常微分方程第四章知识总结

一n 阶线性微分方程的一般理论

1. n 线性微方程，它的一般形式为：

++--111)(n n n n dt x d t a dt x d …)()()(1t f t a dt

dx

t a n n =++- 齐次线性方程

++--111)(n n n n dt x d t a dt x d …0)()(1=++-t a dt

dx

t a n n 非齐次线性方程:()0f t ≠ 2. n 阶线性齐次方程的一般理论

(1)定理2(叠加原理) 如果)(,),(),(1t x t x t x k i ⋯是方程(4.2)的k 个解，则它们的线性组合)()()(2211t x c t x c t x c n n +⋯++也是方程(4.2)的解，这里

12,,,n c c c ⋯是任意常数

(2)函数线性相关性

定义在区间],[b a 上的函数)()(),(21t x t x t x k ⋯，如果存在不全为零的常数

k c c c ,,,21⋯使得

0)()()(2211≡+⋯++t x c t x c t x c k k

在],[b a 上恒成立，我们称这些函数是线性相关的，否则称这些函数线性无关。

(3)Wronsky 行列式

由定义在],[b a 上k 个k-1次可微的函数)()(),(21t x t x t x k ⋯所作成的行列式

)

()()()()()()()

()

()]()(),([)

1()1(2)1(1212121t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x W k k k k k k k ---⋯⋯

⋯

⋯

⋯

'⋯

''⋯≡

⋯

称为这些函数的Wronskiy 行列式，也写作W(t).

(4)定理3 若函数)()(),(21t x t x t x n ⋯在区间b t a ≤≤上线性相关，则在],[b a 上它们的Wronskian 行列式0)(≡t W 。

(5)定理 4 如果齐次方程的解)()(),(21t x t x t x n ⋯在区间b t a ≤≤上线性无关，则)]()(),([21t x t x t x W n ⋯在这个区间的任何点上都不等于零，即

0)(0≠t W (b t a ≤≤).

由方程(4.2)的n 个解构成的Wronskian 行列式或者恒为零或者在方程的系数连续区间上处处不等于零。

定理5 n 阶线性方程(4.2)一定存在n 个线性无关的解。 (6)通解的结构

如果)()(),(21t x t x t x n ⋯是方程(4.2)的n 个线性无关的解，则方程(4.2)的通解可表为

)()()(2211t x c t x c t x c x n n +⋯++=

其中n c c c ,,,21⋯是任意常数，且通解(4.6)包含了方程(4.2)的所有解。 3.n 阶线性非齐次方程的一般理论 (1) 解的性质

性质1 n 阶线性非齐次方程的通解等于它的对应齐次方程(4.2)的通解与它本身的一个特解之和.

性质2 n 阶线性非齐次方程的任意两个解之差是对应齐次方程

(2) 解的求法(常数变易法)

设12,,,n y y y L 是(4.1)的对应齐次方程(4.2)的n 个线性无关解，

12(),(),,()n C x C x C x L 满足下面的非齐次方程组

1212

12(1)(1)(1)12()()()()0()0()()

()()()()

()()n n n n n n n y x y x y x C x C x y x y x y x C x f x y x y x y x ---⎡⎤'⎡⎤⎡⎤

⎢

⎥⎢

⎥⎢⎥''''⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣

⎦⎣⎦⎣⎦L L

M M M M

M

L

二n 阶常系数线性方程的解法

1. ()

(1)110n n n n y

a y a y a y --'++++=L

特征方程:11()0n n n P a a λλλ-≡+++=L

(1)求常系数齐次方程通解的步骤：

第一步：求(4.21)的特征方程及特征根n λλλ,,,21Λ. 第二步：计算方程(4.21)相应的解

（a ）对每一个实单根k λ，方程有解k

x k y e λ=.

（b ）对每一个m>1重实根k λ，方程有m 个解1,,,k

k

k

x x x m e xe x e λλλ-L .

（c ）对每一个重数是一的共轭复根βαi ±，方程有两个解

cos ,sin x x e x e x ααββ.

（d ）对每一个重数是m>1的共轭复根βαi ±，方程有2m 个为以下形式的解：

1cos ,cos ,,cos ,x x m x e x xe x x e x αααβββ-L

1sin ,sin ,,sin .x x m x e x xe x x e x αααβββ-L

（2）欧拉方程

1

1111...0n n n

n n n n n d y d y dy x a x a x a y dx dx dx ----++++= 其特征方程为:

1(1)...(1)(1)...(2)...0n K K K n a K K K n a --++--+++=

（a ）特征方程有m 重实根K

000021,ln ,ln ,...,ln K K K K m x x x x x x x -

（b ）特征方程有m 重复根0K i αβ=+

11

cos(ln ),ln cos(ln ),...,ln cos(ln )sin(ln ),ln sin(ln ),...,ln

sin(ln )

m m x x x x x x x x x x x x x x x x αααα

α

α

ββββββ--

2. 非齐线性方程

1111[]....()

n n n n n n d x d x dx

L x a a a x f t dt dt dt

---≡++++=

（1）比较系数法 （a ）类型Ⅰ

1011()(...)m m t m m f t b t b t b t b e λ--=++++

方程有形如1011(...)k m m t m m x

t B t B t B t B e λ--=++++% 的特解； （b ）类型Ⅱ

()[()cos ()sin ]t f t A t t B t t e αββ=+

方程有形如[()cos ()sin ]k t x

t P t t Q t t e αββ=+% 的特解； （2）拉普拉斯变换法

三 高阶微分方程的降阶

1.可降阶的类型