(完整版)解三角形题型总结(最新整理)

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(完整版)解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳、知识点归纳(★☆注重细节，熟记考点☆★)1正弦定理及其变形a sin A变式： b c —— — 2R (R 为三角形外接圆半径)sin B sin C (1 a 2RsinA,b 2Rsin B,c 2RsinC (边化角公式) (2) si nA,si nB ,si nC (角化边公式)2R 2R2R(3 a: b: c sin A:si nB:si nC一、a sin A a sin A b sin Bb sin Bc sin C c sin C2 •正弦定理适用情况：(1) 已知两角及任一边；(2) 已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况) 3 •余弦定理及其推论2 22ab c 2bccosAb ac 2accosB 222cab 2abcosC4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角;注.解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式•7. 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角b 22c 2 a2bc222ac b2ac2.22ab c (2)已知三边.5. 常用的三角形面积公式1(1) S ABC 底2 1(2) S 二一 absi nC26. 三角形中常用结论 1 1 acsin B bcsin A 24c R 为ABC 外接圆半径(两边夹一角)；(1) a b c, b c (2) 在 ABC 中, A (3) 在 ABC 中，A Ba, a ③ tan A B tanC ；b(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边) b si nA si n B(即大边对大角，大角对大边) ，所以 ① sin A B sinC :② cos A B cosC ；A B C AB. C ④ sin cos ,⑤ cos sin2 2 2 2cos AcosB cosC 2ab在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图 ①）从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为a （如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。

解三角形解答题十大题型总结(解析版)--2024高考数学常考题型精华版

解三角形解答题十大题型总结【题型目录】题型一：利用正余弦定理面积公式解题题型二：解三角形与三角恒等变换结合题型三：三角形面积最大值，及取值范围问题题型四：三角形周长最大值，及取值范围问题题型五：角平分线相关的定理题型六：有关三角形中线问题题型七：有关内切圆问题（等面积法）题型八：与向量结合问题题型九：几何图形问题题型十：三角函数与解三角形结合【典例例题】题型一：利用正余弦定理面积公式解题【例1】△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【答案】(1)2sin sin 3B C =(2)3+.【详解】：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =.故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-.所以23B C π+=，故3A π=.由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得b c +=.故ABC 的周长为3【例2】的内角的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ．【答案】（1）1517；（2）2．【详解】：（1）()2sin 8sin 2B A C +=，∴()sin 41cos B B =-，∵22sin cos 1B B +=，∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =；（2）由（1）可知8sin 17B =，∵1sin 22ABC S ac B =⋅=，∴172ac =，∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=，∴2b =．【例3】ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =332ABC S ∆=，求ABC ∆的周长.【答案】（1）3C π=（2）5+【详解】：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C（2）11sin 6222∆=⇒=⋅⇒=ABC S ab C ab ab 又2222cos +-= a b ab C c 2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a b ABC ∆∴的周长为5+【例4】已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，c ccosA =-.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2，ABC ∆，求b ，c .【答案】(1)3A π=(2)b c ==2【详解】(Ⅰ)由sin cos c C c A =-及正弦定理得sin cos sin sin A C A C C-=由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0A π<<，故3A π=.(Ⅱ)ABC ∆的面积S =1sin 2bc A ,故bc =4，而2222cos a b c bc A =+-故22c b +=8，解得b c ==2【例5】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））在ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边．sin sin 2A C c b C +=．(1)求角B 的大小；(2)若112,2tan tan tan b A C B+==，求ABC 的面积．，【题型专练】1.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，（1）求角A （2）若2a =，ABC ∆的面积为；求,b c .【答案】（1）（2）b=c=2【解析】：（1）由及正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=，因为B A C π=--sin cos sin sin 0A C A C C --=．由于sin 0C ≠，所以1sin(62A π-=．又0A π<<，故3A π=．（2）ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==4bc =，而2222cos a b c bc A =+-，故228b c +=．解得2b c ==．2.已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos ;B（2）若90B = ，且a =求ABC ∆的面积．【答案】（1）14；（2）1【解析】：（1）由题设及正弦定理可得22b ac=又a b =，可得2,2b c a c==由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==（2）由（1）知22b ac=因为90B = ，由勾股定理得222a cb +=故222a c ac +=，得c a ==所以的面积为13.（2021新高考2卷）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【详解】（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =，2221cos 28a b c C ab +-==，所以，C 为锐角，则37sin 8C ==，因此，11sin 452284ABC S ab C ==⨯⨯⨯=△；（2）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===++，解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，a Z ∈ ，故2a =.4.（2022·广东佛山·高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos sin B a B =+．(1)求角A 的大小；(2)若2sin a B C ==，求ABC 的面积．5．（2022·安徽省宿松中学高二开学考试）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,tan sin a b c B A C B ==.(1)求角C 的大小；(2)若ABC 的面积为196，求ABC 外接圆的半径.题型二解三角形与三角恒等变换结合【例1】ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ，求ABC 的面积；（2）若sin A C =22，求C .【答案】（1；（2）15︒.【分析】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 2S ac B ==；（2）30A C +=︒ ，sin sin(30)A C C C∴=︒-+1cos sin(30)222C C C =+=+︒=，030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒ ，3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.【例2】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=．（1）求A ；（2）若33b c a -=，证明：△ABC 是直角三角形．【答案】（1）3A π=；（2）证明见解析【分析】（1）因为25cos cos 24A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=，解得1cos 2A =，又0A π<<，所以3A π=；（2）因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，即222b c a bc +-=①，又33b c a -=②，将②代入①得，()2223b c b c bc +--=，即222250b c bc +-=，而b c >，解得2b c =，所以a =，故222b a c =+，即ABC 是直角三角形．【例3】在ABC ∆中，满足222sin cos sin cos A B A B C -+=-．（1）求C ；（2）设()()2cos cos cos cos 5cos 5A B A B ααα++==，，求tan α的值.【详解】（1）∵221cos B sin B =-，221cos C sin C =-，∴222sin A cos B cos C -=-变形为22211sin A sin B sin C --+=--（）（），即222sin A sin B sin C ++=，利用正弦定理可得：222a b c ++=，由余弦定理可得cosC=22-，即C=34π.（2）由（1）可得cos （A+B ）=2，A+B=4π，又cosAcosB=cos()cos 3225A B A B ++-=（），可得72cos(A B)10-=，同时cos （αA +）cos （αB +）=72cos(2α)cos(2αA B)cos A B 41022π+++++-=（），∴22272272cos(2α)sin2αcos(αA)cos(αB)410210222cos cos cos πααα++-+++===222222722sinαcosα2102cos sin cos sin cos ααααα--++（）=222622552cos sin cos ααα+-=2510tan α+- 2tan α=5，∴2tan 5tan 62αα-+=，∴ 1tan α=或4.【题型专练】1.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）3A π=；（2）sin 4C +=.【分析】【详解】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C-=-+=-即：222sin sin sin sin sin B C A B C+-=由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,A π∈ 3A π∴=（2）2b c +=，由正弦定理得：sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin222C C C ++=整理可得：3sin C C22sin cos 1C C += (()223sin 31sin C C ∴=-解得：62sin 4C =或624因为sin 2sin 2sin 02B C A C ==->所以sin 4C >，故62sin 4C +=.（2）法二：2b c += sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin222C C C ++=整理可得：3sin C C ，即3sin 6C C C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+62sin sin()464C ππ=+=.2.（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知在锐角ABC 中，sin tan 1cos B A B =+.(1)证明：2B A =；(2)求tan tan 1tan tan B A A B-的取值范围.，再逆用正切的差角公式，结合第一问的结论得到3.在ABC 中，已知223sin cos sin cos sin 222A CB +=.（1）求证：2a c b +=；（2）求角B 的取值范围.【详解】证明：（1）223sin cossin cos sin 222C A A C B += 1cosC 1cos 3sin sin sin 222A A C B++∴+=()()sin 1cosC sin 1cos 3sin A C A B ∴+++=sin sin sin cosC sin cos 3sin A C A C A B∴+++=()sin sin sin C 3sin A C A B ∴+++=C A B π++= A C B π∴+=-()sin sin A C B∴+=sin sin 2sin A C B∴+=根据正弦定理得：2a c b +=，得证．（2）由（1）知在ABC 中，2a c b+=又222cos 2a c b B ac +-=消去b 化简得：()2231611cos 84842a c ac B ac ac +=-≥-=当且仅当a c =时取等号，又B 为三角形的内角，0,3B π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦题型三：三角形面积最大值，及取值范围问题【例1】在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()tan tan 2AB C +=，且2a =，则ABC 的面积的最大值为A ．33B ．32CD．【答案】A【解析】：因为()tan tan2AB C +=，且B C A +=π-，所以()22tan2tan tan 1tan 2A B C A A +=-=--tan 02A =>，所以tan 2A =，则2π3A =.由于2a =为定值，由余弦定理得222π42cos 3b c bc =+-，即224b c bc =++.根据基本不等式得22423b c bc bc bc bc =++≥+=，即43bc ≤，当且仅当b c =时，等号成立.所以11433sin 22323ABC S bc A =≤⨯⨯=.故选：A【例2】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1)3B π=;(2)33(,)82.【分析】(1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=．0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)解法一：因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =，由三角形面积公式有：222sin()111sin 33sin sin sin 222sin 4sin ABC C a A S ac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅==⋅22sin cos cos sin 2123133(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-=⋅=⋅-=+.又因3,tan 623C C ππ<<>,故3313388tan 82C <+<，故3382ABC S <<.故ABC S 的取值范围是33,82解法二：若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，由余弦定理可得b ==，由三角形ABC 为锐角三角形，可得2211a a a +-+>且2211a a a +-+>，且2211a a a +>-+，解得122a <<，可得ABC ∆面积1sin 23S a π==∈．【例3】在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若4a c +=，2sin sin sin B A C =+，则ABC △的面积的最大值为（）AB ．2C．D ．4【答案】A 【解析】因为2sin sin sin B A C =+，所以2b a c =+，因4a c +=，所以2=b ，由余弦定理得()acacac ac ac b ac c a ac b c a B 221224216222cos 22222-=--=--+=-+=所以ac B ac 212cos 2-=，所以acacB -=6cos ，所以()()()()acac ac ac ac B B 22222661cos 1sin --=--=-=因11sin 22ABCa c ac a c Sac B ac ac ∆==⋅==因为ac c a 2≥+，所以()442=+≤c a ac，ABC S ∆=≤=注：此题也可用椭圆轨迹方程做【例4】在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，若2a =，b =，则ABC △的面积的最大值为（）AB ．2C ．D ．4【答案】A 【解析】因为2a =，b =，由余弦定理得()2222222324432432cos c c cc cc bcac b A -=⋅-+=-+=所以()()2244244222223216324121632161232441cos 1sin c c c c c c c cc A A -+-=-+-=--=-=因21sin 2ABCS bc A ∆===设t c =2，则ABCS∆==≤注：此题也可用圆轨迹方程做【题型专练】1.已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________．【解析】：由，且，故()()()a b sinA sinB c b sinC +-=-，又根据正弦定理，得()()()a b a b c b c +-=-，化简得，222b c a bc +-=，故222122b c a cosA bc +-==，所以060A =，又224b c bc bc +-=≥，故12BAC S bcsinA ∆=≤2.已知，，分别为△ABC 角，，的对边，cos 2−cos 2−cos 2=cosvos +cos −cos2，且=3，则下列结论中正确的是()A.=3B.=23C.△ABC D.△ABC 【答案】B【解答】解∵cos 2−cos 2−cos 2=cosvos +cos −cos2，∴(1−sin 2p −(1−sin 2p −(1−sin 2p =cosvos −cos(+p −(1−2sin 2p ，∴sinLin +sin 2+sin 2−sin 2=0，由正弦定理可得B +2+2−2=0，∴cos =2+2−22B=−12，又0<<，∴=23，即2=3=2+2−23=2+2+B⩾2B +B =3B ，当且仅当==1时取等号，∴B⩽1，∴=12Bsin 故选：B ．3.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知B c C b a sin cos +=．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=b ，求ABC 面积的最大值.【详解】(1)∵Bc C b a sin cos +=∴由正弦定理知B C C B A sin sin cos sin sin +=①在三角形ABC 中，()C B A +-=π∴()B C C B C B A sin sin cos sin sin sin +=+=②由①和②得C B C B sin cos sin sin =而()π,0∈C ，∴0sin ≠C ，∴B B cos sin =又()π,0∈B ，∴4π=B (2)ac B ac S ABC 42sin 21==∆，由已知及余弦定理得：4＝a 2+c 2﹣2ac cos 4π≥2ac ﹣2ac 22⨯，整理得：ac≤，当且仅当a ＝c 时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为(1212222⨯=+1=+4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，设sin A cos B ＝sin B （2﹣cos A ）．（1）若b +c =3a ，求A ；（2）若a ＝2，求△ABC 的面积的最大值．【解析】（1）∵sin A cos B ＝sin B （2﹣cos A ），结合正、余弦定理，可得a •2+2−22B=b •（2−2+2−22B），化简得，c ＝2b ，代入b +c =3a ，得a =3b ，由余弦定理知，cos A =2+2−22B =2+42−322δ2=12，∵A ∈（0，π），∴A =3．（2）由（1）知，c ＝2b ，由余弦定理知，cos A =2+2−22B =52−442=5412，∴△ABC 的面积S =12bc sin A ＝b 21−c 22=b 2=16=当b 2=209时，S 取得最大值，为43．5.在ABC ∆中，内角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，D 是AB 的中点，若1CD =且1()sin ()(sin sin )2a b A c b C B -=+-，则ABC ∆面积的最大值是___【答案】5如图，设CDA θ∠=，则CDB πθ∠=-,在CDA ∆和C D B ∆中，分别由余弦定理可得22221144cos ,cos()c c b a c cθπθ+-+-=-=，两式相加，整理得2222()02c a b +-+=，∴2222()4c a b =+-．①由()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭及正弦定理得()()1c b 2a b a c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，整理得2222aba b c +-=，②由余弦定理的推论可得2221cos 24a b c C ab +-==，所以sin 4C =．把①代入②整理得2242aba b ++=，又222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立，所以54222ab ab ab ≥+=，故得85ab ≤．所以118sin 22545ABCab C S ∆=≤⨯=．即ABC ∆面积的最大值是5．故答案为5．6.（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且cos sin a b C B -=．(1)求B ；(2)若2a =，且ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积S 的取值范围．题型四：三角形周长最大值，及取值范围问题【例1】在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，若ABC 的面积为()2224a b c +-，且4c =，则ABC 的周长的取值范围是________.【答案】4,12]+【解析】因为ABC 的面积为()2224a b c +-，所以()2221sin 42a b c ab C +-=，所以222sin 2a b c C ab +-=.由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，sin C C =，即tan C ，所以3Cπ=.由正弦定理可得sin sin sin 3a b c A B C ===，所以83832(sin sin )sin sin 8sin 3336a b A BA A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为ABC 为锐角三角形，所以62A ππ<<，所以sin 126A π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，则ssin()86A π<+，即8a b <+≤.故ABC 的周长的取值范围是4,12]+.【例2】在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c sin sin cos sin B CC C A++=(1)求A ；(2)若ABC 的外接圆的半径为1，求22b c +的取值范围.c【例3】（2022·重庆八中高三阶段练习）在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sinsin ,2A Ca b A b +==(1)求角B 的大小；(2)求2a c -的取值范围.【例4】（2022·四川省仁寿县文宫中学高三阶段练习（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin 2B Ca A B c ++=．(1)求角A 的大小；(2)若角B 为钝角，求b的取值范围．【题型专练】1.在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222cos sincos sin sin A B C A B =++.（1）求角C 的大小；（2）若c ，求ABC ∆周长的取值范围.【答案】（1）23π；（2）(2+（1）由题意知2221sin sin 1sin sin sin A B C A B -=+-+，即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=-，由正弦定理得222a b c ab+-=-由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，又20,3C C ππ<<∴=.（2）2,2sin ,2sin 2sin sin sin sin3a b c a A b BA B C π====∴==，则ABC ∆的周长()2sin sin 2sin sin 2sin 33L a b c A B A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++++++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦230,,sin 1333323A A A πππππ⎛⎫<<∴<+<<+≤ ⎪⎝⎭ ，2sin 23A π⎛⎫∴<++≤ ⎪⎝⎭，ABC ∴∆周长的取值范围是(2+.2.ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【分析】【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈ ，23A π∴=.（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+，ABC ∴ 周长的最大值为3+.3.已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，(cos )a C C b c +=+．（1）求角A ；（2）若5a =，求ABC △的周长的最大值．【详解】（1）由题意知()(cos )sin cos sin sin a C C b c A C C B C =+⇒+=+，所以()()sin cos sin sin A C C A C C +=++，即sin cos sin sin cos cos sin sin A C A C A C A C C+=++sin cos sin sin A C A C C =+，因0sin ≠C cos 1A A -=，即2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又50,,666A A ππππ⎛⎫<<∴-∈- ⎪⎝⎭ ，所以66A ππ-=，所以3π=A （2）由余弦定理得：222222cos 25a b c b c A b c bc =+-⋅=+-=，即()2325b c b c +-⋅=.22b c b c +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭ （当且仅当b c =时取等号），()()()22221253324b c b c b c b c b c +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：10b c +≤（当且仅当b c =时取等号），ABC ∴ 周长51015L a b c =++≤+=，ABC ∴ 周长的最大值为15.题型五：角平分线相关的定理【例1】在中ABC △，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，BD BC ⊥交AC 于点D ，且1BD =，则2a c +的最小值为．【详解】由题意知ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+ ，所以111sin sin sin 222ac B cBD ABD aBD CBD ∴=∠+∠，即1311111122222ac c a ∴⨯=⨯⨯+⨯⨯即2c a =+，所以12a c =+，所以))12422224333a c a c a c a c c a ⎛⎫⎫+++=+++≥+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭【例2】△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC ．（Ⅰ）求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若60BAC ∠= ,求B ∠.【详解】（Ⅰ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠因为AD 平分∠BAC,BD=2DC,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（Ⅱ）因为()180,60,C BAC B BAC∠=-∠+∠∠=所以()31sin sin cos sin .22C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠由（I ）知2sin sin B C ∠=∠,所以3tan ,30.3B B ∠=∠= 【例3】（河南省豫北名校普高联考2022-2023学年高三上学期测评（一）文科数学试卷）在ABC 中，内角,,A B C的对边分别为,,a b c ，且______．在①cos cos 2b C B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②2ABC S BC =⋅△ ；③tan tan tan A C A C +-这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．(1)求角B 的大小；(2)若角B 的内角平分线交AC 于D ，且1BD =，求4a c +的最小值．ABC ABD BCD S S S =+ ，12π1sin 232ac c ∴=⋅即333444ac c a =+，a c ac ∴+=，a ac +∴()11444552a c a c a c ac c a ⎛⎫∴+=++=++≥+ ⎪⎝⎭【题型专练】1.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23BAC π∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，1AD =，则b c +的最小值为．【详解】ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+ ，所以111sin sin sin 222bc A cAD BAD bAD CAD ∴=∠+∠，即11111222222bc c ∴⨯=⨯⨯+⨯⨯，即bc b c =+，所以111b c ∴=+，所以()111124b cb c b c b c c b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭2.ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(1)求sin sin BC；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．【详解】，1sin 2ACD S AC AD CAD ∆=⋅⋅∠，∵2ABD ACD S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，∴2AB AC =．由正弦定理可知sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠.（2）∵::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==，22DC =，∴BD =．设AC x =，则2AB x =，在△ABD 与△ACD中，由余弦定理可知，2222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅222232cos 2x AD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos ADB ADC ∠=-∠，2232x -=，解得1x =，即1AC =．题型六：有关三角形中线问题遇到角平分线问题一般有两种思路：思路一：中线倍长法思路二：利用平面向量【例1】在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边，且满足cos 0cos 2B bC a c+=+，（1）求角B 的值；（2）若2c =，AC 边上的中线32BD =，求ABC ∆的面积.【详解】（1）cos cos sin 00cos 2cos 2sin sin B b B BC a c C A C+=⇔+=++,()cos 2sin sin sin cos 0B A C B C ⇒++=2sin cos cos sin sin cos 0A B B C B C ⇒++=()2sin cos sin 0A B B C ⇒++=.()1sin 2cos 10,sin 0,cos 2A B A B ⇒+=≠∴=-.所以23B π=,（2）解法一：中线倍长法：延长BD 到E ，使BD=DE ，易知四边形AECD 为平行四边形，在BEC ∆中，EC=2，,因为23ABC π∠=，所以3BCE π∠=，由余弦定理2222cos BE EC BC EC BC BCE =+-⋅⋅∠，即223222cos3a a π=+-⋅⋅，2210a a -+=，解得1a =，所以1133sin 122222ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅=解法二：BC BA BD +=，所以()22BC BA BD +=B+=即︒++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛120cos 223222ac a c ，即⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯++=21424432a a ，2210a a -+=，解得1a =，所以1133sin 122222ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅=【例2】（2022·广东佛山·高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2π3A =．(1)若6a =，ABC的面积为D 为边BC 的中点，求AD 的长度；(2)若E 为边BC上一点，且AE =，:2:BE EC c b =，求2b c +的最小值．【题型专练】1．（2022·广东广州·一模）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足cos sin 2B Cb a B +=.(1)求A ；(2)若a =，3BA AC ⋅=，AD 是ABC 的中线，求AD 的长.2．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）在①()()()()sin sin sin a c A B a b A B -+=-+；②2S BC =⋅；③cos sin b C a c B =；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．问题：在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，且______．(1)求角B 的大小；(2)AC 边上的中线2BD =，求ABC 的面积的最大值．题型七：有关内切圆问题（等面积法）【例1】在▵B中，sin2=B=1，B=5，则A.B=25B.▵B 的面积为32C.▵BD.▵B【答案】B【解答】解：∵sin2=∴cos=1−2sin22=1−2×2=35，又B=1，B=5，∴由余弦定理，B2=B2+B2−2B⋅B⋅cos=52+12−2×5×1×(35)=20，∴B=25，故A正确；∵cos=35且为三角形内角，∴sin=1−cos2=45，所以△B的面积为=1=12×1×5×45=2，故B错误；根据正弦定理B sin=2o其中表示外接圆的半径)得：2=45=即△B C正确；如图，设△B内切圆圆心为，半径为，连接B，B，B，因为内切圆与边B ，B ，B 相切，故设切点分别为，，，连接B ，B ，B ，可知：B =B =B =，且B ⊥B ，B ⊥B ，，根据题意：△B =12B ⋅B ⋅sin =12×5×1×45=2，利用等面积可得：△B +△B +△B =△B ，即：12B ⋅+12B ⋅+12=2，∴=4B+B+B==D 正确．故选ACD ．【例2】（2022·四川·绵阳中学高二开学考试（理））已知在ABC 中，()254cos 4sin A B C ++=．(1)求角C 的大小；(2)若ABC 的内切圆圆心为O ，ABC 的外接圆半径为4，求ABO 面积的最大值．【题型专练】1.三角形有一个角是︒60，夹在这个角的两边长分别为8和5，则()A.三角形另一边长为6B.三角形的周长为20C.三角形内切圆面积为3D.【答案】B【解答】解：因为三角形有一个角是︒60，夹在这个角的两边长分别为8和5，A .由余弦定理得：三角形另一边长为82+52−2×8×5×cos60°=7，故A 错误；B .三角形的周长为8+5+7=20，故B 正确；C .设三角形内切圆的半径为，由面积法得到：12×8×5×sin60°=12×20×，解得=3，所以内切圆的面积为，故C 正确；D .设三角形外接圆的半径为，则由正弦定理得到7sin60°=2，解得=，故D 错误．故选BC ．2.（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos a cC Cb-=.(1)求角B 的大小；(2)若2b =，记r 为ABC 的内切圆半径，求r 的最大值.题型八：与向量结合问题【例1】锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量()m a =与(cos ,sin )n A B = 平行．（1）求角A ；（2）若a =ABC ∆周长的取值范围．【解析】解：（1）因为：//m n，所以：sin cos 0a B A =，由正弦定理，得：sin sin cos 0A B B A -=，又因为：sin 0B ≠，从而可得：tan A =，由于：0A π<<，所以：3A π=．（2）因为：由正弦定理知sin sin sin 3b c aB C A====，可得：三角形周长sin )3l a b c B C =++=+，又因为：23C B π=-，所以：2sin sin sin sin()36B C B B B ππ+=+-=+，因为：ABC ∆为锐角三角形，所以：62B ππ<<，2(,)633B πππ+∈，3sin sin (2B C +∈，所以：l ∈．【例2】（2022·河北沧州·高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)cos cos ,3b c A a C a -==．(1)求角A ；(2)若点D 满足1233BD BA BC =+，求BCD △面积的最大值．【题型专练】1.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a c >．已知2BA BC = ，1cos 3B =，3b =．求：（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值．【解析】解：（1）2BA BC= ，1cos 3B =，3b =，可得cos 2ca B =，即为6ac =；2222cos b a c ac B =+-，即为2213a c +=，解得2a =，3c =或3a =，2c =，由a c >，可得3a =，2c =；（2）由余弦定理可得2229947cos 22339a b c C ab +-+-===⨯⨯，sin C ==，sin B ==，则17224223cos()cos cos sin sin 393927B C B C B C -=+=⨯+⨯．2.ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，若1AB AC BA BC ==．解答下列问题：（1）求证：A B =；（2）求c 的值；（3）若||AB AC +=ABC ∆的面积．【解析】证明：（1）因AB AC BA BC =，故cos cos bc A ac B =，即cos cos b A a B =．由正弦定理，得sin cos sin cos B A A B =，故sin()0A B -=，因为A B ππ-<-<，故0A B -=，故A B =．⋯（4分）（2）因1AB AC = ，故cos 1bc A =，由余弦定理得22212b c a bc bc+-=，即2222b c a +-=；又由（1）得a b =，故22c =，故c =．⋯（10分）（3）由||AB AC += 22||||2||6AB AC AB AC ++=，即2226c b ++=，故224c b +=，因22c =，故b =，故ABC ∆是正三角形，故面积23342ABC S ∆=⨯=．⋯（16分）题型九：几何图形问题【例1】在ABC ∆中，3B π∠=，15AB =，点D 在边BC 上，1CD =，1cos 26ADC ∠=．（1）求sin BAD ∠；（2）求ABC ∆的面积．【解析】解：（1）由1cos 26ADC ∠=，可得153sin 26ADC ∠==，则11sin sin()sin cos cos sin 333226BAD ADC ADC ADC πππ∠=∠-=∠-∠=-⨯．（2）在ABD ∆中，由正弦定理可得sin sin BD AB BAD ADB =∠∠=，解得7BD =，所以718BC =+=，所以ABC ∆的面积11sin 158sin 223S AB BC ABD π=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=【例2】如图，在ABC ∆中，6B π∠=，AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=．（1）求sin BAD ∠；（2）求BD ，AC 的长．【解析】解：（1）在ADC ∆中，因为1cos 7ADC ∠=，所以sin 7ADC ∠=，所以sin sin()BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B=∠-∠433117272=-⨯1114=．（2）在ABD ∆中，由正弦定理得11sin 1411sin 437AB BADBD ADB⋅∠===∠，在ABC ∆中，由余弦定理得：222222cos 13213492AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯．所以7AC =．【例3】如图，在ABC ∆中，2AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上．（1）若34ADC π∠=，求AD 的长；（2）若2BD DC =，ACD ∆sin sin BADCAD∠∠的值．【解析】解：（1）ABC ∆ 中，1cos 3B =，22sin 3B ∴=．34ADC π∠= ，4ADB π∴∠=．ABD ∆=，83AD ∴=；（2）设DC a =，则2BD a =，2BD DC = ，ACD ∆，1222323a ∴=⨯⨯⨯，2a ∴=AC ∴==由正弦定理可得42sin sin BAD ADB=∠∠，sin 2sin BAD ADB ∴∠=∠．242sin sin CAD ADC =∠∠，2sin 4CAD ADC ∴∠=∠，sin sin ADB ADC ∠=∠ ，∴sin sin BADCAD∠=∠【例4】如图，在平面四边形ABCD 中，45A ∠=︒，90ADC ∠=︒，2AB =，5BD =．（1）求sin ADB ∠；（2）若DC =，求BC ．【解析】解：（1）ABD ∆中，45A ∠=︒，2AB =，5BD =，由正弦定理得sin sin AB BDADB A=∠，即25sin sin 45ADB =∠︒，解得2sin 5ADB ∠=；（2）由90ADC ∠=︒，所以2cos sin 5BDC ADB ∠=∠=，在BCD ∆中，由余弦定理得：222222cos 52525BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯，解得5BC =．【例5】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠= ，45A ∠= ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .【答案】（1）5；（2）5.【分析】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin45sin ADB =∠o，所以2sin 5ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<o ，所以cos 5ADB ∠==；（2）由题设及（1）知，2cos sin 5BDC ADB ∠=∠=.在BCD ∆中，由余弦定理得22222cos 25825255BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯=.所以5BC =.【题型专练】1.如图，在平面四边形ABCD 中，1AD =，2CD =，AC =（1）求cos CAD ∠的值；（2）若cos BAD ∠=21sin 6CBA ∠=，求BC 的长．【解析】解：1AD =，2CD =，AC =（1）在ADC ∆中，由余弦定理，得222cos 2AC AD CD CAD AC AD+-∠= ．∴cos CAD ∠=；（2）设BAC α∠=，则BAD CAD α=∠-∠，cos 21sin 7321sin 143sin 2CAD BAD CAD BAD α∠=∠=-∴∠=∠=∴=，在ABC ∆中，由正弦定理，sin sin BC ACCBAα=∠，解得：3BC =．即BC 的长为3．2.在平面四边形ABCD中，,2,2,AB BC AB BD BCD ABD ABD ⊥==∠=∠∆的面积为2．（1）求AD 的长；（2）求CBD ∆的面积．【解析】解：（1）由已知11sin 2sin 222ABD S AB BD ABD ABD ∆=∠=⨯∠= ，所以sin ABD ∠=(0,2ABD π∠∈，所以cos ABD ∠=在ABD ∆中，由余弦定理得：2222cos 5AD AB BD AB BD ABD =+-∠= ，所以AD =．（2）由AB BC⊥，得2ABD CBD π∠+∠=，所以5sin cos 5CBD ABD ∠=∠=，又42,sin 2sin cos 5BCD ABD BCD ABD ABD ∠=∠∠=∠∠=，()222BDC CBD BCD ABD ABD ABD CBD ππππ∠=-∠-∠=--∠-∠=-∠=∠，所以CBD ∆为等腰三角形，即CB CD =，在CBD ∆中，由正弦定理得：sin sin BD CDBCD CBD=∠∠，所以sin 51155455,sin 4sin 42244585CBDBD CBDCD S CB CD BCD BCD∆∠====∠=⨯⨯⨯=∠．3.如图，在平面四边形ABCD 中，2AB =，6BC =，4AD CD ==．（1）当四边形ABCD 内接于圆O 时，求四边形ABCD 的面积S ；（2）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线BD的长．【解析】（本题满分为14分）解：（1）连接BD ，由余弦定理可得：222222cos 24224cos BD AB AD AB AD A A =+-=+-⨯⨯⨯ ，222222cos 46246cos BD BC CD BC CD C C =+-=+-⨯⨯⨯ ，可得：2016cos 5248cos A C -=-，2⋯分又四边形ABCD 内接于圆O ，则又A C π+=，所以：2016cos 5248cos()A A π-=--，化简可得：1cos 2A =-，又(0,)A π∈，所以23A π=，3C π=，4⋯分所以12124sin 46sin 2323ABD BCD S S S ππ∆∆=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，6⋯分（2）设四边形ABCD 的面积为S ，则11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=+ ，可得：222222cos 2cos BD AB AD AB AD A BC CD BC CD C =+-=+- ，8⋯分可得：22221124sin 46sin 2224224cos 46246cos S A C A C ⎧=⨯⨯+⨯⨯⎪⎨⎪+-⨯⨯=+-⨯⨯⎩，可得：sin 3sin 423cos cos S A CC A⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，平方后相加，可得：24106sin sin 6cos cos 16S A C A C +=+-，即：266cos()16S A C =-+，10⋯分又(0,2)A C π+∈，当A C π+=时，216S 有最大值，即S 有最大值．此时，A C π=-，代入23cos cos C A =-，可得：1cos 2C =，又(0,)C π∈，可得：3C π=，12⋯分在BCD ∆中，可得：222222cos 46246cos 283BD BC CD BC CD C π=+-=+-⨯⨯⨯= ，可得BD =．14⋯分4.如图所示，已知圆内接四边形ABCD ，记tan tan tan tan 2222A B C D T =+++．（1）求证：22sin sin T A B=+；（2）若6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，求T 的值及四边形ABCD 的面积S．【解析】解：（1）sincos sin cos222222tan tan tan tan tan cot tan cot 22222222sin sin cos sin cos sin 2222A AB BA B A B A A B B T A A B B A Bππ--=+++=+++=+++=+．（2）由于：6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，由题知：cos cos 0BAD BCD ∠+∠=，可得：22222222470227AB AD BD BC CD BD BD AB AD BC CD +-+-+=⇒= ，则3cos 7A =，sin A =则1()sin 2S AD AB CD BC A =+= ，则1610()sin sin 219S AB BC AD CD ABC ABC =+∠=∠=，22sin sin T A B =+==5.如图，角A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角，6AB =，3BC =，4CD =．（1）若60B =︒，30DAC ∠=︒，求sin D ；（2）若180BAD BCD ∠+∠=︒，5AD =，求cos BAD ∠．【解析】解：（1）在ABC ∆中，222361cos 2362AC B +-==⨯⨯，222363627AC ∴=+-⨯=，AC ∴=ACD ∆中，由正弦定理sin sin DAC D CD AC∠=，sin sin sin 30AC D DAC CD ∴=⋅∠=︒=．（2）在ABD ∆中，22256cos 256BD BAD +-∠=⨯⨯，在BCD ∆中，22234cos 234BD BCD +-∠=⨯⨯，180BAD BCD ∠+∠=︒ ，cos cos 0BAD BCD ∴∠+∠=，∴22222256340256234BD BD +-+-+=⇒⨯⨯⨯⨯可得：222(2536)5(916)0120BD BD +-++-=，可得：22261252550BD BD ⨯-+⨯-=，可得27247BD =，则BD =22224725365637cos 256607BDBAD +-+-∴∠===⨯⨯．6.某市欲建一个圆形公园，规划设立A ，B ，C ，D 四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其中A ，B ，C 的位置已确定，2AB =，6BC =（单位：百米），记ABC θ∠=，且已知圆的内接四边形对角互补，如图，请你为规划部门解决以下问题．（1）如果4DC DA ==，求四边形ABCD 的区域面积；（2）如果圆形公园的面积为283π万平方米，求cos θ的值．【解析】解：（1）连结BD ，可得四边形ABCD 的面积为：11sin sin 22ABD CBD S S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=+ ，四边形ABCD 内接于圆，180A C ∴+=︒，可得sin sin A C =．11sin sin 22S AB AD A BC CD C =+ 1()sin 2AB AD BC CD A =+1(2464)sin 2A =⨯+⨯16sin A =．(*)⋯在ABD ∆中，由余弦定理可得：222222cos 24224cos 2016cos BD AB AD AB AD A A A =+-=+-⨯⨯=- ，同理可得：在CDB ∆中，222222cos 64264cos 5248cos BD CB CD CB CD C C C =+-=+-⨯⨯=- ，2016cos 5248cos A C ∴-=-，结合cos cos(180)cos C A A =︒-=-，得64cos 32A =-，解得1cos 2A =-，(0,180)A ∈︒︒ ，120A ∴=︒，代入(*)式，可得四边形ABCD面积16sin120S =︒=．（2）设圆形公园的半径为R ，则面积为283π万平方米，可得：2283R ππ=，可得：2213R =，∴由正弦定理2sin AC R B ==sin θ==由余弦定理可得：AC ==sin θ∴==214sin 159cos θθ=-，22sin cos 1θθ+= ，∴2159cos cos 114θθ-+=，整理可得：2214cos 9cos 10θθ-+=，∴解得：1cos 7θ=，或12．7.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知sin 0,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积.【答案】（1）23π，4；（2）3.【解析】（1）sin 3cos 0,tan 3A A A +=∴=- ，20,3A A ππ<<∴=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =，故4c =.(2)2222cos c b a ab C =+- ，162842272cos C ∴=+-⨯⨯⨯，22cos ,72cos 77AC C CD C∴=∴===，12CD BC ∴=，1134223222ABC S AB AC sin BAC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=，132ABD ABC S S ∆∆∴==.8.四边形的内角与互补，．（1）求和；（2）求四边形的面积．【答案】（1）60C =︒，7BD =；（2）23．【详解】：（1）连接BD ．在ABD ∆和CBD ∆中，利用余弦定理列等式2222BD BC CD BC=+-cos CD C ⋅和2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅，且cos cos C A =-，代入数据得54cosC +，求cos C 的值，进而求C 和的值；（2）由（1）知ABD ∆和CBD ∆的面积可求，故四边形等于ABD ∆和CBD ∆的面积．（1）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C=+-⋅．①2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cosC =+．②。

(完整版)解直角三角形总结

解直角三角形总结解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系,是在深入研究几何图形性质的基础上,根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。

1、明确解直角三角形的依据和思路在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的.因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础。

如图1,在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（以下字母同），则解直角三角形的主要依据是（1）边角之间的关系:sinA＝cosB＝ac， cosA＝sinB＝bc,tanA＝cotB＝ab，cotA＝tanB＝ba。

（2）两锐角之间的关系：A＋B＝90°。

(3）三条边之间的关系：。

以上每个边角关系式都可看作方程,解直角三角形的思路，就是根据已知条件,正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。

2、解直角三角形的基本类型和方法我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形,而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？事实上,解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形,即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。

由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。

所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。

这样，解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。

四种基本类型和解法列表如下：已知条件解法一边及一锐角直角边a及锐角A B＝90°-A，b＝a·tanA，c=sinaA斜边c及锐角A B＝90°—A，a＝c·sinA，b＝c·cosA两边两条直角边a和b ，B＝90°—A,直角边a和斜边c sinA=ac，B＝90°-A，例1、如图2，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝α，AE＝1,求AB的长。

高三-解三角形知识点总结及典型例题-自己总结的(1)(最新整理)

c sin A : sin B : sin C
(4) a sin A , a sin A , b sin B b sin B c sin C c sin C
2、正弦定理适用情况：
（1）已知两角及任一边
（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）
已知 a，b 和 A，求 B 时的解的情况:
即 p2 3 1 cos B ，因为 0 cos B 1，所以 p2 ( 3 , 2) ，由题设知 p 0 ，所以 6 p 2
22
2
2
三、课堂练习：
1.在
ABC
中，若
S
1 4
(a2
b2
c2 ),
则角
C=
2.设 R 是 ABC 外接圆的半径，且 2R(sin2 A sin2 C) ( 2a b)sin B ，试求 ABC 面积的最大值。
cosC=
a2
b2
c2
32 =
52
72
=
1
2ab
235 2
因为 0 C ，所以 C= 2 3
题型 2 三角形解的个数
[例 3]在 ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【】
A、 a 7 ， b 14 ， A 30 ；
B、 b 25 ， c 30 ， C 150 ；
过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）
二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三
角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角）
题型 5 正弦定理、余弦定理的综合运用
[例 6]在 ABC 中， a,b, c 分别为角 A，B，C 的对边，且 sin A sin C p sin B( p R) 且 ac 1 b2 4

解三角形题型及解题方法归纳总结精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版解三角形题型及解题方法归纳总结三角形是数学中最基础、最重要的几何图形之一，掌握三角形的结构特征及解题方法对于学生来说非常重要。

下面我们就以三角形的结构特征及解题方法来归纳总结一下。

首先，三角形的基本特征有三边、三角形内心、三条对角线以及三个角。

在三角形的结构特征里，最重要的是三角形的三个角，其中有一些理论概念，如两边之和大于第三边、两边之积等于第三边的高乘以底边的一半等。

其次，根据三角形的特性，学生在解决三角形题目时，应该先领会三角形题目给出的条件，确定出题目给出的条件，然后根据解三角形题目所使用的公式，按照正确的求解步骤求解三角形题目，最后根据求解得到的结果检查答案是否正确。

接下来，我们来看看具体的解三角形的步骤分为三个步骤：1.据三角形的边长确定三角形形状，分为等腰三角形、直角三角形、锐角三角形。

2.据三角形形状确定求解方法，分为直接求解、相似三角形求解、余弦定理求解、正弦定理求解和余切定理求解。

3.据给出的公式求解三角形的边长、角的大小、面积等，并检查答案的正确性。

最后，我们还要重点强调以下几点：1.掌握三角形的特征，如：三条边的关系、三角形的三个角的关系等，并要熟练掌握相应的理论公式，以便能够解决具体的解三角形题目。

2.解决三角形问题时，要根据问题形式确定求解方法，并要求正确掌握解题步骤和运算公式，以便能够准确答题。

3.解决三角形问题时，我们还要特别注意一下两边之和大于第三边及两边之积等于第三边的高乘以底边的一半这两条关系，这些关系在解题中起到很重要的作用。

综上所述，三角形是数学中最基础的几何图形，掌握三角形的结构特征及解题方法对于学生来说至关重要。

要正确掌握解三角形题型与解题方法，首先应学习三角形的基本特征，了解常见的解三角形的方法，熟练掌握解三角形问题所应用的各种理论公式，其次要正确理解具体的解三角形题目给出的条件，按照正确的求解步骤求解三角形题目，最后再检查所得结果的正确性。

(完整版)解等边三角形专题题型归纳

(完整版)解等边三角形专题题型归纳
等边三角形是一种特殊的三角形，其中所有的边都具有相等的长度，而且所有的内角也相等。

解决等边三角形题型时，我们可以采用以下几种简单的策略：
1. 利用等边三角形的性质
- 等边三角形的内角均为 $60^\circ$。

- 等边三角形的高线也是边中线和角平分线。

- 等边三角形的面积可以通过边长计算公式 $A =
\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ 求得，其中 $a$ 是边长。

利用等边三角形的这些性质，我们可以解决许多与等边三角形相关的题目。

2. 计算等边三角形的边长
当给定等边三角形的面积或者高度时，我们可以通过相应的公式计算等边三角形的边长。

- 当已知等边三角形的面积 $A$ 时，可以使用公式 $a =
\sqrt{\frac{4A}{\sqrt{3}}}$ 计算边长。

- 当已知等边三角形的高度 $h$ 时，可以使用公式 $a =
\frac{2h}{\sqrt{3}}$ 计算边长。

3. 利用等边三角形的角平分线性质
等边三角形的角平分线也是三角形的边中线和高线，因此我们可以利用角平分线的性质解决一些题型。

例如，当已知等边三角形中一个角的度数时，我们可以利用等边三角形的角平分线性质，得到两个相邻角的度数。

4. 利用三角形的边中线性质
等边三角形的边中线也是三角形的高线和角平分线，同样可以利用边中线的性质解决一些题目。

例如，当已知等边三角形的某两边的中线长度时，我们可以利用边中线的性质计算出等边三角形的边长。

以上是解决等边三角形专题题型常用的一些策略和思路，希望对您有所帮助！。

(完整版)解三角形题型总结(可编辑修改word版)

解三角形题型分类解析1、正弦定理及其变形a sin A= b sin B = c sin C = 2R(R 为三角形外接圆半径）（1）a = 2R sin A , b = 2R sin B , c = 2R sin C (边化角公式）（2）sin A =a , s in B =2Rb, sin C = c2R 2R(角化边公式）（3）a : b : c = sin A : sin B : sin C (4) a = sin A , a = sin A , b =sin Bb sin Bc sin C c sin C做题大法：a1）边化角：遇到分式或等式如b考常考点）→sin Asin B, a = b → sin A = sin B （切记必须为齐次式，高思考：若a 2 = bc −是−否−可化−为→sin 2 A = sin B sin C 是否可行2）角化边形如这样的分式或等式sin A sin B → a, sin A = sin B → a = b b思路总结：a = b=c= 2R ⇒ a = 2R sin Ab = 2R s in B sin A sin B sin Cc = 2R sin B此为以上转换依据2、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）；已知 a ，b 和 A ，不解三角形，求 B 时的解的情况:如果sin A≥sin B，则 B 有唯一解；如果sin A<sin B<1，则 B 有两解；如果sin B=1，则 B 有唯一解；如果sin B>1，则B 无解.3、余弦定理及其推论a2=b2+c2- 2bc cos A 2 2 2 cos A =b2+c2-a22bca2+c2-b2b =a +c - 2ac cos B c2=a2+b2- 2ab cos Ccos B =cos C =2aca2+b2-c22ab4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边。

解三角形十类题型汇总(学生版)

解三角形十类题型汇总近4年考情(2021-2024)考题统计考点分析考点要求2024年I卷第15题，13分高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以考查正余弦定理的基本使用、面积公式的应用为主．从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，主要以考查正余弦定理的应用和面积公式为主．(1)正弦定理、余弦定理及其变形(2)三角形的面积公式并能应用(3)实际应用(4)三角恒等变换2024年II卷第15题，13分2024年甲卷第11题，5分2023年I卷II卷第17题，10分2023年甲卷第16题，5分2023年乙卷第18题，12分2022年I卷II卷第18题，12分2021年I卷II卷第20题，12分热点题型解读【题型1】拆角与凑角类型一出现了3个角(拆角)类型二凑角类型三拆角后再用辅助角公式合并求角类型四通过诱导公式统一函数名【题型2】利用余弦定理化简等式类型一出现了角或边的平方类型二出现角的余弦(正弦走不通)【题型3】周长与面积相关计算类型一面积相关计算类型二周长的相关计算【题型4】倍角关系类型一倍角关系的证明和应用类型二扩角降幂类型三图形中二倍角的处理【题型5】角平分线相关计算【题型6】中线相关计算【题型7】高线线相关计算【题型8】其它中间线【题型9】三角形解的个数问题【题型10】解三角形的实际应用类型一距离问题类型二高度问题题型分类解析【题型1】拆角与凑角(1)正弦定理的应用①边化角，角化边⇔a:b:c=sin A:sin B:sin C②大边对大角大角对大边a>b⇔A>B⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B③合分比：a+b+csin A+sin B+sin C =a+bsin A+sin B=b+csin B+sin C=a+csin A+sin C=asin A=bsin B=csin C=2R(2)△ABC内角和定理(结合诱导公式)：A+B+C=π①sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B⇔c=a cos B+b cos A 同理有：a=b cos C+c cos B，b=c cos A+a cos C.②-cos C=cos(A+B)=cos A cos B-sin A sin B；③斜三角形中，-tan C=tan(A+B)=tan A+tan B1-tan A⋅tan B⇔tan A+tan B+tan C=tan A⋅tan B⋅tan C④sinA+B2=cos C2；cos A+B2=sin C2类型一出现了3个角(拆角)1.在△ABC中，2b-3c3a =cos Ccos A，求A的值2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且b=2c sin A+π6，求C.3.(湛江一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ba =2cosπ3-C，求A.类型二凑角4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a cos A⋅cos B+b cos2A=3c-b，求角A5.(2024届·广州·阶段练习)已知△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足ca cos B+bacos C=3cos C，求sin C的值6.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且bcos B +ccos C=acos A+3acos B cos C，求tan B tan C.7.3a sin A+B2=c sin A，求角C的大小.8.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3b cos A+B2=c sin B，求C9.在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足b cos B+C2=a sin B，求A.类型三拆角后再用辅助角公式合并求角，求A.10.(深圳一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+c=2a sin C+π611.在△ABC中，3sin C+cos C=sin B+sin Csin A，求A.12.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos C+3c sin A=b+c，求A.13.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C+3a sin C=b+c，求角A的大小；类型四通过诱导公式统一函数名，求A的值14.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a sin B=b cos A-π615.已知△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若满足a(sin2A-cos B cos C)+b sin A sin C=0，求角A的大小.，b cos C=c cos B，求A的16.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a sin B=b cos A-π6值.【题型2】利用余弦定理化简等式余弦定理公式a 2=b 2+c 2-2bc cos A ；b 2=c 2+a 2-2ac cos B ；c 2=a 2+b 2-2ab cos C .常见变形cos A =b 2+c 2-a 22bc ；cos B =c 2+a 2-b 22ac ；cos C =a 2+b 2-c 22ab.类型一出现了角或边的平方17.已知△ABC 内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,22a 2cos B +b 2=2ab cos C +a 2+c 2，求B .18.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若B =π3，b 2=94ac ，则sin A +sin C =()A.23913B.3913C.72D.3131319.记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a 2=3b 2+c 2，则tan Atan C=．20.(2023年北京高考数学真题)在△ABC 中，(a +c )(sin A -sin C )=b (sin A -sin B )，则∠C =()A.π6B.π3C.2π3D.5π621.在ΔABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知c =252a sin C cos B =a sin A -b sin B +52b sin C ，求b ；22.（2024届·湖南四大名校团队模拟冲刺卷(一)）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知△ABC的面积为S，且2S sin Csin B +sin A sin C=(a2+b2)sin A，求C的值23.（2024·广东省六校高三第四次联考）已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A c cos B+b cos C-c sin B=c sin C+b sin B，求角A24.记ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2-a2=2c2，求tan Btan A的值类型二出现角的余弦(正弦走不通)25.记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b cos A-a cos B=b-c,求A.26.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且sin A-B=2sin C，证明:a2=b2+2c2.27.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，c=2b,2sin A=3sin2C，求sin C.28.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，B=2π3，且sin A+sin Bsin C+cos2C=1，求证5a=3c29.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，sin(A-B)tan C=sin A sin B，求a2+c2.b230.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b-c，求角A.sin B=b sin A-C【题型3】周长与面积相关计算设计周长和面积的相关计算一般会用到余弦定理还有可能需要用到完全平方公式对于完全平方公式：a+b2=a2+b2+2ab，其中两边之和a+b对应周长，两边平方和a2+b2在余弦定理中，两边之积ab在面积公式和余弦定理中都会出现类型一面积相关计算31.已知△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin C=223，a=b+2，c=32，求△ABC的面积．32.(2024新高考一卷·真题)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sin C=2cos B，a2+b2-c2=2ab(1)求B；(2)若△ABC的面积为3+3，求c．33.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，B=2π3，且5a=3c，若△ABC的面积为153，求c34.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=π6，△ABC的面积为332，b=2，求a．35.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=2A，当a=4,b=6时，求△ABC的面积S．36.（2024届·广东省六校第二次联考）已知△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin C=223，a=b +2，c=32，求△ABC的面积．37.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=2A，当a=4,b=6时，求△ABC的面积S．类型二周长的相关计算38.已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且A=C，若B=π6，△ABC的面积为4，求△ABC的周长.39.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(b+c)(sin B+sin C)=a sin A+3b sin C.(1)求角A的大小；(2)若a=6，且△ABC的面积为3，求△ABC的周长.40.(2024·新高考二卷·真题)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A +3cos A =2．(1)求A ．(2)若a =2，2b sin C =c sin2B ，求△ABC 的周长．41.△ABC 的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,AB ⋅AC=-1,△ABC 的面积为2，若a =22，求△ABC 的周长.42.在△ABC 中，已知AC ⋅AB =4，a =5，∠BAC =60°，则△ABC 周长为．43.在△ABC 中，A ,B ,C 所对的边为a ,b ,c ，A =π3,a =2,B =π4，求△ABC 的周长．44.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(b +c )(sin B +sin C )=a sin A +3b sin C .(1)求角A 的大小；(2)若a =6，且△ABC 的面积为3，求△ABC 的周长.【题型4】倍角关系1、二倍角公式：sin2A =2sin A cos A ，cos2A =2cos 2A -1=1-2sin 2A =cos 2A -sin 2A 2、扩角降幂：cos2C 2=1+cos C 2.，sin 2C 2=1-cos C2忘记了可以用二倍角公式推导:记C2=t，则cos C=cos2t=2cos2t-1=1-2sin2t故cos2t=2cos2t-1⇒cos2t=1+cos2t2，cos2t=1-2sin2t⇒sin2t=1-cos2t23、倍角关系证明的方法技巧解三角形中的关系，主要涉及到正弦、余弦等三角函数的倍角公式。

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解三角形知识点总结
一、正弦定理：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有
（为的外接圆半径）推论：等角对等边，等边对等角；
大角对大边，等边对等角.
二、余弦定理：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有
，变式：
三、三角形的解的数目、形状判断
在△ABC中，已知a、b、A（两边及其中一边所对的角）
A为锐角A为钝角或直角
a <
b sin A a = b sin A b sin A < a < b a≥b a >b A≤b
无解一解两解一解一解无解2. 判断形状：一看是否有解，二看最大的角，三看是否等腰、等边。

要注意：
（1）三角形中任意两边的边长之和大于第三边，任意两边的边长之差小于第三边；（2）注意角的取值范围及相应的三角函数的取值范围。

三、三角形的面积公式
1. 常用公式
（1）（、、分别表示、、上的高）；
（2）；
（3），为外接圆半径；
（4）；
（5），其中；
（6），是内切圆的半径.
四、综合问题
1. 与三角恒等变换综合
一般思路：将题目条件变形成两个三角函数相等的形式。

常用的技巧有：
①三角函数的诱导公式、和（差）角公式、倍角公式及图像。

②换边为角：题目条件结合正弦定理或余弦定理消去含有边的项。

③减元变换：题目条件中同时出现A、B、C或a、b、c，通过减元变换进行简化。

常用的减元变换关系：
；；
；；；
；；.
特别强调：注意角（及其相应三角函数）的取值范围！
2. 与向量综合——掌握向量的运算、向代数形式的转化、注意数形结合。

高中数学解三角形题型完整归纳-解三角形题型归纳总结

高中数学解三角形题型目录一．正弦定理1.角角边2.边边角3.与三角公式结合4.正弦定理与三角形增解的应对措施5.边化角6.正弦角化边二．余弦定理1.边边边2.边角边3.边边角4.与三角公式结合5.比例问题6.余弦角化边7.边化余弦角三．三角形的面积公式1.面积公式的选用2.面积的计算3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用四．射影定理五．正弦定理与余弦定理综合应用1.边角互化与三角公式结合2.与平面向量结合3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状4.三角形中的最值问题(1)最大(小)角(2)最长(短)边(3)边长或周长的最值(4)面积的最值(5)有关正弦或余弦或正切角等的最值(6)基本不等式与余弦定理交汇(7)与二次函数交汇六．图形问题1.三角形内角之和和外角问题2.三角形角平分线问题3.三角形中线问题4.三角形中多次使用正、余弦定理5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用6.四边形与正、余弦定理六．解三角形的实际应用1.利用正弦定理求解实际应用问题2.利用余弦定理求解实际应用问题3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题一．正弦定理1.角角边∆=︒=︒=例.在中,解三角形ABC A B a30,45,2,.∆=︒=︒==练习1.在中则ABC A B a c,30,45, .练习2.在中,已知45,,求∆=︒=︒=30.ABC C A a b2.边边角例中，解这个三角形∆===︒ABC a.45,.练习1中,则∆==+==. 1,2,sinABC a b A C B C练习2.中则∆===︒=,3,60,_____ABC c b C A3.与三角公式结合45,,,,,cos ,cos ,1,513例.△的内角的对边分别为若则ABC A B C a b c A C a b ====11.5,45,sin ,______3ABC b B A a ∆====练习在中，则1tan ,150,1. 3ABC A C BC AB ∆==︒==练习2.在中,若,则4.正弦定理与三角形增解的应对措施.ABC b c B C ∆===︒例.在中,已知1,45,求例2．已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( )．A ．有一种情形B ．有两种情形C ．不可求出D ．有三种以上情形.ABC b c B A ∆===︒练习1.在中,已知1,45,求2,30,.ABC a c A C ∆===︒练习2.在中,求5.边化角.::3:2:1,::____________ABC A B C a b c ∆=例已知的三个内角之比为那么对应的三边之比等于.,,.)cos cos ,________.ABC A B C a b c c A a C A ∆-==练习1在中角､､所对的边分别为､若则.,,,,,,2cos(60),.o ABC A B C a b c b c a C A ∆-=+练习2在中设所对的边分别为若求.,,,,,2cos (cos cos ),练习3△的内角的对边分别为已知求ABC A B C a b c C a B b A c C+=6.正弦角化边.,,ABC A B C A B C B ∆==222sin 2sin cos sin sin sin 例在中,若且＋求0sin sin .(1);(2)75,2,,asinA csinC C b B B A b a c∆+-===练习1.在ABC 中,求若求,,,,,sin ,cos _____ABC a b c a c B C A ∆-===练习2.在中角所对的边分别为若则 ,,,,2(2)(sin sin )()sin ,a b c ABC A B C a b A B c b C A ∆=+-=-=练习3.已知分别为的三个内角的对边,,且则________.二．余弦定理 1.边边边.1,2,__________ABC a b c A ====例在三角形中，若则()537254A. B. C. D. 3633ABC AB AC BC A ππππ∆====练习.在中,,,,则2.边角边.,3,30,ABC b c A B C a ∆==∠=例在中已知求角、和边的值.3,1,60,________b c A a ====练习若则3.边边角,,,,2.,,cos ,2,_____3a b ABC A B C c A a c b ∆====例在中已知角所对的边分别为则311cos ,_____4ABC AB BC C AC ∆====练习.在中,，则,3,120,().1.2.3.4练习2在△中若则ABC AB BC C AC A B C D ==∠=︒=30,312,A. 4 B. 8 C. 4,8 D. ABC A a c ∆=︒==练习3.在中,已知且则的值为或无解4.与三角公式结合1tan ,150,1.3ABC A C BC AB ∆==︒==例.在中,若,则,,,,2,sin cos ABC a b c a b B B A ∆==+=练习1.在中角所对的边分别为若则角的大小为____2,,,,23cos cos 20,7,6,_____ABC a b c A A a c b ∆+====练习2.在锐角中角所对的边分别为若则,,,sin 02,ABC A B C a b c A A a b c∆+===练习3.在中角､､所对的边分别为､､已知求5.比例问题::2:1),.ABC a b c A B C ∆=+例.已知中,求、、,,,,,2,cos _____ABC a b c a b c c a B ∆==练习1.在中角所对的边分别为若、、成等比数列则2,,,___3练习2.在△中则bABC A a c cπ∠===6.余弦角化边cos 2.,,,,cos C a cABC A B C a b c B B b-=例在三角形中,角,,所对的边分别为若求角 22,,,,2sin cos 3cos sin ,.ABC a b c a c b A C A C b ∆-==练习1.在中角所对的边分别为已知且求7.边化余弦角()222,A B C D ABC a c b ab C ∆-+=︒︒︒︒︒例.中,则角大小为.60.45,或135.120.3022210,cos2ABC a c b bc A ∆---==练习1.中,则()222,,,,tan _____,ABC a b c a c b B B ∆+-==练习2.在中角所对的边分别为若则角()()3ABC a b c a b c ab C ∆+++-=练习3.在中,,求.三．三角形的面积公式 1.面积公式的选用6016 ABC ABC A b S c ∆∆=︒===例.在中,,,则1.,1,_____2ABC AB BC B ∆===练习已知的面积是则()()2,,3sin sin sin 6cos cos 13.,,,a ABC A B C a b c ABC AB CB C a ABC ∆∆==∆练习2.在中角､､所对的边分别为､､已知的面积为Ⅰ求Ⅱ若求的周长2.面积的计算30,2,ABC B AC AB ABC ∆∠=︒==∆例.在中,若求的面积.160, ABC ABC AB AC A S ∆∆===︒=练习.在中,,则3.sin cos ,2,3,tan .ABC ABC A A AC AB A S ∆∆+===例.在中,求的值和120,4,.ABC ABC B b a c S ∆∆=︒=+=练习1.在中,若求12.,1,______2ABC AB BC AC ===练习钝角三角形的面积是则()22,,,,6,,3ABC a b c c a b C ABC π∆=-+=∆练习3.在中角所对的边分别为若则的面积为_____30,2,ABC B AC AB ABC ∆∠=︒==∆练习4.在中,若求的面积.四．射影定理.,,,,,2cos (cos cos ),;例△的内角的对边分别为已知求ABC A B C a b c C a B b A c C +=,,.2cos cos cos ,_______ABC A B C a b c b B a C c A B ∆=+=练习1.在中角､､所对的边分别为､若则),,,,cos cos ,cos ______ABC a b c c A a C A ∆-==练习2.在中角所对的边分别为若则五．正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合,,,,cos sin 0,ABC a b c a C C b c A∆+--=例.在中角所对的边分别为求21.,,,,,,2,23,ABC A B C a b c A C B b ac A +==练习在△中内角所对的边分别是求角的大小2.,,,,,.2cos .:2;练习在△中内角所对的边分别是已知证明ABC A B C a b c b c a B A B +==B C3.,,,,,,cos cos sin .:sin sin sin 练习在△中角所对的边分别是且证明ABC A B C a b c A A B Ca b c+==4.sin()sin().2442ABC A b C c B a B C πππ∆=+-+=-=练习在中,cos 求证2.与平面向量结合2.,233ABC AB AC AB AC BC A,B,C ∆⋅=⋅=例在已知,求角的大小3.tan 3tan cos ,5ABC AB AC BA BC B A C A ∆⋅=⋅==练习1.在中,(1)求证(2)若求的值ABC ,,36,3.,,ABC A B C a b c b AB AC S A a ∆∆==-=练习2.在中角､､所对的边分别为､､已知求和,,,,(,),(,) _,//____,ABC a b c p a c b q b a c a p q C ∆=+=--=练习3.在中角所对的边分别为若若则角,,,,(31),(cos ,sin ),cos cos sin ,_____ABC a b c m n A A m n a B b A c C B ∆=-=⊥+==练习4.在中角所对的边分别为向量，若且则角5.(22sin cos sin ),(sin cos ,1sin ),ABC A B C p A A A q A A A p q A ∆=-+=-+练习已知锐角中,三个内角为、、,向量，若与是共线向量,求的大小3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状22sin cos ,cos sin a A BABC ABC b A B∆=∆例.在中,若判断的形状cos sin ABC c a B b a C ∆==练习1.在中,,,判断三角形形状.cos cos ,ABC a A b B ABC ∆=∆练习2.在中,若判断的形状(),,,,,1,cos 1cos ,. ... ABC A B C a b c b a B A A ABC B C D ∆==-∆等腰三角练习3.已知的内角的对边分别为若则的形状为直角三角形形等腰直角三角形等腰或直角三角形4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角_________ABC ∆例.已知,则其最大角的余弦值为::2::1),ABC a b c ABC ∆=+∆练习.已知中,求的最大内角的大小(2)最长(短)边()()13,tan ,tan 45ABC A B C ABC ∆==∆例.在中Ⅰ求角的大小Ⅱ若求最小边的边长1,,tan ,c ,,,os 2,ABC A B C A B ABC a b c ∆==∆练习1.在中若最短边的边长角所对的边分别为求最长边的边长0120ABC ABC ∆∆的一个内角为,并且三边长构成公练习2.已知最长边的差为4的等差数列边长为_,则_____(3)边长或周长的最值3,,,12ABC B C A ABC AB ∆∆例1.在中,角成等差数列且的面积为则边的最小值是_______()()()()()()272cos sin 261? 2,,,,,3,2,2f x x x f x f x x ABC A B C a f A b c a b c π=+=⎛⎫=--⎪⎝⎭∆练习1.已知函数求函数的最大值,并写出取最大值时的取值集合已知中,角的对边分别为若求实数的取值范围060,2_____ABC B AC AB BC ∆==+练习2.在中,则的最大值为,,,,,2cos 2,,ABC A B C a b c c B a b ABC S ab ∆=+∆=练习3.在中,角的对边分别是且若的面积为则的最小值为__________.()()()25,,cos 224121,A A B C ABC B C sin A AB AC BC AD ∆++=⋅=-练习4.设角为的三个内角,已知求角的大小若求边上的高长的最大值()()()()() 5.sin 0,0212223f x p x p f x B ABC AC f C ABC ωωππ=>>⎛⎫∆==∆ ⎪⎝⎭练习函数的最大值为2,其图象相邻两条对称轴之间的距离为求函数的解析式在中,,,求周长的最大值()()()()()6.sin 2cos 2.312,,,,2,.2x f x m x x f x cABC a b c f B b a π==-∆==-练习已知是函数的图象的一条对称轴求函数的单调递增区间；在中角所对的边分别为若且求的取值范围练习7．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C B C C B B cos cos 4)cos sin 3)(cos sin 3(=--．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若C p B sin sin =，且ABC ∆是锐角三角形，求实数p 的取值范围．(4)面积的最值,,,,,2,(2)(sin sin )()sin ,a b c ABC A B C a b A B c b C ABC ∆=+-=-∆例.已知分别为的三个内角的对边且则面积的最大值为______()()1.,,,,cos sin .122,ABC a b c A B C a b C c B B b ABC ∆=+=∆练习在中，分别为所对的边,且求角的大小；若求面积的最大值.()() 2.,,,,cos cos .124,ABC a b c A B C a b C c B C c ABC ∆-==∆练习在中，分别为所对的边,且(2)求角的大小；若求面积的最大值.tan 33,,,,,1,tan .,,2B AB a b c cC B C C A C AB ∆=∆=角所对的边分练习在中的面积最大值为_别为且则____222.,,,,,48,sin 2sin 6sin sin ,ABC A B C a b c b c B C b A C ABC a ∆+=+=∆=练习4在锐角中,内角的对边分别是已知则的面积取最大值时有___.练习5．已知锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知a=3， A=60°,求面积的取值范围；(5)有关正弦或余弦或正切角等的最值222,,,,,2cos a b c ABC A B C a b c C ∆+=例1.已知分别为的三个内角的对边若则的最小值为______sin 2sin ,cos ABC A B C C ∆+=练习1.已知的内角满足则的最小值为______tan tan ,,,,,,2(tan tan ).cos c 2;(2os (1):)cos .练习2.在△中角的对边分别为已知求证求的最小值a b c A BABC A B C a b c A B B AC +++==,sin 2sin sin ,tan tan tan .练习3.在锐角三角形中则的最小值是ABC A B C A B C = ()(),,3cos 2cos ,11tan ,32tan ,,,,ABC A B C a C c a b A A B B c ∆==练习4.在中若若求角角所对的边分求别为的最小值22,,,,sin (1);(2)sin cos .例2.在中角所对的边分别为且求的大小求的取值范围ABC a b c a b C B A B C ∆-==+()()222,,,,,)4sin sin ABC a b c S ABC S a b c C A B ∆∆=+-+练习1.在中角所对的边分别为设为的面积满足Ⅰ求角的大小Ⅱ求的最大值222,.(1);(2)cos .练习2.在△中求的大小的最大值ABC a c b B A C +=+∠+(5)基本不等式与余弦定理交汇()()22,,,,,12ABC A B C a b c tanA a b c ABC ∆=A =+例.已知在锐角中角所对的边分别为且求角的大小当,求的最大值并判断此时三角形的形状()()(),,,,sin sin sin 125,ABC A B C a b c c C b B a b ACc ABC ∆-=-=∆练习.在中,内角所对的边分别为且求角若求的面积的最大值(5)与二次函数交汇()()2.(22sin cos sin ),(sin cos ,1sin ),32()2sin cos2ABC A B C p A A A q A A A p q A C Bf B B B ∆=-+=-+-=+1例已知锐角中,三个内角为、、,向量，若与是共线向量,求的大小函数取最大值时,的大小()()1.ABC ,,(2)cos cos (sin ,cos 2)(4,1)(1)5A B C a b c a c B b CB m A A n k k m n k ∆-===>⋅12练习在中角、、所对的边分别为、、且求的大小设，且的最大值为，求的值练习2．设函数()cos cos21f x a x b x =++．（1）当1,1b a ==时，求函数()f x 的值域；（2）若1a =，对任意的实数x 函数()0f x ≥恒成立，求实数b 的取值范围；（3）若1b=，存在实数x使得函数()2f x a≥成立，求实数a的取值范围．练习3．ABC∆的三个内角为A B C、、，求当A为何值时，cos2cos2B CA++取得最大值，并求出这个最大值。

解三角形(总结+题+解析)

解三角形一．正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.正弦定理的如下变形常在解题中用到1.(1) a=2RsinA(2) b=2RsinB(3) c=2RsinC2.(1) sinA=a/2R(2) sinB=b/2R(3) sinC=c/2R3.a ：b ：c=sinA ：sinB:sinC适用类型（1）AAS（2）SSA二．余弦定理：1. a^2 = b^2 + c^2 - 2·b ·c ·cosA2. b^2 = a^2 + c^2 - 2·a ·c ·cosB3. c^2 = a^2 + b^2 - 2·a ·b ·cosC余弦定理的如下变形常在解题中用到1. cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a ·b)2. cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a ·c)3. cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b ·c ）适用类型1.SSA2.SAS3.SSS三．余弦定理和正弦定理的面积公式S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB（常用类型：已知三角形两边及其夹角）判断解的个数判断三角形的形状有两种途径：（1）将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解（2）将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解三．解三角形的实际应用测量中相关的名称术语仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。

俯角：视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角方向角：从指定方向线到目标方向的水平角测距离的应用测高的应用(一)已知两角及一边解三角形例1已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.∠B=180°-30°-45°=105°a=10sin45°/sin30°=10√2sin105°=sin(60+45)=√2/2(√3/2+1/2)=(√6+√2)/41/sin105=√6-√2b=10sin45°/sin105°=5√2(√6-√2)=10(√3-1)（二）已知两边和其中一边对角解三角形例2在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若a=2√3，b =√6，A=45°，求边长C由余弦定理，得b²+c²-2bccosA-a²=06+c²-2√3c-12=0c²-2√3c-6=0根据求根公式，得c=√3±3又c>0所以c=3+√3（三）已知两边及夹角，解三角形例3△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.解：由余弦定理得∴a2-9a+18=0，得a=3或6当a=3时，A=30°，∴C=120°当a=6时，由正弦定理∴A=90°∴C=60°。

解三角形题型总结(原创)

2
0，
21 3
又因为 0 0 B 180 0 ，所以 B 90 0 ，
再根据内角和定理，得
A 1800 (B C) 180 0 150 0 300。
综上， A 300,B 900,c
3。
练习：
1 在 ABC 中，已知 a 4,b 2,C 60 0解三角形。
题型四、利用余弦定理解决 “已知三边 ”的类型
解三角形题型总结
ABC 中的常见结论和定理：
一、内角和定理及诱导公式：
1．因为 A B C ，所以 sin( A B) sin C, cos(A B)
cosC, tan(A B)
sin( A C) sin B, cos(A C) cosB, tan(A C)
sin(B C) sin A, cos(B C) cos A, tan(B C)
2cos 2 A 3cos A 2 0,
解得 cosA 1 ,角 A 60 2
(II) S 1 bcsinA 5 3 2
c 4,
3cos B C 1.
由余弦定理得 : a2
2
21, 2R
a2 sin2 A 28
sinBsinC
bc 5 4R 2 7
练习 2. 已知 △ABC 的周长为 2 1，且 sin A sinB
2
6
3
由余弦定理，得 cosC
AC 2 BC 2 AB 2 (AC BC) 2 2AC BC AB 2 1 ，
2AC BC
2AC BC
2
所以 C 60 ．
练习 3．在 △ABC 中，内角 A，B，C 对边的边长分别是 a，b，c ，已知 c 2 ，C
．
3
（Ⅰ）若 △ABC 的面积等于 3，求 a，b ；

解三角形题型总结(原创)

解三角形题型总结ABC 中的常见结论和定理：一、内角和定理及诱导公式：1．因为A B C ，所以sin( A B) sin C, cos( A B) cosC , tan( A B) tan C ；sin( A C) sin B, cos( A C) cos B, tan( A C) tan B ；sin( B C) sin A, cos(B C) cos A, tan( B C) tan AA B C因为,2 2A B C 所以sin cos2 2 2．大边对大角A B C，cos sin2 2，⋯⋯⋯⋯3.在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA ta·n B ·t anC;(2)A 、B、C 成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC 是正三角形的充要条件是A、B、C 成等差数列且a、b、c 成等比数列.二、正弦定理：文字：在ABC 中，各边与其所对角的正弦的比值都相等。

a b c符号：R2 sin A sin B sin C公式变形：①a2R s in A b 2R sin B c 2R s in C (边转化成角）②a b csin A sin B sin C （角转化成边）2R 2R 2R③a : b :c sin A :sin B : sin Ca b c a b c④2Rsin A sin B sin C sin A sin B sin C三、余弦定理：文字：在ABC 中，任意一边的平方，等于另外两边的平方和，减去这两边与它们夹角的余弦值的乘积的两倍。

符号：a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C变形：cos A2b2c2bc2 2a acos B2c2ac2b cos C2a2b2ab2c四、面积公式：（1）S 1 ah （2） 1 ( )S r a b c （其中r 为三角形内切圆半径） a2 2（3） 1 sin 1 sin 1 sinS ab C bc A ac B2 2 2五、常见三角形的基本类型及解法：（1）已知两角和一边（如已知A, B, 边c）解法：根据内角和求出角 C ( A B) ；a b c根据正弦定理R2sin A sin B sin C求出其余两边a,b（2）已知两边和夹角（如已知a,b,C ）2 2 2 2 cos 解法：根据余弦定理c a b ab C 求出边c；2 2 2b c a根据余弦定理的变形cos A 求A ；2bc 根据内角和定理求角 B ( AC) .（3）已知三边（如：a, b, c ）b 2 2c2 acos A 求A ；解法：根据余弦定理的变形2bc根据余弦定理的变形cos B2a2c2ac2b 求角B ；根据内角和定理求角 C (A B)（4）已知两边和其中一边对角（如：a,b, A）（注意讨论解的情况）解法1：若只求第三边，用余弦定理： 2 2 2 2 cosc a b ab C ；a b c解法2：若不是只求第三边，先用正弦定理R2sin A sin B sin C解，两解或无解的情况，见题型一）；求B （可能出现一再根据内角和定理求角 C (A B) ；.先看一道例题：例：在ABC 中，已知b 2 ，求角C。

解三角形的知识总结和题型归纳

解三角形的知识总结和题型归纳一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。

2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

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解三角形题型分类解析1、正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===（）(角化边公式）3::sin :sin :sin a b c A B C=（）sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C===做题大法：1）边化角：遇到分式或等式如（切记必须为齐次式，高B A b a BA b sin sin ,sin sin a =→=→考常考点）思考：若是否可行C B A bc sin sin sin a 22=−−−→−=是否可化为2）角化边形如这样的分式或等式b a B A bB A =→=→sin sin ,a sin sin 思路总结：此为以上转换依据sin sin a b A B =2sin c R C ==⇒2、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）；已知a ，b 和A ，不解三角形，求B 时的解的情况:AR sin 2a =B R sin 2b =B Rsin 2c =如果sin A ≥sin B ，则B 有唯一解；如果sin A <sin B <1，则B 有两解；如果sin B =1，则B 有唯一解；如果sin B >1，则B 无解.3、余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C=+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bca cb B aca b c C ab +-=+-=+-=4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边。

5、常用的三角形面积公式（1）；高底⨯⨯=∆21ABC S （2）（两边夹一角）；B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆6、三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）（3）在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。

2sin 2cos ,2cos 2sinC B A C B A =+=+分类题解：类型一：正弦定理1、计算问题：例1、（2013•北京）在△ABC 中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=_________　例2、已知ABC 中，A ，= ．∆∠60=︒a =sin sin sin a b c A B C ++++例3、在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB=b ．求角A 的大小；2、三角形形状问题例3、在中，已知分别为角A ，B ，C 的对边，ABC ∆,,a b c 1) 试确定形状。

BA b cos cos a =ABC ∆2）若，试确定形状。

cos cos aB b A=ABC ∆4）在中，已知，试判断三角形的形状。

ABC ∆A b B a tan tan 22=5）已知在中，，且，试判断三角形的形状。

ABC ∆C c B b sin sin =C B A 222sin sin sin +=例4、（2016年上海）已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于______ABC ∆类型二：余弦定理1、判断三角形形状：锐角、直角、钝角在△ABC 中，若，则角是直角；222a b c +=C 若，则角是钝角；222a b c +<C 若，则角是锐角．222a b c +>C 例 1、在△ABC 中，若 a = 9, b = 10, c = 12, 则△ABC 的形状是_________。

2、求角或者边例2、（2016年天津高考）在△ABC 中，若,BC=3， ,则AC = ．AB 120C ∠=例 3、在△ABC 中，已知三边长，，，求三角形的最大内角．3a =4b =c =例 4、在△ABC 中，已知a=7,b=3,c=5，求最大的角和sinC?3、余弦公式直接应用例 5、：在ABC 中，若，求角A ．∆222a b c bc =++例 6、：(2013重庆理20)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2ab ＝c 2.(1)求C ；例7、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若()()a b c a b c ab +-++=，则角C =例8、（2016年北京高考）在∆ABC 中，222+=a c b .（1）求B ∠ 的大小；（2cos cos A C + 的最大值.类型三：正弦、余弦定理基本应用例1.【2015高考广东，理11】设的内角，，的对边分别为，，，若ABC ∆A B C a b c，，则 .a =1sin 2B =6C =πb =例2.，则B 等于。

1)(22=-+acb c a 例3.【2015高考天津，理13】在中，内角所对的边分别为，已知ABC ∆,,A B C ,,a b c的面积为，则的值为 .ABC ∆12,cos ,4b c A -==-a 例4.在△ABC 中，sin(C-A)=1 , sinB=，求sinA= 。

31例5.【2015高考北京，理12】在中，，，，则．ABC △4a =5b =6c =sin 2sin A C =例6.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC（A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.变：在中，若，则角的度数为 ABC ∆7:5:3sin :sin :sin =C B A C 例7.△ABC 的三个内角满则A:B:C=1:2:3则a:b:c= .例8.设的内角的对边分别为，且，,则ABC ∆,,A B C ,,a b c 53cos =A 135cos =B 3=b c =类型四：与正弦有关的解的个数思路一：利用表格进行a=bsinA ，一解 b sinA<a<b ，两解 a=b ，一解 a>b ，一解思路二：利用大边对大角进行筛选例1：在△ABC 中，b sin A ＜a ＜b ，则此三角形有A.一解 B .两解 C.无解 D.不确定例2：在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【】ABC ∆A 、，，；B 、，，；7=a 14=b ︒=30A 25=b 30=c ︒=150C C 、，，；D 、，，。

4=b 5=c ︒=30B 6=a 3=b ︒=60B 例3：在中，ABC ∆有几个？则满足此条件的三角形,45),0(3,a o A b =∠>==λλλa <b sin A a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b 无解一解两解一解类型五：与有关的问题π=++C B A 例1：在△ABC 中，sin A =2cos B sin C ，则三角形为 _____________.变：在△ABC 中，已知，那么△ABC 一定B C B C cos )sin(2sin +=是。

例2:在中,角,,对应的边分别是,,.已知.ABC ∆A B C a b c ()cos23cos 1A B C -+=(I)求角的大小;A(II)若的面积,,求的值.ABC ∆S =5b =sin sin B C 例3: △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝，求B .13例4: 在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且b)sinC(2c c)sinB (2b 2asinA +++= （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求的最大值.sin sin B C +类型六：边化角，角化边注意点:①换完第一步观察是否可以约分，能约分先约分②怎么区分边化角还是角化边呢？若两边都是正弦首先考虑角化边，若sin,cos 都存在时首先考虑边化角例1:在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且满足csinA=acosC ．（Ⅰ）求角C 的大小；例2在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则的值2sin 2B －sin 2A sin 2A为例3.△ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形例4：(2011·全国)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －a sin 2C ＝b sin B .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .例5：（2016年四川高考）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且.cos cos sin A B C a b c+=（I ）证明：；sin sin sin A B C =（II ）若，求.22265b c a bc +-=tan B例6：（2016年浙江高考）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知b +c =2a cos B.（I ）证明：A =2B ；（II ）若△ABC 的面积，求角A 的大小.2=4a S 例7：的内角所对的边分别为.ABC ∆C B A ，，c b a ，，（I ）若成等差数列，证明：；c b a ，，()C A C A +=+sin 2sin sin （II ）若成等比数列，求的最小值.c b a ，，B cos类型七：面积问题面积公式：例1：设ABC A 的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且b=3，c=1，△ABC 的面积为求cosA 与a 的值；2例2:在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,5A b ==。

（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积.例3：的内角，，所对的边分别为，，．向量与C ∆AB A B C a b c ()m a = 平行．()cos ,sin n =A B （I ）求；A（II ）若，求的面积a =2b =C ∆AB例4．在中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c 且满足ABC ∆(1)求△ABC 的面积；(2)若c ＝1，求a 的值．例5：（2013•浙江）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB=b ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC 的面积．例6：（2016年全国I 高考）的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II ）若的周长．c ABC △=ABC △题型八：图形问题例1：如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？例2.【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时A 测得公路北侧一山顶D 在西偏北的方向上，行驶600m 后到达处，测得此山顶在西偏30 B 北的方向上，仰角为，则此山的高度 m.75 30 CD =正弦定理、余弦定理水平测试题一、选择题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝ac ，则角B 的值为3A . B . C . 或 D . 或π6π3π65π6π32π32．已知锐角△ABC 的面积为3，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为3A ．75° B ．60° C ．45° D ．30°3．(2010·上海高考)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABCA ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 A . B . C . D . 5183432785．(2010·湖南高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C ＝120°，c ＝a ，则( )2A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 大小不能确定二、填空题6．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，已知a ＝，b ＝3，C ＝30°，则A ＝37．(2010·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝，b ＝2，sin 2B ＋cos B ＝，则角A 的大小为________．28．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．三、解答题9．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .若a 2－c 2＝2b ，且sin B ＝4cos A sin C ，求b .10．在△ABC 中，已知a 2＋b 2＝c 2＋ab .（1）求角C 的大小；（2）又若sin A sin B ＝，判断△ABC 的形状．3411．(2010·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，且S ＝(a 2＋b 2－c 2)．34（1）求角C 的大小；（2）求sin A ＋sin B 的最大值．12.【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．ABC ∆D BC AD BAC ∠ABD ∆ADC ∆(Ⅰ) 求；sin sin B C∠∠(Ⅱ)若，和的长．1AD =DC =BD AC。