(完整word)高中数学新定义类型题.doc

同步练习
学校 :___________姓名： ___________班级： ___________考号：
___________
第 I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明
评卷人得分
一、选择题（本题共22 道小题，每小题 5 分，共 110
分）
a, a b x 2 1.定义max{a, b} ，设实数 x, y 满足约束条件
y ，则
b, a b 2
z max{4 x y,3 x y} 的取值范围是（）
（A）[ 8,10] （ B）[ 7,10] （ C）[ 6,8] （D）2.对于复数a,b,c,d ,若集合S= a,b,c,d 具有性质“对任意x,y S,必有 xy S”,则当
a=1
b2=1时 , b+c+d等于
( )
c2 =b
A、 1 B 、 -1 C 、 0 D 、 i
3.
在实数集 R 中定义一种运算“”，a, b R ，a b 为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意a R ， a 0 a ；（ 2）对任意a, b R ，
a b ab (a 0) (b 0) ．
关于函数 f ( x) (e x ) 1 的性质，有如下说法：①函数 f (x) 的最小值为 3 ；②函数
e x
f ( x) 为偶函数；③函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( ,0] ．其中正确说法的序号为
（）
A．①B．①②C．①②③
D．②③
4.设A 是整数集的一个非空子集，对于∈ ，如果k － 1? A 且k ＋1? ，那么称k 是集
k A A
合 A的一个“好元素”．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8} ，由 S 的3 个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（）
A ．2 个
B ． 4 个
C ．6 个D．8个
5.对于集合S { x x 2k 1，k N} 和集合 T { x x a b， a， b S} ，
若满足 T S ，则集合 T 中的运算“”可以是
A．加法 B ．减法 C ．乘法 D ．除法
6. 设函数
f ( x)
的定义域为 R，如果存在函数
g (x) ax(a
为常数），使得
f ( x)
g (x)
对于一切实数
x
都成立，那么称
g( x)
为函数
f (x)
的一个承托函数. 已
x
知对于任意
k
(0,1) ， g(x) ax 是函数f (x) e k 的一个承托函数，记实数a 的取值范围为集合 M，则有（）
A. e 1 M , e M
B. e 1 M , e M
C. e 1 M , e M
D. e 1 M , e M
7. 用C( A) 表示非空集合 A 中的元素个数，定义| A
C( A) C(B), C( A) C( B)
B |
C( A), C( A)
.
C(B) C( B)
若 A {1,2} ，B { x | x2 2x 3| a} ，且|A-B|=1 ，由 a 的所有可能值构成的集合
为S，
那么 C( S) 等于 ( )
A．1 B．2C．3D．4
8. 对于集合M、 N，定义M －N＝ { x|x∈ M 且 x N} ， M⊕ N＝(M－N)∪ (N－ M)，设 A ＝ { y|y＝ 3x， x∈ R} ， B＝ { y|y＝－x2 2x 1，x∈R}，则A⊕B等于()
A ． [0,2)
B ．(0,2]
C． (－∞， 0]∪(2，＋∞ ) D ． (－∞， 0)∪ [2，＋∞)
9.在实数集R中定义一种运算“”，
a, b R
， a b 为唯一确定的实数，且具有
性质：
（ 1）对任意
a
R ， a 0 a ；
（2）对任意
a, b R
，
a
b ab (a 0) (b
0) ．
f ( x) (e x )
1
f (x)
的最小值为
3
；②函数
关于函数
e x 的性质，有如下说法：①函数
f ( x)
为偶函数；③函数
f ( x)
的单调递增区间为 ( ,0] ． 其中所有正确说法的个数为 (
)
A ．
B ． 1
C ． 2
则称集合 A 对于运算“
”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算
“ ”：
① A
整数 ，运算“
”为普通加法；② A
复数
，运算“
”为普通减法；
③
A
正实数
，运算“
”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有()
A ①②
B ①③
C ②③ D
①②③ D ．
3
x (m
1
, m 1]
10.给出定义 : 若
2
2 （其中
m
为整数） , 则
m
叫做与实数 x
“亲密的
整数” , 记作 { x}
m , 在此基础上给出下列关于函数 f ( x) x { x} 的四个命题 : ①函
14.设
f (x) 与
g( x)
是定义在同一区间在 x [ a, b]
上有两个不同的零点，则称
间
[ a, b]
称为“关联区间”．若
f ( x)
联函数”，则 m 的取值范围是 (
)
[a ， b] 上的两个函数，若函数
y f ( x) g( x)
f ( x) 和 g( x) 在 [ a,b] 上是“关联函数”，区
x 2 3x 4 与 g(x) 2x
m
在 [0,3] 上是“关
数
y
f ( x) 在 x
(0,1)
上是增函数 ; ②函数
y
f (x)
的图象关于直线 x
k
(k
Z )
2
对
称 ; ③ 函 数
y
f ( x)
是 周 期 函 数 , 最 小 正 周 期 为 1; ④ 当
x
(0, 2] 时 ， 函 数
g( x)
f ( x)
ln x
有两个零点 . 其中正确命题的序号是 ____________.
A ．②③④ B
．①③ C ．①② D ．②④
a b bc ，若函数 f
x
x 1
2
在 (
, m) 上单调递减，
11.定义运算
c
ad x
x 3
d
则实数 m 的取值范围是
A ． ( 2, )
B ． [ 2, )
C ． ( , 2)
D ． ( , 2]
12.对于函数 f
x ，若 a,b,c R ，
f
a , f
b , f
c 为某一三角形的三边长，则
称
f
x
f x e x t
为“可构造三角形函数”，已知函数
e x
1 是“可构造三角形函
数”，则实数 t
的取值范围是
1
A ．
0,
． 0,1
． 1,2
[ , 2]
B C D
． 2
13.对于集合 A ，如果定义了一种运算“ ”，使得集合
A 中的元素间满足下列
4 个
条件：
（ⅰ） a, b A
，都有
a
b A ；
（ⅱ）
e A
，使得对
a
A
，都有
e
a a e a ； （ⅲ） a
A ，
a
A
，使得 a a
a
a e ；
（ⅳ） a, b, c
A ，都有
a
b
c a b c ，
9 ,
2
9 ,
A.
4
B ． [ － 1,0]
C ．( －∞，－ 2]
D.
4
15.设函数
f ( x)
的定义域为 D ，如果对于任意的 x 1
D
，存在唯一的
x 2 D
，使得
f ( x 1 ) f ( x 2 )
C
y f ( x)
在 D 上的均值为
2
C 为常数），则称函数
成立（其中 C ， 现 在 给 出 下 列 4 个 函 数 ： ① y x 3 ② y
4sin x
③
y
lg x
④
y 2x ，则在其定义域上的均值为 2 的所有函数是下面的
（
）
A. ①②
B. ③④
C.
①③④
D.
①③
16.对任意实数 a, b 定义运算 " " 如下 a b
a a b
b a ，则函数
b
f ( x) lo
g 1 (3x 2) log 2 x 的值域为（
）
2
A. 0,
B. ,0
C. log 2 2
D.
2
,0 log 2 ,
3
3 17.设 A, B 是非空集合，定义 A B { x | x A B , 且 x A B} ，已知 A { x | 0 x 2} ， B { x | x 0} ，则 A
B 等于（
）
A. (2,
)
B. [0,1]
[ 2, )
C . [ 0,1) (2,
)
D. [ 0,1]
(2, )
18.设集合 A ? R ，如果 x ∈R 满足：对任意 a ＞ 0，都存在 x ∈A ，使得 0＜ |x ﹣ x |＜a ，
那么称 x 0 为集合 A 的一个聚点．则在下列集合中：
（ 1） Z +∪ Z ﹣ ； （ 2）R +∪ R ﹣
；
（3） {x|x= ，n ∈N *
} ； （ 4） {x|x=
， n ∈N *
} ．
其中以 0 为聚点的集合有（
）
A ． 1 个
B ． 2 个
C ． 3 个
D ． 4 个
19.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函
数”，
例如解析式为
y ＝ 2x 2＋ 1，值域为 {9} 的“孪生函数”三个：
（ 1） y ＝ 2x 2＋ 1， x {
2} ； （ 2） y ＝ 2x 2＋1， x { 2} ； （ 3） y ＝ 2x 2＋ 1，
x { 2,2} 。

那么函数解析式为 y ＝ 2x 2＋ 1，值域为 {1 ， 5} 的“孪生函数”共有 ( )
A ． 5 个
B ． 4 个
C ． 3 个
D ． 2 个
20. 已知
{ a 1
, a 2
, a 3
, a 4
, a 5
}
{1,2,3, 4,5,6}, 若 a 2 a 1, a 2
a 3 , a 4 a 3 , a 4
a
5 ，称排
列
a 1
, a 2
, a 3
,a 4
, a
5 为好排列，则好排列的个数为
A.20
B.72
C.96
D.120
21.若 x A, 且
1
A ，则称 A 是“伙伴关系集合”，在集合 M {
1,0, 1 , 1
,1,2,3,4}
x
3 2
的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为
A ．
1
B ．
1
C ．
7
D ．
4
17
51
255
255
22.在数学拓展课上，老师定义了一种运算“ ”：对于 n
N ，满足以下运算性质：
① 2 2 1；② (2 n 2) 2 (2 n 2) 3 。

则 1020 2 的数值为
（
）
A. 1532
B.
1533
C.
1528
D.
1536
第 II 卷（非选择题）
请点击修改第 II 卷的文字说明
评卷人
得分
二、解答题（本题共 15 道小题，每小题 5 分，共 75 分）
23.在实数集
R 中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序” . 类似的，
D= r r x, y , x R, y
R 上也可以定义一个称“序”的关 我们在平面向量集 a a
uur uur
系 ， 记 为 “ ”
. 定 义 如 下 ： 对 于 任 意 两 个 向 量
a 1 =(x 1 ,y 1 ),a 2 =(x 2 ,y 2 )
， uur
uur
“
a 1 >> a 2
”当且仅当“
x 1 x 2 ”或“ x 1
x 2且 y 1 y 2 ”。

按上述定义的关系
“”，给出如下四个命题：
ur uur
r
ur
uur
r
①若
e 1
(1,0), e 2 (0,1),0 (0,0) ，则
e 1 >> e 2
>> 0
；
uur
uur uur uur uur uur
②若
a 1
>> a 2 ,a 2 >> a 3
，则
a 1
>> a 3 ；
uur
r
uur uur
r
uur r
③若
a 1 >> a 2
，则对于任意
a
D,a 1 +a >> a 2 +a
；
r uur
r
r r
uur
uur
r uur
④对于任意向量 a >> 0,0 = (0,0) ，若 a 1 >> a 2
，则 a a 1 > a a 2。

其中真命题的序号为 __________
24.给定数集 A , 对于任意 a, b
A ，有 a b A 且 a b A ，则称集合 A 为闭集
合．
①集合 A { 4, 2,0,2,4} 为闭集合；
②集合 A { n n 3k, k Z} 为闭集合；
③若集合 A 1 , A 2 为闭集合，则 A 1 A 2 为闭集合；
④若集合 A 1 , A 2 为闭集合，且 A 1
R ， A 2 R ，则存在 c R , 使得
c ( A 1
A 2 ) ．
其中，全部正确结论的序号是 ________．
25.定义：如果函数 y f (x)
在定义域内给定区间 [a ，b]
上存在 x 0 ( a x 0
b ，满足
)
f ( x )
f ( b)
f (a)
，则称函数 y
f ( x) 是 [a ， b] 上的“平均值函数”，
x 是它的
b a
一个均值点．例如 y=| x | 是 [ 2 ，2] 上的“平均值函数”， 0 就是它的均值点．给出 以下命题：
① 函数 f ( x) cos x 1 是 [ 2 ，2 ] 上的“平均值函数”．
② 若 y
f (x) 是 [a ，b] 上的“平均值函数”，则它的均值点x 0≥
a
2 b ．
③ 若函数 f ( x)
x 2
mx 1是 [ 1，1] 上的“平均值函数”，则实数
m 的取值范
围是 m (0 ，2) ．
④ 若 f ( x) ln x 是区间 [a ， b] (b>a ≥ 1) 上的“平均值函数”， x 0 是它的一个均
值点，则 ln x 0
1
．
ab
其中的真命题有
．（写出所有真命题的序号）
26.
下图展示了一个由区间 0,1 到实数集 R 的映射过程：区间 0,1 中的实数 m 对应数轴
上的点 m ，如图①：将线段
AB 围成一个圆，使两端点 A, B 恰好重合，如图②：再
将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在
y 轴上，点 A 的坐标为 0,1 ，如图
③，图③中直线 AM 与 x 轴交于点 N n,0 ，则 m 的象就是 n ，记作
f m n ．
下列说法中正确命题的序号是
（填出所有正确命题的序号）
① f
1
1
4
② f x 是奇函数
③ f x 在定义域上单调递增
④ f x 是图像关于点
1
,0 对称．
2
27.在平面直角坐标系中，定义 d(P,Q)=
x 1x
2
y 1
y 2
为两点
P x 1
, y 1
, Q x 2
, y
2
之间的“折线距离”，则坐标原点 O 与直线
2x
y 2 3
上任意一点的“折线
距
离”的最小值是 _________.
28.设 S,T 是 R 的两个非空子集，如果存在一个从 S 到 T 的函数 y
f ( x) 满足；
(i)
T
{ f ( x) | x S} ； (ii) 对任意 x 1
, x 2
S ，当
x 1x 2
时 ,
恒有
f (x 1)f (x 2
) ．
那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下 4 对集合：
①
S
R,T
{ 1,1} ；
②
S N ,T N * ；
③
S
{ x | 1 x 3}, T { x | 8 x 10} ；
④ S
{ x | 0 x 1}, T R
其中，“保序同构”的集合对的对应的序号是 _________( 写出所有“保序同构”的集
合对的对应的序号 ) ． 29.若直角坐标平面内两点
P, Q 满足条件：① P,Q 都在函数 y
f ( x) 的图象上；
② P,Q 关于原点对称，则称
(P,Q) 是函数 y
f (x) 的一个“伙伴点组”（点组
( P,Q) 与 (Q, P) 看作同一个“伙伴点组”）．已知函数
k( x 1), x
f ( x)
1,
有
x 2
x 0
两个“伙伴点组”，则实数
k 的取值范围是 __ ▲ _ ．
30.已知有限集 A a 1 ,a 2 , a 3 , , a n n 2,n N
.如果 A 中元素
a i
i 1,2,3,
, n
满足
a 1
a
2
a n a 1 a 2
a n
，就称 A 为 “复活集 ”，给出下列结论：
1 5 , 1
5
① 集合
2
2
是“复活集 ”； ②
若 a
1
, a
2
R, 且 a 1 , a 2 是“复活集 ”，则
a a 4
若a 1, a 2 N * ,则 a 1,a 2
a i N *
1 2
； ③
不可能是 “复活集 ”； ④ 若
，则 “复活
集”A 有且只有一个，且
n 3.
其中正确的结论是 ___________________．（填上你认为所有正确的结论序号） 31.对于定义在 D 上的函数 f (x) ，若存在距离为
d 的两条直线 y kx m 1 和
y kx m 2 ，使得对任意 x D 都有 kx m 1 f ( x) kx m 2 恒成立，则称函数
f ( x)( x D ) 有一个宽度为 d 的通道 . 给出下列函数：
①
f ( x)
1 ；② f ( x) sin x ；③ f (x) x 2
1 ；④ f ( x) ln x
x
x
其中在区间 [1, ) 上通道宽度可以为 1的函数有
( 写出所有正确的序号 ).
32.设 S 为复数集 C 的非空子集 . 若对任意
x, y
S
，都有
x
y,x
y,xy S ，则称 S
为封闭集。

下列命题：
①集合 S ＝ {a ＋ bi| （
a,b
为整数， i 为虚数单位） } 为封闭集；
②若 S 为封闭集，则一定有 0 S ；
③封闭集一定是无限集；
④若 S 为封闭集，则满足
S
T
C
的任意集合 T 也是封闭集 .
其中真命题是 ____________.
（写出所有真命题的序号）
33.已知函数 f ( x)
的自变量取值区间为
A ，若其值域也为 A ，则称区间 A 为
f (x)
的保 值 区 间 ． 若 g( x) x
m ln x 的 保 值 区 间 是
[2, ) ， 则
m
的 值 为
_______________ ．
34.存在区间
M
[a ,b] （ a b ），使得
{ y | y
f ( x), x M }
M
，则称区间 M 为
函数
f ( x)
的一个“稳定区间” . 给出下列 4 个函数：① f ( x) = e x ；② f ( x) = x 3 ；
f (x) cos x
f ( x) = ln x + 1
其 中 存 在 “ 稳 定 区 间 ”
的 函 数 有
③
2 ； ④ ____________. （把所有正确的序号都填上）
35.若函数 f （ x ）在定义域 D 内某区间 I 上是增函数，且 在 I 上是减函数，则
称 y=f （ x ）在 I 上是“弱增函数”．已知函数 h （ x ） =x2﹣（ b ﹣ 1） x+b 在（ 0， 1]
上是“弱增函数”，则实数 b 的值为 ________．
36.
定义一个对应法则
f : P m, n P m, n ，m ≥ 0,n ≥ 0 ．现有点 A 2,6 与
点 B 6,2 ，点 M 是线段 AB 上一动点，按定义的对应法则
f : M
M ．当点 M 在线
段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 结束时，点 M 的对应点 M 所经过的路线长度
为．
37.已知数列 { a n } 满足 a n log n 1 (n 2) ( n N * ) ，若正整数 k 满足 a 1 a 2 a k 为整
数，则称 k 为“马数”，那么，在区间 [1, 2014] 内所有的“马数”之和
为
．
卷人得分
三、解答题（本题共 3 道小题，每小题10 分，共30 分）
38.（本小分12 分）在 R 上定运算: p q 1 p c q b 4bc （b、c
3
常数） .f1 x x2 2c, f 2 x x 2b, x R .令 f x f1 x f2 x .
（I ）如果函数 f x 在 x 1 有极4
，确定 b、 c 的；3
（II ）求曲 y f x 上斜率 c 的切与曲的公共点；
（III ） g x f x 1 x 1 的最大M.若M k 任意的b、c恒成
立，求 k 的最大 .
39. 己知集合 A={l,2,3, ⋯ ,2n}, (n N *) ，于A的一个子集S，若存在不大于n 的正整
数 m，使得于 S 中的任意一元素s1 ,s2，都有 | s1 s2 | m ，称S具有性P。

(1) 当 n=10 ，判断集合 B { x A | x 9} 和 C { x A | x 3k 1, k N *} 是否一定具有性P ?并明理由。

(2) 当 n=2014
①若集合S 具有性P，那么集合T{ 4029 x | x S} 是否一定具有性P ?明理由，
②若集合 S 具有性P，求集合S 中元素个数的最大．
40.于函数f ( x)
，若
f ( x)
象上存在 2 个点关于原点称，称
f (x)
“局部中心
称函数”．
（Ⅰ）已知二次函数 f (x) ax2 2ax 4 (a R, a 0) ，判断 f (x)是否“局部中心称函数”？并明理由；
f ( x) 4x m 2x 1 m2 4 （Ⅱ）若 f ( x) 4x m 2x 1 m2 4
定域 R 上的“局部中心称函数”，求
数 m 的取范．
试卷答案
1.B
2.B
3.B
知识点：命题的真假判断与应用
解析：∵ f ( x)
(e x
) 1
x
1
x
）*0+
1
x
1 e x
= （ e
）? x +（ e x
*0=1+e +
e x ，
e
e
对于①，∵ 1+e x
+
1
≥1+
2
x
1
e x e
x =3（当且仅当 x=0 时取“ =”），∴ f （ x ）min =3，
e
故①正确；
对于②，∵ f （ x ） =1+e x
+ 1
=1+e x +e ﹣
x ，∴ f （﹣ x ） =1+e x +e ﹣
x =1+e x +e ﹣
x =f
（ x ）， e x
∴函数 f （x ）为偶函数，故②正确；
对于③，∵ f ′（ x ）=e x
﹣ e ﹣x
=
e 2 x 1
，∴当 x ≥0时， f ′（ x ）≥ 0，即函数 f （ x ）
e x
的单调递增区间为 [0 ，﹣∞），故③错误；∴正确说法的序号为①②，故选：
B ．
【思路点拨】依题意，可得 x ﹣ x
f （x ） =1+e +e ，对于①，可由基本不等式
x
1
x
1
1+e +
e x ≥1+ 2
e
x =3 判断其正误；对于②，利用偶函数的定义可判断其正误；
e
对于③，由 f ′（ x ）≥ 0，求得其单调递增区间，可判断其正误．
4.C 略
5.C
6.C 略
7.A
略
8.C
略
9.C 略
10. A 略 11. D 12. D 略 13. B 略 14. A 略 15. D 略 16. B 17. A 18. B
略
19. C 20. C 略 21. A
22.C
23.①②③
略
24.②
25.
【知识点】新定义型函数B10
【答案解析】①③④解析：解：①容易证明正确．②不正确．反例： f (x) x 在区间[0，6]上．
③正确．由定义：x02 mx0 1 m m
得 x0
2 1 ( x0 1) m m x0 1 ，
2
又 x0( 1，1)所以实数m的取值范围是m (0，2) ．
④正确．理由如下：由题知ln x0 ln b ln a ．
b a ①当 m 1 时， M 的坐标为
1
,1 1 ，直线 AM 的方程 y x 1，所以点
4 2 2
N 的坐标为1,0 ，故f 1 1，即①错；对于②，因为实数m所在的区间0,1
4
不关于原点对称，所以 f x 不存在奇偶性，故②错；对于③，当实数m越来越大时，如图直线AM 与x轴的交点N n,0 也越来越往右，即 n越来越大，所以 f x在
定义域上单调递增，即③对；对于④当实数m
1
A 的正下方，此
时，对应的点在点
2
时点 N 0,0 ，所以 f 1 0 ，再由图形可知 f x 的图象关于点
1
,0 对称，即④
2 2
对，故答案为③④．
要证明ln x0 1
，即证明：
ln b ln a 1 ab b a ab
令b
t 1 ，原式等价于 ln t2 t
1
2 ln t t
a t
令 h(t) 2ln t t 1
(t 1) ，则 h (t ) 2 1 1
t t t 2
ln b b a b a ，
a a
b a b
1
0 ．
t
t 2 2t 1 (t 1) 2
t 2 t 2
0 ，
所以 h( t) 2 ln t t 1
h(1) 0 得证．t
【思路点拨】根据新函数的定义可分析每一个选项的正误情况.
26.③④
试题分析：解：如图，因为M 在以1,11
为圆心，
1
为半径的圆上运动，对于
2 2
考点：在新定义下解决函数问题．
27.
3
略
28.②③④
略
29.
【知识点】一元二次方程根的分布，对称问题
38.
【答案解析】 k 2 2 2 解析：解：设 (m ，n) 为函数当 x ≥ 0 时图象上任意一点，若
点
(m ， n) 是函数 y
f ( x) 的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点
( －
n m 2 1 km k 1
0 ，若
m ，－ n) 必在该函数图象上，得
k
，消去 n 得 m 2
n m 1
函数有两个“伙伴点组”，则该方程有 2 个不等的正实数根，得
k 2 4 k
1 0
k 0
，解得 k 2 2 2 .
k 1 0
【思路点拨】对于新定义题，读懂题意是解题的关键，本题通过条件最终转化为一元
二次方程根的分布问题进行解答
.
30.①③④
略
31.
32.①②
略
33. ln 2
略
34.② ③ 略
35. 1
略
2
36.
3
37. 2026
39.
(1) 略 (2)2685解析：解：（1）当n=10，A={1，2，3，⋯，19，20}，B={x ∈ A|x ＞9}={10 ，11， 12，⋯， 19，20} ；
∵ 于任意不大于10 的正整数m，都可以找到集合 B 中两个元素b1=10， b2=10+m，使得|b 1 b2|=m 成立；∴集合 B 不具有性 P；集合 C={x ∈ A|x=3k 1， k∈ N* } 具有性P；
∵可取m=1＜10，于集合 C 中任意一元c13k11,c23k2
1,k1, k2N *
；
都有 |c 1c2|=3|k 1k2| ≠1；即集合 C 具有性P；
（2）当 n=2014 ， A={1 ， 2，3，⋯， 4027， 4028} ；①若集合 S 具有性 P，集合
x|x ∈ S} 一定具有性 P：任取 t=4029 x0∈ T，x0∈S；∵ S? A，∴x0∈T={4029
{1 ， 2， 3，⋯， 4028} ；
∴1≤4029 x0≤ 4028 ，即 t ∈ A，∴ T? A；由 S 具有性 P 知，存在不大于2014 的
正整数 m，
使得于S 中的任意一元素s1， s2，都有 |s 1s2| ≠m；于上述正整数m，从集合 T 中任取一元素 t 1=4029 x1，t 2=4029 x2， x1， x2∈ S，都有 |t 1 t 2|=|x 1
x | ≠m；∴集合T 具有性 P；② 集合 S 有 k 个元素，由①知，若集合S 具有性2
P，那么集合 T={4029 x|x ∈ S} 一定具有性 P；任 x∈ S，1≤x≤4028， x 与
4029 x 中必有一个不超 2014；
∴集合 S 与 T 中必有一个集合中至少存在一个元素不超2014；
不妨 S 中有 t （ t）个元素b1， b2，⋯， b t不超 2014；
由集合 S 具有性 P 知，存在正整数 m≤2014，使得 S 中任意两个元素 s1， s2，都有 |s 1 s2|
≠m；
∴一定有b1+m， b2+m，⋯， b t +m?S；
又 b t +m≤2014+2014=4028，故b1+m， b2+m，⋯， b t +m∈ A；
即集合 A 中至少有t 个元素不在子集S 中，∴，所以
，解得k≤2685；当S={1 ，2，⋯， 1342， 1343， 2687，⋯， 4027， 4028}
：取 m=1343，易知集合S 中任意两个元素y1， y2，都有 |y 1y2| ≠1343；即集合S 具有性P，而此集合S 中有 2685 个元素；∴集合S 元素个数的最大是2685
略
40.（Ⅰ）当 f ( x) ax2
2ax 4
，若象上存在 2 个点关于原点称
方程
f (
x) f ( x) 0
即 ax 2 4 0 ，
a0
，方程有数根，
a 0
，方程无数根．
∴
a
0 ，
f (x)
是“局部中心称函数”， a 0，
f ( x)
不是“局部中心称函数” ．
（Ⅱ）当
f (x)
4x m 2x 1 m2 4 ， f ( x) f ( x) 0 可化
4x 4 x 2m(2 x 2 x ) 2m2 8 0 ．
令
t
2x 2 x，
t
[2, ) ，4x 4 x t2 2
即 t 2 2mt 2m2 10 0 [2,
)
有解，即可保
f ( x)
“局部中心称函数”．令 g(t) t 2 2mt 2m2 10 ，
g(2) 0 2 2 [2, )
， t 2mt 2m 10 0 在有解，
1 当°
由 g(2)
，即 2m2 4m 6 0 ，解得 1 m 3 ；
g(2) 0 2 2 [2, )
2 当， t 2mt 2m 10 0 在有解等价于
°
4m2 4(2m2 10) 0
m 2
g(2) 0
解得
3
m 10 ．
上，所求数m 的取范 1 m 10 ．
略。