平面向量基本定理(公开课)
第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
平面向量基本定理 课件
∴可设c＝xa＋yb，则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－ 2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.
又∵e1，e2
不共线，∴3x－2y＝7， －2x＋y＝－4.
解得x＝1，y＝－2，∴c＝a－2b.
→ 例 2 如图，四边形 OADB 是以向量OA＝a，
→ OB＝b
探究点三 向量的夹角
思考1 已知a、b是两个非零向量，过点O如何作出
它们的夹角θ？两个非零向量夹角的范围是怎样规定
的？确定两个向量夹角时，要注意什么事项？
→
→
答 过点 O 作OA＝a，OB＝b，则
∠AOB＝θ，就是a与b的夹角. 两个非零向量夹角的范围是0°≤θ≤180°，确定两个向量夹角时 要注意先使向量的始点相同，再确定大小.
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹
角为 π－∠CAB.
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
探究点一 平面向量基本定理的提出
思考 1 如图所示，e1，e2 是两个不共线的向量，试用 e1，e2 表示 →→→→ →
向量AB，CD，EF，GH，HG，a.
答 通过观察，可得：
A→B＝2e1＋3e2，C→D＝－e1＋4e2，E→F＝4e1－4e2，
→
→
GH＝－2e1＋5e2，HG＝2e1－5e2，a＝－2e1.
(1)夹角：已知两个非零向量a和b，如图，作 O→A＝a，O→B＝b，
则 ∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角. ①范围：向量a与b的夹角的范围是 [0°，180.°] ②当θ＝0°时，a与b 同向 .
高中数学第二章平面向量第18课时平面向量基本定理B版公开课课件省市一等奖完整版
向量等式O→P＝(1－t)O→A＋tO→B叫做直线 l 的向量参数方程
式，其中实数 t 叫做参变数，简称参数．当 t＝12时，O→P＝12(O→A＋ O→B)，此时 P 点为线段 AB 的中点，这是线段 AB 中点的向量表 达式．
讲重点 正确认识直线的向量参数方程式 (1)直线的向量参数方程式与 P，A，B 三点共线的条件是完 全一致的．因为直线的向量参数方程式中O→A，O→B的系数之和为 1，所以我们可以把它看作判断三点共线的一个依据，即当同一 起点发出的三个向量，其中之一用另外两个的数乘向量的和表示 时，若系数之和为 1，则三个向量的终点在一条直线上．即：点 P，A，B 三点共线⇔存在 λ，μ∈R，使O→P＝λO→A＋μO→B(λ＋μ＝ 1)． (2)线段中点的向量表达式其实是直线的向量参数方程式在 参数取12时的特殊形式.
解析： (2)
选项 正误
原因
A√
由平面向量基本定理可得
B × 不能是空间内任一向量 a，而应是平面 α 内任一向量
C× D×
λ1e1＋λ2e2 一定在平面 α 内 这样的 λ1，λ2 是唯一的
类型二 用基底表示向量 【例 2】 已知△ABC 中，D 为 BC 的 中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a， A→C＝b，用 a，b 表示A→D，A→E，A→F.
解析：由题意，得A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C＝A→B＋ 12(A→C－A→B)＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝a＋13(b－a)＝23a＋13b； A→F＝A→B＋B→F＝a＋23(b－a)＝13a＋23b.
点评： 用基底表示向量主要有以下两种类型： (1)直接利用基底，结合向量的线性运算，灵活应用三角形 法则与平行四边形法则求解； (2)若直接利用基底表示比较困难，则依据“正难则反”的 原则，采用方程思想求解.
《向量基本定理》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】
巩固练习
练习2
若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下面对a，b的判断正确的是（ B ）
A．a与b一定共线
B．a与b一定不共线
C．a与b一定垂直
D．a与b中至少有一个为0
解析：由平面向量基本定理，可知当a，b不共线时，k1＝k2＝0，故选B．
归纳小结
问题5 （1）共线向量基本定理的内容是什么？ （2）共面向量基本定理的内容是什么？
B M
P
O
NA
所以
3 4 s
(1 s) 2 t，
3
t， 3
解得
t
9， 10
s
3， 5
所以OP ＝ 3 a 10
3 b． 5
敬请各位老师提出宝贵意见！
D b
A
a
给定了向量 a，b 向量 AC 可以表示成 a b ，
C
DB可以表示成a b，但它们都不能单独用a ，b 表示出来，
B
也就是说，要表示平面内任意一个向量，只选定一个向量是不能实现的．
新知探究
问题5 已知a，b，c，d，e，f 的始点相同，你能分别将 c，d，e，f 写成向量a，b 的
新知探究
例3 已知a 与b 不共线，而且a xb与 3a 2b 共线，求x的值．
解：因为a 与b 不共线，所以3a 2b≠0，
因此由已知可得存在实数t，
使得a xb t(3a 2b) ，即a xb 3ta 2tb ，
从而
1 x
3t， 2t，
解得 x 2． 3
新知探究
例4 如图所示，已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线上给定的两点， l A
表示方法唯一； （3）定理的本质：构建了向量 b 与实数λ之间的一一对应关系．
平面向量基本定理(优秀经典公开课课件)
所以34s＝1－23t，s＝3t ，
解得ts＝＝13590，，
所以O→P＝130a＋35b.
[母题变式] 若本例中“点 M 是 AB 上靠近 B 的一个三等分点”改为“点 M 是 AB 上靠近 A 的一个三等分点”，“点 N 是 OA 上靠近 A 的一个四分点”改为“N 为 OA 的 中点”，求 BP∶PN 的值．
[答案] AC
[规律方法] 对基底的理解
(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则 不能作基底，反之，则可作基底．
(2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一 线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b， 则xy11＝ ＝xy22， .
答案 ACD
题型二 用基底表示向量 [例 2] 如图所示，已知在▱ABCD 中，E，F 分别是 BC，DC 边的中点．若A→B ＝a，A→D＝b，试用{a，b}为基底表示向量D→E，B→F.
[解析] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C ＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－21b. B→F＝B→A＋A→D＋D→F ＝－A→B＋A→D＋12A→B＝b－21a.
解析 易得A→N＝31A→C＝13b，A→M＝12A→B＝12a， 由 N，E，B 三点共线可知，存在实数 m 使A→E＝mA→N＋(1－m)A→B＝31mb＋(1 －m)a. 由 C，E，M 三点共线可知，存在实数 n 使A→E＝nA→M＋(1－n)A→C＝12na＋(1－ n)b.
所以13mb＋(1－m)a＝21na＋(1－n)b， 由于{a，b}为基底，
结论
λ1＝λ2， μ1＝μ2
2．任意一向量基底表示的唯一性的应用 平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不 共线向量 e1，e2 的线性组合 λ1e1＋λ2e2.在具体求 λ1，λ2 时有两种方法： (1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理． (2)利用待定系数法，即利用定理中 λ1，λ2 的唯一性列方程组求解．
平面向量基本定理公开课省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件
1不e2 ,共线，
11
a b
221Biblioteka 2则a且 =b
1
2
e （3） 设 1e2,
是平面内一组基底，当 1e1 2e2 0
恒有1 2 0,
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2024年8月20日星期二
思考1 平面内用来表示一个向量的基底有
多少组? （有没有数组）
B
a
e1 O e2
M A
B
a x
Oy
M A
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思考2、若基底选取不同, 则表示同一向量 2024年8月20日星期二
的实数1, 2是否相同?
MB B
a
x
e1
O e2
A
mO
a
yn
M A
a 3e1 2e2
a 3 x4y 2
a 3m 2n
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知识小结:
(1).基底选择是不唯一；
(2).同一向量在选定基底后,
,
1
2
是唯一存在
(3).同一向量在选择不一样基底时,1, 2 可能相同也可能不一
样
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例1.如图梯形ABCD中，AB / /CD，AB 2CD， E、F是DC，BA中点，AD a，AB b, 试以a , b为基底表示DC, BC, EF
DEC
a
A
Fb B
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知识点二、向量夹角与垂直:
两个非零向量 a 和 b ,作OA a ，
B
b
OB b ,则AOB
O
a
A
叫做向量 a 和 b 夹角．
注意:两向量必须 是同起点
尤其：
a
a
B
ObB
0
平面向量基本定理及坐标运算(优质课)教案
1.7平面向量基本定理与坐标运算（优质课）教案教学目标：1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.3.会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题.4.了解平面向量的基本定理及其意义.教学过程：一、平面向量基本定理：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个_____不共线_____不共线向量，那么对于这一平面内的__任一__向量a ，有且只有_一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e特别提醒：(1)我们把不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量二、平面向量的坐标表示：如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个__单位向量_ i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj =+…………○1， 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示 与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x特别地，(1,0)i =，(0,1)j =，0(0,0)=特别提醒：设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示三、平面向量的坐标运算：（1） 若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b +=1212(,)x x y y ++，a b -= 1212(,)x x y y --两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB =()2121,x x y y --一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标（3）若(,)a x y =和实数λ，则a λ=(,)x y λλ实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标（4）向量平行的充要条件的坐标表示：设a=(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) 其中b ≠aa ∥b (b≠0)的充要条件是12210x y x y -=类型一 平面向量基本定理的应用【例1】►(2012·南京质检)如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM→＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.[审题视点] 由B ，H ，C 三点共线可用向量AB→，AC →来表示AH →.解析 由B ，H ，C 三点共线，可令AH→＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC→，又AM →＝λAB →＋μAC →.所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12. 答案 12应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．【训练1】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.BCAOM D解析以AB 所在直线为x 轴，以A 为原点建立平面直角坐标系如图，令AB ＝2，则AB→＝(2,0)，AC →＝(0,2)，过D 作DF ⊥AB 交AB 的延长线于F ，由已知得DF ＝BF ＝3，则AD→＝(2＋3， 3)．∵AD→＝xAB →＋yAC →，∴(2＋3，3)＝(2x,2y )． 即有⎩⎨⎧2＋3＝2x ，3＝2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32，y ＝32.另解：AD →＝AF →＋FD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32AB →＋32AC →， 所以x ＝1＋32，y ＝32. 答案 1＋32 32[例1] 在△OAB 中，OB OD OA OC21,41==，AD 与BC 交于点M ，设OA =a ，OB =b ，用a ,b 表示OM .[解题思路]：若21,e e是一个平面内的两个不共线向量，则根据平面向量的基本定理，平面内的任何向量都可用21,e e线性表示.本例中向量a ,b 可作基底,故可设=m a +n b ,为求实数m ,n ,需利用向量AM 与AD 共线,向量与CB 共线,建立关于m ,n 的两个方程.解析：设OM =m a +n b ，则(1)AM m a nb =-+,12AD a b =-+ ∵点A 、M 、D 共线，∴AM 与AD 共线，BACPNM∴5.011nm =--，∴m +2n =1. ① 而CM OM OC =-1()4m a nb =-+，14CB a b =-+∵C 、M 、B 共线，∴CM 与CB 共线，∴14141n m =--，∴4m +n =1. ② 联立①②解得:m =71，n =73，∴1377OM a b =+练习：1．若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )A ．1e 与—2eB ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e 答案：D2．在△ABC 中,已知 AM ︰AB =1︰3, AN ︰AC =1︰4，BN 与CM 交于点P ,且, AC AB a b ==,试 用, a b 表示AP .解：∵ AM ︰AB =1︰3, AN ︰AC =1︰4,，∴ 1133AM AB a ==，1144AN AC b ==， ∵ M 、P 、C 三点共线，故可设 MP t MC =，t ∈R , 于是，1111()()33333tAP AM MP a tMC a t b a a tb =+=+=+-=-+…… ①同理可设设NP sNB =，s ∈R , 1()44sAP AN NP b sa =+=-+．…②由①②得 11()()b 03344t ss a t --+-+=，由此解得 112,113==t s ，∴ 321111AP a b =+．类型二 平面向量的坐标运算【例2】►(2011·合肥模拟)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB→.求M ，N 的坐标和MN →. [审题视点] 求CA→，CB →的坐标，根据已知条件列方程组求M ，N .解 ∵A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， ∴CA→＝(1,8)，CB →＝(6,3)． ∴CM→＝3CA →＝3(1,8)＝(3,24)，CN →＝2CB →＝2(6,3)＝(12,6)．设M (x ，y )，则CM→＝(x ＋3，y ＋4)．∴⎩⎨⎧ x ＋3＝3，y ＋4＝24，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝20.∴M (0,20)． 同理可得N (9,2)，∴MN→＝(9－0,2－20)＝(9，－18)． 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．【训练2】 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )． A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)解析 由题意得BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)． 答案 B3． 若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则AB -2BC = 答案：(-3,-3) 解：-2BC =（1，1）-2（2，2）=(-3,-3)4．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 21=MN , 求P 点的坐标； 解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)=21(-8, 1)=(-4, 21)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-21243y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=231y x ∴P 点坐标为(-1, -23)类型三 平面向量共线的坐标运算【例3】►已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，是否存在实数k ，使得k a ＋b 与a －3b 共线，且方向相反？[审题视点] 根据共线条件求k ，然后判断方向．解 若存在实数k ，则k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．若这两个向量共线，则必有 (k －3)×(－4)－(2k ＋2)×10＝0.解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，43，所以k a ＋b ＝－13(a －3b )． 即两个向量恰好方向相反， 故题设的实数k 存在．向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值．【训练3】 (2011·西安质检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73 解析 设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)．∵(c ＋a )∥b ，∴－3×(1＋m )＝2×(2＋n )，又c ⊥(a ＋b )， ∴3m －n ＝0，解得m ＝－79，n ＝－73. 答案 D9．已知)2,3(),2,1(-==b a ,当实数k 取何值时,k a ＋2b 与2a —4b 平行？【解析】方法一: ∵ 2a —4b 0≠,∴ 存在唯一实数λ使k a ＋2b =λ(2a —4b ） 将a 、b 的坐标代入上式得（k —6，2k ＋4）=λ(14，—4） 得k —6=14λ且2k ＋4= —4λ，解得k = —1方法二：同法一有k a ＋2b =λ（2a —4b ）,即（k —2λ)a ＋（2＋4λ)b =0∵a 与b 不共线，∴ ⎩⎨⎧=+=-04202λλk ∴k = —1一、选择题1．设e 1、e 2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1D ．e 2和e 1＋e 2[答案] B[解析] ∵4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，∴3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线，不能作为基底． 2．下面给出了三个命题：①非零向量a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行；②向量a 与b 共线的条件是当且仅当存在实数λ1、λ2，使得λ1a ＝λ2b ； ③平面内的任一向量都可用其它两个向量的线性组合表示． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] B[解析] 命题①两共线向量a 与b 所在的直线有可能重合；命题③平面内的任一向量都可用其它两个不共线向量的线性组合表示．故①③都不正确．3．给出下列结论：①若a ≠b ，则|a ＋b |<|a |＋|b |；②非零向量a 、b 共线，则|a ＋b |>0；③对任意向量a 、b ，|a －b |≥0；④若非零向量a 、b 共线且反向，则|a －b |>|a |.其中正确的有( )个．( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] ①中有一个为零向量时不成立；②中a ，b 若是相反向量则不成立；③、④正确，故选B.4．已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(x －y )e 1＋(2x ＋y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 的值等于( ) A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－6[答案] C[解析] ∵e 1、e 2不共线，∴由平面向量基本定理可得⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝62x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－3. 5．设一直线上三点A ，B ，P 满足AP →＝λPB →(λ≠±1)，O 为平面内任意一点，则OP →用OA →、OB →表示为( )A ．OP →＝OA →＋λOB → B ．OP →＝λOA →＋(1＋λ)OB →C ．OP →＝OA →＋λOB →1＋λD ．OP →＝1λOA →＋11－λOB →[答案] C[解析] ∵OP →＝OA →＋λPB →＝OA →＋λ(OB →－OP →)＝OA →＋λOB →－λOP →，∴(1＋λ)OP →＝OA →＋λOB →，∴OP →＝OA →＋λOB→1＋λ.6．(2014·广东文，3)已知向量a ＝(1,2)、b ＝(3,1)，则b －a ＝( ) A ．(－2,1) B ．(2，－1) C ．(2,0) D ．(4,3)[答案] B[解析] ∵a ＝(1,2)、b ＝(3,1)，∴b －a ＝(3－1,1－2)＝(2，－1)． 7．若向量BA →＝(2,3)、CA →＝(4,7)，则BC →＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10) D ．(－6，－10)[答案] A[解析] BC →＝BA →＋AC →＝BA →－CA →＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．8．(2014·北京文，3)已知向量a ＝(2,4)、b ＝(－1,1)，则2a －b ＝( ) A ．(5,7) B ．(5,9) C ．(3,7) D ．(3,9)[答案] A[解析] 2a －b ＝(4,8)－(－1,1)＝(5,7)9．已知AB →＝(5，－3)、C (－1,3)、CD →＝2AB →，则点D 的坐标是( ) A ．(11,9) B ．(4,0) C ．(9,3) D ．(9，－3)[答案] D[解析] ∵AB →＝(5，－3)，∴CD →＝2AB →＝(10，－6)， 设D (x ，y )，又C (－1,3)， ∴CD →＝(x ＋1，y －3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝10y －3＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9y ＝－3. 10．已知△ABC 中，点A (－2,3)、点B (－3，－5)，重心M (1，－2)，则点C 的坐标为( ) A ．(－4,8) B ．⎝⎛⎭⎫43，－43 C ．(8，－4) D ．(7，－2)[答案] C[解析] 设点C 的坐标为(x ，y )，由重心坐标公式，得⎩⎨⎧1＝－2＋(－3)＋x3－2＝3＋(－5)＋y3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝－4.11．已知i 、j 分别是方向与x 轴正方向、y 轴正方向相同的单位向量，O 为原点，设OA →＝(x 2＋x ＋1)i －(x 2－x ＋1)j (其中x ∈R )，则点A 位于( )A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] D[解析] ∵x 2＋x ＋1>0，－(x 2－x ＋1)<0， ∴点A 位于第四象限． 二、填空题12．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a 、b 表示)．[答案] －14a ＋14b[解析] ∵AN →＝3NC →，∴4AN →＝3AC →＝3(a ＋b )，AM →＝a ＋12b ，∴MN →＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 13．已知向量a 与b 不共线，实数x 、y 满足等式3x a ＋(10－y )b ＝(4y ＋7)a ＋2x b ，则x ＝________，y ＝________.[答案]4711 1611[解析] ∵a 、b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝4y ＋710－y ＝2x，解得⎩⎨⎧x ＝4711y ＝1611.14．若点O (0,0)、A (1,2)、B (－1,3)，且OA ′→＝2OA →，OB ′→＝3OB →，则点A ′的坐标为________．点B ′的坐标为________，向量A ′B ′→的坐标为________．[答案] (2,4) (－3,9) (－5,5) [解析] ∵O (0,0)，A (1,2)，B (－1,3)， ∴OA →＝(1,2)，OB →＝(－1,3)，OA ′→＝2×(1,2)＝(2,4)，OB ′→＝3×(－1,3)＝(－3,9)．∴A ′(2,4)，B ′(－3,9)，A ′B ′→＝(－3－2,9－4)＝(－5,5)．15．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝________. [答案] (－3，－5)[解析] AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)．∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)． 三、解答题16．如图，已知△ABC 中，M 、N 、P 顺次是AB 的四等分点，CB →＝e 1，CA →＝e 2，试用e 1、e 2表示CM →、CN →、CP →.[解析] 利用中点的向量表达式得： CN →＝12e 1＋12e 2；CM →＝14e 1＋34e 2；CP →＝34e 1＋14e 2.17．(1)设向量a 、b 的坐标分别是(－1,2)、(3，－5)，求a ＋b ，a －b,2a ＋3b 的坐标； (2)设向量a 、b 、c 的坐标分别为(1，－3)、(－2,4)、(0,5)，求3a －b ＋c 的坐标． [解析] (1)a ＋b ＝(－1,2)＋(3，－5)＝(－1＋3，2－5)＝(2，－3)；a －b ＝(－1,2)－(3，－5)＝(－1－3,2＋5)＝(－4,7)；2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(－2＋9,4－15)＝(7，－11)．(2)3a －b ＋c ＝3(1，－3)－(－2,4)＋(0,5) ＝(3，－9)－(－2,4)＋(0,5) ＝(3＋2＋0，－9－4＋5) ＝(5，－8)．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．已知a ＝(－1,3)、b ＝(x ，－1)，且a ∥b ，则x 等于( ) A ．－3B ．－13C ．13D ．3[答案] C [解析] 由a ∥b ，得(－1)×(－1)－3x ＝0，解得x ＝13. 2．(2014·安徽宿州市朱仙庄煤矿中学高一月考)若A (3，－6)、B (－5,2)、C (6，y )三点共线，则y ＝( )A ．13B ．－13C ．9D ．－9 [答案] D[解析] ∵A 、B 、C 共线，∴AB →与AC →共线，∵AB →＝(－8,8)，AC →＝(3，y ＋6)，∴－8(y ＋6)＝24，∴y ＝－9.3．向量a ＝(3,1)、b ＝(1,3)、c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k 等于( )A ．3B ．－3C ．5D ．－5 [答案] C[解析] a －c ＝(3－k ，－6)，b ＝(1,3)，由题意得，9－3k ＝－6，∴k ＝5.4．设e 1、e 2是两个不共线的向量，向量a ＝e 1＋λe 2(λ∈R )与向量b ＝－(e 2－2e 1)共线，则( )A ．λ＝0B ．λ＝－1C ．λ＝－2D ．λ＝－12 [答案] D[解析] 由共线向量定理，存在t ∈R ，使a ＝t b ，即e 1＋λe 2＝t (－e 2＋2e 1)，∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝1λ＝－t ，解得λ＝－12. 5．已知向量a ＝(3,4)、b ＝(cos α，sin α)，且a ∥b ，则tan α＝( )A ．34B ．43C ．－43D ．－34[答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴3sin α－4cos α＝0，∴tan α＝43. 6．(2014·山东济南商河弘德中学高一月考)若向量b 与向量a ＝(2,1)平行，且|b |＝25，则b ＝( )A ．(4,2)B ．(－4,2)C ．(6，－3)D ．(4,2)或(－4，－2)[答案] D [解析] 设b ＝(x ，y )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝20x ＝2y ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－2. 二、填空题7．设i 、j 分别为x 、y 轴方向的单位向量，已知OA →＝2i ，OB →＝4i ＋2j ，AB →＝－2AC →，则点C 的坐标为________．[答案] (1，－1)[解析] 由已知OA →＝(2,0)，OB →＝(4,2)，∴AB →＝(2,2)，设C 点坐标为(x ，y )，则AC →＝(x －2，y )，∵AB →＝－2AC →，∴(2,2)＝－2(x －2，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2(x －2)＝2－2y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1. ∴点C 的坐标为(1，－1)．8．设向量a ＝(4sin α，3)、b ＝(2,3sin α)，且a ∥b ，则锐角α＝________.[答案] π4[解析] 由已知，得12sin 2α＝6，∴sin α＝±22，∴α为锐角，∴α＝π4. 三、解答题9．设向量OA →＝(k,12)、OB →＝(4,5)、OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线．[解析] ∵OA →＝(k,12)、OB →＝(4,5)、OC →＝(10，k )，∴AB →＝OB →－OA →＝(4,5)－(k,12)＝(4－k ，－7)，BC →＝OC →－OB →＝(10，k )－(4,5)＝(6，k －5)．∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与BC →共线，∴(4－k )(k －5)－6×(－7)＝0，解得k ＝11或k ＝－2.能力提升一、选择题1．已知向量e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，若向量a 与b 共线，则( )A ．λ＝0B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝0[答案] D[解析] ∵a 、b 共线，∴存在t ∈R ，使a ＝t b ，∴e 1＋λe 2＝2t e 1，∴(1－2t )e 1＋λe 2＝0 ①若e 1、e 2共线，则一定存在t 、λ.使①式成立；若e 1、e 2不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2t ＝0λ＝0. 2．已知平面向量a ＝(1,2)、b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10) [答案] C[解析] ∵a ∥b ，∴1×m －2×(－2)＝0，∴m ＝－4.∴2a ＋3b ＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．3．已知平面向量a ＝(x,1)、b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线 [答案] C[解析] ∵a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，∴a ＋b ＝(0，x 2＋1)，∵1＋x 2≠0，∴向量a ＋b 平行于y 轴．4．已知向量a ＝(1,0)、b ＝(0,1)、c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向 [答案] D[解析] ∵c ∥d ，∴c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )，又a 、b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝λ1＝－λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1k ＝－1. ∴c ＝－d ，∴c 与d 反向．二、填空题5．已知a ＝(－2,3)，b ∥a ，b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则B 点坐标为________．[答案] ⎝⎛⎭⎫0，72或⎝⎛⎭⎫73，0 [解析] 由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )，则AB →＝(x －1，y －2)＝b .由⎩⎪⎨⎪⎧ －2λ＝x －13λ＝y －2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λy ＝3λ＋2. 又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B ⎝⎛⎭⎫0，72或⎝⎛⎭⎫73，0. 6．已知点A (3，1)、B (0,0)、C (3，0)．设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC →＝λCE →，其中λ等于________．[答案] －3[解析] ∵AE 为∠BAC 的平分线，∴|BE →||CE →|＝|AB →||AC →|＝21＝2. ∴BE →＝－2CE →.∴BC →＝BE →－CE →＝－2CE →－CE →＝－3CE →.三、解答题7．平面内给定三个向量a ＝(3,2)、b ＝(－1,2)、c ＝(4,1)，(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ；(2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[解析] (1)∵a ＝m b ＋n c ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＋4n ＝32m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧ m ＝59n ＝89.(2)∵(a ＋k c )∥(2b －a )，又a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0.∴k ＝－1613. 8．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →， 求证：EF →∥AB →.[解析] 设E (x 1，y 1)、F (x 2，y 2)，依题意有：AC →＝(2,2)、BC →＝(－2,3)、AB →＝(4，－1)．因为AE →＝13AC →，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫23，23. 因为BF →＝13BC →，所以BF →＝⎝⎛⎭⎫－23，1.因为(x 1＋1，y 1)＝⎝⎛⎭⎫23，23，所以E ⎝⎛⎭⎫－13，23. 因为(x 2－3，y 2＋1)＝⎝⎛⎭⎫－23，1，所以F ⎝⎛⎭⎫73，0. ∴EF →＝⎝⎛⎭⎫83，－23. 又因为4×⎝⎛⎭⎫－23－83×(－1)＝0，所以EF →∥AB →. 9．已知直角坐标平面上四点A (1,0)、B (4,3)、C (2,4)、D (0，2)，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．[解析] 由已知，AB →＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，CD →＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴AB →与CD →共线．又AD →＝(0,2)－(1,0)＝(－1,2)，∴3×(－1)－3×2≠0，∴AB →与AD →不共线．∴AB ∥CD ，AB 与AD 不平行．又|AB →|＝32，|CD →|＝22，∴|AB →|≠|CD →|，即AB ≠CD .∴BC →＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，AD →＝(－1,2)，∴|BC →|＝5＝|AD →|.故四边形ABCD 是等腰梯形．。
人教版高中数学必修四《平面向量基本定理》课件
B M A O
观察：上述三个向量等式中的 向量的系数，你能得出什么结 论？这个结论对于直线AB上的 任意一点P都适用吗？
T
例 2已知A、B是直线l上确定两点，O为直线外一点,
求证：对于直线l上任意一点P，存在实数t，使 OP 关于基底 ｛OA, OB｝的分解式为 OP (1 t )OA tOB ① 并且，满足①式的点P一定在l上
B
M O B H M O A
OM =
OA, OB}的分解式 2.如右图，点H为线段MB的中点，求 OH 关于基底｛
1 1 OA + OB 2 2
A
OH =
1 3 OA + OB 4 4
ห้องสมุดไป่ตู้
3.如右图，点T在直线l上且MA=AT,求 OT 关于基底｛ OA, OB }的分解式
3 1 OT = OA - OB 2 2
平面向量基本定理
（1）向量的线性运算有哪些？向量的加法法
复习:
则有哪些？
（2）平行向量基本定理 向量 a 与非零向量 b 共线
存在唯一一个实数 λ ， 使得 a =λ b.
引入:
探究一：任意给定一个向量 a ,是否可以用 “一个”已知的非零向量 来表示呢？ b 探究二：平面内任意给定一个向量 a ，是否 能够用“两个”平行向量 e1 , e2 来表示？
② a1e1 +a2 e2 叫做向量
a
关于基底
{ e } 的分解式。 1 , e2
定理深化
判断正误： （1）平面内任意两个向量都可以作为基底（ × ） （2）平面内的一组基底可以表示出这个平面内的所有向 量， 包括零向量（√ ） （3）一个平面内只有一对不共线的向量可以作为基底（ ×） （4）零向量不可以作为基底中的向量（ √ ）
平面向量基本定理课件
已知非零向量a ，那么
在同一平面内的任意向 量 b 是否可以由向量a 的 线性来表示呢？
[我思考☆我收获]
a
b
a b
[疑难解答,你准备好了吗?]
⊙
a 方 a λ>0时,λ 与 向相同； a 方a λ<0时,λ 与 向相反； a .0 λ=0时,λ =
[我掌握☆我运用]
e
⊙
解：由题设可知；
(3 2)e1 (4 5)e2 5e1 e2
a 1 e1 2 e2 a b (3e1 4e2 ) (2e1 5e2 )
⊙
0 180
0
0
由平面向量基本定理知：
1, 1
[我探究☆我学习]
a OB OC 3e1 2e2
B
A
e2
O
a
e1
C
[疑难解答,你准备好了吗?]
a 方 a ⊙ λ>0时,λ 与 e , e 设 1 2 是同一平面内的 向相同； λ<0时,λ 与 a 方a 两个不共线的向量，你 向相反； λ=0时,λ a = .0 能否作出该平面内的任
⊙ B A
[我理解☆我掌握]
规定，已知两个非零向
a
C
a OB OC 3e1 2e2
量 a 和b ，作 OA a, OB b 0 0 AOB (0 180 ) 叫做向量a 和 b 的夹角
[疑难解答,你准备好了吗?]
a 方 a ⊙ λ>0时,λ 与 向相同； λ<0时,λ 与 a 方a 向相反； λ=0时,λ a = .0
2.3.1平面向量基本定理(必修四 数学 优秀课件)
即（2 - ）a +(k - 4 )b = 0
k – 4 = 0 8.
2 - = 0
k =
e2是同一平面内的两个不 如果 e1 、 共线向量，那么对于这一平面内的任 一向量 a 有且只有一对实数1、 2 使 a = 1 e1 + 2e2 e2叫做表 我们把不共线的向量e1 、 示这一平面内所有向量的一组基底。
思考 （1）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对） C F M M C A O a N B O a N E
AB与BD共线，则存在实数
λ使得AB = λBD.
由于BD = CD – CB
k =
=(2a – b) –(a +3b) = a – 4b 则需 2a + kb = (a – 4b ) 2 = 由向量相等的条件得 k = 4
8.
此处可另解：
则需 2a + kb = (a – 4b )
e2
B
A
e1 2.5e
1
3e2
· O
向量的夹角
思考1：不共线的向量有不同的方向，对 于两个非零向量a和b，作 OA a，OB b， 如图.为了反映这两个向量的位置关系， 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜？
B a b b
[0°，180°]
1 a 2
总结： 1、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解 （1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性 （２）基底的不唯一性 （３）定理的拓展性 ３、平面向量基本定理的应用 求作向量、解（证）向量问题、解（证） 平面几何问题
思考
设 a、b是两个不共线的向量， 已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共线， 求k的值。 解： A、B、D三点共线
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M
B
M
a
e1
a
A
x
O
O
e2
y
A
思考2、若基底, 2是否相同? 可以相同,也可以不同
B M B M
a
e1
x
A
a
O e2
m O
y n
A
a 3e1 2e2
3 a x 4y 2
a 3m 2n
知识小结：
(1).基底的选择是不唯一的；
D
a
E
C
A
F b
B
知识点二、向量的夹角与垂直: 两个非零向量 a 和 b ,作 OA a ，
OB b ,则AOB
叫做向量
特别的： O
B
b
a和 b
A
O A a 注意:两向量必须 的夹角． 是同起点的
a
B A
b
a
0
b B
B b
180
O
O
a
a 与 b 同向
夹角的范围：00 ,1800
学生活动：
OC OM ON 1OA 2 OB
即
a 1 e1 2 e2
M
e1
A
e1
a
C
e2
向 量 的 分 解
O
N
e2
B
2014年6月5日星期四
知识点一
平面向量基本定理
1. 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于这一平面的任意向量 a,
有且只有 一对实数 1 , 2 ,使 存 唯 在 性
平面向量基本定理
2014年6月5日星期四
一、课前准备： 复习1: 共线向量定理: （思考：为什么限定 a 0 向量a (a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个
实数 , 使b a.
？）
(若a 0,当b 0时，不唯一；当b 0时，不存在） 复习2 : 给定平面内任意两个向量e1 , e2 , 我们能
1, 2 (2).同一向量在选定基底后，
是唯一存在的 可能相同也可能
1, 2 (3).同一向量在选择不同基底时， 不同
例1.如图梯形ABCD中，AB / /CD，AB 2CD， E、F是DC，BA中点， AD a， AB b , 试以a , b 为基底表示 DC , BC , EF
否作出向量2e1 3e2 ?
向 量 的 合 成
d 2e1 3e 2
e2 e1
d
2014年6月5日星期四
如：已知 e1 , e2 , 是同一平面内的两个
不共线向量，a 是这一平面内的任一向量． ♦ 探究： a 与 e1 , e2 , 的关系
e1
想 一 想 ？
a
e2
2014年6月5日星期四
(2)定理的代数表达形式：若 则
1
a且
e e ,不共线， 1e1 2e 2 ae1 be 2
1 2
2
=b
1e1 2 e2 0
（3）
设
ee,
1 2
是平面内的一组基底，当
恒有1 2 0,
2014年6月5日星期四
思考1 平面内用来表示一个向量的基底有 多少组? （有无数组）
a 与 b 反向
90
A
记作 a b a 与 b 垂直，
例2.在等边三角形中，求 (1)AB与AC的夹角； (2)AB与BC的夹角。 C
C
'
120
A
0
60
B
本节小结
再
见
把不共线的向量 基底
a 1 e1 2 e2
一
叫做表示这一平面内所有向量的一组
ee
1
性
2
２.平面向量基本定理的几点说明 ⑴ 若 a 0, 则有且只有 1 2 0,
若
使a 1e1 2 e2
使a 1e1 2 e2
a
与 e1 (e2 ) 共线，则 2 0(1 0),