J5-均匀弦振动的研究

实验五 固定均匀弦振动的研究

一般来说某物理量在某一定值附近反复变化的现象就可称振动，波则是振动沿着媒质的传播。

在自然界中，振动和波是一种普遍的运动形式，它在力（包括声）、热、电、光各领域都有广泛的存在，例如力学中的机械振动和机械波，电磁学中的电磁振荡和电磁波；光学中的光波（电磁波的一种）等等。振动与波具有自己的特征：振动有振幅、频率与相位，在媒质中伴随着能量以一定的速度传播。波动具有反射、折射、干涉和衍射等独特的现象。正因为它们有这种独特的运动形式，从而帮助人们在微观世界中发现了粒子的波动性。证实了物质的波粒二象性，建立了量子力学，人们常把量子力学又称为波动力学，从这一点可以看出振动与波这个概念的重要性。

本实验研究波的特征之一：干涉现象的特例——驻波。

【实验目的】

1．观察固定弦振动传播时形成的横驻波，了解振动在弦上传播的规律。 2．分别改变频率和固定弦的张力测量均匀弦上横波传播速度。

【实验原理】

1． 设一均匀弦，由A 、B 两支点支撑，A 端振动引起弦上质点振动朝着B 端方向传播，称为入射波，再由B 支点反射沿着弦向A 端传播， 称为反射波，这两列同频率的波在同一弦上沿着相反方向传播时产生干涉。移动支撑点A 、B 距离到适当位置。弦线上形成了驻波，如图1所示。

这时AB 间看到

几个固定的波段，每段波两端的点始终静止不动，为波节。而中间振幅最大的为波腹。由图可见相邻两个波节（或波腹）间的距离都等于半波长。这在理论上可以给予证明。

设在x=0处（图1）振动质点向上达最大位移开始计时，沿x 轴方向为正，则入射波和反射波的波动方程为：

)(2cos 1λπx ft d y -= )(2cos 2λ

πx ft d y +=

两波叠加后的方程为

ft x d y y y ⋅⋅=+=πλ

π2cos )(2cos 221 （1）

图1

由（1）式可见合成后的方程为简谐振动方程。即弦上的各点以同一频率振动，它们的振幅 为λπx

d 2cos 2，式中可见振幅与时间t 无关，只与质点的位置x 有关。这种相干波使弦上各

点以一定的振幅作振动，这就是区别于行波的所在，故为驻波。

当波节处振幅为零，即0)(2cos =λ

πx 时，则,2)12(2π

λπ+=K x

),3,2,1,0( =K

可得波节的质点位置为4

)12(λ

+=K x 。

又波腹处振幅为最大，即1)(2cos =λπx 时，则),3,2,1,0(,2 ==K K x πλ

π。可

得波腹的质点位置为2

λ

K x =。

由上述无论相邻的波节（或波腹）的距离[]{}2

4

)12(1)1(21λλ

=+-++=-+K K x x K K 。

因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波节或波腹距离，就可确定该波的波长。 事实上，在固定弦振动实验中，反射点是可移动的两个支撑点A 、B （固定点反射），故两端为波节（半波损失）。因而只有当A 、B 间的距离等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，这就是在固定均匀弦振动上产生驻波的条件：为),2,1(2

==n n L λ，由此可得沿弦传播的

横波波长为 n

L 2=λ （2）

式中n 为弦线上的半波数，亦称段数。

2．在一根拉紧的弦线上，若弦的张力为T ，弦的密度为ρ，则沿着弦传播的横波运动方程为：

2

222x y

T t

y σσρσσ= （3） 式中x 为波传播方向（与弦线平行）的位置坐标，y 为振动位移。将（3）式与波动方程

22

222x

y V t y σσσσ=相比较，可得到波的传播速度： ρ

T

V =

（4）

根据波速为频率与波长的乘积，

f V ⋅=λ 代入（2）式： n

L

f V 2⋅

= （5） 由（4）式和（5）式可得 ρ

T

L n f 2=

（6）

由（6）式可知，当L T ,,ρ一定时,频率f 只有满足（6）式才能形成驻波。同理，当用外力（例如交变的电流在磁场中受到交变安培力的作用）去驱动弦线振动时，外力的频率同样满

足这个关系式，才会促使弦振动的传播形成驻波。本实验装置就是以此设计。

【实验装置】

实验装置如图2，实验时在1，6接线柱间接上弦线，将电源接通。这样，在磁场（如5磁钢）作用下，通有正弦交变电流的弦线就会振动起来。根据需要可以调节频率调节旋钮4，从频率显示器2上读取频率。移动磁钢位置，使弦振动调整到最佳状态。移动劈尖A 或B 可以改变驻波的段数，并使驻波明显稳定。

【实验内容】

1．测量均匀弦的线密度L

m

=

ρ，测多次取平均值。 2．张力T 一定，改变频率f 测量弦线上横波传播的速度V 。

将弦线的一端挂上40.0g 砝码、选取频率分别为60Hz, 80Hz, 100Hz, 120Hz, 140Hz, 160Hz, 调节支撑点A 、B 间距离L 使弦上出现n =1、n =2个驻波段。记录相应L f ,值，计算此时的横波速度V 并与理论值理V 比较。

3．频率一定Hz f 75=，改变张力的大小，测量弦线上横波传播速度V 。

张力T 为30.0g 砝码为起点（包括码钩10.0g ）逐次增加5.0g 直至55.0g 为止。在各张力的作用下同样调节支撑点A 、B 间距离，使弦上出现n=1、n=2个波段，记录相应的T 、L 值，计算对应的V 与理论值V 理比较。

【实验数据与结果】

表1 张力不变时弦中波速的测定

图2