不等关系与不等式ppt课件演示文稿
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不等关系与不等式ppt优秀课件
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
不等关系与不等式ppt课件演示文稿(1)
第29讲 │ 要点探究
(1)＞ (2)＞ [解答] (1)解法一： (x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)[x2＋y2－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)， ∵x<y<0，∴xy>0，x－y<0，∴－2xy(x－y)>0， ∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)． 解法二：∵x<y<0， ∴x－y<0，x2>y2，x＋y<0，xy>0. ∴(x2＋y2)(x－y)<0，(x2－y2)(x＋y)<0， (x2＋y2)(x－y) x2＋y2 ∴0< 2 2 ＝ 2 2 <1， (x －y )(x＋y) x ＋y ＋2xy ∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
2 x3 x ＋ － [解析] 设 4 ＝(xy2)m( y )n＝xm 2ny2m n，由此得 m＋2n＝3, y
第29讲 │ 不等关系与不等式
第29讲
不等关系与不等式
第29讲 │ 知识梳理 知识梳理
1．两个实数大小的比较原理 (1)差值比较原理：设 a、b∈R，则 a＞b⇔a－b＞0， a＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔________. a－b＜0 a a (2)商值比较原理： 设 a、 b∈R＋， 则b＞1⇔a＞b， b＝1⇔ a a＝b，b＜1⇔______. a＜b
第29讲 │ 要点探究
1 设 a∈R，且 a≠0，试比较 a 与a的大小． 1 (a－1)(a＋1) [解答] 由 a－a＝ . a 1 当 a＝± 1 时，a＝a； 1 当－1<a<0 或 a>1 时，a>a； 1 当 a<－1 或 0<a<1 时，a<a.
不等关系与不等式 课件
(2)要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条 性质是否具有可逆性．
用不等式(组)表示不等关系
[典例] 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情 况下，生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20 台．已知生产这些家电产品每台所需工时如下表：
家电名称 空调
彩电
冰箱
工时(h)
1 2
用不等式性质求解取值范围 [典例] 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值 范围． [解] ∵1＜a＜4,2＜b＜8，∴2＜2a＜8,6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)， 即－7＜a－b＜2. 故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)．
数式的大小比较
[典例] (1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a>0，试比较a与1a的大小． [解] (1)(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)x－122＋34. ∵x<1，∴x－1<0.又x－122＋34>0， ∴(x－1)x－122＋34<0. ∴x3－1<2x2－2x.
(2)因为a－1a＝a2－a 1＝a－1aa＋1， 因为a>0，所以当a>1时，a－1aa＋1>0，有a>1a； 当a＝1时，a－1aa＋1＝0，有a＝1a； 当0<a<1时，a－1aa＋1<0，有a<1a. 综上，当a>1时，a>1a； 当a＝1时，a＝1a； 当0<a<1时，a<1a.
用不等式(组)表示不等关系
[典例] 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情 况下，生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20 台．已知生产这些家电产品每台所需工时如下表：
家电名称 空调
彩电
冰箱
工时(h)
1 2
用不等式性质求解取值范围 [典例] 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值 范围． [解] ∵1＜a＜4,2＜b＜8，∴2＜2a＜8,6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)， 即－7＜a－b＜2. 故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)．
数式的大小比较
[典例] (1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a>0，试比较a与1a的大小． [解] (1)(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)x－122＋34. ∵x<1，∴x－1<0.又x－122＋34>0， ∴(x－1)x－122＋34<0. ∴x3－1<2x2－2x.
(2)因为a－1a＝a2－a 1＝a－1aa＋1， 因为a>0，所以当a>1时，a－1aa＋1>0，有a>1a； 当a＝1时，a－1aa＋1＝0，有a＝1a； 当0<a<1时，a－1aa＋1<0，有a<1a. 综上，当a>1时，a>1a； 当a＝1时，a＝1a； 当0<a<1时，a<1a.
3-1《不等式与不等关系》课件(共29张PPT)
判断两个实数大小的依据是：
abab0 a b ab 0 abab0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质Байду номын сангаас基础.
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
因式分解、配方、 通分等手段
比较两个数(式)的大小的方法:
例2．比较x2－x与x－2的大小.
am a
am a
作差
变形 定符号 确定大小
问题探究（三）不等式的性质的应用
性质１:对称性
a<b
b>a
性质２:传递性
a b，b c a c
性质３:可加性
a b ac bc
性质４:同正可乘性
a b，c 0 ac bc a b，c 0 ac bc
性质５:加法法则 (同向不等式可相加)
故选A．
变式 5、给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________．
[答案] ③
问题探究（四）利用不等式的性质求取值范围
例 6、已知－6<a<8,2<b<3，分别求 2a＋b，a－b，ab的取值范围．
分析:欲求 a－b 的取值范围，应先求－b 的取值范围，欲求 ab的取值范围，应先求1b的取值范围．
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16， 又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. ∵2<b<3，∴13<1b<12， ∵－6<a<8，∴－2<ab<4.
abab0 a b ab 0 abab0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质Байду номын сангаас基础.
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
因式分解、配方、 通分等手段
比较两个数(式)的大小的方法:
例2．比较x2－x与x－2的大小.
am a
am a
作差
变形 定符号 确定大小
问题探究（三）不等式的性质的应用
性质１:对称性
a<b
b>a
性质２:传递性
a b，b c a c
性质３:可加性
a b ac bc
性质４:同正可乘性
a b，c 0 ac bc a b，c 0 ac bc
性质５:加法法则 (同向不等式可相加)
故选A．
变式 5、给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________．
[答案] ③
问题探究（四）利用不等式的性质求取值范围
例 6、已知－6<a<8,2<b<3，分别求 2a＋b，a－b，ab的取值范围．
分析:欲求 a－b 的取值范围，应先求－b 的取值范围，欲求 ab的取值范围，应先求1b的取值范围．
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16， 又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. ∵2<b<3，∴13<1b<12， ∵－6<a<8，∴－2<ab<4.
不等关系与不等式 课件
作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论． (2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运 算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．
探究三 用不等式的性质证明不等式
[典例 3] 已知 a>b>0，c<d<0，e<0，求证：a－e c>b－e d. [解析] ∵c<d<0， ∴－c>－d>0， 又∵a>b>0， ∴a＋(－c)>b＋(－d)>0， 即 a－c>b－d>0， ∴0<a－1 c<b－1 d，
[解析] 设每天派出甲型卡车 x 辆，乙型卡车 y 辆，则
x＋y≤9， 10×6x＋6×8y≥360， 0≤x≤4，x∈N， 0≤y≤7，y∈N，
x＋y≤9， 5x＋4y≥30， 即0≤x≤4，x∈N， 0≤y≤7，y∈N.
用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等． (2)适当设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
a>b>0⇒n
n a>
b
(n∈N*，n≥2)
同向 同正
探究一 用不等式(组)表示不等关系 [典例 1] 某矿山车队有 4 辆载重为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载重为 6 t 的乙 型卡车，有 9 名驾驶员．此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂．已知 甲型卡车每辆每天可往返 6 次，乙型卡车每辆每天可往返 8 次，写出满足 上述所有不等关系的不等式．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
即 f(－2)的取值范围是[5,10]．
不等关系与不等式_优质PPT课件
26
[解]解法一 : 设f 2 mf 1 nf 1(m, n为待定系数),
则4a 2b m a b n a b,
即4a 2b m n a n m b,
于是得
mn4 n m 2
,
解得
m
n
3 ,
1
f 2 3f 1 f 1.
又Q 1≤f 1≤2, 2≤f 1≤4,
5≤3f 1 f 1≤10,
25
【典例4】 设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2, 2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围. [分析] 利用f(-1)与f(1)表示出a,b,然后再代入f(-2)的表
达式中,从而用f(-1)与f(1)表示f(-2),最后运用已知条件 确定f(-2)的取值范围.此题还可用线性规划求解.
1
2 n.
n1 n
39
[方法与技巧] 作商法需要注意商式分母必须为正,一般 地,比较指数式的大小用作商法较简单(如a,b>0时,比较 aa•bb与ba•ab的大小).本题用作差法也比较简单,同学们不 妨一试.
glg12
a
,
35
又0 x 1, 0 x2 1 0 1 x2 1;
又0 1 x 1 x 0 1 x 1, 1 x
所以lg 1 x2
1 x
1
0, lg 1
x
0,
lg 2a
0,
可得 loga 1 x 2 loga 1 x 2 0,
即 loga 1 x loga 1 x .
视x，y∈N*.
17
类型二
不等式性质的应用
解题准备:不等式的性质就其逻辑关系而言,可分为推出关系 (充分条件)和等价关系(充要条件)两类,同向可加性和同向 可乘性可推广到两个或两个以上的不等式,同向可乘时,应 注意a>b>0,c>d>0.深刻理解不等式的性质时,把握其逻辑 关系,才能正确应用不等式性质解决有关不等式的问题.
[解]解法一 : 设f 2 mf 1 nf 1(m, n为待定系数),
则4a 2b m a b n a b,
即4a 2b m n a n m b,
于是得
mn4 n m 2
,
解得
m
n
3 ,
1
f 2 3f 1 f 1.
又Q 1≤f 1≤2, 2≤f 1≤4,
5≤3f 1 f 1≤10,
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【典例4】 设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2, 2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围. [分析] 利用f(-1)与f(1)表示出a,b,然后再代入f(-2)的表
达式中,从而用f(-1)与f(1)表示f(-2),最后运用已知条件 确定f(-2)的取值范围.此题还可用线性规划求解.
1
2 n.
n1 n
39
[方法与技巧] 作商法需要注意商式分母必须为正,一般 地,比较指数式的大小用作商法较简单(如a,b>0时,比较 aa•bb与ba•ab的大小).本题用作差法也比较简单,同学们不 妨一试.
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,
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又0 x 1, 0 x2 1 0 1 x2 1;
又0 1 x 1 x 0 1 x 1, 1 x
所以lg 1 x2
1 x
1
0, lg 1
x
0,
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0,
可得 loga 1 x 2 loga 1 x 2 0,
即 loga 1 x loga 1 x .
视x，y∈N*.
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类型二
不等式性质的应用
解题准备:不等式的性质就其逻辑关系而言,可分为推出关系 (充分条件)和等价关系(充要条件)两类,同向可加性和同向 可乘性可推广到两个或两个以上的不等式,同向可乘时,应 注意a>b>0,c>d>0.深刻理解不等式的性质时,把握其逻辑 关系,才能正确应用不等式性质解决有关不等式的问题.
不等关系与不等式的性质教学课件ppt
不等式在经济学中的应用
不等式在物理学中的应用
不等式在计算机科学中的应用
不等式的实际应用
不等式与方程的联系与区别
04
在数学表达式中，不等式和方程都包含未知数，这使得它们都可以用来描述数量之间的关系。
表达式中都包含未知数
在求解不等式和方程的过程中，我们都会使用到一些相同的数学方法，比如因式分解、配方等。
柯西不等式的证明
柯西不等式可以通过数学归纳法和向量的性质进行证明。
柯西不等式的应用
柯西不等式在数学和物理中有着广泛的应用，如最优化问题、信号处理等。
柯西不等式的形式
柯西不等式可以表达为`∑(a_i^2) * ∑(b_i^2) ≥ (∑a_i * b_i)^2`，其中a_i和b_i是实数。
柯西不等式
在购买产品时，不同品牌或型号的产品质量之间存在不等关系，如优良和一般。
产品质量不等
03
角度不等
在几何学中，不同的角之间存在角度不等关系，如锐角和钝角。
数学中的不等关系
01
大小不等
在数学中，不同的数之间存在大小不等关系，如大于和小于。
02
距离不等
在几何学中，不同的点之间的距离之间存在不等关系，如靠近和远离。
03
不等式的定义
02
01
不等式的性质
加法单调性
即同向不等式相加，不等号不改变方向。
传递性
如果a>b，b>c，则a>c。
乘法单调性
即不等式乘以（或除以）正数，不等号不改变方向。
反对称性
如果a>b，则b<a；如果a<b，则b>a。
反身性
即任何实数都大于0。
不等式的证明方法
第1讲 不等关系与不等式 课件(共63张PPT)
解析
解决此类题目常用的三种方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是 否成立时要特别注意前提条件． (2)利用特殊值法排除错误答案． (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可 以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．
1．如果 a>0>b 且 a2>b2，那么以下不等式中正确的个数是
解析 答案
角度 2 作商法 例 3 设 a，b 都是正数，且 a≠b，则 aabb 与 abba 的大小关系是________. 答案 aabb>abba 解析 aaabbbba＝aa－b·bb－a＝aba－b.若 a>b，则ab>1，a－b>0，∴aba－b>1，∴ aabb>abba；若 a<b，则 0<ab<1，a－b<0，∴aba－b>1，∴aabb>abba.
解析 答案
作商法的步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商与 1 的大小；(4)结论．
4．若 a>0，且 a≠7，则( ) A．77aa<7aa7 B．77aa＝7aa7 C．77aa>7aa7 D．77aa 与 7aa7 的大小不确定 解析 777aaaa7＝77－aaa－7＝7a7－a，则当 a>7 时，0<7a<1,7－a<0，则7a7－a>1， ∴77aa>7aa7；当 0<a<7 时，7a>1,7－a>0，则7a7－a>1，∴77aa>7aa7.综上， 77aa>7aa7.
6.若 0<a<b<1，则 ab，logba，log b 的大小关系是________. 答案 log b<ab<logba 解析 ∵0<a<1，∴1a>1.又 0<b<1， ∴log b<log 1＝0.∵0<ab<a0＝1，logba>logbb＝1， ∴log b<ab<logba.
解决此类题目常用的三种方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是 否成立时要特别注意前提条件． (2)利用特殊值法排除错误答案． (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可 以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．
1．如果 a>0>b 且 a2>b2，那么以下不等式中正确的个数是
解析 答案
角度 2 作商法 例 3 设 a，b 都是正数，且 a≠b，则 aabb 与 abba 的大小关系是________. 答案 aabb>abba 解析 aaabbbba＝aa－b·bb－a＝aba－b.若 a>b，则ab>1，a－b>0，∴aba－b>1，∴ aabb>abba；若 a<b，则 0<ab<1，a－b<0，∴aba－b>1，∴aabb>abba.
解析 答案
作商法的步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商与 1 的大小；(4)结论．
4．若 a>0，且 a≠7，则( ) A．77aa<7aa7 B．77aa＝7aa7 C．77aa>7aa7 D．77aa 与 7aa7 的大小不确定 解析 777aaaa7＝77－aaa－7＝7a7－a，则当 a>7 时，0<7a<1,7－a<0，则7a7－a>1， ∴77aa>7aa7；当 0<a<7 时，7a>1,7－a>0，则7a7－a>1，∴77aa>7aa7.综上， 77aa>7aa7.
6.若 0<a<b<1，则 ab，logba，log b 的大小关系是________. 答案 log b<ab<logba 解析 ∵0<a<1，∴1a>1.又 0<b<1， ∴log b<log 1＝0.∵0<ab<a0＝1，logba>logbb＝1， ∴log b<ab<logba.
不等关系与不等式的性质教学课件ppt
尝试解决更复杂的不等式问题。
学生可以尝试将不等式知识应用于其他领域，例如数学分析、
03
物理和经济学等。
THANKS
不等式的性质包括传递性、加法可换性、加法结合性、乘 法可换性、乘法结合性和乘法分配性等。
不等关系包括对称性、传递性和不等式的可加性、可乘性 和可分配性等。
进一步学习建议
01
学生可以进一步学习其他类型的不等式，例如绝对值不等式、 三角不等式和柯西不等式等。
02
学生可以深入学习和理解不等式的性质和不等关系的性质，并
03
在几何学中，不等式常常被用来确定图形的形状、大小和位置
关系等。例如，利用勾股定理证明直角三角形。
不等式在经济中的应用
需求和供给
在经济学中，需求和供给的关系往往可以用不等式来表示，如需求大于供给，价格上升； 供给大于需求，价格下降。
投资决策
在投资决策中，可以利用不等式来评估投资风险和收益的关系，以确定最佳投资方案。
03
电学
在电学中，不等式可以描述电路中的电流、电压和电阻等物理量之间
的关系，如欧姆定律。
05
总结与回顾
本课程主要内容总结
1
总结了主要的不等式类型、不等式的性质以及 不等关系。
2
讲解了如何使用不等式来表示和解决实际问题 。
3
提供了大量的实例和练习题，以帮助学生更好 地理解和掌握不等式。
不等式的性质和不等关系的性质回顾
不等号包括大于$($>)、小于$($<)、大于等于$($≥)、小于等 于$($≤)、不等于$($≠)五种。
不等式的分类
按构成要素分类
不等式可以分为简单不等式和复杂不等式。简单不等式是指只含有一个未知 数的等式，如$x>1$；复杂不等式则是指含有两个或两个以上未知数的等式 ，如$x^2+y^2>z^2$。
不等式不等关系与不等式ppt
选取满足条件的特殊值或取值范围，说明不等式在这些特定情况下不成立。
特值法
通过构造反例，说明不等式在某些情况下不成立。
反例法
假设反面命题成立，推导出矛盾的结果，从而说明不等式不成立。
反证法
举反例说明不等式不成立
05
不等式的实际应用案例
通过建立不等式模型，可以有效地解决投资组合问题，优化资产配置。
在数学领域中，不等式是数学基础的一部分，它对于理解数学概念、解决数学问题以及推导定理具有重要的作用。
在科学实验中，不等关系是用来描述变量之间的变化关系的，例如化学反应速率、电磁波的传播等。
在经济学中，不等关系被用来比较成本效益、评估投资风险等，对于经济决策的制定具有重要的意义。
在社会学中，不等关系被用来描述社会现象、研究社会结构等，对于理解社会现象和推动社会发展具有重要的作用。
首先将不等式变形为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的形式，然后根据二次函数的图像和性质求解。
一元二次不等式
定义
含有一个未知数，且未知数的最高次数大于2，两边都是整式的不等式。
解法
通过因式分解或者二次方程的解法，将高次不等式转化为多个一元一次不等式或一元二次不等式进行求解。
高次不等式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
交通运输问题
不等式在资源分配问题中具有广泛应用，如任务分配、工作量分配等。
总结词
在任务分配问题中，可以建立不等式模型来约束不同任务的时间和资源需求，从而得到最优的任务分配方案。在工作量分配问题中，也可以通过不等式模型来约束不同部门或人员的工作量，以实现工作量的最优分配。
详细描述
资源分配问题
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不等关系和不等式PPT课件
练 习 ： 比 较 2a
2
+3和 4a的 大 小 .
1 练习 2.已知 a R 且 a 1, 比较 1 a 与 1 a 的大小.
例3 比较大小
1．
1 3 2
和
b bm 2． 和 (a, b, m R ) a am
3、设 a 0 且
比较 log t 1 a 2
(×) a>b>0,c>d>0
性质1 a b b a (反身性) 性质2 a b , b c a c (传 递 性) 性质3 a b a c b c (可 加 性) 性质4 a b , c d a c b d 性质5 a b , c 0 ac bc (可 乘 性) a b , c 0 ac bc
n n
n n
性质8：若 a b 0, 则 a b (n N且n 1)
例题讲析
c c 例1：已知 a b 0, c 0. 求证： . a b
练习1 （1）已知
1 1 a b, ab 0.求证： . a b
（2）已知
a b 0, c d 0.求证ac bd.
性质3 如果a > b , 那么a + c > b + c .
可 加 性
性质4 如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.
性质5 如果a>b,且c>0,那么ac>bc; 如果a>b,且c<0,那么ac<bc.
可 乘 性
性质6 如果a>b>0,且c>d>0,那么ac>bd.
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第五单元
不等式、推理与证明
第一节 不等关系与不等式
基础梳理
1. 不等式的定义：用不等号≠、＞、＜、≥、≤ 连接 两个数或代数式 的式子叫做不等式. 2. 不等式的基本性质 (1)a＞b b＜a; (2)a>b,b>c a > c; (3)a>b a+c > b+c; (4)a>b,c>0 ac > bc; (5)a>b,c<0 ac＜bc; (6)a>b,c>d a+c > b+d; (7)a>b>0,c>d>0 ac > bd; > n b. (8)a>b>0,n∈N*,n>1 an > bn,n a ____
2
易错警示
【例】（2010· 辽宁）已知-1＜x+y＜4且2＜x-y＜3， 则z=2x-3y的取值范围是 （答案用区间表示）.
错解 ∵-1＜x+y＜4，① 2＜x-y＜3，② ∴-3＜-x+y＜-2,③ 1 7 由①+②得 2 ＜x＜2 ，由①+③得-2＜y＜1， ∴1＜2x＜7，-3＜-3y＜6,-2＜2x-3y＜13， ∴z的取值范围是（-2，13）.
变式3-1 已知- 2 ≤ a<b ≤ ，求 2 ， 2 的取值范围． 2 解析：∵- 2 ≤a< 2 ， ① - <b ≤ 2 ， ② ①+②得-p<a+b<p，∴- 2 < 2 < 2 . ∵- 2 <b ≤ 2 ，∴- 2 ≤ -b < 2 . ③ ①+③得-p≤a-b<p，∴- 2 ≤ < . 2 2 又a<b，∴ 2 <0，∴- ≤ 2 <0.
解析：若a＞b＞0,则ab＞0,
即
1 b 1 ＞a
，
,∴①正确，同理可得③正确.
1 a 1 b
若a＞0,b＜0，则 ＞0,
＜0,∴
1 a
1 ＞b
,②正确.
经典例题
题型一 用不等式表示不等关系 【例1】 某蔬菜收购点租用车辆，将至少100 t新鲜 辣椒运往某市销售，可租用的大卡车和农用车分别为 10辆和20辆，若每辆大卡车载重8 t，运费960元，每 辆农用车载重2.5 t，运费360元，总运费不超过13 000元，据此安排两种车型，应满足哪些不等关系， 请列出来． 解 设租用大卡车x辆，农用车y辆，则
题型二 利用比较法比较大小 【例2】 (1)(2010×上海春招)已知a1，a2∈(0,1)， M=a1a2，N=a1+a2-1，则M与N的大小关系是( ) A. M＜N B. M＞N C. M=N D. 不确定 (2)已知a＞b＞0，比较aabb与abba的大小． 解 (1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1(a2-1)-(a2-1)=(a2-1)(a11)， ∵a1，a2∈(0,1)，∴a1-1＜0，a2-1＜0， ∴(a2-1)(a1-1)＞0， ∴M＞N，故选B. a b a a a b (2) b ba = a a-b = ＞1，
n 2 2 m n 4 3 2 x x 2 1 =(xy )- y 2 y4 x2 ∵3≤xy2≤8,4≤ 1 y ≤9，
x 2 2 2 1 ∴≤ (xy )- ≤ 3 ，16≤ y ≤81， 1 x2 2 1 2 1 ∴ 8 ´16≤(xy )- y ≤ 3´81， x3 x2 2 1 2 即2≤(xy )- y ≤27，所以2≤ y 4 ≤27， x3 故 y 4 的取值范围为[2,27]．
ab
b a b
b
a abb ∴ b a ab
＞1，即aabb＞abba.
变式2-1 a b b 已知a＞0，b＞0，求证：b + a ≥ + b a 证明：因为(a a +b b )-(a b+b ) =a( a - b)+b( b - a) =( a - b)(a-b) =( a- b)2( a+ b )≥0， 所以a a +b b ≥a b+b a ， a 即 b + b≥ b + a
3. 实数比较大小的方法 （1）a-b>0 a>b ; （2）a-b=0 a=b ; （3）a-b<0 a<b .
基础达标
1. （教材改编题）如果a＜0，b＞0，那么下列不等 式中正确的是b
C. a2＜b2 D. |a|＞|b|
1 a
解析：如果a＜0,b＞0，那么 ∴ a ＜ ，故选A.
1 1 b
<0，
1 b
＞0，
2. （教材改编题）“a＞0，b＞c”是“ab>ac”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：由“a＞0，b＞c”可推出“ab>ac”，反之不 一定成立故选A. 3. 已知 <α<β< 2 2 <α<β< 2 2
，则α-β的取值范围是
＜-β＜ 2 2
.
解析：∵,∴∴-π<α-β<0.答案为(-π,0)
1 a
，
1 a 1 a 1 ＜b
4. (原创题)对于下列命题：①若a＞b＞0,则 ②若a＞0,b＜0,则
1 ＞b
;
;
③若0＞a＞b,则
1 ＜b
.
其中正确的命题的序号为
(填正确命题的序号).
1 ab 1 1 ＞0,∴a·ab＞b·ab
a
a a
.
b
a
题型三 利用不等式的性质求代数式的范围 【例3】 (2010×江苏改编)设x，y为实数，且满足 3≤xy2≤8,4≤≤9，求的取值范围． x2 x3 m n， 解 设 =(xy2) y y4 则x3y-4=x2n+my2m-n， 2n m 3 即∴ m 1 ， ∴
8 x 2.5 y 100 960 x 360 y 13000 0 x 10 0 y 20 x, y N
即
8 x 2.5 y 100 24 x 9 y 325 0 x 10 0 y 20 x, y N .
不等式、推理与证明
第一节 不等关系与不等式
基础梳理
1. 不等式的定义：用不等号≠、＞、＜、≥、≤ 连接 两个数或代数式 的式子叫做不等式. 2. 不等式的基本性质 (1)a＞b b＜a; (2)a>b,b>c a > c; (3)a>b a+c > b+c; (4)a>b,c>0 ac > bc; (5)a>b,c<0 ac＜bc; (6)a>b,c>d a+c > b+d; (7)a>b>0,c>d>0 ac > bd; > n b. (8)a>b>0,n∈N*,n>1 an > bn,n a ____
2
易错警示
【例】（2010· 辽宁）已知-1＜x+y＜4且2＜x-y＜3， 则z=2x-3y的取值范围是 （答案用区间表示）.
错解 ∵-1＜x+y＜4，① 2＜x-y＜3，② ∴-3＜-x+y＜-2,③ 1 7 由①+②得 2 ＜x＜2 ，由①+③得-2＜y＜1， ∴1＜2x＜7，-3＜-3y＜6,-2＜2x-3y＜13， ∴z的取值范围是（-2，13）.
变式3-1 已知- 2 ≤ a<b ≤ ，求 2 ， 2 的取值范围． 2 解析：∵- 2 ≤a< 2 ， ① - <b ≤ 2 ， ② ①+②得-p<a+b<p，∴- 2 < 2 < 2 . ∵- 2 <b ≤ 2 ，∴- 2 ≤ -b < 2 . ③ ①+③得-p≤a-b<p，∴- 2 ≤ < . 2 2 又a<b，∴ 2 <0，∴- ≤ 2 <0.
解析：若a＞b＞0,则ab＞0,
即
1 b 1 ＞a
，
,∴①正确，同理可得③正确.
1 a 1 b
若a＞0,b＜0，则 ＞0,
＜0,∴
1 a
1 ＞b
,②正确.
经典例题
题型一 用不等式表示不等关系 【例1】 某蔬菜收购点租用车辆，将至少100 t新鲜 辣椒运往某市销售，可租用的大卡车和农用车分别为 10辆和20辆，若每辆大卡车载重8 t，运费960元，每 辆农用车载重2.5 t，运费360元，总运费不超过13 000元，据此安排两种车型，应满足哪些不等关系， 请列出来． 解 设租用大卡车x辆，农用车y辆，则
题型二 利用比较法比较大小 【例2】 (1)(2010×上海春招)已知a1，a2∈(0,1)， M=a1a2，N=a1+a2-1，则M与N的大小关系是( ) A. M＜N B. M＞N C. M=N D. 不确定 (2)已知a＞b＞0，比较aabb与abba的大小． 解 (1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1(a2-1)-(a2-1)=(a2-1)(a11)， ∵a1，a2∈(0,1)，∴a1-1＜0，a2-1＜0， ∴(a2-1)(a1-1)＞0， ∴M＞N，故选B. a b a a a b (2) b ba = a a-b = ＞1，
n 2 2 m n 4 3 2 x x 2 1 =(xy )- y 2 y4 x2 ∵3≤xy2≤8,4≤ 1 y ≤9，
x 2 2 2 1 ∴≤ (xy )- ≤ 3 ，16≤ y ≤81， 1 x2 2 1 2 1 ∴ 8 ´16≤(xy )- y ≤ 3´81， x3 x2 2 1 2 即2≤(xy )- y ≤27，所以2≤ y 4 ≤27， x3 故 y 4 的取值范围为[2,27]．
ab
b a b
b
a abb ∴ b a ab
＞1，即aabb＞abba.
变式2-1 a b b 已知a＞0，b＞0，求证：b + a ≥ + b a 证明：因为(a a +b b )-(a b+b ) =a( a - b)+b( b - a) =( a - b)(a-b) =( a- b)2( a+ b )≥0， 所以a a +b b ≥a b+b a ， a 即 b + b≥ b + a
3. 实数比较大小的方法 （1）a-b>0 a>b ; （2）a-b=0 a=b ; （3）a-b<0 a<b .
基础达标
1. （教材改编题）如果a＜0，b＞0，那么下列不等 式中正确的是b
C. a2＜b2 D. |a|＞|b|
1 a
解析：如果a＜0,b＞0，那么 ∴ a ＜ ，故选A.
1 1 b
<0，
1 b
＞0，
2. （教材改编题）“a＞0，b＞c”是“ab>ac”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：由“a＞0，b＞c”可推出“ab>ac”，反之不 一定成立故选A. 3. 已知 <α<β< 2 2 <α<β< 2 2
，则α-β的取值范围是
＜-β＜ 2 2
.
解析：∵,∴∴-π<α-β<0.答案为(-π,0)
1 a
，
1 a 1 a 1 ＜b
4. (原创题)对于下列命题：①若a＞b＞0,则 ②若a＞0,b＜0,则
1 ＞b
;
;
③若0＞a＞b,则
1 ＜b
.
其中正确的命题的序号为
(填正确命题的序号).
1 ab 1 1 ＞0,∴a·ab＞b·ab
a
a a
.
b
a
题型三 利用不等式的性质求代数式的范围 【例3】 (2010×江苏改编)设x，y为实数，且满足 3≤xy2≤8,4≤≤9，求的取值范围． x2 x3 m n， 解 设 =(xy2) y y4 则x3y-4=x2n+my2m-n， 2n m 3 即∴ m 1 ， ∴
8 x 2.5 y 100 960 x 360 y 13000 0 x 10 0 y 20 x, y N
即
8 x 2.5 y 100 24 x 9 y 325 0 x 10 0 y 20 x, y N .