第三章 离散小波变换
离散小波变换(dwt
离散小波变换(dwt
离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是一种数学工具，用于信号分析和处理。
它将信号分解成不同的频率子带，可以有效地提取信号的特征。
DWT在许多领域中得到广泛应用，如图像处理、音频编码和生物医学工程等。
离散小波变换使用小波函数对信号进行分解和重构。
小波函数是一种特殊的函数，可以在时域和频域之间进行变换。
DWT将信号分解成低频和高频子带，低频子带包含信号的大部分能量，而高频子带则包含信号的细节信息。
通过多级分解，可以得到不同尺度的子带，从而实现对信号的多层分析。
在DWT中，信号经过分解后，可以进行特征提取、去噪和压缩等操作。
通过对高频子带进行阈值处理，可以实现信号的去噪。
而对低频子带进行压缩，可以减少信号的冗余信息。
DWT还可以用于图像处理中的边缘检测、纹理分析和图像融合等任务。
DWT的优势在于它能够提供多分辨率分析，能够同时捕捉信号的时域和频域特征。
与傅里叶变换相比，DWT可以更好地处理非平稳信号，因为小波函数可以自适应地适应信号的局部特性。
离散小波变换是一种强大的信号分析和处理工具。
它在各个领域中都有广泛的应用，能够提取信号的特征、去除噪声和压缩数据等。
通过合理地使用DWT，可以更好地理解和处理信号，为各种应用提
供支持。
离散小波变换(dwt
离散小波变换(dwt
离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是一种常用的信号处理方法，可以将信号在不同尺度上进行分解和重构。
它利用一组基函数，通过对信号进行多尺度分解，提取出信号中的不同频率成分，从而实现信号的特征提取和压缩。
离散小波变换的核心思想是将信号分解为低频和高频部分。
低频部分包含信号中的趋势信息，而高频部分则包含信号中的细节信息。
通过不断进行分解，可以得到不同尺度上的低频和高频部分，从而实现信号的多尺度表示。
离散小波变换具有多尺度、局部性和良好的时频局部性等特点。
它可以有效地处理非平稳信号，对于图像压缩、噪声去除、边缘检测等应用具有重要意义。
离散小波变换的算法基于滤波和下采样操作。
首先，信号经过低通滤波器和高通滤波器，得到低频和高频部分。
然后，低频部分经过下采样操作，得到更低尺度上的低频部分。
这个过程可以迭代地进行，直到达到所需的尺度。
离散小波变换具有很多变种，如离散小波包变换、二维离散小波变换等。
它们在信号处理领域广泛应用，具有很高的实用价值。
总结一下，离散小波变换是一种有效的信号处理方法，可以实现信号的多尺度分解和重构。
它具有多种应用，能够处理非平稳信号并
提取出信号的特征信息。
离散小波变换在图像处理、音频处理、视频压缩等领域有广泛的应用前景。
离散小波变换原理
离散小波变换原理离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是一种信号分析方法，它将信号分解成不同尺度和频率的子信号。
离散小波变换可以应用于信号处理、图像压缩、声音压缩等领域。
1. 离散小波变换的基本原理离散小波变换是一种多分辨率分析技术，它将信号分解为多个尺度和频率的子信号。
这些子信号可以进一步进行处理或合成为原始信号。
离散小波变换的基本过程是：首先将原始信号通过低通滤波器和高通滤波器进行滤波，并对滤波后的结果进行下采样（即降采样），得到两个子信号——近似系数和细节系数。
然后，对近似系数进行相同的处理，直到得到所需的尺度和频率。
具体地说，假设有一个长度为N的原始信号x[n]，我们要将其分解为J个尺度（scale）和频率（frequency）上不同的子信号。
首先，定义一个长度为L的低通滤波器h[n]和一个长度为H的高通滤波器g[n]，其中L+H=N。
然后，在第j级分解中，将输入信号x[n]分别通过低通滤波器和高通滤波器进行滤波，得到近似系数Aj-1和细节系数Dj-1：Aj-1 = x[n]*h[n]Dj-1 = x[n]*g[n]其中，“*”表示卷积运算。
然后，对近似系数Aj-1进行下采样，得到长度为N/2的新信号：Vj = Aj-1[0], Aj-1[2], ..., Aj-1[N-2]同样地，对细节系数Dj-1也进行下采样，得到长度为N/2的新信号：Wj = Dj-1[0], Dj-1[2], ..., Dj-1[N-2]这样就得到了第j级分解的近似系数Vj和细节系数Wj。
然后，对Vj进行相同的处理，直到得到所需的尺度和频率。
最后，可以将所有尺度和频率上的子信号合成为原始信号x[n]。
具体地说，在第j级合成中，将长度为N/2的近似系数Vj和细节系数Wj上采样（即插值）并通过低通滤波器h[n]和高通滤波器g[n]进行卷积运算，并将结果相加即可：Aj = Vj+1*h[n] + Wj+1*g[n]其中，“+”表示上采样后的加法运算。
第三章 离散小波变换
第三章 离散小波变换3.1 尺度与位移的离散化方法减小小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a t a t a τψψτ1)(,的τ,a 限定在一些离散点上取值。
1. 尺度离散化：一种最通常的离散方法就是将尺度按幂级数进行离散化，即取mm a a 0=（m 为整数，10≠a ，一般取20=a ）。
如果采用对数坐标，则尺度a的离散取值如图3.1所示。
图3.1 尺度与位移离散方法2. 位移的离散化：当120==a 时，()τψψτ-=t t a )(,。
（1）通常对τ进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。
（2）要求采样间隔τ满足Nyquist 采样定理，即采样频率大于该尺度下频率通带的2倍。
3. )(,t a τψ=？当m 增加1时，尺度增加一倍，对应的频带减小一半（见图2.2），可见采样频率可以降低一半，即采样间隔可以增大一倍。
因此，如果尺度0=m 时τ的间隔为s T ，则在尺度为m 2时，间隔可取s m T 2。
此时)(,t a τψ可表示为);(2212221,t T n t T n t n m s m m m s m m ψψψ记作⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅- Z n m ∈, 为简化起见，往往把t 轴用s T 归一化，这样上式就变为()n t t m m n m -=--22)(2,ψψ （3.1）4. 任意函数)(t f 的离散小波变换为⎰⋅=Rn m f dt t t f n m WT )()(),(,ψ （3.2）DWT 与CWT 不同，在尺度—位移相平面上，它对应一些如图3.1所示的离散的点，因此称之为离散小波变换。
将小波变换的连续相平面离散化，显然引出两个问题：（1）离散小波变换>=<)(),(),(,t t f n m W T n m f ψ是否完全表征函数)(t f 的全部信息，或者说，能否从函数的离散小波变换系数重建原函数)(t f 。
（2）是否任意函数)(t f 都可以表示为以)(,t n m ψ为基本单元的加权和∑∈=Zn m n m nm t Ct f ,,,)()(ψ？如果可以，系数n m C ,如何求？上述两个问题可以归结为一个。
第三章连续小波变换和离散小波变换解读
R (t t0 )2 | (t) |2dt
= [ ]
1 || ˆ || 2
R ( 0 )2 |ˆ () |2d
1 2
则 a,b (t) 的窗口中心为 ta,b=at0+b，宽度为 ta,b=a t，ˆa,b () 的
窗口中心为
a,b=
1 a
0
，宽度为 a,b
1 da
f(t)= C 0 a2 WT f (a,b) a,b (t)db
小波分析中的尺度参数的倒数类似于地图上的比例尺。 我国的地形图比例尺有八种（即八种基本比例尺）：1:5000 ，1:10000，1:25000，1:50000，1:100000，1:250000 ，1:500000，1:1000000。其中比例尺大于 1:10000 的 是大比例尺（一般小于 1:500），比例尺在 1:25000 和 1:100000 之间的是中比例尺，比例尺小于 1:250000 的 是小比例尺（一般小于 1:100 万）。
则 称 ψ 为 一 个 基 本 小 波 或 小 波 母 函 数 (mother
wavelet)。以上条件称为允许性条件，常数 C 称为允许
性常数。
小波这个词中的“小”指的是该函数是有限宽度的，它 们在时域都具有紧支集或近似紧支集。原则上，任何满足允 许性条件的函数都可以作为小波母函数，但实际上常选取时 域具有紧支集或近似紧支集（具有时域局部性）的具有正则 性（具有频域局部性）的函数作为小波母函数，以使小波母 函数在时—频两域都有较好的局部性。“波”指的是该函数 是振荡的，图像具有正负交替的波动性。因为
=
1 a
。
注：作为一种数学变换，伸缩变换用于膨胀或紧缩一个信号 。大尺度因子对应于信号的膨胀，而小尺度因子对应于信号 的紧缩。
小波分析整理 第三章 小波变换ppt课件
.
a b
.
小波函数的范数不变性： a(t)b 0 2 R a(t)b 2 d tR (t)2 dt(t)0 2
此式表明： ( t ) 经过平移与伸缩以后，其模量没有 改变。
在不同的尺度a 时，ψa b (t) 终能和母函数ψ(t) 有着相同的能量 。
当a<1时， ( t ) 被拉宽且振幅被压低， ab (t) 含有表现低 频分量的特征；当a>1时， ( t ) 被压窄且振幅被拉
高， ab (t )含有表现高频分量的特征。
(2t)
(2t 3)
a2
0
1 1.5
3
6
t
a 1 a1
2
(t)
0
1
(1 t) 2
0
1
(t 3)
3
6
t
( 1 t 3) 2
R
可以反映局部频率特性，但是窗函数一经设定，没有 自适应能力，不能满足低频部分需要时窗宽、频窗窄， 高频部分需要时窗窄、频窗宽的要求。
为此，定义窗函数的一般形式为：
w ~ab(t)a1/2(a tb) （ 其 他 形 式 w ~ a b(t)a 1 /2 (t ab )
它是经过平移和放缩的结果。
.
小波函数的频域特性： ^a(b)a1/2eib/a^(a) 此式表明， ( t ) 经过平移和伸缩以后得到的新
函数 a b (t )的频域特性随参数a的变化而变化。
.
2、小波变化的回复公式推导
任何一种变换应该是可逆的。为推导小波变换的
回复公式，先得推出与Fourier变换中类似的乘积
公式。
在Fourier变换中，有公式：2 1 R F [f(t)]F _[g(t)]dRf(t)_ g(t)dt
离散小波变换
长期以来，离散小波变换(Discrete Wavelet Transform)在数字信号处理、石油勘探、地震预报、医学断层诊断、编码理论、量子物理及概率论等领域中都得到了广泛的应用。
各种快速傅氏变换(FFT)和离散小波变换(DWT)算法不断出现，成为数值代数方面最活跃的一个研究领域，而其意义远远超过了算法研究的范围，进而为诸多科技领域的研究打开了一个崭新的局面。
本章分别对FFT 和DWT 的基本算法作了简单介绍，若需在此方面做进一步研究，可参考文献[2]。
1.1 离散小波变换DWT1.1.1 离散小波变换DWT 及其串行算法先对一维小波变换作一简单介绍。
设f (x )为一维输入信号，记)2(2)(2/k x x j j jk -=--φφ，)2(2)(2/k x x j j jk -=--ψψ，这里)(x φ与)(x ψ分别称为定标函数与子波函数，)}({x jk φ与)}({x jk ψ为二个正交基函数的集合。
记P 0f =f ，在第j 级上的一维离散小波变换DWT(Discrete Wavelet Transform)通过正交投影P j f 与Q j f 将P j -1f 分解为：∑∑+=+=-kkjk j k jk j k j j j d c f Q f P f P ψφ1其中：∑=-=-+112)(p n j n k jk c n h c ，∑=-=-+112)(p n j n k j k c n g d )12,...,1,0,,...,2,1(-==j N k L j ，这里，{h (n )}与{g (n )}分别为低通与高通权系数，它们由基函数)}({x jk φ与)}({x jkψ来确定，p 为权系数的长度。
}{0n C 为信号的输入数据，N 为输入信号的长度，L 为所需的级数。
由上式可见，每级一维DWT 与一维卷积计算很相似。
所不同的是：在DWT 中，输出数据下标增加1时，权系数在输入数据的对应点下标增加2，这称为“间隔取样”。
离散小波变换
小波变换的应用领域
01
02
03
04
信号处理
小波变换在信号处理中广泛应 用于信号去噪、特征提取、信 号分类等。
图像处理
小波变换在图像处理中用于图 像压缩、图像增强、图像恢复 等。
语音识别
小波变换在语音识别中用于语 音信号的特征提取、语音分类 等。
FWT具有较高的计算效率和实 用性，广泛应用于信号处理、 图像处理等领域。
小波包算法
小波包算法是一种改进的小波变换算法，它不仅考虑了信号在不同尺度上的分解， 还考虑了不同频率分量的分组。
小波包算法通过将信号的频率分量进行分组，并选择合适的小波基函数对每组分量 进行变换，能够更精确地描述信号的时频特性。
应用
多维离散小波变换在图像处理、信号处理、数据压 缩等领域有广泛应用。
小波变换的性质
80%
冗余性
小波变换具有一定程度的冗余性 ，即在小波系数中存在一些重复 或近似值，可以通过阈值处理等 方法去除冗余。
100%
方向性
小波变换具有方向性，能够捕捉 信号在不同方向上的变化，从而 实现对信号的精细分析。
80%
离散小波变换
目
CONTENCT
录
• 引言 • 小波变换的基本原理 • 离散小波变换的算法实现 • 离散小波变换的应用实例 • 离散小波变换的优缺点 • 离散小波变换的未来发展与展望
01
引言
小波变换的定义
小波变换是一种信号处理方法，它通过将信号分解成不同频率和 时间尺度的分量，以便更好地分析信号的局部特征。
带，通过对不同频带的小波系数进行增 换被用于图像的增强和清晰化，以便更
第3章小波变换简介
j t
d
da W f (a, b)a,b (t )db a 2 0
1 t b a ,b (t ) ( ) a a
小波系数的意义
Wf (a,b)表示信号与尺度为a小波的相关程 度。小波系数越大，二者越相似。
F ( )
f (t )e
j t
傅立叶变换
F ( )
f (t )e
j t
dt
将信号分解为不同频率的正弦波的叠加
傅立叶变换
架起了时域和频域的桥梁
只有频率分辨率而没有时间分辨率。 可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能确 定具有这些频率的信号出现在什么时候。
傅立叶变换
如果想要研究函数在区间(a,b)上的性质， 一个很自然的想法就是利用函数 乘f(t)
小波变换简介
傅立叶变换
信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。 1807年，Joseph Fourier 傅立叶变换以在两个方向上都无限伸展的正弦曲 线波作为正交基函数， 提供了有关频率域的信息， 但有关时间的局部化信息却基本丢失。 原因是对于瞬态信号或高度局部化的信号（如边 缘），由于这些成分并不类似于任何一个傅立叶 基函数，它们的变换系数（频谱）不紧凑的，频 谱上呈现出一幅相当混乱的构成 。
1980：Morlet 1970s，在法国石油公司工作的年轻地球物理 学家Jean Morlet提出小波变换 (wavelet transform，WT)的概念。 1980s,连续小波变换 (continuous wavelet transform， CWT)。 1986：Y. Meyer 法国科学家Y.Meyer与其同事创造性地构造出 具有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数； 用缩放(dilations)与平移(translations)均为2 j(j≥0 的整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基， 使小波分析得到发展。
离散小波变换
离散小波变换（Discrete Wavelet Transform）在数值分析和时频分析中很有用。
第一个离散小波变换由匈牙利数学家发明，离散小波变换顾名思义就是离散的输入以及离散的输出，但是这里并没有一个简单而明确的公式来表示输入及输出的关系，只能以阶层式架构来表示。
定义∙首先我们定义一些需要用到的信号及滤波器。
∙x[n]：离散的输入信号，长度为N。
∙：low pass filter低通滤波器，可以将输入信号的高频部份滤掉而输出低频部份。
∙：high pass filter高通滤波器，与低通滤波器相反，滤掉低频部份而输出高频部份。
∙Q：downsampling filter降采样滤波器，如果以x[n]作为输入，则输出y[n]=x[Qn]。
此处举例Q=2。
举例说明:清楚规定以上符号之后，便可以利用阶层架构来介绍如何将一个离散信号作离散小波变换：架构中的第1层(1st stage)架构中的第2层(2nd stage)可继续延伸架构中的第层( stage)则第的长度为二维离散小波转换此时的输入信号变成，而转换过程变得更复杂，说明如下：首先对n方向作高通、低通以及降频的处理接着对与延著m方向作高低通及降频动作经过(1)(2)两个步骤才算完成2-D DWT的一个stage。
[编辑]实际范例以下根据上述2-D DWT的步骤，对一张影像作二维离散小波变换(2D Discrete Wavelet Transform)原始影像2D DWT的结果[编辑]复杂度(Complexity)在讨论复杂度之前，先做一些定义，当x[n]*y[n]时，x[n]之长度为N，y[n]之长度为L：其中，为(N+L-1)点离散傅里叶反转换(inverse discrete Fourier transform)为(N+L-1)点离散傅里叶转换(discrete Fourier transform)(1)一维离散小波变换之复杂度(没有分段卷积(sectioned convolution))：(2)当 N >>> L 时，使用“分段卷积(sectioned convolution)”的技巧：将x[n]切成很多段，每段长度为，总共会有段，其中。
小波变换及离散
小波变换的分类
连续小波变换 时间、控制窗口大小的参数和时移参数都连续的 小波变换。 离散参数小波变换 时间连续，控制窗口大小的参数和时移参数离散 的小波变换。 离散小波变换 时间、控制窗口大小的参数和时移参数都离散的 小波变换。
Wavelet Analysis and its Applications
连续小波变换
不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间 中心和频率中心的关系
t / 2
(a 1 / 2) 2 0 (a 1)
2
t 2 t
0
/ 2
(a 2) 0 / 2
f (t) C
其中：
-1
(W f )(a, b)a,b (t)
da db 2 a
互为对偶关系
C ( ) ( ) d | |
Wavelet Analysis and its Applications
小波反变换及小波容许条件
设 x(t ), (t ) L ( R) ，记 () 为 (t ) 的傅里叶变换，
小波分析及其应用
第三章 小波变换及 离散实现
华中科技大学 电子与信息工程系 国家防伪工程中心 尤新革 you1231cncn@
Wavelet Analysis and its Applications
本章的主要内容
小波变换的分类及概念 连续小波变换 离散参数小波变换 离散小波变换 小波变换的性质 Mallat算法 Shannon抽样定理 小波包分析 正交小波、半正交小波、双正交小波 半正交小波的正交化
第三章连续小波变换和离散小波变换.
ˆ a,b () 的 则 a,b (t ) 的窗口中心为 ta,b=at0+b， 宽度为 ta,b=a t，
1 a , b 0 ，宽度为 窗口中心为 a,b= =a 。
1 a
注：作为一种数学变换，伸缩变换用于膨胀或紧缩一个信号 。大尺度因子对应于信号的膨胀，而小尺度因子对应于信号 的紧缩。 在数学上， 设 f(t)是一个给定函数， 则当 s>1 时， f(st) 表示 f(t)的一个紧缩，当 s<1 时，则表示 f(t)的膨胀。 在小波变换中，当尺度因子 a>1 时基函数被膨胀，当 a<1 时基函数被紧缩。
然后在尺度因子 a=1 处的小波向右移动 τ 个单位到 b=τ 处，在 a=1，b=τ 处计算 CWT，这相当于得到了时 间—尺度平面上对应于点 a=1，b=τ 的变换值。 重复上述过程， 直到到达信号的结束。 这时对应于尺 度因子 a=1 的时间—尺度平面上的一行点计算完毕。 然后 a 的值增加一点点。本来这是一个连续变换， 因此 b 和 a 的值应该连续增加。但如果用计算机来计算 小波变换的话，则 b 和 a 都必须以小步长增加。这就相 当于对时间—尺度因子相平面进行采样。
a,b (t ) 为依赖于参数
a,b 的小波基函数。由于 a,b 是连续取
值，故称对应的小波基函数族{ a,b (t ) }为连续小波基函数。
记小波母函数ψ(t)的窗口半径为 t，中心为 t0，它的 Fourier 变换ˆ ( ) 的窗口半径为 ，中心为 0，则 t0= || ||
3.2 连续小波变换的计算
设 f(t)是一个信号，我们选好了一个母小波函数 。 一旦选好了母小波，则从 a=1 开始计算 CWT。一般 而言，由于所研究的实用信号是带限的，因此只需要计算 对应于有限区间内的尺度的 CWT。 为方便起见，计算从 a=1 开始，a 将不断增大。即计 算将从高频算到低频。 a 的第一个值对应最紧缩的小波。 当 a 的值增大时，小波将逐渐膨胀。
3.4离散小波变换
A f
2
≤ ∑ Wf (2 j , b) ≤ B f
2 j∈Z
2
, f ∈ L2 ( R ) 。
j 这是因为二进小波变换 W f 2 , b 的傅立叶变换
(
)
⎡ 1 ⎛ t ⎞⎤ ⎡W f ( 2 , b ) ⎤ = ⎡ f t ⎤ ( ) ⎦ ⎢ 2 j ψ ⎜ 2 j ⎟⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ， 1 j j = F ( ω )i j i 2 Ψ ( 2 ω ) 2
第 3 章 小波变换
3.4 离散小波变换（DWT, discrete wavelet transform）
由小波变换的反演公式
1 f (t ) = Cψ
+∞ +∞
∫
0
1 W f (a, b)ψ a ,b (t )dbda 2 ∫ a −∞
可知，信号 f (t ) 可以由它的小波变换 W f ( a, b) 精确重建。或者说，函 数是按“基”
2
Wk1 f + k2 g ( s, b ) = k1W f ( s, b ) + k 2Wg ( s, b ) ，
这里 k1 , k2 为任意常数。 2） 平移性 设 f (t ) ∈ L2 ( R ) ，则
W f ( t − t0 ) ( s , b ) = W f ( t ) ( s , b − t 0 ) 。
−j ψ j ,k ( t ) = a0 2ψ ( a0 t − k ), −j
j, k ∈ Z ，
若对于任何 f (t ) ∈ L ( R) ，有
2
A f
where
2
≤
t =−∞
∑
+∞
f ,ψ j , k
离散小波变换与框架ppt
(F F )1 f , F F (F F )1 f (F F )1 f , f
利用式3-16,有:
B1 f , f , (F F )1 f , f A1 f , f
将以上两式合并,有:
B1 f 2 f ,~j 2 A1 f 2
(式3-19)
jJ
上式表明, ~j jJ 就是H空间得一个框架。
2 A
(FF) f B
Rf N 1
(将R表达式代入)
f N 1
2 (F F )( f A B
f N 1)
最后得到迭代公式
f N
f N 1
2 A B
[
jJ
f , j
f N 1, j
] j
f0
2 (FF) f A B
2 A B
jJ
f , j
j
(式3-30) (式3-31)
三、小波框架(本节定理证明参见《小波十讲》) 现在我们再回到利用离散小波系数重构原函数f(t)得问题
令：c Ff ,即c j f , j ,则上式变为：
F Ff f , j j jJ
f (F F )1 f , j j f , j (F F )1 j
jJ
jJ
同理:
f f , j ~j jJ
f f ,~j j jJ
(式3-21) (式3-22)
以上两式就就是 f 得重构公式,由<f, φj >重构 f 需要求出框架
c j0 ,k0 f (t), j0 ,k0 (t) f (t) j0 ,k0 (t)dt
c j,k~j,k (t) j0,k0 (t)dt
R
c j,k
~j,k (t) j0,k0 (t)dt
离散小波变换与正交小波
例 5.3 考虑线性样条函数
1 t 1, 2 t 0
(t) 1 1 t , 0 t 2
0,
其他
从几何上看， (t) 显然是一个基本小波
易知 (t) s(t) s(t 2)
t, 0 t 1 这里 s(t) 2 t, 1 t 2
0, 其他
是个帐篷函数
s()
s(t)eitdt
1teit dt
2 (2 t)eitdt
0
1
ei
i
1 ei
(i)2
ei
i
ei2 ei
(i)2
1 ei
i
2
ˆ () sˆ() e2i sˆ() (1 e2i )(1 ei )2 i
构成了子空间 S { f (t) L2(R) | fˆ() 0, }
的一个标准正交基
令S2m { f (t) L2(R) | fˆ() 0, 2m}，则 S2m
具有标准正交基
m
{2 2 (2mt
n)}
m
22
sin
2m
(t
n 2m
)
, m,n
Z.
2m
(t
n 2m
)
正交小波
且对任意
其中
cj,k
f (t) cj,k j,k (t)
j,k
正交小波级数分解
f (t), j,k (t) f (t) j,k (t)dt, j, k Z
称为 f 的小波系数
小波系数实质上是离散小波变换，前面所得的二进离 散小波与连续小波虽不会损失信息，但会产生冗余，而正 交小波则可以使变换后所产生的冗余消失。
离散小波变换(dwt
离散小波变换(dwt
离散小波变换（DWT）是一种常用的信号处理技术，可以将信号分解成不同频率的子信号。
它是通过对信号进行多级滤波和下采样操作来实现的。
离散小波变换在很多领域都有广泛的应用，如图像压缩、信号去噪、语音识别等。
在离散小波变换中，信号先通过低通滤波器和高通滤波器进行滤波，然后再进行下采样操作。
低通滤波器将信号中的低频分量提取出来，而高通滤波器则提取出高频分量。
通过多级滤波和下采样操作，信号被分解成不同频率的子信号。
离散小波变换的一个重要特点是多分辨率分析。
多分辨率分析意味着信号的不同频率成分可以被分解到不同的尺度中。
通过对信号进行多级DWT，可以得到不同尺度的近似系数和细节系数。
近似系数表示信号的低频分量，而细节系数表示信号的高频分量。
通过调整DWT的级数，可以选择相应的频率范围。
离散小波变换还有一种重要的性质是能量集中性。
能量集中性意味着信号的大部分能量都集中在少数的子信号中。
通过对信号进行DWT，可以将信号的能量集中在少数的系数上，从而实现信号的压缩和去噪。
离散小波变换还可以通过逆变换将分解的子信号重构成原始信号。
逆变换是通过对近似系数和细节系数进行上采样和滤波操作来实现
的。
通过多级逆变换，可以将信号完全恢复。
离散小波变换是一种强大的信号处理技术，可以分解信号并提取出不同频率的分量。
它在图像处理、信号处理等领域有广泛的应用。
通过合理地使用离散小波变换，我们可以更好地理解和处理信号，提高信号处理的效果。
sjs3-第三章 离散小波变换(3课时)
Sadmissible
⊃
S dyadic ⊃ S discrete
等价地，小波框架在频域中是指，满足
的函数族。 α
≤
m ∈ Z
∑
ψˆ ( 2
m
ω )
2
≤
β
19
19二进小波及其稳定性条件二进小波变换的稳定性条件二进小波及其重构小波二进小波变换具有平移不变性二进小波是允许小波离散小波是二进小波basic
第三章
离散小波变换(DWT)
引言 • CWT中的尺度a和位移b连续变化，在a−b平面上的不同点
上 ， ψ a ,b (t ) 具 有 很 大 的 相 关 性 ， 因 此 ， CWT 系 数 的 WTx (a, b) 信息量是冗余的，不适合图像压缩、数值计算。 另外，其计算量大的惊人。
1
a0
….
m a0
a0τ 0
….
m a0 τ0
a τ
m 0 0
m b⎯ ⎯→ na0 τ0
(m = 0,1,2,...；n ∈ Z )
3
问题：如何理解尺度与位移离散之间的关系？
（2）离散小波
则:
− m 2 m 2
t −b 1 ψ a ,b (t ) = ψ( ) a a
ψ m,n (t ) = a0 ψ [a0 − m (t − na0 mτ 0 )]
m∈Z
∑∫
x
2 m ,b
（3.18)
~ 其中：ψ
1 (t ) = ψ 2m ,b是ψ 2m ,b的对偶小波。 2 m ,b A
16
（5）二进小波的性质
• 线性变换； • 构成一个框架； • 也是容许性小波； • 具有平移不变性：
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➢ 一般，取a0=2，则a=2j，τ=2jkτ0，则采样间 隔为τ=2jτ0
➢ 当a=2j时，τ的采样间隔是 2jτ0 ，此时，
a, (t) 变为：
j
22
(2 jt k0 )即 , j,k(t)j, 0 ,1 ,2 , ； k Z
--
➢ 一般，将τ0归一化，即τ0=1，于是有：
j,k(t)22j(2jtk)
--
通过框架对原函数进行重建
➢ 在紧框架情况下， f(t)1 AkZf,kk(t)
➢ 如果 AB，我们定义算子S如下：
S(tf) f,kk(t)
➢ 求逆，得：k Z
f( t) S 1 [ f,k k ( t) ] f,k S 1k
k Z
k Z
~
➢ 这时，只有 S1k k ，重构公式才成立。
--
3.2.2 小波框架
➢ 1.小波框架的定义： ➢ 如果当基本小波函数ψ（t）经伸缩和位移
引出的函数族j,k(t)22 j(2jtk),j,kZ
➢ 具有如下性质：
A f2 | f, j,k |2 B f2 ,0 A B
jk
--
➢ 我们称 j,k(t)j,kZ都成了一个框架，上式为小
--
3. 通过框架对原函数进行重建
➢ 重~ 构k 定kZ理为：其令对偶f(框t) 架H ，,则kfk( tZ)是 通H 过的 下式一 重构个 ： 框
f(t) f, ~k k(t) f,k ~k(t)
k
k
➢ 如果A=B=1，这时 k 是一组正交基，所
以重建公式为：f(t) f,k k(t)
k Z
--
3.2 小波的框架理论
➢ 3.2.1 框架 ➢ 1 框架的定义
➢ 在希尔伯特空间H中有一族函数 kkZ，如
果存在0<A<B<∞，对所有的f∈H，有：
Af2 |f,k |2Bf2
k
➢ 称 k kZ 是H中的一个框架。
➢ 常数A、B的意义。
--
框架的定义
➢ 若A=B，则称为紧致框架，此时：
j,k(t)
➢ 当 AB 时，但二者比较接近时，作为一 阶逼近，可取 ~j,k(t)A 2Bj,k(t)
--
➢ 所以重建公式近似于：
f(t)A 2Bj,k Zf,j,kj,k(t)
➢ 同样，A和B越接近，误差就越小。
➢ 在紧框架情况下，
f(t)1 Aj
WxT (j,k)j,k(t)
k
--
➢
➢ 为了减小小波变换系数的冗余度，
我们将小波基函数
a,(t)
1 (t)
aa
的a、τ限定在一些离散的点上取值。
--
离散化方法
➢ （1）尺度的离散化。目前通行的做法 是对尺度进行幂数级离散化。即令a取 a a0j ,a0 0, j Z 对应的小波函数是：
j
a02[a0 j (t )], j 0,1,2
➢ 此时，对应的WTf为：
W f(T j,k)f(t) j,k(t)dt
--
离散化过程中的两个问题
➢ 一、离散小波能否完全表征函数f(t)的全部 信息。
➢ 二、是否任何函数f(t)都可以表示为以 j,k (t) 为单位的加权和。即
f(t) cj,k j,k(t) j,kZ
➢ 如果可以，系数 c j ,k 如何求？
第三章 离散小波变换
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3.1 尺度和位移的离散化方法
➢ 对于连续小波而言，尺度a、时间 t和与时间有关的偏移量τ都是连 续的。如果利用计算机计算，就 必须对它们进行离散化处理，得 到离散小波变换。
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本章主要内容
➢尺度和位移的离散化方法 ➢小波框架理论 ➢二进小波变换
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3.1 尺度和位移的离散化方法
| f,k |2Af 2
k
➢ 如果A=B=1，则 | f,k |2 f 2
k
➢ 此时， k kZ 是正交框架，若 k 2 1 ， 则 k kZ 是规范正交基。
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2.对偶框架的定义
➢ 对偶函数：
➢
k
的对偶函数
~
k
也构成一个框架，其框
架的上下界是 k上下界的倒数。即：
1f2
A
|f, ~k |2B 1f2,0AB
波框架条件。
➢ 其频域表示为： |(2j)|2,0
➢
j,k (t)
的对偶函数
j Z ~
j,k
22j~(2jtk)也构
成一个框架。
1f2
Aj
k|f,~j,k |2 B 1f2 ,0 A B
--
2.小波框架的性质
➢ （1）满足框架条件的 j,k (t)，其基本小波 (t) 必定满足容许性条件。
➢
因此在尺度j下，由于 (a0 jt)
的宽度是
(t)
的a
j 0
倍，因此采样间隔可扩大a
j 0
，而不会引起
信息的丢失。a, (t) 可写成：
j
a 02
[a 0 j(t k0 ja 0) ]a 0 2 j
[a 0 jt k0)]
➢ 离散小波变换的定义为：
W f( a 0 j,k T 0 ) f( t )a 0 j, k 0 ( t ) d ,j t 0 , 1 , 2 , ， k Z
➢ 当 AB 的时候，如果A，B越接近，上式
的误差越小。
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4. 框架和Riesz基
➢ Riesz基的定义：
➢ 设有kkZ满足下列要求：
(1)A ck2 ckk B ck2
kZ
kZ
kZ
(2)当 ckk 0时， kZ
➢ 便意味着 ck 0 ，也就是要求kkZ 是一组
线性独立族。
➢ 则称 k kZ 为一组Riesz基。
(
j0
,
k0
)点的WT为：W f(T j0,k0)f(t)
(t)dt
j0,k0
➢ 将f(t)代入上式有：
W f(jT 0,k0)1 Aj
K (j0,k0 ;j,k)W f(jT ,k)d t
--
离散化方法
（2）位移离散化。 ka0j0
➢ 通常对τ进行均匀离散取值，以覆盖整个时 间轴， τ满足Nyquist采样定理。在a=2j时， 沿τ轴的响应采样间隔是2j τ0，在a0=2情况 下，j增加1，则尺度a增加一倍，对应的频 率减小一半。此时采样率可降低一半而不 导致引起信息的丢失。
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➢ （2）离散小波变换具有非收缩时移共变性。
➢
（3）离散小波框架
j,k(t)
存在冗余性。
j,kZ
--
3.离散小波变换的逆变换
➢ 如果离散小波序列 j,k j,kZ 构成一个框架，
上下界为A和B，根据上节讨论的函数框架
重建原理，当A=B时，离散小波的逆变换为：
f(t) f,
j,k
j,k ~j,k(t) 1 A j,kW f(j,T k )