点，15个自由度。 （c ）平面四节点四边形单元，8个节点，13个自由度。 （d ）平面三角形单元，29个节点，38个自由度。 4、什么是等参数单元？。

答：如果坐标变换和位移插值采用相同的节点，并且单元的形状变换函数与位移插值的形函数一样，则称这种变换为等参变换，这样的单元称为等参单元。 5、在平面三节点三角形单元中，能否选取如下的位移模式，为什么？

(1).

⎪⎩⎪⎨⎧++=++=2

65432

21),(),(y x y x v y

x y x u αααααα (2). ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=2

65242

3221),(),(y

xy x y x v y

xy x y x u αααααα 答：（1）不能，因为位移函数要满足几何各向同性，即单元的位移分布不应与人为选取的 坐标方位有关，即位移函数中的坐标x,y 应该是能够互换的。所以位移多项式应按巴斯卡三角形来选择。

（2）不能，位移函数应该包括常数项和一次项。

6、设位移为线性变化，将图示各单元边上的载荷等效到相应的节点上去。 （1）集中力F 平行于x 轴，e 点到i 、j 点的距离分别为ｌie ，ｌje ； （2）边长为ｌij 的ij 边上有线性分布载荷，最大值为q 。

题6图

答：（1）⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢

⎢⎣⎡+-=0je

ie ie ja l l l F

F ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎣⎡+-=0je ie je ia l l l F F （2）i,j 两节点受到的力分别为

ij ql 61，ij ql 3

1

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=θθcos 61

sin 61ij ij i ql ql P ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=θθcos 31sin 31ij ij j

ql ql P 7、图示三角形ijm 为等边三角形单元，边长为ｌ，单位面积材料密度位ρ，集中力F 垂直作用于mj 边的中点，集度为q 的均布载荷垂直作用于i m 边。写出三角形单元的节点载荷向量。

题7图 题8图

答：将q 移置到m,i 节点：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=ql ql P m 41431 ⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=ql ql P i 41431

将F 移置到m,j 两节点：⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=F F P m 41432 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=F F P j 41432 将重力移置到i,j,m 点：33231230j i m P P l P ==⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡-=ρ

叠加后得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=212341414343l F ql F ql P m ρ ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=21234143l ql ql P i ρ ⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=21234143

l F F P j ρ

8、如图所示为线性位移函数的三角形单元，若已知i 、j 两个节点的位移为零，试证明ij 边上任意一点的位移都为零。

证：设ij 边上任一点坐标为x,y ，则其位移为：

∵i 、j 点位移为0 ∴所以u i ,v i ,u j ,v j 均为0 要证 {δ}=0，只需证 N m =0

∵N m =(a m +b m x +c m y)/2A ，a m =x i y j -x j y i ，b m =y i -y j ，c m =x j -x i ∴N m = [x i y j -x j y i +(y i -y j )x+(x j -x i )y]/2A=[xy i -yx i ]/2A ∵该点为ij 边上任一点 ∴y i /x i =y/x ∴Nm = 0

9、已知图示的三角形单元，其jm 边和mi 边边长均为a ，单元厚度为t ，弹性模

⎪⎪⎪⎪⎭

⎪

⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣

⎡=m m j j i i m j

i

m j i

v u v u v u N N N N N N 0

000}{δ