2011年理科数学辽宁省高考真题含答案

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2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数 学（供理科考生使用）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的． 1．a 为正实数，i 为虚数单位，
2=+i
i
a ，则=a
A ．2
B
C
D ．1
2．已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若 N ð=M I ∅，则=N M
A ．M
B ．N
C ．I
D ．∅
3．已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的
中点到y 轴的距离为
A ．
34
B ．1
C ．
54
D ．
74
4．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a
b
A ．
B ．
C
D
5．从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A =“取到的2个数之和
为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则P （B ︱A ）= A ．1
8 B ．
14
C ．25
D ．12
6．执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是 A ．8 B ．5
C ．3
D ．2
7．设sin 1
+=43π
θ（），则sin 2θ=
A ．79-
B ．19
-
C ．
1
9
D ．
79
8．如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，
则下列结论中不正确．．．的是 A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCD
C ．SA 与平面SB
D 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角
D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角
9．设函数⎩⎨⎧>-≤=-1
,log 11
,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是
A ．1[-，2]
B ．[0，2]
C ．[1，+∞]
D ．[0，+∞]
10．若a ，b ，c 均为单位向量，且0=⋅b a ，0)()(≤-⋅-c b c a ，则||c b a -+的最大值为
A ．12-
B ．1
C ．2
D ．2
11．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为 A ．（1-，1）
B ．（1-，+∞）
C ．（∞-，1-）
D ．（∞-，+∞）
12．已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =3， 30=∠=∠BSC ASC ，则棱
锥S —ABC 的体积为 A ．33
B ．32
C ．3
D ．1
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知点（2，3）在双曲线C ：)0,0(122
22>>=+b a b
y a x 上，C 的焦距为4，则它的离心率
为 ．
14．调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显
示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：
321.0254.0ˆ+=x y
．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均
增加____________万元．
15．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯
视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ．
16．已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（2
||,0π
ϕω<
>），y =)(x f
的部分图像如下图，则=)24
(
π
f ．
三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；
（II ）求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和． 18．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =
1
2
P D ．
（I ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； （II ）求二面角Q —BP —C 的余弦值． 19．（本小题满分12分）
某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．
（I ）假设n =4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；
（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上
的每公顷产量（单位：kg/hm 2）如下表：
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为
应该种植哪一品种？
附：样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差])()()[(1
222212x x x x x x n
s n -+⋅⋅⋅+-+-=，
其中x 为样本平均数．
20．（本小题满分12分）
如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．
（I ）设1
2
e =
，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由． 21．（本小题满分12分）
已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=． （I ）讨论)(x f 的单调性； （II ）设0>a ，证明：当a x 10<
<时，)1
()1(x a
f x a f ->+； （III ）若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f '（x 0）＜0．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC =ED ．
（I ）证明：CD //AB ；
（II ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF =EG ，证明：A ，B ，G ，F
四点共圆．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕ
sin cos y x （ϕ为参数），曲线C 2的
参数方程为⎩
⎨⎧==ϕϕ
sin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的
极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=
2
π
时，这两个交点重合． （I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； （II ）设当α=
4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α=4
π
-时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数)(x f =|x -2||-x -5|． （I ）证明：3-≤)(x f ≤3；
（II ）求不等式)(x f ≥x 28-x +15的解集．
参考答案
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的
主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内
容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4．只给整数分数，选择题不给中间分. 一、选择题
1—5 BACDB 6—10 CADDB 11—12 BC 二、填空题 13．2 14．0.254 15
．16
三、解答题 17．解：
（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得11
0,
21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩
解得11,
1.
a d =⎧⎨
=-⎩
故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分
（II ）设数列1
{
}2
n n n a n S -的前项和为，即2
111,122
n
n n a a S a S -=+++
=故， 12
.224
2n n
n
S a a a =+++ 所以，当1n >时，
121
1111222211121()
2422
121(1)22
n n n n n n
n n n n
S a a a a a a n
n
------=+++--=-+++--=---
.2
n n 所以1
.2n n n S -=
综上，数列11{}.22
n n n n a n
n S --=的前项和 ………………12分
18．解：
如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D —xyz.
（I ）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0）.
则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).DQ DC PQ ===- 所以0,0.PQ DQ PQ DC ⋅=⋅=
即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC.
故PQ ⊥平面DCQ.
又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ. …………6分 （II
）依题意有B （1，0，1），(1,0,0),(1,2,1).CB BP ==--
设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0,0,
20.0,n CB x x y z n BP ⎧⋅==⎧⎪⎨⎨-+-=⋅=⎩
⎪⎩即
因此可取(0,1,2).n =--
设m 是平面PBQ 的法向量，则0,0.
m BP m PQ ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩
可取(1,1,1).cos ,m m n =<>=所以 故二面角Q —BP —C
的余弦值为 ………………12分 19．解：
（I ）X 可能的取值为0，1，2，3，4，且
4
813444
822
444
831
444
8
4
811(0),70
8
(1),3518
(2),358
(3),3511(4).70
P X C C C P X C C C P X C C C P X C P X C ==
============
= 即X 的分布列为
………………4分 X 的数学期望为
181881()01234 2.7035353570
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯= ………………6分 （II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
222222221
(403397390404388400412406)400,
8
1
(3(3)(10)4(12)0126)57.25.
8
x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲
………………8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
2
222222221
(419403412418408423400413)412,
81(7(9)06(4)11(12)1)56.
8
x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙 ………………10分
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 20．解：（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设
22222
122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a
+=+=>>
设直线:(||)l x t
t a =<，分别与C 1，C 2的方程联立，求得
((A t B t ………………4分
当1,,,2A B e b y y =
=时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知 222||3||:||.2||4
B A y b B
C A
D y a === ………………6分
（II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相
等，即
=
解得22
22
21.ab e t a a b e
-=-=---
因为221||,01,1, 1.e t a e e e
-<<<<<<又所以
所以当0e <≤
时，不存在直线l ，使得BO//AN ；
当
1e <<时，存在直线l 使得BO//AN. ………………12分 21．解：
（I ）()(0,),f x +∞的定义域为 1(21)(1)()2(2).x ax f x ax a x x
+-'=
-+-=-
（i ）若0,()0,()(0,)a f x f x '≤>+∞则所以在单调增加.
（ii ）若10,()0,a f x x a
'>==
则由得 且当11
(0,),()0,,()0.x f x x f x a a ''∈>><时当时
所以1()(0,)f x a 在单调增加，在1
(,)a
+∞单调减少. ………………4分
（II ）设函数11
()()(),g x f x f x a a
=+--则
3222
()ln(1)ln(1)2,2()2.
111g x ax ax ax a a a x g x a ax ax a x =+---'=+-=+--
当1
0,()0,(0)0,()0x g x g g x a '<<>=>时而所以. 故当10x a <<时，11
()().f x f x a a
+>- ………………8分
（III ）由（I ）可得，当0,()a y f x ≤=时函数的图像与x 轴至多有一个交点，
故0a >，从而()f x 的最大值为1
1(),()0.f f a a
>且 不妨设1212121
(,0),(,0),0,0.A x B x x x x x a
<<<<<则 由（II ）得111211
(
)()()0.f x f x f x a a a
-=+->= 从而122102
1,.2x x x x x a a
+>
-=>于是 由（I ）知，0()0.f x '< ………………12分 22．解：
（I ）因为EC=ED ，所以∠EDC=∠ECD.
因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA ，
所以CD//AB. …………5分
（II ）由（I ）知，AE=BE ，因为EF=FG ，故∠EFD=∠EGC
从而∠FED=∠GEC.
连结AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠FAE=∠GBE ， 又CD//AB ，∠EDC=∠ECD ，所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180°.
故A ，B ，G ，F 四点共圆 …………10分
23．解：
（I ）C 1是圆，C 2是椭圆.
当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的
距离为2，所以a =3. 当2
π
α=
时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，
所以b =1.
（II ）C 1，C 2的普通方程分别为2
2
2
21 1.9
x x y y +=+=和
当4
π
α=
时，射线l 与C 1交点A 1
的横坐标为x =
，与C 2交点B 1的横坐标为
x '=
当4
π
α=-
时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此，
四边形A 1A 2B 2B 1为梯形. 故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(22)()2
.25
x x x x ''+-= …………10分
24．解：
（I ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤⎧⎪
=---=-<<⎨⎪≥⎩
当25,327 3.x x <<-<-<时
所以3() 3.f x -≤≤ ………………5分 （II ）由（I ）可知，
当2
2,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集；
当225,()815{|55}x f x x x x x <<≥-+-≤<时的解集为； 当25,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为.
综上，不等式2()815{|56}.f x x x x x ≥-+-≤≤的解集为 …………10分
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