常微分方程第四章知识总结
常微分课后答案第四章
第四章 高阶微分方程§4.1 线性微分方程的一般理论习题4．11．设)(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上的连续函数，证明：若在区间[]b a ,上有≠)()(t y t x 常数或≠)()(t x t y 常数，则)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．（提示：用反证法） 证明 )(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上线性相关，则存在不全为0的常数21,c c 使得0)()(21≡+t y c t x c ，[]b a t ,∈，若)0(,021≠≠c c 或得12)()(c c t y t x -≡（或21)()(c c t x t y -≡）[]b a t ,∈∀成立。
与假设矛盾，故)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．2．证明非齐次线性方程的叠加原理：设)(1t x ，)(2t x 分别是非齐次线性方程)()()(1111t f x t a dt xd t a dt x d n n n n n =+++-- （1） )()()(2111t f x t a dtxd t a dt x d n n n nn =+++-- （2） 的解，则)()(21t x t x +是方程)()()()(21111t f t f x t a dtxd t a dt x d n n n n n +=+++-- （3） 的解．证明 因为)(1t x ，)(2t x 分别是方程（1）、（2）的解，所以)()()(1111111t f x t a dt x d t a dt x d n n n n n =+++-- ， )()()(2212112t f x t a dtx d t a dt x d n n n nn =+++-- ， 二式相加得，)()())(()()()(21211211121t f t f x x t a dt x x d t a dt x x d n n n n n +=++++++-- ，即)()(21t x t x +是方程（3）的解．3.（1）．试验证022=-x dt x d 的基本解组为tt e e -,，并求方程t x dtx d cos 22=-的通解。
常微分方程第一到四章知识
教材及参考资料
• 教 材： 常微分方程，(第三版）（07年精品教材）， 王高雄等 （中山大学), 高教出版社
• 参考书目： [1] 常微分方程, 东北师大数学系编，高教出版社 [2] 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社 [3] 常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社 [4] 微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。
"
证明: 对y sinx,由于
y y sin x sin x 0
"
y cosx,y sin x 故对x (, ), 有
' "
故y sinx是微分方程 y" y 0在(,)上的一个解 . 同理y cosx是微分方程 y" y 0在(,)上的一个解 .
y sinx,y cosx都是方程 y y 0的特解 .
"
可在通解y c1sinx c2cosx中分别取 c1 1, c2 0, 得到: y sinx, c1 0, c2 1, 得到: y cosx.
定解条件
为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实 际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件 求满足定解条件的求解问题称为定解问题 常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初始 条件是指如下的n个条件:
课程的教学目的与任务
• 通过该课程的学习，使学生正确理解常微分 方程的基本概念，掌握其基本理论和主要方法， 具备良好的解题能力，为学习本学科近代发展理 论和后继课程打下基础。同时通过一些成功利用 微分方程解释实际现象问题的著名范例，培养学 生利用微分方程建立数学模型解决实际问题的能 力，认识到数学来源于实践，又服务于实践，从 而培养学生的数学实践观和加强数学实践能力。 该课程又是数学分析的继续和进一步学习泛函分 析、数理方程等必不可少的基础，对提高学生的 素质，使之更好地适应当前经济建设的需要提供 必备的知识基础。
常微分方程学习指导
微 积 分 下 册第四章 常微分方程一、学习要求与内容提要（一）基本要求1．了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解等概念.2．掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法.3．会用微分方程解决一些简单的实际问题.重点 微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法。
难点 一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法。
（二）内容提要10.⒈ 微分方程的基本概念微分方程的定义，微分方程的阶、解与通解，初始条件与特解。
10.2 一阶微分方程变量可分离的微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程。
10.3高阶微分方程二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系数非齐次线性微分方程，几类特殊的高阶微分方程的降阶法。
二、主要解题方法1．一阶微分方程的解法例1 求微分方程 y y x y x y xy d d d d 2+=+ 满足条件20==x y的特解.解 这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有 x x y y y d 11d 12-=- 两边积分，得 =-⎰y y y d 12⎰-x x d 11求积分得 121ln 1ln 21C x y +-=-，1222)1ln(1ln C x y +-=- 1222e )1(1C x y -=-，222)1(e 11-±=-x y C记 0e 12≠=±C C ，得方程的解 22)1(1-=-x C y .可以验证 0=C 时，1±=y ，它们也是原方程的解，因此，式22)1(1-=-x C y 中的C 可 以为任意常数，所以原方程的通解为 22)1(1-=-x C y （C 为任意常数）.代入初始条件 20==x y 得 3=C ，所以特解为 22)1(31-=-x y .例2 求下列微分方程的通解：（1）x y y y +='； （2） x xy y x cos e 22=-'. （1）解一 原方程可化为1d d +=xy x yx y 令 x y u =，则 1d d +=+u u x u x u 即x x u u u d d 12-=+ 两边取积分 ⎰⎰-=+x x u u u d 1d )11(2 积分得 C x u u ln ln ln 1-=-，将xy u =代入原方程，整理得原方程的通解为 y x C y e = （C 为任意常数）解二 原方程可化为 11d d =-x yy x 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程 01d d =-x yy x 得其通解为 y C x =.设y y C x )(=为原方程的解，代入原方程，化简得 1)(='y y C ，1ln)(C y y C =， 所以原方程的通解为 1ln C y y x =，即y xC y e = （C 为任意常数）.（2）解一 原方程对应的齐次方程 02d d =-xy xy 分离变量得xy x y 2d d =， x x yy d 2d = 两边积分，得 x x y y ⎰⎰=d 2d ，2ln ln y x C =+)e ln(ln e ln ln 22x x C C y =+=，2e x C y =用常数变易法.设2e )(x x C y =代入原方程，得 x x C x x cos e e )(22='即 x x C cos )(='两边积分，得 C x x x x C +==⎰sin d cos )(故原方程的通解为 )(sin e 2C x y x += （C 为任意常数）.解二 这里x x P 2)(-=，x x Q x cos e )(2=代入通解的公式得)d e cos e (e d 2d 22⎰+⎰⋅⎰=---C x x y x x x x x =)d e cos e (e 222C x x x x x +⋅⎰-=)d cos (e 2C x x x +⎰=)(sin e 2C x x +（C 为任意常数）. 小结 一阶微分方程的解法主要有两种：分离变量法，常数变易法.常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形式 )()(x Q y x P y =+'，也可直接利用公式C x x Q y x x P x x P +⎰⎰=⎰-d e )((e d )(d )(）求通解. 因此求曲线)(x y y =的问题，转化为求解微分方程的定解问题 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-'=1111x y y x y ，的特解. 由公式 C x x Q y x x P x x P +⎰⎰=⎰-d e )((e d )(d )(，得 )d e )1((ed 1d 1C x y x x x x +⎰-⎰=-⎰=ln x x Cx -+ 代入11==x y 得 1=C ，故所求曲线方程为 (1ln )y x x =-.三、学法建议1．本章重点为微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性 微分方程的常数变易法.2．本章中所讲的一些微分方程，它们的求解方法和步骤都已规范化，要掌握这些求解法，读者首先要善于正确地识别方程的类型，所以必须熟悉本课程中讲了哪些标准型，每种标准型有什么特征，以便“对号入座”，还应熟记每一标准型的解法，即“对症下药”.同时，建议读者再做足够的习题加以巩固.。
常微分方程课程总结
常微分方程课程总结第一章 绪论§1.2微分方程的基本概念（1）常微分方程偏微分方程微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。
常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程。
()(),dyaxy a dxdy p x y Q x dx=+=为常数 偏微分方程：未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程。
()22,22242u uf x y x y u u y x ∂∂+=∂∂∂∂=∂∂（2）线性与非线性一般n 阶线性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式）()(1)11()()()().n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++=（3）解和隐式解微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 隐式解：Φ（x,y ）=0 （4）通解和特解通解：微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数同.） 特解： 确定了通解中任意常数以后的解. 初始条件：用来确定任意常数的条件.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.（5）积分曲线：微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。
第二章 一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量变换2.1.1、变量分离方程)()(y x f dxdyϕ= ⎰⎰+=c dx x f y dy )()(ϕ 2.1.2、可化为变量分离方程的类型1.形如)(x y g dx dy =，称为齐次微分方程，令u ＝xy ,即y ＝ux ，于是dx dy ＝x dx du ＋u ，代入原方程，变形为x dx du ＋u ＝g （u ），整理得dx du ＝xuu g -)(2.形如222111c x b x a c x b x a dx dy ++++= 的方程也可经变量变换化为变量分离方程（1）常数）(212121k c c b b a a ===，方程化为dxdy ＝k ，有通解c kx y += （2）≠==k b b a a 212121c c 情形，令u ＝y b x a 21+，这时有dx du ＝dx dy b a 22+＝2122c u c ku b a +++是分离变量方程 （3）2121b b a a ≠情形，若21c c 、不全为零，方程右端分子、分母都是x 、y 的一次多项式，因此111c x b x a ++＝0，222c y b x a ++＝0，交点（),βα，令X ＝x －α，Y ＝y －β，化为011=+Y b X a ， 022=+Y b X a 。
常微分方程第四章
3.4 n 阶常系数线性齐次微分方程的解法对于齐次方程（3.4）而言，只要能得到该方程的一个基本解组，即，n 个线性无关的解)(,),(),(21x y x y x y n我们就能得到方程（3.4）的通解.但是，对于一般的n 阶线性齐次微分方程，它的基本解组很难找到.可是，当齐次方程（3.4）的系数),,2,1)((n i x p i =都是实常数时，求它的基本解组的问题却可以转化为求一个一元n 次多项式方程根的问题.如果能够求得这个一元n 次多项式方程的所有根，就能得到方程（3.4）的基本解组，从而也就得到了方程（3.4）的通解了.形如)(1)1(1)(x f y p y p y p y n n n n =+'+++--的方程（其中),,2,1(n i p i =均为实常数），称为n 阶常系数线性微分方程.如果 0)(=x f ，即01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n称为n 阶常系数线性齐次微分方程.如果0)(≠x f ，称为n 阶常系数线性非齐次微分方程.本节主要介绍n 阶常系数线性齐次微分方程的解法，先研究一阶常系数线性齐次微分方程0=+'py y这是一个变量可分离的方程，采用初等积分法，可求得该方程的一个非零解px e x y -=)(.因为方程是一阶的，所以基本解组中只含有一个解，即px e x y -=)(.对于n 阶常系数线性齐次微分方程而言，我们猜想该方程也有形如x e x y λ=)(的解，其中λ是待定常数.为了确定λ，可以将x e x y λ=)(代入方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n .这时，需要计算y 的各阶导数)(,,,n y y y '''),,2,1(,)(n i e y x i i ==λλ代入方程得：0)(111=++++--x n n n n e p p p λλλλ因为0>x e λ，所以有0111=++++--n n n n p p p λλλ该一元n 次方程称为常系数线性微分方程的特征方程.该方程的根，称为线性微分方程的特征根.x e x y λ=)(是n 阶常系数线性齐次微分方程的解，当且仅当λ是线性微分方程的特征根.这样，求n 阶常系数线性齐次微分方程的解，就转化为求特征方程的特征根的问题了.下面根据特征根的情况来讨论常系数线性齐次微分方程的解.1、特征根互异首先，假设特征方程有n 个互异的实根n λλλ,,,21 .这时，就可以得到相对应的n 个解x n x x n e x y e x y e x y λλλ===)(,,)(,)(2121因为n λλλ,,,21 两两互异，所以x n x x n e x y e x y e x y λλλ===)(,,)(,)(2121是n 个线性无关的解，即，它们就是齐次微分方程的基本解组，所以齐次微分方程的通解为x n x x n e C e C e C x y λλλ+++= 2121)(.其中n C C C ,,,21 是任意常数.例1 求方程023=+'+''y y的通解.解 特征方程为0232=++λλ即0)2)(1(=++λλ从而，特征根为2,121-=-=λλ 基本解组为x x e x y e x y 221)(,)(--==因此方程的通解为x x e C e C x y 221)(--+= 其中21,C C 是任意常数.例2 求方程045=+'-''y y y 的通解及满足初始条件：4)0(,1)0(='=y y 的特解. 解 特征方程为0452=+-λλ 即0)4)(1(=--λλ 从而，特征根为4,121==λλ 基本解组为x x e x y e x y 421)(,)(==因此方程的通解为 xx e C e C x y 421)(+=其中21,C C 是任意常数.下面来求满足初始条件的特解，将初始条件代入x x e C e C x y 421)(+=x x e C e C x y 4214)(+='得⎩⎨⎧=+=+4412121C C C C 所以1,021==C C ，因此所求的特解为x e x y 4)(=.其次，互异的特征根中含有复根，即n λλλ,,,21 中有复数，不妨设bi a k +=λ（b a ,为实数）.这时，bi a k +=λ所对应的解为x k e x y λ=)(.由于bi a k +=λ为复数，x k e λ应该如何定义呢？定义之后x k e x y λ=)(的求导与k λ为实数时的求导计算是否相同呢？下面我们来解决这些问题.给出复数的代数形式后，我们可以转化为三角形式，例如)sin (cos θθi r bi a z +=+= 其中ab b a r arctan ,22=+=θ. 同时，复数也可以写成指数形式，即θθθi r i r i e e e re bi a z +===+=ln ln所以有)sin (cos )sin (cos ln ln θθθθθi r i e e r i r +=+=+于是有)sin (cos )(bx i bx e e e ax x bi a x k +==+λ.有了定义之后，我们来研究k λ为复数与k λ为实数时的求导计算是否相同.性质1.无论α是实数还是复数，总有x x e e ααα=')(.证明 当α为实数时，上述结论是已知的.那么我们证明α为复数的情形，设bi a +=α，b a ,为实数.因为)sin (cos )(bx i bx e e e ax x bi a x +==+α所以)cos sin ()sin cos ()sin ()cos ()(bx b bx a ie bx b bx a e bx e i bx e e ax ax ax ax x ++-='+'='α x ax ax e bi a bx i bx e b bx i bx i bx i bx a e αα=++=+++=))(sin (cos ])sin (cos )sin (cos [. 由性质1，可得：无论α是实数还是复数，总有x n n x e e ααα=)()(.性质2.无论α是实数还是复数，对任意实数k ，总有x k k x k e x kx e x ααα)()(1+='-.证明 当α为实数时，上述结论是已知的.那么我们证明α为复数的情形，设bi a +=α，b a ,为实数.这时)sin (cos )(bx i bx e x e x e x ax k x bi a k x k +==+α所以)sin ()cos ()('+'='bx e x i bx e x e x ax k ax k x k α)]cos sin (sin [)]sin cos (cos [11bx b bx a e x bx e kx i bx b bx a e x bx e kx ax k ax k ax k ax k +++-+=--])sin (cos )sin (cos [)sin (cos 1b bx i bx i bx i bx a e x bx i bx e kx ax k ax k +++++=-))(sin (cos )sin (cos 1bi a bx i bx e x bx i bx e kx ax k ax k ++++=-x k k e x kx αα)(1+=-.有了上述定义和性质，bi a k +=λ所对应的解为)sin (cos )(bx i bx e e x y ax x k +==λ是满足常系数线性齐次微分方程的.但是，这个解是复数形式的解，下面给出复解的概念，并把复解实数化.定义3.4 函数)(),(x v x u 都是实数函数，设复值函数)()()(x iv x u x y +=是常系数线性齐次微分方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n的解，则称复值函数)(x y 为方程的复解.定理3.11设复值函数)()()(x iv x u x y +=是常系数线性齐次微分方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n的解，则复值函数的实部)(x u 和虚部)(x v 都是方程的解.证明 因为复值函数)()()(x iv x u x y +=是常系数线性齐次微分方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n的解，所以有0))()(())()(())()(())()((1)1(1)(=++'++++++--x iv x u p x iv x u p x iv x u p x iv x u n n n n 即0))()(())()((]))(())([())(())((1)1()1(1)()(=++'+'+++++---x iv x u p x v i x u p x v i x u p x v i x u n n n n n n 即)())(())([()]()())(())([(1)1(1)(1)1(1)(x v p x v p x v i x u p x u p x u p x u n n n n n n n '+++++'+++---- 0)](=+x v p n所以0)()())(())((1)1(1)(=+'+++--x u p x u p x u p x u n n n n0)()())(())((1)1(1)(=+'+++--x v p x v p x v p x v n n n n即，实部)(x u 和虚部)(x v 都是方程的解.我们继续讨论互异特征根中含有复数的情形，如果互异特征根中含有一个复数bi a k +=λ，则该复数根对应一个复解)sin (cos bx i bx e y ax +=而该复解的实部函数bx e x u ax cos )(=和虚部函数bx e x v ax sin )(=都是齐次方程的解，即，该复根bi a k +=λ对应齐次方程的两个解.下面有两个问题需要解决：（1）一个复特征根对应两个解，则解的个数会多于n 个，怎么处理？（2）将复解实数化后得到的解，与实特征根所对应的解组成的函数组是不是基本解组呢？因为方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n的系数),,2,1(n i p i =全为实数，所以特征方程就是实系数的，因此，特征根出现复根时，必是共轭出现的.即，bi a +是特征根，则bi a -也是特征根.这样，复解是成对出现的，bi a -所对应的复解为)sin (cos bx i bx e y ax -=这时，它的实部函数和虚部函数同bi a k +=λ的所对应的复解的实部函数和虚部函数等价，因此，这一对共轭的特征根bi a ±=λ对应两个解.故解的个数不会增加，仍然是n 个.而且，实部函数和虚部函数可以由bi a ±=λ所对应的两个复解)sin (cos )(1bx i bx e x y ax +=和)sin (cos )(1bx i bx e x y ax -=来表示，即)]()([21)]sin (cos )sin (cos [21cos )(21x y x y bx i bx e bx i bx e bx e x u ax ax ax +=-++== )]()([21)]sin (cos )sin (cos [21sin )(21x y x y ibx i bx e bx i bx e i bx e x v ax ax ax -=--+== 下面来解决第二个问题，将复解实数化后与实特征根所对应的解组成的函数组仍然是线性无关，从而仍然为齐次方程的基本解组.定理3.12 如果)(,)(),(),(321x y x y x y x y n 是在区间),(b a 上的n 个线性无关的函数，21,k k 是两个非零常数，则函数组)(,),()),()(()),()((3212211x y x y x y x y k x y x y k n -+在区间),(b a 上仍是线性无关的.证明 设函数组)(,)()),()(()),()((3212211x y x y x y x y k x y x y k n -+的线性组合等于零.即0)()())()(())()((3321222111=+++-++x y C x y C x y x y k C x y x y k C n n即0)()()()()()(332221112211=+++-++x y C x y C x y k C k C x y k C k C n n因为函数组)(,)(),(),(321x y x y x y x y n 是线性无关的，所以0,0,0322112211====-=+n C C k C k C k C k C因为21,k k 不为零，由0,022112211=-=+k C k C k C k C 可得：021==C C所以0321=====n C C C C因此，函数组)(,),()),()(()),()((3212211x y x y x y x y k x y x y k n -+在区间),(b a 上仍是线性无关的.解决了上述问题后，互异特征根出现一个复根时，则与它共轭的复数也是特征根，这一对特征根对应一对实数解，而且得到的新函数组仍然为基本解组.如果出现两对共轭的特征根，则会对应两对实数解，而且得到的新函数组仍然为基本解组，依次类推，遇到复数特征根都可以将它所对应的复解实数化. 例3 求方程044=+'+''+'''y y y y的通解.解 特征方程为04423=+++λλλ即0)4)(1(2=++λλ从而，特征根为i 2,13,21±=-=λλ基本解组为x x y x x y e x y x 2sin )(,2cos )(,)(321===-因此方程的通解为x C x C e C x y x 2sin 2cos )(321++=-其中321,,C C C 是任意常数.例4求方程05262)4(=+'+''+'''+y y y y y的通解.解 特征方程为05262234=++++λλλλ即0)52)(1(22=+++λλλ从而，特征根为i i 21,4,32,1±-=±=λλ基本解组为x e x y x e x y x x y x x y x x 2sin )(,2cos )(,sin )(,cos )(4321--==== 因此方程的通解为x e C x e C x C x C x y x x 2sin 2cos sin cos )(4321--+++=其中4321,,,C C C C 是任意常数.2、特征根有重根设1λ是)1(n k k ≤<重特征根（1λ为实数或复数），则1λ对应着齐次方程的一个解x e x y 1)(1λ=.但是，1λ是k 重特征根，相当于k 个特征根，只得到了一个解.这时得到的线性无关解的个数会少于n 个，构不成基本解组.所以k 重特征根1λ应该对应k 个线性无关的解，那除了x e x y 1)(1λ=外还应补上1-k 个解，应该补上哪些解呢？我们先研究二阶常系数线性齐次微分方程有重根的情形. 设二阶齐次方程为0=+'+''qy y p y其中q p 42=.特征方程为02=++q p λλ特征根为22,1p -=λ 则得到二阶齐次方程的一个非零解 x p ex y 21)(-=. 利用刘维尔公式可求得与x p e x y 21)(-=线性无关的另一个解)(2x y ，x p px px x p pdx xe dx ee e dx x y e x y x y 222112)()()(-----==⎰=⎰⎰ 即，当21p -=λ是二重特征根时，除了对应解x p e x y 21)(-=之外，还对应另外一个与x p e x y 21)(-=线性无关的解x p xe x y 22)(-=.与二阶方程类似，我们猜想，当1λ是k 重特征根时，对应的k 个线性无关的解为x k k x x e x x y xe x y e x y 111121)(,,)(,)(λλλ-===下面来证明这个猜想，即证明),,2,1()(11k i e x x y x i i ==-λ是n 阶常系数线性齐次方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n的解.首先，特征方程为0111=++++--n n n n p p p λλλ记n n n n p p p P ++++=--λλλλ111)( ，因为1λ是k 重特征根，所以0)()()(1)1(11==='=-λλλk P P P 且0)(1)(≠λk P下面求),,2,1()(11k i e x x y x i i ==-λ的各阶导数，由牛顿—莱布尼兹公式得：x i i i n i n i n n i n n i n n i e x C x C x C x x y 1])()()([))(()1(1)1(111212111111)(λλλλλ----------++''+'+= x i i i n i n i n n i n n i n n i e x C x C x C x x y 1])()()([))(()1(1)1(11111312112111111)1(λλλλλ----------------++''+'+= ………………………………………………………………………………………………………x i i i e x x x y 1])([))((111λλ'+='--代入i n i n n i n i y p y p y p y +'+++--1)1(1)( 得x i i i i i i e x P x P x P x P 1]))(())(())(()([)1(11)1(111111λλλλλ------++''''+''+因为k i ,,2,1 =，所以0)()()(1)1(11==='=-λλλi P P P因此01)1(1)(=+'+++--i n i n n i n i y p y p y p y故),,2,1()(11k i e x x y x i i ==-λ是n 阶常系数线性齐次方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n的解.以上只讨论了1λ是重根的情形，对于一般的情形，我们有如下的定理. 定理3.13 如果方程01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n有两两互异的特征根t λλλ,,,21 ，它们的重数分别为1,,,,21≥i t m m m m ，且n m m m t =+++ 21，则齐次方程的基本解组为xm m x x e x x y xe x y e x y 11111121)(,,)(,)(λλλ-===x m m m x m x m e x x y xe x y e x y 22212121121)(,,)(,)(λλλ-+++===……………………………………………………………x m n x m n x m n t t t t t t e x x y xe x y e x y λλλ121)(,,)(,)(-+-+-=== .证明 由上述论证，函数组中的每一个函数都是齐次方程的解.现在只需要证明它们是线性无关的函数组. 设函数组的线性组合等于零，即][11111121x m m x x e x C xe C e C λλλ-+++ ][22212121121x m m m x m x m e x C xe C e C λλλ-+++++++ 0][121=+++++-+-+-x m n x m n x m n t t t t t t e x C xe C e C λλλ .整理可得：x m m e x C x C C 111][121λ-+++ +++++-+++x m m m m m e x C x C C 222111][121λ 0][121=++++-+-+-x m n m n m n t t t t e x C x C C λ .即x m e x P 11)(λ ++x m e x P 22)(λ0)(=+x m t t e x P λ.假设n C C C ,,,21 至少有一个不为零，则)(,),(),(21x P x P x P t m m m 中至少有一个不是零多项式，不妨假定)(x P t m 不恒为零.而)1,,2,1)((-=t i x P i m 至多为1-i m 次多项式，在x m e x P 11)(λ ++x m e x P 22)(λ0)(=+x m t t e x P λ.两边同时乘以x e 1λ-得)(1x P m ++-x m e x P )(122)(λλ0)()(1=+-x m t t e x P λλ.对上式关于x 求1m 次导数，这时有0))(()(11=m m x Px m m x m e x P e x P )()1()()(1221122)())((λλλλ--= ………………………………………x m m x m t tt t e x P e x P )()1()()(111)())((λλλλ--= （其中)()1(x P im 是与)(x P i m 同次数的多项式),,2(t i =） 所以，上式化为0)()()()1()()1(1122=++--x m x m t t e x P e x P λλλλ 再在两边同时乘以x e )(21λλ-得0)()()()1()1(22=++-x m m t te x P x P λλ 对上式关于x 求2m 次导数，这时有0))(()(22=m m x P………………………………………x m m x m t tt t e x P e x P )()2()()()1(222)())((λλλλ--= 所以上式化为0)(0)()2(2=++-x m t te x P λλ 序行此法，最后可得0)()()1(1=---x t m t t te x P λλ 而0)(1≠--x t t e λλ，所以0)()1(=-x P t m t，故0)(=x P t m ，这与)(x P t m 不恒为零矛盾.因此假设不成立，即n C C C ,,,21 全为零.所以，函数组是线性无关的，从而是基本解组.由定理3.13，我们得到了方程的基本解组，从而可以写出齐次方程的通解为][)(11111121x m m x x e x C xe C e C x y λλλ-+++= +++++x m x m xe C e C 212121[λλ ][]12112221x m n x m n x m n x m m m t t t t t t e x C xe C e C e x C λλλλ-+-+--+++++++ .如果在上述基本解组中，出现了复解，那么同单根的情形一样，可以取其实部函数和虚部函数，将复解实数化.例如bi a +=1λ是1m 重的特征根，则与其共轭的复数bi a -=2λ也是1m 重的特征根，这一对共轭的特征根会对应12m 个复解;,,,)(1)()(1x bi a m x bi a x bi a e x xe e +-++.,,,)(1)()(1x bi a m x bi a x bi a e x xe e ----将这12m 个复解实数化，得到12m 个实解;cos ,,cos ,cos 11bx e x bx xe bx e ax m ax ax - .sin ,,sin ,sin 11bx e x bx xe bx e ax m ax ax -由定理3.12知，替换后的函数组仍是基本解组.对于其它复数根，也可以采用同样的处理方法，最后就可以得到方程的n 个线性无关的实解. 例5 求方程096=+'+''y y y的通解.解 特征方程为0962=++λλ即0)3(2=+λ从而，特征根为32,1-=λ基本解组为x x xe x y e x y 3231)(,)(--==因此方程的通解为x x xe C e C x y 3231)(--+=其中21,C C 是任意常数. 例6 求方程0412136)4()5(='+''-'''+-y y y y y的通解.解 特征方程为0412*******=+-+-λλλλλ即0)2()1(22=--λλλ从而，特征根为2,1,05,43,21===λλλ基本解组为x x x x xe x y e x y xe x y e x y x y 2524321)(,)(,)(,)(,1)(=====因此方程的通解为x x x x xe C e C xe C e C C x y 2524321)(++++=其中54321,,,,C C C C C 是任意常数. 例7 求方程08126=+'+''+'''y y y y的通解.解 特征方程为0812623=+++λλλ即0)2(3=+λ从而，特征根为23,2,1-=λ基本解组为x x x e x x y xe x y e x y 2232221)(,)(,)(---===因此方程的通解为)()(23212x C x C C e x y x ++=-其中321,,C C C 是任意常数. 例8 求方程04454)4(=+'+''+'''+y y y y y的通解.解 特征方程为04454234=++++λλλλ即0)1()2(22=++λλ从而，特征根为i ±=-=4,32,1,2λλ基本解组为x x y x x y xe x y e x y x x sin )(,cos )(,)(,)(432221====--因此方程的通解为x C x C x C C e x y x sin cos )()(43212+++=-其中4321,,,C C C C 是任意常数. 例9 求方程0168)4(=+''+y y的通解.解 特征方程为016824=++λλ即0)4(22=+λ从而，特征根为i i 2,24,32,1-==λλ基本解组为x x x y x x y x x x y x x y 2sin )(,2sin )(,2cos )(,2cos )(4321====因此方程的通解为x x C x C x x C x C x y 2sin 2sin 2cos 2cos )(4321+++=其中4321,,,C C C C 是任意常数.。
常微分方程考研讲义第四章 高阶微分方程
第四章高阶微分方程[教学目标]1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
3.熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。
4.掌握高阶方程的应用。
[教学重难点]重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。
难点是待定系数法求特解。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时[教学内容]线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
[考核目标]1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。
3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
§4.1线性微分方程的一般理论4.1.1引言讨论n阶线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d x dxa t a t a t x f t dt dt dt---++++= （4.1） 其中()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数 如果()0f t ≡，则方程（4.1）变为：1111()()()0n n n n n n d x d x dxa t a t a t x dt dt dt---++++= （4.2） 称它为n 阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为n 阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。
定理1 如果()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于任一[]0,t a b ∈ (1)(1)000,,,n x x x - ，方程（4.1）存在唯一解()x t ϕ=，定义于区间a t b ≤≤上，且满足初始条件：1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t d t t x x x dt dtϕϕϕ---=== （4.3） 从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 连续的整个区间a t b ≤≤上有定义。
(整理)常微分方程考研讲义第四章高阶微分方程
第四章高阶微分方程[教学目标]1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
3.熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。
4.掌握高阶方程的应用。
[教学重难点]重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。
难点是待定系数法求特解。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时[教学内容]线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
[考核目标]1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。
3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
§4.1线性微分方程的一般理论4.1.1引言讨论n阶线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d xdxa t a t a t x f t dt dtdt---++++= （4.1） 其中()(1,2,,)i a t i n =及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数如果()0f t ≡，则方程（4.1）变为：1111()()()0n n n n n n d x d x dxa t a t a t x dt dtdt---++++= （4.2） 称它为n 阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为n 阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。
定理1 如果()(1,2,,)i a t i n =及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于任一[]0,t a b ∈ (1)(1)000,,,n x x x - ，方程（4.1）存在唯一解()x t ϕ=，定义于区间a tb ≤≤上，且满足初始条件：1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t d t t x x x dtdtϕϕϕ---=== （4.3） 从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有()(1,2,,)i a t i n =及()f t 连续的整个区间a t b ≤≤上有定义。
第四章常微分方程
第四章常微分⽅程第四章常微分⽅程第1讲基本题（⼀阶⽅程通过代换变为基本类型）（⼀）概念微分⽅程及其阶、解、通解特解、初始条件。
注：①n 阶微分⽅程的通解，含n 个任意常数②求阶微分⽅程的特解，含个初始条件： n n 00)(y x y = ，10)(y x y =′，…，10)1()(??=n n y x y （初始条件往往⾃⼰从题⽬中寻找）（⼆）求解微分⽅程（重点）（关键：判断类型，掌握求解⽅法）⼀阶微分⽅程类型： 1. 可分离变量⽅程：()y f x g xy)(d d = x x g y f y d )()(d = 2 积分∫∫+=C x x g y f yd )()(d 解法：1分离注意：满⾜的常值函数0)(=y f 0y y ≡也是⽅程的解例1：（08年数⼀）微分⽅程满⾜条件0xy y ′+=(1)1y =的解是__________y = )1(2d d y y xy=满⾜20==x y 例2：求微分⽅程的特解. 齐次⽅程形式（1）：d d y y x x=解法：令 x y u =2.将d d y y x x=化成可分离变量的⽅程d ()d u x u u x ?=?。
形式（2）：111222d d a x b y c yx a x b y c ++=??++??例3：求22x y xy y ′+=的通解。
4：求51+++?=′x y x y y 例的通解。
3. ⼀阶线性微分⽅程：0)(d d =+y x p xy通解公式：∫=?x x p C y d )(e )()(d d q y x p x y =+例5：求⽅程x 通解公式：∫?? +∫∫=?C x x q y x x p x x p d e )(e d )(d )( ln xy y x x ′+=满⾜1(1)2的特解. y =?▲例6：解⽅程 yy x x y 2sin cos 1d d +=▲例7：解⽅程 31y xy y +=′4. （仅数学⼀、⼆）伯努⼒⽅程：，其中 ny x q y x p y )()(=+′ 1 , 0≠n 解法：（1）⽅程两边乘以得ny)()(1x q y x p y yn n=+′??x yy n x z nd d )（2）令nyz ?=1，则1(=d d ?? )()(d d 11x q z x p x zn =+? ⽅程化为，即为 )()1()()1(d n x+d x q z x p n z= ⼀阶线性例8:解⽅程24d d 3y xyx x y =?5. （仅数学⼀、⼆）全微分⽅程为全微分⽅程 ()()0d , d , =+y y x N x y x M ?Ny M ??=?? 通解公式或()()∫∫=+xx yy c y y x N x y x M 00d , d , ()()00 , d , d yxy x N x y y M x y x c +=∫∫()()0d 46d 633222=+++y y y x x xy x 例9：解⽅程（三）、⼆）可降阶的⾼阶微分⽅程（关键：转化成⼀阶⽅程）（仅数⼀()()n y f x = 解法：将⽅程两边依次积分次，即可求得通解。
第四章 微分方程
（可以证明，二阶常系数线性齐次微分方程的两个 特解 y1 , y2 ，只要他们不成比例，则 y C1 y1 C2 y2 为该方程的通解） 例7 求方程 y 6 y 9 y 0 的通解 解 特征方程 r 2 6r 9 0 r1 r2 3
3 x 则通解为 y (C1 C2 x)e
《高等数学》
微分方程
第四章 微分方程
内容导航
什么是微分方程 分离变量法
微分方程的应用（1）
二阶常系数线性微分方程 数学建模：微分方程应用（2）
4-1 什么是微分方程
引例1：曲线过点（1，2），且在该曲线上任意一点M (x , y) 处的切线的斜率为2x，求这曲线的方程? 解 设所求曲线y=f ( x ) ，根据导数的几何意义得 dy 2（ x 1）
x 2
解 特征方程为
共轭虚根为
原方程的通解
y e (C1 cos
3 3 x C2 sin x) 2 2
（共轭虚根时，由欧拉公式有
e
r 1x
e
1 3 i x 2 2
e e
x 2
3 ix 2
e (cos
x 2
3 3 x sin x) 2 2
再根据该方程 C1 y1 C2 y2 y 的线性组合仍是解而 消去i ）
4-4 二阶微分方程
于是二阶线性齐次微分方程的特解形式 ：
特征方程 的两个根 r 2 pr q 0 微分方程
y py qy 0 的通解
(1)两个不相等实根r1,r2
y C1er1 x C2er2 x
(2)两个相等实根r1=r2=r (3)共轭虚根
r 12 i
微分方程期末总结
微分方程期末总结第一章微分方程的基本概念与理论基础微分方程作为数学的一个分支，在不同领域应用广泛。
它是描述自然界或社会现象中变量之间关系的数学工具。
微分方程的研究过程需要涉及到微积分、代数、几何等数学知识，并且需要运用数学分析、几何分析等方法。
1.1 微分方程的定义与分类微分方程是描述函数未知函数及其各导数之间关系的方程。
常见的微分方程类型包括常微分方程、偏微分方程和积分方程。
常微分方程是自变量只有一个的微分方程，通过对未知函数及其导数的各阶求导得到。
偏微分方程是自变量有多个的微分方程，对未知函数及其各偏导数求导得到。
积分方程是通过对微分方程整体进行积分得到。
1.2 微分方程的解与解的存在唯一性微分方程的解是满足方程的函数，可以包含一个或多个参数。
微分方程的解可以是显式解或隐式解。
解的存在唯一性是指在一定条件下，对于给定的初值问题，当解存在时，解是唯一的。
1.3 微分方程的初值问题与边值问题初值问题是指给定了微分方程在某点的解值和导数值，要求求解整个方程解的问题。
边值问题是指在某一区间的两个端点处给定了微分方程的解值，要求求解在整个区间上的解的问题。
第二章一阶微分方程的解法一阶微分方程是指包含未知函数的一阶导数的方程，可以通过变量分离、齐次方程、线性方程等方法求解。
2.1 可分离变量方程可分离变量方程是指可以使方程的两边关于未知函数和自变量分离的方程。
通过对方程两边分离变量，再分别积分可以得到方程的解。
2.2 齐次方程齐次方程是指当方程右侧为零时，可以通过替换未知函数的形式，将方程转化为可分离变量方程。
通过变量替换和分离变量的方法可以求得齐次方程的解。
2.3 线性方程线性方程是指当方程右侧为一次函数时，可以通过积分因子法将方程转化为可分离变量方程。
通过确定积分因子和乘法积分可以求得线性方程的解。
2.4 恰当微分方程恰当微分方程是指可以通过判断方程的某种性质，从而直接找到方程的解。
判断恰当微分方程的方法包括齐次性条件和恰当条件。
高数强化第四章《常微分方程》(思维导图)
第四章常微分方程
常微分方程基本概念
微分方程微分方程的阶
微分方程的解
通解
特解
初始条件积分曲线
一阶微分方程
可分离变量的方程
齐次微分方程一阶线性微分方程
高阶线性微分方程
线性微分方程的解的结构
齐次特解＋齐次特解（线性无关）＝齐次通解两个线性无关齐次特解＋非齐次特解＝非齐次通解非齐次特解－非齐次特解＝齐次解
非齐次特解1＋非齐次特解2＝方程（1+2）的特解
k个非齐特解相加＝非齐次解⇔k系数之和＝1k个非齐特解相加＝齐次解⇔k系数之和＝0
常系数齐次线性微分方程
两个不等实特征根r1≠r2二重实特征根r1＝r2共轭复根r＝α±iβ常系数非齐次线性微分方程
f(x)＝x^k·Qm(x)·e^λx
f(x)＝x^k·e^αx·[Rm ₁(x)·cosβx＋Rm ₂(x)·sinβx]
常见题型
微分方程求解
可分离变量线性齐次
x,y对调变量代换
判别类型，选择方法微分方程所有解≥通解
综合题应用题差分方程
差分方程
一阶常系数线性齐次差分方程
yt+1＋a·yt＝0
通解=C·（-a）^t 一阶常系数线性非齐次差分方程
yt+1＋a·yt＝f（t）
f（t）＝Pm（t）a≠-1;a＝1f（t）＝d^t·Pm（t）
a+d≠0;a+d=0。
常微分方程PPT - 第四章第二节
事实上,假设这些函数线性相关,
则存在不全为零的常常 C (j r )使得
[C
r 1
m
(r ) 0
C t C
(r ) 1
( r ) k r 1 k r 1
t
]e
r t
P (t )e
r 1 r
m
r t
0
(4.27)
不失一般性, 假设多项式Pm (t )至少有一个系数不等于 零, 即Pm (t ) 0, 将恒等式(4.27)除以e1t , 然后对t微分k1次得
n n 1
4.1.1 复值函数与复值解
1 复值函数
如果 (t )与 (t )是区间a t b上定义的实函数 , 我们称z (t ) (t ) i (t )为区间a t b上的复值函数 .
若 (t )与 (t )在区间a t b上连续, 则称z (t )在 a t b上连续.
我们知道,一阶常系数齐线性方程
(4.19)
其中a1 , a2 ,, an为常数, 称(4.19)为n阶常系数齐线性方程.
dx at 0 dt
有解
x ce ,
at
受此启发,对(4.19)偿试求指数函数形式的解
xe ,
把它代入方程(4.19)得
t
(4.20)
这里是待定常数 , 可以是实数也可以是复 数,
于是方程(4.19)化为
1t
dny d n1 y L1[ y] n b1 n1 bn y 0, (4.23) dt dt 其中b1 , b2 ,, bn仍为常数, 方程(4.23)相应特征方程为
G( ) b1
4-1第四章 常微分方程ppt课件
第一节 常微分方程
一、引例 [曲线方程]
一平面曲线上任一点的切线斜率等于该点横坐标的二倍，试 建立该曲线满足的方程式．
解 设所求曲线为yfx由导数的几何意义知，曲线上任一点 px,y处的切线斜率为 y 根据题意有 y2x即
dy 2x dx
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4
第一节 常微分方程
二、概念和公式的引出
凡含有未知函数导数(或微分)的方程，称为微分方程．微分方程 有时也简称为方程． 未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程． 微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶. 任何满足微分方程的函数都称作微分方程的解． 如果微分方程中含有任意常数，且独立变化的任意常数的个数与 微分方程的阶数相同，这样的解称作微分方程的通解．不含任意 常数的解称作微分方程的特解．
dPtkPt k0常数
dt
等式右端的负号是由于 Pt随时间 t 的增加而减少．
研究
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6
第一节 常微分方程
案例2 [自由落体运动] 一质量为m的质点,在重力作用下自由下落, 求其运动方程. 解 建立坐标系如图，坐标原点取在水平地面, y轴铅直向上,设在时刻
约翰.伯努利（Johann Bernoulli 1667-1748）， 雅可布的弟弟，原来也错选了职业，他起先学医，并在 1694年获得巴塞尔大学博士学位，论文是关于肌肉收缩问 题的。但他也爱上了微积分，很快就掌握了它，并用它来解决几何学、 微分方程和力学上的许多问题。1695年他任荷兰戈罗宁根大学数学物 理教授，而在他的哥哥雅可布死后继任巴塞尔大学教授。1696年约翰 向全欧洲数学家挑战，提出一个很艰难的问题：“设在垂直平面内有 任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不 计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？” 这就是著名的“最速降线”问题。它的难处在于和普通的极大极 小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条 件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔、伯努利兄弟、 莱布尼茨和牛顿都得到了解答。
常微分方程(常数变异法)
即
y Ce P(x)d x e P(x)d x Q(x) e P(x)d xdx
齐次方程通解
非齐次方程特解
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上述求解方法称为常数变易法,用常数变易法求 一阶非齐次线性方程的通解的步骤为：
（1）先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解
（2）根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性
方程的解(将所求出的齐次方程的通解中的任意常数C 改为待定函数 C(x即) 可).
（3）将所设解代入非齐次线性方程,解出 C(x) 并写出非齐次线性方程的通解.
y Ce P(x)d x e P(x)d x Q(x) e P(x)d xdx
齐次方程通解
非齐次方程特解
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的最高阶数定义为该微分方程的阶数．
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线性微分方程:当微分方程中所含的未知函数及其各阶 导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程.
在线性微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数 全是常数，则称这样的微分方程为常系数线性微分方程
微分方程的解：如果将函数 y y(x) 代入微分方程后 能使方程成为恒等式，这个函数就称为该微分方程的解
②
o
x
由 ① 得 y 2x dx x2 C (C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x2 1.
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一、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程标准形式: dy P(x) y Q(x) dx
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
已知函数
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
所求通解: ln (1 ex y ) y C ( C 为任意常数 )
常微分方程第四章知识总结
一n 阶线性微分方程的一般理论1. n 线性微方程，它的一般形式为：++--111)(n n n n dt x d t a dt x d …)()()(1t f t a dtdxt a n n =++- 齐次线性方程++--111)(n n n n dt x d t a dt x d …0)()(1=++-t a dtdxt a n n 非齐次线性方程:()0f t ≠ 2. n 阶线性齐次方程的一般理论(1)定理2(叠加原理) 如果)(,),(),(1t x t x t x k i ⋯是方程(4.2)的k 个解，则它们的线性组合)()()(2211t x c t x c t x c n n +⋯++也是方程(4.2)的解，这里12,,,n c c c ⋯是任意常数(2)函数线性相关性定义在区间],[b a 上的函数)()(),(21t x t x t x k ⋯，如果存在不全为零的常数k c c c ,,,21⋯使得0)()()(2211≡+⋯++t x c t x c t x c k k在],[b a 上恒成立，我们称这些函数是线性相关的，否则称这些函数线性无关。
(3)Wronsky 行列式由定义在],[b a 上k 个k-1次可微的函数)()(),(21t x t x t x k ⋯所作成的行列式)()()()()()()()()()]()(),([)1()1(2)1(1212121t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x W k k k k k k k ---⋯⋯⋯⋯⋯'⋯''⋯≡⋯称为这些函数的Wronskiy 行列式，也写作W(t).(4)定理3 若函数)()(),(21t x t x t x n ⋯在区间b t a ≤≤上线性相关，则在],[b a 上它们的Wronskian 行列式0)(≡t W 。
(5)定理 4 如果齐次方程的解)()(),(21t x t x t x n ⋯在区间b t a ≤≤上线性无关，则)]()(),([21t x t x t x W n ⋯在这个区间的任何点上都不等于零，即0)(0≠t W (b t a ≤≤).由方程(4.2)的n 个解构成的Wronskian 行列式或者恒为零或者在方程的系数连续区间上处处不等于零。
常微分方程教案(王高雄)第四章
目录第四章高阶微分方程 0内容提要及其它 (1)4.1 线性微分方程的一般理论 (2)4.1.1 引言 (2)4.1.2 齐线性方程的解的性质与结构 (3)4.1.3 非齐线性方程与常数变易法 (4)4.2 常系数线性方程的解法 (7)4.2.1 复值函数和复值解 (7)4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程 (9)1、常系数齐线性方程 (9)2、欧拉（Euler）待定指数函数法 (9)3、应用 (14)4、欧拉方程 (15)4.2.3 非齐次线性方程：比较系数法和拉普拉斯变换法——求特解 (17)1. 比较系数法 (17)2. 拉普拉斯变换法 (22)4.2.4 质点振动 (25)1. 无阻尼自由振动 (25)2. 有阻尼自由振动 (26)3. 无阻尼强迫振动 (27)4. 有阻尼强迫振动 (29)4.3高阶方程的降阶和幂级数解法 (31)4.3.1可降阶的一些方程类型 (31)1.方程不显含未知函数x (31)t2.方程不显含自变量的方程 (32)3.齐线性方程 (34)4.3.2二阶线性方程的幂级数解法 (35)4.4.3 第二宇宙速度计算 (39)本章小结及其它 (41)第四章高阶微分方程内容提要及其它授课题目（章、节）第四章：高阶微分方程教材及主要参考书（注明页数）教材：常微分方程（第三版），王高雄等，高等教育出版社，2006年,p120-185主要参考书[1]常微分方程，东北师范大学微分方程教研室编，高等教育出版社，2005，p164-223[2]高等代数，北京大学数学力学系几何与代数教研室代数小组编，人民教育出版社，1978，p102-156[3]常微分方程习题解，庄万主编，山东科学技术出版社，2003，p225-383[4]差分方程和常微分方程，阮炯编著，复旦大学出版社，2002，p149-164目的与要求掌握线性微分方程的解的性质和通解结构．掌握常系数齐次线性微分方程的解法和欧拉方程的解法．掌握常数变易法、比较系数法求特解．理解高阶常微分方程的降阶解法的思想，掌握二阶常微分方程的降阶解法．了解二阶齐线性微分方程的幂级数解法的思想．教学内容与时间安排、教学方法、教学手段教学内容第1节线性微分方程的一般理论；第2节常系数线性微分方程的解法；第3节高阶微分方程的降阶和幂级数解法时间安排：12学时教学方法：讲解方法教学手段：传统教学方法与多媒体教学相结合．教学重点分析方法上的重点：常数变易法、特征根法和比较系数法．内容上的重点：线性微分方程解的结构理论是一个重点，它是求解高阶线性微分方程的理论基础，并从理论上给出了高阶线性微分方程求解的一般方法．另一个重点是常系数线性微分方程的解法，它把微分方程求解问题转化为一个代数问题进行讨论．教学难点分析方法上的难点：常数变易法、特征根法和比较系数法．内容上的难点：第一个难点是非齐次线性微分方程的常数变易法，主要是学生理解上有一定难度，没有从理论上理解为何要构造这样一个方程组，从而求解．另一个难点是常系数线性微分方程的解法，因为把求解微分方程的问题转化为了一个代数方程来讨论，而代数方程的讨论相对来说要直观容易一些．在前面的讨论中已经看出，在实际问题中除了已讨论的一阶微分方程外，还将遇到一些其它类型的非一阶的微分方程，即高阶微分方程．而在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅因为线性微分方程的一般理论已被研究得十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术中也有着广泛的应用．所以本章着重讨论线性微分方程的基本理论和常系数微分方程的解法，对于高阶微分方程的降阶问题和二阶线性方程的幂级数解法也作适当地介绍和讨论．4.1 线性微分方程的一般理论4.1.1 引言如下的n 线性阶微分方程)()()()(1111t f x t a dt dx t a dtx d t a dt x d n n n n n n =++++−−−L （4.1） 其中b t a t f n i t a i ≤≤=都是区间及)(),,2,1)((L 上的连续函数．如果，则方程（4.1）变为0)(≡t f 0)()()(1111=++++−−−x t a dt dx t a dt x d t a dt x d n n n n n n L （4.2） 定义：（n 阶齐次线性微分方程，或齐线性方程）称（4.2）为n 阶齐线性微分方程，简称为齐线性方程定义：（n 阶非齐次线性微分方程，或非齐线性方程）而一般的方程（4.1）称为n 阶非齐线性微分方程，或简称为非齐线性方程，并且通常把方程（4.2）叫做对应于方程（4.1）的齐线性方程．对于高阶微分方程，同一阶微分方程一样，也存在着解的存在性和唯一性问题，即在什么条件下，高阶微分方程有解和唯一解．为此，先给出方程（4.1）的解存在唯一性定理． 定理 1 如果b t a t f n i t a i ≤≤=都是区间及)(),,2,1)((L 上的连续函数，则对于任一及任意的，方程（4.1）存在唯一解],[0b a t ∈)1(0)2(0)1(00,,,−n x x x x L )(t x ϕ=，定义在区间上，且满足初始条件：b x a ≤≤1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t d t t x x x dt dtϕϕϕ−−−===L （4.3） 证明（略，具体在下一章讨论．）注释；初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有()(1,2,,)i a t i n =L 及()f t 连续的整个区间上有定义．a tb ≤≤4.1.2 齐线性方程的解的性质与结构定理2（叠加原理）如果是方程（4.2）的k 个解，则它们的线性组合也是（4.2）的解，这里是任意常数． )(,),(),(21t x t x t x k L )()()(2211t x c t x c t x c k k +++L k c c c ,,,21L 证明：（详细过程略），基本思想：利用导数的性质进行简单的运算即可证明原命题．特别地，当k =n 时，即方程（4.2）有解)()()(2211t x c t x c t x c x n n +++=L （4.4）它含有n 个任意常数，现在问：在什么条件下，表达式（4.4）能构成为n 阶齐次线性方程（4.2）的通解？它将具有什么特性？为了讨论的方便，先引进基本概念：函数线性相关与线性无关及伏朗斯基（Wronsky ）行列式．考虑定义在区间上的函数，如果存在不全为零的常数使得恒等式b t a ≤≤)(,),(),(21t x t x t x k L kc c c ,,,21L 0)()()(2211≡+++t x c t x c t x c k k L对于所有都成立，则称这些函数是线性相关的，否则就称这些函数在所给区间上线性无关的．],[b a t ∈例：函数在任何区间上都是线性无关的；但函数在任何区间上都是线性相关的．又如函数在任何区间上都是线性无关的，因为恒等式t t sin cos 和1sin cos 22−t t 和nt t t ,,,,12L 02210≡++++n n t c t c t c c L （4.5）仅当所有时才成立．如果至少有一个),,2,1(0n i c i L ==0≠i c ，则（4.5）的的左端是一个不高于n 次的多项式，它最多可有n 个不同的根．因此，它在所考虑的区间上不能多于n 个零点，更不可能恒为零．由定义在区间],[b a t ∈上的k 个可微k-1次的函数所作成的行列式 )(,),(),(21t x t x t x k L )()()()()(')()()()()()](,),(),([)1()1(2)1(1'2'12121t x t x t x t x t x t x t x t x t x t W t x t x t x W k k k k k k k −−−≡≡L LL L L L L L 称为这些函数的伏朗斯基（Wronsky ）行列式．定理3 若函数在区间)(,),(),(21t x t x t x n L ],[b a t ∈上k-1次可微且线性相关，则在[a,b]上它们的伏朗斯基（Wronsky ）行列式为零，即有：0)(≡t W证明：（除教材上p123的证明方法外，还可以用反证法．注：该定理的逆命题不一定成立．构造函数如下，得到说明：)(),(21t x t x ⎩⎨⎧≤≤<≤−=10001)(21t t t t x 和． ⎩⎨⎧≤≤<≤−=10010)(22t t t t x 定理4如果方程（2）的解在区间)(,),(),(21t x t x t x n L ],[b a t ∈上线性无关，则在[,的任何点上都不等于零，即有：)](,),(),([21t x t x t x W k L ]a b )(0)(b t a t W ≤≤≠．证明：（反证方法）．定理5 n 阶奇线性方程（4.2）一定存在n 个线性无关的解．定理6（通解结构定理） 如果是方程（4.2）的n 个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为：)(,),(),(21t x t x t x n L )()()(2211t x c t x c t x c x n n +++=L （4.11）其中是任意常数．且通解（4.11）包括了方程（4.2）的所有解．n c c c ,,,21L 推论：方程（4.2）的线性无关解的最大个数等于n ．因此有：n 阶齐线性方程的所有解构成一个n 维线性空间．方程（4.2）的一组n 个线性无关解称为方程的一个基本解组，显然，基本解组不唯一．4.1.3 非齐线性方程与常数变易法知道了齐线性方程通解的结构，很容易得到非齐线性高阶微分方程的通解结构了． 考虑n 阶非齐线性方程（4.1）)()()()(1111t f x t a dt dx t a dt x d t a dt x d n n n n n n =++++−−−L （4.1） 易见方程（4.2）是它的特殊情形，仿照一阶非齐线性微分方程的解法，两者之间解的性质和结构有着十分密切的联系．性质 1 如果)(t x 是方程（4.1）的解，而是方程（4.2）的解，则也)(t x )()(t x t x +是方程（4.1）的解．性质2 方程（4.1）的任意两个解之差必为方程（4.2）的解．定理7 设为方程（4.2）的基本解组，而)(,),(),(21t x t x t x n L )(t x 是方程（4.1）的某一个解，则方程（4.1）的通解可表为)()()()(2211t x t x c t x c t x c x n n ++++=L （4.14）其中为任意常数，而且这个通解（4.14）包括了方程（1）的所有解．n c c c ,,,21L 证明：（略，仿定理6）根据性质1易知（14）是（4.1）的解，它包含n 个任意常数，可以证明这些常数是相互独立的，因此，它是方程（4.1）的通解．现设是方程（4.1）的任一解，则由性质2，)(~t x )()(~t x t x −是方程（4.2）的解，根据定理6，必有一组确定的常数，使得n c c c ,,,21L )(~)(~)(~)()(~2211t x c t x c t x c t x t x nn +++=−L 即)()(~)(~)(~)(~2211t x t x c t x c t x c t x nn ++++=L 这就是说，方程（4.1）的任一解可以由（4.14）表出，其中为相应的确定常数．由于地任意性，这就证明了通解表达式（14）包括了（4.1）的所有．定理7告诉我们要求一个非齐线性方程的解，只需要先求出对应的齐线性方程的一个基本解组，然后再求非齐线性方程的一个特解，然后按照定理7就可以写出非齐线性方程的通解．通过分析，特别是一阶微分方程的求解方法，进一步还可以指出，只要知道对应齐线性方程的基本解组就可以利用常数变易方法求得非齐线性方程的解．例1 求方程tx x cos 1"=+的通解，已知它的对应齐线性方程的基本解组为：． t t sin ,cos 解：（常数变易方法）．步骤：第一步，求对应齐线性方程的一个基本解组；已知对应齐线性方程的一个基本解组为：．t t sin ,cos 第二步，用常数变易法求非齐线性方程的通解．令：t t c t t c x sin )(cos )(21+=将它代入原方程，则可得有关的方程组：)(')('21t c t c 和⎪⎩⎪⎨⎧=+−=+t t tc t c t t t c t t c cos 1)('cos )('sin 0sin )('cos )('2121 解得：1)(',cos sin )('21=−=t c tt t c 由此 2211)(,cos ln )(r t t c r t t c +=+=然后求解得原方程的解t t t t t r t r x sin cos ln cos sin cos 21+++=其中是任意常数．21,r r例2 求方程于域2'"t x tx =−0≠t 上的所有解．解：第一步，求对应齐线性方程的基本解组．对应的齐线性方程为0'"=−x tx容易直接积分求得它的基本解组．事实上，将这个齐线性方程改写为tx x 1'"= 积分即得．所以At x ='B At x +=221，这里A ，B 为任意常数．易见有基本解组．为应用上面的结论（标准的非齐线性方程），也将原方程改写为：2,1t t x t x =−'1" 第二步，把原方程变为标准的非齐线性方程的形式．令：221)()(t t c t c x +=代入原方程有：0)(')('221=+t t c t c 及t t c t =)('22于是2221)(k t t c +=和13161)(k t t c +−= 故原方程的通解为 322131t t k k x ++=． 这里是任意常数．由定理知这个解包括了方程的所有解．作业：P131：2、3、4、5、64.2 常系数线性方程的解法通过前面的学习和讨论，关于线性微分方程的通解的结构问题，从理论上说，可以认为已经是完全解决了．但是，求方程通解的方法还没有具体给出．事实上，对于一般的线性微分方程是没有普遍的解法的．这里将介绍求解问题能够彻底解决的一类方程——常系数线性微分方程及可以化为这一类型的方程．同时将看到，为了求得常系数齐次线性方程的通解，只须解一个代数方程而不必通过积分运算．对于某些特殊的非齐线性方程也可以通过代数运算和微分运算求得它的通解．注：1、本节的内容可以用于解决实际问题：质点振动问题；2、在介绍求解方法时需要用到实变量的复值函数和复指数函数．4.2.1 复值函数和复值解如果对于区间中的每一实数t ，有复数b t a ≤≤)()()(t i t t z φϕ+=与它对应，其中)(t ϕ和)(t φ是在区间上定义的实函数，i 是虚单位，就说在区间b t a ≤≤上给定了一个复值函数．如果实函数)(t z )(t ϕ,)(t φ当趋于时有极限，就称复值函数当趋于时有极限，并且定义t 0t )(lim )(lim )(lim 000t i t t z t t t t t t φϕ→→→+= 如果，就称在连续．显然，在连续相当于)()(lim 00t z t z t t =→)(t z 0t )(t z 0t )(t ϕ，)(t φ在连续．当在区间上每一点都连续时，就称在区间0t )(t z b t a ≤≤)(t z b t a ≤≤上连续．如果极限00)()(lim 0t t t z t z t t −−→存在，就称在有导数（可微），且记此极限为)(t z 0t dtt dz )(0或者．显然在处有导数相当于)('0t z )(t z 0t )(t ϕ，)(t φ在处有导数，且0t dtt d i dt t d dt t dz )()()(000φ+ϕ= 如果在区间)(t z b t a ≤≤上每点都有导数，就称在区间)(t z b t a ≤≤上有导数，对于高阶导数可以类似地定义．设是定义在上的可微函数，c 是复值常数，容易证明下列等式成立（复值函数的微分运算性质）：)(,)(21t z t z b t a ≤≤dtt dz t z t z dt t dz t z t z dt dz dtt dz c t z c dt dz dtt dz dt t dz t z t z dt dz )()()()()]()([)()]([)()()]()([212121112121⋅+⋅=⋅=⋅+=+ 在讨论常系数线性方程时，函数将起着非常重要的作用，这里是t K e K 复值常数．下面讨论它的定义，并且讨论其一些性质．设是任一复数，而是实变量，于是定义：β+α=i K t )sin (cos )(t i t e e e t t i t K β+β==αβ+α于是有)(21sin )(21cos t i t i t i t i e e i t e e t β−ββ−β−=β+=β 如果以β−α=i K 表示复数K 的共轭复数，那么有：−=−t K Kt e e函数有下面的重要性质．t K e zt K t K t K K e e e 2121)(=+z Kt tK Ke dtde =，其中是实变量． t zKt n t K ne K e dt d =)( 定理8 如果方程（4.2）中所有系数),,2,1)((n i t a i L =都是实值函数，而)()()(t i t t z x φ+ϕ==是方程（4.2）的复值解，则的实部)(t z )(t ϕ、虚部和共轭复值函数)(t φ)t z 也是方程（4.2）的解．定理9 若方程)()()()()(1111t iv t u x t a dt dx t a dtx d t a dt x d n n n n n n +=++++−−−L 有复值解，这里)()(t iV t U x +=),,2,1)((n i t a i L =及都是实值函数，那么这个解的实部和虚部分别是)(),(t v t u )(t U )(t V )()()()(1111t u x t a dt dx t a dtx d t a dt x d n n n n n n =++++−−−L 和)()()()(1111t v x t a dt dx t a dtx d t a dt x d n n n n n n =++++−−−L 的解．4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程1、常系数齐线性方程若齐线性方程（4.2）的所有系数都是常数，即原方程可以写为如下形式：0][1111=++++=−−−x a dt dx a dtx d a dt x d x L n n n n n n L （4.15） 其中是常数．此时，称（4.15）为n 阶常系数齐线性方程．),,2,1(n i a i L =2、欧拉（Euler ）待定指数函数法通过前面的一阶常系数齐线性方程的解的指数形式可以启示，对于n 阶齐线性方程是否也有类似形式的解．于是用试探法讨论n 阶齐线性方程（4.15）的解，假设形如t a ce t e x λ= （4.16）其中是待定常数，可以是实数，也可以是复数．λ注意到：tt n n n n tnt n n t n n t n te F e a a a e a dt de a dt e d a dt e d e L λλ−−λλ−−λ−λλλ≡+λ++λ+λ=++++≡)()(][1111111L L 其中是n n n n a a a F +λ++λ+λ≡λ−−111)(L λ的n 次多项式．易知（4.16）为方程（4.15）的解的充要条件是：是代数方程λ0)(111=+λ++λ+λ≡λ−−n n n n a a a F L （4.17）的根．因此，方程（4.17）将起着预示方程（4.15）的解的特性的作用，被称为（4.15）的特征方程，它的根被称为特征根．于是，下面根据特征根的情况分别进行讨论（由代数知识知道，特征方程的根由两种情况：单根、重根）． z 特征根是单实根的情形设是特征方程（4.17）的n 个彼此不相等等根，则相应地方程（4.16）有如下n 个解：n λλλ,,,21L t t t n e e e λλλ,,,21L （4.18）可以证明这n 个解在区间b t a ≤≤上线性无关，从而组成方程（4.15）的基本解组．事实上，此时，有1121121)(1121121111][1212121−−−λ++λλ−λ−λ−λλλλλλλλλλλλ=λλλλλλ≡n n n n nttn n tn t n tn t t t tt n n n n e e e ee e e e e e t W L L L L L L L L L L L L L LL而最后一个行列式是著名的范德蒙（Vandermonde ）行列式，它等于．由于假设，故此行列式不等于零，从而∏≤<≤λ−λni j j i1)()(j i j i ≠λ≠λ0][≠x W ，于是解组（4.18）线性无关，这就是所要证明的．如果均为实数，则（4.18）是方程（4.15）的n 个线性无关的实值解，而方程（4.15）的通解可表示为),,2,1(n i i L =λt n t t n e c e c e c x λλλ+++=L 2121其中为任意常数．n c c c ,,,21L 例1 求方程0452244=+−x dtxd dt x d 的通解．解：（单根的情形）．特征方程为：0454=+λ−λ由此得到特征根：2,2,1,14321=λ−=λ=λ−=λ，其对应的基本解组为：t t t t e x e x e x e x 242321,,,====−−故通解为：t t t t e c e c e c e c x 242321+++=−−．如果特征根有单复根的情形),,2,1(n i i L =λ如果特征根有复根，则因方程的系数是实常数，由代数学基本定理，复根将成对共轭的出现．设β+α=λi 1是一特征根，则β−α=λi 2也是特征根，因而与对共轭复根对应的，方程（15）有两个复值解)sin (cos )sin (cos )()(t i t e et i t e e tti t t i β−β=β+β=αβ−ααβ+α根据定理8，它们的实部和虚部也是方程的解．这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根，可求得方程（4.15）的两个实值解：β±α=λi t e t e t t ββααsin ,cos此时，方程（4.15）的基本解组为：t t t tn e e t e t e λλααββ,,,sin ,cos 3L 例2 求方程的通解010'18"156)3()4(=+−+−y y y y y解：（单复根的情形）．特征方程为：010********=+λ−λ+λ−λ由此得到特征根：i i i i −=λ+=λ−=λ+=λ2,2,1,14321，其对应的基本解组为：x e y x e y x e y x e y x x x x sin ,cos ,sin ,cos 242321====故通解为：)sin cos ()sin cos (43221x c x c e x c x c e y x x +++=．z 特征根是重根的情形设特征方程有k 重根，则由代数学知识有1λ=λ0)(,0)()(')(11)1(11≠λ=λ==λ=λ−k k F F F F L先设，即特征方程有因子，于是01=λk λ011====+−−k n n n a a a L也就是特征方程的形状为011=λ++λ+λ−−k k n n n a a L而对应的方程（4.15）变为0111=+++−−−k k k n n n n n dtxd a dt x d a dt x d L 易见它有个解，而且它们是线性无关的，这样一来，特征方程的k 重零根就对应于方程（4.15）的个线性无关的解．k 12,,,,1−k tt t L k 12,,,,1−k tt t L 如果这个k 重根，作变换，注意到0≠λtyex 1λ=]!2)1([)(1)2(21)1(1)()()(11y y m m y m y e ye x m m m m t m t m λ++λ−+λ+==−−λλL 可得t t n n n n n n te y L e y b dtdyb dt y d b dt y d ye L 121][)(][11111λλ−−−λ=++++=L于是方程（4.15）化为0][11111=++++≡−−−y b dt dyb dty d b dt y d y L n n n n n n L （4.19）其中仍为常数，而相应的特征方程为n b b b ,,,21L 0)(111=+μ++μ+μ≡μ−−n n n n b b b G L （4.20）直接计算易得t t t t t e G e e L e L e F )(1)()(11111)()()()(λ+μλμλ+μλ+μμ===λ+μ因此)()(1μ=λ+μG F从而)()()(1)(μ=λ+μj j G F可见（4.17）的根对应于（20）的根1λ=λ01=μ=μ，而且重数相同，这样，问题就化为前面已经讨论过的情形了．因为，方程（4.20）的重根1k 01=μ对应于方程（4.19）的个解，因而对应于特征方程（4.17）的重根1k 121,,,,1−=k t t t y L 1k 1λ，方程（4.15）有个解：1k t k t t t e t e t te e 11111,,,2λλλλL （4.21）同样，假设特征方程（4.17）其它根m λλλ,,,32L 重数依次为（单根相当于），而且1;,,,32≥i m k k k k L j λ1=j k i j m n k k k λ≠λ=+++,32L （当i j ≠），则方程（4.15）对应地有解：⎪⎩⎪⎨⎧λ−λλλλ−λλλt k t t t tk t t t m m m m m et e t te e e t e t te e 1212,,,,,,,,22222L LL L L L L L （4.22） 下面要证明（4.21）和（4.22）全体n 个解构成方程（4.15）的基本解组． 假若这些函数线性相关，则有0)()(2)(11)(1)(1)(01≡≡+++∑∑=λ−λ=λ−−mr t r mr tk r k r r r r r r e t P et At A AL （4.23）其中是常数，不全为零．不是一般性，假定多项式至少有一个系数不等于零，即．将恒等式（4.23）除以，然后对t 微分次，得到)(r j A )(t P m 0)(≠t P m t e 1λ1k 0)(2)(1≡∑=λ−λmr trr et Q （4.24）其中，为次数低于 的次数的多项式．因此，与次数相同，且)()()()(11t S t P t Q r r kr r +λ−λ≡)(t S r )(t P r )(t Q r )(t P r 0)(≠t Q m ．恒等式（4.24）与（4.23）类似，但项数减少了．如果对（4.24）施行同上的手续（这时除以而微分次），于是有项数更少的类似的恒等式（4.23）．如此继续下去，经过m-1次后，得到恒等式：te)(12λ−λ0)()(1≡−λ−λt m m m e t R这是不可能的，因为与有相同的次数，且)(t R m )(t P m 0)(≠t R m ．事实上，不难直接计算得到)()()()()()(121121t W t P t R m m k m m k m k m m m +λ−λλ−λλ−λ≡−−L其中是次数低于的次数的多项式．)(t W m )(t P m 于是证明了（4.21）和（4.22）全部个解线性无关，从而构成了（4.15）的基本解组． n 对于特征方程有复重根的情况，譬如假设β+α=λi 是k 重特征根，则β−α=λi 也是k 重特征根，仿1一样处理，将得到方程（4.15）的2k 个实值解：te tt e t t t e t e t e t t e t t t e t e tk tttt k t t t ββββββββα−αααα−αααsin ,,sin ,sin ,sin cos ,,cos ,cos ,cos 1212L L3、应用例3 求方程044=−x dtxd 的通解解：（单根的情形）．例4 求方程033=+x dtxd 的通解解：（单根、有复根的情形）．例5 求方程0332233=−+−x dt dx dtx d dt x d 的通解解：（重根的情形）．例6 求方程022244=++x dtxd dt x d 的通解解：（复重根的情形）． 特征方程为：01224=+λ+λ由此得到特征根：是2重根，其对应的基本解组为：i ±=λ21、t t x t x t t x t x sin ,sin ,cos ,cos 4321====故通解为：t t c c t t c c x sin )(cos )(4321+++=．4、欧拉方程定义：形如011111=++++−−−−y a dx dy x a dx y d x a dx y d x n n n n n n n n nL （4.25） 的方程被称为欧拉方程．其中),,2,1(n i a i L =是常数．此方程可以简单的变换变为常系数齐线性方程，因而求解问题很容易解决．事实上，引进变换：x t e x t ln ,==经计算得到：dtdy e dx dt dt dy dx dy t−== ()(22222dtdy dt y d edt dy e dt d e dx y d t t t −==−−− 用数学归纳法不难证明：对一切自然数k 均有关系式：(1111dt dy dt y d dt y d e dx y d k k k k kkt k k −−−−β++β+=L 其中都是常数．于是11,,−ββk Ldt dydty d dt y d dx y d x k k k k k k k k1111−−−β++β+=L 将上述关系式代入方程（4.25），就得到常系数齐线性方程11110n n n n n n d y d y dyb b b dt dt dt−−−++++L y = （4.26） 其中都是常数，因而可用上述讨论的方法求出（4.26）的通解，再带回原来的变量（注意：11,,−k b b L x t ln =）就可以求得方程（4.25）的通解．由上述推演过程，知道方程（4.26）有形如的解，从而方程（4.25）有形如的解，因此可以直接求欧拉方程的形如的解．以代入（4.25）并约去因子，就得到确定te y λ=λ=xy Kx y =Kx y =K x K 的代数方程：0)2()1()1()1(1=+++−−++−−n a n K K K a n K K K L L L （4.27）可以证明这正是（4.26）的特征方程．因此，方程（27）的m 重实根，对应于方程（4.25）的m 个解0K K =x x x x x x x m K K K K 12ln ,,ln ,ln ,0000−L而方程（27）的m 重复根β+α=i K ，对应于方程（4.25）的2m 个实值解)ln sin(ln,),ln sin(ln ),ln sin()ln cos(ln ,),ln cos(ln ),ln cos(11x x x x x x x x x x x x x x x x m m ββββββ−ααα−αααL L ．例5 求解方程0222=+−y dx dyx dxy d x 解： 寻找方程的形式解，得到确定Kx y =K 的代数方程：或，，因此方程的通解为01)1(=+−−K K K 0)1(2=−K 121==K K x x c c y )ln (21+=其中是任意常数．21,c c4.2.3 非齐次线性方程：比较系数法和拉普拉斯变换法——求特解现在讨论常系数非齐线性方程)(][1111t f x a dt dx a dtx d a dt x d x L n n n n n n =++++=−−−L （4.28）的求解问题．其中是常数，而为连续函数．),,2,1(n i a i L =)(t f 其实，方程（4.28）的求解问题已经解决，因为在前面已经解决了（4.1）的求解问题，即比（4.28）更一般的微分方程（4.1）的通解问题是这样解决的：（常数变易法）用先求出对应齐线性方程（4.2）的一个基本解组，然后找出（4.1）的某一个解，根据前面的定理7就可以写出（4.1）的通解．于是也就完成了（4.28）的求解问题，只是用常数变易法来求解，求解步骤比较繁琐，并且要用到积分运算．（注：大家必须掌握常数变易法求解高阶微分方程，因为它带有普遍性．）但是，在解决实际问题时，往往要解决一些比较简单的微分方程，即带有特殊形式的微分方程，为此，在这里，我们介绍两种常用的比较系数法和拉普拉斯变换法，它们的共同特点是不需要通过积分而用代数运算方法即可求得非齐线性方程的特解．这个方法的特点：比较简单，把求解微分方程的问题转化为某一个代数问题来处理．1. 比较系数法类型Ⅰ设，其中t m m m m e b t b t b t b t f λ−−++++=)()(1110L λ及),,2,1(m i b i L =为实常数，那么方程（28）有形如t m m m m k e B t B t B t B t x λ−−++++=)(~1110L （4.29）的特解，其中k 为特征方程0)(=λF 的根λ的重数（单根相当于1=k ；当不是特征根时，取），而是待定常数，可以通过比较系数来确定． λ0=k m B B B ,,,10L ①如果，则此时，0=λm m m m b t b t b t b t f ++++=−−1110)(L现在再分两种情形讨论z 在不是特征根的情形，即0=λ0)0(≠F ，因而0≠n a ，这时，取，以0=k m m m m B t B t B t B x ++++=−−1110~L 代入方程（4.28），并比较t 的同次幂的系数，得到常数必须满足的方程：m m B B B B ,,,,110−L ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=−+−+=+−−−mn m n n n n n n b a B b a B m m b a B m a B b a mB a B b a B L L L 2200112110100)1()1( （4.30） 注意到，这些待定常数可以从方程（30）唯一地逐个确定出来． 0≠n a m m B B B B ,,,,110−L z 在是特征根的情形，即，也就是0=λ0)0(,0)0()0(')0()1(≠====−k k F FF F 而L 0,011≠====−+−−k n k n n n a a a a L ，这时相应地，方程（28）将为)(111t f dtxd a dt x d a dt x d k k k n n n n n =+++−−−L （4.31） k k dtxd z =，则方程（4.31）化为)(111t f z a dtzd a dt z d k n k n k n k n k n =+++−−−−−−−L （4.32） 对方程（4.32）来说，由于0,0=λ≠−k n a 已不是它的特征根．因此，由前一种情况，它有形如的特解，因而方程（31）有特解m m m mB t B t B t B z ~~~~~1110++++=−−L x ~满足：m m m m kk B t B t B t B z dtx d ~~~~~~1110++++==−−L 这表明x ~是t 的次多项式，其中的幂次k m +t 1−≤k 的项带有任意常数．但因只需要知道一个特解就够了．特别地取这些任意常数均为零，于是得到方程（4.31）（或方程（4.28））的一个特解)(~1110m m m m k t t t t x γ+γ++γ+γ=−−L这里m m γγγγ−,,,,110L 是已确定了的常数．②如果，则此时可象前面的讨论一样，作变量变换，将方程（4.28）化为0≠λtye x λ=m m n n n n n n b t b y A dt dyA dty d A dt y d ++=++++−−−L L 01111 （4.33） 其中都是常数．而且特征方程（4.17）的根n n A A A ,,,11−L λ对应于方程（4.33）的特征方程的零根，并且重数也相同．因此，利用上面的结果就有下面的结论：在不是特征方程（4.17）的根的情形，方程（4.33）有特解λm m m B t B t B y +++=−L 110~，从而方程（28）有特解t m m m e B t B t B x λ−+++=)(~110L在是特征方程（4.17）的重根的情形，方程（4.33）有特解λk )(~110m m m k B t B t B t y +++=−L ，从而方程（4.28）有特解t m m m k e B t B t B t x λ−+++=)(~110L例7 求方程133222+=−−t x dt dxdtdx 的通解． 解：先求对应的齐线性方程03222=−−x dt dxdtdx 的通解．这里特征方程有两个根0322=−λ−λ1,321−=λ=λ．因此，通解为：，其中为任意常数，再求非齐线性方程的一个特解．这里t t e c e c x −+=23121,c c 13)(+=t t f 0=λ，并且不是特征根，故可取特解形如Bt A x +=~，其中为待定常数．为了确定，将B A ,B A ,Bt A x +=~代入原方程，得到 13332+=−−−t Bt A B比较系数得⎩⎨⎧=−−=−13233A B B 由此得到1,31−==B A ，从而t x −=31~，因此，原方程的通解为 31231+−+=−t e c e c x t t例8 求方程t e x dt dxdtdx −=−−3222的通解． 解：从例7知道对应的齐线性方程的通解为：，其中为任意常数，这里，因为t te c ec x −+=23121,c c te tf −=)(1,321−=λ=λ刚好是特征方程的单根，故有特解形如，将它代入原方程得到，从而，t Ate x −=~t t e Ae −−=−441−=A ，于是，t te x −−=41~，因此，原方程的通解为t t t te e c e c x −−−+=41231类型Ⅱ设，其中te t t B t t A tf αβ+β=]sin )(cos )([)(βα,为常数，而是带实系数的t 的多项式，其中一个的次数为，而另一个的次数不超过，那么有如下结论：方程（28）有形如)(),(t B t A m m t k e t t Q t t P t x αβ+β=]sin )(cos )([~ （4.34）的特解，这里为特征方程k 0)(=λF （4.21）的根β+αi 的重数，而均为待定的带实系数的次数不高于的t 的多项式，可以通过比较系数的方法来确定．)(),(t Q t P m 事实上，分析类型Ⅰ的讨论过程，容易知道，当不是实数，而是复数时，有关结论仍然成立．现将表为指数形式)(t f ti t i et iB t A e t iB t A t f )()(2)()(2)()()(β−αβ+α++−=根据非齐线性方程的叠加原理，方程t i e t iB t A t f x L )(12)()()(][β−α+≡=与ti et iB t A t f x L )(22)()()(][β+α−≡= 的解之和必为方程（4.28）的解．注意到)()(21t f t f =，易知，若为1x )(][1t f x L =的解，则1x 必为的解．因此，直接利用类型Ⅰ的结果，可知方程（4.28）有解形如)(][2t f x L =t k k t i k t i k e t t Q t t t P t e t D t e t D t x αβ+αβ−αβ+β=+=]sin )(cos )([)()(~)()(其中为的的m 次多项式，而)(t D t )}(Im{2)()},(Re{2)(t D t Q t D t P ==．显然为带实系数的的多项式，其次数不高于m ．可见上述结论成立．)(),(t Q t P t 例9 求方程t x dt dx dtdx 2cos 4422=++的通解解：先求对应的齐线性方程04422=++x dt dxdt dx的通解．这里特征方程有重根0442=+λ+λ221−=λ=λ．因此，通解为：t e t c c x 221)(−+=其中为任意常数，再求非齐线性方程的一个特解．因为21,c c i 2±不是特征根，求形如t B t A x 2sin 2cos ~+=的特解，将它代入原方程并化简得到t t A t B 2cos 2sin 82cos 8=−比较同类项的系数得81,0==B A ，于是，t x 2sin 81~=，因此原方程的通解为t e t c c x t 2sin 81)(221++=−附注：类型Ⅱ的特殊情形t e t B t f t et A t f t tβ=β=ααsin )()(cos )()(或可用另一种简便方法求解：复数法求解． 例10 用复数法求解例9解：由例9已知对应齐线性方程的通解为t e t c c x 221)(−+=为求非齐线性方程的一个特解，先求方程ite x dt dx dtdx 22244=++ 的特解．这属于类型Ⅰ，而不是特征根，故可设特解为i 2it Ae x 2~=将它代入方程并消去因子得it e 218=iA ，因而，8iA −=，t t i e i x it 2sin 812cos 88~2+−=−=，t x 2sin 81}~Re{=由定理9这是原方程的特解，于是原方程的通解为t e t c c x t 2sin 81)(221++=−2. 拉普拉斯变换法常系数线性微分方程（组）还可以应用拉普拉斯变换法进行求解，有时显得比较简单． 拉普拉斯变换：由积分∫∞−=0)()(dt t f e s F st所定义的确定于复平面σ>s Re 上的复变数的函数，称为函数的拉普拉斯变换，其中于有定义，且满足不等式s )(s F )(t f )(t f 0≥t t Me t f σ<)(这里为某两个正常数，将称为原函数，而称为象函数．σ,M )(t f )(s F 拉普拉斯变换法主要目的是借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程（组）转换为复变数的代数方程（组），通过一些代数运算，一般地再利用拉普拉斯变换表，即可求出微分方程（组）的 解．虽然这种方法简单，但是有一定的局限性．而对有关拉普拉斯变换的基本概念和基本性质在附录1 中有介绍．设给定微分方程)(][1111t f x a dt dx a dtx d a dt x d x L n n n n n n =++++=−−−L （4.28）及初始条件。
第四章分离变量法(1)知识分享
所以有：
整理得
Step2：求解下面的特征值问题
讨论：若 ，则 ∴
这样
∵
∴
∴ 不合适，舍去。
若 时则方程 的特征方程为
∴
∴
∵ ∴
∴
∴C=-D=0
∴这说明 也不合适
若 时，方程 的特征方程为
∴
∴
∵ ∴
∵ ∴
∵ ∴
∴
∴
Step3：将 代入关于 的微分方程有：
得
∴
Step4：叠加，原方程的解为：
联立（1）、（2）有
∴原方程的解为
4．求阻尼波动问题的解
解：Step1：分离变量，令 ，并代入齐次方程和齐次边界条件中有
由于 ， ，于是上面方程变为：
整理得下面的常微分方程有：
Step2：求解下面的特征值问题
由第1题的结果有特征值为
特征函数为
Step3：将 代入关于 的常数分方程有：
上式是关于 的二阶常数系线性齐次常微分方程，其特征方程为
习题3.1
1．考察长为l的均匀细杆的导热问题，若
（1）杆的两端温度保零度；
（2）杆的两端均绝热；
（3）杆的一端为恒温零度，另一端绝热，而初始温度分布均为 ；
试用分离变量法求解在这三种情况下的杆的导热问题的解。
解：（1）该问题的数学模型为
其
Step1：分离变量：令 ，代入齐次方程及齐次边界条件有：
由于
由于
∴上面方程变形为
整理有
Step2:求解特征值问题
由第1题知
，
Step3:将 代入关于T（t）的微分方程
其特征方程为
，
，n=0,1,2,…
Step4：叠加
常微分方程第四章知识总结
常微分方程第四章知识总结常微分方程是微分方程的一种，它研究的是未知函数的导数和初值之间的关系。
常微分方程在物理学、工程学、生物学、经济学等领域都有广泛的应用。
第四章是常微分方程的一个重要章节，主要介绍了高阶常微分方程、常系数线性微分方程以及常微分方程的解法等内容。
高阶常微分方程是指未知函数的导数的阶数大于一的微分方程。
高阶常微分方程的一般形式为：$$y^{(n)} = f(x,y,y',\ldots,y^{(n-1)})$$其中$y$是未知函数，$y', y'', \ldots, y^{(n)}$分别表示$y$的一阶、二阶、$\ldots$、$n$阶导数，$f$是已知函数。
高阶常微分方程的解法包括常系数线性微分方程的特解与常数法、待定系数法、矩阵法等几种。
首先是常系数线性微分方程的特解与常数法。
对于形如$y^{(n)} +a_1y^{(n-1)}+ \cdots + a_ny = f(x)$的常系数线性微分方程，可以设其特解为$y^* = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} + \cdots$，其中$r_i$为特征方程$ r^n + a_1r^{n-1}+ \cdots + a_n = 0$的根。
将特解代入原方程，得到特解的解析形式。
然后与齐次方程求得的通解相加，即可得到原方程的通解。
常数法适用于右端为多项式的情况。
其次是常系数线性微分方程的待定系数法。
对于形如$y^{(n)} +a_1y^{(n-1)}+ \cdots + a_ny = f(x)$的常系数线性微分方程，当右端函数为指数函数、三角函数、幂函数、多项式函数和指数型函数等形式时，可以假设其特解为一些已知函数形式的线性组合，然后求解待定系数，得到特解的解析形式。
其次是常系数线性微分方程的矩阵法。
对于形如$\mathbf{y}' =A\mathbf{y}$的常系数线性微分方程组，可以使用特征方程的根以及线性代数的相关技巧，构造齐次方程的基本解组，然后通过矩阵的指数函数的性质得到原方程的通解。
常微分方程第四章知识总结
n 阶线性微分方程的一般理论1. n 线性微方程，它的一般形式为:齐次线性方程 /、dx /、小 …a n 」(t) a n (t)二 0 dt 非齐次线性方程：f (tro 2. n 阶线性齐次方程的一般理论 (1)定理2(叠加原理)如果X i (t), X i (t),…，X k (t)是方程(4.2)的k 个解，则它 们的线性组合 % (t) c 2x 2(t) ：：；■.. ：：； c n x n (t)也是方程(4.2)的解，这里 C |, C 2,…，C n 是任意常数 (2)函数线性相关性 定义在区间［a,b ］上的函数X i 仕)以2北)…X k (t)，如果存在不全为零的常数 C i ,C 2,…，C k 使得 C i X i (t) C 2X 2(t)… C k X k (t ) = 0 在［a,b ］上恒成立，我们称这些函数是线性相关的，否则称这些函数线性无关。
⑶Wronsky 行列式与aiM …dt ndt n /、dx /、 /、• a 叫MT ⑴ n n J d x “、d x dF a i (t)dt^ 由定义在［a,b ］上k 个k-i 次可微的函数 Xi(t) X2 (t) Xk(t) Xi(t) x 2 (t) Xk(t) see (kJ), sea ■ a a 9 a aX i (t ),X 2(t^. W[X i (t), X 2(t) X k (t)]二称为这些函数的Wronskiy行列式，也写作W(t).⑷定理3若函数X i(t),X2(t)…X n(t)在区间a^t "上线性相关，则在［a,b］上它们的Wronskian行列式W(t)三0。
(5)定理4 如果齐次方程的解X i(t),X2(t)…X n(t)在区间a亠b上线性无关，则W ［X i(t),X2(t)…X n(t)］在这个区间的任何点上都不等于零，即W(t0) =0( a mt mb).由方程(4.2)的n个解构成的Wronskian行列式或者恒为零或者在方程的系数连续区间上处处不等于零。
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一n 阶线性微分方程的一般理论
1. n 线性微方程，它的一般形式为：
++--111)(n n n n dt x d t a dt x d …)()()(1t f t a dt
dx
t a n n =++- 齐次线性方程
++--111)(n n n n dt x d t a dt x d …0)()(1=++-t a dt
dx
t a n n 非齐次线性方程:()0f t ≠ 2. n 阶线性齐次方程的一般理论
(1)定理2(叠加原理) 如果)(,),(),(1t x t x t x k i ⋯是方程(4.2)的k 个解，则它们的线性组合)()()(2211t x c t x c t x c n n +⋯++也是方程(4.2)的解，这里
12,,,n c c c ⋯是任意常数
(2)函数线性相关性
定义在区间],[b a 上的函数)()(),(21t x t x t x k ⋯，如果存在不全为零的常数
k c c c ,,,21⋯使得
0)()()(2211≡+⋯++t x c t x c t x c k k
在],[b a 上恒成立，我们称这些函数是线性相关的，否则称这些函数线性无关。
(3)Wronsky 行列式
由定义在],[b a 上k 个k-1次可微的函数)()(),(21t x t x t x k ⋯所作成的行列式
)
()()()()()()()
()
()]()(),([)
1()1(2)1(1212121t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x W k k k k k k k ---⋯⋯
⋯
⋯
⋯
'⋯
''⋯≡
⋯
称为这些函数的Wronskiy 行列式，也写作W(t).
(4)定理3 若函数)()(),(21t x t x t x n ⋯在区间b t a ≤≤上线性相关，则在],[b a 上它们的Wronskian 行列式0)(≡t W 。
(5)定理 4 如果齐次方程的解)()(),(21t x t x t x n ⋯在区间b t a ≤≤上线性无关，则)]()(),([21t x t x t x W n ⋯在这个区间的任何点上都不等于零，即
0)(0≠t W (b t a ≤≤).
由方程(4.2)的n 个解构成的Wronskian 行列式或者恒为零或者在方程的系数连续区间上处处不等于零。
定理5 n 阶线性方程(4.2)一定存在n 个线性无关的解。
(6)通解的结构
如果)()(),(21t x t x t x n ⋯是方程(4.2)的n 个线性无关的解，则方程(4.2)的通解可表为
)()()(2211t x c t x c t x c x n n +⋯++=
其中n c c c ,,,21⋯是任意常数，且通解(4.6)包含了方程(4.2)的所有解。
3.n 阶线性非齐次方程的一般理论 (1) 解的性质
性质1 n 阶线性非齐次方程的通解等于它的对应齐次方程(4.2)的通解与它本身的一个特解之和.
性质2 n 阶线性非齐次方程的任意两个解之差是对应齐次方程
(2) 解的求法(常数变易法)
设12,,,n y y y L 是(4.1)的对应齐次方程(4.2)的n 个线性无关解，
12(),(),,()n C x C x C x L 满足下面的非齐次方程组
1212
12(1)(1)(1)12()()()()0()0()()
()()()()
()()n n n n n n n y x y x y x C x C x y x y x y x C x f x y x y x y x ---⎡⎤'⎡⎤⎡⎤
⎢
⎥⎢
⎥⎢⎥''''⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣
⎦⎣⎦⎣⎦L L
M M M M
M
L
二n 阶常系数线性方程的解法
1. ()
(1)110n n n n y
a y a y a y --'++++=L
特征方程:11()0n n n P a a λλλ-≡+++=L
(1)求常系数齐次方程通解的步骤：
第一步：求(4.21)的特征方程及特征根n λλλ,,,21Λ. 第二步：计算方程(4.21)相应的解
（a ）对每一个实单根k λ，方程有解k
x k y e λ=.
（b ）对每一个m>1重实根k λ，方程有m 个解1,,,k
k
k
x x x m e xe x e λλλ-L .
（c ）对每一个重数是一的共轭复根βαi ±，方程有两个解
cos ,sin x x e x e x ααββ.
（d ）对每一个重数是m>1的共轭复根βαi ±，方程有2m 个为以下形式的解：
1cos ,cos ,,cos ,x x m x e x xe x x e x αααβββ-L
1sin ,sin ,,sin .x x m x e x xe x x e x αααβββ-L
（2）欧拉方程
1
1111...0n n n
n n n n n d y d y dy x a x a x a y dx dx dx ----++++= 其特征方程为:
1(1)...(1)(1)...(2)...0n K K K n a K K K n a --++--+++=
（a ）特征方程有m 重实根K
000021,ln ,ln ,...,ln K K K K m x x x x x x x -
（b ）特征方程有m 重复根0K i αβ=+
11
cos(ln ),ln cos(ln ),...,ln cos(ln )sin(ln ),ln sin(ln ),...,ln
sin(ln )
m m x x x x x x x x x x x x x x x x αααα
α
α
ββββββ--
2. 非齐线性方程
1111[]....()
n n n n n n d x d x dx
L x a a a x f t dt dt dt
---≡++++=
（1）比较系数法 （a ）类型Ⅰ
1011()(...)m m t m m f t b t b t b t b e λ--=++++
方程有形如1011(...)k m m t m m x
t B t B t B t B e λ--=++++% 的特解； （b ）类型Ⅱ
()[()cos ()sin ]t f t A t t B t t e αββ=+
方程有形如[()cos ()sin ]k t x
t P t t Q t t e αββ=+% 的特解； （2）拉普拉斯变换法
三 高阶微分方程的降阶
1.可降阶的类型
（1)方程不显含未知数x ，
()(1)()(,,,...,)0
(1)k k n F t x x x k n -=≤≤
解法：令()k x y =，则方程即降为关于y 的n-k 阶方程
'()(,,,...,)0n k F t y y y -=
(2)不显含自变量 t 的方程
'()(,,...,)0n F x x x =
解法：令x y '=，''dy
x y
dx
=,视x 为新自变量。
则方程可降低一阶。
'(1)(,,,...,)0n F x y y y -=
(3) 齐线性方程
111 ()()0 n n n n n d x d x
a t a t x dt dt
--+++=L 若知道方程的k 个线性无关的特解，则可以通过一系列同类型的
变换，=.k x x zdt ⎰,使方程降低k 阶。
并且新得到的n-k 阶方程也是齐线性的。
2.二阶线性方程的幂级数解法。