量子力学和相关数学概念

量子力学涉及的重要概念

量子力学和经典力学都是理论物理学非常成功的科学范式，从经典力学到量子力学或从量子力学到经典力学是一种范式转变（paradigm shift ）的过程；这种转变突出体现在两个方面：第一，经典力学描述物理系统以该系统的空间位形（位置和形状）为基础，位形的变化及如何变化反映系统的运动及动力学性质；而量子力学描述物理系统则以该系统的状态为基础，由此引入了一个经典力学中完全没有的量子态的概念，态蕴含了该系统的所有物理信息。第二，经典力学认为物理量（物理量是指一切现象、实体、物质等的可以被观测量化的物理性质）的数学模型是数值量；而量子力学则认为物理量的数学模型是线性算符量，即从c-number 到q-number 的转变；前者认为物理量直接能被观测量化，后者认为同观测相联系的仅仅只是物理量的本征值或期望值。量子力学研究的物理系统主要是纳米或亚纳米尺度的少数粒子，主要研究目的是描述它们的相互作用及运动规律。经典力学主要研究少数宏观物体的相互作用及运动规律，只不过有时视研究目的而忽略了它们本身的大小及结构而将它们看成质点。

量子力学理论结构：数学形式（采用Dirac-von Neumann 的形式体系(formal system)）+物理诠释（采用哥本哈根学派的解释）

列出量子力学五大公设如下：

①、量子态公设（量子态是描述物理系统的基础）

②、物理量公设（经典力学中物理量的数学对应是各阶数值张量，而量子力学中物理量的数学对应是各阶线性算符张量，物理量的这种数学形式本身就表明在任何一个时刻（在测量前）对一个量子系统的物理量不可能预言单一的数值，除非一个算符的本征值只有一个，但任何一个时刻物理量的算符形式仍是确定的，这便是量子力学的决定论，即我们能准确预言任意时刻物理量的算符形式而不是物理量的数值。因此从经典力学过渡到量子力学的方法就是保留物理量原有的形式并把复数改成线性算符即可，除非出现了没有经典对应的

物理量，比如自旋。例：ˆˆ(/,)(/,)p E c p H

c p i μμ=→=∂） ③、量子化条件（正则对易或反对易关系，特别是[],q p i =，q 、p 是正则坐标） ④、态的运动方程（包括哈密顿量的构造）

⑤、对于两个数学形式的物理解释：ˆa a

A a ψψ=、ˆA ψψ（事实上基于①②两条公设此公设是可以argue 出来的。）

⑥、粒子全同性原理：数学描述就是交换任意两个粒子的量子坐标（标记一个量子态的一组完备量子数），量子态差一个相位因子。如果差一个-1，那么粒子就是全同费米子；如果完全不变则是全同玻色子。

一、希尔伯特空间（Hilbert space ）：附加了复内积结构的完备的线性空间。注意：复内积是从希尔伯特空间到其数域的映射，因此希尔伯特空间中的向量必定能归一化。但是量子力学中也常常涉及一些不可归一化的向量（至少是作为一种有用的数学工具），从严格意义上讲这种向量不属于希尔伯特空间，为了能从数学上严格讨论这种向量，数学家引入了新的代数结构，即所谓的装备希尔伯特空间（rigged Hilbert space 、equipped Hilbert space ），我们并不纠缠这种层面的数学上的严密性。

定义了复内积之后，我们直接用x x 来定义任意向量（该空间的元素）的长度（范数，norm ），即x x x ，它显然满足长度的三公理。完备性的意义是：任意柯西列总是

收敛到该空间的某个元素，这等价于lim n n x y H →∞=∈。（度量空间中的柯西列定义：形式

上说，给定任何一个度量空间（metric space ），一个序列

（每个元素都属于该空间）

被称为柯西列，如果对于任何正实数，存在一个正整数

使得对于所有的整数

，都有

其中表示x 和y 之间的距离，距离可以用已定义的范数x y -来替代。）

二、量子态（quantum state ）：它表示一个量子系统（可能是单粒子也可能是多粒子）所处的状态（量子态包含该量子系统的所有运动和动力学信息），在数学上的对应就是希尔伯特空间中的元素，也就是抽象矢量，用Dirac notation 中的符号标记为a ，称之为右矢（ket ），在没有与左矢相区分的情况下可以简记为a 。由此我们人为地建立了物理量和数学量之间的对应，这样才能利用数学来进一步发展这套物理理论。注意：在这套理论框架下波函数只是量子态的一种常用表象，但一般为了方便我们在讲法上不再区分波函数和态，它们俩同义，都能全权代表一个量子系统。

三、算符（operator ）：就是H 空间的一种映射（mapping ），用大写字母表示，算符作用在一个向量上将会变换到另一个向量，因此数学上定义为:A H H →。（算符的等价性及算符相加、相乘、线性等定义不再赘述），并且我们认为特定的动力学变量（dynamical variable ）和特定的线性算符（linear operator ）相对应。我们定义A a Aa ≡。

四、对偶空间（dual space ）及左矢（bra ）：左矢标记为a ，左矢就是H 空间的线性函数（也叫one-form 或covector ），线性函数定义为从线性空间H 到其数域的线性映射，容易证明H 空间上的所有线性函数在定义它们之间的加法和数乘后（在此不再赘述这种定义）也构成一个线性空间，我们称之为H 的对偶空间，记为*H ，也即所有左矢构成*H （对于有限维空间容易证明对偶空间与原空间具有相同维度）。在定义了复内积(注：在量子力学中习惯认为复内积""是对左单元反线性而对右单元线性的二元映射）之后，对任意一

个右矢a ，我们总可以定义一个与之对应的单元线性函数：:a H →，黑点处表示

可以填入任意H 空间的元素，所以对任意右矢a 总有与之对应的左矢a a ≡。两个左矢,a b 相同是指对任意右矢x 有a x b x =。Riesz representation theorem 证明了右矢和左矢之间有一一对应关系；左矢与对应的右矢称为互为共轭虚量（P.A.M.D 的说法）。

五、算符的厄米共轭（Hermitian ）：算符的厄米共轭还是一个算符，它定义为：已定义A 算符，若存在一个B 算符使得,a Aa Ba a a H =∀∈成立，则称B 为A 的厄米共轭并记†

B A ≡。数学上可以证明任意线性算符的厄米共轭的存在性与唯一性，则有：

†††††()Aa Aa A a a A a A a A ≡===≡，我们可以认为此式的最后一项是算符†A 作用在左矢a 上得到一个全新的左矢，所以此式顺带定义了算符右作用于左矢。

六、自伴算符（self-adjoint operator ）：在第五条的基础上，A 是线性算符且†A A =，则称A 为自伴算符。量子力学中假定可观测量（observable ）对应自伴算符。

七、酉算符及反酉算符（unitary operator and antiunitary operator ）：满足

,,Aa Ab a b a b H =∀∈的线性算符A 称之为酉算符；满足

,,Aa Ab a b a b H =∀∈的反线性算符A 称之为反酉算符。量子力学中的对称性变换对应酉算符或反酉算符。

八、李代数（Lie algebra ）：A Lie algebra is a vector space over some field F together with a binary operation called the Lie bracket, which satisfies the following axioms:

Bilinearity:

for all scalars a, b in F and all elements x, y, z in . Alternating on :

for all x in .

The Jacobi identity:

for all x, y, z in .

例子：三维欧式空间附加矢量叉乘后成为一种李代数。

对易子（commutator ）：[],A B AB BA - 反对易子：[],A B AB BA ++

九、维格纳定理（Wigner's theorem ）：it states that a surjective (not necessarily linear) map T: H → H on a complex Hilbert space H that satisfies