反函数习题精选
大一反函数的经典例题(范文5篇)
大一反函数的经典例题(范文5篇)以下是网友分享的关于大一反函数的经典例题的资料5篇,希望对您有所帮助,就爱阅读感谢您的支持。
大一反函数的经典例题(1)[例1]若函数f (x ) 与g (x)的图象关于直线y =x 对称,且f (x )=(x -1) (x ≤1) ,求g (x ). 选题意图:本题考查互为反函数的函数的图象间的对称关系.解:f (x ) 与g (x ) 在定义域内互为反函数,f (x )=(x -1) 2(x ≤1) 的反函数是2y =1-x (x ≥0) ,∴g (x )=1-x (x ≥0).说明:互为反函数的图象关于y =x 对称,反之亦然,也是判断两个函数互为反函数的方法之一,本是f (x ) 与g (x )互为反函数,要求g (x ), 只须求f (x ) 在限定区间上的反函数即可.[例2]若点P (1,2) 在函数y=ax +b 的图象上,又在它的反函数的图象上,求a , b 的值.选题意图:本题考查反函数的概念,反函数的图象与原函数图象的对称关系的应用.解:由题意知P (1,2) 在其反函数的图象上,根据互为反函数的函数图象关于y =x 对称的性质,P′(2,1) 也在函数y =+b 的图象上,⎧⎪2=a +b 因此:⎨解得:a =-3,b =7. ⎪⎩1=2a +b说明:引导学生树立创造性思考问题的方式、方法,利用互为反函数的图象的对称关系. (1,2)在反函数图象上,则(2,1) 也在原函数图象上是解决该问题的关键所在,即f (2)=1,这是得到a , b 的另一个关系式的条件,这样两个条件两个未知数,就可解出a , b 的值.[例3]已知函数f (x )=(1+x 2-1) -2(x ≥-2) ,求方程f (x )=f (x ) 的2解集.选题意图:本题考查互为反函数的函数的图象关于y =x 对称的关系,灵活运用这一关系解决问题的能力.分析:若先求出f (x )=2x +2-2(x ≥-2), 再解方程(1+-1-1图2—8 x 2) -2=2x +2-2,整理得四2次方程,求解有困难,但我们可以利用y =f (x ) 与y =f (x ) 的图象的关系求解. 先画出y =f (x )=(1+x 2-1) -2的图象,如图,因为y =f (x ) 的图象和y =f (x ) 的图象关于直线y =x 对称,2-1可立即画出y =f (x ) 的图象,由图象可见两图象恰有两个交点,且交点在y =x 上,因此,由x 2⎧⎪y =(1+) -2方程组⎨联立即可解得. 2⎪⎩y =x解:由函数f (x )=(1+x 2) -2(x ≥-2) 画出图象,如图,由于函数f (x ) 的反函数的图象与2函数f (x ) 的图象关于y =x 对称,故可以画出其反函数图象(如图),由图可知两图象恰有两x 2⎧y =(1+) -2⎪-1个交点且交点都在y =x 上. 因此,方程组⎨的解即为f (x )=f (x ) 的解,于是2⎪⎩y =x解方程组得x =-2或x =2,从而方程f (x )=f (x ) 的解集为{-2,2}.说明:解决本题的关键是,根据互为反函数的图象关于y =x 对称,若两个函数有交点,则交点必在直线y =x 上,由此,将要解的两个较复杂的方程组转化为直线y =x 与其中-1y =(1+x 2) -2一个方程组的解的问题. 2大一反函数的经典例题(2)[例1]下列各组函数中,不互为反函数的是( ) ......1(x -3) 21B. f (x )=2x +3,g (y )= (y -3)2A. f (x )=2x +3,g (x )=C. f (x )=x , g (x )=x2D. f (x )=x (x <0) , g (x )=-x (x >0)2选题意图:本题主要考查函数的反函数的有关概念,判断互为反函数的两个函数必须满足的条件:即函数解析式之间的关系是互相能确定x 、y ,定义域与值域之间的关系,是否是一个函数的定义域和值域分别是另一个函数的值域和定义域.解析:由f (x )=x 的定义域为x ∈R ,而值域为y ≥0; g (x )= x 的定义域为x ≥0,而值域为y ≥0. 由反函数的概念知反函数的定义域和值域正是原函数的值域和定义域推得它们不能互为反函数.说明:注意例1是判断不互为反函数的命题,否定互为反函数的三条件之一即不是反函数.[例2]判断函数y =x -x 有无反函数? 如果有,求出其反函数.选题意图:加深函数有无反函数判断的理解以及熟悉求反函数的方法与步骤.解:判断函数y =f (x ) 有无反函数,根据反函数的概念,应该判断:对每个确定的y 的(可能取到) 值,是否有惟一确定的x 值与之相对应. 由y =x -x112-12-1,得∴(x ) -y ⋅x -1=0112212①.11y ±y 2+4y -y +4x =, , x 0, ∴x =舍去,22y +y 2+4y 2+y y 2+4∴x =, ∴x =+1∴每一个确定的y 值,对应着(即只能221求出) 一个x , ∴x是y 的函数,即y =x -x1-1有反函数,,由上面过程,易见反函数为x 2+x x 2+4x 2+x x 2+4,值域为(0,y =+1, 且f (x ) =y =+1的定义域是(x ∈R)22+∞).说明:上述过程包含着:对于任意实数y 的取值方程①必有根,因此x 2-x11-12可以取到任意实数即函数y =x -x 的值域为(-∞,+∞),所以反函数的定义域为(-∞,x 2+x x 2+4+∞),恰是函数y =+1的定义域,在这种情况下,可以不注明函数的定义2域,当然原函数y =x -x 的值域也可以用以下方法解:当x =1时,y =0,当0<x<1时,0<x <1,x112-12-1>1, 则y <0,且当x →0时,x →0, x121-1→+∞, 这时y 可以取任12何负数. 当x >1时,x >1,0<x12-12<1, 则y >0,且当x →+∞时,x →+∞, x-12-12→0.这时y 可以取任何正数,∴y =x -x 的值域为R ,即(-∞,+∞).[例3]已知一次函数y =f (x ) 的反函数仍是它自己,求f(x ). 选题意图:本题考查反函数的概念,利用反函数与原函数的关系分析问题解决问题的能力.解:设y =f (x )=ax +b (a ≠0) ,则f1bx -, a a 1bax +b =x -对于一切x 都成立,a a-1(x ) =1⎧a =⎪⎧a =1⎧a =-1⎪a ∴⎨∴⎨或⎨⎪-b =b , ⎩b =0. ⎩b ∈R, ⎪⎩a∴f (x )=x 或f (x )=-x +b (b ∈R).说明:利用互为反函数的条件判断或证明某个或某两个函数是互为反函数的基本方法,此题是一个特殊函数的反函数的证明,希望读者掌握这种证明方法和思路.大一反函数的经典例题(3)函数的性质、反函数函数的单调性例题例1-5-1 下列函数中,属于增函数的是[ ]解 D例1-5-2 若一次函数y=kx+b(k≠0) 在(-∞,+∞) 上是单调递减函数,则点(k,b) 在直角坐标平面的[ ]A .上半平面B.下半平面C .左半平面D.右半平面解 C 因为k <0,b ∈R .例1-5-3 函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4) 上是减函数,则实数a 的取值范围是[ ]A .a ≥3 B.a ≤-3C .a ≤5 D.a=-3解 B 因抛物线开口向上,对称轴方程为x=1-a,所以1-a ≥4,即a ≤-3.例1-5-4 已知f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f(2-x2) ,那么g(x) [ ]A .在区间(-1,0) 内是减函数B .在区间(0,1) 内是减函数C .在区间(-2,0) 内是增函数D .在区间(0,2) 内是增函数解 A g(x)=-(x2-1) 2+9.画出草图可知g(x)在(-1,0) 上是减函数.+bx在(0,+∞) 上是______函数(选填“增”或“减”) .解[-2,1]大一反函数的经典例题(4)反函数例题讲解例1.下列函数中,没有反函数的是(A) y = x 2-1(x 1)2( )(B) y = x 3+1(x ∈R )(D) y =⎨⎧2x -2(x ≥2) ,-4x (x x(x ∈R ,x ≠1)x -1分析:一个函数是否具有反函数,完全由这个函数的性质决定.判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念.从代数角度入手,可试解以y 表示x 的式子;从几何角度入手,可画出原函数图像,再作观察、分析.作为选择题还可用特例指出不存在反函数.本题应选(D ).因为若y = 4,则由⎨⎧2x -2=4,得x = 3.x ≥2⎩由⎨⎧-4x =4,得x = -1.x ∴(D )中函数没有反函数.如果作出y =⎨⎧2x -2(x ≥2) ,的图像(如图),依图-4x (x 更易判断它没有反函数.例2.求函数y =1--x 2(-1≤x ≤0)的反函数.解:由y =1--x 2,得:-x 2=1-y .∴1-x 2 = (1-y ) 2,x 2 = 1-(1-y ) 2 = 2y -y 2 .∵-1≤x ≤0,故x =-2y -y 2.又当-1≤x ≤0 时,0≤1-x 2≤1,∴0≤-x 2≤1,0≤1--x 2≤1,即0≤y ≤1 .∴所求的反函数为y =-2x -x 2(0≤x ≤1).由此可见,对于用解析式表示的函数,求其反函数的主要步骤是:①把给出解析式中的自变量x 当作未知数,因变量y 当作系数,求出x = φ ( y ).②求给出函数的值域,并作为所得函数的定义域;③依习惯,把自变量以x 表示,因变量为y 表示,改换x = φ ( y ) 为y = φ ( x ).例3.已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x + 2(x 分析:依据f -1 (2 )这一符号的意义,本题可由f ( x )先求得f -1 ( x ),再求f -1 (2 )的值(略).依据函数与反函数的联系,设f -1 (2 ) = m ,则有f ( m ) = 2.据此求f -1(2 )的值会简捷些.令x 2 + 2x + 2 = 2,则得:x 2 + 2x = 0 .∴x = 0 或x =-2 .又x 的图像是(( )(B((分析:作为选择题,当然不必由f ( x )求出f -1 ( x ),再作出f -1 ( x )图像,予以比较、判断.由f (x ) =+4x 2(x ≤0)易得函数f ( x )的定义域为(-∞, 0],值域为[1, +∞).于是有函数f-1( x )的定义域为[1, +∞),值域为(-∞, 0].依此对给出图像作检验,显然只有(D )是正确的.因此本题应选(D ).例5.给定实数a ,a ≠0,a ≠1,设函数y =x -11(x ∈R ,x ≠).a ax -1求证:这个函数的图像关于直线y = x 成轴对称图形.分析:本题可用证明此函数与其反函数是同一个函数的思路.证明:先求给出函数的反函数:由y =∴x -11(x ∈R ,x ≠),得y ( ax -1) = x -1 .a ax -1(ay -1) x = y -1 .①若ay -1 = 0,则ay = 1 .又a ≠0,故y =11.此时由①可有y = 1.于是=1,即a = 1, a a这与已知a ≠1是矛盾的,故ay -1 ≠ 0 .则由①得x =∴函数y =≠).由于函数f ( x )与f -1 ( x )的图像关于直线y = x 对称,故函数y =(x ∈R 且x ≠1)的图像关于直线y = x 成轴对称图形. a1ay -11(y ∈R ,y ≠).ay -1ax -11x -1(x ∈R ,x ≠)的反函数还是y =(x ∈R ,xa ax -1ax -1x -1ax -1本题证明还可依轴对称的概念进行,即证明:若点P (x ,y )是函数f ( x ) 图像上任一点,则点P 关于直线的对称点Q (y ,x )也在函数f ( x )的图像上(过程略).例题讲解(反函数)例1.求下列函数的反函数:(1) y =3x -1 (x ∈R ) ;(2) y =x 3+1 (x ∈R ) ;(3)y =x +1 (x ≥0) ;(4)y =2x +3(x ∈R ,且x ≠1) .x -1通过本例,使学生掌握求反函数的方法.求反函数时,要强调分三个步骤进行.第一步将y = f (x ) 看成方程,解出x = f -1 (y ) ,第二步将x ,y 互换,得到y = f -1 (x ) ,第三步求出原函数的值域,作为反函数的定义域.其中第三步容易被忽略,造成错误.如第(3)小题,由y =x +1解得x = (y -1) 2,再将x ,y 互换,得y = (x -1) 2.到此以为反函数即y = (x -1) 2,这就错了.必须根据原函数的定义域x ≥0,求得值域y ≥1,得到反函数的定义域,于是所求反函数为y = (x -1) 2 (x ≥1) .例2.求下列函数的反函数:(1) y = x 2-2x -3 (x ≤0) ;⎧x -1(x ≤0) ,⎪(2) y =⎨1-1(x >0) .⎪⎩x通过本例,使学生进一步掌握求反函数的方法,明确求解中三个步骤缺一不可.解:(1) 由y = x 2-2x -3,得y = (x -1) 2-4,即(x -1) 2 = y +4,因为x ≤0,所以x -1=-y +4,所以原函数的反函数是y =1-x +4 ( x≥-3) .(2) 当x ≤0时,得x = y+1且y ≤-1;当x >0时,得x =1且y >-1,y +1所以,原函数的反函数是:x ≤-1,x >-1.⎧x +1⎪y =⎨1⎪⎩x +1例题讲解(反函数)[例1]若函数f (x ) 与g (x)的图象关于直线y =x 对称,且f (x )=(x -1) 2(x ≤1) ,求g (x ).选题意图:本题考查互为反函数的函数的图象间的对称关系. 解:f (x ) 与g (x ) 在定义域内互为反函数,f (x )=(x -1) 2(x ≤1) 的反函数是y =1-x (x ≥0) ,∴g (x )=1-x (x ≥0).说明:互为反函数的图象关于y =x 对称,反之亦然,也是判断两个函数互为反函数的方法之一,本是f (x ) 与g (x ) 互为反函数,要求g (x ), 只须求f (x ) 在限定区间上的反函数即可.[例2]若点P (1,2) 在函数y=ax +b 的图象上,又在它的反函数的图象上,求a , b 的值. 选题意图:本题考查反函数的概念,反函数的图象与原函数图象的对称关系的应用. 解:由题意知P (1,2) 在其反函数的图象上,根据互为反函数的函数图象关于y =x 对称的性质,P′(2,1) 也在函数y =ax +b 的图象上,⎧⎪2=a +b因此:⎨解得:a =-3,b =7.⎪⎩1=2a +b说明:引导学生树立创造性思考问题的方式、方法,利用互为反函数的图象的对称关系. (1,2)在反函数图象上,则(2,1) 也在原函数图象上是解决该问题的关键所在,即f (2)=1,这是得到a , b 的另一个关系式的条件,这样两个条件两个未知数,就可解出a , b 的值.x[例3]已知函数f (x )=(1+) 2-2(x ≥-2) ,求方程2-1f (x )=f (x ) 的解集.选题意图:本题考查互为反函数的函数的图象关于y =x 对称的关系,灵活运图2—8 用这一关系解决问题的能力.x分析:若先求出 f -1(x )=2x +2-2(x ≥-2), 再解方程(1+) 2-2=2x +2-2,2整理得四次方程,求解有困难,但我们可以利用y =f (x ) 与y =f -1(x ) 的图象的关系x求解. 先画出y =f (x )=(1+) 2-2的图象,如图,因为y =f (x ) 的图象和y =f -1(x ) 的2图象关于直线y =x 对称,可立即画出y =f -1(x ) 的图象,由图象可见两图象恰有两x 2⎧y =(1+) -2⎪个交点,且交点在y =x 上,因此,由方程组⎨联立即可解得. 2⎪⎩y =xx 2) -2(x ≥-2) 画出图象,如图,由于函数f (x ) 的反函2数的图象与函数f (x ) 的图象关于y =x 对称,故可以画出其反函数图象(如图) ,解:由函数f (x )=(1+x 2⎧⎪y =(1+) -2由图可知两图象恰有两个交点且交点都在y =x 上. 因此,方程组⎨2⎪⎩y =x 的解即为f (x )=f -1(x ) 的解,于是解方程组得x =-2或x =2,从而方程f (x )=f -1(x )的解集为{-2,2}.说明:解决本题的关键是,根据互为反函数的图象关于y =x 对称,若两个函数有交点,则交点必在直线y =x 上,由此,将要解的两个较复杂的方程组转化为x 2直线y =x 与其中y =(1+) -2一个方程组的解的问题.2例题讲解(练习)例1.函数f (x )=x -x 是否存在反函数?说明理由点评:不存在,∵ f (0)=f (-1)=f (1)=0.例2.求下列函数的反函数.(1) f (x )=36x +5x -1(2) y =-x -1(3) f (x )=x -2x +3,x ∈(1,+∞) (4)f (x )=1--x 2(-1≤x ≤0)点评:(1) f-12(x )=2x +5(x ∈R 且x ≠6) x -6(2) f (x )=x +1 (x ≤0) (3) f (4) f-1-1(x )=(x )=-x -2+1 (x >2)-x -1 (0≤x ≤1)2-1⎧⎪x -1(x ≥1)例3.求函数y =⎨的反函数.⎪⎩--x (x 2 ⎧⎪x +1点评:反函数为y =⎨2⎪⎩1-x(x ≥0).(x 例4.已知f (x )=3x +2-1,求f [f (x )]的值.x +1⎡点评:f ⎢f⎢⎣-1⎛2⎫⎤2⎪⎥=,注意f (x ) 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠-1},值域为{y |y 2⎪2⎝⎭⎥⎦∈R 且y ≠-3}.例5.已知一次函数y =f (x ) 反函数仍是它自己,试求f (x ) 的表达式.分析:设y =f (x )=ax +b (a ≠0) ,则f (x )=-11(x -b ) .a⎧1=a ⎪⎧a =-1⎧a =11⎪a由(x -b )=ax +b 得⎨或⎨⇒⎨a b b ∈R b =0⎩⎩⎪-=b ⎪⎩a∴ f (x )=x 或f (x )=-x+b (b ∈R )例6.若函数y =ax +1在其定义域内存在反函数.4x +3(1) 求a 的取值范围;(2) 求此函数的值域.解:(1)方法一:原式可化为4xy +3y =ax +1,(4y -a ) x =1-3y ,a ax +1a≠时,,即44x +344解得a ≠时原函数有反函数.3ax +1方法二:要使y =在其定义域内存在反函数,则需此函数为非常数函数,4x +3a 14ax +1即≠,所以a ≠时函数y =在其定义域内存在反函数.3434x +3当y ≠(2) 由y =ax +1-3y +1解得x =.4x +34y -aax +1-3x +1的反函数为y =.4x +34x -a -3x +1a ∵y =的定义域是{x |x ∈R 且x =}44x -aax +1a 故y =的值域是{y |y ∈R 且y ≠}.44x +3∴y =例7.设函数y =f (x ) 满足f (x -1)=x -2x +3(x ≤0) ,求f (x +1).解:∵x ≤0,则x -1≤-1.∵ f (x -1)=(x -1) +2 (x ≤0) ∴ f (x )=x +2 (x ≤-1) .由y =x +2 (x ≤1) 解得x =-y -2(y ≥3)2222-1∴ f 故f-1(x )=-x -2 (x ≥3) .x -1 (x ≥2) .-1-1-1(x +1)=--1点评:f (x +1)表示以x +1代替反函数f (x ) 中的x ,所以要先求f (x ) ,再以x +1代x ,不能把f (x +1)理解成求f (x +1)的反函数.习题1.已知函数 f (x )=x -1 (x ≤-2) ,那么 f (4)=______________.2.函数y =-x +x -1 (x ≤22-1-11) 的反函数是_________________.22⎧1]⎪x -1,x ∈(0,3.函数y =⎨2的反函数为__________________.⎪⎩x ,x ∈[-1,0)4.函数y =5.已知y =x 2-2x +3 (x ≤1) 的反函数的定义域是_____________.11x +m 与y =nx -是互为反函数,则m =______和n =________.23答案1.-2.y =1--4x -3⎛⎝x ≤-3⎫24⎪⎭3.y =⎧⎪⎨x +1,x ∈(-1,0],⎪⎩-x ,x ∈(0,1]4.2,+∞)5.16,2大一反函数的经典例题(5)反函数求值例1、设互为反函数,求有反函数的值.,且函数与分析:本题对概念要求较强,而且函数不具体,无法通过算出反函数求解,所以不妨试试“赋值法”,即给变量一些适当的值看看能得到什么后果.解:设在函数这样即有,则点的图象上,即,从而在函数的图象上,从而点.由反函数定义有.,小结:利用反函数的概念,在不同式子间建立联系,此题考查对反函数概念的理解,符号间关系的理解.两函数互为反函数, 确定两函数的解析式例2 若函数的值.与函数互为反函数,求分析:常规思路是根据已知条件布列关于布列?如果注意到g(x)的定义域、值域已知,又义域与值域互换,有如下解法:的三元方程组,关键是如何与g(x)互为反函数,其定解:∵g(x)的定义域为.且,的值域为又∵g(x) 的定义域就是∵g(x) 的值域为的值域, ∴,.由条件可知∴.的定义域是, ,∴.令, 则即点(3,1) 在的图象上.又∵与g(x) 互为反函数,的对称点(1,3) 必在g(x)的图象上.∴(3,1) 关于∴3=1+ , .故 .判断是否存在反函数例3、给出下列函数:(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) .其中不存在反函数的是__________________.分析:判断一个函数是否有反函数, 从概念上讲即看对函数值域内任意一个,依照这函数的对应法则, 自变量总有唯一确定的值与之对应, 由于这种判断难度较大, 故通常对给出的函数的图象进行观察, 断定是否具有反函数.解: (1) ,(2)都没有问题, 对于(3)当.对于(4)时,和时, 和,且.对于(5)当时, 和 .故(3),(4),(5)均不存在反函数.小结:从图象上观察, 只要看在相应的区间内是否单调即可.求复合函数的反函数例4、已知函数分析: 由于已知是找到解:令,由得. 于是有,再由,则,所求是求出, ,求的反函数.的反函数,因此应首先由的表达式, 再求反函数., ,.,由于,又,的反函数是. 的值域是, .小结:此题涉及对抽象函数符号的认识与理解, 特别是在换元过程中, 相应变量的取值范围也要随之发生改变, 这一点是学生经常忽略的问题.原来的函数与反函数解析式相同求系数例5、已知函数试指出与其反函数是同一个一次函数,的所有取值可能.的反函数的解析式,与分析:此题可以有两种求解思路:一是求解比较, 让对应系数相等, 列出关于的方程, 二是利用两个函数图象的对称性, 找对称点, 利用点的坐标满足解析式来列方程. 解:由上, 于是又于是知点在图象上, 则点定在的图象(1) 过点(2),则点也在的图象上,由(1)得当或,当.时, 代入(2),此时(2)恒成立即;代入(2)解得综上, 的所有取值可能有或 .小结:此题是反函数概念与方程思想的综合. 在这个题目中特殊点的选取一般是考虑计算简单方便, 而且这种取特殊点列方程的方法在其他地方也有应用, 故对此种方法要引起重视. 另外此题在最后作答时, 要求写出的所有取值可能即要把的取值与的取值搭配在一起, 所以解方程组时要特别小心这一点. 选题角度:反函数图象关系、将反函数问题转化为原函数、利用性质求解析式、两函数互为反函数,确定两函数的解析式判断是否存在反函数、求出反函数解析式解关于反函数的不等式、求复合函数的反函数、由原来函数运算关系证明反函数运算。
反函数练习附答案
13.已知函数f(x)的定义域为[-1,1],值域为[-3,3],其反函数为1(x),则1(32)的定义域为,值域为.
解析:由于函数f(x)的定义域为[-1,1],值域为[-3,3],所以其反函数1(x)的定义域为[-3,3],值域为[-1,1].所以由-3≤32≤3,解得 ≤x≤ .
3.若函数y=f(1)的图象与函数 的图象关于直线y=x对称,则f(x)等于()
212x2122
解析:由函数y=f(1)的图象与函数 的图象关于直线y=x对称,可知y=f(1)与 互为反函数,有 x=e22,所以y=e22 y=f(1)=e22.故f(x)=e2x.答案
4.已知函数f(x)=231(x)是f(x)的反函数,若=16(∈),则1(m)1(n)的值为( )
又y=f(x)与y=1(x)关于y=x对称=x沿向量(-1,2)平移得到y=3,
∴y=f(1)+2与y=1(1)+2关于y=3对称.答案=3
三、解答题
15.已知函数 (x)=1(),求g(x).
解:由 ,得=1,∴ ,即 ,∴g(x)=1()= .
16.已知函数f(x)=2( )(a>0且a≠1).
8.设0<a<1,函数 ,则函数1(x)<1的x的取值范围是( )
A.(0,2) B.(2∞) C.(0∞) D.((2)∞)
解析(x)在(0,2)上是减函数,所以x>f(1)=0.故选C.
9.设函数为y=f(x)的反函数为y=1(x),将y=f(23)的图象向左平移2个单位,再作关于x轴的对称图形所对应的函数的反函数是( )
初三数学下册反函数练习题
初三数学下册反函数练习题反函数是数学中一个重要的概念,在初三数学下册中也有一些关于反函数的练习题。
下面将通过一些例题,帮助大家更好地理解和掌握相关知识。
1.已知函数f(x) = 2x + 3,求其反函数f^{-1}(x)。
解答:首先,我们将f(x)表示为y = 2x + 3。
然后,交换x和y的位置,得到x = 2y + 3。
接下来,将此方程关于y解出,得到y = \frac{{x -3}}{2}。
最后,将y替换为f^{-1}(x),得到反函数f^{-1}(x) = \frac{{x - 3}}{2}。
2.已知函数g(x) = \sqrt{x},求其反函数g^{-1}(x)。
解答:类似地,我们将g(x)表示为y = \sqrt{x},然后将x和y的位置交换,得到x = \sqrt{y}。
为了解出y,我们两边平方,得到x^2 = y。
最后,将y替换为g^{-1}(x),得到反函数g^{-1}(x) = x^2。
3.已知函数h(x) = \frac{1}{x + 2},求其反函数h^{-1}(x)。
解答:将h(x)表示为y = \frac{1}{x + 2},交换x和y的位置,得到x =\frac{1}{y + 2}。
我们可以通过一系列的步骤将y解出来。
首先,将x的分母移至等号右侧,得到xy + 2x = 1。
然后,将y的系数提取出来,得到xy = 1 - 2x。
最后,将y替换为h^{-1}(x),得到反函数h^{-1}(x) = \frac{1 - 2x}{x}。
通过上面几个例题,我们可以看到,求一个函数的反函数主要是通过将函数的自变量和因变量进行交换,并解出关于自变量的方程来得到反函数的表达式。
反函数在数学中有着广泛的应用。
它可以用于解决方程、求解逆运算以及构建函数的复合和函数图像的翻转等问题。
因此,掌握反函数的概念和求解方法对于学习数学和解题都是非常重要的。
当然,反函数也有着一些限制条件。
在求反函数时,要确保原函数是一一对应的,并且反函数在定义域和值域上是有定义的。
反函数(练习+详细答案)
提能拔高限时训练7 反函数一、选择题1.若y =f(x)有反函数,则方程f(x)=a(a 为常数)的实根的个数为( )A.无实数根B.只有一个实数根C.至多有一个实数根D.至少有一个实数根解析:y =f(x)存在反函数,则x 与y 是“一对一”的.但a 可能不在值域内,因此至多有一个实根. 答案:C2.设函数y =f(x)的反函数y =f -1(x),若f(x)=2x ,则f -1(21)的值为( ) A.2 B.1 C.21 D.-1 解析:令f(x)=2x =21,则x =-1,故f -1(21)=-1,故选D. 答案:D3.若函数y =f(x-1)的图象与函数1ln +=x y 的图象关于直线y =x 对称,则f(x)等于…( )A.e 2x-1B.e 2xC.e 2x+1D.e 2x+2 解析:由函数y =f(x-1)的图象与函数1ln+=x y 的图象关于直线y =x 对称,可知y =f(x-1)与1ln +=x y 互为反函数,有1ln +=x y ⇒1ln -=y x ⇒1-=y e x ⇒x =e 2y-2,所以y =e 2x-2⇒y =f(x-1)=e 2x-2.故f(x)=e 2x .答案:B4.已知函数f(x)=2x+3,f -1(x)是f(x)的反函数,若mn =16(m,n ∈R +),则f -1(m)+f -1(n)的值为( )A.-2B.1C.4D.10 解析:设y =2x+3,则有x+3=log 2y,可得f -1(x)=log 2x-3.于是f -1(m)+f -1(n)=log 2m+log 2n-6=log 2mn-6=-2.答案:A5.设函数x x f -=11)((0≤x <1)的反函数为f -1(x),则( )A.f -1(x)在其定义域上是增函数且最大值为1B.f -1(x)在其定义域上是减函数且最小值为0C.f -1(x)在其定义域上是减函数且最大值为1D.f -1(x)在其定义域上是增函数且最小值为0解析:由x x f -=11)((0≤x <1),得该函数是增函数,且值域是[1,+∞),因此其反函数f -1(x)在其定义域上是增函数,且最小值是0.答案:D6.函数⎩⎨⎧<-≥=0,,0,22x x x x y 的反函数是( )A.⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0,0,2x x x x y B.⎩⎨⎧<-≥=0,0,2x x x x y C.⎪⎩⎪⎨⎧<--≥=0,0,2x x x x y D.⎩⎨⎧<--≥=0,0,2x x x x y解析:当x ≥0时,y =2x,且y ≥0, ∴2)(1x x f =-(x ≥0). 当x <0时,y =-x 2且y <0, ∴x x f --=-)(1(x <0).∴函数⎩⎨⎧<-≥=0,,0,22x x x x y 的反函数是⎪⎩⎪⎨⎧<--≥=.0,,0,2x x x x y 答案:C7.(2009北京东城期末检测,7)已知函数24)(x x f --=在区间M 上的反函数是其本身,则M 可以是( )A.[-2,-1]B.[-2,0]C.[0,2]D.[-1,0] 解析:画出函数24)(x x f --=; 由24x y --=得y 2=4-x 2且y ≤0,即x 2+y 2=4,y ≤0,所以图象是以(0,0)为圆心,以2为半径的圆在x 轴下方的部分(包括点(±2,0));又y =f(x)在区间M 上反函数是其本身,故y =f(x)图象自身关于y =x 对称,故区间M 可以是[-2,0].答案:B8.设0<a <1,函数)2(log log )(1x x x f aa -+=,则函数f -1(x)<1的x 的取值范围是( )A.(0,2)B.(2,+∞)C.(0,+∞)D.(log a (2-a),+∞) 解析:f(x)在(0,2)上是减函数,所以x >f(1)=0.故选C.答案:C9.设函数为y =f(x)的反函数为y =f -1(x),将y =f(2x-3)的图象向左平移2个单位,再作关于x 轴的对称图形所对应的函数的反函数是( ) A.21)(1--=-x f y B.2)(11x f y --=- C.2)(1x f y -= D.21)(-=x f y解析:由题意知,最后得到的图形对应的函数可以表示为y =-f [2(x+2)-3]=-f(2x+1),即-y =f(2x+1),2x+1=f -1(-y),21)(1--=-y f x ,故所求函数的反函数是21)(1--=-x f y . 答案:A 10.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤-=,1,13,1,12)(x x x x x x f 若函数y =g(x)的图象与函数y =f -1(x-1)的图象关于直线y =x 对称,则g(11)的值是( ) A.512 B.913 C.513 D.1115 解析:∵函数y =g(x)的图象与函数y =f -1(x-1)的图象关于直线y =x 对称,∴函数y =g(x)与函数y =f -1(x-1)互为反函数.由g(11)得f -1(x-1)=11,∴x-1=f(11),即x =f(11)+1.∵57)11(=f ,∴512)11(=g . 答案:A二、填空题11.设f(x)=x 5-5x 4+10x 3-10x 2+5x+1,则f(x)的反函数为f -1(x)=_____________.解析:∵f(x)=(x-1)5+2, ∴12)(51+-=-x x f .答案:125+-x12.若函数)54(541≠++=a x ax y 的图象关于直线y =x 对称,则a =_________. 解析:∵54≠a , ∴541++=x ax y 不是常函数,且存在反函数. 在f(x)的图象上取一点(0,51),它关于y =x 的对称点(51,0)也在函数f(x)的图象上,可解得a =-5.答案:-513.已知函数f(x)的定义域为[-1,1],值域为[-3,3],其反函数为f -1(x),则f -1(3x-2)的定义域为___________,值域为____________.解析:由于函数f(x)的定义域为[-1,1],值域为[-3,3],所以其反函数f -1(x)的定义域为[-3,3],值域为[-1,1].所以由-3≤3x-2≤3,解得31-≤x ≤35.故函数f -1(3x-2)的定义域为[31-,35],值域为[-1,1].答案:[31-,35] [-1,1] 14.(2009河南南阳期末质检,14)定义在R 上的函数y =f(x)有反函数,则函数y =f(x+1)+2与y =f -1(x+1)+2的图象关于直线__________对称.解析:函数y =f(x)沿向量(-1,2)平移得到函数y =f(x+1)+2,函数y =f -1(x)沿向量(-1,2)平移得到函数y =f -1(x+1)+2,又y =f(x)与y =f -1(x)关于y =x 对称,y =x 沿向量(-1,2)平移得到y =x+3,∴y =f(x+1)+2与y =f -1(x+1)+2关于y =x+3对称.答案:y =x+3三、解答题15.已知函数11)(-+=x x x f ,g(x)=f -1(-x),求g(x). 解: 由11-+=x x y ,得xy-y =x+1, ∴11-+=y y x ,即11)(1-+=-x x x f . ∴g(x)=f -1(-x)=11+-x x . 16.已知函数f(x)=2(1121+-x a )(a >0且a≠1). (1)求函数y =f(x)的反函数y =f -1(x);(2)判定f -1(x)的奇偶性;(3)解不等式f -1(x)>1.解:(1)化简,得11)(+-=x x a a x f . 设11+-=x x a a y ,则y y a x -+=11. ∴yy x a -+=11log . ∴所求反函数为xx x f y a-+==-11log )(1(-1<x <1). (2)∵)(11log )11(log 11log )(111x f x x x x x x x f a a a ----=-+-=-+=+-=-, ∴f -1(x)是奇函数. (3)111log >-+xx a . 当a >1时, 原不等式⇒a x x >-+11⇒011)1(<--++x a x a . ∴11+-a a <x <1.当0<a <1时,原不等式⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+<-+,011,11xx a x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧<<->+-<.11,111x x a a x 或 ∴-1<x <aa +-11. 综上,当a >1时,所求不等式的解集为(11+-a a ,1); 当0<a <1时,所求不等式的解集为(-1,11+-a a ). 教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=,0,1,0,0,0,1)(x x x x f 若g(x)=(x-1)2f(x-1),y =g(x)的反函数为y =g -1(x),则g(-1)·g -1(-4)=___________.解析:由题意得⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=-.1,1,1,0,1,1)1(x x x x f∴g(x)=(x-1)2f(x-1)=⎪⎩⎪⎨⎧<--=>-.1,)1(,1,0,1,)1(22x x x x x设g(x)=-4,可得-(x-1)2=-4且x <1,解得x =-1.∴g(-1)=-4.∴g -1(-4)=-1.∴g(-1)·g -1(-4)=-4×(-1)=4.答案:4【例2】 已知f(x)是定义在R 上的函数,它的反函数为f -1(x).若f -1(x+a)与f(x+a)互为反函数且f(a)=a(a 为非零常数),则f(2a)=____________.解析:设y =f -1(x+a),则x =f(y)-a,即y =f -1(x+a)的反函数为y =f(x)-a,∴f(x+a)=f(x)-a. 令x =a,得f(2a)=f(a)-a =a-a =0.答案:0。
最全反函数概念·典型例题精析完整版.doc
2.4 反函数·例题解析【例1】求下列函数的反函数:(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2=≠-.=-+,∈-∞,.352112x x -+ (3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0)(0x 1)=≤.=-≤≤-<≤112x x +⎧⎨⎪⎩⎪ 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵=≠-,∴≠,由=得-=--,∴=所求反函数为=≠.35211232352153253232x x x x y y y y -+-++-+-解 (2)∵y =(x -1)2+2,x ∈(-∞,0]其值域为y ∈[2,+∞),由=-+≤,得-=-,即=-∴反函数为=-,≥.y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵=≤,它的值域为<≤,由=得=-,∴反函数为=-<≤.11111122x x yy xx++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由=-≤≤,得值域≤≤,反函数=-≤≤.由=-<≤,x x +-1 得值域-≤<,反函数=-≤<,故所求反函数为=-≤≤-≤<.1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1)x(1x 0)1222-⎧⎨⎪⎩⎪x【例2】求出下列函数的反函数,并画出原函数和其反函数的图像.(1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2=-=--≤x -1解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1,∴值域为y ≥-1,由=-,得反函数=++≥-.函数=-与它的反函数=++的图像如图.-所示.y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11解 (2)由y =-3x 2-2(x ≤0)得值域y ≤-2,反函数=-≤-.f (x)(x 2)1--+x 23它们的图像如图2.4-2所示.【例3】已知函数=≠-,≠.f(x)(x a a )3113x x a ++ (1)求它的反函数;(2)求使f -1(x)=f(x)的实数a 的值.解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设=,∴≠-,∵+=+,-=-,这里≠,31x x a ++若=,则=这与已知≠矛盾,∴=,,即反函数=.y 3a a x f (x)113131313-----ay y ax x(2)f(x)f (x)x 1若=,即=对定义域内一切的值恒成立,-++--3113x x a axx 令x =0,∴a =-3.或解 由f(x)=f -1(x),那么函数f(x)与f -1(x)的定义域和值域相同,定义域是{x|x ≠a ,x ∈R },值域y ∈{y|y ≠3,y ∈R },∴-a =3即a =-3.【例4】已知函数==中,、、、均不为零,y f(x)a b c d ax bcx d++试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时,它的反函数仍是自身.解 f(x)bc ad 0f (x)x 1=+,∵常数函数没有反函数,∴-≠.又=,要使=,对定义域内一切值恒成立,a c bc adc cxd dx bcx adx b cx a ax b cx d-+-+--+-++-()令x =0,得-a =d ,即a +d =0.事实上,当a +d =0时,必有f -1(x)=f(x), 因此所求的条件是bc -ad ≠0,且a +d =0.【例5】设点M(1,2)既在函数f(x)=ax 2+b(x ≥0)的图像上,又在它的反函数图像上,(1)求f -1(x),(2)证明f -1(x)在其定义域内是减函数.解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f (x)(x )221由=+=+得=-=,∴=-+≥由=-+≥得反函数=≤.⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪--1373137313737373x设<≤,∴->-≥,∴>,即>,故在-∞,上是减函数.x x 73x 73x 0f (x )f (x )f (x)(]121211121737337312-----x x x【例6】解法一若函数=,求的值.先求函数=的反函数=,于是==--.f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x xx-+-++-+----121212112212111解法(二) 由函数y =f(x)与其反函数y =f -1(x)之间的一一对应关系,求的值,就是求=时对应的的值,∴令=,得=--,即=--.f (2)f(x)2x 2x 532f (2)53211---+x x 12【例7】已知∈,且≠,≠.设函数=∈且≠,证明=的图像关于直线=对称.a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a--111证 y a 0a 1(ay 1)x y 1ay 10y a 1a 1由=,≠,≠,得-=-,如果-=,则=,∴=得=,这与已知≠矛盾,x ax aa x ax ----111111∴-≠,故=,∴=,即证得=的反函数就是它本身.ay 10x f (x)f(x)1y ay x ax x ax -------111111因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y =x 对称, ∴函数y =f(x)的图像关于直线y =x 对称.赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠.(1)求证:该抛物线与x 轴有两个不同的交点;(2)过点(0)P n ,作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B (点A 在点P 的左边),是否存在实数m n ,,使得2AP PB =?若存在,则求出m n ,满足的条件;若不存在,请说明理由.答案:解:(1)证法1:22229224m y x mx m x m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭,当0m ≠时,抛物线顶点的纵坐标为2904m -<, ∴顶点总在x 轴的下方.而该抛物线的开口向上,∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点.(或者,当0m ≠时,抛物线与y 轴的交点2(02)m -,在x 轴下方,而该抛物线的开口向上,∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点.)证法2 :22241(2)9m m m ∆=-⨯⨯-=,当0m ≠时,290m >,∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点.(2)存在实数m n ,,使得2AP PB =.设点B 的坐标为()t n ,,由2AP PB =知,①当点B 在点P 的右边时,0t >,点A 的坐标为(2)t n -,,且2t t -,是关于x的方程222x mx m n +-=的两个实数根.2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>,即294n m >-.且(2)t t m +-=-(I ),2(2)t t m n -=--(II )由(I )得,t m =,即0m >.将t m =代入(II )得,0n =.∴当0m >且0n =时,有2AP PB =.②当点B 在点P 的左边时,0t <,点A 的坐标为(2)t n ,, 且2t t ,是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根.2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>,即 294n m >-.且2t t m +=-(I ),222t t m n =--(II ) 由(I )得,3mt =-,即0m >. 将3m t =-代入(II )得,2209n m =-且满足294n m >-. ∴当0m >且2209n m =-时,有2AP PB =第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下,滑下的距离S (米)与时间t (秒)间的关系式为210S t t =+,若滑到坡底的时间为2秒,则此人下滑的高度为( ) A.24米 B.12米C.米 D.6米答案:B第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶,由历年来市场销售行情知道,从每年的3月25日起的180天内,绿茶市场销售单价y (元)与上市时间t (天)的关系可以近似地用如图(1)中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z (元)与上市时间t (天)的关系可以近似地用如图(2)的抛物线表示.函数关系式;(2)求出图(2)中表示的种植成本单价z (元)与上市时间t (天)(0t >)的函数关系式;(3)认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价,问何时上市的绿茶纯收益单价最大?(说明:市场销售单价和种植成本单价的单位:元/500克.)答案:解:(1)依题意,可建立的函数关系式为:2160(0120)380(120150)220(150180)5t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪=<⎨⎪⎪+⎩,,. ≤ ≤≤ (2)由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+. 图象过点85(60)3,,2851(60110)203300a a ∴=-+∴=.. ) 图(1)90 图(2)90天21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >. (3)设纯收益单价为W 元,则W =销售单价-成本单价.故22221160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪⎪=---<⎨⎪⎪+---⎪⎩,,. ≤ ≤≤ 化简得2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩,,. ≤ ≤≤①当21(10)100(0120)300W t t =--+<<时,有10t =时,W 最大,最大值为100;②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时,由图象知,有120t =时,W 最大,最大值为2593; ③当21(170)56(150180)300W t t =--+≤≤时,有170t =时,W 最大,最大值为56.综上所述,在10t =时,纯收益单价有最大值,最大值为100元.第13题如图,足球场上守门员在O 处开出一高球,球从离地面1米的A 处飞出(A 在y 轴上),运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ,距地面约4米高,球落地后又一次弹起.据实验,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半. (1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式.(2)足球第一次落地点C距守门员多少米?(取7=)(3)运动员乙要抢到第二个落点D,他应再向前跑多少米?(取5=)答案:解:(1)(3抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+. 由已知:当0x =时1y =. 即1136412a a =+∴=-,. ∴表达式为21(6)412y x =--+.(或21112y x x =-++) (2)(3分)令210(6)4012y x =--+=,.212(6)4861360x x x ∴-===-<.≈,(舍去). ∴足球第一次落地距守门员约13米.(3)(4分)解法一:如图,第二次足球弹出后的距离为CD根据题意:CD EF =(即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位)212(6)412x ∴=--+解得1266x x =-=+ 1210CD x x ∴=-=. 1361017BD ∴=-+=(米). 解法二:令21(6)4012x --+=.解得16x =-(舍),2613x =+.∴点C 坐标为(13,0).设抛物线CND 为21()212y x k =--+.将C 点坐标代入得:21(13)2012k --+=.解得:11313k =-<(舍去),2667518k =+++=.21(18)212y x =--+ 令210(18)212y x ==--+,0.118x =-,21823x =+. 23617BD ∴=-=(米). 解法三:由解法二知,18k =, 所以2(1813)10CD =-=, 所以(136)1017BD =-+=. 答:他应再向前跑17米.第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜.通过调查得知:平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元;购置滴灌设备,这项费用(万元)与大棚面积(公顷)的平方成正比,比例系数为0.9;另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元.每公顷蔬菜年均可卖7.5万元.(1)基地的菜农共修建大棚x (公顷),当年收益(扣除修建和种植成本后)为y (万元),写出y 关于x 的函数关系式.(2)若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益,工作组应建议他修建多少公项大棚.(用分数表示即可)(3)除种子、化肥、农药投资只能当年受益外,其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用.如果按3年计算,是否修建大棚面积越大收益越大?修建面积为多少时可以得到最大收益?请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议.答案:(1)()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+. (2)当20.9 4.55x x -+=时,即2945500x x -+=,153x =,2103x =从投入、占地与当年收益三方面权衡,应建议修建53公顷大棚. (3)设3年内每年的平均收益为Z (万元)()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+(10分) 不是面积越大收益越大.当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益.建议:①在大棚面积不超过10.5公顷时,可以扩大修建面积,这样会增加收益. ②大棚面积超过10.5公顷时,扩大面积会使收益下降.修建面积不宜盲目扩大.③当20.3 6.30x x -+=时,10x =,221x =.大棚面积超过21公顷时,不但不能收益,反而会亏本.(说其中一条即可)第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品,每件的生产成本为18元,按定价40元出售,每月可销售20万件.为了增加销量,公司决定采取降价的办法,经市场调研,每降价1元,月销售量可增加2万件.(1)求出月销售量y (万件)与销售单价x (元)之间的函数关系式(不必写x 的取值范围);(2)求出月销售利润z (万元)(利润=售价-成本价)与销售单价x (元)之间的函数关系式(不必写x 的取值范围);(3)请你通过(2)中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围,使月销售利润不低于480万元.答案:略.第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长为8m ,宽为2m ,隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ,建立如图所示的坐标系 (1)求抛物线的解析式;(2)一辆货车高4m ,宽2m ,能否从该隧道内通过,为什么?(3)如果隧道内设双行道,那么这辆货车是否可以顺利通过,为什么?答案:(1)由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ,,,,,设抛物线的方程为2y ax bx c =++ 将A P D ,,三点的坐标代入抛物线方程. 解得抛物线方程为21224y x x =-++ (2)令4y =,则有212244x x -++=解得1244x x =+=-212x x -=>∴货车可以通过.(3)由(2)可知21122x x -=> ∴货车可以通过.第17题如图,在矩形ABCD 中,2AB AD =,线段10EF =.在EF 上取一点M ,分别以EM MF ,为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ,使矩形MFGN ∽矩形ABCD .令M N x =,当x 为何值时,矩形EMNH 的面积S 有最大值?最大值是多少?答案:解:矩形MFGN ∽矩形ABCD , MN MFAD AB∴=.B A D MF2AB AD MN x ==,,2MF x ∴=.102EM EF MF x ∴=-=-.(102)S x x ∴=-2210x x =-+ 2525222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.∴当52x =时,S 有最大值为252.第18题某企业信息部进行市场调研发现:信息一:如果单独投资A 种产品,则所获利润A y (万元)与投资金额x (万元)之间存在正比例函数关系:A y kx =,并且当投资5万元时,可获利润2万元.信息二:如果单独投资B 种产品,则所获利润B y (万元)与投资金额x (万元)之间存在二次函数关系:2B y ax bx =+,并且当投资2万元时,可获利润2.4万元;当投资4万元时,可获利润3.2万元.(1)请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式;(2)如果企业同时对A B ,两种产品共投资10万元,请你设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案能获得的最大利润是多少?答案:解:(1)当5x =时,12250.4y k k ===,,, 0.4A y x ∴=,当2x =时, 2.4B y =;当4x =时, 3.2B y =.2.4423.2164a ba b =+⎧∴⎨=+⎩ 解得0.21.6a b =-⎧⎨=⎩∴20.2 1.6B y x x =-+.(2)设投资B 种商品x 万元,则投资A 种商品(10)x -万元,获得利润W 万元,根据题意可得220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++ 20.2(3) 5.8W x ∴=--+当投资B 种商品3万元时,可以获得最大利润5.8万元,所以投资A 种商品7万元,B 种商品3万元,这样投资可以获得最大利润5.8万元.第19题如图所示,图(1)是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图,拱高为30m ,支柱3350m A B =,5根支柱1122334455A B A B A B A B A B ,,,,之间的距离均为15m ,1515B B A A ∥,将抛物线放在图(2)所示的直角坐标系中. (1)直接写出图(2)中点135B B B ,,的坐标; (2)求图(2)中抛物线的函数表达式; (3)求图(1)中支柱2244A B A B ,的长度.答案:(1)1(30)B -,0,3(030)B ,,5(300)B ,; (2)设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+,把3(030)B ,代入得(030)(030)30y a =-+=. 130a =-∴.BB 图(1)图(2)l∵所求抛物线的表达式为:1(30)(30)30y x x =--+. (3)4B ∵点的横坐标为15, 4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=. 3350A B =∵,拱高为30, ∴立柱44458520(m)22A B =+=. 由对称性知:224485(m)2A B A B ==。
反函数练习(含详细解析)
反函数练习(含详细解析)反函数练习一.填空题1.若f(x)=(x﹣1)2(x≤1),则其反函数f﹣1(x)=.2.定义在R上的函数f(x)=2x﹣1的反函数为y=f﹣1(x),则f﹣1(3)=3.若函数f(x)=x a的反函数的图象经过点(,),则a=.4.已知函数f(x)=2x﹣1的反函数是f﹣1(x),则f﹣1(5)=.5.函数y=x2+2(﹣1≤x≤0)的反函数是f﹣1(x)=.6.已知函数f(x)=2x+m,其反函数y=f﹣1(x)图象经过点(3,1),则实数m 的值为.7.设f﹣1(x)为的反函数,则f﹣1(1)=.8.函数f(x)=x2,(x<﹣2)的反函数是.9.函数的反函数是.10.函数y=x2+3(x≤0)的反函数是.11.设函数f(x)=3x,若g(x)为函数f(x)的反函数,则g (1)=.12.设函数y=f(x)存在反函数y=f﹣1(x),且函数y=x ﹣f(x)的图象经过点(2,5),则函数y=f﹣1(x)+3的图象一定过点.13.函数(x≤0)的反函数是.14.已知函数,则=.15.函数的反函数为f﹣1(x)=.16.函数的反函数的值域是.17.函数f(x)=x2﹣2(x<0)的反函数f﹣1(x)=.18.设f(x)=4x﹣2x+1(x≥0),则f﹣1(0)=.19.若函数y=ax+8与y=﹣x+b的图象关于直线y=x对称,则a+b=.20.已知函数f(x)=log2(x2+1)(x≤0),则f﹣1(2)=.参考答案一.填空题(共20小题)1.1﹣(x≥0);2.2;3.;4.3;5.,x∈[2,3];6.1;7.1;8.;9.f﹣1(x)=(x﹣1)2(x≥1);10.y=﹣(x ≥3);11.0;12.(﹣3,5);13.(x≥﹣1);14.﹣2;15.,(x∈(0,1));16.;17.(x>﹣2);18.1;19.2;20.﹣;。
反函数典型例题
反函数求值例1、设有反函数,且函数与互为反函数,求的值.分析:本题对概念要求较强,而且函数不具体,无法通过算出反函数求解,所以不妨试试“赋值法”,即给变量一些适当的值看看能得到什么后果.解:设,则点在函数的图象上,从而点在函数的图象上,即.由反函数定义有,这样即有,从而.小结:利用反函数的概念,在不同式子间建立联系,此题考查对反函数概念的理解,符号间关系的理解.两函数互为反函数,确定两函数的解析式例2 若函数与函数互为反函数,求的值.分析:常规思路是根据已知条件布列关于的三元方程组,关键是如何布列?如果注意到g(x)的定义域、值域已知,又与g(x)互为反函数,其定义域与值域互换,有如下解法:解:∵ g(x)的定义域为且,的值域为.又∵g(x) 的定义域就是的值域, ∴.∵g(x) 的值域为 ,由条件可知的定义域是 , ,∴.∴.令, 则即点(3,1) 在的图象上.又∵与g(x) 互为反函数,∴ (3,1) 关于的对称点(1,3) 必在g(x)的图象上.∴ 3=1+ , .故 .判断是否存在反函数例3、给出下列函数:(1); (2); (3);(4); (5) .其中不存在反函数的是__________________.分析:判断一个函数是否有反函数,从概念上讲即看对函数值域内任意一个 ,依照这函数的对应法则,自变量总有唯一确定的值与之对应,由于这种判断难度较大,故通常对给出的函数的图象进行观察,断定是否具有反函数.解: (1) ,(2)都没有问题,对于(3)当时,和 ,且.对于(4)时,和 .对于(5)当时,和 .故(3),(4),(5)均不存在反函数.小结:从图象上观察,只要看在相应的区间内是否单调即可.求复合函数的反函数例4、已知函数 , ,求的反函数.分析: 由于已知是 ,所求是的反函数,因此应首先由找到 ,再由求出的表达式,再求反函数.解:令 ,则, , ,.于是有 .由得 ,由于 ,.又 ,的值域是 ,的反函数是 .小结:此题涉及对抽象函数符号的认识与理解,特别是在换元过程中,相应变量的取值范围也要随之发生改变,这一点是学生经常忽略的问题.原来的函数与反函数解析式相同求系数例5、已知函数与其反函数是同一个一次函数 ,试指出的所有取值可能.分析:此题可以有两种求解思路:一是求解的反函数的解析式,与比较, 让对应系数相等,列出关于的方程,二是利用两个函数图象的对称性,找对称点,利用点的坐标满足解析式来列方程.解:由知点在图象上,则点定在的图象上,于是 (1)又过点 ,则点也在的图象上,于是 (2)由(1)得或 ,当时,代入(2),此时(2)恒成立即 ;当代入(2)解得 .综上, 的所有取值可能有或 .小结:此题是反函数概念与方程思想的综合.在这个题目中特殊点的选取一般是考虑计算简单方便,而且这种取特殊点列方程的方法在其他地方也有应用,故对此种方法要引起重视.另外此题在最后作答时,要求写出的所有取值可能即要把的取值与的取值搭配在一起,所以解方程组时要特别小心这一点.选题角度:反函数图象关系、将反函数问题转化为原函数、利用性质求解析式、两函数互为反函数,确定两函数的解析式判断是否存在反函数、求出反函数解析式解关于反函数的不等式、求复合函数的反函数、由原来函数运算关系证明反函数运算。
反函数练习题(打印版)
反函数练习题(打印版)### 反函数练习题#### 一、选择题1. 若函数 \( f(x) = 2x + 3 \) 的反函数是 \( f^{-1}(x) \),求\( f^{-1}(-1) \) 的值。
- A. -5- B. -3- C. 0- D. 12. 已知 \( g(x) = x^2 \) 的反函数是 \( g^{-1}(x) \),求\( g^{-1}(4) \) 的值。
- A. 2- B. -2- C. 4- D. ±23. 函数 \( h(x) = \log_{10} x \) 的反函数是 \( h^{-1}(x) \),求 \( h^{-1}(100) \) 的值。
- A. 2- B. 3- C. 4- D. 5#### 二、填空题4. 函数 \( f(x) = \sqrt{x + 1} \) 的反函数是 \( f^{-1}(x) \),当 \( x = 4 \) 时,求 \( f^{-1}(x) \) 的值。
5. 若 \( y = 3^x \),求 \( x \) 关于 \( y \) 的反函数表达式。
6. 函数 \( s(x) = \frac{1}{x} \) 的反函数是 \( s^{-1}(x) \),当 \( x = 0.5 \) 时,求 \( s^{-1}(x) \) 的值。
#### 三、解答题7. 已知函数 \( p(x) = 4x - 1 \),求其反函数,并计算 \( p^{-1}(5) \)。
8. 函数 \( q(x) = 2^x \) 有反函数吗?如果有,请写出其反函数,并计算 \( q^{-1}(8) \)。
9. 函数 \( r(x) = 5x + 7 \) 的反函数是 \( r^{-1}(x) \),求\( r^{-1}(12) \)。
#### 四、应用题10. 某工厂生产的产品数量与价格之间的关系由函数 \( v(x) = 100 - 0.5x \) 表示,其中 \( x \) 表示产品数量,\( v \) 表示价格。
高三数学反函数试题
高三数学反函数试题1.若函数是函数的反函数,则的值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意知,因此,故选B.【考点】1.反函数;2.对数的运算2.已知函数存在反函数,若函数的图像经过点,则的值是___________.【答案】2【解析】本题关键是出函数的反函数,由得,,即函数的反函数为,那么这个反函数图象一定过点,所以,.【考点】反函数的性质与求反函数.3.若函数的反函数为,则.【答案】1【解析】求,可以先求出,再求值,当然我们可以根据反函数的定义,通过解方程来求,令,解得,故.【考点】反函数.4.设方程与方程 (其中e是自然对数的底数)的所有根之和为,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】的根即和交点横坐标;的根即和交点横坐标,在同一直角坐标系中,画出函数图象,因为和互为反函数,其图象关于对称,故与直线的交点亦关于对称,则两个交点关于原点对称,所以.【考点】1、指数函数和对数函数的图象和性质;2、反函数.5.把函数f(x)的图象向右平移一个单位长度,所得图象恰与函数的反函数图像重合,则f(x)=()A.B.C.D.【答案】D【解析】将函数的图像向右平移一个单位长度变为,函数的反函数是,则有,设,则,所以,即函数.【考点】1.反函数;2.函数图像的平移变换6.函数的图象与函数的图象关于直线对称,则 .【答案】.【解析】由反函数的定义知,函数(且)与函数(且)的图象关于直线对称,则.【考点】反函数的定义7.若函数是函数且的反函数,且函数的图像经过点,则____________.【答案】【解析】函数且的反函数是,又因为图像经过点,,解得:,所以.【考点】本题反函数的定义,学生的基本运算能力.8.函数的反函数()A.B.C.D.【答案】A【解析】由.∵x>0,∴y>0. ∴.故选A.【考点】反函数的求解.9.函数的反函数是.【答案】【解析】对于函数=y,则可知2x-1=2,x= (2+1),互换x,y可知得到的反函数为,故答案为【考点】反函数点评:主要是考查了反函数的解析式的求解,属于基础题。
《反函数》典型例题精析
《反函数》典型例题解析【例1】求下列函数的反函数:(1)3521x y x -=+(12x ≠-); (2)223y x x =-+((],0x ∈-∞);(3)211y x =+(0x ≤); (4)()()1001x y x -≤≤=<≤⎪⎩。
【解析】(1)∵3521x y x -=+()313213132221242x x x +-==-++, 当12x ≠-时,32y ≠; 由3521x y x -=+可得()235y x y -=--,即523y x y --=-; ∴所求反函数为523x y x --=-(32x ≠)。
(2)∵223y x x =-+()212x =-+, ∴函数在(],0-∞上单调递减,其值域为[)3,+∞;又由()212y x =-+((],0x ∈-∞)可得1x -=1x = 所以反函数为()11fx -=[)3,x ∈+∞) (3)∵211y x =+(0x ≤),其值域为01y <≤, 由211y x =+得x = 所以反函数为()1fx -=01x <≤)。
(4)由y =10x -≤≤)得值域为01y ≤≤,又由y =21x y =-,所以反函数为()121f x x -=-(01x ≤≤);由y =01x <≤)得值域为10y -≤<,且由y =2x y =,所以反函数为()12f x x -=(10x -≤<);故所求反函数为()()()212,101,01x x f x x x -⎧-≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩。
注意:分段函数的反函数一定为分段函数(由各段的反函数合并而成)。
【例2】求出下列函数的反函数,并画出原函数和其反函数的图像.(1)1y =; (2)232y x =--(0x ≤)【解析】(1)∵已知函数的定义域是[)1,+∞,且函数1y =在定义域上单调递增, ∴值域为{}1y y ≥;又由1y =可得()211x y =++,所以函数1y =的反函数为()211y x =++([)1,x ∈+∞)。
《反函数》习题精练
应用·习题精练巩固篇1.(2005辽宁高考)函数y=ln(x+12+x )的反函数是( ) A.y=2x x e e -+ B.y=-2x x e e -+ C.y=2x x e e -- D.y=-2xx e e -- 解析:由原式易得x+12+x =e y ,即12+x =e y-x, ∴x 2+1=e 2y -2x ·e y +x 2. ∴x=2yy e e --.故选C. 答案:C2.(理)(2004全国高考卷Ⅳ,理) 函数y=e 2x (x ∈R)的反函数为( ) A.y=2lnx(x>0) B.y=ln(2x)(x>0) C.y=21lnx(x>0) D.y=21ln(2x)(x>0) 解析:y=e 2x ⇔2x=lny ⇔x=21lny,x 、y 互换⇒y=21lnx(x>0). 答案:C(文)(2004全国高考卷Ⅲ,文)记函数y=1+3-x 的反函数为y=g(x),则g(10)等于( )A.2B.-2C.3D.-1解析:g(10)的值即为10=1+3-x 中x 的值⇒3-x =32,∴x=-2.答案:B3.(2004北京高考) 函数y=x 2-2ax-3在区间[1,2]上存在反函数的充要条件是( )A.a ∈(-∞,1)B.a ∈[2,+∞]C.a ∈[1,2]D.a ∈(-∞,1]∪[2,+∞) 解析:存在反函数的充要条件是函数在[1,2]上是单调函数.∴a ≤1或a ≥2.答案:D4.(2006上海春季高考) 函数f(x)=3x+5,x ∈[0,1]的反函数f -1(x)=__________________.解析:y=3x+5,∴x=35-y . ∵x ∈[0,1],∴y ∈[5,8].∴f -1(x)=35-y (x ∈[5,8]). 答案:35-y (x ∈[5,8]) 5.(2005湖南高考) 设函数f(x)的图象关于点(1,2)对称,且存在反函数f -1(x),f(4)=0,则f -1(4)=_______________.解析:由题意知f(x)满足f(x)=4-f(2-x),∴f(4)=4-f(-2).∴f(-2)=4-f(4)=4,两边作用f -1得-2=f -1(4).答案:26.已知函数f(x)=mx x +-25的图象关于直线y=x 对称,求实数m. 解:∵f(x)的图象关于直线y=x 对称,又点(5,0)在f(x)的图象上, ∴点(0,5)也在f(x)的图象上,即-m5=5,得m=-1. 7.(2006北京东城检测)(理)设函数f(x)的图象关于点(1,23)对称,且存在反函数f -1(x),若f(3)=0,则f -1(3)等于( )A.-1B.1C.-2D.2 解析:由题意分析知点(3,0)关于点(1,23)的对称点(-1,3)也在f(x)上,结合反函数的意义分析知f -1(3)=-1.故选A.答案:A(文)设函数f(x)=log a x(a>0,a ≠1)满足f(9)=2,则f -1(log 92)等于( ) A.2 B.2 C.-2 D.-2 解析:由题意知2=log a 9,∴a=3,f(x)=log 3x 的反函数为f -1(x)=3x .∴f -1(log 92)=2log 93=2.故选A.答案:A提高篇 8.求函数f(x)=x|x|+2x 的反函数.解:从所给函数知,要对x 的符号进行讨论才能求其反函数. 因此,应将f(x)写成分段函数:f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥+.02,0222x x x x x x而后在各分段上求出相应的反函数:f -1⎪⎩⎪⎨⎧<---≥++-.0,11,0,11x x x x 9.已知函数f(x)=2(21-11+x a )(a>0,且a ≠1). (1)求函数y=f(x)的反函数y=f -1(x);(2)判定f -1(x)的奇偶性;(3)解不等式f -1(x)>1.解:(1)化简,得f(x)=11+-x x a a 设y=11+-x x a a ,则a x =y y -+11.∴x=log a yy -+11. ∴所求反函数为y=f -1(x)=log a xx -+11(-1<x<1). (2)∵f -1(-x)=log a x x +-11=log a (x x -+11)-1=-log a x x -+11=-f -1(x), ∴f -1(x)是奇函数.(3)log a xx -+11>1. 当a>1时, 原不等式⇒x x -+11>a ⇒11)1(--++x a x a <0. ∴11+-a a <x<1. 当0<a<1时,原不等式⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+<-+,011,11xx a x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧<<->+-<.11,111a x a a x 或 ∴-1<x<aa +-11. 综上,当a>1时,所求不等式的解集为(11+-a a ,1); 当0<a<1时,所求不等式的解集为(-1,11+-a a ).。
(完整版)反函数基础练习含答案
反函数基础练习(一)选择题1.函数y =-x 2(x ≤0)的反函数是[ ]A y (x 0)B y (x 0)C y (x 0)D y |x|.=-≥.=≤.=-≤.=-x x x --2.函数y =-x(2+x)(x ≥0)的反函数的定义域是 [ ]A .[0,+∞)B .[-∞,1]C .(0,1]D .(-∞,0]3y 1(x 2).函数=+≥的反函数是x -2[ ]A .y =2-(x -1)2(x ≥2)B .y =2+(x -1)2(x ≥2)C .y =2-(x -1)2(x ≥1)D .y =2+(x -1)2(x ≥1)4.下列各组函数中互为反函数的是[ ]A y y xB y y 2.=和=.=和=x x x11C y y (x 1)D y x (x 1)y (x 0)2.=和=≠.=≥和=≥3131311x x x x x +-+-5.如果y =f(x)的反函数是y =f -1(x),则下列命题中一定正确的是[ ]A .若y =f(x)在[1,2]上是增函数,则y =f -1(x)在[1,2]上也是增函数B .若y =f(x)是奇函数,则y =f -1(x)也是奇函数C.若y=f(x)是偶函数,则y=f-1(x)也是偶函数D.若f(x)的图像与y轴有交点,则f-1(x)的图像与y轴也有交点6.如果两个函数的图像关于直线y=x对称,而其中一个函数是x 1y=-,那么另一个函数是[ ] A.y=x2+1(x≤0)B.y=x2+1(x≥1)C.y=x2-1(x≤0)D.y=x2-1(x≥1)7.设点(a,b)在函数y=f(x)的图像上,那么y=f-1(x)的图像上一定有点[ ] A.(a,f-1(a))B.(f-1(b),b)C.(f-1(a),a) D.(b,f-1(b))8.设函数y=f(x)的反函数是y=g(x),则函数y=f(-x)的反函数是[ ] A.y=g(-x) B.y=-g(x)C.y=-g(-x) D.y=-g-1(x)9.若f(x-1)=x2-2x+3(x≤1),则函数f-1(x)的草图是[ ]10y g(x).函数=的反函数是,则13x[ ]A .g(2)>g(-1)>g(-3)B .g(2)>g(-3)>g(-1)C .g(-1)>g(-3)>g(2)D .g(-3)>g(-1)>g(2) (二)填空题1y 32y (x 0)y f(x)y x .函数=+的反函数是..函数=>与函数=的图像关于直线=对称,x x ++2121 解f(x)=________.3.如果一次函数y =ax +3与y =4x -b 的图像关于直线y =x 对称,那a =________,b =________.4y (1x 0).函数=-<<的反函数是,反函数的定92-x义域是________.5.已知函数y =f(x)存在反函数,a 是它的定义域内的任意一个值,则f -1(f(a))=________.6y 7y (x 1)(x 1)8f(x)(x 1)f ()1.函数=的反函数的值域是..函数=≥-<的反函数是:..函数=<-,则-=.121121232x x x x ---⎧⎨⎪⎩⎪--(三)解答题1y 12f(x).求函数=+的反函数,并作出反函数的图像..已知函数=.x ax x +++252(1)求函数y =f(x)的反函数y =f -1(x)的值域;(2)若点P(1,2)是y =f -1(x)的图像上一点,求函数y =f(x)的值域.3.已知函数y =f(x)在其定义域内是增函数,且存在反函数,求证y =f(x)的反函数y =f -1(x)在它的定义域内也是增函数.4f(x)y g(x)y f (x 1).设函数=,函数=的图像是=+的图像2311x x +-- 关于y =x 对称,求g(2)的值.参考答案(一)选择题1.(C).解:函数y=-x 2(x ≤0)的值域是y ≤0,由y=-x 2得x=--,∴反函数--≤.y x f (x)=(x 0)1-2.(D).解:∵y=-x 2-2x=-(x +1)2,x ≥0,∴函数值域y ≤0,即其反函数的定义域为x ≤0.3(D)y =x 21x 2y 1y =x 2..解:∵-+,≥,∴函数值域≥,由-+1,得反函数f -1(x)=(x -1)2+1,(x ≥1).4.(B).解:(A)错.∵y=x 2没有反函数.(B)中如两个函数互为反函数.中函数+-≠的反函数是+-≠而不是+-.中函数≥的值域为≥.应是其反函数的定义域≥.但中的定义域≥,故中两函数不是互为反函数.(C)y =3x 1x (x 1)y =x 1x 3(x 3)y =3x 13x 1(D)y =x (x 1)y 1x 1y =x x 0(D)21 5.(B).解:(A)中.∵y=f(x)在[1,2]上是增函数.∴其反函数y=f -1(x)在[f(1),f(2)]上是增函数,∴(A)错.(B)对.(C)中如y=f(x)=x 2是偶函数但没有反函数.∴(C)错.(D)中如函数f(x)=x 2+1(x ≥0)的图像与y 轴有交点,但其反函数-≥的图像与轴没有交点.∴错.f -(x)=x 1(x 1)y (D)1 6(A)y =y 0f (x)=x 12..解:∵函数--的值域≤;其反函数+x 1-+1(x ≤0).选(A).7.(D).解:∵点(a ,b)在函数y=f(x)的图像上,∴点(b ,a)必在其反函数y=f -1(x)的图像上,而a=f -1(b),故点(b ,f -1(b))在y=f -1(x)的图像上.选(D).8.(B).解:∵y=f(x)的反函数是y=f -1(x)即g(x)=f -1(x),而y=f(-x)的反函数是y=-f -1(x)=-g(x),∴选(B).9.(C).解:令t=x -1.∵x ≤1,∴t ≤0,f(t)=t 2+2(t ≤0),即f(x)=x 2+2(x ≤0),值域为f(x)≥2,∴反函数f -1(x)的定义域是x ≥2,值域y ≤0,故选(C).10(B)g(x)=1x (0)33..解:∵在-∞,上是减函数,又-<-<100g(3)g(1)g(2)=120g(2)g(3)g(1)3,∴>->-而>,∴>->-.故选 (B).(二)填空题1y =3y 3y =x 6x 2.解:∵函数++的值域≥,其反函数-+x 27(x ≥3)2y =12x 1(x 0)y 1f(x)=1x2x(x 1).解:+>的值域<,其反函数-<. 3y =4x b y =14x x =ax .解:函数-的反函数是+,则++,b b41443比较两边对应项系数得,.a =14b =12 4y =9x (1x 0)y (223)2.解:函数--<<的值域∈,,反函数f -1 (x)=(223)--.反函数的定义为,.92x5.a6.[0,2)∪(2,+∞)7f (x)=x 1(x 1)1x(x 0)122.+≥-<-⎧⎨⎪⎩⎪8.-2(三)解答题1x 2y 1y =x 21=.解:∵≥-,得值域为≥.由++得反函数f x -1()(x -1)2-2,(x ≥1),其图像如右图.2.解(1):∵y=f(x)的定义域是{x|x ≠1,x ∈R ,∴y=f -1(x)的值域是{y|y ≠1,y ∈R}.解(2):∵点P(1,2)在,y=f -1(x)的图像上,点P(1,2)关于直线y=x的对称点为′,一定在的图像上,即由++得-,∴-+,其反函数-+.∵的定义域为≠-,∈,∴的值域为≠-,∈.P (21)y =f(x)=1a =f(x)=10x 2x 4f -(x)=104x 2x 1f -(x){x|x x R}y =f(x){y|y y R}112522121212a3.证明略.4f(x)=2x 3x 1f -(x)=x 3f (x 1)=11.略解;+-的反函数是+-,∴+x 2x 4x 1x 4x 1=2x =6g(2)=6+-,由+-得即.。
高一数学反函数及答案
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而 f (x + 2) = k (x + 2) + b (x ∈ R) 得反函数 y= 由” 2 和性质” 定义可知 立, 所以 即所求一次函数为 f (x) = −x + b (b ∈ R) . (3) 设 a > 0,x0 > 0,且点 (x0 , y0 ) 在 y = f (ax) 图象上, 则 (y0 , x0 ) 在函数 y = f −1 (ax) 图象上,故 x − b − 2k . k
3. 要使函数 y = x2 − 2ax + 1 在 [1, 2] 上存在反函数,则 a 的取值范围是( ) A. a ⩽ 1 B. a ⩾ 2 C. a ⩽ 1 或 a ⩾ 2 D. 1 ⩽ a ⩽ 2 m (x + n) 4. 已知函数 f (x) = ln x − (m > 0, n ∈ R) 在 (0, +∞) 上不单调,若 m − n > λ 恒成立,则实数 λ 的取 x+1 值范围为 ( ) A. [3, +∞) B. [4, +∞) C. (−∞, 3) D. (−∞, 4] 二、填空题 5. 设 f −1 (x) 为 f (x) = x 的反函数,则 f −1 (2) = 2x + 1 .
反函数 一、选择题 √ 1. 如果点 (1, 2) 同时位于函数 f (x) = ax + b + 1 及其反函数的图象上,则 a,b 的值分别为( A. a = −3,b = 6 B. a = −3,b = −6 C. a = 3,b = −6 D. a = 3,b = 6 2. 若函数 y = f (x) 的反函数是 y = g (x),f (a) = b,ab ̸= 0,则 g (b) 等于( A. a B. a−1 C. b ) D. b−1 )
(完整word版)反函数习题精选
习题优选一、选择题1.在同一坐标系中 , 图象表示同一曲线的是 ().A.与 B .与C.与 D .与2.若函数存在反函数 , 则的方程为常数 )().A.起码有一实根 B .有且仅有一实根C.至多有一实根D.没有实根3.点在函数的图象上 , 则以下各点中必在其反函数图象上的是 ().A.B.C.D.4.()的反函数是()A.() B .()C.() D.()5.设函数,,则的定义域是()A. B .C. D .6.已知,则的表达式为()A.B.C.D.7.将的图象向右平移一个单位,向上平移 2 个单位再作对于的对称图象,所得图象的函数的分析式为()A. B . C .D.8.定义在上的函数有反函数,下例命题中假命题为()A.与的图象不必定对于对称;B.与的图角对于轴对称;C.与的图象不行能有交点;D.与的图象可能有交点,有时交点个数有无量多个9.若有反函数,以下命题为真命题的是()A.若在上是增函数,则在上也是增函数;B.若在上是增函数,则在上是减函数;C.若在上是增函数,则在上是增函数;D.若在上是增函数,则在上是减函数10.设函数(),则函数的图象是()11.函数()的反函数= ()A.()B.()C.()D.()二、填空题1.求以下函数的反函数 :(1);(2);(3);(4).2.函数的反函数是_____________________.3.函数()的反函数是_________.4.函数的值域为__________.5., 则的值为_________.6.要使函数在上存在反函数,则的取值范围是_____________.7.若函数有反函数,则实数的取值范围是_____________.8.已知函数(),则为__________.9.已知的反函数为,若的图像经过点,则=________.三、解答题1.求函数的反函数.2.若点(1,2)既在函数的图象上,又在它的反函数的图象上,求,的值.3.已知,求及的分析式,并判断它们能否为同一函数.4.给定实数,且,设函数(且)证明:这个函数的图象对于直线成轴对称图形.5.若点在函数的反响函数的图象上,求.6.已知函数的定义域是,,求.7.求以下函数的值域;(1);(2).8.已知函数与的图象对于直线对称,求、的值.9.已知函数的图象对于直线对称,求的值.10.函数与的图象对于直线对称,求常数的值.11.求与函数的图象对于直线对称的图象所对应的函数.12.函数能否存在反函数,若存在,恳求出来;若不存在,请说明原因.13.设是上的增函数,而且对随意,有建立,证明.参照答案:一、1.C2.C3.D4 .C5.D6.B7.A8.C9 .C10. B11 .B二、 1.( 1); (2);(3); (4);2.3.解:由,可得,即,函数()的反函数为()4. 5 . 6 .或7.且.8 .9.b=1三、 1.解:当时,则反函数为();当时,则反函数为(),原函数的反函数为2.解:利用条件可知,( 1,2),( 2,1)两点都在函数的图象上,则,解之得3.解:由求出反函数(),则()()固然与两函数有同样的表达式,但它们的定义域不一样,故它们不是同一函数.说明:判断两个函数为同一个函数应具备两个条件:一是表达式同样;二是定义域同样.4.解:先求所给函数的反函数,由(),可得(* )若,则,又由(*)得,故,即与已知矛盾,,于是由( * )得()进而函数(且)的反函数为(且),二者完整同样,为同一个函数.因为的图象与的图象对于直线对称,故函数(且)的图象对于直线成轴对称图形.说明:证明函数对于直线成轴对称图形,分为两步:第一步,证明原函数与反函数为同一函数;第二步,利用轴对称的定义证明.5.解:由反函数的观点及题设条件可得在函数的图象上,即,解得.6.解:设,则,将其代入故(),则()说明:此题在求解过程中要注意两点:一点是注意运算次序,先求,再求;另一点是在求反函数时,两边开方,注意符号.7.解:( 1)先由可得,,故原函数的值域(2)先由可得,,故原函数的值域为说明:经过求反函数的定义域来求原函数值域的方法,常常合用于函数的分析式为一次分式的状况.8.解:,的图象对于直线对称,的反函数就是又的反函数为,故和应为同一函数,则9.10.11.解:由可得,即,即所求函数12.解:不存在反函数,原因为:已知函数不是单一函数,如取时,对应的值有两个值为,.13.解:若存在矛盾,同理可证也不行能有,有,不如设对全部,则,即有.。
关于反函数的练习题
关于反函数的练习题反函数是数学中一个常见且重要的概念,它指的是对于给定函数f(x),存在一个函数 g(x) 使得对于所有的 x 在定义域中成立 g(f(x)) = x。
反函数可以帮助我们求出原函数的逆变换,从而解决一系列实际问题。
为了更好地理解和掌握反函数的性质,下面将给出一些有关反函数的练习题,希望能够帮助读者更好地理解和应用反函数。
题目一:设函数 f(x) = 2x + 3,求反函数 g(x) 的表达式。
首先,我们先假设 g(x) = y,根据反函数的定义,我们有 f(g(x)) = x。
将 f(x) 的表达式代入得到:2g(x) + 3 = x接下来,解方程可以得到g(x) = (x - 3) / 2因此,反函数为 g(x) = (x - 3) / 2。
题目二:已知函数 f(x) = x^2 + 1,求反函数 g(x) 的表达式。
同样地,我们假设 g(x) = y,根据反函数的定义,有 f(g(x)) = x。
代入 f(x) 的表达式得到:(g(x))^2 + 1 = x接下来,解这个二次方程可以得到:g(x) = √(x - 1)题目三:已知函数 f(x) = 3x,求反函数 g(x) 的表达式。
假设 g(x) = y,根据反函数的定义,有 f(g(x)) = x。
代入 f(x) 的表达式得到:3g(x) = x解这个一次方程可以得到:g(x) = x/3通过这些练习题,我们可以发现一些反函数的性质和规律。
首先,对于线性函数 f(x) = a*x + b,其反函数的表达式为 g(x) = (x - b) / a。
这表明了线性函数与其反函数之间存在着一种简单的关系。
其次,平方函数 f(x) = x^2 的反函数是开方函数g(x) = √x。
这一结果说明了平方和开方之间存在着一种互逆的关系,通过平方操作可以获得一个数的平方,通过开方操作可以得到平方根。
最后,我们观察到常数函数 f(x) = c 的反函数也是一个常数函数 g(x) = c',其中 c 可以是任意实数,c' 是 c 的逆元。
(完整)高一反函数·典型例题精析
反函数·例题解析【例1】求下列函数的反函数:(1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2=≠-.=-+,∈-∞,.352112x x -+(3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)=≤.=-≤≤-<≤112x x +⎧⎨⎪⎩⎪ 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵=≠-,∴≠,由=得-=--,∴=所求反函数为=≠.35211232352153253232x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y =(x -1)2+2,x ∈(-∞,0]其值域为y ∈[2,+∞),由=-+≤,得-=-,即=-∴反函数为=-,≥.y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵=≤,它的值域为<≤,由=得=-,∴反函数为=-<≤.11111122x x y y x x++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由=-≤≤,得值域≤≤,反函数=-≤≤.由=-<≤,x x +-1得值域-≤<,反函数=-≤<,故所求反函数为=-≤≤-≤<.1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-⎧⎨⎪⎩⎪x【例2】求出下列函数的反函数,并画出原函数和其反函数的图像.(1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2=-=--≤x -1解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1,∴值域为y ≥-1,由=-,得反函数=++≥-.函数=-与它的反函数=++的图像如图.-所示.y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11解 (2)由y =-3x 2-2(x ≤0)得值域y ≤-2, 反函数=-≤-.f (x)(x 2)1--+x 23它们的图像如图2.4-2所示.【例3】已知函数=≠-,≠.f(x)(x a a )3113x x a ++ (1)求它的反函数;(2)求使f -1(x)=f(x)的实数a 的值.解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设=,∴≠-,∵+=+,-=-,这里≠,31x x a ++若=,则=这与已知≠矛盾,∴=,,即反函数=.y 3a a x f (x)113131313-----ay y ax x(2)f(x)f (x)x 1若=,即=对定义域内一切的值恒成立,-++--3113x x a ax x 令x =0,∴a =-3.或解 由f(x)=f -1(x),那么函数f(x)与f -1(x)的定义域和值域相同,定义域是{x|x ≠a ,x ∈R },值域y ∈{y|y ≠3,y ∈R },∴-a =3即a =-3.【例4】已知函数==中,、、、均不为零,y f(x)a b c d ax b cx d++ 试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时,它的反函数仍是自身.解 f(x)bc ad 0f (x)x 1=+,∵常数函数没有反函数,∴-≠.又=,要使=,对定义域内一切值恒成立,a c bc ad c cx d dx b cx adx b cx a ax b cx d-+-+--+-++-()令x =0,得-a =d ,即a +d =0.事实上,当a +d =0时,必有f -1(x)=f(x),因此所求的条件是bc -ad ≠0,且a +d =0.【例5】设点M(1,2)既在函数f(x)=ax 2+b(x ≥0)的图像上,又在它的反函数图像上,(1)求f -1(x),(2)证明f -1(x)在其定义域内是减函数.解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f (x)(x )221由=+=+得=-=,∴=-+≥由=-+≥得反函数=≤.⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪--1373137313737373x 设<≤,∴->-≥,∴>,即>,故在-∞,上是减函数.x x 73x 73x 0f (x )f (x )f (x)(]121211121737337312-----x x x【例6】解法一若函数=,求的值.先求函数=的反函数=,于是==--.f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x x x-+-++-+----121212112212111 解法(二) 由函数y =f(x)与其反函数y =f -1(x)之间的一一对应关系,求的值,就是求=时对应的的值,∴令=,得=--,即=--.f (2)f(x)2x 2x 532f (2)53211---+x x 12【例7】已知∈,且≠,≠.设函数=∈且≠,证明=的图像关于直线=对称.a a 0a 1f(x)(x x )y f(x)y x R R x ax a --111证 y a 0a 1(ay 1)x y 1ay 10y a 1a 1由=,≠,≠,得-=-,如果-=,则=,∴=得=,这与已知≠矛盾,x ax aa x ax ----111111 ∴-≠,故=,∴=,即证得=的反函数就是它本身.ay 10x f (x)f(x)1y ay x ax x ax -------111111因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y =x 对称,∴函数y =f(x)的图像关于直线y =x 对称.。
反函数专题含答案
反函数专题含答案学校:__________ 班级:__________ 姓名:__________ 考号:__________1. 把函数f(x)的图象向右平移一个单位长度,所得图象恰与函数y=e x的图象关于直线y=x对称,则f(x)=()A.ln(x−1)B.ln x−1C.ln(x+1)D.ln x+12. 指数函数y=a x(a>0, a≠1)的反函数图象过点(4, 2),则a=()A.3B.2C.9D.43. 已知函数y=f(x)的图象与函数y=2x+1(x>0)的图象关于直线y=x对称,则()A.f(x)=log2x−1(x>2)B.f(x)=log2x−1(x>0)C.f(x)=log2(x−1)(x>2)D.f(x)=log2(x−1)(x>0)4. 函数y=√x23−1(x≥−1)的反函数是()A.y=√(x+1)3(x≥−1)B.y=−√(x+1)3(x≥−1)C.y=√(x+1)3(x≥0)D.y=−√(x+1)3(x≥0)5. 若函数y=f(x)是函数y=2x的反函数,则f(2)的值是()A.4B.2C.1D.06. 函数y=(12)x2(x≥1)的反函数为()A.y=√log12x(0<x≤2) B.y=−√log12x(0<x≤12)C.y=√log12x(0<x≤12) D.y=−√log12x(0<x≤2)7. 函数y=log2(√x+4−2)(x>0)的反函数是()A.y=4x+2x+1(x>0)B.y=4x+2x+1(x∈R)C.y=4x+2x+2(x>0)D.y=4x+2x+2(x∈R)A.(−∞, 2]B.(−∞, −4]∪[2, +∞)C.[−2, +∞)D.(−∞, −2]∪[4, +∞)9. 已知函数y=f(x)与y=f−1(x)互为反函数,又y=f−1(x+1)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,若f(x)=log12(x2+2)(x>0),那么g(√6)等于()A.−4B.−3C.−2D.210. 已知函数f(x)=a x(a>0,a≠1)的反函数的图象经过点(√22,12).若函数g(x)的定义域为R,当x∈[−2,2]时,有g(x)=f(x),且函数g(x+2)为偶函数.则下列结论正确的是()A.g(π)<g(3)<g(√2)B.g(π)<g(√2)<g(3)C.g(√2)<g(3)<g(π)D.g(√2)<g(π)<g(3)11. 函数f(x)=xx+1(x>0)的反函数为f−1(x)=________.12. 函数y=log2(√x+4+2)(x>0)的反函数是________.13. f(x)=−√1−x(x≤1),则f−1(x)=________.14. 函数y=2x1+x(x∈(−1, +∞))图象与其反函数图象的交点为________.15. 已知函数f(x)=|1−12x4x|的反函数为f−1(x),则f−1(12)=________.16. 已知函数y=g(x)的图象与函数y=3x+1的图象关于直线y=x对称,则g(10)的值为________.17. 设f−1(x)为f(x)=3x−1+x−1,x∈[0, 1]的反函数,则y=f(x)+f−1(x)的最大值为________.18. 若函数y=2x+1x−a的图象关于直线y=x对称,则实数a的值为________.19. 若定义在R上的函数y=f(x+1)的反函数是y=f−1(x−1),且f(0)=1,则f(2006)=________.,函数y=g(x)的图象与y=f−1(x−1)的图象关于直线y= 20. 已知函数f(x)=1−2x1+xx对称,则g(x)=________.的反函数.21. 求函数y=2x2x+122. 设y=f(x)是函数y=a x−1(a>0, a≠1)的反函数,(1)试比较3f(x)与f(3x)的大小;(2)若在区间[1, 2]上的最大值比最小值大1,求实数a的值.的反函数.23. 求函数y=x−4x+424. 一次函数y=−x的图象与它的反函数的图象重合,试写出一个非一次函数的函数,使它的图象与其反函数的图象重合.25. 已知函数f(x)=3x,且f−1(18)=a+2,g(x)=3ax−4x(1)求a的值;(2)求g(x)的表达式;(3)当x∈[−1, 1]时,g(x)的值域并判断g(x)的单调性.26. 已知函数f(x)=3x−3−x,求它的反函数f−1(x).227. 已知函数f(x)=√a−3x的反函数为y=f−1(x)(1)求函数f(x)的反函数f−1(x)的解析式;(2)若y=f(x)的图象与直线y=x有交点,求实数a的取值范围;(3)判断方程f(x)=f −1(x)的实根的个数,并说明理由.28. 已知函数f(x)=log a (x +√1+x 2)(x ∈R ,a >0,a ≠1).(1)判断f(x)奇偶性;(2)若g(x)图象与曲线y =f(x)(x ≥34)关于y =x 对称,求g(x)的解析式及定义域;(3)若g(x)<5m −5−m 2对于任意的m ∈N ∗恒成立,求a 的取值范围.29. 求证:若奇函数f(x)存在反函数,则反函数必为奇函数.30. 若函数f(x)=a +1x−b 与g(x)=1+c 2x+1互为反函数,求实数a 、b 、c 的值.31. 求函数f(x)=√x 2+x(x ≤−1)的反函数.32. 求函数y ={−x +1x 2−1<x <00≤x <1的反函数.33. 求函数f(x)=√x +√1+x 23+√x −√1+x 23(x ∈R)的反函数.34. 已知函数f(x)=log a (a x −1)(a >1)且x >1,求使f(2x)=f −1(x)的x 的值.35. 若函数y =1−ax 1+ax (x ≠−1a , x ∈R)的图象关于直线y =x 对称,求a 的值.36. 已知函数f(x)=3x+1x+a (x ≠−a, a ≠13). (1)求f(x)的反函数f −1(x);(2)若函数f(x)的图象关于直线y =x 对称,求实数a 的值.(1)求f(x)的反函数图象上点(1, 0)处的切线方程;(2)证明:曲线y =f(x)与曲线y =12x 2+x +1有唯一公共点;(3)设a <b ,比较f(a)+f(b)2与f(b)−f(a)b−a 的大小,并说明理由.38. 已知函数f(x)的反函数是f −1(x),g(x)的反函数为g −1(x).(1)求证f (g(x))的反函数为g −1(f −1(x));(2)F(x)=f(−x),G(x)=f −1(−x),若F(x)是G(x)的反函数,求证:f(x)是奇函数.39. 已知函数f(x)=3x 的反函数经过点(18, a +2),设g(x)=3ax −4x 的定义域为区间[−1, 1],(1)求g(x)的解析式;(2)若方程g(x)=m 有解,求m 的取值范围;(3)对于任意的n ∈R ,试讨论方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数.40. 已知函数y =f(x)存在反函数,定义:若对给定的实数a(a ≠0),函数y =f(x +a)与y =f −1(x +a)互为反函数,则称y =f(x)满足“a 和性质”.(1)判断函数g(x)=x 2+1(x >0)是否满足“1和性质”,说明理由;(2)求所有满足“2和性质”的一次函数.参考答案与试题解析反函数专题含答案一、选择题(本题共计 10 小题,每题 3 分,共计30分)1.【答案】C【考点】反函数【解析】与函数y=e x的图象关于直线y=x对称的函数为y=ln x,只需把y=ln x向左平移一个单位长度即可.【解答】解:由题意可知与函数y=e x的图象关于直线y=x对称的函数为y=ln x,只需把y=ln x向左平移一个单位长度得到y=ln(x+1),∴f(x)=ln(x+1),故选:C2.【答案】B【考点】反函数【解析】根据反函数与原函数的定义域和值域的关系求解即可.【解答】指数函数y=a x(a>0, a≠1)的反函数图象过点(4, 2),根据反函数的值域是原函数的定义域,可知:指数函数图象过点(2, 4),可得,4=a2,解得:a=2;3.【答案】A【考点】反函数【解析】由题意可得,函数y=f(x)是函数y=2x+1(x>0)的反函数,求出函数y=2x+1(x> 0)的反函数,即可得到f(x)的解析式.【解答】解:由于函数y=f(x)的图象与函数y=2x+1(x>0)的图象关于直线y=x对称,故函数y=f(x)是函数y=2x+1(x>0)的反函数.由y=2x+1(x>0)可得x+1=log2y,x=log2y−1,y>2.故y=2x+1(x>0)的反函数为y=log2x−1 (x>2),故f(x)=log2x−1,(x>2).故选A.4.B【考点】反函数【解析】由条件求得y ≥−1,x =−√(y +1)3,把x 、y 互换,并注明反函数的定义域,即可求得反函数.【解答】解:∵ 函数y =√x 23−1(x ≥−1),y ≥−1,∴ x 2=(y +1)3,故x =−√(y +1)3,故反函数为y =−√(x +1)3(x ≥−1),故选B .5.【答案】C【考点】反函数【解析】令反函数的值 2x =2,可得x 的值,即为f(2)的值.【解答】解:根据函数与反函数的关系,令 2x =2,可得x =1,故f(2)=1,故选C .6.【答案】C【考点】反函数【解析】由y =(12)x 2(x ≥1),能导出x =√log 12y ,0<y ≤12,x ,y 互换,得到函数y =(12)x 2(x ≥1)的反函数为y =√log 12x ,0<x ≤12. 【解答】解:∵ y =(12)x 2(x ≥1),∴ x 2=log 12y ,0<y ≤12,x =√log 12y ,0<y ≤12,x ,y 互换,得到函数y =(12)x 2(x ≥1)的反函数为y =√log 12x ,0<x ≤12. 故选C .7.【答案】D【考点】【解析】根据已知中函数y=log2(√x+4−2)(x>0)的解析式及定义域,我们可以求出函数的值域,即反函数的定义域,进而将x表示成Y的函数,进而即可得到函数y=log2(√x+4−2)(x>0)的反函数.【解答】解:∵函数y=log2(√x+4−2)(x>0)则函数的值域为R又∵函数的解析式可化为:√x+4−2=2y即√x+4=2y+2即x+4=(2y+2)2即x=4y+2y+2,故函数y=log2(√x+4−2)(x>0)的反函数是y=4x+2x+2(x∈R)故选D8.【答案】D【考点】反函数【解析】函数f(x)=x2−bx+2在闭区间[−1, 2]上有反函数,只须函数f(x)=x2−bx+2在闭区间[−1, 2]上是单调函数⇔f′(x)≥0或f′(x)≤0在[−1, 2]恒成立,从而转化求函数g(x)=2x,在[−1, 2]上的最值问题解决即可.【解答】解:对函数求导可得,f′(x)=2x−b,函数f(x)=x2−bx+2在闭区间[−1, 2]上有反函数,只须函数f(x)=x2−bx+2在闭区间[−1, 2]上是单调函数即f′(x)=2x−b≥0或f′(x)=2x−b≤0在[−1, 2]恒成立即b≤2x或b≥2x在[−1, 2]上恒成立令g(x)=2x,则g(x)在[−1, 2]上的最小值为−2,最大值是g(2)=4∴a≤−2或a≥4故选D.9.【答案】A【考点】反函数【解析】求出函数f(x)的反函数,在反函数解析式中取x=x+1,然后由得到的解析式等于√6求解x的值.【解答】解:由f(x)=log12(x2+2)(x>0),得x=√(12)y−2,∴f(x)的反函数为f−1(x)=√(12)x−2(x<−1).又y=f−1(x+1)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,由√(12)x+1−2=√6,得x=−4.故g(√6)=−4.故选A.10.【答案】C【考点】反函数【解析】本题考查函数的奇偶性、反函数.【解答】解:因为函数f(x)的反函数的图象经过点(√22,12),则函数f(x)的图象经过点(12,√22),则由√22=a12,解得a=12,所以f(x)=(12)x,所以函数f(x)在定义域内为减函数.因为g(x+2)为偶函数,所以g(x+2)=g(2−x),所以g(3)=g(1+2)=g(2−1)= g(1),g(π)=g[(π−2)+2]=g(4−π).因为当x∈[−2,2]时,g(x)=f(x),所以g(x)在[−2,2]上单调递减,又4−π<1<√2,所以g(4−π)>g(1)>g(√2),即g(√2)<g(3)<g(π).故选C.二、填空题(本题共计 10 小题,每题 3 分,共计30分)11.【答案】x1−x,(x∈(0, 1))【考点】反函数【解析】由y=f(x)=xx+1(x>0),解得x=y1−y>0,解得0<y<1,即可得出.【解答】解:由y=f(x)=xx+1(x>0),解得x=y1−y>0,解得0<y<1,因此f(x)的反函数为f−1(x)=x1−x,(x∈(0, 1)).故答案为:x1−x,(x∈(0, 1)).12.【答案】y=22x−4⋅2x(x>2)【考点】反函数【解析】【解答】解:∵y=log2(√x+4+2)(x>0),∴y>2;√x+4+2=2y;则x=(2y−2)2−4=22y−4⋅2y(y>2);故答案为:y=22x−4⋅2x(x>2).13.【答案】1−x2,(x≤0)【考点】反函数【解析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式,再把x和y交换位置,注明反函数的定义域(即原函数的值域).【解答】解:∵y=−√1−x(x≤1),∴x=1−y2,(y≤0)故反函数为f−1(x)=1−x2,(x≤0).故答案为:1−x2,(x≤0).14.【答案】(0, 0),(1, 1)【考点】反函数【解析】根据原函数和反函数关于y=x对称,解得原函数和y=x的交点即可.【解答】解:∵原函数和反函数关于y=x对称,∴联立{y=2x 1+xy=x,解的x=0或1,则当x=0时,y=0,当x=1时,y=1,故函数y=2x1+x(x∈(−1, +∞))图象与其反函数图象的交点为为(0, 0),(1, 1),故答案为(0, 0),(1, 1).15.【答案】log23【考点】反函数【解析】先根据二阶行列式的运算法则化简函数,然后欲求f−1(12)的值,只须从条件中函数式f(x)=12中反解出x,即得f−1(12)的值.解:f(x)=|1−12x4x|=1×4x−(−1)×2x=4x+2x,令f(x)=12,即4x+2x=12,即(2x−3)(2x+4)=0,解得:2x=3即x=log23,根据f(a)=b,则f−1(b)=a,可知f−1(12)=log23.故答案为:log23.16.【答案】2【考点】反函数【解析】利用互为反函数的性质:定义域与值域互换的性质即可得出.【解答】解:∵函数y=g(x)的图象与函数y=3x+1的图象关于直线y=x对称,∴10=3x+1,解得x=2.∴g(10)=2.故答案为2.17.【答案】2【考点】反函数【解析】f(x)=3x−1+x−1,x∈[0, 1],则f(x)在此区间上单调递增,可得f(x)∈[−23,1],利用互为反函数的性质可得:f−1(x)在x∈[−23,1]上单调递增,f−1(x)∈[0, 1].【解答】解:f(x)=3x−1+x−1,x∈[0, 1],则f(x)在此区间上单调递增,∴f(x)∈[−23,1],同理可得f−1(x)在x∈[−23,1]上单调递增,∴f−1(x)∈[0, 1].∴y=f(x)+f−1(x)的最大值为2.故答案为:2.18.【答案】2【考点】反函数【解析】一个函数关于直线y=x对称,则这个函数与其反函数是同一个函数.【解答】 解:由y =2x+1x−a得xy −ay =2x +1,即x =1+ay y−2,即ff −1(x)=1+ax x−2,所以有a =2. 故答案为:2 19.【答案】 2007 【考点】 反函数 【解析】由y =f −1(x −1),求出该函数的反函数,再由y =f −1(x −1)的反函数是y =f(x +1),得到f(x +1)=f(x)+1,结合已知f(0)=1可求答案. 【解答】解:由y =f −1(x −1),得x −1=f(y),即x =f(y)+1. ∴ 函数y =f −1(x −1)的反函数为y =f(x)+1. 又y =f −1(x −1)的反函数是y =f(x +1), ∴ f(x +1)=f(x)+1.∴ f(2006)=f(2005)+1=f(2004)+1+1=...=f(0)+1+1+...+1=f(0)+2006=2007. 故答案为:2007. 20. 【答案】 2−x1+x 【考点】 反函数 【解析】由已知中函数f(x)=1−2x 1+x,函数y =g(x)的图象与y =f −1(x −1)的图象关于直线y =x 对称,可得函数y =g(x)与y =f −1(x −1)互为反函数,根据互为反函数的图象的平移变换关系,可得函数y =g(x)的图象可由函数y =f(x)的图象向上平移一个单位得到,进而由函数图象的平移变换法则,可得答案. 【解答】解:∵ 函数y =g(x)的图象与y =f −1(x −1)的图象关于直线y =x 对称, ∴ 函数y =g(x)与y =f −1(x −1)互为反函数而y =f −1(x −1)的图象是把y =f −1(x)的图象向右平移一个单位 故函数y =g(x)的图象可由函数f(x)=1−2x 1+x的图象向上平移一个单位得到即y =g(x)=1−2x 1+x+1=2−x1+x故答案为:2−x1+x三、 解答题 (本题共计 20 小题 ,每题 10 分 ,共计200分 ) 21.【答案】解:函数y =2x 2x +1可得:2x =2x y +y .可得2x (1−y)=y , 2x =y1−y , 可得x =log 2y1−y ,函数y =2x2x +1的反函数为:y =log 2x1−x . 【考点】 反函数 【解析】直接利用反函数的对应求解反函数即可. 【解答】解:函数y =2x2x +1可得:2x =2x y +y . 可得2x (1−y)=y , 2x =y1−y , 可得x =log 2y1−y ,函数y =2x2x +1的反函数为:y =log 2x1−x . 22.【答案】解:由y =a x −1(a >0, a ≠1),得a x =1+y ,即x =log a (1+y), x ,y 互换得:y =log a (1+x),∴ f(x)=log a (1+x)(a >0, a ≠1).(1)3f(x)=3log a (1+x)=log a (1+x)3,f(3x)=log a (1+3x),∵ (1+x)3−(1+3x)=1+3x +3x 2+x 3−1−3x =3x 2+x 3=x 2(3+x)>0(x >−1), ∴ (1+x)3>1+3x .当a >1时,3f(x)>f(3x); 当0<a <1时,3f(x)<f(3x).(2)当a >1时,f(x)=log a (1+x)在区间[1, 2]上的最大值与最小值分别为log a 3,log a 2,由log a 3−log a 2=log a 32=1,解得a =32;当0<a <1时,f(x)=log a (1+x)在区间[1, 2]上的最大值与最小值分别为log a 2,log a 3,由log a 2−log a 3=1,解得:a =23.【考点】 反函数 【解析】(1)求出函数的反函数,得到3f(x)与f(3x),然后利用作差法比较真数的大小,然后利用对数函数的单调性得答案;(2)分类求出函数在区间[1, 2]上的最大值比最小值,由最大值比最小值大1求实数a 的值.【解答】解:由y =a x −1(a >0, a ≠1),得a x =1+y ,即x =log a (1+y), x ,y 互换得:y =log a (1+x),∴ f(x)=log a (1+x)(a >0, a ≠1).(1)3f(x)=3log a (1+x)=log a (1+x)3,f(3x)=log a (1+3x),∵ (1+x)3−(1+3x)=1+3x +3x 2+x 3−1−3x =3x 2+x 3=x 2(3+x)>0(x >−1), ∴ (1+x)3>1+3x .当a >1时,3f(x)>f(3x); 当0<a <1时,3f(x)<f(3x).(2)当a >1时,f(x)=log a (1+x)在区间[1, 2]上的最大值与最小值分别为log a 3,log a 2,由log a 3−log a 2=log a 32=1,解得a =32;当0<a <1时,f(x)=log a (1+x)在区间[1, 2]上的最大值与最小值分别为log a 2,log a 3,由log a 2−log a 3=1,解得:a =23. 23. 【答案】 解:由y =x−4x+4的得,xy +4y =x −4,解得x =4(1+y)1−y(y ≠1),所以y =4(1+x)1−x (x ≠1),则函数y =x−4x+4的反函数是y =4(1+x)1−x(x ≠1).【考点】 反函数 【解析】由已知的解析式求出x 的表达式,再把x 换成y 、y 换成x ,并注明反函数的定义域. 【解答】解:由y =x−4x+4的得,xy +4y =x −4,解得x =4(1+y)1−y(y ≠1),所以y =4(1+x)1−x (x ≠1),则函数y =x−4x+4的反函数是y =4(1+x)1−x(x ≠1).24.【答案】解:若函数f(x)的图象与其反函数的图象重合, 则函数f(x)自身关于y =x 对称,比如函数y =1x ,则由y =1x 得x =1y ,即函数y =1x 的反函数是y =1x . 【考点】反函数 【解析】根据反函数的定义进行寻找即可. 【解答】解:若函数f(x)的图象与其反函数的图象重合, 则函数f(x)自身关于y =x 对称,比如函数y =1x,则由y =1x得x =1y,即函数y =1x的反函数是y =1x.25.【答案】 解:(1)f −1(x)=log 3x ,log 318=a +2, ∴ a =log 32.(2)g(x)=(3a )x −4x =(33log2)x −4x =2x −4x . (3)令u =2x ,∵ −1≤x ≤1,则12≤u ≤2,g(x)=φ(u)=u −u 2=−(u −12)2+14,当u =12时,φ(u)max =14,当u =2时,φ(u)min =−2. ∴ g(x)的值域为[−2, 14],当−1≤x ≤1时,12≤u ≤2,φ(u)为减函数,而u =2x 为增函数, g(x)在[−1, 1]上为减函数.【考点】 反函数 【解析】(1)欲求a 的值,根据f −1(18)=a +2,只要即从原函数式中反解出x ,后再进行x ,y 互换,求得反函数的解析式即可.(2)由(1)求得的a 值直接代入g(x)=3ax −4x 欲即得g(x)的表达式;(3)令u =2x ,将g(x)的值域、单调性问题转化为二次函数u −u 2的值域、单调性解决即可.【解答】 解:(1)f −1(x)=log 3x ,log 318=a +2, ∴ a =log 32. (2)g(x)=(3a )x −4x =(33log 2)x −4x =2x −4x.(3)令u =2x ,∵ −1≤x ≤1,则12≤u ≤2, g(x)=φ(u)=u −u 2=−(u −12)2+14,当u =12时,φ(u)max =14,当u =2时,φ(u)min =−2.∴ g(x)的值域为[−2, 14],当−1≤x ≤1时,12≤u ≤2,φ(u)为减函数,而u =2x 为增函数, g(x)在[−1, 1]上为减函数. 26. 【答案】 解:令y =3x −3−x2,则3x −3−x −2y =0,∴ (3x )2−2y3x −1=0, ∴ 3x =2y+√4y 2+42=y +√y 2+1,∴ x =log 3(y +√y 2+1).∴ f −1(x)=log 3(x +√x 2+1). 【考点】 反函数 【解析】 令y =3x −3−x2,将式子变形用y 表示出x ,然后互换变量符号得出.【解答】 解:令y =3x −3−x2,则3x −3−x −2y =0,∴ (3x )2−2y3x −1=0, ∴ 3x =2y+√4y 2+42=y +√y 2+1,∴ x =log 3(y +√y 2+1).∴ f −1(x)=log 3(x +√x 2+1). 27. 【答案】解:(1)由y =√a −3x ,得:x =a−y 23(y ≥0),所以原函数的反函数为f −1(x)=a−x 23(x ≥0);(2)由y =f(x)=√a −3x ,得:y 2=−3x +a =−3(x −a3)(y ≥0),其图象是把函数y 2=−3x(y ≥0)的图象向左(a >0)或向右(a <0)平移|a3|个单位得到的,如图,要使y =f(x)的图象与直线y =x 有交点,则a ≥0;当a<0时,函数y=f(x)与其反函数的图象无交点,所以方程f(x)=f−1(x)无实根;当a≥0时,函数y=f(x)与其反函数的图象仅有一个交点,所以方程f(x)=f−1(x)有一个实根.【考点】反函数根的存在性及根的个数判断【解析】(1)把原函数两边平方后解出x,然后把x和y互换,注意反函数的定义域;(2)作出函数y=f(x)的图象,然后数形结合分析可得答案;(3)作出函数y=f(x)与其反函数y=f−1(x)的图象,由图可以直观看出方程f(x)= f−1(x)的实根的个数.【解答】解:(1)由y=√a−3x,得:x=a−y 23(y≥0),所以原函数的反函数为f−1(x)=a−x23(x≥0);(2)由y=f(x)=√a−3x,得:y2=−3x+a=−3(x−a3)(y≥0),其图象是把函数y2=−3x(y≥0)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a3|个单位得到的,如图,要使y=f(x)的图象与直线y=x有交点,则a≥0;当a<0时,函数y=f(x)与其反函数的图象无交点,所以方程f(x)=f−1(x)无实根;当a≥0时,函数y=f(x)与其反函数的图象仅有一个交点,所以方程f(x)=f−1(x)有一个实根.28.【答案】解:(1)∵f(x)=loga(x+√1+x2),∴f(−x)=loga [−x+√1+(−x)2]=loga(−x+√1+x2),可得f(x)+f(−x)=loga [(x+√1+x2)(−x+√1+x2)]=loga (1+x2−x2)=loga1=0,∴f(−x)=−f(x).∵f(x)的定义域为R,∴函数f(x)是奇函数.(2)∵f(x)=loga(x+√1+x2),g(x)图象与曲线y=f(x)关于y=x对称,∴函数y=g(x)与y=f(x)互为反函数,令x=loga(y+√1+y2),得y+√1+y2=a x,得(a x−y)2=1+y2,∴2ya x=a2x−1,得y=a2x−12a x,因此g(x)的解析式为g(x)=12(a x−a−x).∵f(x)的定义域为{x|x≥34},∴解不等式12(a x−a−x)≥34,得a x≥2,当a>1时,g(x)的定义域为[loga2, +∞);当0<a<1时,g(x)的定义域为(−∞,log a2].(3)由(2)得g(x)=12(a x−a−x),当0<a<1时,loga2<0,此时定义域中无正整数,不满足条件;当a>1时,需所有正整数在定义域中,故loga2≤1,得a≥2.∵g(x)=12(a x−a−x)在其定义域内是增函数,∴由不等式g(x)<5m−5−m2=g(5),得a<5,所求a的取值范围是2≤a<5.【考点】函数奇偶性的判断对数函数图象与性质的综合应用函数的定义域及其求法反函数不等式恒成立问题【解析】(1)根据对数的运算性质,化简得f(x)+f(−x)=0,可得f(−x)=−f(x),可得函数f(x)是奇函数;(2)由题意,函数y=g(x)与y=f(x)互为反函数,将f(x)的x、y互换,解出用x表示y的式子,即可得到g(x)的解析式.再结合a的范围加以讨论,即可得到函数g(x)的定义域;(3)根据a的范围加以讨论,并结合函数g(x)的单调性,建立关于a的不等式,解之即可得到实数a的取值范围.【解答】解:(1)∵f(x)=loga(x+√1+x2),∴f(−x)=loga [−x+√1+(−x)2]=loga(−x+√1+x2),可得f(x)+f(−x)=loga [(x+√1+x2)(−x+√1+x2)]=loga (1+x2−x2)=loga1=0,∴f(−x)=−f(x).∵f(x)的定义域为R,∴函数f(x)是奇函数.(2)∵f(x)=loga(x+√1+x2),g(x)图象与曲线y=f(x)关于y=x对称,∴函数y=g(x)与y=f(x)互为反函数,令x=loga(y+√1+y2),得y+√1+y2=a x,得(a x−y)2=1+y2,∴2ya x=a2x−1,得y=a2x−12a x,因此g(x)的解析式为g(x)=12(a x−a−x).∵f(x)的定义域为{x|x≥34},∴解不等式12(a x−a−x)≥34,得a x≥2,当a>1时,g(x)的定义域为[loga2, +∞);当0<a<1时,g(x)的定义域为(−∞,log a2].(3)由(2)得g(x)=12(a x−a−x),当0<a<1时,loga2<0,此时定义域中无正整数,不满足条件;当a>1时,需所有正整数在定义域中,故loga2≤1,得a≥2.∵g(x)=12(a x−a−x)在其定义域内是增函数,∴由不等式g(x)<5m−5−m2=g(5),得a<5,所求a的取值范围是2≤a<5.29.【答案】解:设奇函数f(x)的反函数为f−1(x),∵f(x)是奇函数,∴f(x)的值域关于原点对称,即f−1(x)的定义域关于原点对称.假设f(x)=y,则f(−x)=−y.∴f−1(y)=x,f−1(−y)=−x.∴f−1(−y)=−f−1(y),即f−1(−x)=−f−1(x)∴f−1(x)是奇函数.【考点】反函数【解析】根据奇函数的性质得出f−1(−x)和f−1(x)的关系,利用函数奇偶性的定义得出结论.【解答】解:设奇函数f(x)的反函数为f−1(x),∵f(x)是奇函数,∴f(x)的值域关于原点对称,即f−1(x)的定义域关于原点对称.假设f(x)=y,则f(−x)=−y.∴f−1(y)=x,f−1(−y)=−x.∴f−1(−y)=−f−1(y),即f−1(−x)=−f−1(x)∴f−1(x)是奇函数.30.【答案】解:∵y=a+1x−b,∴x=b+1y−a,∴f(x)=a+1x−b 的反函数为b+1x−a,∵f(x)与g(x)互为反函数,∴b+1x−a =1+c2x+1=1+12cx+12∴b=1,c=2,a=−12.【考点】反函数【解析】先求出f(x)的反函数,再根据反函数的定义得到一个等式相等,对应的系数相等即可求出实数a 、b 、c 的值 【解答】解:∵ y =a +1x−b , ∴ x =b +1y−a,∴ f(x)=a +1x−b 的反函数为b +1x−a , ∵ f(x)与g(x)互为反函数, ∴ b +1x−a =1+c2x+1=1+12c x+12∴ b =1,c =2,a =−12. 31. 【答案】解:由y =√x 2+x(x ≤−1) 得y 2=(x +12)2−14(x ≤−1), ∴ x +12=−√y 2+14(y ≥0),∴ 所求函数的反函数为y =−12−√x 2+14(x ≥0). 【考点】 反函数 【解析】欲求原函数f(x)=√x 2+x(x ≤−1)的反函数,即从原函数式中反解出x ,后再进行x ,y 互换,即得反函数的解析式. 【解答】解:由y =√x 2+x(x ≤−1) 得y 2=(x +12)2−14(x ≤−1),∴ x +12=−√y 2+14(y ≥0),∴ 所求函数的反函数为y =−12−√x 2+14(x ≥0). 32.【答案】解:当−1<x <0时,y =−x +1⇒x =−y +1,∴ y =−x +1的反函数为y =−x +1,(1<x <2). 当0≤x <1时, y =x 2⇒x =√y ,∴ y =x 2的反函数为y =√x(0≤x <1).故函数y ={−x +1x 2−1<x <00≤x <1的反函数为y ={−x +1√x (1<x <2)(0≤x <1).【考点】反函数 【解析】当−1<x <0时,y =−x +1⇒x =−y +1,所以y =−x +1的反函数为y =−x +1 (1<x <2);当0≤x <1时,y =x 2⇒x =√y ,所以y =x 2的反函数为y =√x(0≤x <1). 【解答】解:当−1<x <0时,y =−x +1⇒x =−y +1,∴ y =−x +1的反函数为y =−x +1,(1<x <2). 当0≤x <1时, y =x 2⇒x =√y ,∴ y =x 2的反函数为y =√x(0≤x <1).故函数y ={−x +1x 2−1<x <00≤x <1的反函数为y ={−x +1√x (1<x <2)(0≤x <1).33. 【答案】解:∵ y =f(x)=√x +√1+x 23√x −√1+x 23(x ∈R),∴ y 3=(√x +√1+x 23√x −√1+x 23)3=(x +√1+x 2)+3(√x +√1+x 23√x −√1+x 23)(√x +√1+x 23√x −√1+x 23)+(x −√1+x 2)=2x −3(√x +√1+x 23+√x −√1+x 23) =2x −3y , ∴ x =12(y 3+3y),x ,y 互换,得函数f(x)=√x +√1+x 23+√x −√1+x 23(x ∈R)的反函数为:y =12(x 3+3x).x ∈R . 【考点】 反函数 【解析】由已知条件,利用二项式定理求出y 3=2x −3y ,由此能求出函数f(x)=√x +√1+x 23+√x −√1+x 23(x ∈R)的反函数.【解答】解:∵ y =f(x)=√x +√1+x 23√x −√1+x 23(x ∈R),∴ y 3=(√x +√1+x 23√x −√1+x 23)3=(x +√1+x 2)+3(√x +√1+x 23√x −√1+x 23)(√x +√1+x 23√x −√1+x 23)+(x −√1+x 2)=2x −3(√x +√1+x 23+√x −√1+x 23) =2x −3y ,∴ x =12(y 3+3y),x ,y 互换,得函数f(x)=√x +√1+x 23+√x −√1+x 23(x ∈R)的反函数为:y =12(x 3+3x).x ∈R .34.【答案】解:∵ y =f(x)=log a (a x −1),∴ a x −1=a y ,解得x =log a (a y +1), ∴ 反函数f −1(x)=log a (a x +1),故f(2x)=f −1(x)可化为log a (a 2x −1)=log a (a x +1), 可得a 2x −1=a x −1,即(a x +1)(a x −1)=a x +1, ∵ a x +1>1,∴ a x −1=1,即x =log a 2,【考点】 反函数 【解析】求反函数可得f −1(x)=log a (a x +1),可得log a (a 2x −1)=log a (a x +1),解方程可得. 【解答】解:∵ y =f(x)=log a (a x −1),∴ a x −1=a y ,解得x =log a (a y +1), ∴ 反函数f −1(x)=log a (a x +1),故f(2x)=f −1(x)可化为log a (a 2x −1)=log a (a x +1), 可得a 2x −1=a x −1,即(a x +1)(a x −1)=a x +1, ∵ a x +1>1,∴ a x −1=1,即x =log a 2, 35.【答案】 a =1. 【考点】 反函数 【解析】求出原函数的反函数,根据函数图象本身关于直线y =x 对称知,原函数与它的反函数相同,从而比较系数求得a 值. 【解答】解:由y =1−ax1+ax ,解得x =1−yay+a . 故函数y =1−ax 1+ax 的反函数为y =1−x ax+a.∵ 函数y =1−ax1+ax 的图象关于直线y =x 对称, ∴ 函数y =1−ax1+ax 与它的反函数y =1−xax+a 相同. 由1−ax1+ax =1−xax+a 恒成立, 得a =1. 36.【答案】解:(1)设y=3x+1x+a,则y(x+a)=3x+1,整理得(y−3)x=1−ay.若y=3,则a=13,与已知矛盾,∴y≠3.∴x=1−ayy−3.故所求反函数为f−1(x)=1−axx−3(x≠3).(2)依题意得f−−1(x)=f(x),则3x+1x+a =1−axx−3,整理得3x2−8x−3=−ax2+(1−a2)x+a,比较两边对应项的系数,有{−a=3a2−1=8a=−3故a=−3.【考点】反函数【解析】(1)由y=3x+1x+a,得y(x+a)=3x+1,(y−3)x=1−ay.由此能求出所求反函数.(2)依题意得f−−1(x)=f(x),则3x+1x+a =1−axx−3,由此能求出a.【解答】解:(1)设y=3x+1x+a,则y(x+a)=3x+1,整理得(y−3)x=1−ay.若y=3,则a=13,与已知矛盾,∴y≠3.∴x=1−ayy−3.故所求反函数为f−1(x)=1−axx−3(x≠3).(2)依题意得f−−1(x)=f(x),则3x+1x+a =1−axx−3,整理得3x2−8x−3=−ax2+(1−a2)x+a,比较两边对应项的系数,有{−a =3a 2−1=8a =−3故a =−3. 37.【答案】 解:(1)由于f(x)=e x 的反函数为g(x)=ln x(x >0),则点(1, 0)处的切线斜率为k =g′(1)=1,故点(1, 0)处的切线方程为y −0=1×(x −1),即x −y −1=0.(2)证明:设ℎ(x)=f(x)−(12x 2+x +1)=e x −12x 2−x −1,则ℎ′(x)=e x −x −1,∵ ℎ″(x)=e x −1,故当x <0时,ℎ″(x)<0,ℎ′(x)为减函数. 当x >0时,ℎ″(x)>0,ℎ′(x)为增函数.故当x =0时,ℎ′(x)取得最小值为0,故有ℎ′(x)≥0恒成立, 故函数ℎ(x)在R 上是增函数,故函数ℎ(x)最多有一个零点. 再根据ℎ(0)=0,可得函数ℎ(x)有唯一零点. (3)设a <b ,∵ f(a)+f(b)2−f(b)−f(a)b−a =(2+b−a)f(a)+(b−2−a)f(b)2(b−a)=(2+b−a)⋅e a +(b−2−a)⋅e b2(b−a)=(b−a+2)+(b−a−2)⋅e b−a2(b−a)⋅e a=e a2(b−a)•[(b −a +2)+(b −a −2)⋅e b−a ].由于e a2(b−a)>0,故只需考虑(b −a +2)+(b −a −2)⋅e b−a 的符号即可. 令g(x)=x +2+(x −2)e x (x >0),则g′(x)=1+(x −1)e x .在(0, +∞)上,g ″(x)=xe x >0,∴ g′(x)在(0, +∞)上单调递增,且g′(0)=0, ∴ g′(x)>0,∴ g(x)在(0, +∞)上单调递增,而g(0)=0,∴ 在(0, +∞)上,g(x)>0.∵ 当x >0时,g(x)=x +2+(x −2)⋅e x >0,且a <b ,∴(b−2+a)+(b−2+a)e b−a ⋅e a2(b−a)>0, 即f(a)+f(b)2>f(b)−f(a)b−a.【考点】 反函数 【解析】(I )先求出其反函数,利用导数得出切线的斜率即可.(II)令ℎ(x)=f(x)−(12x 2+x +1)=e x −12x 2−x −1,利用导数研究函数ℎ(x)的单调性即可得出. (III)利用作差法得f(a)+f(b)2−f(b)−f(a)b−a=e a2(b−a)•[(b −a +2)+(b −a −2)⋅e b−a ].构造函数,令g(x)=x +2+(x −2)e x (x >0),利用导数的符号研究其单调性,可得g(x)的符号,从而得到f(a)+f(b)2与f(b)−f(a)b−a的大小关系.【解答】 解:(1)由于f(x)=e x 的反函数为g(x)=ln x(x >0),则点(1, 0)处的切线斜率为k=g′(1)=1,故点(1, 0)处的切线方程为y−0=1×(x−1),即x−y−1=0.(2)证明:设ℎ(x)=f(x)−(12x2+x+1)=e x−12x2−x−1,则ℎ′(x)=e x−x−1,∵ℎ″(x)=e x−1,故当x<0时,ℎ″(x)<0,ℎ′(x)为减函数.当x>0时,ℎ″(x)>0,ℎ′(x)为增函数.故当x=0时,ℎ′(x)取得最小值为0,故有ℎ′(x)≥0恒成立,故函数ℎ(x)在R上是增函数,故函数ℎ(x)最多有一个零点.再根据ℎ(0)=0,可得函数ℎ(x)有唯一零点.(3)设a<b,∵f(a)+f(b)2−f(b)−f(a)b−a=(2+b−a)f(a)+(b−2−a)f(b)2(b−a)=(2+b−a)⋅e a+(b−2−a)⋅e b2(b−a)=(b−a+2)+(b−a−2)⋅e b−a2(b−a)⋅e a=e a2(b−a)•[(b−a+2)+(b−a−2)⋅e b−a].由于e a2(b−a)>0,故只需考虑(b−a+2)+(b−a−2)⋅e b−a的符号即可.令g(x)=x+2+(x−2)e x(x>0),则g′(x)=1+(x−1)e x.在(0, +∞)上,g″(x)=xe x>0,∴g′(x)在(0, +∞)上单调递增,且g′(0)=0,∴g′(x)>0,∴g(x)在(0, +∞)上单调递增,而g(0)=0,∴在(0, +∞)上,g(x)>0.∵当x>0时,g(x)=x+2+(x−2)⋅e x>0,且a<b,∴(b−2+a)+(b−2+a)e b−a⋅e a2(b−a)>0,即f(a)+f(b)2>f(b)−f(a)b−a.38.【答案】证明:(1)∵函数f(x)的反函数是f−1(x),g(x)的反函数为g−1(x).令t=g(x),则y=f(g(x))=f(t),则g−1(t)=x.f−1(y)=t,即g−1(f−1(y))=x,即f(g(x))的反函数为g−1(f−1(x));(2)∵F(x)=f(−x),…①故函数F(x)与f(x)的图象关于y轴对称,又∵G(x)=f−1(−x),∴G(x)与f−1(x)的图象关于y轴对称,故G(x)的图象由f(x)的图象逆时针旋转90∘得到,又∵F(x)是G(x)的反函数,故F(x)与G(x)的图象关于y=x轴对称,故F(x)与f(x)的图象关于x轴对称,即F(x)=−f(x),…②由①②得:f(−x)=−f(x),故f(x)是奇函数【考点】反函数【解析】(1)令t =g(x),则y =f (g(x))=f(t),结合函数f(x)的反函数是f −1(x),g(x)的反函数为g −1(x),可得g −1(f −1(y))=x ,从而得到f (g(x))的反函数为g −1(f −1(x));(2)由已知中G(x)=f −1(−x),若F(x)是G(x)的反函数,可得F(x)与f(x)的图象关于x 轴对称,即F(x)=−f(x),结合F(x)=f(−x),可得f(−x)=−f(x),故f(x)是奇函数.【解答】 证明:(1)∵ 函数f(x)的反函数是f −1(x),g(x)的反函数为g −1(x). 令t =g(x),则y =f (g(x))=f(t), 则g −1(t)=x .f −1(y)=t , 即g −1(f −1(y))=x ,即f (g(x))的反函数为g −1(f −1(x)); (2)∵ F(x)=f(−x),…①故函数F(x)与f(x)的图象关于y 轴对称, 又∵ G(x)=f −1(−x),∴ G(x)与f −1(x)的图象关于y 轴对称,故G(x)的图象由f(x)的图象逆时针旋转90∘得到, 又∵ F(x)是G(x)的反函数,故F(x)与G(x)的图象关于y =x 轴对称, 故F(x)与f(x)的图象关于x 轴对称, 即F(x)=−f(x),…②由①②得:f(−x)=−f(x), 故f(x)是奇函数 39.【答案】 解:(1)∵ 函数f(x)=3x 的反函数经过点(18, a +2), ∴ 3a+2=18,解得:a =log 32;∴ g(x)=3ax −4x =3x log 32−4x =2x −4x ,x ∈[−1, 1];(2)∵ g(x)=2x −4x =−(2x −12)2+14, 又x ∈[−1, 1],∴ 12≤2x ≤2,0≤2x −12≤32,∴ 0≤(2x −12)2≤94, ∴ g(x)∈[−2, 14],∵ 方程g(x)=m 有解,∴ m 的取值范围为[−2, 14];(3)由ℎ(x)=g(|x|)+2|x|+1=2|x|−4|x|+2|x|+1=3⋅2|x|−4|x|可知,ℎ(x)为偶函数,在[0, 1]上,ℎ(x)=3⋅2x −4x ,令2x =t(1≤t ≤2),则y =−t 2+3t =−(t −32)2+94(1≤t ≤2),显然,y =−t 2+3t =−(t −32)2+94在区间[1, 32]上单调递增,在区间[32, 2]上单调递减, ∴ t =32(x =log 23−1)时,y max =94;又t =1(即x =0)时,y =2,当t =2(即x =1)时,y =2, ∴ t =1或t =2(即x =0或x =1)时,y min =2.又n ∈R ,∴ 当n >94或n <2时,方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为0个; 当n =94时,方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为2个; 当n =2时,方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为3个; 当2<n <94时,方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为4个;【考点】 反函数 【解析】(1)利用函数与其反函数之间的关系可得a =log 32,从而可求得g(x)的解析式; (2)由g(x)=2x −4x =−(2x −12)2+14,x ∈[−1, 1],可求得g(x)∈[−2, 14],方程g(x)=m 有解,从而可得m 的取值范围为[−2, 14];(3)由ℎ(x)=g(|x|)+2|x|+1=2|x|−4|x|+2|x|+1=3⋅2|x|−4|x|可知,ℎ(x)为偶函数,令2x =t ,当x ∈[0, 1]时,1≤t ≤2,则y =−t 2+3t =−(t −32)2+94(1≤t ≤2),利用二次函数的单调性可求得t =32(即x =log 23−1)时,y max =94,t =1或t =2(即x =0或x =1)时,y min =2,于是可得答案. 【解答】 解:(1)∵ 函数f(x)=3x 的反函数经过点(18, a +2), ∴ 3a+2=18,解得:a =log 32;∴ g(x)=3ax −4x =3x log 32−4x =2x −4x ,x ∈[−1, 1];(2)∵ g(x)=2x −4x =−(2x −12)2+14, 又x ∈[−1, 1],∴ 12≤2x ≤2,0≤2x −12≤32,∴ 0≤(2x −12)2≤94,∴ g(x)∈[−2, 14],∵ 方程g(x)=m 有解,∴ m 的取值范围为[−2, 14];(3)由ℎ(x)=g(|x|)+2|x|+1=2|x|−4|x|+2|x|+1=3⋅2|x|−4|x|可知,ℎ(x)为偶函数,在[0, 1]上,ℎ(x)=3⋅2x −4x ,令2x =t(1≤t ≤2),则y =−t 2+3t =−(t −32)2+94(1≤t ≤2),显然,y =−t 2+3t =−(t −32)2+94在区间[1, 32]上单调递增,在区间[32, 2]上单调递减, ∴ t =32(x =log 23−1)时,y max =94;又t =1(即x =0)时,y =2,当t =2(即x =1)时,y =2, ∴ t =1或t =2(即x =0或x =1)时,y min =2.又n ∈R ,∴ 当n >94或n <2时,方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为0个;当n =94时,方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为2个; 当n =2时,方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为3个; 当2<n <94时,方程g(|x|)+2|x|+1=n 的解的个数为4个;40.【答案】 解:(1)不是;∵ g(x)=x 2+1(x >0)∴ y =g(x +1)=(x +1)2+1(x >0)∴ x +1=√y −1 ∴ x =√y −1−1∴ y =√x −1−1即g ′(x +1)=√x −1−1(x >2)① ∵ g ′(x)=√x −1,,∴ g ′(x +1)=√x 与①不符故函数g(x)=x 2+1(x >0)不满足“1和性质” (2)设所有满足“2和性质”的一次函数为f(x)=kx +b(k ≠0) 则f ′(x)=x−b k∴f′(x+2)=x+2−bk∵f(x+2)=k(x+2)+b∴f′(x+2)=x−2k−bk∴x+2−bk =x−2k−bk∴k=−1∴f(x)=−x+b【考点】反函数【解析】(1)根据y=f(x)满足“a和性质”的定义可先根据求反函数的步骤求出g′(x)=√x−1进而求出g′(x+1)=√x①;再根据g(x)=x2+1(x>0)求出g(x+1)=(x+1)2+ 1(x>0)进而求出g(x+1)的反函数即g′(x+1)②然后比较①②是否相同进而可根据定义得出结论.(2)设所有满足“2和性质”的一次函数为f(x)=kx+b(k≠0)然后求出f′(x)进而求出f′(x+2);再根据f(x+2)求出f′(x+2)然后两者相等求出k,b所满足的条件.【解答】解:(1)不是;∵g(x)=x2+1(x>0)∴y=g(x+1)=(x+1)2+1(x>0)∴x+1=√y−1∴x=√y−1−1∴y=√x−1−1即g′(x+1)=√x−1−1(x>2)①∵g′(x)=√x−1,,∴g′(x+1)=√x与①不符故函数g(x)=x2+1(x>0)不满足“1和性质”(2)设所有满足“2和性质”的一次函数为f(x)=kx+b(k≠0)则f′(x)=x−bk∴f′(x+2)=x+2−bk∵f(x+2)=k(x+2)+b∴f′(x+2)=x−2k−bk∴x+2−bk =x−2k−bk∴k=−1∴f(x)=−x+b。
反函数习题2
反函数存在的充要条件是该函数在该制定的区间内是单调函数,即一对一的函数1.函数y =-x 2+1(x ≤0)的反函数是( )A.y =-1+x (x ≥-1)B.y =-x -1 (x ≤1)C.y =)1(+-x (x ≤-1)D.y =±1+x (x ≥-1)2如图2—7,各图象表示的函数中,存在反函数的只能是( )3.函数f (x )=c x bax ++ (a 、b 、c 是常数)的反函数是f -1 (x )=213+-x x ,则a 、b 、c 的值依次是( )A.2,1,3B.-2,-1,-3C.-2,1,3D.-1,3,-24.函数f (x )=31+x (x ≠-3)的反函数是 .5.函数f (x )=-x 5+2x -4(x ≤1)的反函数是 .6.已知2)(73-=x x f 则f -1 (6)= .强化训练1.函数y =x 2+2x (x <-1)的反函数是( ) A.)1(11--+= x x yB. )1(11--+= x x yC. )1(11--+-= x x yD. )1(11--+-= x x y2.已知函数y =f (x )有反函数,则方程f (x )=k (k 为实常数)( )图2—7A.有且只有一个实根B.至多只有一个实根C.至少有一个实根D.可能有两个实根3.函数f (x )=2x 3(x ∈R )的反函数是 .4.函数f (x )=2--x (x ≤-2)的反函数是 .5.函数f (x )的定义域在(-∞,0)上,且f (x +1)=x 2+2x ,则f -1(1)= .6.已知函数y =f (x )有反函数y =f -1(x ),则f -1[f (m )]= .7.求函数)1(2)(1≥+=-x x x x f 的反函数. 8.求函数y =⎪⎩⎪⎨⎧+-=+)0)(1()0(0)0(122 x x x x x 的反函数.9.已知函数f (x )=5+x .(1)求反函数f -1 (x );(2)研究f -1(x )的单调性.参考答案: 1.B 2.D 3.B 4.128.6 )3(31)(.5 )0(31)(11-≤---=≠-=--x x x f x xx x f强化训练 1.D 2.B 3.R ()2()(311∈=-x x x f ) .),0[)2().0(5)()1.(9).1(1)0(0)1(1.8)1(1)(.7.6 2.5 )0(2)(.4212121上是增函数在+∞≥-=⎪⎩⎪⎨⎧---=-=≥-+=-≥--=---x x x f x x x x x y x x x x f mx x x f。
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习题精选
一、选择题
1.在同一坐标系中,图象表示同一曲线的是( ).
A.与 B.与
C.与 D.与
2.若函数存在反函数,则的方程为常数)( ).
A.至少有一实根 B.有且仅有一实根
C.至多有一实根 D.没有实根
3.点在函数的图象上,则下列各点中必在其反函数图象上的是 ( ).
A. B. C. D.
4.()的反函数是()
A.() B.()
C.() D.()
5.设函数,,则的定义域是()
A. B. C. D.
6.已知,则的表达式为()
A. B. C. D.
7.将的图象向右平移一个单位,向上平移2个单位再作关于的对称图象,所得图象的函数的解析式为()
A. B. C. D.
8.定义在上的函数有反函数,下例命题中假命题为()
A.与的图象不一定关于对称;
B.与的图角关于轴对称;
C.与的图象不可能有交点;
D.与的图象可能有交点,有时交点个数有无穷多个9.若有反函数,下列命题为真命题的是()
A.若在上是增函数,则在上也是增函数;
B.若在上是增函数,则在上是减函数;
C.若在上是增函数,则在上是增函数;
D.若在上是增函数,则在上是减函数
10.设函数(),则函数的图象是()
11.函数()的反函数 =()
A.()B.()
C.()D.()
二、填空题
1.求下列函数的反函数:
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
2.函数的反函数是_____________________.
3.函数()的反函数是_________.
4.函数的值域为__________ .
5. ,则的值为_________.
6.要使函数在上存在反函数,则的取值围是
_____________.
7.若函数有反函数,则实数的取值围是_____________.8.已知函数(),则为__________.
9.已知的反函数为,若的图像经过点,则 =________.
三、解答题
1.求函数的反函数.
2.若点(1,2)既在函数的图象上,又在它的反函数的图象上,求,的值.
3.已知,求及的解析式,并判定它们是否为同一函数.
4.给定实数,且,设函数(且)证明:这个函数的图象关于直线成轴对称图形.
5.若点在函数的反应函数的图象上,求.
6.已知函数的定义域是,,求.
7.求下列函数的值域;(1);(2).
8.已知函数与的图象关于直线对称,求、的值.
9.已知函数的图象关于直线对称,求的值.
10.函数与的图象关于直线对称,求常数的值.
11.求与函数的图象关于直线对称的图象所对应的函数.
12.函数是否存在反函数,若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.
13.设是上的增函数,并且对任意,有成立,证明.
参考答案:
一、1.C2.C 3.D 4.C 5.D 6.B 7.A 8.C 9.C
10.B 11.B
二、1.(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
2.
3.解:由,可得,即,函数()的反函数为()
4. 5. 6.或
7.且 . 8. 9.b=1
三、1.解:当时,则反函数为();
当时,则反函数为(),原函数的反函数为
2.解:利用条件可知,(1,2),(2,1)两点都在函数的图象上,则
,解之得
3.解:由求出反函数(),则
()
()
虽然与两函数有相同的表达式,但它们的定义域不同,故它们不是同一函数.
说明:判断两个函数为同一个函数应具备两个条件:一是表达式相同;二是定义域相同.
4.解:先求所给函数的反函数,由(),可得
(*)
若,则,又由(*)得,故,即与已知矛盾,,于是由(*)得()
从而函数(且)的反函数为(且
),两者完全相同,为同一个函数.
由于的图象与的图象关于直线对称,故函数(且)的图象关于直线成轴对称图形.
说明:证明函数关于直线成轴对称图形,分为两步:第一步,证明原函数与反函数为同一函数;第二步,利用轴对称的定义证明.
5.解:由反函数的概念及题设条件可得在函数的图象上,即,解得.
6.解:设,则,将其代入
故(),则()
说明:本题在求解过程中要注意两点:一点是注意运算顺序,先求,再求;
另一点是在求反函数时,两边开方,注意符号.
7.解:(1)先由可得,,故原函数的值域
(2)先由可得,,故原函数的值域为
说明:通过求反函数的定义域来求原函数值域的方法,往往适用于函数的解析式为一次分式的情况.
8.解:,的图象关于直线对称,
的反函数就是
又的反函数为,故和应
为同一函数,则
9.
10.
11.解:由可得,即,即
所求函数
12.解:不存在反函数,理由为:已知函数不是单调函数,如取时,对应的值有两个值为,.
13.解:若存在,有,不妨设,则,即
矛盾,同理可证也不可能有对一切有.。