流体力学 质量守恒方程(连续性方程)

表明对不可压缩、恒定流体，单位时间内流入与流出 某空间点的流体体积之差为零，即体积（质量）守恒。
三、总流的连续性方程
恒定、均匀、不可压缩流体
方程的推导依据是： 质量守恒及恒定流的特性。

1、方程：
连续性方程 是不涉及任 何作用力的
方程。
取控制体，考虑到条件 1）在恒定流条件下，流管的形状与位置不随时间改变； 2）不可能有流体经流管侧面流进或流出； 3）流体是连续介质，元流内部不存在空隙； 4）忽略质量转换成能量的可能。 根据质量守恒原理
所涉及的两种概念： （1）系统；（2）控制体。
一、系统、控制体 1、系统 ——由确定的流体质点组成的流体团。
即一团确定的流体质点的集合。 系统边界
——把系统和外界分开的真实或假想的界面。
（1）系统边界的特点： 1> 系统的体积边界面形状、大小随时间改变； 2> 边界上受外力作用； 3> 在系统边界面上无质量交换； 4> 边界上可以有能量交换。
（1）有固定边界域的总流连续方程式
物理意义：流入控制体内的净质量流量与控制体内由于 密度变化在单位时间里所增加的质量相等。 适用范围：恒定流、非恒定流、可压缩、不可压缩流体、 理想流体、实际流体。
（2）恒定流的总流连续性方程
对于恒定流，有 ，则上式为 适用范围：固定边界内所有恒定流，包括可压缩或不可 压缩流体、理想流体、实际流体。
t x y z
（2）恒定不可压缩流体运动微分方程：
u x u y u z 0
x
y
z
2、简单分析：
M y

u y dxdzdt (u y

u y
y
dy)dxdzdt
u y
y
dtdxdydz
M x
M y
M z


u
x
或：
Q2 Q1
Q3
• 例 输水管道经三通管分流（图下），已知管径d1=d2=200mm， d3=100mm，断面平均流速v1=3m/s，v2=2m/s，试求断面平 均流速v3。 解：
2
v3

v2

v1

d1 d3

4m / s
（1）控制面的特点： 1> 控制面相对于坐标系固定不变； 2> 控制面上可以有质量交换； 3> 控制面上受到外力作用； 4> 控制面上可以有能量交换；
（2）控制体的概念对应的是欧拉法，即以 固定的空间点为研究对象。
（3）系统边界与控制面对比
系统边界
控制面
1> 系统的体积边界面形状、 大小随时间改变；
（3）不可压缩流的总流连续性方程 对于不可压缩流体有：ρ=const，则
或
物理意义：对于不可压缩流体，断面平均流速与过水断面 面积成反比，即流线密集的地方流速大 ，而流线疏展的 地方流速小。
适用范围：固定边界内的不可压缩流体，包括恒定流、非 恒定流、理想流体、实际流体。
（4） 分叉流的总流连续性方程
定义了系统后，即可利用质量、能量、 动量守恒定律，推导流体的运动方程。
（2）系统的概念对应的是拉格朗日法，即以确定的质点为研究对象。 我们在工程实际中一般是采用欧拉法， 故引进相应的概念——控制体
2、控制体 ——流场中一固定不变的空间体积。
质点不 固定。
控制面 ——控制体的边界面，是一封闭的表面。
第四章 质量守恒方程（连续性方程）
（B3.1、B4.2章节）
课程目标
• 理解连续性方程（微分方程和积分方程）的意义 • 熟悉恒定总流连续性方程（积分方程）的应用条件 • 掌握恒定总流连续性方程（积分方程）在实际工程中的应用
§4-1 流体运动连续性方程
方程推导应遵循的原则： （1）满足质量守恒定律； （2）流体是连续介质；
2> 边界上受外力作用；
1> 控制面相对于坐标系固定不变； 2>控制面上受到外力作用；
3> 在系统边界面上无质量交换； 3>控制面上可以有质量交换；
4> 边界上可以有能量交换。
4> 控制面上可以有能量交换；
二、连续性微分方程
1、方程： （1）可压缩流体运动微分方程：
ux u y uz 0
x
u y
y

u z
z
dxdydzdt
[ ux uy uz ]dxdydzdt dxdydzdt
x y z
t
以 y 方向为例：
s： ρuy
t：
u y

u y
y
dy
sM
z t x0 y
3、流体的连续性方程给出了流体通过某固定点时，流体的三个 速度分量之间的关系。