2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第60讲

B．m
C．－1
D．1
解析：由题意知
lim
x→0
1＋Cm1x＋Cm2x2x＋…＋Cmmxm＋a＝b.
∴a＋1＝0，b＝Cm1＝m，∴a·b＝－m.
答案：A
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3.lim
x→1
x2－x2－3x＋1 2等于(
)
A．－12
1 B.2
C．1
D．0
解析：lim
x→1
x2－x2－3x＋1 2＝lxi→m1
＝ lim
x→∞
2x2 x3 3x3 x3
＋xx3 －xx23
－x43 ＋x13
＝03＋ －00－ ＋00 ＝0.
(2)lim ( x2＋1－ x2－1)
x→∞
＝lim
x→∞
x2＋1－
x2－1 x2＋1＋
x2＋1＋ x2－1
x2－1
＝lim
x→∞
2 x2＋1＋
x2－1 ＝0.
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＝0.
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类型二 x→x0 型函数的极限 解题准备：对于∞－∞，∞∞，00 等不同形式的极限问题主要 涉及的解题方法有：“消因子法”，即分解出(x－a)型因式，消去 公因式；“因式有理化”，即题目中有无理式，先乘以有理化因 式后，消去因式．
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【典例 2】 求下列各式的极限：
(1)lim
x→2
x2－4 4－x－1 2；
(2)lim
x→0
x； |x|
(3)xl→imπ2
cosx cosx2－sin2x.
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[解析]
(1)原式＝lim
x→2
4－x2－x＋4 2＝lxi→m2
x－＋12＝－14.
(2)∵ lim
x→0＋
x＝ |x|
1，而 lim
x→0－
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6．连续函数的性质 (1)最大值、最小值定理 如果函数 f(x)在闭区间[a，b]上是连续函数，那么 f(x)在闭区 间[a，b]上有最大值和最小值． (2)如果函数 f(x)，g(x)在点 x＝x0 处连续，那么 f(x)±g(x)， f(x)·g(x)，gfxx(g(x)≠0)在点 x＝x0 处都连续．
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考点陪练 1.下列命题正确的是( ) A．函数极限的值是函数值 B．函数在x＝x0处的左、右极限都存在，则函数在x＝x0处的极限 存在 C．函数在x＝x0处无定义，则函数在x＝x0的极限不存在 D．函数在x＝x0的极限存在，函数在x＝x0处可能无定义
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4．函数极限的四则运算法则 如果xl→imx0f(x)＝a，xl→imx0g(x)＝b，那么 xl→imx0[f(x)±g(x)]＝a±b； xl→imx0[f(x)·g(x)]＝a·b； xl→imx0 gfxx＝ab(b≠0)．
(3) lim
x→＋∞
4x 4x－1
＝ lim
x→＋∞
1 1－14x
＝
1
1－ lim
x→＋∞
1 4
x
＝Fra Baidu bibliotek.
(4) lim
x→＋∞
4x·2x＋1 x·3x－1
＝ lim
x→＋∞
4×23x＋x·13x 1－x·13x
＝xl→im＋∞[4×23x＋x·13x
lim
x→＋∞
1－x·13x
]
＝4×1－0＋0 0
x＝ |x|
－
1，lim
x→0＋
|xx|≠xl→im0－
|xx|∴lxi→m0
x不 |x|
存在．
(3)原式＝xl→imπ2
cos22x－sin2
x 2
cosx2－sin2x
＝xl→imπ2 cos2x＋sin2x＝ 2.
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类型三 函数的连续性 解题准备：函数 y＝f(x)在点 x0 处连续的充要条件是xl→imx0f(x) ＝f(x0)，因此，判断一个函数在点 x＝x0 处连续，一般分三步：① 判断 f(x)在点 x＝x0 处是否有定义；②判断xl→imx0f(x)是否存在；③ 判断 xl→imx0f(x)与 f(x0)是否相等，即函数 f(x)在点 x0 处的极限值等于 这一点的函数值．
∴x＝2 时，f(x)＝2＋1 2＝14，∴a＝14. 答案：14
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类型一 x→∞型函数的极限 解题准备：在数列极限中n→∞.只表示n→＋∞，在函数极限中， x→∞表示x→＋∞和x→－∞两种变化趋势，故在研究或讨论“x→∞时f(x) 的极限”时需分别讨论x→＋∞和x→－∞两种变化趋势下的f(x)的极限．
lim
n→∞
aan＋n－1＋1＋a2bbn－n 1＝lni→m∞
a2ban－1＋a＝ ban－1＋2b
2ab＝14.故选
B.
答案：B
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5．
在 x＝2 处连续，则 a＝________.
解析：∵x>2 时，f(x)＝3xx2－＋42－x－2 2＝xx2－－24＝x＋1 2，且 f(x)在 x＝2 处连续，
解析：函数在 x＝x0 的极限存在， 其意义为x→limx0－f(x)x→＝x0＋f(x)． 此极限值与 f(x0)没有关系， 即 f(x)在 x＝x0 处可有定义也可无定义．
答案：D
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2．已知 m∈N*，a，b∈R，若lim
x→0
1＋xm＋a x
＝b，则
a·b＝(
)
A．－m
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5．函数连续性的概念 (1)如果函数 f(x)在点 x＝x0 处及其附近有定义，而且xl→imx0f(x) ＝f(x0)，就说函数 f(x)在点 x0 处连续． (2)如果函数 f(x)在点 x＝x0 处及其右侧(或左侧)有定义，而且 x→limx0＋f(x)＝f(x0)[或x→limx0－f(x)＝f(x0)]，就说函数 f(x)在点 x0 处右连 续(或左连续)． (3)若 f(x)在(a，b)内每一点都连续，且在 a 点右连续，在 b 点 左连续，则称 f(x)在闭区间[a，b]上连续．
【典例 1】 求下列函数的极限：
(1)lim
x→∞
2x2＋x－4 3x3－x2＋1
；
(2)lim ( x2＋1－ x2－1)；
x→∞
(3) lim
x→＋∞
4x 4x－1
；
4x·2x＋1
(4) lim
x→＋∞
x·3x－1
.
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[解析]
(1)lim
x→∞
2x2＋x－4 3x3－x2＋1
x－2x－1 x＋1x－1
＝lim
x→1
xx－ ＋21＝－12.
答案：A
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4．设正数 a，b 满足lim
x→2
(x2＋ax－b)＝4，则lim
n→∞
aan＋n－1＋1＋a2bbn－n 1＝
()
A．0
1 B.4
1 C.2
D．1
解析：由条件可得 4＋2a－b＝4⇒ab＝12，