高等数学一元函数积分学PPT课件

成立，则称函数 F(x) 为函数
在该区间上
的一个原函数。
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例 sin x cos x , x (,),
sin x 是 cos x 在I (,)上的一个原函数。
又因为： (x5 ) 5x 4
(x5 3) 5x4
(x5 1) 5x 4
(x5 c) 5x4
所以显然 x 5，x5 1 ，x5 3 ，x5 c
y F(x) 在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而
y F( x) c 的图象显然可由这条曲线沿 o y 轴向上
或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线， 因此，不定积分的几何意义是 f (x) 的全部积分曲线 所组成的积分曲线族。其方程为 y F(x) c .
如下图所示：
9
y
斜率 f ( x)
x 11dx 1 x
1
1
1
x
dx
1dx
1
1
dx x
1dx
1 1
d x
(1
x)
x ln 1 x C
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（三）换元积分法（重点掌握第一换元积分法）
１.第一换元法（凑微分法）
第一换元法是求复合函数的不定积分的基本方法．
分析：把复合函数的微分法反过来，用与求不定积分，利用中
间变量的替换，得到复合函数的积分法。
(2) F (x)dx F(x) c 或 dF(x) F(x) c
定理2 kf ( x)dx k f ( x)dx （k 是常数，k 0)
定理3 [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
n
n
推论 fi (x)dx fi (x)dx
i 1
i 1
设 f (u)的原函数是F (u) ，即
F(u) f (u)
f (u)du F (u) C
又u (x),且(x) 可微，有 F(x) f (x)(x)
f (x)(x)dx F (x) C f (u)du u(x)
定理 1：设 f (u) 有原函数F (u), u (x) 可导，则
分 表
(12)
(13)
e xdx e x C;
a
xdx
ax ln a
C;
14
注意：以上各不定积分是基本积分公式，它是求不定积分的基础， 必须熟记，并会用公式和性质求一些简单函数的不定积分．
例：求
1 x3
dx
A.
2 x2
C
B
1 2x2
C
C.
1 2x2
C
D.
2 x2
C
提示公式：
x dx 1 x1 C ( 1) 1
2
本章重点考核的知识点
• 1．原函数的概念； • 2．不定积分的两个性质及一个推论； • 3．分项积分法； • 4．换元积分法；又可细分为凑微分法（重
点）与变量代换法（主要是去根号）； • 5．分部积分法。 • 有理函数积分、三角函数积分基本不考。即
便考，用前面的方法也可解决。
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第三章 一元函数积分学
0
x
y F(x) c y F(x)
x
10
（一） 不定积分的概念与性质 4. 原函数存在定理 在 定义区间上的连续函数一定有原函数（即：
一定有不定积分）。
11
（一） 不定积分的概念与性质 5. 不定积分的性质
定理1 微分运算与积分运算互为逆运算，即
(1) [ f ( x)dx] f ( x) 或 d[ f ( x)dx] f ( x)dx
f (x)(x)dx F (x) C f (u)du u(x)
第一节 不定积分 2011年考了16分
（一）、不定积分的概念与性质 （二）、不定积分的基本公式 （三）、换元积分法 （四）、分部积分法
4
（一） 不定积分的概念与性质 1. 原函数
设
是定义在某区间上的已知函数，如果
x 存在一个函数 F(x) ，使对于该区间任意 ，
都有关系式：
F(x) f (x) 或 dF(x) f (x)dx
都是 5x 4 的一个原函数。
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★ 由此不难得出：
（1）一个函数的原函数不惟一，且有无穷多个。
（2）同一函数的原函数之间只相差一个常数。
（3）若 F ( x)为
的一个原函数，则 F ( x) C
表示 的所有原函数。
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（一） 不定积分的概念与性质 Nhomakorabea2. 不定积分
设 F ( x)是 在区间I上的一个原函数，则函
第三章 一元函数积分学(20%）
一、 不定积分 二、定积分 三、定积分的应用
1
考试点津： • 本讲出题在10分—18分之间，考点不多，一
般在选择题、填空题、计算题中出现，不 定积分是定积分的基础，定积分又是二重 积分、曲线积分的基础，技巧性比较大， 希望同学们多练习。 • 本讲重点：（1）原函数、不定积分的概念 和性质。（2）直接积分方法、换元积分法。 （3）凑微分技巧。 • 本讲难点：综合利用积分方法求不定积分 。
解：原式=
1 x3 dx
x 3dx
1 3 1
x 31
C
1 2
x 2
C
1 2x2
C
故选B
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例：求
1 1 x2
dx
提示公式：
1
1 x2
dx
arctan
x
C
解：原式=
1 1 x2
dx
arctan
x
C
16
例：计算
1
x
x
dx
提示公式： 1 dx ln | x | C
x
解：原式=
1
x x
dx
数
的全体原函数 F ( x ) C（c为任意常数）
称为 在该区间I上的不定积分。
记为 f ( x)dx . 即：
f ( x)dx F( x) C
积 分 符 号
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
任 意 常 数
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（一） 不定积分的概念与性质 3. 不定积分的几何意义 设函数 f (x) 在某区间上的一个原函数为 F ( x) ，则
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C; 13
（二） 不定积分的基本积分公式
(8) sec2 xdx tan x C;
(9) csc2 xdx cot x C;
基
本 (10) sec x tan xdx sec x C;
积 (11) csc x cot xdx csc x C;
12
（二） 不定积分的基本积分公式
(1) kdx kx C (k是常数);
基 (2)
x dx
x 1
1
C
( 1);
本 积 分 表
(3)
(4)
dx x
ln
|
x
|
C;
1
1 x
2dx
arctanx
C
arccot
x
C;
1
(5) 1 x2dx arcsinx C arccos x C;