数学归纳法(重点)

教学过程

一.课程导入：

多米诺骨牌实验

要使所有的多米诺骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？

（1）第一张牌被推倒（奠基作用）

（2）任意一张牌倒下必须保证它的下一张牌倒下（递推作用）于是可以获得结论：多米诺骨牌会全部倒下。

从上面的例子我们是否大概了解我们这节课的内容呢?

二、复习预习

复习时要抓住数学归纳法证明命题的原理，明晰其内在的联系，把握数学归纳法证明命题的一般步骤，熟知每一步之间的区别联系，熟悉数学归纳法在证明命题中的应用技巧

三、知识讲解

考点1、归纳法

由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法．

考点2、数学归纳法

(1)数学归纳法：设{P n}是一个与正整数相关的命题集合，如果：①证明起始命题P1(或P0)成立；②在假设P k成立的前提下，推出P k＋1也成立，那么可以断定{P n}对一切正整数成立．

(2)用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：

①归纳奠基：证明当取第一个自然数n0时命题成立；

②归纳递推：假设n＝k，(k∈N*，k≥n0)时，命题成立，证明当n＝k＋1时，命题成立；

③由①②得出结论．

四、例题精析

考点一数学归纳法原理

【例题1】

【题干】在用数学归纳法证明“2n>n2对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0等于A．1 B．3 C．5 D．7

【答案】C

【解析】n的取值与2n，n2的取值如下表：

由于2n的增长速度要远大于n2的增长速度，故当n>4时恒有2n>n2.

考点二用数学归纳法证明恒等式【例题2】

【题干】是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=

12)1

(

n

n(an2+bn+c)

【答案】见解析

【解析】假设存在a 、b 、c 使题设的等式成立，

这时令

n=1,2,3,有⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=10113 3970)24(2122)(614c b a c b a c b a c b a 于是，对n=1,2,3下面等式成立

1·22+2·32+…+n(n+1)2=)10113(12

)1(2+++n n n n 记S n =1·22+2·32+…+n(n+1)2

设n=k 时上式成立，即S k =12

)1(+k k (3k 2+11k+10) 那么S k+1=S k +(k+1)(k+2)2=2

)1(+k k (k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 =12

)2)(1(++k k (3k 2+5k+12k+24) =12

)2)(1(++k k ［3(k+1)2+11(k+1)+10］

也就是说，等式对n=k+1也成立

综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立

考点三用数学归纳法证明不等式

【例题3】

【题干】试证明不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有a n+c n＞2b n

【答案】见解析

【解析】(1)设a 、b 、c 为等比数列，a=q

b ,c=bq(q ＞0且q ≠1) ∴a n +

c n =n n

q b +b n q n =b n (n q 1+q n )＞2b n

(2)设a 、b 、c 为等差数列，

则2b=a+c 猜想2n n c a +＞(2

c a +)n (n ≥2且n ∈N *) 下面用数学归纳法证明 ①当n=2时，由

2(a 2+c 2)＞(a+c)2，∴222)2(2c a c a +>+ ②设

n=k 时成立，即,)2

(2k k k c a c a +>+ 则当n=k+1时，41211=+++k k c a (a k+1+c k+1+a k+1+c k+1)＞41(a k+1+c k+1+a k ·c+c k ·a)=41(a k +c k )(a+c) ＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2c a +)k+1

也就是说，等式对n=k+1也成立

由①②知，a n +c n ＞2b n 对一切自然数n 均成立

课后评价