空间图形中的轨迹问题

10
点的轨迹是四个点.
β O
二、轨迹是线段 例2 若三棱锥A—BCD侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离 相等，则动点P的轨迹与ΔABC组成的图形可能是（ D ）
A A A A
A
Q
P
B C B
P P
C B C B
P (D)
C
M
(A)
(C)
D
N c
P
E
F
解：如右图，在三棱锥A—BCD中作AO⊥底面BCD于O， 连结OC 在AC棱上找一点Q，使Q到底面BCD的距离等于到棱AB的距离.
略解： 连接PB
3 它的长度是___________. 6
D1 C1 B1 P D C
在Rt⊿PAB中 |PB|2 =|PA|2 -|AB|2 且｜PB｜〈1 A1
3 PB 3
∴点P的集合形成的曲线是：
请问:若到点A的距离为 2 3 易得：PB 1 ∴点P的集合形成的曲线是： 3 2 3
教学目的：揭示题型规律，探索解题方法 重点﹑难点：空间图形中的轨迹问题
一．轨迹是点
例1 已知两平面α∥β，直线ι α，点P∈ι，平面α、β间的距离为8，则在β内 C 到点P的距离为10且到直线ι的距离为9的点的轨迹是（ ） A．一个圆 B．两条直线 C．四个点 D．两个点
解：如图，设点P在平面β上的射影是O，则OP是平面α、β公垂线段OP = 8. 在β内到点P的距离等于10的点, 此点到点O的距离等于6， 故点的集合是以O为圆心，以6为半径的圆. 在β内到直线ι的距离等于9的点的集合是两条平行直 线m、n， 它们到点O的距离都等于 9 2 8 2 17 ＜6 所以直线m、n与这个圆均相交，共有四个交点，因此所求 8 α P ι
C1 B1
1 PE 2
由圆锥曲线的定义知轨迹为椭圆
PC1
A1 D
P
C E B
请问：若P到平面ABCD的距离与到直线C1D1的 A
距离相等，轨迹又是什么曲线？
课堂练习
3.已知直平行六面体ABCD—A1B1C1D1的各条棱长均为3，∠BAD＝60０，长为2的 线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一端点N在底面ABCD上运动，则MN的中 点P的轨迹（曲面）与同一顶点D的三个面所围成的几何体的体积为___________. 解析： 连接DP﹑DN, 则△MDN为直角三角形，
即：以B为圆心， 它的长度是:
21 , 则点P的集合又怎样? A 3
A1
B D1 B1 D C P C1
3
为半径，圆心角为
6
的圆弧
3 9
A
B
例4 已知正方体ABCD—A1B1C1D1 的棱长为1，在正方体的表面上与点A 距离为 3 的集合形成一条曲线，则该曲线的长度为 （ B ） A． 2
2 3
O
G
C
在ΔAOC中作QE⊥OC于E
连接BQ
在ΔABC中作QM⊥AB于M
所以QE=QM.
B
在线段BQ上任取一点P，
作PF⊥底面BCD于F，PN⊥棱AB于N
∴PN∥QM，PF∥QE.
PF BP PN QE BQ QM
∴PF= PN
即线段BQ上任一点到底面的距离等于到棱AB的距离， 于是可排除A、B选项.
2
2 3
1 9
略解： 过点P作A1D1的垂线PE，垂足为E 在面AD1内过E作EF垂直AD，垂足为F， 则|PE|2－|PF|2 ＝1 ∴|PF| 2 = |PM|2 设P(x,y) 连PF A1
D1
C1 B1 y
E
又∵|PE|2 —|PM|2 =1 ∴|PF| = |PM|
D F A M P B
C
C
D
C
D (D)
(C)
源自文库
P
解析：如图所示，分别取CD﹑SC的中点F﹑G，
连接EF﹑EG﹑FG﹑BD。 设AC 与BD的交点为O， 由正四棱锥可得：SB⊥AC ∴GE⊥AC, ∵E∈平面EFG, ∴动点P应是FG 连结SO， 又∵GE∥SB ∴AC⊥平面EFG
F
D A
C
O
E
B
又∵EF⊥AC,
由已知总保持AC⊥PE, ∴动点P的轨迹是△SCD的中位线FG 故应选
3
A1 P
3
为半径一段圆弧P1P2
2
AP AA1
∴P点轨迹是以A为圆心，3 为半径的弧P2 P3 ，
如图，由对称性可知，
3 3
A
P点在正方体表面的轨迹是由6段圆弧组成的封闭曲线P1P2P3P4P5P6. 其中P1P2 和P3P4及P5P6的长度相等且所在圆的半径均为
2 3 3
3 P2P3和P4P5及P1P6的长度相等.且所在圆的半径均为 3 .圆心角为 2 3 3 5 3 ∴曲线的总长度为: L=3× (P P + P P ) 3 1 2 2 3 9 6 6
制作人：扒港中学
杨艳芬
y ax 2 bx c(a 0)
前言：
近几年的高考数学试题设置了一些数学学科内的综合 题，它们的新颖性﹑综合性值得我们重视，在知识网络交 汇点处设计试题是高考考试命题改革的一个方向，空间图 形中的轨迹问题正是在这种背景下“闪亮登场”，由于这类 题目涵盖的知识点多，数学思想和方法考察充分，学生求 解起来颇感困难，考试时经常弃而不答，令人惋惜。
2 9
D1
C1 B1
且
MN DP 1 2
A1
又由已知∠BAD＝600，∠ADC=1200, 所以点P的轨迹为以点D为球心，半径为1的
M D P C N
1 3
半球面， A B
所以其与顶点D及三个面所围成的几何体的体积为：
1 4 V 13 6 3
总结：
求解空间图形中的问题， 要善于把立体几何问题转化到平面上， 再联合运用平面几何﹑立体几何﹑解析几何等知识去求解，
过点Q作QG⊥BC交BC于G
又∵QM=QE＜QG，
于是又可排除C.故应选D.
三、轨迹是圆弧 例3、已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长是1，在正方体的侧面BC C1 B1上到点A距
2 3 离为 3 的点P的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是：
3 为半径，圆心角为 的圆弧 以B为圆心， ____________________________________________. 2 3
的点
3 3
B． 5 3 6
C．
2 3
D．
4 3
C1 B1
解：
2 3 题目即求以A为球心， 3 为半径的球面与正方体 六个面交线的长度。
P
D1 P1 D P2 P C P6 P5
P3 P4 A1 B
当P点在面AD1内时，
∵1＜|PA|＜|AD1|=
2 3
2
2
∴P点轨迹为面AD1上以A为圆心，
当P点在面A1C1内时，
圆心角为 6
四、轨迹是圆锥曲线 例5.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM=
1 3
，点
P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方的差
y x 为1，在xAy直角坐标系中，动点P的轨迹方程是________________________.
故点(x,y) 的轨迹是双曲线 x2－y2=9在第一象限的部分．
课堂练习
1．如图，在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界 上运动，并且总是保持PE⊥AC。则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形 最有可能的是 （ A ）
S S
P
S
S
P
P
S
C G
P
D (A)
C
D (B)
1 2 x (x ) y2 3
x
∴动点P的轨迹是一条抛物线
∴动点P的轨迹方程是： 样？
思考：”点P在平面ABCD上“改为”点P在底面ABCD内“结果怎
动点P的轨迹方程是:
2 1 y2 x 3 9
(0 y
5 ) 3
例6．已知二面角α -l-β 的平面角为θ ，PA⊥α，PB⊥β，A、B为垂足， 且PA=4，PB=5，设A、B到棱l的距离分别为x、y，当θ 变化时，点（x、 D y）的轨迹是下列图形中的 （ ） y
A
课后练习：
2、如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及 其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则该点P的轨迹是
（ ） (A ) 线段B1C (B ) 线段C1B (C ) BB1 CC1中点连成的线段 (D) BC中点与C1B1中点连成的线段 A1 D
D1 B1
C1
课堂练习
2.如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1，P为侧面BB1C1C内一动点，若P 到平面ABCD的距离是它到直线C1D1的距离的两倍，则动点P的轨迹所在 曲线是 （ ） A A. 椭圆 解析： B. 双曲线 C. 抛物线 D. 直线
易知P到平面ABCD的距离等价于P到直线BC的距离PE， D1 P到直线C1D1的距离等价于到点C1的距离PC1，
y y y 3
3 -3
o
x
-3 o 3
x
o
x
o
3
x
(A) 解析：
(B) 设平面PAB与棱L交于O， 连接PO
(C) β
B
(D)
p
α
则在Rt△PAO中， 在Rt△PBO中， 故有:
PO x 2 4 2
PO y 2 52
O
ι
A
x 2 42
y 2 52
整理得∴x2－y2 =9 又∵ x>0,y>0,
P C
A
B
课后练习：
3.正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为4，侧棱长为2， 动点P在AA1上运动，动点Q在底面ABCD内运动，且PQ=2 , 求线段PQ中点M所形成图形的面积
D1
C1
A1
B1
P
D M A Q B
C
实现立体几何到平面几何的过渡。
课后练习：
1、正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是AA1、CC1的中点，P是CC1上的 动点（包括端点），过E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的 轨迹是（ ） (A)线段C1F ( B )线段CF (C )线段CF和一点C1 ( D )线段C1F和一点C D1 B1 A1 E D C B F P C1