多元一次不定方程优秀教学设计

多元一次不定方程

【教学目标】

1．熟练运用多元一次不定方程解决实际问题。

2．亲历多元一次不定方程解法的探索过程，体验分析归纳得出多元一次不定方程有整数解的充要条件，进一步发展学生的探究、交流能力。

【教学重难点】

重点：掌握多元一次不定方程的概念和解法。

难点：推导多元一次不定方程有整数解的充要条件。

【教学过程】

一、直接引入

师：今天这节课我们主要学习多元一次不定方程，这节课的主要内容有多元一次不定方程的概念以及有整数解的充要条件，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。

二、讲授新课

（1）教师引导学生在预习的基础上了解多元一次不定方程内容，形成初步感知。

（2）首先，我们来学习多元一次不定方程的概念，它的具体内容是：

以三元和四元一次不定方程为例说明一元以上多元一次不定方程的解法．三元一次不定方程的一般形式为ax by cz d

a b c为非零整数，d为整数.

++=①，其中,,

它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。

例：判断234

++=是不是三元一次不定方程？

x y z

解析：是

根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。

练习：写出一个三元一次不定方程.

解：12451

+-=

x y z

（3）接着，我们再来看下多元一次不定方程有整数解的充要条件内容，它的具体内容是：不定方程①有整数解的充要条件()

a b c d|.

,,

它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。 例：求不定方程5832x y z -+=的全部整数解.

解析：因为()()()5,81,5,8,31,312-=-==|所以不定方程有整数解.分别解不定方程58x y t -=，32t t ==，得到它们的整数通解.

5835x t k y t k =+⎧⎨=+⎩131t t z l =--⎧⎨=+⎩

其中,k l 为任意整数.联立上面的两个通解表达式，消去t ，便得到原不定方程的全部整数解.

58153591x t k l y k l z l =-+-⎧⎪=-+-⎨⎪=+⎩

其中,k l 为任意整数.

根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。

练习：求不定方程257310x y z w +++=的全部整数解.

解：因为()()()()2,5=1,1,7=12,5,7,3=1,3=1

10|，，，所以不定方程存在整数解.作不定方程25,7,310x y u u z v v w +=+=+=，分别求得上面三个二元一次不定方程的整数通解为

11352x u t y u t =+⎧⎨=--⎩，2267u v t z v t =-+⎧⎨=-⎩，33133v t w t =+⎧⎨=-⎩

其中123,,t t t 为任意整数.联合上述三个通解表达式，消去,u v 得 32132132

3

185421561872133x t t t y t t t z t t w t =--++⎧⎪=+--⎪⎨=+-⎪⎪=-⎩ 其中123,,t t t 为任意整数，这就是不定方程257310x y z w +++=的全部整数解。

三、课堂总结

（1）这节课我们主要讲了多元一次不定方程。

（2）它们在解题中具体怎么应用？

四、习题检测

1．求下列一次不定方程的整数解：513610x y z -+=

2．求下列一次不定方程的整数解：410211

-+=

x y z