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高中数学——集合新定义题目(教案)

集合新定义题目1.（已知集合22{(,)3,,}A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（） A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A2211311x x y y -≤≤⎧+≤⎨-≤≤⎩，解得，又因为x Z y Z ∈∈，，所以1,0,11,01x y =-=-；，339⨯=，故A 中的元素有9个.2.已知集合{}1,2,3,4,5A =，,,,{()|}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10 【答案】D 解：,,,{()|}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，{}1,2,3,4,5A =，2x ∴=，1y =；3x =，1,2y =；4x =，1,2,3y =；5x =，1,2,3,4y =.()()()()()()()()()(){}2,13,13,24,14,24,35,15,,,,,,25,,,3,5,4,B ∴=，B ∴中所含元素的个数为10.3.已知集合A ，B 满足运算{|A B x x A *=∈且}x B ∉，若集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则A B *=( )A.{}1,2,3B.{}2,4C.{}1,3D.{}2【答案】C4.在集合{},,,a b c d 上定义两种运算⊕和⊗如下：a b c d a a b c d b b b b b c c b cbddb b d⊕ a b c d a a a a a b a b c d c accada d a d⊗ 那么()d a c ⊗⊕=( )A. aB. bC. cD. d 【答案】A5.若集合,1{}1A =-，{}0,2B =，则集合{|}z z x y x A y B =+∈∈，，中的元素个数为( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】C6.集合M 中的元素都是正整数，且若a M ∈，则6a M -∈，则所有满足条件的集合M 共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【答案】B7.已知元素为实数的集合S 满足下列条件：①0S ∉，1S ∉；②若a S ∈，则11S a∈-．（1）若{22}S -⊆，，求使元素个数最少的集合S ；（2）若非空集合S 为有限集，则你对集合S 的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确．【答案】（1）1132,1,,2,,232⎧⎫--⎨⎬⎩⎭；解：（1）2S ∈，则1S -∈，12S ∈，可得2S ∈；2S -∈，则13S ∈，32S ∈，可得2S -∈，∴{22}S -⊆，，使元素个数最少的集合S 为1132,1,,2,,232⎧⎫--⎨⎬⎩⎭．（2）非空有限集S 的元素个数是3的倍数．证明如下：①设a S ∈则0a ≠，1且a S ∈，则11S a ∈-，11111a S a a-=∈--，111a S a a=∈--，假设11a a =-，则2101a a a -+=≠（）无实数根，故11a a≠-.同理可证a ，11a -，1a a-两两不同．即若有a S ∈，则必有11,,1a a S a a -⎧⎫⊆⎨⎬-⎩⎭． ②若存在()b S b a ∈≠，必有11,,1b b S b b -⎧⎫⊆⎨⎬-⎩⎭1111,,,,11a b a b a a b b --⎧⎫⎧⎫=∅⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭于是1111,,,,,11a b a b S a ab b --⎧⎫⊆⎨⎬--⎩⎭．上述推理还可继续，由于S 为有限集，故上述推理有限步可中止，∴S 的元素个数为3的倍数． 8.已知集合(){}22,1A x y xy =+≤，{}()|,11,11B x y x y =≤≤-≤≤-，则集合()()(){}12121122,,,,,,x y x x x y y y x y A x N y B =+=∈=+∈表示的区域的面积是________．【答案】12π+解：由N 解得1212,x x x y y y =-=-，代入221x y +≤，得()()22221x x y y -+-≤，该解析式表示圆心在区域{()|,}1111x y x y ≤≤-≤≤-，内变动，变动过程中形成如图所示的平面区域，这个区域含有1个边长为2的正方形区域，以及4个四分之一圆形(半径为1)区域，个边长分别为2，1的矩形区域，故其面积是2242112ππ⨯+⨯⨯=+＋9. 设整数4n ≥，集合1,2,3,},{X n =⋯．令集合{(),,,|,S x y z x y z X =∈，且三个条件：x y z <<，y z x <<，z x y <<中恰有一个成立}，若(,,)x y z 和(,,)z w x 都在S 中，则下列选项正确的是( )A ．,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∉B ．,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∈C ．,,()y z w S ∉，,,()x y w S ∈D ．,,()y z w S ∉，,,()x y w S ∉ 【答案】B解：方法一：(一般方法)因为,,()x y z S ∈，,,()z w x S ∈，所以x y z <<①，y z x <<②，z x y <<③三个式子中恰有一个成立；z w x <<④，w x z <<⑤，x z w <<⑥三个式子中恰有一个成立．则x ，y ，z ，w 的大小有四种情况．第一种：①⑤成立，此时w x y z <<<，于是,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∈；第二种：①⑥成立，此时x y z w <<<，于是,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∈；第三种：②④成立，此时y z w x <<<，于是,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∈；第四种：③④成立，此时z w x y <<<，于是,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∈.综合上述四种情况，可得,,()y z w S ∈，,,()x y w S ∈.方法二：(特殊值法)不妨令2x =，3y =，4z =，1w =，则()(),1,4,,3y z w S =∈，()(),1,3,,2x y w S =∈，故选B.10.已知集合{(),|,}A x y x y R =∈，若,x y A ∈，已知()()1122,,,x x y y x y ==，定义集合A 中元素间的运算x y *，称为“*”运算，此运算满足以下运算规律： ①任意,x y A ∈有x y y x *=*；②任意,,x y z A ∈有()x y z x z y z +*=*+*，其中1212(),x x x y y y +=++；③任意,x y A ∈，a R ∈有()()ax y a x y *=*；④任意x A ∈有0x x *≥，且0x x *=成立的充分必要条件是)0(0x =，．如果()()1122,,,x x y y x y ==，那么下列运算满足“*”运算的是( ) A ．11222x y x y x y *=+ B ．1122x y x y x y *=- C ．11221x y x y x y *=++ D ．12122x y x x y y *=+ 【答案】D易知A 、B 选项中的运算均不满足规律①；C 选项中，若令)0(0x =，，则0011x x *=++=，不满足规律④.故选D。

新定义综合(数列新定义、函数新定义、集合新定义)(2015-2024)高考真题数学分项汇编全国通用

专题25新定义综合（数列新定义、函数新定义、集合新定义及其他新定义）考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1数列新定义（10年10考）2024·全国新Ⅰ卷、2024·北京卷、2023·北京卷2022·北京卷、2021·全国新Ⅱ卷、2021·北京卷2020·全国新Ⅱ卷、2020·北京卷2020·江苏卷2019·江苏卷、2018·江苏卷、2017·北京卷2017·江苏卷、2016·江苏卷、2016·北京卷2016·上海卷、2016·上海卷、2015·北京卷新高考数学新结构体系下，新定义类试题更综合性的考查学生的思维能力和推理能力;以问题为抓手，创新设问方式，搭建思维平台，引导考生思考，在思维过程中领悟数学方法。

题目更加注重综合性、应用性、创新性，本题分值最高，试题容量明显增大，对学科核心素养的考查也更深入。

压轴题命题打破了试题题型、命题方式、试卷结构的固有模式，增强试题的灵活性，采取多样的形式多角度的提问，考查学生的数学能力，新定义题型的特点是;通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移达到灵活解题的目的;遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义照章办事”逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，难度较难，需重点特训。

考点2函数新定义（10年4考）2024·上海、2020·江苏、2018·江苏2015·湖北、2015·福建考点3集合新定义（10年3考）2020·浙江卷、2018·北京卷2015·山东卷、2015·浙江卷考点4其他新定义（10年2考）2020·北京卷、2016·四川卷考点01数列新定义一、小题1．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）设正整数010112222k kk k n a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅ ，其中{}0,1i a ∈，记()01k n a a a ω=+++ ．则（）A ．()()2n n ωω=B ．()()231n n ωω+=+C ．()()8543n n ωω+=+D ．()21nnω-=2．（2020·全国新Ⅱ卷·高考真题）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈= ，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +== 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)m i i k i C k a a k m m +===-∑ 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（）A ．11010B ．11011C ．10001D ．11001二、大题1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．(1)写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；(2)当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；(3)从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．2．（2024·北京·高考真题）已知集合(){}{}{}{}{},,,1,2,3,4,5,6,7,8,M i j k w i j k w i j k w =∈∈∈∈+++且为偶数．给定数列128:,,,A a a a ，和序列12:,,s T T T Ω ，其中()(),,,1,2,,t t t t t T i j k w M t s =∈= ，对数列A 进行如下变换：将A 的第1111,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到的数列记作()1T A ；将()1T A 的第2222,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到数列记作()21T T A ；……；以此类推，得到()21s T T T A ，简记为()A Ω．(1)给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；(2)是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，求证：“存在序列Ω，使得()A Ω的各项都相等”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．3．（2023·北京·高考真题）已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >，且,{1,2,,},n n a b m ∈ {}{},n n a b 的前n项和分别为,n n A B ，并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈ ，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r iB A i m =≤∈∣ ，其中，max M 表示数集M 中最大的数.(1)若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======，求0123,,,r r r r 的值；(2)若11a b ≥，且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=- ，求n r ；(3)证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈ ，满足,,p q s t >>使得t p s q A B A B +=+．4．（2022·北京·高考真题）已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈ ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n +++++++= ，则称Q 为m -连续可表数列．(1)判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(2)若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥．5．（2021·北京·高考真题）设p 为实数.若无穷数列{}n a 满足如下三个性质，则称{}n a 为p ℜ数列：①10a p +≥，且20a p +=；②414,1,2,n n a a n -<=⋅⋅⋅()；③{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++，(),1,2,m n =⋅⋅⋅．（1）如果数列{}n a 的前4项为2，-2，-2，-1，那么{}n a 是否可能为2ℜ数列？说明理由；（2）若数列{}n a 是0ℜ数列，求5a ；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S .是否存在p ℜ数列{}n a ，使得10n S S ≥恒成立？如果存在，求出所有的p ；如果不存在，说明理由．6．（2020·北京·高考真题）已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =；②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2k n la a a =．(Ⅰ)若(1,2,)n a n n == ，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若12(1,2,)n n a n -== ，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列.7．（2020·江苏·高考真题）已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为Sn ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k k n n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ~k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ~1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2”数列，且an ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ~3”数列，且an ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，8．（2019·江苏·高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值．9．（2018·江苏·高考真题）设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．10．（2017·北京·高考真题）设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，n cM n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．11．（2017·江苏·高考真题）对于给定的正整数k ,若数列{an }满足a a a a a a a --+-++-++++++=1111......2n k n k n n n k n k nk 对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an }是“P(k)数列”.(1)证明：等差数列{an }是“P(3)数列”；（2）若数列{an }既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an }是等差数列.12．（2016·江苏·高考真题）记{}1,2,,100U = .对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t = ，定义12k T t t t S a a a =+++ .例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,,T k ⊆ ，求证：1T k S a +<；（3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥，求证：2C C D D S S S ⋂+≥.13．（2016·北京·高考真题）设数列A ：1a ，2a ,…N a (2N ≥).如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记“()G A 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合.（1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出()G A 的所有元素；（2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则()G A ≠∅；（3）证明：若数列A 满足n a -1n a -≤1（n=2,3,…,N ）,则()G A 的元素个数不小于N a -1a .14．（2016·上海·高考真题）若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意{}1,n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.15．（2016·上海·高考真题）对于无穷数列{n a }与{n b }，记A={x |x =n a ，*N n ∈}，B={x |x =n b ，*N n ∈}，若同时满足条件：①{n a }，{n b }均单调递增；②A B ⋂=∅且*N A B = ，则称{n a }与{n b }是无穷互补数列．（1）若n a =21n -，n b =42n -，判断{n a }与{n b }是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若n a =2n 且{n a }与{n b }是无穷互补数列，求数列{n b }的前16项的和；（3）若{n a }与{n b }是无穷互补数列，{n a }为等差数列且16a =36，求{n a }与{n b }得通项公式．16．（2015·北京·高考真题）已知数列{}n a 满足：*1a N ∈，136a ≤，且1218{23618n n n n n a a a a a +≤=->，，，()12n =⋯，，．记集合{}*|n M a n N =∈．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．考点02函数新定义一、小题1．（2015·湖北·高考真题）已知符号函数1,0,sgn {0,0,1,0.x x x x >==-<()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =-2．（2015·福建·高考真题）一个二元码是由0和1组成的数字串()*12n x x x n N ∈ ，其中()1,2,,k x k n = 称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码127x x x 的码元满足如下校验方程组：4567236713570,{0,0,x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=其中运算⊕定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕=．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于．二、大题1．（2024·上海·高考真题）对于一个函数()f x 和一个点(),M a b ，令()()22()()s x x a f x b =-+-，若()()00,P x f x 是()s x 取到最小值的点，则称P 是M 在()f x 的“最近点”．(1)对于1()(0)f x x x=>，求证：对于点()0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在()f x 的“最近点”；(2)对于()()e ,1,0xf x M =，请判断是否存在一个点P ，它是M 在()f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x =在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x =在定义域R 上存在导函数()f x '，且函数()g x 在定义域R 上恒正，设点()()()11,M t f t g t --，()()()21,M t f t g t ++．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是12,M M 在()f x 的“最近点”，试判断()f x 的单调性．2．（2020·江苏·高考真题）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()2222()f x x x g x x x D =+=-+=-∞+∞，，，，求h (x )的表达式；（2）若2()1()ln (),(0)f x x x g x k x h x kx k D =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()()()()422342248432(0f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<≤，，，[],D m n ⎡=⊆⎣，求证：n m -≤3．（2018·江苏·高考真题）记()(),f x g x ''分别为函数()(),f x g x 的导函数．若存在0x R ∈，满足()()00f x g x =且()()00f x g x =''，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与()222g x x x =+-不存在“S 点”；（2）若函数()21f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数()2f x x a =-+，()xbe g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间()0,+∞内存在“S 点”，并说明理由．考点03集合新定义一、小题1．（2020·浙江·高考真题）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ；下列命题正确的是（）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素2．（2015·山东·高考真题）集合M ，N ，S 都是非空集合，现规定如下运算：M N S = ()()(){|x x M N N S S M ∈⋂⋃⋂⋃⋂且}x M N S ∉⋂⋂．假设集合{}A x a x b =<<，{}B x c x d =<<，{}C x e x f =<<，其中实数a ，b ，c ，d ，e ，f 满足：（1）0ab <，0cd <；0ef <；（2）b a d c f e -=-=-；（3）b a d c f e +<+<+．计算A B C =．3．（2015·浙江·高考真题）设A ，B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =⋃-⋂，其中card()A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集A ，B ，“A B ≠”是“(,)0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+，A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立C ．命题①成立，命题②不成立D ．命题①不成立，命题②成立4．（2015·湖北·高考真题）已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．30二、大题1．（2018·北京·高考真题）设n 为正整数，集合A =(){}12{|,,,,0,1,1,2,,}n k t t t t k n αα=∈= ．对于集合A 中的任意元素()12,,,n x x x α= 和()12,,,n y y y β= ，记M （αβ，）=()()()1111222212n n n n x y x y x y x y x y x y ⎡⎤+--++--+++--⎣⎦ ．（Ⅰ）当n =3时，若()1,1,0α=，()0,1,1β=，求M （,αα）和M （,αβ）的值；（Ⅱ）当n =4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，M （αβ，）是奇数；当,αβ不同时，M （αβ，）是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，M （αβ，）=0．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．考点04其他新定义1．（2020·北京·高考真题）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A ．30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭2．（2016·四川·高考真题）在平面直角坐标系中，当(,)P x y 不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222(,)y xP x y x y-++，当P 是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A '，则点A '的“伴随点”是点A .②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．③若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是．。

高中数学新定义型问题(解析版)

新定义型问题1(新高考北京卷)生物丰富度指数d =S -1ln N是河流水质的一个评价指标，其中S ,N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由N 1变为N 2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则()A.3N 2=2N 1B.2N 2=3N 1C.N 22=N 31 D.N 32=N 21【答案】D【分析】根据题意分析可得S -1ln N 1=2.1,S -1ln N 2=3.15，消去S 即可求解.【详解】由题意得S -1ln N 1=2.1,S -1ln N 2=3.15，则2.1ln N 1=3.15ln N 2，即2ln N 1=3ln N 2，所以N 32=N 21.故选：D .2(新高考上海卷)定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取P 1,P 2,P 3∈Ω，存在不全为0的实数λ1,λ2,λ3，使得λ1OP 1+λ2OP 2 +λ3OP 3 =0．已知(1,0,0)∈Ω，则(0,0,1)∉Ω的充分条件是()A.0,0,0 ∈Ω B.-1,0,0 ∈ΩC.0,1,0 ∈ΩD.0,0,-1 ∈Ω【答案】C【分析】首先分析出三个向量共面，显然当1,0,0 ,0,0,1 ,0,1,0 ∈Ω时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案.【详解】由题意知这三个向量OP 1,OP 2 ,OP 3 共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，对A ，由空间直角坐标系易知0,0,0 ,(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当-1,0,0 ,(1,0,0)∈Ω无法推出(0,0,1)∉Ω，故A 错误；对B ，由空间直角坐标系易知-1,0,0 ,(1,0,0),(0,0,1)三个向量共面，则当0,0,0 ,(1,0,0)∈Ω无法推出(0,0,1)∉Ω，故A 错误；对C ，由空间直角坐标系易知1,0,0 ,0,0,1 ,0,1,0 三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由1,0,0 ,0,1,0 ∈Ω能推出0,0,1 ∉Ω，对D ，由空间直角坐标系易知1,0,0 ,0,0,1 ,0,0,-1 三个向量共面，则当0,0,-1 (1,0,0)∈Ω无法推出(0,0,1)∉Ω，故D 错误.故选：C ．3(新高考上海卷)已知函数f (x )的定义域为R ，定义集合M =x 0x 0∈R ,x ∈-∞,x 0 ,f x <f x 0 ，在使得M =-1,1 的所有f x 中，下列成立的是()A.存在f x 是偶函数B.存在f x 在x =2处取最大值C.存在f x 是严格增函数D.存在f x 在x =-1处取到极小值【答案】B【分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B ，构造函数f x =-2,x <-1x ,-1≤x ≤11,x >1即可判断.【详解】对于A ，若存在 y =f (x ) 是偶函数, 取 x 0=1∈[-1,1],则对于任意 x ∈(-∞,1),f (x )<f (1), 而 f (-1)=f (1), 矛盾, 故 A 错误；对于B ，可构造函数f x =-2,x <-1,x ,-1≤x ≤1,1,x >1,满足集合M =-1,1 ，当x <-1时，则f x =-2，当-1≤x ≤1时，f x ∈-1,1 ，当x >1时，f x =1，则该函数f x 的最大值是f 2 ，则B 正确；对C ，假设存在f x ，使得f x 严格递增，则M =R ，与已知M =-1,1 矛盾，则C 错误；对D ，假设存在f x ，使得f x 在x =-1处取极小值，则在-1的左侧附近存在n ，使得f n >f -1 ，这与已知集合M 的定义矛盾，故D 错误；故选：B .4(新高考上海卷)无穷等比数列a n 满足首项a 1>0,q >1，记I n =x -y x ,y ∈a 1,a 2 ∪a n ,a n +1 ，若对任意正整数n 集合I n 是闭区间，则q 的取值范围是．【答案】q ≥2【分析】当n ≥2时，不妨设x ≥y ，则x -y ∈0,a 2-a 1 ∪a n -a 2,a n +1-a 1 ∪0,a n +1-a n ，结合I n 为闭区间可得q -2≥-1qn -2对任意的n ≥2恒成立，故可求q 的取值范围.【详解】由题设有a n =a 1q n -1，因为a 1>0,q >1，故a n +1>a n ，故a n ,a n +1 =a 1q n -1,a 1q n ，当n =1时，x ,y ∈a 1,a 2 ，故x -y ∈a 1-a 2,a 2-a 1 ，此时I 1为闭区间，当n ≥2时，不妨设x ≥y ，若x ,y ∈a 1,a 2 ，则x -y ∈0,a 2-a 1 ，若y ∈a 1,a 2 ,x ∈a n ,a n +1 ，则x -y ∈a n -a 2,a n +1-a 1 ，若x ,y ∈a n ,a n +1 ，则x -y ∈0,a n +1-a n ，综上，x -y ∈0,a 2-a 1 ∪a n -a 2,a n +1-a 1 ∪0,a n +1-a n ，又I n 为闭区间等价于0,a 2-a 1 ∪a n -a 2,a n +1-a 1 ∪0,a n +1-a n 为闭区间，而a n +1-a 1>a n +1-a n >a 2-a 1，故a n +1-a n ≥a n -a 2对任意n ≥2恒成立，故a n +1-2a n +a 2≥0即a 1q n -1q -2 +a 2≥0，故q n -2q -2 +1≥0，故q -2≥-1qn -2对任意的n ≥2恒成立，因q >1，故当n →+∞时，-1qn -2→0，故q -2≥0即q ≥2.故答案为：q ≥2.【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理.5(新课标全国Ⅰ卷)设m 为正整数，数列a 1,a 2,...,a 4m +2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a i 和a j i <j 后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a 1,a 2,...,a 4m +2是i ,j -可分数列．(1)写出所有的i ,j ，1≤i <j ≤6，使数列a 1,a 2,...,a 6是i ,j -可分数列；(2)当m ≥3时，证明：数列a 1,a 2,...,a 4m +2是2,13 -可分数列；(3)从1,2,...,4m +2中一次任取两个数i 和j i <j ，记数列a 1,a 2,...,a 4m +2是i ,j -可分数列的概率为P m ，证明：P m >18．【答案】(1)1,2 ,1,6 ,5,6 (2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据i ,j -可分数列的定义即可；(2)根据i ,j -可分数列的定义即可验证结论；(3)证明使得原数列是i ,j -可分数列的i ,j 至少有m +1 2-m 个，再使用概率的定义.【详解】(1)首先，我们设数列a 1,a 2,...,a 4m +2的公差为d ，则d ≠0.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形a k =a k -a 1d+1k =1,2,...,4m +2 ，得到新数列a k =k k =1,2,...,4m +2 ，然后对a 1,a 2,...,a 4m +2进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设a k =k k =1,2,...,4m +2 ，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和j i <j ，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的i ,j 就是1,2 ,1,6 ,5,6 .(2)由于从数列1,2,...,4m +2中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①1,4,7,10 ,3,6,9,12 ,5,8,11,14 ，共3组；②15,16,17,18 ,19,20,21,22 ,...,4m -1,4m ,4m +1,4m +2 ，共m -3组.(如果m -3=0，则忽略②)故数列1,2,...,4m +2是2,13 -可分数列.(3)定义集合A =4k +1 k =0,1,2,...,m =1,5,9,13,...,4m +1 ，B =4k +2 k =0,1,2,...,m =2,6,10,14,...,4m+2.下面证明，对1≤i<j≤4m+2，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,4m+2一定是i,j-可分数列：命题1：i∈A,j∈B或i∈B,j∈A；命题2：j-i≠3.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果i∈A,j∈B，且j-i≠3.此时设i=4k1+1，j=4k2+2，k1,k2∈0,1,2,...,m.则由i<j可知4k1+1<4k2+2，即k2-k1>-14，故k2≥k1.此时，由于从数列1,2,...,4m+2中取出i=4k1+1和j=4k2+2后，剩余的4m个数可以分为以下三个部分，共m组，使得每组成等差数列：①1,2,3,4,5,6,7,8,...,4k1-3,4k1-2,4k1-1,4k1，共k1组；②4k1+2,4k1+3,4k1+4,4k1+5,4k1+6,4k1+7,4k1+8,4k1+9,...,4k2-2,4k2-1,4k2,4k2+1，共k2-k1组；③4k2+3,4k2+4,4k2+5,4k2+6,4k2+7,4k2+8,4k2+9,4k2+10,...,4m-1,4m,4m+1,4m+2，共m-k2组.(如果某一部分的组数为0，则忽略之)故此时数列1,2,...,4m+2是i,j-可分数列.第二种情况：如果i∈B,j∈A，且j-i≠3.此时设i=4k1+2，j=4k2+1，k1,k2∈0,1,2,...,m.则由i<j可知4k1+2<4k2+1，即k2-k1>14，故k2>k1.由于j-i≠3，故4k2+1-4k1+2≠3，从而k2-k1≠1，这就意味着k2-k1≥2.此时，由于从数列1,2,...,4m+2中取出i=4k1+2和j=4k2+1后，剩余的4m个数可以分为以下四个部分，共m组，使得每组成等差数列：①1,2,3,4,5,6,7,8,...,4k1-3,4k1-2,4k1-1,4k1，共k1组；②4k1+1,3k1+k2+1,2k1+2k2+1,k1+3k2+1，3k1+k2+2,2k1+2k2+2,k1+3k2+2,4k2+2，共2组；③全体4k1+p,3k1+k2+p,2k1+2k2+p,k1+3k2+p，其中p=3,4,...,k2-k1，共k2-k1-2组；④4k2+3,4k2+4,4k2+5,4k2+6,4k2+7,4k2+8,4k2+9,4k2+10,...,4m-1,4m,4m+1,4m+2，共m-k2组.(如果某一部分的组数为0，则忽略之)这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含k2-k1-2个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：4k1+3,4k1+4,...,3k1+k2，3k1+k2+3,3k1+k2+4,...,2k1+2k2，2k1+2k2+3,2k1+2k2+3,...,k1+3k2，k1+3k2+3,k1+3k2+4,...,4k2.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍4k1+1,4k1+2,...,4k2+2中除开五个集合4k1+1,4k1+2，3k1+k2+1,3k1+k2+2，2k1+2k2+1,2k1+2k2+2，k1+3k2+1,k1+3k2+2，4k2+1,4k2+2中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的4k1+2和4k2+1以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,4m+2是i,j-可分数列.至此，我们证明了：对1≤i<j≤4m+2，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,4m+2一定是i,j-可分数列.然后我们来考虑这样的i,j的个数.首先，由于A∩B=∅，A和B各有m+1个元素，故满足命题1的i,j总共有m+12个；而如果j-i=3，假设i∈A,j∈B，则可设i=4k1+1，j=4k2+2，代入得4k2+2-4k1+1=3.但这导致k2-k1=12，矛盾，所以i∈B,j∈A.设i=4k1+2，j=4k2+1，k1,k2∈0,1,2,...,m，则4k2+1-4k1+2=3，即k2-k1=1.所以可能的k1,k2恰好就是0,1,1,2,...,m-1,m，对应的i,j分别是2,5,6,9,..., 4m-2,4m+1，总共m个.所以这m+12个满足命题1的i,j中，不满足命题2的恰好有m个.这就得到同时满足命题1和命题2的i,j的个数为m+12-m.当我们从1,2,...,4m+2中一次任取两个数i和j i<j时，总的选取方式的个数等于4m+24m+12=2m+14m+1.而根据之前的结论，使得数列a1,a2,...,a4m+2是i,j-可分数列的i,j至少有m+12-m个.所以数列a1,a2,...,a4m+2是i,j-可分数列的概率P m一定满足P m≥m+12-m2m+14m+1=m2+m+12m+14m+1>m2+m+142m+14m+2=m+12222m+12m+1=18.这就证明了结论.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论.6(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C:x2-y2=m m>0，点P15,4在C上，k为常数，0<k<1．按照如下方式依次构造点P n n=2,3,...，过P n-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Q n-1，令P n为Q n-1关于y轴的对称点，记P n的坐标为x n,y n.(1)若k=12，求x2,y2；(2)证明：数列x n-y n是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n为△P n P n+1P n+2的面积，证明：对任意的正整数n，S n=S n+1.【答案】(1)x2=3，y2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出P2的坐标即可；(2)根据等比数列的定义即可验证结论；(3)思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明S n的取值为与n无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明S n的取值为与n无关的定值即可.【详解】(1)由已知有m=52-42=9，故C的方程为x2-y2=9.当k=12时，过P15,4且斜率为12的直线为y=x+32，与x2-y2=9联立得到x2-x+322=9.解得x=-3或x=5，所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1-3,0，该点显然在C的左支上.故P23,0，从而x2=3，y2=0.(2)由于过P n x n,y n且斜率为k的直线为y=k x-x n+y n，与x2-y2=9联立，得到方程x2-k x-x n+y n2=9.展开即得1-k2x2-2k y n-kx nx-y n-kx n2-9=0，由于P n x n,y n已经是直线y=k x-x n+y n和x2 -y2=9的公共点，故方程必有一根x=x n.从而根据韦达定理，另一根x=2k y n-kx n1-k2-x n=2ky n-x n-k2x n1-k2，相应的y=k x-x n+y n=y n+k2y n-2kx n1-k2.所以该直线与C的不同于P n的交点为Q n2ky n-x n-k2x n1-k2,y n+k2y n-2kx n1-k2，而注意到Q n的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n-kx n2-91-k2x n，故Q n一定在C的左支上.所以P n+1x n+k2x n-2ky n1-k2,y n+k2y n-2kx n1-k2.这就得到x n+1=x n+k2x n-2ky n1-k2，y n+1=y n+k2y n-2kx n1-k2.所以x n+1-y n+1=x n+k2x n-2ky n1-k2-y n+k2y n-2kx n1-k2=x n+k2x n+2kx n1-k2-y n+k2y n+2ky n1-k2=1+k2+2k1-k2x n-y n=1+k1-kx n-y n.再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW=c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW=12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k 2x n +y n=1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k -921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明Sn 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m .这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.7(新高考北京卷)设集合M =i ,j ,s ,t i ∈1,2 ,j ∈3,4 ,s ∈5,6 ,t ∈7,8 ,2i +j +s +t ．对于给定有穷数列A :a n 1≤n ≤8 ，及序列Ω:ω1,ω2,...,ωs ，ωk =i k ,j k ,s k ,t k ∈M ，定义变换T ：将数列A 的第i 1,j 1,s 1,t 1项加1，得到数列T 1A ；将数列T 1A 的第i 2,j 2,s 2,t 2列加1，得到数列T 2T 1A ⋯；重复上述操作，得到数列T s ...T 2T 1A ，记为ΩA ．(1)给定数列A :1,3,2,4,6,3,1,9和序列Ω:1,3,5,7 ,2,4,6,8 ,1,3,5,7 ，写出ΩA ；(2)是否存在序列Ω，使得ΩA 为a 1+2,a 2+6,a 3+4,a 4+2,a 5+8,a 6+2,a 7+4,a 8+4，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且a 1+a 3+a 5+a 7为偶数，证明：“存在序列Ω，使得ΩA 为常数列”的充要条件为“a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8”．【答案】(1)ΩA :3,4,4,5,8,4,3,10(2)不存在符合条件的Ω，理由见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接按照ΩA 的定义写出ΩA 即可；(2)利用反证法，假设存在符合条件的Ω，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；(3)分充分性和必要性两方面论证.【详解】(1)由题意得ΩA :3,4,4,5,8,4,3,10；(2)假设存在符合条件的Ω，可知ΩA 的第1,2项之和为a 1+a 2+s ，第3,4项之和为a 3+a 4+s ，则a 1+2 +a 2+6 =a 1+a 2+sa 3+4 +a 4+2 =a 3+a 4+s，而该方程组无解，故假设不成立，故不存在符合条件的Ω；(3)我们设序列T k ...T 2T 1A 为a k ,n 1≤n ≤8 ，特别规定a 0,n =a n 1≤n ≤8 .必要性：若存在序列Ω:ω1,ω2,...,ωs ，使得ΩA 为常数列.则a s ,1=a s ,2=a s ,3=a s ,4=a s ,5=a s ,6=a s ,7=a s ,8，所以a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8.根据T k ...T 2T 1A 的定义，显然有a k ,2j -1+a k ,2j =a k -1,2j -1+a k -1,2j ，这里j =1,2,3,4，k =1,2,....所以不断使用该式就得到，a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8，必要性得证.充分性：若a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8.由已知，a 1+a 3+a 5+a 7为偶数，而a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8，所以a 2+a 4+a 6+a 8=4a 1+a 2 -a 1+a 3+a 5+a 7 也是偶数.我们设T s ...T 2T 1A 是通过合法的序列Ω的变换能得到的所有可能的数列ΩA 中，使得a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 最小的一个.上面已经证明a k ,2j -1+a k ,2j =a k -1,2j -1+a k -1,2j ，这里j =1,2,3,4，k =1,2,....从而由a 1+a 2=a 3+a 4=a 5+a 6=a 7+a 8可得a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8.同时，由于i k +j k +s k +t k 总是偶数，所以a k ,1+a k ,3+a k ,5+a k ,7和a k ,2+a k ,4+a k ,6+a k ,8的奇偶性保持不变，从而a s ,1+a s ,3+a s ,5+a s ,7和a s ,2+a s ,4+a s ,6+a s ,8都是偶数.下面证明不存在j =1,2,3,4使得a s ,2j -1-a s ,2j ≥2.假设存在，根据对称性，不妨设j =1，a s ,2j -1-a s ,2j ≥2，即a s ,1-a s ,2≥2.情况1：若a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 =0，则由a s ,1+a s ,3+a s ,5+a s ,7和a s ,2+a s ,4+a s ,6+a s ,8都是偶数，知a s ,1-a s ,2≥4.对该数列连续作四次变换2,3,5,8 ,2,4,6,8 ,2,3,6,7 ,2,4,5,7 后，新的a s +4,1-a s +4,2 +a s +4,3-a s +4,4 +a s +4,5-a s +4,6 +a s +4,7-a s +4,8 相比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 减少4，这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾；情况2：若a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 >0，不妨设a s ,3-a s ,4 >0.情况2-1：如果a s ,3-a s ,4≥1，则对该数列连续作两次变换2,4,5,7 ,2,4,6,8 后，新的a s +2,1-a s +2,2 +a s +2,3-a s +2,4 +a s +2,5-a s +2,6 +a s +2,7-a s +2,8 相比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 至少减少2，这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾；情况2-2：如果a s ,4-a s ,3≥1，则对该数列连续作两次变换2,3,5,8 ,2,3,6,7 后，新的a s +2,1-a s +2,2 +a s +2,3-a s +2,4 +a s +2,5-a s +2,6 +a s +2,7-a s +2,8 相比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 至少减少2，这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾.这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的j =1,2,3,4都有a s ,2j -1-a s ,2j ≤1.假设存在j =1,2,3,4使得a s ,2j -1-a s ,2j =1，则a s ,2j -1+a s ,2j 是奇数，所以a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8都是奇数，设为2N +1.则此时对任意j =1,2,3,4，由a s ,2j -1-a s ,2j ≤1可知必有a s ,2j -1,a s ,2j =N ,N +1 .而a s ,1+a s ,3+a s ,5+a s ,7和a s ,2+a s ,4+a s ,6+a s ,8都是偶数，故集合m a s ,m =N 中的四个元素i ,j ,s ,t 之和为偶数，对该数列进行一次变换i ,j ,s ,t ，则该数列成为常数列，新的a s +1,1-a s +1,2 +a s +1,3-a s +1,4 +a s +1,5-a s +1,6 +a s +1,7-a s +1,8 等于零，比原来的a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 更小，这与a s ,1-a s ,2 +a s ,3-a s ,4 +a s ,5-a s ,6 +a s ,7-a s ,8 的最小性矛盾.综上，只可能a s ,2j -1-a s ,2j =0j =1,2,3,4 ，而a s ,1+a s ,2=a s ,3+a s ,4=a s ,5+a s ,6=a s ,7+a s ,8，故a s ,n =ΩA 是常数列，充分性得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析.8(新高考上海卷)对于一个函数f x 和一个点M a ,b ，令s x =(x -a )2+f x -b 2，若P x 0,f x 0 是s x 取到最小值的点，则称P 是M 在f x 的“最近点”．(1)对于f (x )=1x(x >0)，求证：对于点M 0,0 ，存在点P ，使得点P 是M 在f x 的“最近点”；(2)对于f x =e x ,M 1,0 ，请判断是否存在一个点P ，它是M 在f x 的“最近点”，且直线MP 与y =f (x )在点P 处的切线垂直；(3)已知y =f (x )在定义域R 上存在导函数f (x )，且函数g (x )在定义域R 上恒正，设点M 1t -1,f t -g t ，M 2t +1,f t +g t ．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是M 1,M 2在f x 的“最近点”，试判断f x 的单调性．【答案】(1)证明见解析(2)存在，P 0,1 (3)严格单调递减【分析】(1)代入M (0,0)，利用基本不等式即可；(2)由题得s x =(x -1)2+e 2x ，利用导函数得到其最小值，则得到P ，再证明直线MP 与切线垂直即可；(3)根据题意得到s 1 x 0 =s 2 x 0 =0，对两等式化简得f x 0 =-1g (t )，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明x 0=t ，最后得到函数单调性.【详解】(1)当M (0,0)时，s x =(x -0)2+1x -02=x 2+1x2≥2x 2⋅1x 2=2，当且仅当x2=1x2即x=1时取等号，故对于点M0,0，存在点P1,1，使得该点是M0,0在f x 的“最近点”．(2)由题设可得s x =(x-1)2+e x-02=(x-1)2+e2x，则s x =2x-1+2e2x，因为y=2x-1,y=2e2x均为R上单调递增函数，则s x =2x-1+2e2x在R上为严格增函数，而s 0 =0，故当x<0时，s x <0，当x>0时，s x >0，故s x min=s0 =2，此时P0,1，而f x =e x,k=f 0 =1，故f x 在点P处的切线方程为y=x+1.而k MP=0-11-0=-1，故k MP⋅k=-1，故直线MP与y=f x 在点P处的切线垂直．(3)设s1x =(x-t+1)2+f x -f t +g t2，s2x =(x-t-1)2+f x -f t -g t2，而s 1x =2(x-t+1)+2f x -f t +g tf x ，s 2x =2(x-t-1)+2f x -f t -g tf x ，若对任意的t∈R，存在点P同时是M1,M2在f x 的“最近点”，设P x0,y0，则x0既是s1x 的最小值点，也是s2x 的最小值点，因为两函数的定义域均为R，则x0也是两函数的极小值点，则存在x0,使得s1 x0=s2 x0=0，即s1 x0=2x0-t+1+2f x0f x0-f(t)+g(t)=0①s2 x0=2x0-t-1+2f x0f x0-f(t)-g(t)=0②由①②相等得4+4g(t)⋅f x0=0，即1+f x0g(t)=0，即f x0=-1g(t)，又因为函数g(x)在定义域R上恒正，则f x0=-1g(t)<0恒成立，接下来证明x0=t，因为x0既是s1x 的最小值点，也是s2x 的最小值点，则s1x0≤s(t),s2x0≤s(t)，即x0-t+12+f x0-f t +g t2≤1+g t2，③x0-t-12+f x0-f t -g t2≤1+g t2，④③+④得2x0-t2+2+2f x0-f(t)2+2g2(t)≤2+2g2(t)即x0-t2+f x0-f t2≤0，因为x0-t2≥0,f x0-f t2≥0则x0-t=0f x0-f t =0，解得x=t，则f t =-1g(t)<0恒成立，因为t的任意性，则f x 严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到f x 0 =-1g (t )，再利用最值点定义得到x 0=t 即可.一、单选题1(2024·湖南怀化·二模)给定整数n ≥3，有n 个实数元素的集合S ，定义其相伴数集T =a -b a ,b ∈S ,a ≠b ，如果min T =1，则称集合S 为一个n 元规范数集．(注：min X 表示数集X 中的最小数)．对于集合M =-0.1,-1.1,2,2.5 、N =-1.5,-0.5,0.5,1.5 ，则()A.M 是规范数集，N 不是规范数集B.M 是规范数集，N 是规范数集C.M 不是规范数集，N 是规范数集D.M 不是规范数集，N 不是规范数集【答案】C【分析】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解.【详解】集合M =-0.1,-1.1,2,2.5 中，2∈M ,2.5∈M ，则|2-2.5|=0.5<1，即M 的相伴数集中的最小数不是1，因此M 不是规范数集；集合N =-1.5,-0.5,0.5,1.5 ，|-1.5-(-0.5)|=1,|-0.5-0.5|=1,|0.5-1.5|=1，|-1.5-0.5|=|-0.5-1.5|=2,|-1.5-1.5|=3，即N 的相伴数集中的最小数是1，因此N 是规范数集.故选：C2(2024·四川绵阳·模拟预测)一般地，任意给定一个角α∈R ，它的终边OP 与单位圆的交点P 的坐标，无论是横坐标x 还是纵坐标y ，都是唯一确定的，所以点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是关于角α的函数.下面给出这些函数的定义：①把点P 的纵坐标y 叫作α的正弦函数，记作sin α，即sin α=y ；②把点P 的横坐标x 叫作α的余弦函数，记作cos α，即cos α=x ；③把点P 的纵坐标y 的倒数叫作α的余割函数，记作csc α，即csc α=1y ；④把点P 的横坐标x 的倒数叫作α的正割函数，记作sec α，即sec α=1x.下列结论错误的是()A.sin α⋅csc α=1B.sec2π3=-2C.函数f x =sec x 的定义域为x x ≠k π,k ∈Z D.sec 2α+sin 2α+csc 2α+cos 2α≥5【答案】C【分析】根据定义可判断A ；利用定义转化为余弦求解可判断B ；转化为余弦表示，根据分母不为0求解可判断C ；转化为正弦和余弦，利用平方关系和二倍角公式化简，由正弦函数性质可判断D .【详解】由题知，csc α=1sin α,sec α=1cos α，对于A ，sin α⋅csc α=y ⋅1y=1，A 正确；对于B ，sec2π3=1x =1cos 2π3=1cos π-π3 =1-cos π3=-2，B 正确；对于C ，函数f x =sec x =1cos x ，由cos x ≠0得x ≠k π+π2,k ∈Z所以f x 的定义域为x x ≠k π+π2,k ∈Z ，C 错误；对于D ，sec 2α+sin 2α+csc 2α+cos 2α=1+1cos 2α+1sin 2α=1+1sin 2αcos 2α=1+4sin 22α≥5，当sin2α=±1时，等号成立，D 正确.故选：C .3(2024·河北邯郸·二模)对任意两个非零的平面向量a 和b ，定义：a ⊕b =a ⋅ba 2+b2，a ⊙b=a ⋅bb2．若平面向量a ,b 满足a >b >0，且a ⊕b 和a ⊙b 都在集合n 4|n ∈Z ,0<n ≤4 中，则a ⊕b +a ⊙b =()A.1B.32C.1或74D.1或54【答案】D【分析】根据a >b >0，得到a 2+b 2>2a b ，再利用题设中的定义及向量夹角的范围，得到a ⊕b <12，a ⊙b >12，再结合条件，即可求出结果.【详解】因为n 4|n ∈Z ,0<n ≤4=14,12,34,1，设向量a 和b 的夹角为θ，因为a >b >0，所以a 2+b 2>2a b，得到a⊕b =a ⋅b a 2+b 2=a b cos θa 2+b 2<a b cos θ2a ⋅b=cos θ2，又θ∈0,π ，所以cos θ2≤12，又a ⊕b 在集合n 4|n ∈Z ,0<n ≤4 中，所以cos θ2>14，即cos θ>12，得到a ⊕b =14，又因为a ⊙b =a ⋅b b 2=a ⋅b cos θb 2=a b cos θ>cos θ>12，所以a ⊙b =34或1，所以a ⊕b +a ⊙b =1或54，故选：D .4(2024·上海杨浦·二模)平面上的向量a 、b 满足：a =3，b =4，a ⊥b.定义该平面上的向量集合A ={x ||x +a |<|x +b |,x ⋅a >x ⋅b}.给出如下两个结论：①对任意c ∈A ，存在该平面的向量d ∈A ，满足c -d=0.5②对任意c ∈A ，存在该平面向量d ∉A ，满足c -d =0.5则下面判断正确的为()A.①正确，②错误B.①错误，②正确C.①正确，②正确D.①错误，②错误【答案】C【分析】根据给定条件，令a =(3,0)，b =(0,4)，设x =(m ,n )，利用向量模及数量积的坐标表示探求m ,n 的关系，再借助平行线间距离分析判断得解.【详解】由|a |=3，|b |=4，a ⊥b ，不妨令a =(3,0)，b =(0,4)，设x=(m ,n )，|x +a |<|x +b |，得|x +a |2<|x +b |2，而x +a =(m +3,n )，x +b =(m ,n +4)，则(m +3)2+n 2<m 2+(n +4)2，整理得6m -8n -7<0，由x ⋅a >x ⋅b，得3m -4n >0，平行直线6m -8n -7=0和3m -4n =0间的距离为d =0-(-7)62+82=0.7，到直线6m -8n -7=0和直线3m -4n =0距离相等的点到这两条直线的距离为0.35，如图，阴影部分表示的区域为集合A ，因此无论d 是否属于A ，都有c -d=0.5，所以命题①②都正确.故选：C【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利用代数方法解决.5(2024·甘肃兰州·一模)球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度(大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆)．设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45°东经120°，乙地位于北纬45°西经60°，则甲、乙两地的球面距离为()A.2π6R B.2π3R C.π2R D.2π2R 【答案】C【分析】分析甲、乙两地的球心角，即可得解.【详解】甲、乙两地在北纬45°线上，所对圆心角为120°+60°=180°，即甲、乙两地在北纬45°线所在小圆的直径的两端，且小圆的半径r =R sin45°=22R ，则R 2+R 2=2R 2，所以甲、乙两地的球心角为π2，故甲、乙两地的球面距离为π2R .故选：C .二、多选题6(2024·安徽芜湖·二模)在平面直角坐标系xOy 中，角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，其终边经过点M a ,b ，OM =m m ≠0 ，定义f θ =b +a m ，g θ =b -am，则()A.f π6 +g π6 =1 B.f θ +f 2θ ≥0C.若f θg θ=2，则sin2θ=35 D.f θ g θ 是周期函数【答案】ACD【分析】根据题意分别求出cos θ=a m ，sin θ=b m ，则f θ =2sin θ+π4 ，g θ =2sin θ-π4，从而可对A 判断求解，利用换元法令t =sin θ+cos θ=2sin θ+π4 ∈-2,2 可对B 判断求解，由f θ g θ=tan θ+1tan θ-1=2求出tan θ=3，并结合sin2θ==2tan θtan 2θ+1从而可对C 判断求解，由f θ g θ =-cos2θ可对D 判断求解.【详解】由题意得M a ,b 在角θ的终边上，且OM =m ，所以cos θ=a m ，sin θ=b m，则f θ =b +a m =sin θ+cos θ=2sin θ+π4 ，g θ =b -a m =sin θ-cos θ=2sin θ-π4，对A ：f π6+g π6 =sin π6+cos π6+sin π6-cos π6=1，故A 正确；对B ：f θ +f 2θ =sin θ+cos θ+sin θ+cos θ 2，令t =sin θ+cos θ=2sin θ+π4∈-2,2 ，所以f θ +f 2θ =t +t 2=t +122-14≥-14，故B 错误；对C ：f θ g θ =sin θ+cos θsin θ-cos θ=tan θ+1tan θ-1=2，解得tan θ=3，又由sin2θ=2sin θcos θ=2sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=2tan θtan 2θ+1=2×332+1=35，故C 正确；对D ：f θ g θ =sin θ+cos θ sin θ-cos θ =sin 2θ-cos 2θ=-cos2θ，因为y =cos2θ为周期函数，故D 正确.故选：ACD .7(2024·全国·模拟预测)已知函数f x 和实数m ，n ，则下列说法正确的是()A.定义在R 上的函数f x 恒有f x =f m -nx ，则当n =1时，函数的图象有对称轴B.定义在R 上的函数f x 恒有f x =f m -nx ，则当n =-1时，函数具有周期性C.若m =1，n =2，f x =-3x 2+2x ,x ≤13f m -nx ,x >13，则∀t ∈-∞,13 ，f t >f 23-t 恒成立D.若m =4，n =1，f x =ln x -a ,x ∈0,2 f m -nx ,x ∈2,4，且f x 的4个不同的零点分别为x 1,x 2,x 3x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则x 1x 2+x 3x 4-4x 3+x 4 =-14【答案】ACD【分析】根据函数的对称性和周期性可分别判断AB ；求出x >13时的解析式，然后根据自变量范围代入相应表达式解不等式即可判断C ；将问题转化为直线y =a 与函数g x =ln x ,x ∈0,2ln 4-x ,x ∈2,4 有四个交点，结合图象求得四根的关系即可判断D .【详解】对于A ，若n =1，则f x =f m -x ，所以函数f x 的图象的对称轴为直线x =m2，故A 正确.对于B ，当n =-1时，f x =f m +x .若m =0，则f x =f x ，函数不具有周期性，故B 错误.对于C ，若m =1，n =2，则f x =-3x 2+2x ,x ≤13f 1-2x ,x >13，当x >13时，1-2x <13，则f x =-31-2x 2+21-2x =-34x 2-4x +1 +21-2x =-12x 2+8x -1，即当x >13时，f x =-12x 2+8x -1.当t ∈-∞,13 时，23-t ∈13,+∞ ，所以f t -f 23-t=-3t 2+2t --1223-t 2+823-t -1 =9t 2-6t +1=3t -1 2>0，所以f t >f 23-t恒成立，C 正确.对于D ，当x ∈2,4 时，4-x ∈0,2 ，则f x =ln x -a ,x ∈0,2ln 4-x -a ,x ∈2,4 ，令g x =ln x ,x ∈0,2ln 4-x ,x ∈2,4，作出函数g x 的图象和直线y =a ，如图.要使f x 有4个不同的零点，则函数g x 的图象与直线y =a 有4个不同的交点.又x 1<x 2<x 3<x 4，则-ln x 1=ln x 2=ln 4-x 3 =-ln 4-x 4 ，所以ln x 1+ln x 2=0，ln 4-x 3 +ln 4-x 4 =0，所以x 1x 2=1，4-x 3 4-x 4 =1，则16-4x 3+x 4 +x 3x 4=1，所以x 1x 2+x 3x 4-4x 3+x 4 =-14，D 正确.故选：ACD .【点睛】思路点睛：关于函数零点个数的有关问题，一般转化为两个函数图象交点问题，利用函数图象分析求解即可.8(2024·浙江绍兴·模拟预测)对于任意的两点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，定义A ,B 间的折线距离d AB =x 1-x 2 +y 1-y 2 ，反折线距离l AB =x 1-y 2 +x 2-y 1 ，O 表示坐标原点. 下列说法正确的是()A.d AB +d BC ≥d AC .B.若d AB <l AB ，则y 1-x 1 y 2-x 2 ≥0.C.若AB 斜率为k ，d AB =1+k1+k2AB .D.若存在四个点P x ,y 使得d OP =1，且x 2+y -r 2=r 2r >0 ，则r 的取值范围2-1,12 .【答案】ABD【分析】对于A ，直接使用绝对值不等式即可证明；对于B ，在使用绝对值不等式的同时考虑到绝对值不等式取等的条件(即a +b =a +b ，a +b ≥a -b ，ab ≥0两两等价，对两个不等式两边同时平方即得结论)，即可判断；对于C ，举出一个反例即可否定；对于D ，先将问题转化为方程组的解的个数问题，然后利用解析几何工具直观理解，猜出答案，最后再严格论证结果即可.【详解】对于A ，设C x 3,y 3 ，我们有d AB +d BC =x 1-x 2 +y 1-y 2 +x 2-x 3 +y 2-y 3 =x 1-x 2 +x 2-x 3 +y 1-y 2 +y 2-y 3 ≥x 1-x 2 +x 2-x 3 +y 1-y 2 +y 2-y 3 =x 1-x 3 +y 1-y 3 =d AC ，故A 正确；对于B ，若d AB <l AB ，则l AB >d AB =x 1-x 2 +y 1-y 2 ≥x 1-x 2 +y 1-y 2 =x 1-y 2 +y 1-x 2 ，这意味着x 1-y 2 +y 1-x 2 =x 1-y 2 +x 2-y 1 =l AB >x 1-y 2 +y 1-x 2 .从而由x 1-y 2 +y 1-x 2 >x 1-y 2 +y 1-x 2 ，知x 1-y 2 y 1-x 2 <0，即y 2-x 1 y 1-x 2 >0，所以y 2-x 1 +y 1-x 2 =y 2-x 1 +y 1-x 2 .故y 1-x 1 +y 2-x 2 =y 2-x 1 +y 1-x 2 =y 2-x 1 +y 1-x 2 =l AB .而d AB =x 1-x 2 +y 1-y 2 ≥y 1-y 2 -x 1-x 2 =y 1-x 1 -y 2-x 2 .故y 1-x 1 +y 2-x 2 =l AB >d AB ≥y 1-x 1 -y 2-x 2 .从而由y 1-x 1 +y 2-x 2 >y 1-x 1 -y 2-x 2 ，知y 1-x 1 y 2-x 2 ≥0，故B 正确；对于C ，考虑A 1,0 ，B 0,1 ，此时k =-1，所以1+k1+k 2AB =0.但d AB =1-0 +0-1 =2>0，故C 错误；对于D ，条件等价于关于x ,y 的方程组x +y =1x 2+y -r 2=r2，即x +y =1x 2+y 2=2ry 有四个解.如下图所示，该方程组可以直观地理解为正方形x +y =1和圆x 2+y 2=2ry 有四个公共点，直观的理解即为圆x 2+y 2=2ry 与矩形上方的两条边所在的直线均相交，且交点都在边的内部，而当r =2-1时，圆与上方的两条边相切，当r =12时，圆与上方的边的交点恰落在端点上，故可猜测取值范围是2-1,12，下面再使用二次方程工具严格证明此结论(也可以使用距离公式等其它方法证明).若x ,y 满足原方程组，则y =x 2+y 22r>0，故x +y =1.而r 2=x 2+y -r 2=x 2+1-x -r 2=2x 2-21-r x +1-r 2，故2x 2-21-r x +1-2r =0，同时还有x =1-y ≤1.由于当x 确定后，y 只有唯一可能的取值1-x ，而方程组有四个解，所以使得相应的y 存在的x 至少有四个.根据前面的讨论，这样的x 必满足2x 2-21-r x +1-2r =0，且x ≤1，所以方程2x 2-21-r x +1-2r =0必定在-1,1 上有四个解.这表明关于t 的方程2t 2-21-r t +1-2r =0在0,1 上一定有两个解，所以首先有判别式为正数，结合Δ=41-r 2-81-2r =41-2r +r 2-2+4r =4r 2+2r -1 ，就有r >2-1.同时，由于两根都在0,1 内，故两根乘积为正数，故1-2r >0，即r <12.这就证明了2-1<r <12.最后，当2-1<r <12时，原方程组的确存在四组不同的解：x =1-r +r 2+2r -12y =1+r -r 2+2r -12，x =-1-r +r 2+2r -12y =1+r -r 2+2r -12，x =1-r -r 2+2r -12y =1+r +r 2+2r -12，x =-1-r -r 2+2r -12y =1+r +r 2+2r -12.所以r 的取值范围是2-1,12，D 正确.故选：ABD .三、填空题9(2024·湖南长沙·三模)已知函数y =f x ，任取t ∈R ，定义集合A t ={y ∣y =f x ，点P t ,f t 、Q x ,f x 满足PQ ≤2 . 设M t ,m t 分别表示集合A t 中元素的最大值和最小值，记h t =M t -m t ，试解答以下问题:(1)若函数f x =x 2，则h 0 =;(2)若函数f x =sin π2x ，则h t 的最小正周期为.【答案】12【分析】(1)把t =0代入，然后计算A t 的最大值和最小值即可.(2)先表示出P t ,sin π2t 、Q x ,sin π2x ，然后根据P 的位置分类分析M t ,m t 的值.【详解】对于 1 ，因为函数 f x =x 2，当 t =0 时，P 0,0 、Q x ,x 2 且 x -0 2+x 2-0 2≤2，即 x 2+x 4≤2，令 x 2=m ，即 m 2+m ≤2，解得 0≤m ≤1，所以 M t =1，m t =0，所以 h 0 =1-0=1 ；对于 2 ，如图所示，若函数 f x =sin π2x ，此时，函数的最小正周期为 2ππ2=4，点 P t ,sin π2t 、Q x ,sin π2x ，当点 P 在 A 点时，点 Q 在曲线 OAB 上，M t =1，m t =0，h t =M t -m t =1;当点 P 在曲线上从 A 接近 B 时，h t 逐渐增大，当点 P 在 B 点时，M t =1，m t =-1h t =M t -m t =2;当点 P 在曲线上从 B 接近 C 时，h t 逐渐减小，当点 P 在 C 点时，M t =1，m t =0，h t =M t -m t =1;当点 P 在曲线上从 C 接近 D 时，h t 逐渐增大，当点 P 在 D 点时，M t =1，m t =-1，h t =M t -m t =2;当点 P 在曲线上从 D 接近 E 时，h t 逐渐减小，当点 P 在 E 点时，M t =1，m t =0，h t =M t -m t =1;依此类推，发现 h t 的最小正周期为 2 ，故答案为：(1)1；(2)2.10(2024·四川成都·模拟预测)定义在封闭的平面区域D 内任意两点的距离的最大值称为平面区域D 的“直径”．如图，已知锐角三角形的三个顶点A ，B ，C 在半径为1的圆上，角的对边分别为a ，b ，c ，A =π3．分别以△ABC 各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和△ABC 构成平面区域D ，则平面区域D 的“直径”的取值范围是．【答案】3+32,332【分析】(1)根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦公式求出A ；(2)利用向量线性运算，结合向量的三角不等式求出区域D 的“直径”关系式，再利用三角恒等变换结合正弦函数性质求出范围即得.【详解】如图，F ，G 是AC ，BC 的中点，E ，F ，G ，H 四点共线，设P ，Q 分别为BC 、AC 上任意一点，PQ =PG +GF +FQ，PQ =PG +GF +FQ ≤PG +GF +FQ=HG +GF +FE =HE =a +b +c2，即PQ 的长小于等于△ABC 周长的一半，当PQ 与HE 重合时取等，同理，三个半圆上任意两点的距离最大值等于△ABC 周长的一半，因此区域D 的“直径”为△ABC 的周长l 的一半，由正弦定理得：a =2sinπ3=3，b =2sin B ，c =2sin C ，则l =3+2sin B +2sin 2π3-B =3+3sin B +3cos B =3+23sin B +π6.由△ABC 为锐角三角形，得0<B <π20<2π3-B <π2 ，即π6<B <π2，则π3<B +π6<2π3，32<sin B +π6≤1，于是3+3<l ≤33，所以平面区域D 的“直径”的取值范围是3+32,332.故答案为:3+32,332.11(2024·广东佛山·二模)近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O 绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为2πrad /s ，圆上两点A ，B 始终满足∠AOB =2π3，随着圆O 的旋转，A ，B 两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A ，B 两点的竖直距离为A ，B 两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即t =0秒时，点A 位于圆心正下方：则t =秒时，A ，B 两点的竖直距离第一次为0；A ，B 两点的竖直距离关于时间t 的函数解析式为f t =.【答案】133sin 2πt +π3【分析】以O 为原点，以OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，利用三角函数定义表示点A ,B 的坐标，由已知结合和角的正弦公式化简即得.【详解】以O 为原点，以OA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，由于角速ω=2πrad /s ，设点A cos 2πt -π2 ,sin 2πt -π2 ，圆上两点A 、B 始终保持∠AOB =2π3，则B cos 2πt +π6 ,sin 2πt +π6，要使A 、B 两点的竖直距高为0，则sin 2πt -π2 =sin 2πt +π6 ，第一次为0时，4πt -π3=π，解得t =13，f (t )=sin 2πt +π6 -sin 2πt -π2=32sin2πt +12cos2πt +cos2πt=32sin2πt +32cos2πt=3sin 2πt +π3.故答案为：13；3sin 2πt +π3【点睛】关键点点睛：涉及三角函数实际应用问题，探求动点坐标，找出该点所在射线为终边对应的角是关键，特别注意，始边是x 轴非负半轴.12(2024·山东枣庄·模拟预测)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 为平面上两点，定义d (A ,B )=x 1-x 2 +y 1-y 2 、已知点P 为抛物线C :x 2=2py (p >0)上一动点，点Q (3,0),d (P ,Q )的最小值为2，则p =；若斜率为32的直线l 过点Q ，点M 是直线l 上一动点，则d (P ,M )的最小值为．【答案】 232【分析】利用定义结合二次函数求最值计算即可得第一空，过P 作PN ⎳x 并构造直角三角形，根据d (P ,M )。

(完整word版)高中数学新定义类型题

同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）一、选择题（本题共22道小题，每小题5分，共110分）1.定义,max{,},a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，设实数,x y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则max{4,3}z x y x y =+-的取值范围是（）（A ）[8,10]- （B ） [7,10]-（C ）[6,8]- （D ）2.对于复数a,b,c,d ,若集合{}S=a,b,c,d 具有性质“对任意x,y S ∈,必有xy S ∈”,则当22a=1b =1c =b ⎧⎪⎨⎪⎩时,b+c+d 等于 ( ) A 、1 B 、-1 C 、0 D 、i 3.在实数集R 中定义一种运算“*”，R b a ∈∀,，a b *为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意R a ∈，0a a *=；（2）对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*．关于函数1()()x x f x e e=*的性质，有如下说法：①函数)(x f 的最小值为3；②函数)(x f 为偶函数；③函数)(x f 的单调递增区间为(,0]-∞．其中正确说法的序号为（） A ．①B ．①②C ．①②③D ．②③4.设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么称k 是集合A 的一个“好元素”．给定集合S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 5.对于集合∈+==k k x x S ，12{N }和集合}{S b a b a x x T ∈⊕==，，，若满足S T ⊆，则集合T 中的运算“⊕”可以是A ．加法B ．减法C ．乘法D ．除法 6.设函数)(x f 的定义域为R ，如果存在函数()(g x ax a =为常数），使得)()(x g x f ≥对于一切实数x 都成立，那么称)(x g 为函数)(x f 的一个承托函数. 已知对于任意(0,1)k ∈，()g x ax =是函数()e x kf x =的一个承托函数，记实数a 的取值范围为集合M ，则有（）A. 1e ,e M M -∉∉B. 1e ,e M M -∉∈C.1e ,e M M -∈∉ D.1e ,e M M -∈∈ 7.用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义⎩⎨⎧<-≥-=-)()(),()()()(),()(||B C A C A C B C B C A C B C A C B A . 若}2,1{=A ，2{|23|}B x x x a =+-=，且|A-B|=1，由a 的所有可能值构成的集合为S ，那么C (S )等于( )A ．1B ．2C ．3D ．48.对于集合M 、N ，定义M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝{y |y ＝3x ， x ∈R}，B ＝{y |y ＝－122++x x ，x ∈R}，则A ⊕B 等于( )A ．[0,2)B ．(0,2]C ．(－∞，0]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪[2，＋∞)9.在实数集R 中定义一种运算“*”，R b a ∈∀,，a b *为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意R a ∈，0a a *=；（2）对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*．的性质，有如下说法：①函数)(x f 的最小值为3；②函数)(x f 为偶函数；③函数)(x f 的单调递增区间为(,0]-∞．其中所有正确说法的个数为( ) A ．0B．1C ．2．310.给出定义:（其中m 则m 叫做与实数x “亲密的整数”, 记作{}x m =,数()y f x =在(0,1)x ∈上是增函数;②函数()y f x =的图象关于直线称;③函数()y f x =是周期函数,最小正周期为1;④当(0,2]x ∈时，函数()()ln g x f x x =-有两个零点. 其中正确命题的序号是____________.A ．②③④B ．①③C ．①②D ．②④ 11.定义运算a b ad bc c d=-，若函数()123x f x xx -=-+在(,)m -∞上单调递减，则实数m 的取值范围是A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(,2)-∞-D ． (,2]-∞-12.对于函数()f x ，若,,a b c R ∀∈，()()(),,f a f b f c 为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构造三角形函数”，已知函数()1x xe tf x e +=+是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是A ．[)0,+∞B ．[]0,1C ．[]1,2D ．1[,2]213.对于集合A ，如果定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足下列4个条件：（ⅰ）,a b A ∀∈，都有a b A ⊕∈；（ⅱ）e A ∃∈，使得对a A ∀∈，都有e a a e a ⊕=⊕=；（ⅲ）a A ∀∈，a A '∃∈，使得a a a a e ''⊕=⊕=；（ⅳ）,,a b c A ∀∈，都有()()a b c a b c ⊕⊕=⊕⊕，则称集合A 对于运算“⊕”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①{}A =整数，运算“⊕”为普通加法；②{}A =复数，运算“⊕”为普通减法；③{}A =正实数，运算“⊕”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有( ) A ①②B ①③C ②③D ①②③14.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[,]x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“关联函数”，区间[,]a b 称为“关联区间”．若2()34f x x x =-+与()2g x x m =+在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围是( )A. 9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B ．[－1,0] C ．(－∞，－2] D. 9,4⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭ 15.设函数()f x 的定义域为D，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得12()()2f x f x C+= 成立（其中C 为常数），则称函数()y f x =在D 上的均值为C ，现在给出下列4个函数： ①3y x = ②4sin y x = ③lg y x = ④2x y = ，则在其定义域上的均值为 2的所有函数是下面的（）A. ①②B. ③④C. ①③④D. ①③16.对任意实数,a b 定义运算""*如下()()a ab a b b a b ≤⎧⎪*=⎨>⎪⎩，则函数x x x f 221log )23(log )(*-=的值域为（）A. [)0,+∞B. (],0-∞C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛0,32log 2D. 22log ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 17.设B A ,是非空集合，定义},|{B A x B A x x B A ⋂∉⋃∈=⨯且，已知}20|{≤≤=x x A ，}0|{≥=x x B ，则B A ⨯等于（）.A ),2(+∞ .B ),2[]1,0[+∞⋃ .C ),2()1,0[+∞⋃ .D ),2(]1,0[+∞⋃18.设集合A ⊆R ，如果x 0∈R 满足：对任意a ＞0，都存在x ∈A ，使得0＜|x ﹣x 0|＜a ，那么称x 0为集合A 的一个聚点．则在下列集合中：（1）Z +∪Z ﹣；（2）R +∪R ﹣；（3）{x|x=，n ∈N *}；（4）{x|x=，n ∈N *}．其中以0为聚点的集合有（） A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ．4个19.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{9}的“孪生函数”三个：（1）y ＝2x 2＋1，}2{-∈x ；（2）y ＝2x 2＋1，}2{∈x ；（3）y ＝2x 2＋1，}2,2{-∈x 。

2020高考文科数学二轮分层特训卷：热点问题专练(十四) 新定义新背景新情境 Word版含解析

热点(十四)新定义，新背景，新情境1．定义集合A，B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则A*B() A．{1,2,3,4,5} B．{2,3,4,5}C．{2,3,4} D．{1,3,4,5}答案：B解析：当x1＝1时，x2可以取1或2，则x1＋x2＝2或3；当x1＝2时，x2可以取1或2，则x1＋x2＝3或4；当x1＝3时，x2可以取1或2，则x1＋x2＝4或5.∴A*B＝{2,3,4,5}．2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有()A．7个B．8个C．9个D．10个答案：C解析：由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数．函数解析式为y＝x2，值域为{1,4}，当x＝±1时，y＝1；当x＝±2时，y＝4，则定义域可以为{1,2}，{1，－2}，{－1,2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{1，－1，－2}，{－1,2，－2}，{1，－2,2}，{1，－1,2，－2}，因此“同族函数”共有9个．3．[2017·郑州调研]规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b ＝ab＋a＋b(a，b为正实数)，若1⊙k2<3，则k的取值范围是()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1,0) D．(0,2)答案：A解析：因为定义a⊙b＝ab＋a＋b(a，b为正实数)，1⊙k2<3，所以k2＋1＋k2<3，化为(|k|＋2)(|k|－1)<0，所以|k|<1，所以－1<k<1.4．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n S 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n －1B ．b n ＝2n －1C ．b n ＝n ＋1D ．b n ＝2n ＋1答案：B解析：设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.5．定义一种运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x sin π3cos x cos π3，为了得到函数y ＝sin x 的图象，只需要把函数y ＝f (x )的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向上平移π3个单位长度D ．向下平移π3个单位长度答案：A解析：由题设知，f (x )＝sin x cos π3－cos x sin π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，所以为了得到函数y ＝sin x 的图象，只需要把函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有的点向左平移π3个单位长度．故选A.6．定义d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a ，b 间的“距离”．若向量a ，b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( )A ．a ⊥bB ．a ⊥(a －b )C ．b ⊥(a －b )D ．(a ＋b )⊥(a －b )答案：C解析：由题意知d (a ，t b )≥d (a ，b )⇔|a －t b |≥|a －b |，即(a －t b )2≥(a －b )2，又|b |＝1，所以展开整理得t 2－2a ·b t ＋2a ·b －1≥0.因为上式对任意t ∈R 恒成立，所以Δ＝4(a ·b )2－4(2a ·b －1)≤0，即(a ·b －1)2≤0，所以a ·b ＝1.于是，b ·(a －b )＝a ·b －|b |2＝1－12＝0，所以b ⊥(a －b )．故选C.7．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马；将四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若三棱锥P －ABC 为鳖臑，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ＝2，AC ＝4，三棱锥P －ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π答案：C解析：在如图中的长方体中可找到适合题意的三棱锥P －ABC ，则BC ＝AC 2－AB 2＝23，所以球O 的直径2R ＝P A 2＋AB 2＋BC 2＝20＝25，所以R ＝ 5.故球O 的表面积S ＝4πR 2＝20π.故选C.8．定义n ∑i ＝1nu i为n 个正数u 1，u 2，u 3，…，u n 的“快乐数”．若已知数列{a n }的前n 项的“快乐数”为13n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫36(a n ＋2)(a n ＋1＋2的前2 019项和为( ) A.2 0182 019 B.2 0192 020C.2 0192 018D.2 0191 010答案：B解析：由题意得数列{a n }的前n 项和S n ＝n 13n ＋1＝3n 2＋n ，易知a n ＝6n －2.于是，36(a n ＋2)(a n ＋1＋2)＝366n ×6(n ＋1)＝1n －1n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫36(a n ＋2)(a n ＋1＋2)的前 2 019项和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 019－12 020＝1－12 020＝2 0192 020.故选B.9．[2019·陕西咸阳模考]设函数f (x )的定义域为D ，如果对任意的x 1∈D ，存在x 2∈D ，使得f (x 1)＝－f (x 2)成立，则称函数f (x )为“H 函数”．下列为“H 函数”的是( )A ．f (x )＝sin x cos x ＋cos 2xB ．f (x )＝ln x ＋e xC ．f (x )＝2xD ．f (x )＝x 2－2x答案：B解析：由题意知，“H 函数”的值域关于原点对称．选项A 中，因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x ＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12，所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12，该函数的值域不关于原点对称，故选项A 中的函数不是“H 函数”；选项B 中，函数f (x )＝ln x ＋e x 在(0，＋∞)上单调递增，函数f (x )的值域为R ，关于原点对称，故选项B 中的函数是“H 函数”；选项C 中，函数f (x )＝2x 的值域为(0，＋∞)，不关于原点对称，故选项C 中的函数不是“H 函数”；选项D 中，因为f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以该函数的值域为[－1，＋∞)，不关于原点对称，故选项D 中的函数不是“H 函数”．综上，选B.10．[2019·陕西渭南二模]定义一种运算：(a 1，a 2)⊗(a 3，a 4)＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝(3，2sin x )⊗(cos x ，cos 2x )的图象向左平移n (n >0)个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为( ) A.π12 B.π4 C.5π12 D.π3答案：C解析：由新运算可知f (x )＝3cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以将函数f (x )的图象向左平移5π12个单位长度后，得到函数y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12＋π6的图象，即y ＝－2cos 2x 的图象，显然该函数为偶函数．经检验知选项A ，B ，D 错误，选C.11．定义：分子为1且分母为正整数的分数叫作单位分数，我们可以把1拆分成多个不同的单位分数之和．例如：1＝12＋13＋16，1＝12＋14＋16＋112，1＝12＋15＋16＋112＋120，…，依此拆分方法可得，1＝12＋16＋112＋1m ＋1n ＋130＋142＋156＋172＋190＋1110＋1132＋1156＋1182，其中m ，n ∈N *，则m －n ＝( ) A ．－2 B ．－4C ．－6D ．－8答案：C解析：由题易知，1＝12＋13＋16＝12＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13，1＝12＋14＋16＋112＝12＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14，1＝12＋15＋16＋112＋120＝12＋15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15.依此类推，得1＝12＋16＋112＋1m ＋1n ＋130＋142＋156＋172＋190＋1110＋1132＋1156＋1182＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋1m ＋1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫113－114，易知1m ＝114，1n ＝14－15＝120，解得m ＝14，n ＝20，所以m －n ＝－6.故选C.12．若定义在R 上的奇函数f (x )满足对任意的x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则称该函数为满足约束条件K 的一个“K 函数”．下列为“K 函数”的是( )A ．f (x )＝x ＋1B ．f (x )＝－x 3C ．f (x )＝1xD ．f (x )＝x |x |答案：D解析：选项A 中，函数f (x )＝x ＋1不是奇函数，故选项A 中的函数不是“K 函数”．选项C 中，函数f (x )＝1x 的定义域不是R ，故选项C 中的函数不是“K 函数”．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足对任意的x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，等价于奇函数f (x )在R 上单调递增．选项B 中，函数f (x )＝－x 3在R 上单调递减，故选项B 中的函数不是“K 函数”．选项D 中，函数f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0在R 上单调递增且为奇函数，故选项D 中的函数是“K 函数”．故选D.13．集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n ，n ≥2}，如果A 中的元素满足a 1a 2…a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1＋52，－1－52是“复活集”； ②若a 1，a 2∈R ，且{a 1，a 2}是“复活集”，则a 1a 2>4； ③若a 1，a 2∈N *，则{a 1，a 2}不可能是“复活集”．其中正确的结论是________．(填序号)答案：①③ 解析：①－1＋52×－1－52＝－1＋52＋－1－52＝－1，故①正确；②不妨设a 1＋a 2＝a 1a 2＝t ，则由根与系数的关系知a 1，a 2是一元二次方程x 2－tx ＋t ＝0的两个根，由Δ＝(－t )2－4t >0，可得t <0或t >4，故②错；③不妨设a 1<a 2<a 3<…<a n ，由a 1a 2…a n ＝a 1＋a 2＋…a n <na n ，得a 1a 2…a n －1<n ，当n ＝2时，有a 1<2，又a 1∈N *，∴a 1＝1，于是由a 1＋a 2＝a 1a 2得1＋a 2＝a 2，无正整数解，即当a 1，a 2∈N *时，{a 1，a 2}不可能是“复活集”，故③正确．14．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.答案：28解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.15．[2019·陕西西安交大附中模考]在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy ＝60°，若OP→＝x e 1＋y e 2，其中e 1，e 2分别为x 轴、y 轴正方向的单位向量，则有序实数对(x ，y )叫作向量OP→在平面斜坐标系xOy 中的坐标，即点P 的斜坐标为(x ，y )．在平面斜坐标系xOy 中，若点P (x ，y )在以O 为圆心，1为半径的圆上，则x ＋y 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，233 解析：由题设得|OP→|＝1，所以|x e 1＋y e 2|＝1，又向量e 1，e 2的模均为1，且夹角为60°，所以两边平方化简得x 2＋y 2＋xy ＝1.方法一变形得(x ＋y )2－1＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时取等号，所以34(x ＋y )2≤1，解得－233≤x ＋y ≤233.故所求x ＋y的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，233. 方法二变形得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋3y 24＝1，所以可设⎩⎨⎧x ＋y 2＝cos θ，3y2＝sin θ(参数θ∈R )，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos θ－13sin θ，y ＝23sin θ(参数θ∈R )，所以x ＋y ＝13sin θ＋cos θ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3.故所求x ＋y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，233. 16．[2019·陕西西安模考]高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达100多个，其中的一个成果是：设x ∈R ，则y ＝[x ]称为高斯函数，[x ]表示不超过x 的最大整数，如[1.7]＝1，[－1.2]＝－2，并用{x }＝x －[x ]表示x 的非负纯小数．若方程{x }＝1－kx (k >0)有且仅有4个实数根，则正实数k 的取值范围为________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤14，13 解析：设函数f (x )＝x －[x ]，则函数f (x )的图象与直线y ＝1－kx (k >0)有且仅有4个交点，如图，先画出函数f (x )的图象，又直线y ＝1－kx (k >0)恒过定点P (0,1)，设点A ，B 的坐标分别为(3,0)，(4,0)，要使函数f (x )的图象与直线y ＝1－kx (k >0)有且仅有4个不同的交点，易知应满足－13＝k P A ≤－k <k PB ＝－14，解得14<k ≤13.。

微专题03集合常考3种新定义问题(22题)(解析版)-人教A版2019必修第一册高一数学习题

微专题03 集合常考3种新定义问题（22题）题型一集合的“新概念”题型题型二集合的“新运算”题型题型三集合的“新性质”题型一、集合的新定义问题所谓集合“新定义”问题,是指在现有集合的定义,以及相关概念、运算法则的基础上,定义一种新运算、新性质、新元素等。

下面浅析集合新定义问题的三种题型。

1.集合的“新元素”题型集合的“新元素”题型,只需准确提取信息并加工利用,再结合集合元素的“互异性”,便可顺利解决.2.集合的“新运算”题型集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．解决集合的新运算问题常分为三步:对新运算进行信息提取,确定化归的方向;对新运算所提取的信息进行加工,探求解决方法;对新运算中提出的知识进行转化,有效地输出。

其中对新运算信息的提取和转化与化归是解题的关键,也是解题的难点.3.集合的“新性质”题型集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．通过集合之间元素属性的分析,结合题中引入相应的创新性质,确定所求集合的元素。

二、解决集合新定义问题的着手点：（1）正确理解新定义：剥去新定义、新法则、新运算的外表，转化为我们熟悉的集合知识．（2）合理利用集合性质：运用集合的性质（如元素的性质、集合的运算性质等）是破解新定义型集合问题的关键．（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明．三、集合新定义问题处理步骤①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”哦；然后找出要素分别是什么②看：看所求是什么？③代：将已知条件代入新定义的要素④解：结合数学知识进行解答题型一集合的“新概念”题型1.（2024·江苏常州·高一校考阶段练习）已知集合{4,5,6}P =，{1,2,3}Q =，定义{|,,}P Q x x p q p P q Q -==-ÎÎ，则集合P Q -的所有真子集的个数为（）A ．32B ．31C ．30D ．29【答案】B【解析】集合{4,5,6}P =，{1,2,3}Q =，定义{|,,}P Q x x p q p P q Q -==-ÎÎ，则{1,2,3,4,5}P Q -=，元素个数为5，故集合P Q -的所有真子集的个数为52131.-=故选：B2.（2024·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考期中）定义集合{},A B x x a A b B ==ÎÎe ，若{},1A n =-，}B =，且集合A B e 有3个元素，则由实数n 所有取值组成的集合的非空真子集的个数为（）A ．2B ．6C ．14D ．15【答案】B【解析】因为{},A B x x a A b B ==ÎÎe ，{},1A n =-，}B =，所以x =A B e 有3个元素，=时，即0n =时，}A B =e 满足题意，=时，即1n =，1n =-（舍去）时，A B =e ，不符合题意，=时，即n =2}A B =e 满足题意，=1n =，1n =-（舍去）时，A B =e ，不符合题意.综上，n Î，故所构成集合的非空真子集的个数为3226-=.故选：B3.（2024·河北衡水·高一校考阶段练习）定义：差集{M N x x M -=Î且}x N Ï．现有两个集合A 、B ，则阴影部分表示的集合是（）A ．()AB B-U B ．()B A B -I C ．()()A B B A --I D ．()()A B B A -È-【答案】D 【解析】集合A 中阴影部分表示的集合为{A B x x A -=Î且}x B Ï集合B 中阴影部分元表示的集合为{B A x x B -=Î且}x A Ï，故整个阴影部分表示()()A B B A -È-，故选：D.4.（23-24高二下·福建·期末）定义()A Õ为集合A 中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合2511378342M ìü=--íýîþ，，，，，，，集合M 的所有非空子集依次记为1M 、2M 、…、127M ，则12127()()...()M M M +++=ÕÕÕ .【答案】215【分析】构造函数251()()()(1)(3)(7)(8)(342f x x x x x x x x =-+++++-，分析题意知，集合M 的所有子集的乘积之和即为()f x 展开式中所有项的系数之和减1.【详解】设251()()(1)(3)(7)(8)()342f x x x x x x x x =-+++++-，则集合的所有子集的乘积之和即为展开式中所有项的系数之和减1，令1x =，则展开式中所有项的系数之和为251(1)(1)(11)(13)(17)(18)(1)216342T -++++-==+，所以12127()()...()2161215M M M +++=-=ÕÕÕ.故答案为：215.5.（24-25高一上·上海·课堂例题）对于非负整数集合S （非空），若对任意,x y S Î，都有x y S +Î，或者x y S -Î，则称S 为一个好集合，以下记S 为S 的元素个数．(1)写出两个所有的元素均小于3的好集合；（给出结论即可）(2)设集合{},,,S a b c d =，a b c d <<<，若集合S 为好集合，求出a 、b 、c ，d 所满足的条件．（需说明理由）【答案】(1){}0,2，{}0,1(2)答案见解析【分析】（1）根据好集合的新定义来确定元素；（2）根据满足好集合的新定义来确定元素所满足的特征.【详解】（1）{}0,2，{}0,1（2）由题意：d d S +Ï，故0S Î，即0a =，考虑c 、d ，可知0d c S <-Î，∴d c c -=或d c b -=．若d c c -=，则考虑b ，c ，∵2c b c c d <+<=，∴c b S -Î，则c b b -=，∴{}0,,2,4S b b b =，但此时35b b S Ï、，不满足题意；若d c b -=，此时{}0,,,S b c b c =+，满足题意，∴{}0,,,S b c b c =+，其中b 、c 为相异正整数．6.【多选】（2024高三下·全国·专题练习）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合A 和B ，用A 中元素为第一元素，B 中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作A 与B 的笛卡儿积，又称直积，记为A B ´.即(){,A B x y x A ´=Î且}y B Î.关于任意非空集合M N T ，，，下列说法错误的是（）A ．M N N M´=´B ．()()M N T M N T ´´=´´C ．()M N T ´U ()()M N M T ´´U D ．()()()M N T M N M T ´=´´I I 【答案】ABC【分析】对于ABC ，举例分析判断，对于D ，利用直积的定义分析判断即可.【详解】对于A ，若{}{}121,,M N ==，则()(){}()(){}1,1,1,2,1,1,2,1,M N N M M N N M ´=´=´¹´，A 错误；对于B ，若{}{}{}1,2,3M N T ===，则(){}()()(){}1,2,1,2,3M N M N T ´=´´=，而()()(){}()()1,2,3,M N T M N T M N T ´´=´´¹´´，B 错误；对于C ，若{}{}{}1,2,3M N T ===，则()()(){}1,2,1,3M N T ´=U ，(){}1,2M N ´=，(){}1,3M T ´=，()()()M N T M N M T ´=´´U U ，C 错误；对于D ，任取元素()(),x y M N T Î´I ，则x M Î且y N T ÎI ，则y N Î且y T Î，于是(),x y M N Î´且(),x y M T Î´，即()()(),x y M N M T Î´´I ，反之若任取元素()()(),x y M N M T Î´´I ，则(),x y M N Î´且(),x y M T Î´，因此x M y N ÎÎ，且y T Î，即x M Î且y N T ÎI ，所以()(),x y M N T Î´I ，即()()()M N T M N M T ´=´´I I ，D 正确.故选：ABC7.（2024·广西·模拟预测）已知集合{}12,,,n A x x x =L ，*N n Î，3n ³，若x A Î，y A Î，x y A +Î或x y A -Î，则称集合A 具有“包容”性．(1)判断集合{}1,1,2,3-和集合{}1,0,1,2-是否具有“包容”性；(2)若集合{}1,,B a b =具有“包容”性，求22a b +的值；(3)若集合C 具有“包容”性，且集合C 的子集有64个，1C Î，试确定集合C ．【答案】(1)集合{}1,1,2,3-不具有“包容”性，集合{}1,0,1,2-具有“包容”性(2)1(3){}2,1,0,1,2,3--，1131,,0,,1,222ìü--íýîþ，2112,,0,,,13333ìü--íýîþ，{}3,2,1,0,1,2---或311,1,,0,,1222ìü---íýîþ．【分析】（1）根据“包容”性的定义，逐一判断即可；（2）根据“包容”性的定义，能得到{}01,,a b Î，分类讨论，得出a 和b 的值，即可得出结果；（3）由集合C 的子集有64个，推出集合C 中共有6个元素，且0C Î，再由条件1C Î，推出集合中有正数也有负数，将这几个元素设出来，再通过对正数负数个数的讨论，即可求出结果.【详解】（1）（Ⅰ）集合{}1,1,2,3-中的{}3361,1,2,3+=Ï-，{}3301,1,2,3-=Ï-，所以集合{}1,1,2,3-不具有“包容”性．集合{}1,0,1,2-中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合{}1,0,1,2-，所以集合{}1,0,1,2-具有“包容”性．（2）（Ⅱ）已知集合{}1,,B a b =具有“包容”性，记{}max 1,,m a b =，则m 1³，易得{}21,,m a b Ï，从而必有{}01,,a b Î，不妨令0a =，则{}1,0,B b =，0b ¹且1b ¹，则{}{}1,11,0,b b b +-¹ÆI ，且{}{}1,11,0,b b b +-¹ÆI ，①当{}11,0,b b +Î时，若10b +=，得1b =-，此时{}1,0,1B =-具有包容性；若11b +=，得0b =，舍去；若1b b +=，无解；②当{}11,0,b b +Ï时，则{}{}1,11,0,b b b --Í，由0b ¹且1b ¹，可知b 无解，故{}1,0,1B =-．综上，221a b +=．（3）（Ⅲ）因为集合C 的子集有64个，所以集合C 中共有6个元素，且0C Î，又1C Î，且C 中既有正数也有负数，不妨设{}1112,,,,,,,0,k k t C b b b a a a ----L L ，其中5k l +=，10t a a <<<L ，10k b b <<<L ，根据题意1111{,,}{,,,}l l l k k a a a a b b b ----Í---L L ，且1112112{,,,}{,,,}k k l b b b b b b a a a ----ÍL L ，从而()(),2,3k l =或()3,2．①当()(),3,2k l =时，{}{}313212,,b b b b a a --=，并且由313212{,}{,}b b b b b b -+-+=--，得312b b b =+，由2112{,}a a a a -Î，得212a a =，由上可得2131322111(,)(,)(,)(2,)b b b b b b a a a a =--==，并且31213b b b a =+=，综上可知{}111113,2,,0,,2C a a a a a =---；②当()(),3,2k l =时，同理可得11111{2,,0,,2,3}C a a a a a =--．综上，C 中有6个元素，且1C Î时，符合条件的集合C 有5个，分别是{}2,1,0,1,2,3--，1131,,0,,1,222ìü--íýîþ，2112,,0,,,13333ìü--íýîþ，{}3,2,1,0,1,2---或311,1,,0,,1222ìü---íýîþ．【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，对于此类问题，要先弄清楚新定义的性质，按照其要求，严格“照章办事”，逐条分析验证。

新定义题型(学生版)

大题新定义题型继2024年九省联考的第19题考查了新定义问题，已有部分地区考试采用了该结构考试。

2024年的新高考试卷第19题极大可能也会考查新定义问题，难度较大。

新定义题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”“规定”等字眼，题目一般使用抽象的语言给出新定义、运算或符号，没有过多的解释说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义要求后马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。

题型一：集合的新定义问题题型二：函数与导数的新定义问题题型三：复数与不等式的新定义问题题型四：三角函数的新定义问题题型五：平面向量的新定义问题题型六：数列的新定义问题题型七：立体几何的新定义问题题型八：平面解析几何的新定义问题题型九：概率统计的新定义问题题型十：高等数学背景下的新定义问题题型一：集合的新定义问题1(2024·广东·惠州一中校联考模拟预测)已知集合A中含有三个元素x,y,z，同时满足①x<y<z；②x+y>z；③x+y+z为偶数，那么称集合A具有性质P.已知集合S n=1,2,3,⋯,2n(n∈N*,n≥4)，对于集合S n的非空子集B，若S n中存在三个互不相同的元素a,b,c，使得a+b,b+c,c+a均属于B，则称集合B是集合S n的“期待子集”.(1)试判断集合A=1,2,3,5,7,9是否具有性质P，并说明理由；(2)若集合B=3,4,a具有性质P，证明：集合B是集合S4的“期待子集”；(3)证明：集合M具有性质P的充要条件是集合M是集合S n的“期待子集”.集合新定义问题的方法和技巧：(1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.1(2023·北京·北京四中校考模拟预测)已知集合M =1,2,3,⋯,n n ∈N * ，若集合A =a 1,a 2,⋯,a m ⊆M m ∈N * ，且对任意的b ∈M ，存在a i ，a j ∈A 1≤i ≤j ≤m ，使得b =λ1a i +λ2a j (其中λ1,λ2∈-1,0,1 )，则称集合A 为集合M 的一个m 元基底．(1)分别判断下列集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由；①A =1,5 ，M =1,2,3,4,5 ；②A =2,3 ，M =1,2,3,4,5,6 ．(2)若集合A 是集合M 的一个m 元基底，证明：m m +1 ≥n ；(3)若集合A 为集合M =1,2,3,⋯,19 的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当m 取最小值时M 的一个基底A ．2(2024·北京海淀·高三人大附中校考开学考试)设m 为正整数，集合A ⊆α∣α=t 1,t 2,⋯,t m ,t j ∈-1,1 ,j =1,2,⋯,m . 任取集合A 中的2n +1n ∈N *个元素(可以重复)α1=α1.1,α1.2,⋅⋅⋅,α1.m ，α2=α2.1,α2.2,⋅⋅⋅,α2.m ,⋅⋅⋅，α2n +1=α2n +1.1,α2n +1.2,⋅⋅⋅,α2n +1.m ，M α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1 =y 1,y 2,⋅⋅⋅,y m ，其中y j =α1.j +α2.j +⋅⋅⋅+α2n +1.jα1.j +α2.j +⋅⋅⋅+α2n +1.jj =1,2,⋅⋅⋅,m .(1)若α1=1,-1,-1,-1 ,α2=-1,1,1,-1 ,α3=-1,-1,-1,1 ,α4=1,1,-1,1 ，α5=-1,-1,-1,1 ，直接写出M α1,α2,α3 ,M α1,α2,α3,α4,α5 ；(2)对于α，β，γ∈A ，证明：M α,⋯,αk 个 ,β,⋯,βk 个,γ=M α,β,γ ；(3)对于某个正整数n ，若集合A 满足：对于A 中任意2n +1个元素α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1，都有M α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1 ∈A ，则称集合A 具有性质P n . 证明：若∃n 0∈N *，集合A 具有性质P n 0 ，则∀n ∈N *，集合A 都具有性质P n .题型二：函数与导数的新定义问题1(2024·陕西安康·高三校联考阶段练习)记函数f x 的导函数为f x ，f x 的导函数为f x ，设D 是f x 的定义域的子集，若在区间D 上f x ≤0，则称f x 在D 上是“凸函数”.已知函数f x =a sin x -x 2.(1)若f x 在0,π2上为“凸函数”，求a 的取值范围；(2)若a =2，判断g x =f x +1在区间0,π 上的零点个数.函数新定义问题，命题新颖，常常考虑函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，且存在知识点交叉，会和导函数，数列等知识进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决。

新高考数学-压轴解答题-新题型第19题新定义(9大题型)(练习)(原卷版)

压轴解答题-新题型第19题新定义练习01集合新定义 (1)02函数与导数新定义 (2)03立体几何新定义 (4)04三角函数新定义 (6)05平面向量与解三角形新定义.................................................................................................................706数列新定义 (8)07圆锥曲线新定义 (10)08概率与统计新定义 (12)09高等数学背景下新定义 (13)01集合新定义1．已知 N 元正整数集合{}()12,,,2N A a a a N =≥ 满足：12N a a a <<< ，且对任意{},1,2,,,i j N i j ∈⋯<，都有Zj j ia a a ∈-(1)若12a =，写出所有满足条件的集合A ；(2)若N a 恰有N 个正约数，求证：11N N a a -=+；(3)求证：对任意的{},1,2,,1,i j N i j ∈⋯-<，都有j ia j a i≤.有集合A 的所有元素之和与集合B 的元素之和不相等，则称集合S 具有性质P .(1)判断集合{}{}1,2,3,5,9,1,3,5,11是否具有性质P ，并说明理由；(2)若集合{}()*12,,,N n S a a a n =∈ 具有性质P ，求证：*12,21,N k k k n a a a k ∀≤+++≥-∈ ；(3)若集合{}122023,,,S a a a =L 具有性质P ，求122023111a a a +++ 的最大值.3．已知集合{1,2,3,,}(3)M n n =±±±±≥ .若对于集合M 的任意k 元子集A ，A 中必有4个元素的和为1-，则称这样的正整数k 为“好数”，所有“好数”的最小值记作()g M .(1)当3n =，即集合{3,2,1,1,2,3}M =---.（i ）写出M 的一个子集B ，且B 中存在4个元素的和为1-；（ii ）写出M 的一个5元子集C ，使得C 中任意4个元素的和大于1-；(2)证明：()2g M n >+；(3)证明：()3g M n =+.02函数与导数新定义4．对于函数()y f x =的导函数()y f x ''=，若在其定义域内存在实数0x 和t ，使得()()()001f x t t f x +=+'⋅成立，则称()y f x =是“跃点”函数，并称0x 是函数()y f x =的“t 跃点”.(1)若函数()sin R y x m x =-∈是“π2跃点”函数，求实数m 的取值范围；(2)若函数21y x ax =-+是定义在()1,3-上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求实数a 的取值范围；(3)若函数()e xy bx x =+∈R 是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数b 的取值范围.函数()f x ，以及函数()(),R g x kx b k b =+∈，切比雪夫将函数()()y f x g x =-，x I ∈的最大值称为函数()f x 与()g x 的“偏差”.(1)若()[]()20,1f x x x =∈，()1g x x =--，求函数()f x 与()g x 的“偏差”；(2)若()[]()21,1f x x x =∈-，()g x x b =+，求实数b ，使得函数()f x 与()g x 的“偏差”取得最小值，并求出“偏差”的最小值.6．设()y f x =是定义域为R 的函数，如果对任意的1x 、()()()2121212,x x x f x f x x x ∈≠-<-R 均成立，则称()y f x =是“平缓函数”.(1)若1221(),()sin 1f x f x x x ==+，试判断1()y f x =和2()y f x =是否为“平缓函数”?并说明理由;(参考公式:0x >时，sin x x <恒成立)(2)若函数()y f x =是“平缓函数”，且()y f x =是以1为周期的周期函数，证明:对任意的1x 、2x ∈R ，均有()()1212f x f x -<;(3)设()y g x =为定义在R 上函数，且存在正常数1A >使得函数()y A g x =⋅为“平缓函数”.现定义数列{}n x 满足:()110,(2,3,4,)n n x x g x n -===⋯，试证明:对任意的正整数()|(0)|,1n A g n g x A ≤-.7．若定义域为D 的函数()y f x =满足()y f x '=是定义域为D 的严格增函数，则称()f x 是一个“T 函数”.(1)分别判断()1e x f x =，()32f x x =是否为T 函数，并说明理由；(2)已知常数0a >，若定义在()0,∞+上的函数()y g x =是T 函数，判断()()12g a g a +++和()()3g a g a ++的大小关系，并证明；(3)已知T 函数()y F x =的定义域为R ，不等式()0F x <的解集为(),0∞-．证明：()F x 在R 上严格增.8．如图1所示为一种魔豆吊灯，图2为该吊灯的框架结构图，由正六棱锥1O ABCDEF -和2O ABCDEF -构成，两个棱锥的侧棱长均相等，且棱锥底面外接圆的直径为1600mm ，底面中心为O ，通过连接线及吸盘固定在天花板上，使棱锥的底面呈水平状态，下顶点2O 与天花板的距离为1300mm ，所有的连接线都用特殊的金属条制成，设金属条的总长为y ．（1）设∠O 1AO =θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式，并写出θ的范围；（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，金属条总长y 最小．9．蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥H ABC -，J CDE -，K EFA -，再分别以AC ，CE ，EA 为轴将ACH ，CEJ ，EAK 分别向上翻转180︒，使H ，J ，K三点重合为点S 所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为π2π3π3-⨯=.(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设BH x =（i ）用x 表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积()S x ；（ii ）当蜂房表面积最小时，求其顶点S 的曲率的余弦值.影面.由平行光线形成的投影叫做平行投影，由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影.投影线垂直于投影面产生的平行投影叫做正投影，投影线不垂直于投影而产生的平行投影叫做斜投影.物体投影的形状､大小与它相对于投影面的位置和角度有关.如图所示，已知平行四边形ABCD 在平面α内的平行投影是四边形A B C D ''''.图1图2图3(1)若平行四边形ABCD 平行于投影面（如图1），求证：四边形A B C D ''''是平行四边形；(2)在图2中作出平面ABCD 与平面α的交线（保留作图痕迹，不需要写出过程）；(3)如图3，已知四边形A B C D ''''和平行四边形ABCD 的面积分别为12,S S ，平面ABCD 与平面α的交线是直线l ，且这个平行投影是正投影.设二面角A l A '--的平面角为θ（θ为锐角），猜想并写出角θ的余弦值（用12,S S 表示），再给出证明.11．射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O 为透视中心，平面内四个点,,,E F G H 经过中心投影之后的投影点分别为,,,A B C D ．对于四个有序点,,,A B C D ，定义比值CACB x DA DB=叫做这四个有序点的交比，记作()ABCD ．(1)证明：()()EFGH ABCD =；(2)已知()32EFGH =，点B 为线段AD 的中点，sin 333,sin 2ACO AC OB AOB ∠===∠，求cos A ．12．如果对于三个数a 、b 、c 能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”a 、b 、c ，如果函数()y f x =使得三个数()f a 、()f b 、()f c 仍为“三角形数”，则称()y f x =为“保三角形函数”．(1)对于“三角形数”α、2α、4πα+，其中84ππα<<，若()tan f x x =，判断函数()y f x =是否是“保三角形函数”，并说明理由；(2)对于“三角形数”α、6πα+、3πα+，其中7612ππα<<，若()sin g x x =，判断函数()y g x =是否是“保三角形函数”，并说明理由．13．数学家发现：357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+ ，其中n !123.n =⨯⨯⨯⨯ 利用该公式可以得到：当(0,2x π∈时，335sin ;sin ;.3!35!x x x x x x x x x <>-<-+ (1)证明：当(0,)2x π∈时，sin 1;2x x >(2)设()sin f x m x =，当()f x 的定义域为[],a b 时，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“和谐区间”．当2m =-时，()f x 是否存在“和谐区间”?若存在，求出()f x 的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由．14．已知函数()y f x =，若存在实数m 、(0)k m ≠，使得对于定义域内的任意实数x ，均有()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，则称函数()f x 为“可平衡”函数；有序数对(),m k 称为函数()f x 的“平衡”数对．(1)若()2f x x =，求函数()f x 的“平衡”数对；(2)若1m =，判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数，并说明理由；(3)若1m 、2m R ∈，且1,2m π⎛⎫ ⎪⎝⎭、2,4m π⎛⎫ ⎪⎝⎭均为函数2()04f x cos x x π⎛⎫=< ⎪⎝⎭的“平衡”数对，求2212m m +的取值范围．15．古希腊数学家托勒密对凸四边形(凸四边形是指没有角度大于180︒的四边形)进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料．．．．．．，解决以下问题：如图，在凸四边形ABCD 中，(1)若2,1,,(2AB BC ACD AC CD π==∠==图1)，求线段BD 长度的最大值；(2)若2,6,4(AB BC AD CD ====图2)，求四边形ABCD 面积取得最大值时角A 的大小，并求出四边形ABCD 面积的最大值．16．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，对任意两个向量11(,)m x y = ，22(,)n x y = ，作：OM m = ，.ON n =当m ，n不共线时，记以OM ，ON 为邻边的平行四边形的面积为1221(,)||S m n x y x y =-；当m，n共线时，规定(,)0.S m n =(Ⅰ)分别根据下列已知条件求(,)S m n：①(2,1)m = ，(1,2)n =- ；②(1,2)m = ，(2,4)n =；(Ⅱ)若向量22(,,0)p m n R λμλμλμ=+∈+≠，求证：(,)(,)(||||)(,)S p m S p n S m n λμ+=+；(Ⅲ)若A ，B ，C 是以O 为圆心的单位圆上不同的点，记OA a = ，OB b = ，.OC c =(ⅰ)当a b ⊥时，求(,)(,)S c a S c b +的最大值；(ⅱ)写出(,)(,)(,)S a a S b c S c a ++的最大值．(只需写出结果)（1）若一个直三棱柱高为h ，底面三角形的内切圆半径为r ，相对表面积为0S ，求证：0112S h r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）如图，一块直三棱柱形状的蛋糕，底面三边长分别为3，4，5，若蛋糕的最外层包裹着薄薄的一层巧克力（厚度忽略不计），用刀垂直于底面将蛋糕切开，使之成为两块直棱柱状的小蛋糕，要求两块小蛋糕的相对表面积相等，且包裹的巧克力面积相等，有几种切法.06数列新定义18．对于数列{}n a ，记()()*213211,n n V n a a a a a a n n -=-+-+⋅⋅⋅+->∈N ．(1)若数列{}n a 通项公式为：()()*112nn a n +-=∈N ，求()5V ；(2)若数列{}n a 满足：1a a =，n a b =，且a b >，求证：()V n a b =-的充分必要条件是()11,2,,1i i a a i n +≤=⋅⋅⋅-；(3)已知()20222022V =，若()121t t y a a a t=++⋅⋅⋅+，1,2,,2022t =⋅⋅⋅．求213220222021y y y y y y -+-+⋅⋅⋅+-的最大值．19．若实数数列()12:,,,2n n A a a a n ≥ 满足()111,2,,1k k a a k n +-==- ，则称数列n A 为E 数列.(1)请写出一个5项的E 数列5A ，满足150a a ==，且各项和大于零；(2)如果一个E 数列n A 满足：存在正整数()1234512345,,,,i i i i i i i i i i n <<<<≤使得12345,,,,i i i i i a a a a a 组成首项为1，公比为2-的等比数列，求n 的最小值；(3)已知()122,,,2m a a a m ≥ 为E 数列，求证：3211,,,222m a a a - 为E 数列且224,,,222m a a a为E 数列”的充要条件是“122,,,m a a a 是单调数列”.(1)判断下列数列是否为M 数列，并说明理由；①1，2，4，3．②4，2，8，1．(2)已知M 数列{}n a 中各项互不相同．令()11,2,,1m m m b a a m n +=-=- ，求证：数列{}n a 是等差数列的充分必要条件是数列{}m b 是常数列；(3)M 数列{}n a 是*(m m N ∈且3)m ≥个连续正整数1,2,,m 的一个排列．若1112m k k k a a m -+=-=+∑，求m 的所有取值．21．记实数a ，b 中的较大者为max{}a b ,，例如max{12}2=,，{}max 1,11=，对于无穷数列{}n a ，记*212max{}(N )k k k a a k ϕ-=∈,，若对于任意的*N k ∈，均有1k k ϕϕ+<，则称数列{}n a 为“趋势递减数列”.(1)已知数列{}{}n n a b ,的通项公式分别为21n a n =-+，12nn b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，判断数列{}{}n n a b ,是否为“趋势递减数列”，并说明理由；(2)已知首项为1公比为q 的等比数列{}n c 是“趋势递减数列”，求q 的取值范围；(3)数列{}n d 满足1d ，2d 为正实数，21n n n d d d ++=-，求证：{}n d 为“趋势递减数列”的充要条件为{}n d 的项中没有0.22．已知数列{}n a 是由正整数组成的无穷数列，若存在常数*k ∈N ，使得212n n n a a ka -+=，对任意的*n ∈N 成立，则称数列{}n a 具有性质k ψ．（1）分别判断下列数列{}n a 是否具有性质()2ψ；（直接写出结论）①1n a =；②2n a n=（2）若数列{}n a 满足()11,2,3n n a a n +≥= ，求证：“数列{}n a 具有性质()2ψ”是“数列{}n a 为常数列的充分必要条件；（3）已知数列{}n a 中11a =，且()11,2,3n n a a n +>= ．若数列{}n a 具有性质()4ψ，求数列{}n a 的通项公式．23．已知点D 是圆22:(4)72Q x y ++=上一动点，点()4,0A ，线段AD 的垂直平分线交线段DQ 于点B .(1)求动点B 的轨迹方程C ；(2)定义：两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线T 与曲线C 相似，且焦点在同一条直线上，曲线T 经过点()()3,0,3,0E F -.过曲线C 上任一点P 作曲线T 的切线，切点分别为,M N ，这两条切线,PM PN 分别与曲线C 交于点,G H （异于点P ），证明：//MN GH .24．椭圆曲线加密算法运用于区块链．椭圆曲线{}2332(,),4270C x y y x ax b a b ==+++≠∣．P C ∈关于x 轴的对称点记为P%．C 在点(,)(0)P x y y ≠处的切线是指曲线3y x ax b =++在点P 处的切线．定义“⊕”运算满足：①若,P C Q C ∈∈，且直线PQ 与C 有第三个交点R ，则P Q R⊕= ；②若,P C Q C ∈∈，且PQ 为C 的切线，切点为P ，则P Q P⊕= ；③若P C ∈，规定*0P P ⊕= ，且**00P P P ⊕=⊕=．(1)当324270a b +=时，讨论函数3()h x x ax b =++零点的个数；(2)已知“⊕”运算满足交换律、结合律，若,P C Q C ∈∈，且PQ 为C 的切线，切点为P ，证明：P P Q⊕= ；(3)已知()()1122,,,P x y C Q x y C ∈∈，且直线PQ 与C 有第三个交点，求P Q ⊕的坐标．参考公式：()3322()m n m n m mn n -=-++（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G ：22220Ax Cy Dx Ey F ++++=，则称点P (0x ，0y )和直线l ：()()00000Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线G 的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x +替换x (另一变量y 也是如此)，即可得到点P (0x ，0y )对应的极线方程.特别地，对于椭圆22221x y a b+=，与点P (0x ，0y )对应的极线方程为00221x x y y a b +=；对于双曲线22221x y b b-=，与点P (0x ，0y )对应的极线方程为00221x x y ya b-=；对于抛物线22y px =，与点P (0x ，0y )对应的极线方程为()00y y p x x =+.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.（二）极点与极线的基本性质､定理①当P 在圆锥曲线G 上时，其极线l 是曲线G 在点P 处的切线；②当P 在G 外时，其极线l 是曲线G 从点P 所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；③当P 在G 内时，其极线l 是曲线G 过点P 的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：(1)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点P (4，0)，离心率是2，求椭圆C 的方程并写出与点P 对应的极线方程；(2)已知Q 是直线l ：142y x =-+上的一个动点，过点Q 向（1）中椭圆C 引两条切线，切点分别为M ，N ，是否存在定点T 恒在直线MN 上，若存在，当MT TN =时，求直线MN 的方程；若不存在，请说明理由.26．已知椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 的斜率为k ，在y 轴上的截距为m .(1)设1k =，若Γ的焦距为2，l 过点1F ，求l 的方程；(2)设0m =，若12P ⎫⎪⎭是Γ上的一点，且124PF PF += ，l 与Γ交于不同的两点A 、B ，Q 为Γ的上顶点，求ABQ 面积的最大值；(3)设n 是l 的一个法向量，M 是l 上一点，对于坐标平面内的定点N ，定义||N n MNn δ⋅=.用a 、b 、k 、m 表示12F F δδ⋅，并利用12F F δδ⋅与2b 的大小关系，提出一个关于l 与Γ位置关系的真命题，给出该命题的证明.27．已知随机变量ξ的取值为不大于n 的非负整数值，它的分布列为：ξ012L n Pp 1p 2p Lnp 其中i p （0,1,2,,i n = ）满足：[0,1]i p ∈，且0121n p p p p ++++= ．定义由ξ生成的函数2012()n n f x p p x p x p x =++++ ，令()()g x f x '=．（I ）若由ξ生成的函数23111()424f x x x x =++，求(2)P ξ=的值；（II ）求证：随机变量ξ的数学期望()(1)E g ξ=，ξ的方差2()(1)(1)((1))D g g g ξ+-'=；（20()(())ni i D i E p ξξ==-⋅∑）（Ⅲ）现投掷一枚骰子两次，随机变量ξ表示两次掷出的点数之和，此时由ξ生成的函数记为()h x ，求(2)h 的值．28．在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标()123,,a a a 表示，其中{}()0,113,N i a i i ∈≤≤∈．而在n 维空间中()2,N n n ≥∈，以单位长度为边长的“立方体”的项点坐标可表示为n 维坐标()123,,,,n a a a a ，其中{}()0,11,N i a i n i ∈≤≤∈．现有如下定义：在n 维空间中两点间的曼哈顿距离为两点()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 坐标差的绝对值之和，即为112233n n a b a b a b a b -+-+-++- ．回答下列问题：(1)求出n 维“立方体”的顶点数；(2)在n 维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X 为所取两点间的曼哈顿距离①求出X 的分布列与期望；②证明：在n 足够大时，随机变量X 的方差小于20.25n ．（已知对于正态分布()2,X N μσ ，P 随X 变化关系可表示为()()222,2πx x e μσμσϕσ--=）29．概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫（Markov ）不等式和切比雪夫（Chebyshev ）不等式．马尔科夫不等式的形式如下：设X 为一个非负随机变量，其数学期望为()E X ，则对任意0ε>，均有()()E X P X εε≥≤，马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系．当X 为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：设X 的分布列为(),1,2,,,i i P X x p i n === 其中1(0,),[0,)(1,2,,),1ni i ii p x i n p=∈+∞∈+∞==∑ ，则对任意0ε>，()P X ε≥=111()i i i nii i i i i i x x x i x E X p p x p x p εεεεεεε≥≥≥=≤=≤=∑∑∑∑，其中符号ii x A ε≥∑表示对所有满足ix ε≥的指标i 所对应的i A 求和．切比雪夫不等式的形式如下：设随机变量X 的期望为()E X ，方差为()D X ，则对任意0ε>，均有()()()2D X P XE X εε-≥≤(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量X 成立．(2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%．现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信．31．给定奇数3n ≥，设0A 是n n ⨯的数阵．ij a 表示数阵第i 行第j 列的数，11,0,i j i ja i j-≠⎧=⎨=⎩或且ij ji a a =(1,2,,;1,2,,)i n j n ==L L ．定义变换t ϕ为“将数阵中第t 行和第t 列的数都乘以1-”，其中{1,2,,}t n ∈L ．设*12(,,,),{1,2,,},1,2,,()s r T t t t t n r s s =∈=∈N L L L ．将0A 经过1t ϕ变换得到1A ，1A 经过2t ϕ变换得到2A ，L ，1s A -经过s t ϕ变换得到s A ．记数阵r A 中1的个数为0()A T r ．(1)当3n =时，设0011101110A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，(1,3)T =，写出12,A A ，并求00(1),(2)A A T T ；(2)当5,2≥n s =时，对给定的数阵0A ，证明：0(2)(1)A A T T -是4的倍数；(3)证明：对给定的数阵0A ，总存在T ，使得02(1)()2≤A n T s -．近论､积分学等方面均有所建树，他证明了如下以他名字命名的离散型切比雪夫不等式：设X 为离散型随机变量，则()()()2D X P XE X λλ-，其中λ为任意大于0的实数.切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X 的分布未知的情况下，对事件X λλ-的概率作出估计.(1)证明离散型切比雪夫不等式；(2)应用以上结论，回答下面问题：已知正整数5n.在一次抽奖游戏中，有n 个不透明的箱子依次编号为1,2,,n ，编号为()1i i n的箱子中装有编号为0,1,,i 的1i +个大小､质地均相同的小球.主持人邀请n 位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为i 的箱子中抽取的小球号码为i X ，并记1nii X X i==∑.对任意的n ，是否总能保证()0.10.01P X n （假设嘉宾和箱子数能任意多）？并证明你的结论.附：可能用到的公式（数学期望的线性性质）：对于离散型随机变量12,,,,n X X X X 满足1ni i X X ==∑，则有()1()ni i E X E X ==∑.32．若数列满足：从第二项起的每一项不小于它的前一项的λ（R λ∈）倍，则称该数列具有性质()P λ.（1）已知数列1-，2x -，3x -具有性质(4)P ，求实数x 的取值范围；（2）删除数列13，23，⋅⋅⋅，3n ，⋅⋅⋅中的第3项，第6项，⋅⋅⋅，第3n 项，⋅⋅⋅，余下的项按原来顺序组成一个新数列{}n t ，且数列{}n t 的前n 项和为n T ，若数列{}n T 具有性质()P λ，试求实数λ的最大值；（3）记12ni m m m n i mu u u u u ++==+++⋅⋅⋅+∑（N m ∈），如果0k a >（1,2,,2021k =⋅⋅⋅），证明：“202111k k a =>∑”的充要条件是“存在数列{}n x 具有性质(1)P ，且同时满足以下三个条件：（Ⅰ）数列{}n x 的各项均为正数，且互异；（Ⅱ）存在常数0A >，使得数列{}n x 收敛于A ；（Ⅲ）20212020111n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑（1,2,n =⋅⋅⋅，这里00x =）”.。

数列新定义专题(可编辑修改word版)

课题：基于数列的新定义相关题型数列中新定义题型在近几年来算是高考中的热门考点，通常情况下会结合之前所学的函数、三角等来考察学生对相关知识的融会贯通情况，该类题型要求学生对之前所学的知识掌握要扎实，并能运用连贯，并且对于数列之前所学的相关性质也要掌握扎实，同时也会引入其他新知识点。

基本要求：学生对函数及三角的相关性质要掌握熟练，其次对于数列的项数与各项的关系等要能熟练掌握。

1、数列与函数相结合1）与二次函数相结合例：在直角坐标平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),P3(a3,b3),……,P n(a n,b n),……,对每一个自然数n,点P n(a n,b n)在函数y=x2的图象上，且点P n(a n,b n),点A(n,0),点B(n+1,0)，构成一个以点P n(a n,b n)为顶点的等腰三角形。

（1）求对每一个自然数n，以点P n纵坐标构成的数列b n的通项公式；（2）令，求的值。

2）与指数函数相结合例：在xOy 平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),P3(a3,b3),……,P n(a n,b n),……对每一个自然数n，点P n(a n,b n)在函数y= 的图象上，且点P n(a n,b n)，点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以点P n(a n,b n)为顶点的等腰三角形。

（1）求点P n(a n, b n)的纵坐标b n的表达式；（2）若对每一个自然数n, 以b n, b n+1, b n+2为边长能构成一个三角形，求a 的范围；（3）设B n=b1b2b3……b n(n∈N+)，若a 是(2)中确定的范围内的最小整数时，求{Bn}的最大项是第几项？3）数列与对数函数相结合例：已知函数,（1）n=1,2,3,……时，把已知函数的图像和直线y=1 的交点横坐标依次记为a1,a2,a3，……，a n,……。

求证：a1+a2+a3+……+a n<1;（2）对于每一个n 值，设A n,B n为已知函数图像上与x 轴距离为1 的两点，求证n 取任意一个正整数时，以A n B n为直径的圆都与一条定直线相切，求出这条定直线的方程和切点坐标。

类型一新定义型(原卷版)

类型一新定义型“新定义”型问题，指的是命题老师用下定义的方式，给出一个新的运算、符号、概念、图形或性质等，要求同学们“化生为熟”、“现学现用”，能结合已有知识、能力进行理解，进而进行运算、推理、迁移的一种题型，这类题型往往是教材中一些数学概念的拓展、变式，是近几年中考数学命题的热点。

“新定义”型试题主要考查同学们学习新知识的能力，具体而言，就是考查大家的阅读理解能力、数学规则的选择与运用能力、综合运用数学知识分析问题解决问题的能力，有较强的数学抽象，旨在引导、培养大家在平时的数学学习中，能养成自主学习、主动探究的学习方式。

“定义新运算”是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算．解决这类问题的关键是理解新运算规定的规则，明白其中的算理算法．运算时，要严格按照新定义的运算规则，转化为已学过的运算形式，然后按正确的运算顺序进行计算．“定义新符号”试题是定义了一个新的数学符号，要求同学们要读懂符号，了解新符号所代表的意义，理解试题对新符号的规定，并将新符号与已学知识联系起来，将它转化成熟悉的知识，而后利用已有的知识经验来解决问题．【典例1】对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：a ⊗b=2a+b ．例如3⊗4=2×3+4=10．（1）求2⊗（-5）的值；（2）若x ⊗（-y ）=2，且2y ⊗x=-1，求x+y 的值．【典例2】对于实数x ，规定[]x 表示不小于x 的最小整数，例如[]1.2=2，[]3=3，[]-2.5=-2，则（1）填空：①[]-=π ；②若[]x =-2，则x 的取值范围是．（2）已知x 为正整数，且x 132+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求x 的值．【典例3】在平面直角坐标系中，将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如(－3，5)与(5，－3)是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M ，N 是一对“互换点”，若点M 的坐标为(m ，n)，求直线MN 的表达式(用含m ，n 的代数式表示)；（3）在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象上有一对“互换点”A ，B ，其中点A 在反比例函数2y x=-的图象上，直线AB 经过点P1122⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求此抛物线的表达式．【典例4】对任意一个三位数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F (n )．例如n ＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F (123)＝6．（1）计算：F (243)，F (617);（2）若s ，t 都是“相异数”，其中s ＝100x ＋32，t ＝150＋y (1≤x ≤9，1≤y ≤9，x ，y 都是正整数），规定：k ＝F (s )F (t ),当F (s )＋F (t )＝18时，求k 的最大值．【典例5】我们规定：形如()ax ky a b k k ab x b+=≠+、、为常数，且的函数叫做“奇特函数”.当0a b ==时，“奇特函数”ax k y x b +=+就是反比例函数(0)ky k x=≠. （1）若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x 和y 后，得到的新矩形的面积为8 ，求y 与x 之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；（2）如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D 是OA 的中点，连结OB ，CD 交于点E ，“奇特函数”6ax ky x +=-的图象经过B ，E 两点.①求这个“奇特函数”的解析式； ②把反比例函数3y x=的图象向右平移6个单位，再向上平移个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象.过线段BE 中点M 的一条直线l 与这个“奇特函数”的图象交于P ，Q 两点，若以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形面积为16103，请直接写出点P 的坐标．【典例6】定义[a，b，c]为函数y＝a x2+bx c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（18,33）；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于32；③当m＜0时，函数在x＞14时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有___________【典例7】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。

高考数学新定义练习题

高考数学新定义练习题一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x)满足f(x) = x^2 + 2x + 1，则f(-1)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知数列{an}满足a1 = 1，an+1 = 2an + 1，求a3的值：A. 5B. 7C. 9D. 113. 若复数z = 1 + i满足|z| = √2，则z的共轭复数为：A. 1 - iB. -1 + iC. -1 - iD. 1 + i4. 对于抛物线y = ax^2 + bx + c，若其顶点坐标为(1, -4)，则a的值为：A. -1B. 1C. 2D. -25. 若三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 = c^2，该三角形为：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形二、填空题（每题4分，共20分）6. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)的表达式为：________。

7. 若数列{bn}满足bn = 3n - 2，求b5的值为：________。

8. 已知复数z = 2 + 3i，求其模|z|的值为：________。

9. 对于抛物线y = 2x^2 - 4x + 1，求其焦点坐标为：________。

10. 若三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a + b = c，该三角形为：________。

三、解答题（每题10分，共20分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求证f(x)在区间[1, 3]上单调递增。

12. 已知数列{an}满足a1 = 2，an+1 = an + n，求an的通项公式，并证明其正确性。

四、证明题（每题15分，共30分）13. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求证f(x)在x = 2处取得极值。

14. 已知数列{bn}满足bn = n^2 - n + 1，求证数列{bn}为递增数列。

高中数学平面向量新定义问题(学生版)

平面向量新定义问题求解“新定义”题目，主要分如下几步：1.对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；2.对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点；3.对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。

题型一与线性运算有关的新定义1对于n 个向量a 1 ,a 2 ,a 3 ,⋯,a n ，若存在n 个不全为0的实数k 1,k 2,k 3,⋯,k n ，使得k 1a 1 +k 2a 2+k 3a 3 +⋯+k n a n =0 成立，则称向量a 1 ,a 2 ,a 3 ,⋯,a n 是线性相关的.按此规定，能使向量a 1 =(1,0)，a 2 =(1,-1)，a 3=(2,2)是线性相关的实数为k 1,k 2,k 3，则k 1+4k 3的值为()A.-1B.0C.1D.2【跟踪训练】2定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a =m ,n ，b =p ,q ，令a ⊙b=mq -np ，对于如下说法：①若a 与b 共线，则a ⊙b =0；②a ⊙b =b ⊙a ；③对任意的λ∈R ，有λa ⊙b =λa ⊙b；④a ⊙b 2+a ⋅b 2=a 2b 2.正确的是.题型二运算法则的新定义3定义：a ，b 两个向量的叉乘a ×b =a ⋅b ⋅sin a ,b，则以下说法正确的是()A.若a ×b =0，则a ∥bB.λa ×b =λa×bC.若四边形ABCD 为平行四边形，则它的面积等于AB ×ADD.若a ×b =3，a ⋅b =1，则a +b 的最小值为7【跟踪训练】4对于非零向量a ，b ，定义a ⊕b =a ⋅b ⋅tan <a ,b >.若a ⊕b =a +b =3a -b=3，则tan <a ,b >=.题型三向量与三角结合的新定义5给出定义：对于向量b =sin x ,cos x ，若函数f x =a ⋅b ，则称向量a为函数f x 的伴随向量，同时称函数f x 为向量a的伴随函数.(1)设向量m =3,1 的伴随函数为g x ，若g α =1013，且α∈-π6,π3 ，求cos α的值；(2)已知A -1,32 ，B 1,3 ，函数h x 的伴随向量为n =0,1 ，请问函数h x 的图象上是否存在一点P ，使得AP +BP =AB，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【跟踪训练】6已知对任意平面向量AB =(x ,y )，把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP=(x cos θ-y sin θ,x sin θ+y cos θ)，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转θ角得到点P .已知平面内点A (1,2)，点B 1+3,4 ，把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转π3后得到点P ，则点P 的坐标为()A.323+1,32B.-323+1,32C.52,323D.52,127如果向量a ，b 的夹角为θ，我们就称a ×b 为向量a 与b 的“向量积”，a ×b还是一个向量，它的长度为a ×b =a ⋅b sin θ，如果a =10，b =2，a ⋅b =-12，则a ×b=()A.-16B.16C.-20D.208定义a ⊗b =a 2-a ⋅b .若向量a =1,-2,2 ，向量b 为单位向量，则a ⊗b的取值范围是()A.0,6B.6,12C.0,6D.-1,59若向量a =x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积S 可以用a 、b 的外积a ×b 表示出来，即S =a ×b =x 1y 2-x 2y 1 .已知在平面直角坐标系xOy 中，A cos α,3 、B sin2α,2cos α ，α∈0,π2，则△OAB 面积的最大值为()A.1B.2C.2D.310记min x ,y =y ,x ≥yx ,x <y，设a ，b为平面内的非零向量，则()A.min a +b , a -b ≤min a , bB.min a +b |2, a -b |2 ≥a 2+b 2C.min a +b , a -b ≥min a , bD.min a +b |2, a -b |2 ≤a 2+b211定义两个非零平面向量a ，b 的一种新运算：a *b =a ⋅b sin a ,b ，其中a ,b 表示向量a ，b的夹角，则对于非零平面向量a ，b ，则下列结论一定成立的是()A.a +b *a +b =a *a +2a *b +b *bB.(a *b )2+(a ⋅b )2=a 2⋅b 2C.a *b =0，则a ⎳bD.λa *b =λa *b12已知两个单位向量e 1 、e 2 的夹角为θθ≠π2，若c =x e 1 +y e 2 ，则把有序数对x ,y 叫做向量c 的斜坐标，若a=x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，则()A.a -b=x 1-x 2,y 1-y 2 B.a =x 21+y 21C.λa=λx 1,λy 1D.a ⋅b=x 1x 2+y 1y 213若非零向量a ，b 的夹角为锐角θ，且ab=cos θ，则称a 被b“同余”．已知b 被a “同余”，且a =2,b =1则a -b 在a上的投影=14已知对任意平面向量AB =x ,y ，把AB 绕其起点A 沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP =x cos θ-y sin θ,x sin θ+y cos θ ，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转θ角得到点P ，已知平面内点A 1,2 ，点B 1+2,2-22 ，把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转π4角得到点P ，则点P 的坐标.15我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox ，Oy 构成的坐标系，称为“@未来坐标系”．如图所示，e 1 ，e 2 两分别为Ox ，Oy 正方向上的单位向量．若向量OP =x e 1 +y e 2，则把实数对x ,y 叫做向量OP 的“@未来坐标”，记OP =x ,y ，已知x 1,y 1 ,x 2,y 2 分别为向量a ,b 的@未来坐标．(1)证明：x 1,y 1 ⋅x 2,y 2 =x 1x 2+y 1y 2+12x 1y 2+x 2y 1 (2)若向量a ,b 的“@未来坐标”分别为sin x ,1 ,cos x ,1 ，已知f x =a ⋅b，x ∈R ，求函数f x 的最值．16记所有非零向量构成的集合为V ，对于a ,b ∈V ,a ≠b ，定义V (a ,b )=x ∈V ∣x ⋅a =x ⋅b，(1)若a =-1,3 ,b =2,-6 ，求出集合V a ,b中的三个元素；(2)若V a ,b =V a ,c ，其中b ≠c ，求证：一定存在实数λ1,λ2，且λ1+λ2=1，使得a =λ1b +λ2c .17对于一个向量组a 1 ，a 2 ，a 3 ，⋅⋅⋅，a n n ≥3，n ∈N * ，令b n =a 1 +a 2 +⋅⋅⋅+a n ，如果存在a tt ∈N * ，使得a t ≥a t -b n ，那么称a t是该向量组的“好向量”(1)若a 3 是向量组a 1 ，a 2 ，a 3 的“好向量”，且a n=n ，x +n ，求实数x 的取值范围；(2)已知a 1 ，a 2 ，a 3 均是向量组a 1 ，a 2 ，a 3 的“好向量”，试探究a 1 ，a 2 ，a 3的等量关系并加以证明．(2)由“好向量”的定义得三个不等式，平方转化为向量的数量积，三式相加整理后可得．。

高中数学新定义题

……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………新定义题第I 卷（选择题)一、单选题1．定义一种新运算：⎩⎨⎧<≥=⊗)(,)(,b a b b a a b a ，已知函数x x x f 22)(⊗=，若函数k x f x g -=)()(恰有两个零点，则实数k 的取值范围为（）A ．（0,1）B ．]2,1(C ．),2[+∞D ．),2(+∞【解析】试题分析：由题可知，xx x f 22)(⊗=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<<=)1(2)10(2)0(2x x xx x x ，画出图像如图，当函数k x f x g -=)()(恰有两个零点，即函数k x f =)(有两个交点时，实数k 的取值范围为),2(+∞；2．设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数(),()(),()K f x f x K f x K f x K≤⎧=⎨>⎩，取函数||()2x f x -=，当12K =时，函数()K f x 的单调递增区间为（）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞ 【解析】试题分析：依题意可知，当||()2x f x -=，12K =时 ||||||||1(),1122,22,||12()2,1111,||1,212,11222xx x x x K x x x f x x x x ----⎧≥⎧⎪⎧≤≥⎪⎪⎪⎪⎪===≤-⎨⎨⎨<⎪⎪⎪>⎩⎪⎪-<<⎩⎪⎩根据指数函数的图象与性质可知，函数()K f x 的单调递增区间为(,1)-∞-，故选C.试卷第2页，总18页考点：1.函数的新定义问题；2.分段函数；3.函数的单调性；4.指数函数的图象与性质. 3．设函数()f x 的定义域为D ，若满足：①()f x 在D 内是单调函数； ②存在[],a b D ⊆ ()b a >,使得()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ，那么就称()y f x =是定义域为D 的“成功函数”.若函数()()2log (0,1)x a g x a t a a =+>≠是定义域为R 的“成功函数”，则t 的取值范围为 ( ) A ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】试题分析：无论01a <<，还是1a >，都有()g x 是增函数，故()g a a =，()g b b =，所以方程()g x x =有两个根，即2x x a a t =+有两个根，设x m a =，则直线y t =与函数2(0)y m m m =-+>有两个交点，画出这两个图象可以看出t 的取值范围是10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，显然此时函数定义域为R . 4．定义：对于一个定义域为D 的函数f (x )，若存在两条距离为d 的直线y =kx +m 1和y =kx +m 2，使得x ∈D 时，恒有kx +m 1<f (x )<kx +m 2，则称f (x )在D 内有一个宽度为d 的通道。

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同步练习学校 :___________姓名： ___________班级： ___________考号：___________第 I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、选择题（本题共22 道小题，每小题 5 分，共 110分）a, a b x 2 1.定义max{a, b} ，设实数 x, y 满足约束条件y ，则b, a b 2z max{4 x y,3 x y} 的取值范围是（）（A）[ 8,10] （ B）[ 7,10] （ C）[ 6,8] （D）2.对于复数a,b,c,d ,若集合S= a,b,c,d 具有性质“对任意x,y S,必有 xy S”,则当a=1b2=1时 , b+c+d等于( )c2 =bA、 1 B 、 -1 C 、 0 D 、 i3.在实数集 R 中定义一种运算“”，a, b R ，a b 为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a R ， a 0 a ；（ 2）对任意a, b R ，a b ab (a 0) (b 0) ．关于函数 f ( x) (e x ) 1 的性质，有如下说法：①函数 f (x) 的最小值为 3 ；②函数e xf ( x) 为偶函数；③函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( ,0] ．其中正确说法的序号为（）A．①B．①②C．①②③D．②③4.设A 是整数集的一个非空子集，对于∈ ，如果k － 1? A 且k ＋1? ，那么称k 是集k A A合 A的一个“好元素”．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8} ，由 S 的3 个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（）A ．2 个B ． 4 个C ．6 个D．8个5.对于集合S { x x 2k 1，k N} 和集合 T { x x a b， a， b S} ，若满足 T S ，则集合 T 中的运算“”可以是A．加法 B ．减法 C ．乘法 D ．除法6. 设函数f ( x)的定义域为 R，如果存在函数g (x) ax(a为常数），使得f ( x)g (x)对于一切实数x都成立，那么称g( x)为函数f (x)的一个承托函数. 已x知对于任意k(0,1) ， g(x) ax 是函数f (x) e k 的一个承托函数，记实数a 的取值范围为集合 M，则有（）A. e 1 M , e MB. e 1 M , e MC. e 1 M , e MD. e 1 M , e M7. 用C( A) 表示非空集合 A 中的元素个数，定义| AC( A) C(B), C( A) C( B)B |C( A), C( A).C(B) C( B)若 A {1,2} ，B { x | x2 2x 3| a} ，且|A-B|=1 ，由 a 的所有可能值构成的集合为S，那么 C( S) 等于 ( )A．1 B．2C．3D．48. 对于集合M、 N，定义M －N＝ { x|x∈ M 且 x N} ， M⊕ N＝(M－N)∪ (N－ M)，设 A ＝ { y|y＝ 3x， x∈ R} ， B＝ { y|y＝－x2 2x 1，x∈R}，则A⊕B等于()A ． [0,2)B ．(0,2]C． (－∞， 0]∪(2，＋∞ ) D ． (－∞， 0)∪ [2，＋∞)9.在实数集R中定义一种运算“”，a, b R， a b 为唯一确定的实数，且具有性质：（ 1）对任意aR ， a 0 a ；（2）对任意a, b R，ab ab (a 0) (b0) ．f ( x) (e x )1f (x)的最小值为3；②函数关于函数e x 的性质，有如下说法：①函数f ( x)为偶函数；③函数f ( x)的单调递增区间为 ( ,0] ．其中所有正确说法的个数为 ()A ．B ． 1C ． 2则称集合 A 对于运算“”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“ ”：① A整数，运算“”为普通加法；② A复数，运算“”为普通减法；③A正实数，运算“”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有()A ①②B ①③C ②③ D①②③ D ．3x (m1, m 1]10.给出定义 : 若22 （其中m为整数） , 则m叫做与实数 x“亲密的整数” , 记作 { x}m , 在此基础上给出下列关于函数 f ( x) x { x} 的四个命题 : ①函14.设f (x) 与g( x)是定义在同一区间在 x [ a, b]上有两个不同的零点，则称间[ a, b]称为“关联区间”．若f ( x)联函数”，则 m 的取值范围是 ()[a ， b] 上的两个函数，若函数y f ( x) g( x)f ( x) 和 g( x) 在 [ a,b] 上是“关联函数”，区x 2 3x 4 与 g(x) 2xm在 [0,3] 上是“关数yf ( x) 在 x(0,1)上是增函数 ; ②函数yf (x)的图象关于直线 xk(kZ )2对称 ; ③ 函数yf ( x)是周期函数 , 最小正周期为 1; ④ 当x(0, 2] 时，函数g( x)f ( x)ln x有两个零点 . 其中正确命题的序号是 ____________.A ．②③④ B．①③ C ．①② D ．②④a b bc ，若函数 fxx 12在 (, m) 上单调递减，11.定义运算cad xx 3d则实数 m 的取值范围是A ． ( 2, )B ． [ 2, )C ． ( , 2)D ． ( , 2]12.对于函数 fx ，若 a,b,c R ，fa , fb , fc 为某一三角形的三边长，则称fxf x e x t为“可构造三角形函数”，已知函数e x1 是“可构造三角形函数”，则实数 t的取值范围是1A ．0,． 0,1． 1,2[ , 2]B C D． 213.对于集合 A ，如果定义了一种运算“ ”，使得集合A 中的元素间满足下列4 个条件：（ⅰ） a, b A，都有ab A ；（ⅱ）e A，使得对aA，都有ea a e a ；（ⅲ） aA ，aA，使得 a aaa e ；（ⅳ） a, b, cA ，都有abc a b c ，9 ,29 ,A.4B ． [ － 1,0]C ．( －∞，－ 2]D.415.设函数f ( x)的定义域为 D ，如果对于任意的 x 1D，存在唯一的x 2 D，使得f ( x 1 ) f ( x 2 )Cy f ( x)在 D 上的均值为2C 为常数），则称函数成立（其中 C ，现在给出下列 4 个函数： ① y x 3 ② y4sin x③ylg x④y 2x ，则在其定义域上的均值为 2 的所有函数是下面的（）A. ①②B. ③④C.①③④D.①③16.对任意实数 a, b 定义运算 " " 如下 a ba a bb a ，则函数bf ( x) log 1 (3x 2) log 2 x 的值域为（）2A. 0,B. ,0C. log 2 2D.2,0 log 2 ,33 17.设 A, B 是非空集合，定义 A B { x | x A B , 且 x A B} ，已知 A { x | 0 x 2} ， B { x | x 0} ，则 AB 等于（）A. (2,)B. [0,1][ 2, )C . [ 0,1) (2,)D. [ 0,1](2, )18.设集合 A ? R ，如果 x ∈R 满足：对任意 a ＞ 0，都存在 x ∈A ，使得 0＜ |x ﹣ x |＜a ，那么称 x 0 为集合 A 的一个聚点．则在下列集合中：（ 1） Z +∪ Z ﹣ ；（ 2）R +∪ R ﹣；（3） {x|x= ，n ∈N *} ；（ 4） {x|x=， n ∈N *} ．其中以 0 为聚点的集合有（）A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个19.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y ＝ 2x 2＋ 1，值域为 {9} 的“孪生函数”三个：（ 1） y ＝ 2x 2＋ 1， x {2} ；（ 2） y ＝ 2x 2＋1， x { 2} ；（ 3） y ＝ 2x 2＋ 1，x { 2,2} 。

那么函数解析式为 y ＝ 2x 2＋ 1，值域为 {1 ， 5} 的“孪生函数”共有 ( )A ． 5 个B ． 4 个C ． 3 个D ． 2 个20. 已知{ a 1, a 2, a 3, a 4, a 5}{1,2,3, 4,5,6}, 若 a 2 a 1, a 2a 3 , a 4 a 3 , a 4a5 ，称排列a 1, a 2, a 3,a 4, a5 为好排列，则好排列的个数为A.20B.72C.96D.12021.若 x A, 且1A ，则称 A 是“伙伴关系集合”，在集合 M {1,0, 1 , 1,1,2,3,4}x3 2的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为A ．1B ．1C ．7D ．4175125525522.在数学拓展课上，老师定义了一种运算“ ”：对于 nN ，满足以下运算性质：① 2 2 1；② (2 n 2) 2 (2 n 2) 3 。

则 1020 2 的数值为（）A. 1532B.1533C.1528D.1536第 II 卷（非选择题）请点击修改第 II 卷的文字说明评卷人得分二、解答题（本题共 15 道小题，每小题 5 分，共 75 分）23.在实数集R 中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序” . 类似的，D= r r x, y , x R, yR 上也可以定义一个称“序”的关我们在平面向量集 a auur uur系，记为 “ ”. 定义如下：对于任意两个向量a 1 =(x 1 ,y 1 ),a 2 =(x 2 ,y 2 )， uuruur“a 1 >> a 2”当且仅当“x 1 x 2 ”或“ x 1x 2且 y 1 y 2 ”。

按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：ur uurruruurr①若e 1(1,0), e 2 (0,1),0 (0,0) ，则e 1 >> e 2>> 0；uuruur uur uur uur uur②若a 1>> a 2 ,a 2 >> a 3，则a 1>> a 3 ；uurruur uurruur r③若a 1 >> a 2，则对于任意aD,a 1 +a >> a 2 +a；r uurrr ruuruurr uur④对于任意向量 a >> 0,0 = (0,0) ，若 a 1 >> a 2，则 a a 1 > a a 2。