2020年重庆市北碚区春招数学试卷
2020届重庆市北碚区高三上学期第一次诊断性考试数学试题(解析版)
2020届重庆市北碚区高三上学期第一次诊断性考试数学试题一、单选题1．要得到函数y x =的图象,只需将函数)4y x π=-的图象上所有的点（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8π个单位长度 B ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4π个单位长度 C ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4π个单位长度 D ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8π个单位长度 【答案】B【解析】))424y x x πππ=-=+-，即)4y x π=+，所以要得到函数y x =的图像，先将横坐标伸长到原来的12，变为)4y x π=+；再向右平移4π个单位即可得到y x =，应选答案B ． 2．已知集合{}{}0,1,|,,A B z z x y x A y A ===+∈∈，则集合B 的子集个数为（ ） A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】分析：先求出集合B 中的元素，从而求出其子集的个数． 详解：由题意可知，集合B={z|z=x+y ，x ∈A ，y ∈A}={0，1，2}， 则B 的子集个数为：23=8个， 故选D ．点睛：本题考察了集合的子集个数问题，若集合有n 个元素，其子集有2n 个，真子集有2n -1个，非空真子集有2n -2个.3．已知角α的终边经过点()5,12P --，则3sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于( ) A ．513-B ．1213-C ．513D ．1213【答案】C【解析】首先求得cos α的值，然后结合诱导公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】由三角函数的定义可得：()()225cos 13512α==--+-，则32sin πα⎛⎫+⎪⎝⎭5cos 13α=-=.本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查终边相同的角的三角函数定义，诱导公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．函数()22xf x log x =+的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】画出2xy =-与2y log x =的图象(如图所示)，它们有2个交点，所以函数()f x 的零点个数为2.故选C ．5．若f (x )=ln (x 2-2ax +1+a )在区间(),1-∞上递减,则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,2) B ．[1,2]C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞【答案】B【解析】由外函数对数函数是增函数，可得要使函数2()ln(21)f x x ax a =-++在(),1-∞上递减，需内函数二次函数的对称轴大于等于1，且内函数在(),1-∞上的最小值大于0，由此联立不等式组求解． 【详解】解：令2()21g x x ax a =-++，其对称轴方程为x a =， 外函数对数函数是增函数，要使函数2()ln(21)f x x ax a =-++在(),1-∞上递减，则1(1)1210a g a a ⎧⎨=-++≥⎩…，即：12a ≤≤．∴实数a 的取值范围是[]1,2．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．6．若4cos 5α=-,α是第三象限的角,则1tan21tan 2αα+=-（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．-2【答案】A【解析】试题分析：∵4cos 5α=-，α为第三象限，∴3sin 5α=-, ∵2sin211tancos cos sin (cossin)2222221tansin cossin(cossin)(cossin)222222221cos2αααααααααααααααα++++===---+-2231()1sin 1sin 154cos 2cos sin 225ααααα+-++====---． 【考点】同角间的三角函数关系，二倍角公式．7．已知函数()xe f x mx x=- (e 为自然对数的底数)，若()0f x >在()0,+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．(,)e -∞C ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】分析：不等式0x e mx x ->在()0,∞+上恒成立等价于2xe m x <在()0,∞+上恒成立，可利用导数求()2xe g x x=在()0,∞+上的函数的最小值.详解：因为0x e mx x ->在()0,∞+上恒成立，故在()0,∞+上不等式2xe m x<总成立，令()2xe g x x =，则()()32'x e x g x x-=. 当()0,2x ∈时，()'0g x <，故()g x 在()0,2上为减函数； 当()2,x ∈+∞时，()'0g x >，故()g x 在()2,+∞上为增函数； 所以()()2min24e g x g ==，故24e m <，故选D.点睛：含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离的方法，注意利用导数来求新函数的最值.8．非零向量a br r ，满足：a b a -=r r r ，()0a a b ⋅-=r r r ，则a b -r r与b r 夹角的大小为 A ．135° B ．120° C ．60° D ．45°【答案】A【解析】先化简()0a a b ⋅-=r r r 得2=a a b ⋅r r r，再化简a b a -=r r r 得b =r ，最后求a b -r r 与b r 的夹角.【详解】因为()0a a b ⋅-=r r r ，所以220=a a b a a b -⋅=∴⋅r r r r r r ，，因为a b a -=r r r ，所以2222a a a b b =-⋅+v v v v v ，整理可得22b a b =⋅vvv ，所以有b =r ，设a b -r r与b r 的夹角为θ，则()2cos a bb a b b a bb a b θ-⋅⋅-===-r r r r r r r rr r r 22222||a =-r r r ，又0180θ︒≤≤︒，所以135θ=︒， 故选A ． 【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段,AC CB ，使得其中较长的一段AC 是全长AB 与另一段的比例中项，即满足510.618AC BC AB AC -==≈．后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点.在ABC ∆中，若点,P Q 为线段BC 的两个黄金分割点，在ABC ∆内任取一点M ，则点M 落在APQ ∆内的概率为（ ）A ．512B 52C ．514D ．522【答案】B【解析】根据几何概型概率求解.测度为面积. 【详解】由题意得所求概率为几何概型概率，测度为面积.即所求概率为5151(12252,APQABCBC BCS PQ BQ BPS BC BCBC∆∆-----==== 选B. 【点睛】本题考查几何概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.10．在ABC ∆中，36AB AC ==，tan A =D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且3DE =，记ADE ∆，四边形BCED 的面积分别为1S ，2S ，则12S S 的最大值为（ ） A ．14B ．38C ．13D ．512【答案】C【解析】分析：设AD x =，(06,02)AE y x y =<≤<≤，又tan A =0120A =，利用余弦定理和基本不等式求得3xy ≤，再利用三角形的面积公式，即可求解结果．详解：设AD x =，(06,02)AE y x y =<≤<≤，因为tan A =0120A =，所以22202cos12023DE x y xy xy xy xy =+-=+=，又3DE =，所以3xy ≤，当且仅当x y ==所以01021sin12011121121212326sin1201123xy S xy S xy xy ===≤=-⨯⨯⨯--，故选C ． 点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．11．设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x '+>，()02018f =，则不等式()2017x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()(),00,-∞⋃+∞B ．()(),0217,-∞+∞UC ．()2017,+∞D ．()0,∞+【答案】D【解析】构造函数()()xxg x e f x e =-，通过求导及已知不等式，可得出()g x 为递增函数，再将原不等式化为()()0g x g >可解得． 【详解】解：令()()xxg x e f x e =-，则()()()()()()1x x x x g x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-，∵()()1f x f x '+>，∴()()10f x f x -'+>， ∴()0g x '>，()g x 在R 上为单调递增函数， ∵()()001201812017g f =-=-= ∴原不等式可化为()()0g x g >， 根据()g x 的单调性得0x > 故选：D ． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数是解题的关键，属中档题．12．已知ABC ∆是边长为2的正三角形，点P 为平面内一点，且3CP =u u u r，则()PC PA PB ⋅+u u u r u u u r u u u r的取值范围是（ ）A ．[]0,12B ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,6D ．[]0,3【答案】A【解析】以点B 为坐标原点， BC 所在直线为x 轴，过点B 与BC 垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()00B ，、(3A ，、()20C ， 设() P x y ，因为3CP =u u u v P 点轨迹为()2223x y -+=令233x cos y sin θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩则()1333PA cos sin θθ=--u uu v ，()2,PB θθ=-u u u v()PC θθ=u u u v则()16666cos 226PC PA PB cos sin πθθθ⎛⎫⎛⎫⋅+=-+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v 由66cos 66πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ 得066cos 126πθ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭ 故选A点睛：本题在求解过程中采用了建立平面直角坐标系的方法，先根据题目条件得出点P 点轨迹，然后利用三角函数换元，求得各向量的表示方法，借助辅助角公式进行化简，本题较为综合，运用了较多知识点。
重庆名校联盟2020届春季联考全科试题及答案--数学试题
高2020级【文科数学试题】·第1页（共2页）1 是=2x y =x +2y x 秘密★启用前重庆市名校联盟2019～2020学年度第二次联合考试文科数学试题（高2020级）【命题：永川中学 赵永正 审题 永川中学 盘如春】（本试卷共2页，总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称。
2．请将准考证条形码粘贴在右侧的[考生条形码粘贴处]的方框内。
3．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整、笔迹清楚。
4．请按题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
5．保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题60分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合},1,0,1,3{},2,1,0,1,2{--=--=B A 则A B =IA.}2,1,0,1,2,3{---B.}1,0,1{-C.}2,1,0,1{-D.}23|{≤≤-x x 2.复数=+ii 1A.i -1B.i +1C.i --1D.i +-1 3.已知132211log 3,,log ,23a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则c b a ,,的大小关系为 A.c b a >> B.c a b >> C.b c a >> D.a c b >> 4.利用系统抽样法从编号分别为1,2,3,..,80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽出的产品的最大编号为 A.73 B.76 C.78 D.77 5. 函数)1()(2-=x x x f 的大致图象为A B C D6. 已知1cos 0,22παα=-<<，则cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是 A.21 B.32 C.21- D.1 7. 若,,2||,1||b a c b a ρρρρρ+===且,a c ρρ⊥则向量a ρ与b ρ的夹角为 A.30o B.60o C.120o D.150o 8. 若执行右侧的程序框图，当输入的x 的值为4时，输出 的y 的值为2，则空白判断框中的条件可能为 A ．3x > B ．4x > C ．4x ≤ D ．5x ≤ 9. 设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴 垂直，l 与C 交于点B A ,两点，||AB 为C 的实轴长的2倍， 则C 的离心率为 A.2 B.3 C.2 D.310. 在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，,21cos =B且,2=+c a 则边长b 的最小值为 A.4 B.3 C.2 D.1 11. 已知函数)(x f 的定义域为.R 当0<x 时，;1)(3-=x x f 当11≤≤-x 时，);()(x f x f -=- 当21>x 时，11.22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则=)6(fA.-2B.2C.0D.-1 12. 过点)0,2(-M 的直线m 与椭圆1222=+y x 交于,,21P P 线段21P P 的中点为,P 设直线m 的斜率为),0(11≠k k 直线OP 的斜率为,2k 则21k k 的值为A.2B.2-C.21D.21-第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题（每小题5分，4个小题共20分）13. 曲线x x y 22+=在点（1,3）处的切线的斜率为____.14. 设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，且,0852=+a a 则.___23=S S15. 若函数,21cos sin sin )(2-+=x x x x f 则)(x f 的最大值为_____.16. 已知三棱锥ABC P -的所有棱长都相等，现沿PC PB PA ,,三条侧棱剪开，将其表面展 成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为,62则三棱锥ABC P -的内切球的表面 积为_____.高2020级【文科数学试题】·第2页（共2页）2 DB 1A 1CBAC 1三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（12分）为了解人们对于国家颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调年龄 [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65） 频数 5 10 15 10 5 5 支持“生二胎” 4 5 12 8 2 1(Ⅰ)由以上统计数据填下面22⨯列联表，并问是否有的把握认为以45岁为分界点对 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 支持 不支持 合计二胎放开”的概率是多少？参考数据及公式:.))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=（其中d c b a n +++=） .001.0)828.10(,010.0)635.6(,050.0)841.3(222=≥=≥=≥K P K P K P18. (12分)已知单调递增数列}{n a 为等差数列，且2a 与4a 是方程045142=+-x x 的两个根.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ)若记,2n n n a b +=求数列}{n b 的前n 项和n S .19. (12分)如图所示几何体，111C B A ABC -为三棱柱，且⊥1AA 平面ABC ,,1AC AA =四边形ABCD 为平行四边形，.60,20=∠=ADC CD AD(Ⅰ)求证：⊥AB 平面;11A ACC(Ⅱ)若,2=CD 求四棱锥CD B A C 111-的体积.20. (12分)已知函数.2ln )(2xx x f -= (Ⅰ)求函数)(x f 的单调区间；(Ⅱ)若mx x f x g 2)()(-=在区间),1(+∞上有零点，求实数m 的取值范围.21.（12分）已知抛物线px y C 2:2=过点).1,1(P 过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点,,N M 过点M 作x 轴的垂线分别与直线ON OP ,交于点,,B A 其中O 为坐标原点. (Ⅰ)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (Ⅱ)求证:A 为线段BM 的中点.选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做则按所做的第题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为t t y t x (sin 2cos 1⎩⎨⎧+=+-=αα为参数），其中).(,2Z k k ∈+≠ππα以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为.04sin 4cos 22=+--θρθρρ （Ⅰ）求曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点)2,1(-P ,曲线1C 与曲线2C 交于B A ,两点，求||||PB PA +的取值范围．23. [选修4-5：不等式选讲]已知函数.||||)(b x a x x f -++=(Ⅰ)当1,1==b a 时，求不等式()4≤x f 的解集；(Ⅱ)若,0,0>>b a )(x f 的最小值为2，求ba 21+的最小值。
2022年重庆市北碚区春招数学试卷及答案解析
2022年重庆市北碚区春招数学试卷一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）﹣3的倒数为（）A．﹣B．C．3D．﹣32．（4分）计算2x5÷x3的结果是（）A．x2B．2x2C．x8D．2x83．（4分）已知x﹣y＝1，则代数式3x﹣3y+1的值是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣44．（4分）如图，已知△ABC和△AED是以点A为位似中心的位似图形，且S△ABC：S△AED ＝1：4，则△ABC与△AED的相似比是（）A．1：4B．4：1C．1：2D．2：15．（4分）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，若⊙O的半径长为1，AB＝，则线段BC的长是（）A．1B．C．2D．6．（4分）估计×﹣1的值应在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间7．（4分）下列命题一定正确的是（）A．一组对边平行的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是平行四边形C．平行四边形的对边平行D．平行四边形的邻角相等8．（4分）小玲从山脚沿某上山步道“踏青”，匀速行走一段时间后到达山腰平台停下来休息一会儿，休息结束后她加快了速度，匀速直至到达山顶．设从她出发开始所经过的时间为t，她行走的路程为s，下面能反映s与t的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．9．（4分）如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC延长线上一点，且BC＝2CE，连接DE交AC于点F．若DF＝2，则EF的长是（）A．2B．C．2D．310．（4分）如图，在正方形ABCD中，P是AC上一点，且CP＝，点E，F分别在AB，BC上，∠EPF＝90°，PE＝3PF，则线段AP的长是（）A．2B．2C．3D．311．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＜a，且关于y的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数a的值之和是（）A．21B．17C．15D．1112．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y 的部分对应值如表：x…﹣1012…y…m﹣2﹣2n…当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，给出下列四个结论：①b＜0；②关于x的方程ax2+bx+c＝n的两个根是﹣1和2；③m+2n＜10；④t（at+b）≥﹣（t为任意实数）．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：（体大题共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.13．（4分）2022年2月4日至2022年2月20日，我国成功举办了第24届冬季奥林匹克运动会，随着冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升．从2015年北京申办冬奥成功到2021年10月间，全国冰雪运动参与人数达到346000000人，将数据346000000用科学记数法表示为．14．（4分）现有3张除数字外完全相同的卡片，卡片上分别标有数字﹣1，2，3，混合后随机抽取一张卡片，将卡片上的数字记为a，不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张，将卡片上的数字记为b，则点（a，b）在平面直角坐标系第四象限内的概率是．15．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，以AC为直径作半圆，交AB边于点D，点O为圆心，连接OD，则图中阴影部分的面积是．16．（4分）某公司用汽车将货物发往甲地，用火车将货物发往乙地．第一次发货时，发往甲、乙两地货物的吨数之比为1：2，且每吨运费之比为4：3，第二次发货时，由于受汽油价格上涨的影响，汽车每吨运费上调了20%（火车每吨运费不变），因此发往甲地货物吨数只有第一次发往甲地货物的，且第二次发货的汽车总运费与第二次发货的火车总运费之比为2：3，则这两次总共发往甲、乙两地的货物吨数之比是．三、解答题（共2小题，满分16分）17．（8分）计算：（1）（a﹣b）2+a（2b﹣a）；（2）．18．（8分）如图，某水库大坝的横断面为梯形ABCD，已知坝顶BC为8米，坝高BE为6米，斜坡AB的坡角∠BAD＝37°，斜坡CD的坡度i＝1：1．（1）求AB的长；（精确到1米）（2）求AD的长．（精确到1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）四、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
重庆市北碚区2020年中考数学春招模拟试卷(含解析)
重庆市北碚区2020年中考数学春招模拟试卷一、选择题（共12小题）.1．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）A．a＞0 B．b＜1 C．a＜b D．a＞﹣22．如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（）A．B．C．D．3．下列计算正确的是（）A．（x3）4＝x7B．x3•x2＝x5C．x+2x＝3x2D．x﹣2＝﹣4．下列命题正确的是（）A．过线段中点的直线上任意一点到线段两端的距离相等B．垂直于线段的直线上任意一点到线段两端的距离相等C．线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等D．线段垂直平分线上的点到线段上任意两点的距离相等5．按如图所示的运算程序，能使输出m的值为1的是（）A．x＝1，y＝1 B．x＝2，y＝0 C．x＝1，y＝2 D．x＝3，y＝2 6．估计×+÷的值应在（）A．7和8之间B．8和9之间C．9和10之间D．10和11之间7．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PA＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（）A．1.5 B．2 C．D．8．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（）A．（9，6）B．（8，6）C．（6，9）D．（6，8）9．如图，为加快5G网络建设，某通信公司在一个坡度i＝1：2.4的山坡AB上建了一座信号塔CD，信号塔底端C到山脚A的距离AC＝13米，在距山脚A水平距离18米的E处，有一高度为10米的建筑物EF，在建筑物顶端F处测得信号塔顶端D的仰角为37°（信号塔及山坡的剖面和建筑物的剖面在同一平面上），则信号塔CD的高度约是（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．22.5米B．27.5米C．32.5米D．45.0米10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B、D在反比例函数y═（k＞0）的图象上，对角线AC与BD相交于坐标原点O，若点A（﹣1，2），菱形的边长为5，则k的值是（）A．4 B．8 C．12 D．1611．若数a使关于x 的分式方程+＝1有非负整数解，且使关于y 的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和是（）A．﹣5 B．﹣3 C．0 D．212．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，c＞0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：x…﹣1 0 1 2 3 …y＝…p t n t0 …ax2+bx+c有下列结论：①b＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是0和3；③p+2t＜0；④m （am+b）≤﹣4a﹣c（m为任意实数）．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）13．计算：（3﹣π）0﹣＝．14．代数式有意义，则x的取值范围是．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，AB＝10，D是AB的中点，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交BC于点E，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）16．点A的坐标是A（x，y），从1、2、3这三个数中任取一个数作为x的值，再从余下的两个数中任取一个数作为y的值．则点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的概率是．17．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高，E、F分别为AB、AC边上的点，将△ABC分别沿DE、DF折叠，使点B落在DA的延长线上点M处，点C落在点N处，连接MN，若MN∥AC，则AF的长是．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是．三.解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（1）解方程组．（2）计算：（x+）÷．20．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是DA、BC延长线上的点，且∠ABE＝∠CDF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形EBFD是平行四边形．21．某校为提高学生体考成绩，对全校300名九年级学生进行一分种跳绳训练．为了解学生训练效果，学校体育组在九年级上学期开学初和学期末分别对九年级学生进行一分种跳绳测试，学生成绩均为整数，满分20分，大于18分为优秀．现随机抽取了同一部分学生的两次成绩进行整理、描述和分析．（成绩得分用x表示，共分成五组：A．x＜13，B.13≤x＜15，C.15≤x＜17，D.17≤x＜19，E.19≤x≤20）开学初抽取学生的成绩在D组中的数据是：17，17，17，17，17，18，18．学期末抽取学生成绩统计表学生成绩A组B组C组D组E组人数0 1 4 5 a 分析数据：平均数中位数众数开学初抽取学生成绩16 b17学期末抽取学生成绩18 18.5 19根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出图表中a、b的值，并补全条形统计图；（2）假设该校九年级学生都参加了两次测试，估计该校学期末成绩优秀的学生人数比开学初成绩优秀的学生人数增加了多少？（3）小莉开学初测试成绩16分，学期末测试成绩19分，根据抽查的相关数据，请选择一个合适的统计量评价小莉的训练效果．22．某数学小组对函数y1＝图象和性质进行探究．当x＝4时，y1＝0．（1）当x＝5时，求y1的值；（2）在给出的平面直角坐标系中，补全这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）进一步探究函数图象并解决问题：已知函数y2＝﹣的图象如图所示，结合函数y1的图象，直接写出不等式y1≥y2的解集．23．某商场销售A、B两种新型小家电，A型每台进价40元，售价50元，B型每台进价32元，售价40元，4月份售出A型40台，且销售这两种小家电共获利不少于800元．（1）求4月份售出B型小家电至少多少台？（2）经市场调查，5月份A型售价每降低1元，销量将增加10台；B型售价每降低1元，销量将在4月份最低销量的基础上增加15台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划5月份A、B两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利965元，则这两种小家电都应降低多少元？24．对任意一个两位数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数m为“平方和数”，若m＝a2+b2（a、b为正整数），记A（m）＝ab．例如：29＝22+52，29就是一个“平方和数”，则A（29）＝2×5＝10．（1）判断25是否是“平方和数”，若是，请计算A（25）的值；若不是，请说明理由；（2）若k是一个“平方和数”，且A（k）＝，求k的值．25．如图，一个二次函数的图象经过点A（0，1），它的顶点为B（1，3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）过点A作AC⊥AB交抛物线于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一点，当△APC 面积最大时，求点P的坐标和△APC的面积最大值．四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．26．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为线段BO上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF交CD于点G．（1）若AB＝4，BE＝，求△CEF的面积．（2）如图2，线段FE的延长线交AB于点H，过点F作FM⊥CD于点M，求证：BH+MG＝BE；（3）如图3，点E为射线OD上一点，线段FE的延长线交直线CD于点G，交直线AB于点H，过点F作FM垂直直线CD于点M，请直接写出线段BH、MG、BE的数量关系．参考答案一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框浍黑．1．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）A．a＞0 B．b＜1 C．a＜b D．a＞﹣2【分析】直接利用a，b在数轴上位置进而分别分析得出答案．解：由数轴可得：a＜﹣2，故选项A错误；b＞1，故选项B错误；a＜b，故选项C正确；a＜﹣2，故选项D错误；故选：C．2．如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．解：从正面看有两层，底层两个正方形，上层左边一个正方形，左齐．故选：A．3．下列计算正确的是（）A．（x3）4＝x7B．x3•x2＝x5C．x+2x＝3x2D．x﹣2＝﹣【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；负整数指数幂a﹣p＝（a≠0），对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、（x3）4＝x12，故本选项错误；B、x3•x2＝x5，故本选项正确；C、x+2x＝3x，故本选项错误；D、x﹣2＝，故本选项错误；故选：B．4．下列命题正确的是（）A．过线段中点的直线上任意一点到线段两端的距离相等B．垂直于线段的直线上任意一点到线段两端的距离相等C．线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等D．线段垂直平分线上的点到线段上任意两点的距离相等【分析】根据线段垂直平分线的性质判断即可．解：A、线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，原命题是假命题；B、线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，原命题是假命题；C、线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，是真命题；D、线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，原命题是假命题；故选：C．5．按如图所示的运算程序，能使输出m的值为1的是（）A．x＝1，y＝1 B．x＝2，y＝0 C．x＝1，y＝2 D．x＝3，y＝2 【分析】根据题意一一计算即可判断．解：A、当x＝1，y＝1时，m＝x﹣y＝1﹣1＝0，不符合题意；B、当x＝2，y＝0时，m＝x﹣y＝2﹣0＝2，不符合题意；C、当x＝1，y＝2时，m＝﹣2x+y＝﹣2+2＝0，不符合题意；D、当x＝3，y＝2时，m＝x﹣y＝3﹣2＝1，符合题意．故选：D．6．估计×+÷的值应在（）A．7和8之间B．8和9之间C．9和10之间D．10和11之间【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而利用估算无理数的大小的方法得出答案．解：×+÷＝+＝4+，∵3＜＜4，∴7＜4+＜8，∴×+÷的值应在7和8之间；故选：A．7．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PA＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB 交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（）A．1.5 B．2 C．D．【分析】连接OD，求出BC是⊙O的切线，根据切线长定理得出CD＝BC，根据切线的性质求出∠ODP＝90°，根据勾股定理求出PD，再根据勾股定理求出BC即可．解：连接OD，∵PC切⊙O于D，∴∠ODP＝90°，∵⊙O的半径为1，PA＝AO，AB是⊙O的直径，∴PO＝1+1＝2，PB＝1+1+1＝3，OD＝1，∴由勾股定理得：PD＝＝＝，∵BC⊥AB，AB过O，∴BC切⊙O于B，∵PC切⊙O于D，∴CD＝BC，设CD＝CB＝x，在Rt△PBC中，由勾股定理得：PC2＝PB2+BC2，即（+x）2＝32+x2，解得：x＝，即BC＝，故选：D．8．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（）A．（9，6）B．（8，6）C．（6，9）D．（6，8）【分析】根据位似变换的定义得到△ACB∽△CED，根据相似三角形的性质求出DE，根据等腰直角三角形的性质求出CE，根据△OCB∽△OED，列出比例式，代入计算得到答案．解：∵等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，∴△ACB∽△CED，∵相似比为1：3，∴＝，即＝，解得，DE＝6，∵△CED为等腰直角三角形，∴CE＝DE＝6，∵BC∥DE，∴△OCB∽△OED，∴＝，即＝，解得，OC＝3，∴OE＝OC+CE＝3+6＝9，∴点D的坐标为（9，6），故选：A．9．如图，为加快5G网络建设，某通信公司在一个坡度i＝1：2.4的山坡AB上建了一座信号塔CD，信号塔底端C到山脚A的距离AC＝13米，在距山脚A水平距离18米的E处，有一高度为10米的建筑物EF，在建筑物顶端F处测得信号塔顶端D的仰角为37°（信号塔及山坡的剖面和建筑物的剖面在同一平面上），则信号塔CD的高度约是（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．22.5米B．27.5米C．32.5米D．45.0米【分析】过点F作FH⊥DC于点H，延长DC交EA于点G，可得四边形EFHG是矩形，根据AB的坡度i＝1：2.4，AC＝13，可得CG＝5，AG＝12，CH＝GH﹣CG＝10﹣5＝5，再根据锐角三角函数即可求出信号塔CD的高度．解：如图，过点F作FH⊥DC于点H，延长DC交EA于点G，则四边形EFHG是矩形，∴FH＝GE，CG＝EF，∵AB的坡度i＝1：2.4，AC＝13，∴CG＝5，AG＝12，∴CH＝GH﹣CG＝10﹣5＝5，∴GE＝AG+AE＝12+18＝30，∴在Rt△DCF中，∠DFC＝37°，FH＝GE＝30，∴DH＝FH•tan37°≈30×0.75≈22.5，∴CD＝DH+CH≈22.5+5≈27.5（米）．所以信号塔CD的高度约是27.5米．故选：B．10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B、D在反比例函数y═（k＞0）的图象上，对角线AC与BD相交于坐标原点O，若点A（﹣1，2），菱形的边长为5，则k的值是（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据勾股定理得到OA＝，OD＝＝2，求得直线AC的解析式为y＝﹣2x，求得BD的解析式为y＝2x，设D（a，2a），根据勾股定理即可得到结论．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵点A（﹣1，2），∴OA＝，∵菱形的边长为5，∴AD＝5，∴OD＝＝2，∵对角线AC与BD相交于坐标原点O，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x，∴BD的解析式为y＝2x，设D（a，2a），∴a2+（2a）2＝20，∴a＝2（负值舍去），∴D（2，4），∵D在反比例函数y═（k＞0）的图象上，∴k＝2×4＝8，故选：B．11．若数a使关于x的分式方程+＝1有非负整数解，且使关于y的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和是（）A．﹣5 B．﹣3 C．0 D．2【分析】解出分式方程，根据题意确定a的范围，解不等式组，根据题意确定a的范围，根据分式不为0的条件得到a≠﹣2，根据题意计算即可．解：由①得y＞﹣8，由②得y≤a，∴不等式组的解集为：﹣8＜y≤a，∵关于y的不等式组至少有3个整数解，∴a≥﹣5，解分式方程+＝1，得x＝，∵关于x的分式方程+＝1有非负整数解，且≠3，∴a≤4且a≠﹣2且a为偶数；∴﹣5≤a≤4且a≠﹣2且a为偶数，∴满足条件的整数a为﹣4，0，2，4，∴所有整数a的和＝﹣4+0+2+4＝2，故选：D．12．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，c＞0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：x…﹣1 0 1 2 3 …y＝…p t n t0 …ax2+bx+c有下列结论：①b＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是0和3；③p+2t＜0；④m （am+b）≤﹣4a﹣c（m为任意实数）．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由抛物线的对称性可求对称轴为：x ＝，可得p＝0，即x＝﹣1，x＝3是方程ax2+bx+c＝0的两个根，可判断②；当x＝0，y＝c＝t＞0，可得p+2t＝0+2t＞0，可判断③；由抛物线中在对称轴的右边，y随x的增大而减小，可得的a＜0，由对称轴x ＝1可得b＝﹣2a＞0，可判断①；由x＝3，y＝0，可得c＝﹣3a，由顶点坐标为（1，n），a＜0，可得am2+bm+c≤a+b+c，可得am2+bm≤﹣4a﹣c，可判断④，即可求解．解：∵当x＝0和x＝2时，y＝t，∴对称轴为：x ＝，∴当x＝3和x＝﹣1时，y的值相等，∴p＝0，∴x＝﹣1，x＝3是方程ax2+bx+c＝0的两个根，故②正确；∵当x＝0时，y＝t，且c＞0，∴t＝c＞0，∴p+2t＝0+2t＞0，故③错误；∵x＝2，y＝t＞0，x＝3，y＝0，∴在对称轴的右边，y随x的增大而减小，∴a＜0，∵x ＝﹣，∴b＝﹣2a＞0，故①正确；∵当x＝3时，y＝0，∴9a+3b+c＝0，∴3a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴﹣4a﹣c＝﹣4a+3a＝﹣a，∵顶点坐标为（1，n），a＜0，∴am2+bm+c≤a+b+c，∴am2+bm≤a+b，∴am2+bm≤﹣a，∴am2+bm≤﹣4a﹣c，故④正确，故选：C．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的橫线上．13．计算：（3﹣π）0﹣＝﹣1 ．【分析】本题涉及零指数幂、三次根式化简2个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解：（3﹣π）0﹣＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．14．代数式有意义，则x的取值范围是x＞4 ．【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．解：由题意得，x﹣4＞0，解得，x＞4，故答案为：x＞4．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，AB＝10，D是AB的中点，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交BC于点E，则图中阴影部分的面积是π．（结果保留π）【分析】利用斜边上的中线性质得到DA＝DC＝DB＝AB＝5，再计算出∠B得到∠DCB＝40°，然后利用扇形的面积公式计算．解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴DA＝DC＝DB＝AB＝5，∵∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°，∴∠DCB＝∠B＝40°，∴图中阴影部分的面积＝＝π．故答案为π．16．点A的坐标是A（x，y），从1、2、3这三个数中任取一个数作为x的值，再从余下的两个数中任取一个数作为y的值．则点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的概率是．【分析】先解方程组得直线y＝﹣x+5与直线y＝x的交点坐标，画出图象，再画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出其中点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的点的个数，然后根据概率公式求解．解：解方程组得，∴直线y＝﹣x+5与直线y＝x的交点坐标为（3，2），如图，画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的点为（1，2），（1，3），（2，3），（3，2），所以点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的概率＝＝．故答案为．17．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高，E、F分别为AB、AC边上的点，将△ABC分别沿DE、DF折叠，使点B落在DA的延长线上点M处，点C落在点N处，连接MN，若MN∥AC，则AF的长是．【分析】过点D作DH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求∠C＝30°，AD＝AC＝1，∠DAC＝60°，BD＝CD，由折叠的性质可得DN＝DC，DB＝DM，∠CDF＝∠NDF，可证△DMN是等边三角形，可得∠MDN＝60°，由折叠的性质可求∠HDF＝∠HFD＝45°，由直角三角形的性质可求解．解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高，∴∠C＝30°，AD＝AC＝1，∠DAC＝60°，BD＝CD，∵MN∥AC，∴∠DAC＝∠DMN＝60°，∵DH⊥AF，∴∠ADH＝30°，∴AH＝AD＝，DH＝AH＝，∵将△ABC分别沿DE、DF折叠，∴DN＝DC，DB＝DM，∠CDF＝∠NDF，∴DM＝DN，∴△DMN是等边三角形，∴∠MDN＝60°，∴∠CDN＝30°，∴∠CDF＝15°，∴∠DFH＝∠C+∠CDF＝45°，∵DH⊥AF，∴∠HDF＝∠HFD＝45°，∴DH＝HF＝，∴AF＝AH+HF＝，故答案为：．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是．【分析】如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．证明△ABF≌△KBE（SAS），推出AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，解直角三角形求出EK即可解决问题．解：如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，∵∠BAK＝60°，∴∠EAK＝75°，∵∠AEK＝90°，∴∠AKE＝15°，∵TA＝TK，∴∠TAK＝∠AKT＝15°，∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET＝a，在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，∴a2+（2a+a）2＝2，∴a＝，∴EK＝2a+a＝，∴AF的最小值为．故答案为．三.解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（1）解方程组．（2）计算：（x+）÷．【分析】（1）根据加减消元法可以解答此方程组；（2）根据分式的加法和除法可以解答本题．解：（1），①+②，得4x＝12，解得，x＝3，将x＝3代入①，得y＝﹣1，故原方程组的解为；（2）（x+）÷＝＝＝＝．20．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是DA、BC延长线上的点，且∠ABE＝∠CDF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形EBFD是平行四边形．【分析】（1）由ASA即可得出△ABE≌△CDF；（2）由全等三角形的性质得出AE＝CF，由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，证出DE＝BF，即可得出四边形EBFD是平行四边形．【解答】证明：（1）∵四边形ABD是平行四边形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD+AE＝BC+CF，即DE＝BF，∴四边形EBFD是平行四边形．21．某校为提高学生体考成绩，对全校300名九年级学生进行一分种跳绳训练．为了解学生训练效果，学校体育组在九年级上学期开学初和学期末分别对九年级学生进行一分种跳绳测试，学生成绩均为整数，满分20分，大于18分为优秀．现随机抽取了同一部分学生的两次成绩进行整理、描述和分析．（成绩得分用x表示，共分成五组：A．x＜13，B.13≤x＜15，C.15≤x＜17，D.17≤x＜19，E.19≤x≤20）开学初抽取学生的成绩在D组中的数据是：17，17，17，17，17，18，18．学期末抽取学生成绩统计表学生成绩A组B组C组D组E组人数0 1 4 5 a分析数据：平均数中位数众数开学初抽取学生成绩16 b17学期末抽取学生成绩18 18.5 19根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出图表中a、b的值，并补全条形统计图；（2）假设该校九年级学生都参加了两次测试，估计该校学期末成绩优秀的学生人数比开学初成绩优秀的学生人数增加了多少？（3）小莉开学初测试成绩16分，学期末测试成绩19分，根据抽查的相关数据，请选择一个合适的统计量评价小莉的训练效果．【分析】（1）由A的两个统计图上的数据得抽取的学生人数，再用求得的总数减去学期末抽取学生成绩统计表中A、B、C、D的人数便可得E组的人数a的值，求出开学初抽取人数中成绩由小到大位于最中间的数据或中间两个数据的平均数便为中位数b的值；（2）用总人数300乘以学期末优秀学生数的百分比与开学初优秀学生数的百分比之差，便可得该校学期末成绩优秀的学生人数比开学初成绩优秀的学生人数增加的人数；（3）可比较再次测试成绩的中位数或平均数，进而得出小莉成绩上升情况的总结．解：（1）开学初抽取的学生总数为：2＝20，∴a＝20﹣0﹣1﹣4﹣5＝10，开学初抽取学生中B组人数为：20﹣2﹣3﹣4﹣7＝4，由此可知开学初所抽取学生的成绩A、B、C组共有2+3+4＝9人，则将所抽取的20人的成绩由小到大排列，位于第10位和第11位的成绩都位于D组，∵D组中的数据是：17，17，17，17，17，18，18．∴中位数b＝＝17，补全统计图如下：（2）根据题意得，300×＝90，答：该校学期末成绩优秀的学生人数比开学初成绩优秀的学生人数增加了90人；（3）从平均数看，小莉开学初测试成绩等于开学初抽取学生成绩的平均数16分，学期末测试成绩19分高于学期末所抽取学生成绩的平均数18分，因此小莉一分钟跳绳练习达到郎的效果；从中位数来看，小莉开学初测试成绩16分低于开学初抽取学生成绩的中位数17分，学期末测试成绩19分高于学期末抽取学生成绩的中位数18，5分，因此小莉一分钟跳绳练习达到郎的效果．22．某数学小组对函数y1＝图象和性质进行探究．当x＝4时，y1＝0．（1）当x＝5时，求y1的值；（2）在给出的平面直角坐标系中，补全这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）进一步探究函数图象并解决问题：已知函数y2＝﹣的图象如图所示，结合函数y1的图象，直接写出不等式y1≥y2的解集．【分析】（1）思想利用待定系数法确定b的值，再求出x＝5时，y1的值即可．（2）画出x＜2时，y＝﹣x+2的图形即可．（3）利用图象法写出y1的图象在y2的上方时x的值即可．解：（1）由题意x＝0时，y1＝0，∴16+4b+8＝0，∴b＝﹣6，∴x＝5时，y1＝25﹣6×5+8＝3．（2）函数图象如图所示：性质：x＜3时，y随x的增大而减小，x＞3时，y随x的增大而增大．（3）观察图形可知：不等式y1≥y2的解集为：x＜﹣2或x＞0．23．某商场销售A、B两种新型小家电，A型每台进价40元，售价50元，B型每台进价32元，售价40元，4月份售出A型40台，且销售这两种小家电共获利不少于800元．（1）求4月份售出B型小家电至少多少台？（2）经市场调查，5月份A型售价每降低1元，销量将增加10台；B型售价每降低1元，销量将在4月份最低销量的基础上增加15台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划5月份A、B两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利965元，则这两种小家电都应降低多少元？【分析】（1）设4月份售出B型小家电x台，根据“销售这两种小家电共获利不少于800元”列出不等式并解答；（2）设两种型号的小家电都降价y元，根据“销售利润＝（售价﹣进价）×销售数量”列出方程并解答．解：（1）设4月份售出B型小家电x台，根据题意，得（50﹣40）×40﹣（40﹣32）x ≥800．解得x≥50．答：4月份售出B型小家电至少50台；（2）设两种型号的小家电都降价y元，根据题意得：（50﹣y﹣40）（40+10y）+（40﹣y﹣32）（50+15y）＝965．整理，得5y2﹣26y+33＝0．解得y1＝3，y2＝2.2．为了让消费者得到更多的实惠，所以y＝3符合题意．答：两种型号的小家电都降价3元．24．对任意一个两位数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数m为“平方和数”，若m＝a2+b2（a、b为正整数），记A（m）＝ab．例如：29＝22+52，29就是一个“平方和数”，则A（29）＝2×5＝10．（1）判断25是否是“平方和数”，若是，请计算A（25）的值；若不是，请说明理由；（2）若k是一个“平方和数”，且A（k）＝，求k的值．【分析】（1）把25写成两个正整数的平方和，再根据A（m）＝ab求出A（25）便可；（2）设k＝a2+b2，则A（k）＝ab，根据（k）＝，得a、b的方程，求得a与b的关系式，进而由a、b、k满足的条件求得k的值便可．解：（1）25是“平方和数”．∵25＝32+42，∴A（25）＝3×4＝12；（2）设k＝a2+b2，则A（k）＝ab，∵A（k）＝，∴ab＝，∴2ab＝a2+b2﹣4，∴a2﹣2ab+b2＝4，∴（a﹣b）2＝4，∴a﹣b＝±2，即a＝b+2或b＝a+2，∵a、b为正整数，k为两位数，∴当a＝1，b＝3或a＝3，b＝1时，k＝10；当a＝2，b＝4或a＝4，b＝2时，k＝20；当a＝3，b＝5或a＝5，b＝3时，k＝34；当a＝4，b＝6或a＝6，b＝4时，k＝52；当a＝5，b＝7或a＝7，b＝5时，k＝74；综上，k的值为：10或20或34或52或74．25．如图，一个二次函数的图象经过点A（0，1），它的顶点为B（1，3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）过点A作AC⊥AB交抛物线于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一点，当△APC 面积最大时，求点P的坐标和△APC的面积最大值．【分析】（1）根据题意设这个二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2+3，解方程即可得到结论；（2）根据已知条件得到直线AC的解析式为y＝﹣x+1，解方程组得到C（，﹣），得到PQ＝（﹣2t2+4t+1）﹣（﹣t+1）＝﹣2t2+t，根据三角形的面积公式和二次函数的性质即可得到结论．解：（1）∵抛物线的顶点为B（1，3），∴设这个二次函数的表达式为y＝a（x﹣1）2+3，∵二次函数的图象经过点A（0，1），∴a（0﹣3）2+3＝1，解得：a＝﹣2，∴这个二次函数的表达式为y＝﹣2（x﹣1）2+3，即y＝﹣2x2+4x+1；（2）∵AC⊥AB，A（0，1），∴直线AC的解析式为y＝﹣x+1，由，解得：或，∴C（，﹣），过P作PQ∥y轴交AC于Q，设P（t，﹣2t2+4t+1），则Q（t，﹣t+1），∴PQ＝（﹣2t2+4t+1）﹣（﹣t+1）＝﹣2t2+t，∴S△APC＝PQ|x C﹣x A|＝（﹣2t2+t）（﹣0）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，S△APC有最大值，此时，P（，）．四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．26．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为线段BO上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF交CD于点G．（1）若AB＝4，BE＝，求△CEF的面积．（2）如图2，线段FE的延长线交AB于点H，过点F作FM⊥CD于点M，求证：BH+MG＝BE；（3）如图3，点E为射线OD上一点，线段FE的延长线交直线CD于点G，交直线AB于点H，过点F作FM垂直直线CD于点M，请直接写出线段BH、MG、BE的数量关系．【分析】（1）如图1中，利用勾股定理计算CE的长，由旋转可知△CEF是等腰直角三角形，可得结论；（2）如图2，过E作EN⊥AB于N，作EP⊥BC于P，证明△CPE≌△CMF（AAS），得EP＝FM，由角平分线的性质得EP＝EN＝FM，证明△NHE≌△MGF（AAS），得NH＝MG，由△BEN 是等腰直角三角形，得BN＝BE，最后由线段的和可得结论；（3）如图3，构建辅助线，构建全等三角形，证明△CPE≌△FMC（AAS），得EP＝CM，PC＝FM，由△DPE是等腰直角三角形，得PE＝PD，证明△HNE≌△GMF（AAS），由△BEN 是等腰直角三角形，得BN＝BE，同理可得结论．【解答】（1）解：在正方形ABCD中，AB＝4，∴AO＝CO＝OB＝2，∵BE＝，∴OE＝，∵AC⊥BD，∴∠COE＝90°，∴CE＝＝＝，由旋转得：CE＝CF，∠ECF＝90°，∴△CEF的面积＝＝＝5；（2）证明：如图2，过E作EN⊥AB于N，作EP⊥BC于P，∵EP⊥BC，FM⊥CD，∴∠EPC＝∠FMC＝90°，∵∠BCD＝∠ECF＝90°，∴∠PCE＝∠MCF，∵CE＝CF，∴△CPE≌△CMF（AAS），∴EP＝FM，∵EP⊥BC，EN⊥AB，BE平分∠ABC，∴EP＝EN，∴EN＝FM，∵FM⊥CD，∴∠FMG＝∠ENH＝90°，∵AB∥CD，∴∠NHE＝∠MGF，∴△NHE≌△MGF（AAS），∴NH＝MG，∴BH+MG＝BH+NH＝BN，∵△BEN是等腰直角三角形，∴BN＝BE，∴BH+MG＝BE；（3）解：BH﹣MG＝BE，理由是：如图3，过E作EN⊥AB于N，交CG于P，∵EP⊥BC，FM⊥CD，AB∥CD，∴EP⊥CD，∴∠EPC＝∠FMC＝90°，∵∠M＝∠ECF＝90°，∴∠ECP+∠FCM＝∠FCM+∠CFM＝90°，∴∠ECP＝∠CFM，∵CE＝CF，∴△CPE≌△FMC（AAS），∴PC＝FM，∵△DPE是等腰直角三角形，∴PE＝PD，∴EN＝BN＝PN+PE＝BC+PE＝CD+PD＝PC＝FM，∵AB∥CD，∴∠H＝∠FGM，∵∠ENH＝∠M＝90°，∴△HNE≌△GMF（AAS），∴NH＝MG，∴BH﹣MG＝BH﹣NH＝BN，∵△BEN是等腰直角三角形，∴BN＝BE，∴BH﹣MG＝BE．。
2020年重庆市北碚区高考数学一诊试卷(有解析)
2020年重庆市北碚区高考数学一诊试卷一、单项选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 要得到函数的图象，只需将的图象( )A. 左移π3个单位B. 右移π3个单位C. 左移π6个单位D. 右移π6个单位 2. 已知集合A ={−1,0，1，2}，，B ={y|y =x 2+1,x ∈A}，则集合B 的含有元素1的子集个数为( )A. 5B. 4C. 3D. 2 3. 已知角α的终边过点P(12,5)，则cos (π2+α)的值为( )A. 513B. 1213C. −513D. −1213 4. 已知，则方程f(f (x ))=1的实数根的个数是( )A. 4B. 5C. 6D. 75. 若函数f(x)=ln(x 2−ax +1)在区间(2,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,4]B. (−∞,52]C. (−∞,52)D. (52,4] 6. 若，则cos2α+sin2α=( ) A. −3125B. −1725C. 1725D. 3125 7. 若函数f(x)=e x x+2在(−2,a)上有最小值，则a 的取值范围为( ) A. (−1,+∞) B. [−1,+∞) C. (0,+∞) D. [0,+∞)8. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 9 B. 8 C. 7 D. 109. 在△ABC 中，在线段AB 上任取一点P ，满足的概率是( ) A. 23 B. 49 C. 19 D. 13 10. 在平面四边形ABCD 中，AB =√2，BC =CD =DA =1，设△ABD 、△BCD 的面积分别为S 1、S 2，则当S 12+S 22取最大值时，BD =( ) A. √102 B. √3 C. √2 D. 111. 已知函数f(x)的定义域为R ，其导函数为fˈ(x)，对任意x ∈R ，fˈ(x)>f(x)恒成立，且f(1)=1，则不等式ef(x)>e x 的解集为( )A. (1,+∞)B. [1,+∞)C. (−∞,0)D. (−∞,0] 12. 若△ABC 中，cosA =12，BC =2，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值是( ) A. 2√2 B. 1+√3 C. √3 D. 2二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知3√3是9m 与3n 的等比中项，且m ，n 均为正数，则2m +1n 的最小值为________．14. 已知定义在R 上的函数f(x)={4x 2−8x,x ⩾0f(x +2),x <0则方程f(x)+1=log 6(|x|+1)的实数解的个数为________．15. 已知点O 是三角形ABC 的边BC 靠近B 的一个三等分点，过点O 的直线交直线AB 、AC 分别于M 、N ；AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则2m +1n= ______ ． 16. 已知三棱锥P −ABC 满足平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AB =4，∠APB =30°，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 在正项等比数列{a n }中，已知a 1=2，且2a 2，a 3，8成等差数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)设a n b n =2nn 2+n ，证明：数列{b n }的前n 项和T n <1．18. 在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，BD =CD ，E,F 分别为BC,PD 的中点．(1)求证：EF//平面PAB；(2)求证：平面PBC⊥平面EFD．19.已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，过P(−1,0)的直线l的倾斜角α=30∘与曲线C交于A，B两点；(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)求|AB|的长度．20.已知函数f(x)=sin x⋅cos x−(√3−1)cos2 x−12cos 2x−12．(1)求函数f(x)的单调递增区间和对称中心；(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长原来的两倍，纵坐标保持不变，得到函数g(x)的图象，若方程g(x)+√3+m2=0在x∈[0,π]上有两个不相等的实数解x1，x2，求实数m的取值范围，并求x1+x2的值．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与y2=8x的焦点重合且点A(2,√2)为椭圆上一点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点A任作两条与椭圆C相交且关于x=2对称的直线，与椭圆C分别交于P、Q两点，求证：直线PQ的斜率是定值．22.如图，已知ABCDEF是正六边形，GA、ND都垂直于平面ABCDEF，平面FGN交线段DE于点R，点M是CD的中点，AB=DN=1，AG=2．(1)求证：AM//平面GFRN；(2)求二面角A−GF−N的余弦值．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查三角函数的平移变换及诱导公式的应用，属于中档题目．先利用诱导公式化为同名的三角函数，然后再进行平移．解：因为y=cos(2x−π6)=sin(2x−π6+π2)=sin(2x+π3)，将函数y=sin2x的图象向左平移π6得y=sin2(x+π6)=sin(2x+π3)的图象，即可得到函数y=cos(2x−π6)的图象．故选C.2.答案：B解析：本题考查子集的概念，考查集合的化简，比较基础．求出集合B，然后根据子集的概念，即可得出结论．解：由题意得：B={1,2，5}，故集合B的含有元素1的子集有：{1}，{1,2}，{1,5}，{1,2，5}，子集个数为4个，故选：B．3.答案：C解析：本题考查了任意角三角函数的定义及诱导公式，属于基础题．由已知得，再利用诱导公式即得答案．解：∵角α的终边过点P(12,5)，，．故选C．4.答案：C解析：本题考查了方程解与函数图象的关系，考查了数形结合思想，属于中档题．求出f(x)=1的解，再根据f(x)的图象得出解的总个数．解：令3x=1，得x=0，令，得x=2或x=1，2∵f(f(x))=1，∴f(x)=0或f(x)=2或f(x)=1，2作出f(x)的函数图象如图所示：由图象可知f(x)=0只有一解，f(x)=2有两解，f(x)=1有三解，2∴f(f(x))=1共有6解．故选：C．5.答案：C解析：本题主要考查复合函数单调性的应用，结合二次函数的单调性是解决本题的关键，属于基础题．根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可．解：设g(x)=x2−ax+1，则要使f(x)=ln(x2−ax+1)在区间(2,+∞)上单调递增，则满足{a2≤2g(2)=5−2a≥0，即{a≤4a≤52,得a≤52，即实数a的取值范围是(−∞,52],故选：C．6.答案：C解析：本题考查同角关系式及二倍角公式，同时考查两角和与差的三角函数，由已知求出tanα，然后利用二倍角公式和同角关系式求解即可．解：因为，所以，所以．故选C．7.答案：A解析：解：f′(x)=e x(x+1)(x+2)2，令f′(x)>0，解得：x>−1，令f′(x)<0，解得：x<−1，故f(x)在(−2,−1)递减，在(−1,+∞)递增，若f(x)在(−2,a)有最小值，则a>−1，故选：A．求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出a的范围．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．8.答案：A解析：本题考查向量的数量积和向量垂直，向量加法的运用，属于简单题．化得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，即可求解．解：向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗=32+0=9．故选：A ． 9.答案：D解析：本题考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．由题意画出图形，根据面积比得到长度比即可求解．解：如图，∵△PBC 与△ABC 同底边，∴S △PBC S △ABC =PB AB ， 由，得AP AB =13． 故满足的概率是13． 故选：D ． 10.答案：A解析：解：在△ABD 中，BD 2=AD 2+AB 2−2×AD ×AB ×cosA =1+2−2×1×√2×cosA =3−2√2cosA ． 在△BCD 中，BD 2=CD 2+CB 2−2CD ⋅CBcosC =2−2cosC ，∴cosC =√2cosA −12．S 12+S 22=14AB2⋅AD2⋅sin2A +14CB2⋅CD2⋅sin2C =12sin 2A +14sin 2C =−(cosA −√28)2+58， ∴当cosA =√28时，S 12+S 22取取最大值， 此时，BD =√AB2+AD2−2×AB ×AD ×cosA =√102． 故选：A ．利用余弦定理推出A 与C 的关系，求出S 12+S 22的表达式，利用二次函数以及余弦函数的值的范围，能求出当S 12+S 22取最大值时，BD 的值． 本题考查余弦定理的应用，三角形的面积的求法，二次函数的性质的应用，考查计算能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．11.答案：A解析：本题考查了函数单调性与导数的关系，构造g(x)=f(x)e x 是解题关键，是中档题． 构造g(x)=f(x)e x ，通过g′(x)>0，由g(x)的单调性得出答案．解：∵f′(x)>f(x)，∴f′(x)−f(x)e x >0，∴e x f′(x)−e x f(x)(e x )2>0， 令g(x)=f(x)e x ，则g′(x)=e x f′(x)−e x f(x)(e x )2>0，∴g(x)在R 上是增函数．∵ef(x)>e x ，∴f(x)e x >1e ，即g(x)>g(1)=1e ． ∴x >1．故选：A ．12.答案：D解析：本题考查平面向量的数量积、两角和差公式、辅助角公式以及正弦函数的性质，属于中档题． 先通过平面向量的数量积化简，再通过两角和差公式、辅助角公式， 化简得到，根据正弦函数的性质即可得到答案． 解：因为BC =2，cosA =12，又，所以， 所以 ， 因为，所以当时，取最大值2． 故BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值是2． 故选D ．13.答案：3解析：本题主要考查了等比数列的性质，以及利用基本不等式求解最值，解题的关键是要对所求的式子进行配凑成符合基本不等式的条件即是进行了1的代换，属于中档题．先根据等比中项的定义求出m 与n 的等量关系即2m +n =3，再利用“1”的代换，展开后利用基本不等式可求最小值． 解：∵3√3是9m 与3n 的等比中项，∴9m ⋅3n =(3√3)2，即32m+n =33，即2m +n =3，∴2m +1n =13(2m +1n )(2m +n) =13(5+2n m +2m n )≥13(5+2√2n m ·2mn )=3，当且仅当n =m 时取等号， ∴2m +1n 的最小值为3． 故答案为3．14.答案：7解析：本题主要考查了分段函数性质，函数零点与方程根的关系，函数图象的运用，考查了数形结合思想，属于中档题．画出函数的图象，利用函数的图象求解即可．解：由题意，当x <0时，f(x)是周期为2的周期函数，在同一直角坐标系内作出函数y =f(x)+1与y =log 6(|x|+1)的图象如图，则两函数图象共有7个不同的交点，所以原方程有7个不同的解．故答案为7．15.答案：3解析：解：连接AO ，∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1nAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13n AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵M ，O ，N 三点共线，∴23m +13n =1，∴2m +1n =3．故答案为3．用AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN 表示出AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据M ，N ，O 三点共线得出结论．本题考查了平面向量的几何运算，平面向量的共线定理，属于中档题． 16.答案：64π解析：本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、正弦定理和球的表面积公式等知识，属于中档题．由题意，得三棱锥P −ABC 的外接球球心就是△PAB 的外心，由正弦定理可推出R ，从而可得外接球的表面积．解：因为AC ⊥BC ，所以△ABC 的外心为斜边AB 的中点，又因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以三棱锥P −ABC 的外接球球心在平面PAB 上，即球心就是△PAB 的外心，根据正弦定理AB sin∠APB =2R ，解得R =4，所以外接球的表面积为4πR 2=64π．故答案为64π． 17.答案：(1)解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵2a 2，a 3，8成等差数列，∴a 3=a 2+4，即2q 2=2q +4，即q 2−q −2=0，解得q =2，q =−1(舍去)，∴q =2．所以{a n }的通项公式为a n =2·2n−1=2n (n ∈N +).(2)证明：由上知a n =2n ，∵a n b n =2nn +n ，∴b n =1n 2+n =1n(n+1)=1n −1n+1，∴T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n=(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n −1n+1)=1−1n+1， ∴T n −1=−1n+1<0，即数列{b n }的前n 项和为T n <1．解析：本题考查了等比数列的通项公式和裂项相消法，是中档题．(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由2a 2，a 3，8成等差数列，得a 3=a 2+4，即2q 2=2q +4，得出q ，即可得出{a n }的通项公式；(2)由a n b n =2n n 2+n ，得b n =1n 2+n =1n(n+1)=1n −1n+1，由裂项相消得T n =1−1n+1，即可得证． 18.答案：证明：(1)取PA 的中点G ，连接FG ，BG ，在△PAD 中，因为G 为的中点，F 为PD 的中点，所以FG||AD,FG =12AD ．又E 为BC 中点，所以BE||AD,BE =12AD ．所以，BE||FG,BE =FG ．所以四边形BEFG 为平行四边形，所以EF||BG ．又EF ⊄平面PAB ，BG ⊂平面PAB ，所以，EF//平面PAB ；(2)因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC ，即FD ⊥BC ．在△BCD 中，DB =DC ，E 为BC 的中点，所以DE ⊥BC ．又DE ∩DF =D ，DE,DF ⊂平面EFD ，所以，BC ⊥平面EFD ．又BC ⊂平面PBC ，所以，平面PBC ⊥平面EFD ．解析： 本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定与证明，属中档题．(1)取PA 的中点G ，连接FG ，BG ，可证四边形BEFG 为平行四边形，得EF||BG ．从而EF//平面PAB ；(2)由PD ⊥平面ABCD ，得PD ⊥BC ，即FD ⊥BC.在△BCD 中，DE ⊥BC ．则得BC ⊥平面EFD.从而平面PBC ⊥平面EFD ．19.答案：解：(1)ρ=4cosθ，则ρ2=4ρcosθ，故x 2+y 2=4x ，即(x −2)2+y 2=4;所以曲线C 的直角坐标方程为(x −2)2+y 2=4;(2)直线l 的参数方程为：{x =−1+√32t y =12t (t 为参数)，代入x 2+y 2=4x ，得t 2−3√3t +5=0，t 1+t 2=3√3,t 1t 2=5，所以|AB|=||PA|−|PB||=|t 1−t 2| =√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√7．解析：本题考查简单曲线的极坐标方程，属于基础题．(1)把曲线C的极坐标方程两边乘以ρ，再由极坐标与直角坐标的互化公式即可化为直角坐标方程；(2)求出直线的参数方程的标准形式，代入曲线C的直角坐标方程，得到关于参数t的一元二次方程，由参数t的几何意义求得|AB|的长度．20.答案：解：(1)f(x)=sinx·cosx−√3cos2x=12sin2x−√32(1+cos2x)，因此f(x)的最小正周期为T=2π2=π，由，k∈Z，解得f(x)的单调递增区间为：，k∈Z．令，解得，所以对称中心为．(2)由题意得，则方程g(x)+√3+m2=0，可化简为sin (x−π3)−√32+√3+m2=sin (x−π3)+m2=0，即sin (x−π3)=−m2，由图像可知，方程g(x)+√3+m2=0在x∈[0,π]上要有两个不相等的实数解x1，x2，⇔√32⩽−m2<1，即−2<m≤−√3，此时的对称轴是，所以，故x1+x2=5π3．解析：本题考查函数y =Asin (ωx +φ)的图象和性质，考查函数图象的变换，属于中档题．(1)由二倍角公式和两角差的正弦公式化简函数解析式，再利用正弦函数的单调性和对称性，即可求解；(2)由函数y =Asin (ωx +φ)的图象伸缩变换求得g(x)的函数解析式，在利用正弦函数化简求出m 的取值范围，即可求解．21.答案：解：(1)抛物线y 2=8x 的焦点为F(2,0)，则椭圆C 的一个焦点为F(2,0)，∴a 2=b 2+4，把点A(2,√2)代入椭圆方程，得：4b 2+4+2b 2=1，解得a 2=8，b 2=4，∴椭圆C 的方程为x 28+y 24=1．证明：(2)由题意，可设直线AP 的方程为y =k(x −2)+√2，则直线AQ 的方程为y =−k(x −2)+√2，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则y 1=k(x 1−2)+√2，y 2=−k(x 2−2)+√2，把直线AP 的方程与椭圆C 方程联立得：(1+2k 2)x 2+(4√2k −8k 2)x +8k 2−8√2k −4=0，2⋅x 1=8k 2−8√2k−41+2k 2，故x 1=4k 2−4√2k−21+2k 2， 同理可得x 2=4k 2+4√2k−21+2k 2， 所以k PQ =y 2−y1x 2−x 1 =[−k(x 2−2)+√2]−[k(x 1−2)+√2]x 2−x 1=−k(x 2+x 1)+4k x 2−x 1=k ⋅x 2+x 1−4x 1−x 2 =4k 2+4√2k −21+2k 2+4k 2−4√2k −21+2k 2−44k 2−4√2k −21+2k 2−4k 2+4√2k −21+2k 2=√22．∴直线PQ 的斜率是定值√22．解析：本题考查了直线与椭圆的位置关系，椭圆的标准方程，圆锥曲线中的定值问题，属于中档题．(1)由已知列出关于a 和b 的等量关系，把点A(2,√2)代入可得椭圆方程；(2)写出直线AP 和直线AQ 的方程，将直线AP 和直线AQ 与椭圆方程联立，得P ，Q 的横坐标，利用斜率公式和韦达定理进行计算即可得到答案．22.答案：证明：(1)由正六边形的性质得AF ⊥AC 以A 为原点，直线AF ，AC ，AG 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,√3,0)，D(−1,√3,0)，N(−1,√3,1)，F(−1,0，0)，G(0,0，2)，M(−12,√3,0)，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√3,0)，FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，2)，FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,1)， 设平面FRNG 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =x +2z =0FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√3y +z =0，取x =6，得n ⃗ =(6,√3,−3)， ∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =6×(−12)+√3×√3+0×(−3)=0，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，∵AM ⊄平面FRNG ，∴AM//平面GFRN ．解：(2)由(1)得平面FRNG 的法向量n ⃗ =(6,√3,−3)，平面AGF 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(0,1，0)， cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=√3√36+3+9=14， 由图形知二面角A −GF −N 的平面角为钝角，∴二面角A−GF−N的余弦值为−1．4解析：本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．(1)以A为原点，直线AF，AC，AG分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能证明AM//平面GFRN．(2)求出平面FRNG的法向量和平面AGF的法向量，利用向量法能求出二面角A−GF−N的余弦值．。
2019-2020学年重庆市北碚区高一(上)11月联考数学试卷
2019-2020学年重庆市北碚区高一（上）11月联考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. sin 300∘的值为（ ） A.−12 B.12C.−√32D.√322. 下列关于向量a →，b →的叙述中，错误的是（ ） A.若a →2+b →2＝0，则a →=b →=0 B.若k ∈R ，ka →=0，所以k ＝0或a →=0 C.若a →⋅b →=0，则a →=0或b →=0D.若a →，b →都是单位向量，则a →⋅b →≤1恒成立3. 函数f(x)=tan x 1+tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C.πD.2π4. 已知a →=(1,−2),b →=(3,4)，则a →在b →方向上的投影是（ ） A.1 B.−1 C.√5 D.−√55. 将函数f(x)＝sin (2x +π6)的图象向右平移π6个单位，那么所得的图象对应的函数解析式是（ ） A.y ＝sin 2x B.y ＝cos 2x C.y ＝sin (2x +2π3) D.y ＝sin (2x −π6)6. 函数f(x)＝sin (ωx +π3)(ω>0)相邻两个对称中心的距离为π2，以下哪个区间是函数f(x)的单调减区间（ ） A.[−π3, 0] B.[0, π3]C.[π12, π2]D.[π2, 5π6]7. 已知向量a →=(4, −2)，向量b →=(x, 5)，且a → // b →，那么x 的值等于（ ） A.10 B.5 C.−52D.−108. 如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量DC →=( )A.−BC →+12BA →B.−BC →−12BA →C.BC →−12BA →D.BC →+12BA →9. 设a =12cos 6∘−√32sin 6∘，b =2tan 131+tan 213，c =√1−cos 502，则有（ ）A.a >b >cB.a <b <cC.b <c <aD.a <c <b10. 若O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且4OA →+OB →+OC →=0，那么（ ） A.OD →=−AO →B.OD →=−2AO →C.OD →=2AO →D.OD →=AO →11. 已知∠α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，点P 在α的终边上，点Q(−3, −4)且tan α＝−2，则OP →与OQ →的夹角的余弦值为（ ） A.−√55B.11√525C.√55或−√55D.11√525或11√5512. 已知函数f(x)＝A sin (ωx +φ)(A >0, ω>0, |φ|<π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A.f(x)的图象关于直线x =−2π3对称B.f(x)的图象关于点(−5π12,0)对称C.将函数y =√3sin 2x −cos 2x 的图象向左平移π2个单位得到函数f(x)的图象 D.若方程f(x)＝m 在[−π2,0]上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(−2,−√3]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）设向量a →=(3, 3)，b →=(1, −1)，若(a →+λb →)⊥(a →−λb →)，则实数λ＝________．函数f(x)=sin (x +2φ)−2sin φcos (x +φ)的最大值为________．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足OC →=23OA →+13OB →，则|AC →||AB →|=________．已知P 1(x 1, y 1)，P 2(x 2, y 2)是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，∠P 1OP 2=θ（θ为钝角）．若sin (θ+π4)=35，则x 1x 2+y 1y 2的值为________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）已知向量a →与b →的夹角为θ为120∘，且|a →|＝4，|b →|＝2，求： （1）a →⋅b →；（2）(a →+b →)⋅(a →−2b →)；（3）|a →+b →|．已知tan (π4+α)=12． (Ⅰ)求tan α的值； (Ⅱ)求sin (2α+2π)−sin 2(π2−α)1−cos (π−2α)+sin 2α的值．设函数f(x)＝sin x +sin (x +π3)．(Ⅰ)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x 的集合；(Ⅱ)不画图，说明函数y ＝f(x)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到．已知a →=(cos α, sin α)，b →=(cos β, sin β)，|a →−b →|=2√55． （1）求cos (α−β)的值（2）若0<α<π2，−π2<β<0，cos β=1213，求sin α．已知向量a →=(sin ωx +cos ωx, sin ωx)，向量b →=(sin ωx −cos ωx, 2√3 cos ωx)，设函数f(x)=a →⋅b →+1(x ∈R)的图象关于直线x =π3对称，其中常数ω∈(0, 2)．（1）若x ∈[0, π2]，求f(x)的值域；（2）将函数f(x)的图象向左平移π12个单位，再向下平移1个单位，得到函数g(x)的图象，用五点法作出函数g(x)在区间[−π2, π2]上的图象．函数f(x)＝A sin (ωx +φ)(A >0, ω>0, |φ|<π2, x ∈R)的部分图象如图，M 是图象的一个最低点，图象与x 轴的一个交点坐标为(π2, 0)，与y 轴的交点坐标为(0, −√2)．（1）求A，ω，φ的值；（2）关于x的方程f(x)−m＝0在[0, 2π]上有解，求m的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年重庆市北碚区高一（上）11月联考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】C9.【答案】D10.【答案】C11.【答案】C12.【答案】D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】±3【答案】 1【答案】 13【答案】−√210三、解答题（本大题共6小题，共70分） 【答案】a →⋅b →=|a →||b →|cos θ＝4×2×cos 120∘＝−4．(a →+b →)⋅(a →−2b →)=a →2−a →⋅b →−2b →2=16+4−8＝12． |a →+b →|2=a →2+2a →⋅b →+b →2＝16−8+4＝12， ∴ |a →+b →|=√12=2√3． 【答案】（1）∵ tan (π4+α)=tan π4+tan α1−tan π4tan α=1+tan α1−tan α=12，解得tan α=−13．(2)sin (2α+2π)−sin 2(π2−α)1−cos (π−2α)+sin 2α=sin 2α−cos 2α1+cos 2α+sin 2α =2sin αcos α−cos 2α2cos 2α+sin 2α=2tan α−12+tan 2α=−1519．【答案】（1）f(x)＝sin x +12sin x +√32cos x =32sin x +√32cos x =√3sin (x +π6)，∴ 当x +π6=2kπ−π2(k ∈Z)，即x ＝2kπ−2π3(x ∈Z)时，f(x)取得最小值−√3，此时x 的取值集合为{x|x ＝2kπ−2π3(k ∈Z)}；（2）先由y ＝sin x 的图象上的所有点的纵坐标变为原来的√3倍，横坐标不变，即为y =√3sin x 的图象；再由y =√3sin x 的图象上的所有点向左平移π6个单位，得到y ＝f(x)的图象． 【答案】∵ a →=(cos α, sin α)，b →=(cos β, sin β)，|a →−b →|=√(cos α−cos β)2+(sin α−sin β)2=√2−2cos (α−β)=2√55． ∴ cos (α−β)=35．由（1）得cos (α−β)=35，∵ 0<α<π2,−π2<β<0，∴ 0<α−β<π，∴ sin (α−β)=√1−cos 2(α−β)=45，又∵ cos β=1213，∴ sin β=−√1−cos 2β=−513．∴ sin α＝sin [(α−β)+β]＝sin (α−β)cos β+cos (α−β)sin β =45⋅1213+35⋅(−513)=3365． 【答案】∵ 向量a →=(sin ωx +cos ωx, sin ωx)，向量b →=(sin ωx −cos ωx, 2√3 cos ωx)， ∴ f(x)=a →⋅b →+1＝sin 2ωx −cos 2ωx +2√3sin ωx cos ωx =√3sin 2ωx −cos 2ωx +1＝2sin (2ωx −π6)+1，∵ 图象关于直线x =π3对称，其中常数ω∈(0, 2)． ∴ 2ω⋅π3−π6=kπ+π2，k ∈z ，得ω=3k 2+1，结合ω∈(0, 2)，可得ω＝1；∴ f(x)＝2sin (2x −π6)+1，∵ x ∈[0, π2]，2x −π6∈[−π6, 5π6]，sin (2x −π6)∈[−12, 1]，∴ f(x)＝2sin (2x −π6)+1∈[0, 3]．将函数f(x)的图象向左平移π12个单位， 得y ＝2sin [2(x +π12)−π6]+1＝2sin 2x +1．再向下平移1个单位后得到函数g(x)＝2sin 2x ．列表：函数的图象为：【答案】由图可知，函数的周期T ＝4×[π2−(−π2)]＝4π，∴ 2πω=4π，ω=12；∵ 图象与x 轴的一个交点坐标为(π2, 0)，∴ A sin (12×π2+φ)＝0， ∴ sin (π4+φ)＝0，∴ π4+φ＝kπ，故φ＝kπ−π4(k ∈Z)．由|φ|<π2得，−π2<φ<π2， ∴ φ=−π4， ∴ y ＝A sin (12x −π4)．当x ＝0时，y ＝A sin (−π4)=−√2， ∴ A ＝2．综上可知，A ＝2，ω=12，φ=−π4． 由（1）可得：f(x)＝2sin (12x −π4)．当x ∈[0, 2π]时，12x −π4∈[−π4, 3π4]，可得：f(x)＝2sin (12x −π4)∈[−√22, 1]． 由f(x)−m ＝0得f(x)＝m ，要使方程f(x)−m ＝0在x ∈[0, 2π]上有两个不同的解，则f(x)＝m 在x ∈[0, 2π]上有两个不同的解，即函数f(x)和y ＝m 在x ∈[0, 2π]上有两个不同的交点，≤m<1．即√22。
重庆市北碚区等四区2020-2021学年联考八年级(上)期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年重庆市北碚区等四区联考八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36分）1．给出下列4个说法：①只有正数才有平方根；②2是4的平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④27的立方根是±3．其中，正确的有（）A．①②B．①②③C．②③D．②③④2．下列式子从左到右的变形属于因式分解的是（）A．ab﹣a2＝a（b﹣2a）B．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1C．x+1＝x（1+）D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b23．如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝100°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（）A．5B．4C．5或23D．4或224．已知实数a，b为△ABC的两边，且满足﹣4b+4＝0，第三边c＝，则第三边c上的高的值是（）A．B．C．D．5．希望中学七年级四个班的学生去阳光公园义务植树，已知在每小时内，5个女生种3棵树，3个男生种5棵树，各班学生人数如图所示，则植树最多的班级是（）A．七（1）班B．七（2）班C．七（3）班D．七（4）班6．下列计算正确的是（）A．＝2B．＝±2C．＝2D．＝±27．若4x2+kx+25＝（2x+a）2，则k+a的值可以是（）A．﹣25B．﹣15C．15D．208．如图，长方形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝10．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为（）A．2或8B．或18C．或2D．2或189．已知，如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE＝∠C，②AQ＝BQ，③BP＝2PQ，④AE+BD＝AB，其正确的个数有（）个．A．1B．2C．3D．410．如图，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．已知3a＝5，3b＝10，则3a+2b的值为（）A．﹣50B．50C．500D．﹣50012．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E为BC上两点，∠DAE＝45°，F为△ABC外一点，且FB⊥BC，F A⊥AE，则下列结论：①CE＝BF；②BD2+CE2＝DE2；③；④CE2+BE2＝2AE2，其中正确的是（）A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③二、填空题（本大题共6小题，共18分）13．如图，等边△ABC的边长为2，BD是高，延长BC到点E，使CE＝CD，则DE的长为．14．甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为．15．对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a﹣b．例如3⊗4＝2×3﹣4＝2．若x⊗y＝2，且y⊗x＝4，则x+y的值为．16．课本第78页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中有如下问题：如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的S1，S2，S3满足的数量关系是．现将△ABF向上翻折，如图②，已知S甲＝6，S乙＝5，S丙＝4，则△ABC的面积是．17．某校为了举办“庆祝建军90周年”活动，调查了本校所有学生，调查的结果如图，根据图中给出的信息，这所学校赞成举办演讲比赛的学生有人．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为三、计算题（本大题共1小题，共6分）19．（6分）计算：（1）；（2）÷（﹣2）；；（4）．（3）四、解答题（本大题共7小题，共56分）20．已知多项式A＝x2+2x+n2，多项式B＝2x2+4x+3n2+3．（1）若多项式x2+2x+n2是完全平方式，则n＝；（2）已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，该多项式的值为多少？（3）判断多项式A与B的大小关系并说明理由．21．如图，AD是△ABC的高，AD垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．（1）求证：∠B＝∠AED．（2）若DE＝1，求AB的长．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，连接AD，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．若AB＝13，BC＝10，求AF的长度．23．随着互联网的发展，同学们的学习习惯也有了改变，一些同学在做题遇到困难时，喜欢上网查找答案．针对这个问题，某校调查了部分学生对这种做法的意见（分为：赞成、无所谓、反对），并将调查结果绘制成图1和图2两个不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了多少名学生？（2）将图1补充完整；（3）求出扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计该校1500名学生中有多少名学生持“无所谓”意见．24．勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．（1）连接BI、CE，求证：△ABI≌△AEC；（2）过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N．①试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等；②请直接写出图中与正方形BCFG的面积相等的四边形．（3）由第（2）题可得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝的面积，即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝．25．请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．x2+6x+5＝x2+2•x•3+32﹣32+5＝（x+3）2﹣4，∵（x+3）2≥0∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．请根据上述方法，解答下列问题：（Ⅰ）x2+4x﹣1＝x2+2•x•2+22﹣22﹣1＝（x+a）2+b，则ab的值是；（Ⅱ）求证：无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；（Ⅲ）若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值．26．【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连结AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE．（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；（2）线段OC的最大值为．【灵活运用】（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且P A＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．【迁移拓展】（4）如图③，BC＝4，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请直接写出AC的最值．2020-2021学年重庆市北碚区等四区联考八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共36分）1．C．2．A．3．C．4．D．5．C．6．A．7．A．8．D．9．C．10．D．11．C．12．A．二、填空题（本大题共6小题，共18分）13．14．（x﹣6）（x+2）．15．6．16．S1+S2＝S3；7．17．90．18．三、计算题（本大题共1小题，共6分）19．解：（1）原式＝＝＝﹣3；（2）原式＝3﹣16÷（﹣2）＝3+8＝11；（3）原式＝＝﹣10﹣80＝﹣90；（4）原式＝＝．四、解答题（本大题共7小题，共56分）20．解：（1）∵x2+2x+n2是一个完全平方式，∴n2＝1，∴n＝±1．故答案为：1或﹣1；（2）当n＝m时m2+2m+n2＝﹣1，∴m2+2m+1+n2＝0，∴（m+1）2+n2＝0，∵（m+1）2≥0，n2≥0，∴x＝m＝﹣1，n＝0，∴x＝﹣m时，多项式x2+2x+n2的值为m2﹣2m+n2＝3；（3）B＞A．理由如下：B﹣A＝2x2+4x+3n2+3﹣（x2+2x+n2）＝x2﹣2x+2n2+3＝（x+1）2+2n2+2，∵（x+1）2≥0，2n2≥0，∴（x+1）2+2n2+2＞0，∴B＞A．21．（1）证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴EA＝ED，∵EH⊥AD，∴∠AEH＝∠DEH，∵EF⊥AD，BC⊥AD，∴EF∥BC，∴∠AEH＝∠B，∴∠B＝∠AED；（2）解：由（1）得：EF∥BC，∴∠HED＝∠EDB，∵∠AEH＝∠HED，∠AEH＝∠B，∴∠B＝∠EDB，∴BE＝DE，∴AB＝2BE＝2DE＝2×1＝2．22.解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∴BD＝5，在Rt△ABD中，AB＝13，∴，在Rt△BDF中，∠CBE＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF＝BD＝5，∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7．23．解：（1）130÷65%＝200，答：此次抽样调查中，共调查了200名学生；（2）反对的人数为：200﹣130﹣50＝20，补全的条形统计图如右图所示；（3）扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数是：×360°＝36°；（4）1500×＝375，答：该校1500名学生中有375名学生持“无所谓”意见．24．（1）证明：∵四边形ABDE、四边形ACHI是正方形，∴AB＝AE，AC＝AI，∠BAE＝∠CAI＝90°，∴∠EAC＝∠BAI，在△ABI和△AEC中，，∴△ABI≌△AEC（SAS）；（2）①证明：∵BM⊥AC，AI⊥AC，∴四边形AMNI的面积＝2△ABI的面积，同理：正方形ABDE的面积＝2△AEC的面积，又∵△ABI≌△AEC，∴四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等．②解：四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等，理由如下：连接BH，过H作HP⊥BC于P，如图所示：易证△CPH≌△ABC（AAS），四边形CMNH是矩形，∴PH＝BC，∵△BCH的面积＝CH×NH＝BC×PH，∴CH×NH＝BC2，∴四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等；（3）解：由（2）得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝正方形ACHI的面积；即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2；故答案为：正方形ACHI，AC2．25．解：（Ⅰ）∵x2+4x﹣1＝x2+2•x•2+22﹣22﹣1＝（x+2）2﹣5＝（x+a）2+b，∴a＝2，b＝﹣5，∴ab＝2×（﹣5）＝﹣10．故答案是：﹣10；（Ⅱ）证明：x2+2x+7＝x2+2x+（）2﹣（）2+7＝（x+）2+1．∵（x+）2≥0，∴x2+2x+7的最小值是1，∴无论x取何值，代数式x2+2x+7的值都是正数；（Ⅲ）2x2+kx+7＝（x）2+2•x•k+（k）2﹣（k）2+7＝（x+k）2﹣k2+7．∵（x+k）2≥0，∴（x+k）2﹣k2+7的最小值是﹣k2+7，∴﹣k2+7＝2，解得k＝±2．26．解：（1）如图①中，结论：OC＝AE，理由：∵△ABC，△BOE都是等边三角形，∴BC＝BA，BO＝BE，∠CBA＝∠OBE＝60°，∴∠CBO＝∠ABE，∴△CBO≌△ABE，∴OC＝AE．（2）在△AOE中，AE≤OE+OA，∴当E、O、A共线，∴AE的最大值为3，∴OC的最大值为3．故答案为3．（3）如图1，连接BM，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝P A＝2，BN＝AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），∴OA＝2，OB＝5，∴AB＝3，∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值（如图2中）最大值＝AB+AN，∵AN＝AP＝2，∴最大值为2+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝，∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3﹣＝2﹣，∴P（2﹣，）．（4）如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM，∵∠ABD＝∠CBM＝60°，∴∠ABC＝∠DBM，∵AB＝DB，BC＝BM，∴△ABC≌△DBM，∴AC＝MD，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，∵BC＝4＝定值，∠BDC＝90°，∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值＝2+2 ，∴AC的最大值为2+2．当点A在线段BD的右侧时，同法可得AC的最小值为2﹣2．。
2020年重庆市北碚区春招数学试卷(解析版)
2020年重庆市北碚区春招数学试卷一．选择题（共12小题）1．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）A．a＞0B．b＜1C．a＜b D．a＞﹣22．如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（）A．B．C．D．3．下列计算正确的是（）A．（x3）4＝x7B．x3•x2＝x5C．x+2x＝3x2D．x﹣2＝﹣4．下列命题正确的是（）A．过线段中点的直线上任意一点到线段两端的距离相等B．垂直于线段的直线上任意一点到线段两端的距离相等C．线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等D．线段垂直平分线上的点到线段上任意两点的距离相等5．按如图所示的运算程序，能使输出m的值为1的是（）A．x＝1，y＝1B．x＝2，y＝0C．x＝1，y＝2D．x＝3，y＝2 6．估计×+÷的值应在（）A．7和8之间B．8和9之间C．9和10之间D．10和11之间7．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，P A＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（）A．1.5B．2C．D．8．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（）A．（9，6）B．（8，6）C．（6，9）D．（6，8）9．如图，为加快5G网络建设，某通信公司在一个坡度i＝1：2.4的山坡AB上建了一座信号塔CD，信号塔底端C到山脚A的距离AC＝13米，在距山脚A水平距离18米的E处，有一高度为10米的建筑物EF，在建筑物顶端F处测得信号塔顶端D的仰角为37°（信号塔及山坡的剖面和建筑物的剖面在同一平面上），则信号塔CD的高度约是（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．22.5米B．27.5米C．32.5米D．45.0米10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B、D在反比例函数y═（k＞0）的图象上，对角线AC与BD相交于坐标原点O，若点A（﹣1，2），菱形的边长为5，则k 的值是（）A．4B．8C．12D．1611．若数a使关于x 的分式方程+＝1有非负整数解，且使关于y 的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和是（）A．﹣5B．﹣3C．0D．212．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，c＞0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：x…﹣10123……p t n t0…y＝ax2+bx+c有下列结论：①b＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是0和3；③p+2t＜0；④m （am+b）≤﹣4a﹣c（m为任意实数）．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共6小题）13．计算：（3﹣π）0﹣＝．14．代数式有意义，则x的取值范围是．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，AB＝10，D是AB的中点，以点C 为圆心，CD长为半径画弧，交BC于点E，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）16．点A的坐标是A（x，y），从1、2、3这三个数中任取一个数作为x的值，再从余下的两个数中任取一个数作为y的值．则点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的概率是．17．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高，E、F分别为AB、AC边上的点，将△ABC分别沿DE、DF折叠，使点B落在DA的延长线上点M 处，点C落在点N处，连接MN，若MN∥AC，则AF的长是．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是．三．解答题（共8小题）19．（1）解方程组．（2）计算：（x+）÷．20．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是DA、BC延长线上的点，且∠ABE＝∠CDF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形EBFD是平行四边形．21．某校为提高学生体考成绩，对全校300名九年级学生进行一分种跳绳训练．为了解学生训练效果，学校体育组在九年级上学期开学初和学期末分别对九年级学生进行一分种跳绳测试，学生成绩均为整数，满分20分，大于18分为优秀．现随机抽取了同一部分学生的两次成绩进行整理、描述和分析．（成绩得分用x表示，共分成五组：A．x＜13，B.13≤x＜15，C.15≤x＜17，D.17≤x＜19，E.19≤x≤20）开学初抽取学生的成绩在D组中的数据是：17，17，17，17，17，18，18．学期末抽取学生成绩统计表学生成绩A组B组C组D组E组人数0145a 分析数据：平均数中位数众数开学初抽取学生成绩16b17学期末抽取学生成绩1818.519根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出图表中a、b的值，并补全条形统计图；（2）假设该校九年级学生都参加了两次测试，估计该校学期末成绩优秀的学生人数比开学初成绩优秀的学生人数增加了多少？（3）小莉开学初测试成绩16分，学期末测试成绩19分，根据抽查的相关数据，请选择一个合适的统计量评价小莉的训练效果．22．某数学小组对函数y1＝图象和性质进行探究．当x＝4时，y1＝0．（1）当x＝5时，求y1的值；（2）在给出的平面直角坐标系中，补全这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）进一步探究函数图象并解决问题：已知函数y2＝﹣的图象如图所示，结合函数y1的图象，直接写出不等式y1≥y2的解集．23．某商场销售A、B两种新型小家电，A型每台进价40元，售价50元，B型每台进价32元，售价40元，4月份售出A型40台，且销售这两种小家电共获利不少于800元．（1）求4月份售出B型小家电至少多少台？（2）经市场调查，5月份A型售价每降低1元，销量将增加10台；B型售价每降低1元，销量将在4月份最低销量的基础上增加15台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划5月份A、B两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利965元，则这两种小家电都应降低多少元？24．对任意一个两位数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数m为“平方和数”，若m＝a2+b2（a、b为正整数），记A（m）＝ab．例如：29＝22+52，29就是一个“平方和数”，则A（29）＝2×5＝10．（1）判断25是否是“平方和数”，若是，请计算A（25）的值；若不是，请说明理由；（2）若k是一个“平方和数”，且A（k）＝，求k的值．25．如图，一个二次函数的图象经过点A（0，1），它的顶点为B（1，3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）过点A作AC⊥AB交抛物线于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一点，当△APC 面积最大时，求点P的坐标和△APC的面积最大值．26．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为线段BO上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF交CD于点G．（1）若AB＝4，BE＝，求△CEF的面积．（2）如图2，线段FE的延长线交AB于点H，过点F作FM⊥CD于点M，求证：BH+MG ＝BE；（3）如图3，点E为射线OD上一点，线段FE的延长线交直线CD于点G，交直线AB 于点H，过点F作FM垂直直线CD于点M，请直接写出线段BH、MG、BE的数量关系．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）A．a＞0B．b＜1C．a＜b D．a＞﹣2【分析】直接利用a，b在数轴上位置进而分别分析得出答案．【解答】解：由数轴可得：a＜﹣2，故选项A错误；b＞1，故选项B错误；a＜b，故选项C正确；a＜﹣2，故选项D错误；故选：C．【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确结合数轴分析是解题关键．2．如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看有两层，底层两个正方形，上层左边一个正方形，左齐．故选：A．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．3．下列计算正确的是（）A．（x3）4＝x7B．x3•x2＝x5C．x+2x＝3x2D．x﹣2＝﹣【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；负整数指数幂a﹣p＝（a≠0），对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、（x3）4＝x12，故本选项错误；B、x3•x2＝x5，故本选项正确；C、x+2x＝3x，故本选项错误；D、x﹣2＝，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、负整数指数幂，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．4．下列命题正确的是（）A．过线段中点的直线上任意一点到线段两端的距离相等B．垂直于线段的直线上任意一点到线段两端的距离相等C．线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等D．线段垂直平分线上的点到线段上任意两点的距离相等【分析】根据线段垂直平分线的性质判断即可．【解答】解：A、线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，原命题是假命题；B、线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，原命题是假命题；C、线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，是真命题；D、线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，原命题是假命题；故选：C．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．5．按如图所示的运算程序，能使输出m的值为1的是（）A．x＝1，y＝1B．x＝2，y＝0C．x＝1，y＝2D．x＝3，y＝2【分析】根据题意一一计算即可判断．【解答】解：A、当x＝1，y＝1时，m＝x﹣y＝1﹣1＝0，不符合题意；B、当x＝2，y＝0时，m＝x﹣y＝2﹣0＝2，不符合题意；C、当x＝1，y＝2时，m＝﹣2x+y＝﹣2+2＝0，不符合题意；D、当x＝3，y＝2时，m＝x﹣y＝3﹣2＝1，符合题意．故选：D．【点评】本题考查代数式求值，有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．6．估计×+÷的值应在（）A．7和8之间B．8和9之间C．9和10之间D．10和11之间【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而利用估算无理数的大小的方法得出答案．【解答】解：×+÷＝+＝4+，∵3＜＜4，∴7＜4+＜8，∴×+÷的值应在7和8之间；故选：A．【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算无理数的范围是解题关键．7．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，P A＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC ⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（）A．1.5B．2C．D．【分析】连接OD，求出BC是⊙O的切线，根据切线长定理得出CD＝BC，根据切线的性质求出∠ODP＝90°，根据勾股定理求出PD，再根据勾股定理求出BC即可．【解答】解：连接OD，∵PC切⊙O于D，∴∠ODP＝90°，∵⊙O的半径为1，P A＝AO，AB是⊙O的直径，∴PO＝1+1＝2，PB＝1+1+1＝3，OD＝1，∴由勾股定理得：PD＝＝＝，∵BC⊥AB，AB过O，∴BC切⊙O于B，∵PC切⊙O于D，∴CD＝BC，设CD＝CB＝x，在Rt△PBC中，由勾股定理得：PC2＝PB2+BC2，即（+x）2＝32+x2，解得：x＝，即BC＝，故选：D．【点评】本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，勾股定理，切线长定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，相似比为1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E是x轴正半轴上的点，B、D是第一象限的点，BC＝2，则点D的坐标是（）A．（9，6）B．（8，6）C．（6，9）D．（6，8）【分析】根据位似变换的定义得到△ACB∽△CED，根据相似三角形的性质求出DE，根据等腰直角三角形的性质求出CE，根据△OCB∽△OED，列出比例式，代入计算得到答案．【解答】解：∵等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE关于原点O成位似关系，∴△ACB∽△CED，∵相似比为1：3，∴＝，即＝，解得，DE＝6，∵△CED为等腰直角三角形，∴CE＝DE＝6，∵BC∥DE，∴△OCB∽△OED，∴＝，即＝，解得，OC＝3，∴OE＝OC+CE＝3+6＝9，∴点D的坐标为（9，6），故选：A．【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质，掌握位似变换的两个图形是相似图形是解题的关键．9．如图，为加快5G网络建设，某通信公司在一个坡度i＝1：2.4的山坡AB上建了一座信号塔CD，信号塔底端C到山脚A的距离AC＝13米，在距山脚A水平距离18米的E处，有一高度为10米的建筑物EF，在建筑物顶端F处测得信号塔顶端D的仰角为37°（信号塔及山坡的剖面和建筑物的剖面在同一平面上），则信号塔CD的高度约是（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．22.5米B．27.5米C．32.5米D．45.0米【分析】过点F作FH⊥DC于点H，延长DC交EA于点G，可得四边形EFHG是矩形，根据AB的坡度i＝1：2.4，AC＝13，可得CG＝5，AG＝12，CH＝GH﹣CG＝10﹣5＝5，再根据锐角三角函数即可求出信号塔CD的高度．【解答】解：如图，过点F作FH⊥DC于点H，延长DC交EA于点G，则四边形EFHG是矩形，∴FH＝GE，CG＝EF，∵AB的坡度i＝1：2.4，AC＝13，∴CG＝5，AG＝12，∴CH＝GH﹣CG＝10﹣5＝5，∴GE＝AG+AE＝12+18＝30，∴在Rt△DCF中，∠DFC＝37°，FH＝GE＝30，∴DH＝FH•tan37°≈30×0.75≈22.5，∴CD＝DH+CH≈22.5+5≈27.5（米）．所以信号塔CD的高度约是27.5米．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题和坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B、D在反比例函数y═（k＞0）的图象上，对角线AC与BD相交于坐标原点O，若点A（﹣1，2），菱形的边长为5，则k 的值是（）A．4B．8C．12D．16【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据勾股定理得到OA＝，OD＝＝2，求得直线AC的解析式为y＝﹣2x，求得BD的解析式为y＝2x，设D（a，2a），根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵点A（﹣1，2），∴OA＝，∵菱形的边长为5，∴AD＝5，∴OD＝＝2，∵对角线AC与BD相交于坐标原点O，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x，∴BD的解析式为y＝2x，设D（a，2a），∴a2+（2a）2＝20，∴a＝2（负值舍去），∴D（2，4），∵D在反比例函数y═（k＞0）的图象上，∴k＝2×4＝8，故选：B．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．11．若数a使关于x的分式方程+＝1有非负整数解，且使关于y的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和是（）A．﹣5B．﹣3C．0D．2【分析】解出分式方程，根据题意确定a的范围，解不等式组，根据题意确定a的范围，根据分式不为0的条件得到a≠﹣2，根据题意计算即可．【解答】解：由①得y＞﹣8，由②得y≤a，∴不等式组的解集为：﹣8＜y≤a，∵关于y 的不等式组至少有3个整数解，∴a≥﹣5，解分式方程+＝1，得x ＝，∵关于x 的分式方程+＝1有非负整数解，且≠3，∴a≤4且a≠﹣2且a为偶数；∴﹣5≤a≤4且a≠﹣2且a为偶数，∴满足条件的整数a为﹣4，0，2，4，∴所有整数a的和＝﹣4+0+2+4＝2，故选：D．【点评】本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．12．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，c＞0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：x…﹣10123……p t n t0…y＝ax2+bx+c有下列结论：①b＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根是0和3；③p+2t＜0；④m （am+b）≤﹣4a﹣c（m为任意实数）．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由抛物线的对称性可求对称轴为：x ＝，可得p＝0，即x＝﹣1，x＝3是方程ax2+bx+c＝0的两个根，可判断②；当x＝0，y＝c＝t＞0，可得p+2t＝0+2t＞0，可判断③；由抛物线中在对称轴的右边，y随x的增大而减小，可得的a＜0，由对称轴x＝1可得b＝﹣2a＞0，可判断①；由x＝3，y＝0，可得c＝﹣3a，由顶点坐标为（1，n），a＜0，可得am2+bm+c≤a+b+c，可得am2+bm≤﹣4a﹣c，可判断④，即可求解．【解答】解：∵当x＝0和x＝2时，y＝t，∴对称轴为：x＝，∴当x＝3和x＝﹣1时，y的值相等，∴p＝0，∴x＝﹣1，x＝3是方程ax2+bx+c＝0的两个根，故②正确；∵当x＝0时，y＝t，且c＞0，∴t＝c＞0，∴p+2t＝0+2t＞0，故③错误；∵x＝2，y＝t＞0，x＝3，y＝0，∴在对称轴的右边，y随x的增大而减小，∴a＜0，∵x＝﹣，∴b＝﹣2a＞0，故①正确；∵当x＝3时，y＝0，∴9a+3b+c＝0，∴3a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴﹣4a﹣c＝﹣4a+3a＝﹣a，∵顶点坐标为（1，n），a＜0，∴am2+bm+c≤a+b+c，∴am2+bm≤a+b，∴am2+bm≤﹣a，∴am2+bm≤﹣4a﹣c，故④正确，故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．二．填空题（共6小题）13．计算：（3﹣π）0﹣＝﹣1．【分析】本题涉及零指数幂、三次根式化简2个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：（3﹣π）0﹣＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、三次根式等知识点的运算．14．代数式有意义，则x的取值范围是x＞4．【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，x﹣4＞0，解得，x＞4，故答案为：x＞4．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0是解题的关键．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，AB＝10，D是AB的中点，以点C 为圆心，CD长为半径画弧，交BC于点E，则图中阴影部分的面积是π．（结果保留π）【分析】利用斜边上的中线性质得到DA＝DC＝DB＝AB＝5，再计算出∠B得到∠DCB ＝40°，然后利用扇形的面积公式计算．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴DA＝DC＝DB＝AB＝5，∵∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°，∴∠DCB＝∠B＝40°，∴图中阴影部分的面积＝＝π．故答案为π．【点评】本题考查了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．16．点A的坐标是A（x，y），从1、2、3这三个数中任取一个数作为x的值，再从余下的两个数中任取一个数作为y的值．则点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的概率是．【分析】先解方程组得直线y＝﹣x+5与直线y＝x的交点坐标，画出图象，再画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出其中点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的点的个数，然后根据概率公式求解．【解答】解：解方程组得，∴直线y＝﹣x+5与直线y＝x的交点坐标为（3，2），如图，画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的点为（1，2），（1，3），（2，3），（3，2），所以点A落在直线y＝﹣x+5与直线y＝x及y轴所围成的封闭区域内（含边界）的概率＝＝．故答案为．【点评】本题考查了几何概率：某随机事件的概率＝这个随机事件所占有的面积与总面积之比，也可以计算利用长度比或体积比计算概率．也考查了树状图法．17．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高，E、F分别为AB、AC边上的点，将△ABC分别沿DE、DF折叠，使点B落在DA的延长线上点M 处，点C落在点N处，连接MN，若MN∥AC，则AF的长是．【分析】过点D作DH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求∠C＝30°，AD＝AC＝1，∠DAC＝60°，BD＝CD，由折叠的性质可得DN＝DC，DB＝DM，∠CDF＝∠NDF，可证△DMN是等边三角形，可得∠MDN＝60°，由折叠的性质可求∠HDF＝∠HFD＝45°，由直角三角形的性质可求解．【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高，∴∠C＝30°，AD＝AC＝1，∠DAC＝60°，BD＝CD，∵MN∥AC，∴∠DAC＝∠DMN＝60°，∵DH⊥AF，∴∠ADH＝30°，∴AH＝AD＝，DH＝AH＝，∵将△ABC分别沿DE、DF折叠，∴DN＝DC，DB＝DM，∠CDF＝∠NDF，∴DM＝DN，∴△DMN是等边三角形，∴∠MDN＝60°，∴∠CDN＝30°，∴∠CDF＝15°，∴∠DFH＝∠C+∠CDF＝45°，∵DH⊥AF，∴∠HDF＝∠HFD＝45°，∴DH＝HF＝，∴AF＝AH+HF＝，故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是．【分析】如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．证明△ABF≌△KBE（SAS），推出AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，解直角三角形求出EK即可解决问题．【解答】解：如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，∵∠BAK＝60°，∴∠EAK＝75°，∵∠AEK＝90°，∴∠AKE＝15°，∵TA＝TK，∴∠TAK＝∠AKT＝15°，∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET＝a，在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，∴a2+（2a+a）2＝2，∴a＝，∴EK＝2a+a＝，∴AF的最小值为．故答案为．【点评】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全球的三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．三．解答题（共8小题）19．（1）解方程组．（2）计算：（x+）÷．【分析】（1）根据加减消元法可以解答此方程组；（2）根据分式的加法和除法可以解答本题．【解答】解：（1），①+②，得4x＝12，解得，x＝3，将x＝3代入①，得y＝﹣1，故原方程组的解为；（2）（x+）÷＝＝＝＝．【点评】本题考查分式的混合运算、解二元一次方程组，解答本题的关键是明确它们各自的解答方法．20．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是DA、BC延长线上的点，且∠ABE＝∠CDF．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形EBFD是平行四边形．【分析】（1）由ASA即可得出△ABE≌△CDF；（2）由全等三角形的性质得出AE＝CF，由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，证出DE＝BF，即可得出四边形EBFD是平行四边形．【解答】证明：（1）∵四边形ABD是平行四边形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD+AE＝BC+CF，即DE＝BF，∴四边形EBFD是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．21．某校为提高学生体考成绩，对全校300名九年级学生进行一分种跳绳训练．为了解学生训练效果，学校体育组在九年级上学期开学初和学期末分别对九年级学生进行一分种跳绳测试，学生成绩均为整数，满分20分，大于18分为优秀．现随机抽取了同一部分学生的两次成绩进行整理、描述和分析．（成绩得分用x表示，共分成五组：A．x＜13，B.13≤x＜15，C.15≤x＜17，D.17≤x＜19，E.19≤x≤20）开学初抽取学生的成绩在D组中的数据是：17，17，17，17，17，18，18．学期末抽取学生成绩统计表学生成绩A组B组C组D组E组人数0145a 分析数据：平均数中位数众数开学初抽取学生成绩16b17学期末抽取学生成绩1818.519根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出图表中a、b的值，并补全条形统计图；（2）假设该校九年级学生都参加了两次测试，估计该校学期末成绩优秀的学生人数比开学初成绩优秀的学生人数增加了多少？（3）小莉开学初测试成绩16分，学期末测试成绩19分，根据抽查的相关数据，请选择一个合适的统计量评价小莉的训练效果．【分析】（1）由A的两个统计图上的数据得抽取的学生人数，再用求得的总数减去学期末抽取学生成绩统计表中A、B、C、D的人数便可得E组的人数a的值，求出开学初抽取人数中成绩由小到大位于最中间的数据或中间两个数据的平均数便为中位数b的值；（2）用总人数300乘以学期末优秀学生数的百分比与开学初优秀学生数的百分比之差，便可得该校学期末成绩优秀的学生人数比开学初成绩优秀的学生人数增加的人数；（3）可比较再次测试成绩的中位数或平均数，进而得出小莉成绩上升情况的总结．【解答】解：（1）开学初抽取的学生总数为：2＝20，∴a＝20﹣0﹣1﹣4﹣5＝10，开学初抽取学生中B组人数为：20﹣2﹣3﹣4﹣7＝4，由此可知开学初所抽取学生的成绩A、B、C组共有2+3+4＝9人，则将所抽取的20人的成绩由小到大排列，位于第10位和第11位的成绩都位于D组，∵D组中的数据是：17，17，17，17，17，18，18．∴中位数b＝＝17，补全统计图如下：（2）根据题意得，300×＝90，答：该校学期末成绩优秀的学生人数比开学初成绩优秀的学生人数增加了90人；（3）从平均数看，小莉开学初测试成绩等于开学初抽取学生成绩的平均数16分，学期末测试成绩19分高于学期末所抽取学生成绩的平均数18分，因此小莉一分钟跳绳练习达到郎的效果；从中位数来看，小莉开学初测试成绩16分低于开学初抽取学生成绩的中位数17分，学期末测试成绩19分高于学期末抽取学生成绩的中位数18，5分，因此小莉一分钟跳绳练习达到郎的效果．【点评】本题考查读条形统计图的能力，利用统计图获取信息的能力，利用统计表获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．22．某数学小组对函数y1＝图象和性质进行探究．当x＝4时，y1＝0．（1）当x＝5时，求y1的值；（2）在给出的平面直角坐标系中，补全这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）进一步探究函数图象并解决问题：已知函数y2＝﹣的图象如图所示，结合函数y1的图象，直接写出不等式y1≥y2的解集．【分析】（1）思想利用待定系数法确定b的值，再求出x＝5时，y1的值即可．（2）画出x＜2时，y＝﹣x+2的图形即可．（3）利用图象法写出y1的图象在y2的上方时x的值即可．【解答】解：（1）由题意x＝0时，y1＝0，∴16+4b+8＝0，∴b＝﹣6，∴x＝5时，y1＝25﹣6×5+8＝3．（2）函数图象如图所示：性质：x＜3时，y随x的增大而减小，x＞3时，y随x的增大而增大．（3）观察图形可知：不等式y1≥y2的解集为：x＜﹣2或x＞0．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23．某商场销售A、B两种新型小家电，A型每台进价40元，售价50元，B型每台进价32元，售价40元，4月份售出A型40台，且销售这两种小家电共获利不少于800元．（1）求4月份售出B型小家电至少多少台？（2）经市场调查，5月份A型售价每降低1元，销量将增加10台；B型售价每降低1元，销量将在4月份最低销量的基础上增加15台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计划5月份A、B两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利965元，则这两种小家电都应降低多少元？【分析】（1）设4月份售出B型小家电x台，根据“销售这两种小家电共获利不少于800元”列出不等式并解答；（2）设两种型号的小家电都降价y元，根据“销售利润＝（售价﹣进价）×销售数量”列出方程并解答．【解答】解：（1）设4月份售出B型小家电x台，根据题意，得（50﹣40）×40﹣（40﹣32）x≥800．解得x≥50．答：4月份售出B型小家电至少50台；（2）设两种型号的小家电都降价y元，根据题意得：（50﹣y﹣40）（40+10y）+（40﹣y﹣32）（50+15y）＝965．整理，得5y2﹣26y+33＝0．解得y1＝3，y2＝2.2．为了让消费者得到更多的实惠，所以y＝3符合题意．答：两种型号的小家电都降价3元．【点评】本题考查一元一次不等式和一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．24．对任意一个两位数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数m为“平方和数”，若m＝a2+b2（a、b为正整数），记A（m）＝ab．例如：29＝22+52，29就是一个“平方和数”，则A（29）＝2×5＝10．。
【数学】重庆市北碚区2020届高三上学期第一次诊断性模拟 数学试题
绝密★启用前（2020年1月15日15：00-17：00）北碚区高2020届普通高等学校招生第一次诊断性考试数学考试时间：120分钟；分数：150分注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题1.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点A. 横坐标伸长到原的2倍纵坐标不变，再向左平行移动个单位长度B. 横坐标伸长到原的2倍纵坐标不变，再向右平行移动个单位长度C. 横坐标缩短到原的纵坐标不变，再向右平行移动个单位长度D. 横坐标缩短到原的纵坐标不变，再向左平行移动个单位长度2.已知集合，，则B的子集个数为A. 3B. 4C. 7D. 83.已知角的终边经过点，则的值等于A. B. C. D.4.函数的零点个数为A. 0B. 1C. 2D. 35.若在区间上递减，则a的取值范围为A. B. C. D.6.若，是第三象限的角，则A. B. C. 2 D.7.已知函数为自然对数的底数，若在上恒成立，则实数m的取值范围是A. B. C. D.8.非零向量，满足；，，则与夹角的大小为A. B. C. D.9.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点．在中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在内任取一点M，则点M落在内的概率为A. B. C. D.10.在中，，，点D，E分别是边AB，AC上的点，且，记，四边形BCED的面积分别为，，则的最大值为A. B. C. D.11.设是定义在R上的函数，其导函数为，若1'/>，，则不等式其中e为自然对数的底数的解集为A. B.C. D.12.已知是边长为2的正三角形，点P为平面内一点，且，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题13.已知实数，，是与的等比中项，则的最小值是______．14.已知函数，关于的方程有四个不同的实数解，则的取值范围为______．15.如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，，，，则______．16.已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面平面ABC，，，，则三棱锥外接球的表面积为______．三、解答题17.等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设，，求数列的前n项和．18.如图，四棱锥的底面是矩形，平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且．求证：平面PEC；求证：平面平面PCD．19.已知直线l的参数方程为为参数，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C交于A，B两点，点，求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；求的值．20.已知函数Ⅰ求函数的单调增区间；Ⅱ将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域．21.在平面直角坐标系Oy中，已知椭圆的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．求该椭圆的方程：过点作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．22.如图所示，直角梯形ABCD中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面ABCD．Ⅰ求证：平面ABE；Ⅱ求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值；Ⅲ在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．答案1.【答案】B2.【答案】D故选D．3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】A9.【答案】B10.【答案】C11.【答案】D12.【答案】A13.【答案】14.【答案】15.【答案】16.【答案】17.【答案】解：Ⅰ设等比数列的公比为，，，成等差数列，，，化为：，，解得，又满足，，化为：，解得，；Ⅱ，，数列的前n项和，．【解析】本题考查了“裂项求和”方法、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．Ⅰ设等比数列的公比为，由，，成等差数列，可得，化为：，，解得又满足，化为：，解得，可得；Ⅱ，，利用“裂项求和”方法即可得出．18.【答案】证明：取PC的中点G，连结FG、EG，为的中位线，，．四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，，．，，四边形AEGF是平行四边形，．又平面PEC，平面PEC，平面PEC；，F是PD的中点，，平面ABCD，平面ABCD，，又因为，，AP，平面APD，平面APD，平面APD，，又，且，PD，平面PDC，平面PDC，由得，平面PDC，又平面PEC，平面平面PCD．【解析】本题主要考查了空间线面平行、面面垂直的判定，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题．取PC的中点G，连结FG、EG，又平面PEC，平面PEC，平面PEC；由得，只需证明平面PDC，即可得到平面平面PCD．19.【答案】解：直线l的参数方程为为参数，消去参数，可得直线l的普通方程，曲线C的极坐标方程为，即，所以曲线C的直角坐标方程为；直线l的参数方程改写为为参数，代入，得，设A、B对应的参数分别为，，，，则．【解析】本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题．利用三种方程的转化方法，求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程即可；直线的参数方程改写为为参数，代入，利用参数的几何意义求的值．20.【答案】解：．Ⅰ由，，解得．函数的单调增区间为，；Ⅱ将函数的图象向左平移个单位，得，再向下平移1个单位后得到函数，由，得，，则函数的值域为【解析】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查型函数的图象和性质，属中档题．利用倍角公式降幂后再由两角差的正弦公式化简．Ⅰ由相位在正弦函数的增区间内求得的取值范围，可得函数的单调增区间；Ⅱ由函数的伸缩和平移变换求得的解析式，结合的范围求得相位的范围，进一步求得函数的值域．21.【答案】解：由题意可知：椭圆，焦点在轴上，，，椭圆的离心率，则，，则椭圆的标准方程：；证明：设，，，当斜率不存在时，与椭圆只有一个交点，不合题意．由题意PQ的方程：，则联立方程整理得：，由韦达定理可知：，，则，则，由 1，，直线AP，AQ的斜率之和为定值1．【解析】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆位置关系，韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．由题意可知，，离心率，求得，则，即可求得椭圆的方程；则直线PQ的方程：，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的斜率之和为定值．22.【答案】解：Ⅰ证明：四边形EDCF为矩形，，平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD．由题意，以D为原点，DA所在直线为轴，DE所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：则0，，2，，0，，2，，，2，，设平面ABE的法向量为y，，，令，则，所以平面ABE的法向量为0，，又2，，，；又平面ABE，平面ABE；Ⅱ，，，0，，设平面BEF的法向量为b，，令，则，则平面BEF的法向量为，设平面ABE与平面EFB所成锐二面角为，，平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值是；Ⅲ设2，，；，，又平面ABE的法向量为0，，设直线BP与平面ABE所成角为，，，化简得，解得或；当时，，；当时，，；综上，．【解析】本题主要考查利用向量方法解决立体几何的应用问题确定平面的法向量是解题的关键，属于较难题．Ⅰ取D为原点，DA所在直线为轴，DE所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面ABE 的法向量与向量，根据证明，从而证明平面ABE；Ⅱ求平面BEF的法向量，再计算平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值；Ⅲ设，，求向量与平面ABE的法向量所成角的余弦值，列出方程解方程得的值，从而求出的值．。
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第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题1.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点A. 横坐标伸长到原的2倍纵坐标不变，再向左平行移动个单位长度B. 横坐标伸长到原的2倍纵坐标不变，再向右平行移动个单位长度C. 横坐标缩短到原的纵坐标不变，再向右平行移动个单位长度D. 横坐标缩短到原的纵坐标不变，再向左平行移动个单位长度2.已知集合，，则B的子集个数为A. 3B. 4C. 7D. 83.已知角的终边经过点，则的值等于A. B. C. D.4.函数的零点个数为A. 0B. 1C. 2D. 35.若在区间上递减，则a的取值范围为A. B. C. D.6.若，是第三象限的角，则A. B. C. 2 D.7.已知函数为自然对数的底数，若在上恒成立，则实数m的取值范围是A. B. C. D.8.非零向量，满足；，，则与夹角的大小为A. B. C. D.9.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点．在中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在内任取一点M，则点M落在内的概率为A. B. C. D.10.在中，，，点D，E分别是边AB，AC上的点，且，记，四边形BCED的面积分别为，，则的最大值为A. B. C. D.11.设是定义在R上的函数，其导函数为，若1'/>，，则不等式其中e为自然对数的底数的解集为A. B.C. D.12.已知是边长为2的正三角形，点P为平面内一点，且，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题13.已知实数，，是与的等比中项，则的最小值是______．14.已知函数，关于的方程有四个不同的实数解，则的取值范围为______．15.如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，，，，则______．16.已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面平面ABC，，，，则三棱锥外接球的表面积为______．三、解答题17.等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ设，，求数列的前n项和．18.如图，四棱锥的底面是矩形，平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且．求证：平面PEC；求证：平面平面PCD．19.已知直线l的参数方程为为参数，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C交于A，B两点，点，求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；求的值．20.已知函数Ⅰ求函数的单调增区间；Ⅱ将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域．21.在平面直角坐标系Oy中，已知椭圆的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．求该椭圆的方程：过点作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．22.如图所示，直角梯形ABCD中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面ABCD．Ⅰ求证：平面ABE；Ⅱ求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值；Ⅲ在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．答案1.【答案】B2.【答案】D故选D．3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】A9.【答案】B10.【答案】C11.【答案】D12.【答案】A13.【答案】14.【答案】15.【答案】16.【答案】17.【答案】解：Ⅰ设等比数列的公比为，，，成等差数列，，，化为：，，解得，又满足，，化为：，解得，；Ⅱ，，数列的前n项和，．【解析】本题考查了“裂项求和”方法、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．Ⅰ设等比数列的公比为，由，，成等差数列，可得，化为：，，解得又满足，化为：，解得，可得；Ⅱ，，利用“裂项求和”方法即可得出．18.【答案】证明：取PC的中点G，连结FG、EG，为的中位线，，．四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，，．，，四边形AEGF是平行四边形，．又平面PEC，平面PEC，平面PEC；，F是PD的中点，，平面ABCD，平面ABCD，，又因为，，AP，平面APD，平面APD，平面APD，，又，且，PD，平面PDC，平面PDC，由得，平面PDC，又平面PEC，平面平面PCD．【解析】本题主要考查了空间线面平行、面面垂直的判定，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题．取PC的中点G，连结FG、EG，又平面PEC，平面PEC，平面PEC；由得，只需证明平面PDC，即可得到平面平面PCD．19.【答案】解：直线l的参数方程为为参数，消去参数，可得直线l的普通方程，曲线C的极坐标方程为，即，所以曲线C的直角坐标方程为；直线l的参数方程改写为为参数，代入，得，设A、B对应的参数分别为，，，，则．【解析】本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题．利用三种方程的转化方法，求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程即可；直线的参数方程改写为为参数，代入，利用参数的几何意义求的值．20.【答案】解：．Ⅰ由，，解得．函数的单调增区间为，；Ⅱ将函数的图象向左平移个单位，得，再向下平移1个单位后得到函数，由，得，，则函数的值域为【解析】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查型函数的图象和性质，属中档题．利用倍角公式降幂后再由两角差的正弦公式化简．Ⅰ由相位在正弦函数的增区间内求得的取值范围，可得函数的单调增区间；Ⅱ由函数的伸缩和平移变换求得的解析式，结合的范围求得相位的范围，进一步求得函数的值域．21.【答案】解：由题意可知：椭圆，焦点在轴上，，，椭圆的离心率，则，，则椭圆的标准方程：；证明：设，，，当斜率不存在时，与椭圆只有一个交点，不合题意．由题意PQ的方程：，则联立方程整理得：，由韦达定理可知：，，则，则，由 1，，直线AP，AQ的斜率之和为定值1．【解析】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆位置关系，韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．由题意可知，，离心率，求得，则，即可求得椭圆的方程；则直线PQ的方程：，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的斜率之和为定值．22.【答案】解：Ⅰ证明：四边形EDCF为矩形，，平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD．由题意，以D为原点，DA所在直线为轴，DE所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：则0，，2，，0，，2，，，2，，设平面ABE的法向量为y，，，令，则，所以平面ABE的法向量为0，，又2，，，；又平面ABE，平面ABE；Ⅱ，，，0，，设平面BEF的法向量为b，，令，则，则平面BEF的法向量为，设平面ABE与平面EFB所成锐二面角为，，平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值是；Ⅲ设2，，；，，又平面ABE的法向量为0，，设直线BP与平面ABE所成角为，，，化简得，解得或；当时，，；当时，，；综上，．【解析】本题主要考查利用向量方法解决立体几何的应用问题确定平面的法向量是解题的关键，属于较难题．Ⅰ取D为原点，DA所在直线为轴，DE所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面ABE 的法向量与向量，根据证明，从而证明平面ABE；Ⅱ求平面BEF的法向量，再计算平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值；Ⅲ设，，求向量与平面ABE的法向量所成角的余弦值，列出方程解方程得的值，从而求出的值．。
2020-2021重庆北碚区数学水平测试试卷(含答案)下载
2020-2021重庆北碚区数学水平测试试卷（含答案）下载第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．-2的相反数是（）A．2 B．1/2 C．-1/2 D．-22．解方程5x-3=2x+2，移项正确的是（）A．5x-2x=3+2 B．5x+2x=3+2C．5x-2x=2-3 D．5x+2x=2-33．解方程移项正确的是（）A． B． C． D．4、在数轴上，与表示数－1的点的距离是2的点表示的数是（）A．1 B. 3 C. ±2 D. 1或－35．① x－2＝y；② 0.3x =1；③x2－4x=3；④ 5x= 5x －１；⑤x=6；⑥x+2y=0.其中一元一次方程的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．56．一个两位数的两个数字之和为7，则符合条件的两位数的个数是……………( ) A．8 B．7 C．6 D．57．已知2是关于x的方程3x+a=0的解．那么a的值是( )A．-6 B．-3 C．-4 D．-58．在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算时，左手伸出根手指，右手伸出根手指，两只手伸出手指数的和为，未伸出手指数的积为，则．那么在计算时，左、右手伸出的手指数应该分别为（ ）A ．2 、3B ． 2 、 1C ． 3 、2D . 1 、29、一个数的绝对值是1/9，则这个数可以是（ ） A.1/3 B.1/9 C.1/9或者-1/9 D.-1/910、小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图1的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm ，展开后按图2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm ，，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是（ ）A 、0.5cmB 、1cm C第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11. -1/7的相反数是_______；-8/9的倒数是 .12、如果a 与1互为相反数，则︱a+2︱= .13.甲乙丙三地的海拔高度分别为20米, －15米, －10米,那么最高的地方比最低的地方高 （ ）A ．5米B ．10米C ．25米D ．35米14．在下表中，我们把第i 行第j 列的数记为a i ，j （其中i ，j 都是不大于5的正整数），对于表中的每个数a i ，j ，规定如下：当i ≥j 时，a i ，j =1；当i ＜j 时，a i ，j =0．例如：当i =2，j =1时，a i ，j =a 2，1=1．则a 1，1•a i ，1+a 1，2•a i ，2+a 1，3•a i ，3+a 1，4•a i ，4+a 1，5•a i ，5= ．15．汽车开始行驶时，油箱内有油 50 升，如果每小时耗油 6 升，则油箱内剩余油量 Q （升）与行驶 时间 t （小时）的函数关系为，其中常量为 ，变量为 ．第一次折叠 第一次折叠 图 1 图 2( 第 1题图 )三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.计算：（1）13+5×（-2）-（-4）÷（-8）（2）75.0431218522-52+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛÷（3）()()3216183437513-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-（4）332475521212211324.032⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫⎝⎛-÷+--17．化简①x2+5y－4x2－3y－1 ②－(2a－3b)－(4a－5b)18.如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上．（1）过点C画直线AB的平行线（不写画法，下同）；（2）过点A画直线BC的垂线，并注明垂足．．为G；过点A画直线AB的垂线，交BC于点H．（3）线段的长度是点A到直线BC的距离；（4）线段AG、AH的大小．．关系为AG AH．(填写下列符号>,<,之一)19．小强买了张50元的乘车IC卡，如果他乘车的次数用m表示，则记录他每次乘车后的余额n（元）如下表：次数m 余额n（元）1 50﹣0.82 50﹣1.63 50﹣2.44 50﹣3.2……（1）写出乘车的次数m表示余额n的关系式．（2）利用上述关系式计算小强乘了13次车还剩下多少元？（3）小强最多能乘几次车？20．某工厂一周计划每日生产自行车100辆，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（以计划量为标准，增加的车辆数记为正数，减少的车辆数记为负数）：星期一二三四五六日增减/辆﹣1 +3 ﹣2 +4 +7 ﹣5 ﹣10（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆？（2）本周总的生产量是多少辆？21．学校会议室采用大小相同的长方形木块镶嵌地面，第一次铺2块，如图1，第二次把第一次铺的部分完全围起来，如图2，第三次把第二次铺的部分完全围起来，如图3……依次类推．如果把从开始到第n次铺完后总共用的木块数记作a n，把第n次镶嵌时用来围铺前一次木块所用的木块（即周围一圈的木块）数记作b n．则(1) a3 = ___________；b3 =____________；(2) b n = ________________________(用含n的代数式表示)(3) a99 + b100 = _______________．图1 图2 图322、（12分）水是生命之源泉，是人体需要的第一营养素，具有极为重要的生理功能。
2020年1月重庆市北碚区普通高中2020届高三上学期第一次诊断性考试数学试题(解析版)
绝密★启用前重庆市北碚区普通高中2020届高三年级上学期第一次诊断性考试数学试题 (解析版)2020年1月一、选择题1.要得到函数y x =的图象,只需将函数)4y x π=-的图象上所有的点（ ）A. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8π个单位长度 B. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4π个单位长度 C. 横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),再向右平行移动4π个单位长度D. 横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),再向左平行移动8π个单位长度 【答案】B 【解析】【详解】))424y x x πππ=-=+-,即)4y x π=+,所以要得到函数y x =的图像,先将横坐标伸长到原来的2,变为)4y x π=+；再向右平移4π个单位即可得到y x =,应选答案B ．2.已知集合{}{}0,1,|,,A B z z x y x A y A ===+∈∈,则集合B 的子集个数为（ ） A .3B. 4C. 7D. 8【答案】D 【解析】分析：先求出集合B 中的元素,从而求出其子集的个数． 详解：由题意可知,集合B={z|z=x+y,x∈A ,y∈A}={0,1,2}, 则B 的子集个数为：23=8个, 故选D ．点睛：本题考察了集合的子集个数问题,若集合有n 个元素,其子集有2n 个,真子集有2n -1个,非空真子集有2n -2个.3.已知角α的终边经过点()5,12P --,则3sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于( ) A. 513-B. 1213-C.513D.1213【答案】C 【解析】 【分析】首先求得cos α的值,然后结合诱导公式整理计算即可求得最终结果. 【详解】由三角函数的定义可得：5cos 13α==-,则32sin πα⎛⎫+⎪⎝⎭5cos 13α=-=. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查终边相同的角的三角函数定义,诱导公式及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.函数()22xf x log x =+的零点个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】画出2x y =-与2y log x =的图象(如图所示),它们有2个交点,所以函数()f x 的零。
2023年重庆市北碚区春招数学试卷(含解析)
2023年重庆市北碚区春招数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 3的相反数是( )A. −3B. −13C. 3 D. 132.如图所示的圆柱体的俯视图为( )A.B.C.D.3.一杆称在称物时的状态如图所示，已知∠1=80°，则∠2的度数是( )A. 20°B. 80°C. 100°D. 120°4. 估计(23+5)×6的值应在( )A. 7和8之间B. 6和7之间C. 5和6之间D. 4和5之间5. 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1枚棋子，第②个图案中有3枚棋子，第③个图案中有6枚棋子，第④个图案中有10枚棋子，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中棋子枚数是( )A. 10B. 15C. 21D. 286. 小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会儿报后，继续散步了一段时间，然后回家.如图描述了小明散步过程中离家的距离s(米)与散步所用时间t(分)之间的函数关系.根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的是( )A. 小明散步共走了900米B. 返回时，小明的速度逐渐减小C. 小明在公共阅报栏前看报用了16分钟D. 前20分钟小明的平均散步速度为45米/分7. 水果店花1500元进了一批水果，按50%的利润定价，无人购买.决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完.经结算，这批水果共盈利500元.若两次打折的折扣相同，设每次打x折，根据题意，下面所列方程正确的是( )A. (1500×50%)(x)2=50010B. (1500×50%)(1−x)2=50010C. 1500(1+50%)(x)2=1500+50010D. 1500(1+50%)(1−x)2=1500+500108.如图，线段AC 经过圆心O ，交⊙O 于点A 、B ，CD 是⊙O 的切线，点D 为切点.若∠ACD =30°，CD =2 3，则线段BC 的长度是( )A. 1B. 2C. 3D. 39.如图，△ABC 中，∠ACB =90°，点D 为边AB 的中点，△ADC 沿直线CD 翻折至△ABC 所在平面内得△A′DC ，AA′与CD 交于点E .若AC = 5，BC =2 5，则点A′到AB 的距离是( )A. 245 B. 125 C. 2425 D. 122510. 按顺序排列的一列数：x 1，x 2，x 3，…，x n (n 是正整数)，从第二个数x 2开始，每一个数都等于 2与它前一个数的倒数之差，即：x 2= 2−1x 1，x 3= 2−1x 2，…，则下列说法：①当x 1≠0且x 1≠22且x 1≠ 2时，x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4=−1；②若x 1=3 22，则x 1+x 2+…+x 47=18 2；③代数式x 1x 10⋅x 11⋅x 12+2x 1−1的值恒为负；④若(x 1− 2)(x 2− 2)x 7x 8=−1，则x 1=±1.其中正确的个数是( )A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11. 计算：( 2−1)0+(12)−1= ______ ．12.如图，△DEF 与△ABC 位似，点O 为位似中心，相似比为1：2.若△ABC 的面积为8，则△DEF 的面积为______ ．13. 在一个布袋里装着标号分别为1，2，3，4的4个小球，它们除标号外无其他区别，从布袋中随机摸出一个小球后不放回，摇匀再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的和是偶数的概率为______ ．14. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是等腰直角三角形，AB =BC ，点C 在反比例函数y =k x(k ≠0)的图象上，若A (0,2)，B (1,0)，则k 的值为______ ．15. 如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB =1，BD =2，以点C 为圆心，CD 的长为半径画弧，交BC 于点E ，则图中阴影部分的面积为______ .(结果保留π)16.如图，正方形ABCD 中，AB =4，点E 、F 分别在边CD 、AD 上，BE 、CF 相交于点G ，BE =CF = 17，点O 是BF 中点，则OG 的长为______ ．17. 若关于x 的一元一次不等式组{x−12−2x−13>−1x −m <0的解集是x <m ，且关于y 的分式方程m y−3+y 3−y =1的解是非负整数，则所有满足条件的整数m 的值之和为______ ．18. 对于一个四位数n ，其各个数位上的数字都不为0，若n 的千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，则称n 为“等和数”.将“等和数”n 的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换后得到一个新的“等和数”n′，记F (n )=n +n′101，G (n )=n−n′99.例如n=1342，n′=4213，F(1342)=1342+4213101=55，G(1342)=1342−421399=−29.计算F(5236)−G(5236)=______ ；当F(n)13，G(n)7均是整数时，n的最大值为______ ．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。
重庆市北碚区2020届高三上学期第一次诊断性考试数学试题 Word版含答案
绝密★启用前（2020年1月15日15：00-17：00）北碚区高2020届普通高等学校招生第一次诊断性考试数学考试时间：120分钟；分数：150分注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅰ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅰ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题1.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点A. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度B. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度C. 横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度D. 横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度2.已知集合A={0,1}，B={z|z=x+y,x∈A,y∈A}，则B的子集个数为A. 3B. 4C. 7D. 83.已知角α的终边经过点P(−5,−12)，则sin(3π2+α)的值等于A. −513B. −1213C. 513D. 12134.函数f(x)=2x+log2|x|的零点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 35.若f(x)=lg(x2−2ax+1+a)在区间(−∞,1]上递减，则a的取值范围为()A. [1,2)B. [1,2]C. [1,+∞)D. [2,+∞)6. 若cosα=−45，α是第三象限的角，则1+tanα21−tanα2=( )A. −12B. 12C. 2D. −27. 已知函数f(x)=e x x−mx(e 为自然对数的底数，若f(x)>0在(0,+∞)上恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,2)B. (−∞,e 24)C. (−∞,e)D. (e 24,+∞)8. 非零向量a⃗，b⃗满足；|a⃗−b⃗|=|a⃗|，a⃗⋅(a⃗−b⃗)=0，则a⃗−b⃗与b⃗夹角的大小为( )A. 135°B. 120°C. 60°D. 45°9. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，使得其中较长的一段AC 是全长AB 与另一段CB 的比例中项，即满足AC AB =BC AC =√5−12≈0.618.后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点．在△ABC 中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，在△ABC 内任取一点M ，则点M 落在△APQ 内的概率为( ) A. √5−12B. √5−2C. √5−14D. √5−2210. 在△ABC 中，AB =3AC =6，tanA =−√3，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且DE =3，记△ADE ，四边形BCED 的面积分别为S 1，S 2，则S 1S 2的最大值为( )A. 14B. 38C. 13D. 51211. 设f(x)是定义在R 上的函数，其导函数为，若1'/>，f(0)=2018，则不等式e x f(x)>e x +2017(其中e 为自然对数的底数的解集为( )A. (−∞,0)∪(0,+∞)B. (−∞,0)∪(2017,+∞)C. (2017,+∞)D. (0,+∞)12.已知△ABC是边长为2的正三角形，点P为平面内一点，且|CP⃗⃗⃗⃗|=√3，则PC⃗⃗⃗⃗⋅(PA⃗⃗⃗⃗+PB⃗⃗⃗⃗⃗)的取值范围是()A. [0,12]B. [0,32] C. [0,6] D. [0,3]二、填空题13.已知实数a>0，b>0，√2是8a与2b的等比中项，则1a +2b的最小值是______．14.已知函数，关于x的方程f(x)=m(m∈R)有四个不同的实数解x1,x2,x3,x4，则x1x2x3x4的取值范围为______．15.如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，∠CBA=60°，∠ABD=45°，CD⃗⃗⃗⃗⃗=x OA⃗⃗⃗⃗⃗+y BC⃗⃗⃗⃗，则x+y=______．16.已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，BC=3，PB=2√2，PC=√5，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为______．三、解答题17.等比数列{a n}的各项均为正数，2a5，a4，4a6成等差数列，且满足a4=4a32．Ⅰ求数列{a n}的通项公式；Ⅱ设b n=a n+1(1−a n)(1−a n+1)，n∈N∗，求数列{b n}的前n项和S n．18. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且PA =AD ．(1)求证：AF//平面PEC ； (2)求证：平面PEC ⊥平面PCD ．19. 已知直线l 的参数方程为{x =1+ty =3+2t (t 为参数，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ−16cosθ=0，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P(1,3)， (1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)求1|PA |+1|PB |的值．20. 已知函数f(x)=√3sin2x +2sin 2x.Ⅰ求函数f(x)的单调增区间；Ⅱ将函数f(x)的图象向左平移π12个单位，再向下平移1个单位后得到函数g(x)的图象，当x ∈[−π6,π3]时，求函数g(x)的值域．21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的焦距为2，离心率为√22，椭圆的右顶点为A ．(1)求该椭圆的方程：(2)过点D(√2,−√2)作直线PQ 交椭圆于两个不同点P ，Q ，求证：直线AP ，AQ 的斜率之和为定值．22. 如图所示，直角梯形ABCD 中，AD//BC ，AD ⊥AB ，AB =BC =2AD =2，四边形EDCF 为矩形，CF =√3，平面EDCF ⊥平面ABCD ．Ⅰ求证：DF//平面ABE；Ⅱ求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值；Ⅲ在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．的正弦值为√34答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查三角函数的诱导公式和函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．由可得解．【解答】)的图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍，解：将函数y=√2cos(2x−π4得到，再向右平行移动个单位长度，即可得到的图象．故选B．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了集合的子集个数问题，若集合有n个元素，其子集有2n个．先求出集合B中的元素，从而求出其子集的个数．【解答】解：由题意可知，集合B={z|z=x+y,x∈A,y∈A}={0,1，2}，则B的子集个数为：23=8个．故选D．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义及诱导公式，属于基础题．+α)的值．利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得sin(3π2【解答】解：∵角α的终边经过点P(−5,−12)，，则sin(3π2+α)=−cosα=−(−513)=513．故选C．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．由题意可得，本题即求函数y=−2x的图象和函数的图象的交点个数，数形结合可得结论．【解答】解：函数的零点个数，即为函数y=−2x的图象和函数的图象的交点个数．如图所示：数形结合可得，函数y=−2x的图象和函数的图象的交点个数为2，所以的零点个数为2，故选C．5.【答案】A【解析】解：令u=x2−2ax+1+a，则f(u)=lgu，配方得u=x2−2ax+1+a=(x−a)2−a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：由图象可知，当对称轴a ≥1时，u =x 2−2ax +1+a 在区间(−∞,1]上单调递减， 又真数x 2−2ax +1+a >0，二次函数u =x 2−2ax +1+a 在(−∞,1]上单调递减， 故只需当x =1时，若x 2−2ax +1+a >0， 则x ∈(−∞,1]时，真数x 2−2ax +1+a >0， 代入x =1解得a <2，所以a 的取值范围是[1,2) 故选：A ．由题意，在区间(−∞,1]上，a 的取值需令真数x 2−2ax +1+a >0，且函数u =x 2−2ax +1+a 在区间(−∞,1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．本题考查复合函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，复合函数单调性遵从同增异减的原则．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力，属于基础题． 将欲求式1+tanα21−tanα2中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同． 【解答】解：由cosα=−45，α是第三象限的角， ∴可得sinα=−35， 则1+tanα21−tanα2=cos α2+sinα2cos α2−sinα2=1+sinαcosα=1−35−45=−12，故选A ．7.【答案】B【解析】解：若f(x)>0在(0,+∞)上恒成立，则m<e xx2在(0,+∞)恒成立，令ℎ(x)=e xx2，(x>0)，ℎ′(x)=e x(x−2)x3，令ℎ′(x)>0，解得：x>2，令ℎ′(x)<0，解得：0<x<2，故ℎ(x)在(0,2)递减，在(2,+∞)递增，故ℎ(x)min=ℎ(2)=e24，故m<e24，故选：B．问题转化为m<e xx2在(0,+∞)恒成立，令ℎ(x)=exx2，(x>0)，根据函数的单调性求出m的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式．根据题意，设a⃗=OA⃗⃗⃗⃗⃗，b⃗=OB⃗⃗⃗⃗⃗，则a⃗−b⃗=OA⃗⃗⃗⃗⃗−OB⃗⃗⃗⃗⃗=BA⃗⃗⃗⃗⃗，结合题意分析可得△OAB为等腰直角三角形，结合向量夹角的定义分析可得答案．【解答】解：根据题意，设a⃗=OA⃗⃗⃗⃗⃗，b⃗=OB⃗⃗⃗⃗⃗，则a⃗−b⃗=OA⃗⃗⃗⃗⃗−OB⃗⃗⃗⃗⃗=BA⃗⃗⃗⃗⃗，若|a⃗−b⃗|=|a⃗|，a⃗⋅(a⃗−b⃗)=0，即|BA⃗⃗⃗⃗⃗|=|OA⃗⃗⃗⃗⃗|，且OA⃗⃗⃗⃗⃗⊥BA⃗⃗⃗⃗⃗，则△OAB为等腰直角三角形，则a⃗−b⃗与b⃗的夹角为180°−45°=135°，故选：A．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了阅读能力及几何概型中的面积型，属中档题． 先阅读题意，理解“黄金分割”，再结合几何概型中的面积型可得：BQ =√5−12a ，CP =√5−12a ，所以PQ =BQ +CP −BC =(√5−2)a ，S △APQ ：S △ABC =PQ ：BC =(√5−2)a ：a =√5−2，则在△ABC 内任取一点M ，则点M 落在△APQ 内的概率为S △APQS △ABC=√5−2，得解．【解答】 解：设BC =a ，由点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点， 所以BQ =√5−12a ，CP =√5−12a ， 所以PQ =BQ +CP −BC =(√5−2)a ，S △APQ ：S △ABC =PQ ：BC =(√5−2)a ：a =√5−2， 由几何概型中的面积型可得：在△ABC 内任取一点M ，则点M 落在△APQ 内的概率为，故选B ．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查三角形的面积计算，基本不等式的应用，属于中档题． 可设AD =x ，AE =y ，利用余弦定理与基本不等式求解． 【解答】解：由题意可知A =120°，S △ABC =12×2×6×sin120°=3√3． 设AD =x(0<x ≤6)，AE =y(0<y ≤2)，由余弦定理得DE 2=x 2+y 2−2xycos120°，即9=x 2+y 2+xy ， 从而9≥2xy +xy =3xy ，即xy ≤3.当且仅当x =y =√3时等号成立． ∴S 1=12xysinA =√34xy ≤3√34， ∴S 1S 2的最大值为3√343√3−3√34=13．故选：C ．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，属中档题．构造函数g(x)=e x f(x)−e x，通过求导及已知不等式可得出g(x)为递增函数，再将原不等式化为g(x)>g(0)可解得．【解答】解：令g(x)=e x f(x)−e x，则g′(x)=e x f(x)+e x f′(x)−e x=e x(f(x)+f′(x)−1)，∵f(x)+f′(x)>1，∴f(x)+f′(x)−1>0，∴g′(x)>0，g(x)在R上为单调递增函数，∵g(0)=f(0)−1=2018−1=2017∴原不等式可化为g(x)>g(0)，根据g(x)的单调性得x>0故选D．12.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量的数量积，辅助角公式，三角函数图像与性质，考查数形结合的数学思想，化归与转化思想，属于中档题．根据要求画出草图，以点B为坐标原点建立直角坐标系，写出A，B，C三点的坐标；设出P的坐标，显然P在以C为圆心，半径为√3的圆上，用三角函数表示P点坐标，再写出PB ⃗⃗⃗⃗⃗,PA⃗⃗⃗⃗,PC⃗⃗⃗⃗的坐标，利用坐标运算，借助辅助角公式，三角函数图像与性质写出范围．【解答】解：如图，以点B为坐标原点建立直角坐标系，故A(1,√3)，C(2,0)，设P(x,y)，因为|CP⃗⃗⃗⃗|=√3，所以(x−2)2+y2=3，令则，，，所以PC⃗⃗⃗⃗⋅(PA⃗⃗⃗⃗+PB⃗⃗⃗⃗⃗)，因为，所以，即PC⃗⃗⃗⃗⋅(PA⃗⃗⃗⃗+PB⃗⃗⃗⃗⃗)的取值范围为[0,12]，故选A．13.【答案】5+2√6【解析】【分析】本题考查了等比数列的性质、指数运算性质、乘1法与基本不等式的性质，属于中档题．实数a>0，b>0，√2是8a与2b的等比中项，8a·2b=2，可得3a+b=1.再利用乘法与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：实数a>0，b>0，√2是8a与2b的等比中项，∴8a·2b=2，∴23a+b=2，解得3a+b=1，则1a +2b=(3a+b)(1a+2b)=5+ba +6ab≥5+2√ba×6ab=5+2√6，当且仅当b=√6a=√6−2，a=3−√63时取等号．故答案为：5+2√6．14.【答案】(0,1)【解析】【分析】本题考查函数零点与方程的根，考查数形结合的思想，属于中档题．作函数的图象，从而可得x3x4=1，推出x1x2的范围即可求解结果．【解答】解：作函数的图象如下，设直线y=m与f(x)的图象的从左到右的四个交点的横坐标分别为x1,x2,x3,x4，则x1<x2<0<x3<x4．结合图象可知，−log2x3=log2x4，所以x3x4=1，令−x2−2x=0得，x=0或x=−2，令−x 2−2x =1得，x =−1， 所以x 1+x 2=−2,x 1x 2<(x 1+x 22)2=1，所以x 1x 2∈(0,1)， 故x 1x 2x 3x 4∈(0,1)， 故答案为(0,1)．15.【答案】−√33【解析】【分析】本题考查向量在几何中的应用，利用已知向量表示所求向量是解题的难点，考查分析问题解决问题的能力．通过过C 作CE ⊥OB 于E ，用向量CE⃗⃗⃗⃗=√32OD⃗⃗⃗⃗⃗，求出CD⃗⃗⃗⃗⃗与OA ⃗⃗⃗⃗⃗,BC⃗⃗⃗⃗的关系，结合CD⃗⃗⃗⃗⃗=x OA⃗⃗⃗⃗⃗+y BC⃗⃗⃗⃗，即可求出x +y 的值． 【解答】 解：如图：过C 作CE ⊥OB 于E ，因为AB 是圆O 的直径，C 、D 是圆O 上的点，∠CBA =60°， 所以E 为OB 的中点，连接OD ，则CE⃗⃗⃗⃗=√32OD⃗⃗⃗⃗⃗，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗=CO ⃗⃗⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗−BC⃗⃗⃗⃗+2√3CE ⃗⃗⃗⃗，CE ⃗⃗⃗⃗=CB ⃗⃗⃗⃗+BE ⃗⃗⃗⃗⃗=−BC⃗⃗⃗⃗+12OA⃗⃗⃗⃗⃗， 所以CD⃗⃗⃗⃗⃗=OA⃗⃗⃗⃗⃗−BC⃗⃗⃗⃗+√3(−BC⃗⃗⃗⃗+12OA⃗⃗⃗⃗⃗)=(1√31)OA⃗⃗⃗⃗⃗−(1+2√3)BC⃗⃗⃗⃗又CD ⃗⃗⃗⃗⃗=x OA ⃗⃗⃗⃗⃗+y BC⃗⃗⃗⃗， x +y =(3+1)−(13)=−√33． 故答案为：−√33．16.【答案】10π【解析】【分析】本题考查了三棱锥的外接球的表面积，将空间问题转化为平面问题，利用正余弦定理是解题的关键，属于中档题．由O为△ABC外接圆的圆心，且平面PBC⊥平面ABC，过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面PBC内，可得球心O1一定在面PBC内，即球心O1也是△PBC外接圆的圆心，在△PBC中，由余弦定理、正弦定理即可得R．【解答】解：因为O为△ABC外接圆的圆心，且平面PBC⊥平面ABC，过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面PBC内，根据球的性质，球心一定在垂线l上，∵球心O1一定在面PBC内，即球心O1也是△PBC外接圆的圆心，在△PBC中，由余弦定理得cosB=PB2+BC2−PC22BP⋅BC =√22，∴sinB=√22，由正弦定理得：PCsinB =2R，解得R=√102，∴三棱锥P−ABC外接球的表面积为S=4πR2=10π，故答案为10π．17.【答案】解：Ⅰ设等比数列{a n}的公比为q>0，∵2a5，a4，4a6成等差数列，∴2a4=2a5+4a6，∴2a4=2a4(q+2q2)，化为：2q 2+q −1=0，q >0， 解得q =12，又满足a 4=4a 32，∴a 1q 3=4(a 1q 2)2，化为：1=4a 1q ，解得a 1=12，∴a n =(12)n (n ∈N ∗)；Ⅱ)b n =a n+1(1−an )(1−a n+1)=2n(2n −1)(2n+1−1)=12n −1−12n+1−1，n ∈N ∗，∴数列{b n }的前n 项和S n =(12−1−122−1)+(122−1−123−1)+⋯+(12n −1−12n+1−1) =1−12n+1−1，n ∈N ∗．【解析】本题考查了“裂项求和”方法、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．Ⅰ设等比数列{a n }的公比为q >0，由2a 5，a 4，4a 6成等差数列，可得2a 4=2a 5+4a 6，化为：2q 2+q −1=0，q >0，解得q.又满足a 4=4a 32，化为：1=4a 1q ，解得a 1，可得a n ；Ⅱ)b n =a n+1(1−a n )(1−a n+1)=2n(2n −1)(2n+1−1)=12n −1−12n+1−1，n ∈N ∗，利用“裂项求和”方法即可得出．18.【答案】证明：(1)取PC 的中点G ，连结FG 、EG ，∴FG 为△CDP 的中位线，FG//CD ，FG =12CD ． ∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， ∴AE//CD ，AE =12CD ． ∴FG =AE ，FG//AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形， ∴AF//EG ．又EG ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，∴AF//平面PEC ；(2)∵PA =AD ，F 是PD 的中点， ∴AF ⊥PD ，∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥CD ， 又因为CD ⊥AD ，AP ∩AD =A ，AP ，AD ⊂平面APD ， ∴CD ⊥平面APD ， ∵AF ⊂平面APD ， ∴CD ⊥AF ，又AF ⊥PD ，且PD ∩CD =D ， PD ，CD ⊂平面PDC ， ∴AF ⊥平面PDC ， 由(1)得EG//AF ， ∴EG ⊥平面PDC ， 又EG ⊂平面PEC ， ∴平面PEC ⊥平面PCD ．【解析】本题主要考查了空间线面平行、面面垂直的判定，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题．(1)取PC 的中点G ，连结FG 、EG ，AF//EG 又EG ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ，AF//平面PEC ；(2)由(1)得EG//AF ，只需证明AF ⊥平面PDC ，即可得到平面PEC ⊥平面PCD ．19.【答案】解：(1)直线l 的参数方程为{x =1+ty =3+2t (t 为参数，消去参数，可得直线l 的普通方程y =2x +1， 曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ−16cosθ=0， 即ρ2sin 2θ=16ρcosθ，所以曲线C 的直角坐标方程为y 2=16x ；(2)直线l 的参数方程改写为为参数，代入y 2=16x ，得，设A 、B 对应的参数分别为， ，，，则．【解析】本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题．(1)利用三种方程的转化方法，求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程即可；(2)直线的参数方程改写为为参数，代入y 2=16x ，利用参数的几何意义求1|PA|+1|PB|的值．20.【答案】解：f(x)=√3sin2x +2sin 2x=√3sin2x +1−cos2x =2(√32sin2x −12cos2x)+1=2sin(2x −π6)+1．Ⅰ由−π2+2kπ≤2x −π6≤π2+2kπ，k ∈Z ， 解得−π6+kπ≤x ≤π3+kπ,k ∈Z ．∴函数f(x)的单调增区间为[−π6+kπ,π3+kπ]，k ∈Z ；Ⅱ将函数f(x)的图象向左平移π12个单位，得y =2sin[2(x +π12)−π6]+1=2sin2x +1， 再向下平移1个单位后得到函数g(x)=2sin2x ， 由x ∈[−π6,π3]，得2x ∈[−π3,2π3]，∴sin2x ∈[−√32,1]， 则函数g(x)的值域为[−√3,2].【解析】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查y =Asin(ωx +φ)型函数的图象和性质，属中档题．利用倍角公式降幂后再由两角差的正弦公式化简．Ⅰ由相位在正弦函数的增区间内求得x 的取值范围，可得函数f(x)的单调增区间；Ⅱ由函数的伸缩和平移变换求得g(x)的解析式，结合x 的范围求得相位的范围，进一步求得函数g(x)的值域．21.【答案】解：(1)由题意可知：椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)，焦点在x 轴上，2c =2，c =1， 椭圆的离心率e =c a=√22，则a =√2，b 2=a 2−c 2=1，则椭圆的标准方程：x 22+y 2=1；(2)证明：设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，A(√2,0)，当斜率不存在时，x =√2与椭圆只有一个交点，不合题意． 由题意PQ 的方程：y =k(x −√2)−√2， 则联立方程{y =k(x −√2)−√2x 22+y 2=1, 整理得：(2k 2+1)x 2−(4√2k 2+4√2k)x +4k 2+8k +2=0， 由韦达定理可知：x 1+x 2=4√2k 2+4√2k2k 2+1，x 1x 2=4k 2+8k+22k 2+1，则y 1+y 2=k(x 1+x 2)−2√2k −2√2=−2√2−2√2k2k 2+1，则k AP +k AQ =1x−√22x −√2=1221√2(y 12x x −√2(x +x )+2，由y 1x 2+y 2x 1=[k(x 1−√2)−√2]x 2+[k(x 2−√2)−√2]x 1 =2kx 1x 2−(√2k +√2)(x 1+x 2)=−4k2k 2+1， k AP +k AQ =1221√2(y 12x x −√2(x +x )+2=−4k 2k 2+1−√2×−2√2−2√2k2k 2+14k 2+8k+22k 2+1−√2×4√2k 2+4√2k2k 2+1+2=1，∴直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1．【解析】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆位置关系，韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．(1)由题意可知2c =2，c =1，离心率e =ca ，求得a =√2，则b 2=a 2−c 2=1，即可求得椭圆的方程；(2)则直线PQ 的方程：y =k(x −√2)−√2，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP ，AQ 的斜率，即可证明直线AP ，AQ 的斜率之和为定值．22.【答案】解：Ⅰ证明：∵四边形EDCF 为矩形，∴DE ⊥CD ，∵平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF ∩平面ABCD =CD ， ∴DE ⊥平面ABCD ．由题意，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示：则A(1,0，0)，B(1,2，0)，E(0,0，√3)，F(−1,2，√3)，BE⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,−2,√3)，AB⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2，0)，设平面ABE的法向量为n⃗⃗=(x,y，z)，∴{−x−2y+√3z=02y=0,∴y=0，令z=1，则x=√3，所以平面ABE的法向量为n⃗⃗=(√3,0，1)，又DF⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,2，√3)，∴DF⃗⃗⃗⃗⃗⋅n⃗⃗=−√3+0+√3=0，∴DF⃗⃗⃗⃗⃗⊥n⃗⃗；又∵DF⊄平面ABE，∴DF//平面ABE；Ⅱ)∵BE⃗⃗⃗⃗⃗=(−1，−2，√3)，BF⃗⃗⃗⃗=(−2,0，√3)，设平面BEF的法向量为m⃗⃗⃗=(a,b，c)，∴{−a−2b+√3c=0−2a+√3c=0,令c=4，则a=2√3,b=√3，则平面BEF的法向量为m⃗⃗⃗=(2√3,√3,4)，设平面ABE与平面EFB所成锐二面角为θ，∴cosθ=|m ⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗||m⃗⃗⃗⃗|×|n⃗⃗|=√31×2=5√3131，∴平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值是5√3131；Ⅲ设DP⃗⃗⃗⃗⃗=λDF⃗⃗⃗⃗⃗=λ(−1,2，√3) =(−λ,2λ,√3λ)，λ∈[0,1]；∴P(−λ,2λ,√3λ)，BP⃗⃗⃗⃗⃗=(−λ−1,2λ−2,√3λ)，又平面ABE 的法向量为n ⃗⃗=(√3,0，1)，设直线BP 与平面ABE 所成角为α，∴sinα=|cos <BP ⃗⃗⃗⃗⃗，n ⃗⃗>|=|BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗|BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|×|n ⃗⃗|| =√3(−λ√3λ|√(−λ−1)2+(2λ−2)2+(√3λ)2×2=√34， 化简得8λ2−6λ+1=0，解得λ=12或λ=14；当λ=12时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗=(−32,−1,√32)，∴|BP ⃗⃗⃗⃗⃗|=2； 当λ=14时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗=(−54,−32,√34)，∴|BP⃗⃗⃗⃗⃗|=2； 综上，|BP⃗⃗⃗⃗⃗|=2．【解析】本题主要考查利用向量方法解决立体几何的应用问题确定平面的法向量是解题的关键，属于较难题．Ⅰ取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面ABE 的法向量n ⃗⃗与向量DF ⃗⃗⃗⃗⃗，根据DF ⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=0证明DF ⃗⃗⃗⃗⃗⊥n⃗⃗，从而证明DF//平面ABE ；Ⅱ求平面BEF 的法向量m ⃗⃗⃗，再计算平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值；Ⅲ设DP ⃗⃗⃗⃗⃗=λDF ⃗⃗⃗⃗⃗，λ∈[0,1]，求向量BP ⃗⃗⃗⃗⃗与平面ABE 的法向量n ⃗⃗所成角的余弦值，列出方程解方程得λ的值，从而求出|BP ⃗⃗⃗⃗⃗|的值．。
2020-2021学年重庆市北碚区等四区联考八年级(上)期末数学试卷
2020-2021学年重庆市北碚区等四区联考八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1．（3分）给出下列4个说法：①只有正数才有平方根；②2是4的平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④27的立方根是3±．其中，正确的有( )A ．①②B ．①②③C ．②③D ．②③④2．（3分）下列式子从左到右的变形属于因式分解的是( )A ．211(2)22ab a a b a -=- B ．241(4)1x x x x -+=-+C ．11(1)x x x +=+D ．22()()a b a b a b +-=- 3．（3分）如图，点O 在直线AB 上，过O 作射线OC ，100BOC ∠=︒，一直角三角板的直角顶点与点O 重合，边OM 与OB 重合，边ON 在直线AB 的下方．若三角板绕点O 按每秒10︒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON 恰好平分锐角AOC ∠，则t 的值为( )A ．5B ．4C ．5或23D ．4或224．（3分）已知实数a ，b 为ABC ∆21440a b b --+=，第三边5c ，则第三边c 上的高的值是( )A 554B 455C 55D 2555．（3分）希望中学七年级四个班的学生去阳光公园义务植树，已知在每小时内，5个女生种3棵树，3个男生种5棵树，各班学生人数如图所示，则植树最多的班级是( )A ．七（1）班B ．七（2）班C ．七（3）班D ．七（4）班6．（3分）下列计算正确的是( )A ．222=B ．222=±C ．242=D ．242=±7．（3分）若22425(2)x x x a ++=+，则a +的值可以是( )A ．25-B ．15-C ．15D ．208．（3分）如图，长方形ABCD 中，6AD BC ==，10AB CD ==．点E 为射线DC 上的一个动点，ADE ∆与△AD E '关于直线AE 对称，当△AD B '为直角三角形时，DE 的长为( )A ．2或8B ．83或18C ．83或2D ．2或189．（3分）已知，如图，ABC ∆是等边三角形，AE CD =，BQ AD ⊥于Q ，BE 交AD 于点P ，下列说法：①APE C ∠=∠，②AQ BQ =，③2BP PQ =，④AE BD AB +=，其正确的个数有( )个．A ．1B ．2C ．3D ．410．（3分）如图，ABC ∆是等边三角形，AQ PQ =，PR AB ⊥于点R ，PS AC ⊥于点S ，PR PS =，则下列结论：①点P 在A ∠的角平分线上； ②AS AR =； ③//QP AR ； ④BRP QSP ∆≅∆．正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．（3分）已知35a =，310b =，则23a b +的值为( )A ．50-B ．50C ．500D ．500-12．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 、E 为BC 上两点，45DAE ∠=︒，F 为ABC ∆外一点，且FB BC ⊥，FA AE ⊥，则下列结论：①CE BF =；②222BD CE DE +=；③14ADE S AD EF ∆=⋅；④2222CE BE AE +=，其中正确的是( )A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②③二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13．（3分）如图，等边ABC ∆的边长为2，BD 是高，延长BC 到点E ，使CE CD =，则DE 的长为 ．14．（3分）甲乙两人完成因式分解2x ax b ++时，甲看错了a 的值，分解的结果是(6)(2)x x +-，乙看错了b 的值，分解的结果为(8)(4)x x -+，那么2x ax b ++分解因式正确的结果为 ．15．（3分）对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：2a b a b =-⊗．例如342342=⨯-=⊗．若2x y =⊗，且4y x =⊗，则x y +的值为 ．16．（3分）课本第78页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中有如下问题：如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的1S ，2S ，3S 满足的数量关系是 ．现将ABF ∆向上翻折，如图②，已知6S =甲，5S =乙，4S =丙，则ABC ∆的面积是 ．17．（3分）某校为了举办“庆祝建军90周年”活动，调查了本校所有学生，调查的结果如图，根据图中给出的信息，这所学校赞成举办演讲比赛的学生有 人．18．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19．（6分）计算：（1）1511(2)()()()4848--++---；（2）29(4)(2)--÷-；（3）235(4)0.25(5)(4)8⨯--⨯-⨯-； （4）42(35)35-⨯-+⨯．四、解答题（本大题共7小题，共56.0分）20．已知多项式222A x x n =++，多项式222433B x x n =+++．（1）若多项式222x x n ++是完全平方式，则n = ；（2）已知x m =时，多项式222x x n ++的值为1-，则x m =-时，该多项式的值为多少？（3）判断多项式A 与B 的大小关系并说明理由．21．如图，AD 是ABC ∆的高，AD 垂直平分线分别交AB ，AC 于点E ，F ．（1）求证：12B AED ∠=∠． （2）若1DE =，求AB 的长．22．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 是BC 的中点，连接AD ，45CBE ∠=︒，BE 分别交AC ，AD 于点E 、F ．若13AB =，10BC =，求AF 的长度．23．随着互联网的发展，同学们的学习习惯也有了改变，一些同学在做题遇到困难时，喜欢上网查找答案．针对这个问题，某校调查了部分学生对这种做法的意见（分为：赞成、无所谓、反对），并将调查结果绘制成图1和图2两个不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了多少名学生？（2）将图1补充完整；（3）求出扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计该校1500名学生中有多少名学生持“无所谓”意见．24．勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图，分别以Rt ABC ∆的三边为边长，向外作正方形ABDE 、BCFG 、ACHI ．（1）连接BI 、CE ，求证：ABI AEC ∆≅∆；（2）过点B 作AC 的垂线，交AC 于点M ，交IH 于点N ．①试说明四边形AMNI 与正方形ABDE 的面积相等；②请直接写出图中与正方形BCFG 的面积相等的四边形．（3）由第（2）题可得：正方形ABDE 的面积+正方形BCFG 的面积= 的面积，即在Rt ABC ∆中，22AB BC += ．25．请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式265x x ++的最小值．222226523335(3)4x x x x x ++=+⋅⋅+-+=+-，2(3)0x +∴当3x =-时，265x x ++有最小值4-．请根据上述方法，解答下列问题：（Ⅰ）222224122221()x x x x x a b +-=+⋅⋅+--=++，则ab 的值是 ；（Ⅱ）求证：无论x 取何值，代数式2267x x ++的值都是正数；（Ⅲ）若代数式227x x ++的最小值为2，求的值．26．【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，点O 为坐标原点，O 的半径为1，点(2,0)A ．动点B 在O 上，连结AB ，作等边(ABC A ∆，B ，C 为顺时针顺序），求OC 的最大值【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB ，以OB 为边在OB 的左侧作等边三角形BOE ，连接AE ．（1）请你找出图中与OC 相等的线段，并说明理由；（2）线段OC 的最大值为 ．【灵活运用】（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2,0)，点B 的坐标为(5,0)，点P 为线段AB 外一动点，且2PA =，PM PB =，90BPM ∠=︒，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标．【迁移拓展】（4）如图③，42BC =，点D 是以BC 为直径的半圆上不同于B 、C 的一个动点，以BD 为边作等边ABD ∆，请直接写出AC 的最值．2020-2021学年重庆市北碚区等四区联考八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1．（3分）给出下列4个说法：①只有正数才有平方根；②2是4的平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④27的立方根是3±．其中，正确的有( )A ．①②B ．①②③C ．②③D ．②③④【解答】解：①只有正数才有平方根，错误，0的平方根是0；②2是4的平方根，正确；③平方根等于它本身的数只有0，正确；④27的立方根是3，故原说法错误．所以正确的有②③．故选：C ．2．（3分）下列式子从左到右的变形属于因式分解的是( )A ．211(2)22ab a a b a -=- B ．241(4)1x x x x -+=-+C ．11(1)x x x +=+D ．22()()a b a b a b +-=- 【解答】解：A ．等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；B ．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；C ．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；D ．等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意； 故选：A ．3．（3分）如图，点O 在直线AB 上，过O 作射线OC ，100BOC ∠=︒，一直角三角板的直角顶点与点O 重合，边OM 与OB 重合，边ON 在直线AB 的下方．若三角板绕点O 按每秒10︒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON 恰好平分锐角AOC ∠，则t 的值为( )A ．5B ．4C ．5或23D ．4或22【解答】解：100BOC ∠=︒，80AOC ∴∠=︒，当直线ON 恰好平分锐角AOC ∠时，如下图：1402BON AOC ∠=∠=︒， 此时，三角板旋转的角度为904050︒-︒=︒，50105t ∴=︒÷︒=；当ON 在AOC ∠的内部时，如下图：三角板旋转的角度为3609040230︒-︒-︒=︒，2301023t ∴=︒÷︒=；t ∴的值为：5或23．故选：C ．4．（3分）已知实数a ，b 为ABC ∆21440a b b --+=，第三边5c ，则第三边c 上的高的值是( )A 554B 455C 55D 255【解答】21(2)0a b --=，所以10a -=，20b -=，解得1a =，2b =；因为2222125a b +=+=，22(5)5c ==，所以222a b c +=，所以ABC ∆是直角三角形，90C ∠=︒， 设第三边c 上的高的值是h ，则ABC ∆的面积1151222h =⨯=⨯⨯， 所以25h =． 故选：D ．5．（3分）希望中学七年级四个班的学生去阳光公园义务植树，已知在每小时内，5个女生种3棵树，3个男生种5棵树，各班学生人数如图所示，则植树最多的班级是( )A ．七（1）班B ．七（2）班C ．七（3）班D ．七（4）班【解答】解：七（1）班共植树：35221843.253⨯+⨯=（棵)， 七（2）班共植树：3566218205315⨯+⨯=（棵)， 七（3）班共植树：3566713225315⨯+⨯=（棵)， 七（4）班共植树：3515214453⨯+⨯=（棵)， 6676624443.21515>>>， ∴植树最多的班级是七（3）班，故选：C ．6．（3分）下列计算正确的是( )A 222=B 222±C 242=D 242=±【解答】解：A 、222=，故原题计算正确；B 、222=，故原题计算错误；C 、244=，故原题计算错误；D 、244=，故原题计算错误；故选：A ．7．（3分）若22425(2)x x x a ++=+，则a +的值可以是( ) A ．25-B ．15-C ．15D ．20【解答】解：22425(2)x x x a ++=+， 当5a =时，20=， 当5a =-时，20=-， 故a +的值可以是：25-． 故选：A ．8．（3分）如图，长方形ABCD 中，6AD BC ==，10AB CD ==．点E 为射线DC 上的一个动点，ADE ∆与△AD E '关于直线AE 对称，当△AD B '为直角三角形时，DE 的长为()A ．2或8B ．83或18C ．83或2D ．2或18【解答】解：分两种情况讨论： ①当E 点在线段DC 上时，△ADEADE '≅∆， 90AD E D '∴∠=∠=︒，90AD B '∠=︒，180AD B AD E ''∴∠+∠=︒，B ∴、D '、E 三点共线，1122ABE S BE AD AB AD ∆'=⋅=⋅，AD AD '=， 10BE AB ∴==，22221068BD AB AD ''=-=-=， 1082DE D E '∴==-=；②当E 点在线段DC 的延长线上时，如下图，90ABD CBE ABD BAD ∠''+∠=∠''+∠''=︒， CBE BAD ∴∠=∠''，在ABD ∆''和BEC ∆中， D BCEAD BCBAD CBE ''∠=∠⎧⎪''=⎨⎪''∠=∠⎩， ()ABD BEC ASA ∴∆''≅∆，10BE AB ∴==，221068BD ''=-=，81018DE D E BD BE ''∴=''=+=+=．综上所知，2DE =或18． 故选：D ．9．（3分）已知，如图，ABC ∆是等边三角形，AE CD =，BQ AD ⊥于Q ，BE 交AD 于点P ，下列说法：①APE C ∠=∠，②AQ BQ =，③2BP PQ =，④AE BD AB +=，其正确的个数有( )个．A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】证明：ABC ∆是等边三角形， AB AC ∴=，60BAE C ∠=∠=︒，在ABE ∆和CAD ∆中， 60AB AC BAE C AE CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()ABE CAD SAS ∴∆≅∆，12∴∠=∠，231360BPQ BAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，60APE C ∴∠=∠=︒，故①正确BQ AD ⊥，90906030PBQ BPQ ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， 2BP PQ ∴=．故③正确，AC BC =．AE DC =， BD CE ∴=，AE BD AE EC AC AB ∴+=+==，故④正确，无法判断BQ AQ =，故②错误， 故选：C ．10．（3分）如图，ABC ∆是等边三角形，AQ PQ =，PR AB ⊥于点R ，PS AC ⊥于点S ，PR PS =，则下列结论：①点P 在A ∠的角平分线上； ②AS AR =； ③//QP AR ； ④BRP QSP ∆≅∆．正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：ABC ∆是等边三角形，PR AB ⊥，PS AC ⊥，且PR PS =，P ∴在A ∠的平分线上，故①正确；由①可知，PB PC =，B C ∠=∠，PS PR =， BPR CPS ∴∆≅∆， AS AR ∴=，故②正确；AQ PQ =，260PQC PAC BAC ∴∠=∠=︒=∠， //PQ AR ∴，故③正确；由③得，PQC ∆是等边三角形，PQS PCS ∴∆≅∆，又由②可知，④BRP QSP ∆≅∆，故④也正确， ①②③④都正确， 故选：D ．11．（3分）已知35a =，310b =，则23a b +的值为( ) A ．50-B ．50C ．500D ．500-【解答】解：35a =，310b =，2233(3)5100500a b a b +∴=⋅=⨯=． 故选：C ．12．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 、E 为BC 上两点，45DAE ∠=︒，F 为ABC ∆外一点，且FB BC ⊥，FA AE ⊥，则下列结论：①CE BF =；②222BD CE DE +=；③14ADE S AD EF ∆=⋅；④2222CE BE AE +=，其中正确的是( )A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②③【解答】解：①90BAC ∠=︒，FA AE ⊥，45DAE ∠=︒， 9045CAE DAE BAD BAD ∴∠=︒-∠-∠=︒-∠， 9045FAB DAE BAD BAD ∠=︒-∠-∠=︒-∠， FAB EAC ∴∠=∠， AB AC =，90BAC ∠=︒， 45ABC ACB ∴∠=∠=︒， FB BC ⊥， 45FBA ∴∠=︒， AFB AEC ∴∆≅∆， CE BF ∴=，故①正确，②：由①中证明AFB AEC ∆≅∆，AF AE ∴=，45DAE ∠=︒，FA AE ⊥， 45FAD DAE ∴∠=∠=︒，AFD AED ∴∆≅∆，连接FD ， FB CE =，2222FB BD FD DE ∴+==，故②正确，③：如图，设AD 与EF 的交点为G ， 45FAD EAD ∠=∠=︒，AF AE =，AD EF ∴⊥，2EF EG =，11112224ADE S AD EG AD EF AD EF ∆∴=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅，故③正确，④：222FB BE EF +=，CE BF =，222CE BE EF ∴+=，在RT AEF ∆中，AF AE =，222AF AE EF +=， 222EF AE ∴=，2222CE BE AE ∴+=，故④正确．故选：A ．二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13．（3分）如图，等边ABC ∆的边长为2，BD 是高，延长BC 到点E ，使CE CD =，则DE 的长为3 ．【解答】解：ABC ∆是边长为2的等边三角形，BD 是AC 边上的高， 60ACB ∴∠=︒，BD AC ⊥，BD 平分ABC ∠，1302DBE ABC ∠=∠=︒，3sin 6023BD BC ∴=⋅︒==， CD CE =， CDE E ∴∠=∠．60ACB ∠=︒，且ACB ∠为CDE ∆的外角， 60CDE E ∴∠+∠=︒， 30CDE E ∴∠=∠=︒， 30DBE DEB ∴∠=∠=︒，BD DE ∴==14．（3分）甲乙两人完成因式分解2x ax b ++时，甲看错了a 的值，分解的结果是(6)(2)x x +-，乙看错了b 的值，分解的结果为(8)(4)x x -+，那么2x ax b ++分解因式正确的结果为(6)(2)x x -+ ．【解答】解：因式分解2x ax b ++时，甲看错了a 的值，分解的结果是(6)(2)x x +-，6(2)12b ∴=⨯-=-，又乙看错了b 的值，分解的结果为(8)(4)x x -+， 844a ∴=-+=-，∴原二次三项式为2412x x --，因此，2412(6)(2)x x x x --=-+， 故答案为：(6)(2)x x -+．15．（3分）对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：2a b a b =-⊗．例如342342=⨯-=⊗．若2x y =⊗，且4y x =⊗，则x y +的值为 6 ．【解答】解：根据题中的新定义得：2224x y y x -=⎧⎨-=⎩①②，①+②得：6x y +=． 故答案为：6．16．（3分）课本第78页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中有如下问题：如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的1S ，2S ，3S 满足的数量关系是 123S S S += ．现将ABF ∆向上翻折，如图②，已知6S =甲，5S =乙，4S =丙，则ABC ∆的面积是 ．【解答】解：90ACB ∠=︒，222AC BC AB ∴+=，ACE ∆、BCD ∆、ABF ∆是等边三角形，213S AC ∴=，223S BC =，233S AB =，22212333()S S AC BC AB S +=+==， 即123S S S +=；设ABC ∆的面积为S ，图②中2个白色图形的面积分别为a 、b ，如图②所示： 123S S S +=，S a S b S a b S ∴+++=+++乙甲丙， S S S S ∴+=+乙甲丙，6547S S S S ∴=+-=+-=乙甲丙； 故答案为：123S S S +=；7．17．（3分）某校为了举办“庆祝建军90周年”活动，调查了本校所有学生，调查的结果如图，根据图中给出的信息，这所学校赞成举办演讲比赛的学生有 90 人．【解答】解：由题意可得，本次调查的人数为：16040%400÷=，则这所学校赞成举办演讲比赛的学生有：400(140%37.5%)40022.5%90⨯--=⨯=（人)， 故答案为：90．18．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为245【解答】解：如图所示：在AB 上取点F '，使AF AF '=，过点C 作CH AB ⊥，垂足为H ．在Rt ABC ∆中，依据勾股定理可知10BA =． 245AC BC CH AB ⋅==， EF CE EF EC +='+，∴当C 、E 、F '共线，且点F '与H 重合时，FE EC +的值最小，最小值为245， 故答案为：245三、计算题（本大题共1小题，共6.0分） 19．（6分）计算：（1）1511(2)()()()4848--++---；（22(4)(2)-÷-；（3）235(4)0.25(5)(4)8⨯--⨯-⨯-；（4）42(33-⨯+【解答】解：（1）原式1151(2)()4488=--+-+11222=--3=-；（2）原式316(2)=-÷- 38=+11=；（3）原式5(16)0.25(5)(64)8=⨯--⨯-⨯-1080=-- 90=-；（4）原式46=-+2=-+四、解答题（本大题共7小题，共56.0分）20．已知多项式222A x x n =++，多项式222433B x x n =+++． （1）若多项式222x x n ++是完全平方式，则n = 1或1- ；（2）已知x m =时，多项式222x x n ++的值为1-，则x m =-时，该多项式的值为多少？ （3）判断多项式A 与B 的大小关系并说明理由． 【解答】解：（1）222x x n ++是一个完全平方式，21n ∴=，1n ∴=±．故答案为：1或1-；（2）当n m =时2221m m n ++=-，22210m m n ∴+++=，22(1)0m n ∴++=，2(1)0m +，20n ，1x m ∴==-，0n =，x m ∴=-时，多项式222x x n ++的值为2223m m n -+=；（3）B A >．理由如下：222222222433(2)223(1)22B A x x n x x n x x n x n -=+++-++=-++=+++， 2(1)0x +，220n ，22(1)220x n ∴+++>，B A ∴>．21．如图，AD 是ABC ∆的高，AD 垂直平分线分别交AB ，AC 于点E ，F ．（1）求证：12B AED ∠=∠． （2）若1DE =，求AB 的长．【解答】（1）证明：EF 是AD 的垂直平分线，EA ED ∴=，EH AD ⊥，AEH DEH ∴∠=∠，EF AD ⊥，BC AD ⊥，//EF BC ∴，AEH B ∴∠=∠，12B AED ∴∠=∠； （2）解：由（1）得：//EF BC ，HED EDB ∴∠=∠，AEH HED ∠=∠，AEH B ∠=∠，B EDB ∴∠=∠，BE DE ∴=，22212AB BE DE ∴===⨯=．22．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 是BC 的中点，连接AD ，45CBE ∠=︒，BE 分别交AC ，AD 于点E 、F ．若13AB =，10BC =，求AF 的长度．【解答】解：AB AC =，AD BC ⊥，BD CD ∴=，10BC =，5BD ∴=， 在Rt ABD ∆中，13AB =， ∴222213512AD AB BD =-=-=，在Rt BDF ∆中，45CBE ∠=︒，BDF ∴∆是等腰直角三角形，5DF BD ∴==，1257AF AD DF ∴=-=-=．23．随着互联网的发展，同学们的学习习惯也有了改变，一些同学在做题遇到困难时，喜欢上网查找答案．针对这个问题，某校调查了部分学生对这种做法的意见（分为：赞成、无所谓、反对），并将调查结果绘制成图1和图2两个不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了多少名学生？（2）将图1补充完整；（3）求出扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数；（4）根据抽样调查结果，请你估计该校1500名学生中有多少名学生持“无所谓”意见．【解答】解：（1）13065%200÷=，答：此次抽样调查中，共调查了200名学生；（2）反对的人数为：2001305020--=，补全的条形统计图如右图所示；（3）扇形统计图中持“反对”意见的学生所在扇形的圆心角的度数是：2036036 200⨯︒=︒；（4）50 1500375200⨯=，答：该校1500名学生中有375名学生持“无所谓”意见．24．勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图，分别以Rt ABC∆的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．（1）连接BI、CE，求证：ABI AEC∆≅∆；（2）过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N．①试说明四边形AMNI 与正方形ABDE 的面积相等；②请直接写出图中与正方形BCFG 的面积相等的四边形．（3）由第（2）题可得：正方形ABDE 的面积+正方形BCFG 的面积=正方形ACHI 的面积，即在Rt ABC ∆中，22AB BC += ．【解答】（1）证明：四边形ABDE 、四边形ACHI 是正方形，AB AE ∴=，AC AI =，90BAE CAI ∠=∠=︒，EAC BAI ∴∠=∠，在ABI ∆和AEC ∆中，AB AE BAI EAC AI AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABI AEC SAS ∴∆≅∆；（2）①证明：BM AC ⊥，AI AC ⊥，//BM AI ∴，∴四边形AMNI 的面积2ABI =∆的面积，同理：正方形ABDE 的面积2AEC =∆的面积，又ABI AEC ∆≅∆，∴四边形AMNI 与正方形ABDE 的面积相等．②解：四边形CMNH 与正方形BCFG 的面积相等，理由如下：连接BH ，过H 作HP BC ⊥于P ，如图所示： 易证()CPH ABC AAS ∆≅∆，四边形CMNH 是矩形，PH BC ∴=，BCH ∆的面积1122CH NH BC PH =⨯=⨯，2CH NH BC ∴⨯=，∴四边形CMNH 与正方形BCFG 的面积相等；（3）解：由（2）得：正方形ABDE 的面积+正方形BCFG 的面积=正方形ACHI 的面积； 即在Rt ABC ∆中，222AB BC AC +=；故答案为：正方形ACHI ，2AC ．25．请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式265x x ++的最小值．222226523335(3)4x x x x x ++=+⋅⋅+-+=+-，2(3)0x +∴当3x =-时，265x x ++有最小值4-．请根据上述方法，解答下列问题：（Ⅰ）222224122221()x x x x x a b +-=+⋅⋅+--=++，则ab 的值是 10- ； （Ⅱ）求证：无论x 取何值，代数式2267x x ++的值都是正数；（Ⅲ）若代数式227x x ++的最小值为2，求的值．【解答】解：（Ⅰ）2222224122221(2)5()x x x x x x a b +-=+⋅⋅+--=+-=++，2a ∴=，5b =-， 2(5)10ab ∴=⨯-=-．故答案是：10-；（Ⅱ）证明：2222226726(6)(6)7(6)1x x x x x ++=++-+=+． 2(6)0x +，2267x x ∴++的最小值是1，∴无论x 取何值，代数式2267x x ++的值都是正数； （Ⅲ）2222222222127(2)22()()7(2)78x x x x x ++=+⋅⋅+-+=+-+． 22(2)0x +， 2221(2)748x ∴+-+的最小值是2178-+，21728∴-+=，解得210=±．26．【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，点O 为坐标原点，O 的半径为1，点(2,0)A ．动点B 在O 上，连结AB ，作等边(ABC A ∆，B ，C 为顺时针顺序），求OC 的最大值【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB ，以OB 为边在OB 的左侧作等边三角形BOE ，连接AE ．（1）请你找出图中与OC 相等的线段，并说明理由；（2）线段OC 的最大值为 3 ．【灵活运用】（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2,0)，点B 的坐标为(5,0)，点P 为线段AB 外一动点，且2PA =，PM PB =，90BPM ∠=︒，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标．【迁移拓展】（4）如图③，42BC =，点D 是以BC 为直径的半圆上不同于B 、C 的一个动点，以BD 为边作等边ABD ∆，请直接写出AC 的最值．【解答】解：（1）如图①中，结论：OC AE =，理由：ABC∆都是等边三角形，∆，BOE∠=∠=︒，CBA OBEBC BA∴=，BO BE=，60∴∠=∠，CBO ABE∴∆≅∆，CBO ABE∴=．OC AE+，（2）在AOE∆中，AE OE OA∴当E、O、A共线，∴的最大值为3，AE∴的最大值为3．OC故答案为3．（3）如图1，连接BM，将APM∆绕着点P顺时针旋转90︒得到PBN∆是等腰直角三角形，∆，连接AN，则APN=，∴==，BN AMPN PA2A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(5,0)，OB=，2∴=，5OA∴=，AB3∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值（如图2中）最大值AB AN=+，222AN AP ==，∴最大值为223+；如图2，过P 作PE x ⊥轴于E ，APN ∆是等腰直角三角形，2PE AE ∴==，53222OE BO AB AE ∴=--=--=-， (22P ∴-，2)．（4）如图4中，以BC 为边作等边三角形BCM ∆，60ABD CBM ∠=∠=︒，ABC DBM ∴∠=∠，AB DB =，BC BM =， ABC DBM ∴∆≅∆，AC MD ∴=，∴欲求AC 的最大值，只要求出DM 的最大值即可， 42BC =定值，90BDC ∠=︒， ∴点D 在以BC 为直径的O 上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM BC=，⊥时，DM的值最大，最大值2AC∴的最大值为当点A在线段BD的右侧时，同法可得AC的最小值为。
2020年重庆市北碚区高考数学一诊试卷
2020年重庆市北碚区高考数学一诊试卷一、选择题1．（3分）要得到函数y x =的图象，只需将函数)4y x π-的图象上所有的点( )A ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度 B ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度C ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度D ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度2．（3分）已知集合{0A =，1}，{|B z z x y ==+，x A ∈，}y A ∈，则B 的子集个数为() A ．3B ．4C ．7D ．83．（3分）已知角α的终边经过点(5,12)P --，则3sin()2πα+的值等于( ) A ．513-B ．1213-C ．513 D ．12134．（3分）函数2()2log ||x f x x =+的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．35．（3分）若2()(21)f x ln x ax a =-++在区间(,1)-∞上递减，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1，2)B ．[1，2]C ．[1，)+∞D ．[2，)+∞6．（3分）若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan2(1tan 2αα+=- ) A ．12-B ．12C ．2D ．2-7．（3分）已知函数()(xe f x mx e x =-为自然对数的底数），若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(,2)-∞B ．2(,)4e -∞C ．(,)e -∞D ．2(4e ，)+∞8．（3分）非零向量a r，b r 满足；||||a b a -=r r r ，()0a a b -=r r r g ，则a b -r r 与b r 夹角的大小为() A ．135︒B ．120︒C ．60︒D ．45︒9．（3分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，使得其中较长的一段AC 是全长AB 与另一段CB 的比例中项，即满足510.618AC BC AB AC -==≈．后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点在ABC ∆中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，在ABC ∆内任取一点M ，则点M 落在APQ ∆内的概率为( )A 51-B 52C 51-D 52-10．（3分）在ABC ∆中，36AB AC ==，tan 3A =-，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且3DE =，记ADE ∆，四边形BCED 的面积分别为1S ，2S ，则12S S 的最大值为( ) A ．14 B ．38C ．13D ．51211．（3分）设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x '+>，(0)2018f =，则不等式()2017x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为( ) A ．(-∞，0)(0⋃，)+∞ B ．(-∞，0)(2017⋃，)+∞ C ．(2017,)+∞D ．(0,)+∞12．（3分）已知ABC ∆是边长为2的正三角形，点P 为平面内一点，且||3CP =u u u r ()PC PA PB +u u u r u u u r u u u rg 的取值范围是( )A ．[0，12]B ．[0，3]2C ．[0，6]D ．[0，3]二、填空题13．（3分）已知实数0a >，0b >2是8a 与2b 的等比中项，则12a b+的最小值是 ．14．（3分）已知函数22|log |,0()2,0x x f x x x x >⎧=⎨--⎩…，关于x 的方程()()f x m m R =∈有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x 则1234x x x x的取值范围为 ．15．（3分）如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 是圆O 上的点，60CBA ∠=︒，45ABD ∠=︒，CD xOA yBC =+u u u r u u u r u u u r，则x y += ．16．（3分）已知点A 是以BC 为直径的圆O 上异于B ，C 的动点，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC ⊥平面ABC ，3BC =，22PB =，5PC =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为 ． 三、解答题17．等比数列{}n a 的各项均为正数，52a ，4a ，64a 成等差数列，且满足2434a a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11(1)(1)n n n n a b a a ++=--，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且PA AD =． （Ⅰ）求证：//AF 平面PEC ； （Ⅱ）求证：平面PEC ⊥平面PCD ．19．已知直线l 的参数方程为1(32x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点(1,3)P ，（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）求11||||PA PB +的值． 20．已知函数2()3sin 22sin f x x x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向左平移12π个单位，再向下平移1个单位后得到函数()g x 的图象，当[6x π∈-，]3π时，求函数()g x 的值域．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222(0)x y l a b a b +=>>的焦距为2，离心率为2，椭圆的右顶点为A ． （1）求该椭圆的方程：（2）过点(2D ，2)-作直线PQ 交椭圆于两个不同点P ，Q ，求证：直线AP ，AQ 的 斜率之和为定值．22．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF EDCF ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：//DF 平面ABE ；（Ⅱ）求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值．（Ⅲ）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 3，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由．2020年重庆市北碚区高考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）要得到函数y x =的图象，只需将函数)4y x π-的图象上所有的点( )A ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度 B ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度C ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度D ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度【解答】解：要得到函数)2y x x π- 的图象，只需将函数)4y x π-的图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍， 再再向右平行移动4π个单位长度，即可， 故选：B ．2．（3分）已知集合{0A =，1}，{|B z z x y ==+，x A ∈，}y A ∈，则B 的子集个数为() A ．3B ．4C ．7D ．8【解答】解：由题意可知，集合{|B z z x y ==+，x A ∈，}{0y A ∈=，1，2}， 则B 的子集个数为：328=个， 故选：D ．3．（3分）已知角α的终边经过点(5,12)P --，则3sin()2πα+的值等于( ) A ．513-B ．1213-C ．513D ．1213【解答】解：Q 角α的终边经过点(5,12)P --，则35sin()cos213παα+=-==， 故选：C ．4．（3分）函数2()2log ||x f x x =+的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：函数2()2log ||x f x x =+的零点个数，即为函数2x y =-的图象和函数log y =2||x 的图象的交点个数． 如图所示： 数形结合可得，函数2x y =-的图象和函数log y =2||x 的图象的交点个数为2， 故选：C ．5．（3分）若2()(21)f x ln x ax a =-++在区间(,1)-∞上递减，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1，2)B ．[1，2]C ．[1，)+∞D ．[2，)+∞【解答】解：2()(21)f x ln x ax a =-++Q 在区间(,1)-∞上递减， 故函数221y x ax a =-++在区间(,1)-∞上递减且0y >，1a ∴…，且1210a a -++…，求得12a 剟，则实数a 的取值范围 为[1，2]， 故选：B ．6．（3分）若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan2(1tan 2αα+=- ) A ．12-B ．12C ．2D ．2-【解答】解：由4cos 5α=-，α是第三象限的角，∴可得3sin 5α=-，则311tancossin1sin 152224cos 21tan cos sin 2225αααααααα-+++====----， 应选A ．7．（3分）已知函数()(xe f x mx e x =-为自然对数的底数），若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(,2)-∞B ．2(,)4e -∞C ．(,)e -∞D ．2(4e ，)+∞【解答】解：若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，则2xe m x <在(0,)+∞恒成立，令2()xe h x x =，(0)x >，3(2)()x e x h x x -'=， 令()0h x '>，解得：2x >， 令()0h x '<，解得：02x <<， 故()h x 在(0,2)递减，在(2,)+∞递增， 故()minh x h =（2）24e =，故24e m <，故选：B ．8．（3分）非零向量a r，b r 满足；||||a b a -=r r r ，()0a a b -=r r r g ，则a b -r r 与b r 夹角的大小为() A ．135︒B ．120︒C ．60︒D ．45︒【解答】解：根据题意，设a OA =u u u r r ，b OB =u u u r r ，则a b OA OB BA -=-=u u ur u u u r u u u r r r ，若||||a b a -=r r r ，()0a a b -=rr r g ，即||||BA OA =u u u r u u u r ，且OA BA ⊥u u u r u u u r ，则OAB ∆为等腰直角三角形，则a b -rr 与b r 的夹角为18045135︒-︒=︒， 故选：A ．9．（3分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足510.6182AC BCAB AC-==≈．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在ABC∆中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在ABC∆内任取一点M，则点M落在APQ∆内的概率为()A．51-B．52-C．51-D．52-【解答】解：设BC a=，由点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，所以51BQ a-=，51CP a-=，所以(52)PQ BQ CP BC a=+-=-，::(52):52APQ ABCS S PQ BC a a∆∆==-=-，由几何概型中的面积型可得：在ABC∆内任取一点M，则点M落在APQ∆内的概率为52APQABCSS∆∆=-，故选：B．10．（3分）在ABC∆中，36AB AC==，tan3A=-，点D，E分别是边AB，AC上的点，且3DE =，记ADE ∆，四边形BCED 的面积分别为1S ，2S ，则12S S 的最大值为( ) A ．14 B ．38C ．13D ．512【解答】解：由题意可知120A =︒，126sin120332ABC S ∆=⨯⨯⨯︒=．设(06)AD x x =<…，(02)AE y y =<…，由余弦定理得2222cos120DE x y xy =+-︒，即229x y xy =++， 从而923xy xy xy +=…，即3xy …．当且仅当3x y ==时等号成立． 11333sin 2S xy A xy ∴==…， ∴12S S 的最大值为3314333334=-． 故选：C ．11．（3分）设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x '+>，(0)2018f =，则不等式()2017x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为( ) A ．(-∞，0)(0⋃，)+∞ B ．(-∞，0)(2017⋃，)+∞ C ．(2017,)+∞D ．(0,)+∞【解答】解：令()()x x g x e f x e =-，则()()()(()()1)x x x x g x e f x e f x e e f x f x '=+'-=+'-， ()()1f x f x +'>Q ，()()10f x f x ∴+'->， ()0g x ∴'>，()g x 在R 上为单调递增函数， (0)(0)1201812017g f =-=-=Q ∴原不等式可化为()(0)g x g >，根据()g x 的单调性得0x >故选：D ．12．（3分）已知ABC ∆是边长为2的正三角形，点P 为平面内一点，且||CP =u u u r()PC PA PB +u u u r u u u r u u u rg 的取值范围是( )A ．[0，12]B ．[0，3]2C ．[0，6]D ．[0，3]【解答】解：Q ()()(2)PC PA PB PC PC CA PC CB PC PC CA CB +=+++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g 22||||||cos 66cos PC PC CA CB θθ=+⨯+⨯=+u u u r u u u r u u u r u u u r1cos 1θ-Q 剟 066cos 12θ∴+剟故选：A ． 二、填空题13．（3分）已知实数0a >，0b >8a 与2b 的等比中项，则12a b+的最小值是 5+【解答】解：实数0a >，0b >是8a 与2b 的等比中项，822a b ∴=g ，322a b +∴=，解得31a b +=．则12126(3)()555b a a b a b a b a b +=++=+++=+…，当且仅当2b =-时取等号．故答案为：5+14．（3分）已知函数22|log |,0()2,0x x f x x x x >⎧=⎨--⎩…，关于x 的方程()()f x m m R =∈有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x 则1234x x x x 的取值范围为 (0,1) ． 【解答】解：作函数22|log |,0()2,0x x f x x x x >⎧=⎨--⎩…的图象如下，结合图象可知，2324log log x x -=， 故341x x =，令220x x --=得，0x =或2x =-， 令221x x --=得，1x =-；故12(0,1)x x ∈， 故1234(0,1)x x x x ∈． 故答案为：(0,1)．15．（3分）如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 是圆O 上的点，60CBA ∠=︒，45ABD ∠=︒，CD xOA yBC =+u u u r u u u r u u u r ，则x y += 33- ．【解答】解：如图过C 作CE OB ⊥于E ，因为AB 是圆O 的直径，C 、D 是圆O 上的点，60CBA ∠=︒所以E 为OB 的中点，连结OD ，则3CE =u u u r u ur ， ∴3CD CO OD AO BC =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，12CE CB BE BC OA =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1)23CD AO BC BC OA =-+-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r(1)(133OA BC =-u u u r u u ur又CD xOA yBC =+u u u r u u u r u u u r ，3(1)(133x y +=+-+=． 故答案为：3．16．（3分）已知点A 是以BC 为直径的圆O 上异于B ，C 的动点，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC ⊥平面ABC ，3BC =，22PB =，5PC =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为 10π ．【解答】解：因为O 为ABC ∆外接圆的圆心，且平面PBC ⊥平面ABC ，过O 作面ABC 的垂线l ，则垂线l 一定在面PBC 内， 根据球的性质，球心一定在垂线l ，Q 球心1O 一定在面PBC 内，即球心1O 也是PBC ∆外接圆的圆心，在PBC ∆中，由余弦定理得2222cos 22PB BC PC B BP BC +-==g ，2sin 2B ⇒=， 由正弦定理得：2sin PCR B=，解得10R =， ∴三棱锥P ABC -外接球的表面积为2410s R ππ==，故答案为：10π．三、解答题17．等比数列{}n a 的各项均为正数，52a ，4a ，64a 成等差数列，且满足2434a a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11(1)(1)n n n n a b a a ++=--，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【解答】解：()I 设等比数列{}n a 的公比为0q >，52a Q ，4a ，64a 成等差数列，456224a a a ∴=+，24422(2)a a q q ∴=+，化为：2210q q +-=，0q >，解得12q =． 又满足2434a a =，∴322114()a q a q =，化为：114a q =，解得112a =． *1()()2n n a n N ∴=∈，． 1111211()(1)(1)(21)(21)2121n n n n n n n n n a II b a a ++++===-------，*n N ∈， ∴数列{}n b 的前n 项和2231111111()()()212121212121n n n S +=-+-+⋯+------- 11112212121n n n +++-=-=--，*n N ∈． 18．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且PA AD =． （Ⅰ）求证：//AF 平面PEC ； （Ⅱ）求证：平面PEC ⊥平面PCD ．【解答】证明：（Ⅰ）取PC 的中点G ，连结FG 、EG ，FG ∴为CDP ∆的中位线，//FG CD ，12FG CD =．Q 四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，//AE CD ∴，12AE CD =．FG AE ∴=，//FG AE ，∴四边形AEGF 是平行四边形， //AF EG ∴又EG ⊂平面PCE ，AF ⊂/平面PCE ， //AF ∴平面PCE ；（Ⅱ）PA AD =Q ．AF PD ∴⊥PA ⊥平面ABCD ，PA CD ∴⊥，又因为CD AB ⊥，AP AB A =I ，CD ∴⊥面APDCD AF ∴⊥，且PD CD D =I ，AF ∴⊥面PDC 由（Ⅰ）得//EG AF ，EG ∴⊥面PDC 又EG ⊂平面PCE ，∴平面PEC ⊥平面PCD ．19．已知直线l 的参数方程为1(32x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点(1,3)P ，（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）求11||||PA PB +的值． 【解答】解：（1）直线l 的参数方程为1(32x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数），消去参数，可得直线l 的普通方程21y x =+，曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，即22sin 16cos ρθρθ=，曲线C 的直角坐标方程为216y x =，（2）直线的参数方程改写为51253x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入216y x =，2445705t -=，125t t +=12354t t =-，121211||||||t t PA PB t t -+== 20．已知函数2()22sin f x x x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向左平移12π个单位，再向下平移1个单位后得到函数()g x 的图象，当[6x π∈-，]3π时，求函数()g x 的值域．【解答】解：21()22sin 21cos22cos2)12sin(2)126f x x x x x x x x π=++-=-+=-+． （Ⅰ）由222262k x k πππππ-+-+剟，解得,63k xk k Z ππππ-++∈剟．∴函数()f x 的单调增区间为[,]63k k ππππ-++，k Z ∈；（Ⅱ）将函数()f x 的图象向左平移12π个单位，得2sin[2()]12sin 21126y x x ππ=+-+=+．再向下平移1个单位后得到函数()2sin 2g x x =． 由[6x π∈-，]3π，得22[,]33x ππ∈-，sin 2[x ∴∈， 则函数()g x的值域为[2]．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222(0)x y l a b a b +=>>的焦距为22，椭圆的右顶点为A ． （1）求该椭圆的方程：（2）过点D作直线PQ 交椭圆于两个不同点P ，Q ，求证：直线AP ，AQ 的 斜率之和为定值．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆2222x y l a b += (0)a b >>，焦点在x 轴上，21c =，1c =，椭圆的离心率2c e a ==，则2a 2221b a c =-=， 则椭圆的标准方程：2212x y +=；（2）证明：设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，(2A 0)， 由题意PQ 的方程：(2)2y k x =-则22(2)212y k x x y ⎧=--⎪⎨+=⎪⎩，整理得：2222(21)(4242)4820k x k k x k k +-++++=，由韦达定理可知：2124242k kx x ++=212248221k k x x k ++=+，则12122222()2222ky y k x x k --+=+--=则1221121212122()222()2AP AQ y x y x y y k k x x x x x x +-++==---++，由12211221121224[(2)2][(2)2]2(22)()21ky x y x k x x k x x kx x k x x k +=+=-++=-+，2122112221212224222222()212112()24824242222121AP AQk ky x y x y y k k k k x x x x k k k kk k ---+-++++===-+++++-⨯+++， ∴直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1．22．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF EDCF ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：//DF 平面ABE ；（Ⅱ）求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值．（Ⅲ）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为3，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示；则(1A ，0，0)，(1B ，2，0)，(0E ，03)，(1F -，23)， (1BE =-u u u r ，2-3)，(0AB =u u u r，2，0)，设平面ABE 的法向量为(n x =r，y ，)z ， ∴23020x y z y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩，不妨设(3n =r0，1)， 又(1DF =-u u u r，23)，∴3030DF n =-u u u r r g ， ∴DF n ⊥u u u r r ；又DF ⊂/Q 平面ABE ，//DF ∴平面ABE ；（Ⅱ）Q (1BE =-u u u r ，2-3)，(2BF =-u u u r，03)，设平面BEF 的法向量为(m x =r，y ，)z ， ∴230230x y z x z ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩，则(23m =r，3，4)，531|cos ||||||231m n m n θ∴===⨯⨯r r g r r ， ∴平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值是531； （Ⅲ）设(1DP DF λλ==-u u u r u u u r，2，3)(λ=-，2λ，3)λ，[0λ∈，1]； (P λ∴-，2λ，3)λ，(1BP λ=--u u u r ，22λ-，3)λ， 又平面ABE 的法向量为(3n =r，0，1)， sin |cos BP θ∴=<u u u r ，|n >r||||||BP n BP n =⨯u u u r r g u u u r r 222|3(1)3|(1)(22)(3)2λλλλλ--+=--+-+⨯3=， 化简得28610λλ-+=，解得12λ=或14λ=； 当12λ=时，3(2BP =-u u u r ，1-，3)，||2BP ∴=u u u r ；当14λ=时，5(4BP =-u u u r ，32-，3)，||2BP ∴=u u u r ；综上，||2BP =u u u r．。
最近重庆北碚区数学入学试卷(含答案)
最近重庆北碚区数学入学试卷（含答案）第Ⅰ卷 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．2的相反数是A. -2 B ．2 C ．1/2 D ．-1/2 2、 －(－3)的倒数是 （ ）Ａ．3B ．－3C ．13D ．－ 133、下列各对数中，不互为相反数的是（ ） A +（－3）与 –[－（－3）] B -1/7 与1/7C －（－8）与 －|－8 |D －5．2与－[+（－5．2）]5．下面的计算正确的是 （ )(A) 022=+-yx y x (B)23522=-m m(C)4222a a a =+ (D)mn n m n m 2422=-5.下列判断错误的是 （ ）Ａ、一个正数的绝对值一定是正数； Ｂ、一个负数的绝对值一定是正数； Ｃ、任何数的绝对值一定是正数； D 、任何数的绝对值都不是负数；6. 当x= -3时，代数式3-2x 的值是 （ ）A ．－3B ．9C ．1D ．07．超市出售的某种品牌的面粉袋上，标有质量为（25±0.2）kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差…………………………………………………………（ ） A . 0.2 kg B . 0.4 kg C . 25.2 kg D . 50.4 kg8．已知m ≥2，n ≥2，且m 、n 均为正整数，如果将m n 进行如图所示的“分解”，那么下列四个叙述中正确的有………………………………（ ）①在25的“分解”中，最大的数是11．②在43的“分解”中，最小的数是13．③若m3的“分解”中最小的数是23，则m=5．④若3n的“分解”中最小的数是79，则n=5．A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，直线L1∥L2，则∠α为( )A．150°B．140°C．130°D．120°10．如图，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A，B，C内分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形内的三个数依次为（）A．1，﹣2，0 B．0，﹣2，1 C．﹣2，0，1 D．﹣2，1，0第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11、写出一个一元一次方程，使它的解为―1，方程为．12．如果a-b=3,ab=-1,则代数式3ab-a+b-2的值是_________．13．国家体育场“鸟巢”的建筑面积达258000m2，用科学记数法表示为____________ m2．14．若方程（m2＋m－2）x^m*m-4－3＝0是一元一次方程，则m的值为_______．16．将正整数从1开始，按如图所表示的规律排列．规定图中 第m 行、第n 列的位置记作(m ，n )，如正整数8的位置是(2，3)，则正整数136的位置记作 ．三、解答题 （本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16． 计算（每题4分，共12分）(1) (－4)2×(－34)＋30÷(－6)； (2)－14+(－2)2+|2－5|－6×（12－13）（3）化简求值：7a 3－3(2a 3b －a 2b －a 3)＋(6a 3b －3a 2b )－(10a 3－3c) ；其中a =3.85，b = 27 ,c=217．解方程（每小题4分，共8分）(1) 3(x －4)＝12； (2) x －x －12 ＝2－x ＋23．18.如图，所有小正方形的边长都为1，A 、B 、C 都在格点上． （1）过点C 画直线AB 的平行线（不写画法，下同）； （2）过点A 画直线BC 的垂线，并注明垂足．．为G ；过点A 画直线AB 的垂线，交BC 于点H ．（3）线段的长度是点A到直线BC的距离；（4）线段AG、AH的大小．．关系为AG AH．(填写下列符号>,<,之一)19.李师傅打算把一个长、宽、高分别为50cm，8cm，20cm的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体铁块的棱长是多少cm？20．情景：试根据图中信息，解答下列问题：（1）购买6根跳绳需元，购买12 根跳绳需元．小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元，你认为有这种可能吗？若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有请说明理由．21．某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）．月使用费/元主叫限定时间/分主叫超时费/（元/分）被叫方式一58 150 0.25 免费方式二88 350 0.19 免费设一个月内使用移动电话主叫的时间为t分（t为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：（Ⅰ）用含有t的式子填写下表：t≤150 150＜t＜350 t=350 T＞350方式一计费/元58 108方式二计费/元88 88 88（Ⅱ）当t为何值时，两种计费方式的费用相等？（Ⅲ）当330＜t＜360时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）．22．上海股民杨先生上星期五交易结束时买进某公司股票1000股，每股50元，下表为本周内每日该股的涨跌情况（星期六、日股市休市）。
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的长是
．
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18．（4 分）（2020•北碚区自主招生）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＝2，∠ABC＝45
°，点 E 为射线 AD 上一动点，连接 BE，将 BE 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BF，连接
AF，则 AF 的最小值是
．
三.解答题：（本大题 7 个小题，每小题 10 分，共 70 分）解答时每小题必须给出必要的演 算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应
a
分析数据：
平均数
中位数
众数
开学初抽取学生成绩
16
b
17
学期末抽取学生成绩
18
18.5
19
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出图表中 a、b 的值，并补全条形统计图；
（2）假设该校九年级学生都参加了两次测试，估计该校学期末成绩优秀的学生人数比开
学初成绩优秀的学生人数增加了多少？
（3）小莉开学初测试成绩 16 分，学期末测试成绩 19 分，根据抽查的相关数据，请选择
的位置上．
19．（10 分）（2020•北碚区自主招生）（1）解方程组
．
（2）计算：（x+ ）÷
．
20．（10 分）（2020•北碚区自主招生）如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 DA、 BC 延长线上的点，且∠ABE＝∠CDF． 求证：（1）△ABE≌△CDF； （2）四边形 EBFD 是平行四边形．
A．4
B．8
C．12
D．16
11．（4 分）（2020•北碚区自主招生）若数 a 使关于 x 的分式方程 + ＝1 有非负整
数解，且使关于 y 的不等式组
至少有 3 个整数解，则符合条件的
所有整数 a 的和是（ ）
A．﹣5
B．﹣3
C．0
D．2
12．（4 分）（2020•北碚区自主招生）二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0，c＞0）
在距山脚 A 水平距离 18 米的 E 处，有一高度为 10 米的建筑物 EF，在建筑物顶端 F 处
测得信号塔顶端 D 的仰角为 37°（信号塔及山坡的剖面和建筑物的剖面在同一平面上），
则信号塔 CD 的高度约是（ ）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈
0.75）
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A．22.5 米
B．27.5 米
C．32.5 米
D．45.0 米
10．（4 分）（2020•北碚区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 B、
D 在反比例函数 y═ （k＞0）的图象上，对角线 AC 与 BD 相交于坐标原点 O，若点 A
（﹣1，2），菱形的边长为 5，则 k 的值是（ ）
一个合适的统计量评价小莉的训练效果．
22．（10 分）（2020•北碚区自主招生）某数学小组对函数 y1＝
图象和性
质进行探究．当 x＝4 时，y1＝0． （1）当 x＝5 时，求 y1 的值； （2）在给出的平面直角坐标系中，补全这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质； （3）进一步探究函数图象并解决问题：已知函数 y2＝﹣ 的图象如图所示，结合函数 y1
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题：（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将每小题的答案直接填在答题
卡中对应的橫线上．
13．（4 分）（2020•北碚区自主招生）计算：（3﹣π）0﹣ ＝
．
14．（4 分）（2020•北碚区自主招生）代数式
有意义，则 x 的取值范围是
．
15．（4 分）（2020•北碚区自主招生）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝50°， AB＝10，D 是 AB 的中点，以点 C 为圆心，CD 长为半径画弧，交 BC 于点 E，则图中阴
24．（10 分）（2020•北碚区自主招生）对任意一个两位数 m，如果 m 等于两个正整数的平 方和，那么称这个两位数 m 为“平方和数”，若 m＝a2+b2（a、b 为正整数），记 A（m） ＝ab．例如：29＝22+52，29 就是一个“平方和数”，则 A（29）＝2×5＝10． （1）判断 25 是否是“平方和数”，若是，请计算 A（25）的值；若不是，请说明理由； （2）若 k 是一个“平方和数”，且 A（k）＝ ，求 k 的值．
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C、x+2x＝3x，故本选项错误； D、x﹣2＝ ，故本选项错误；
故选：B． 4．（4 分）（2020•北碚区自主招生）下列命题正确的是（ ）
第 5 页（共 32 页）
用 x 表示，共分成五组：A．x＜13，B.13≤x＜15，C.15≤x＜17，D.17≤x＜19，E.19≤x ≤20） 开学初抽取学生的成绩在 D 组中的数据是：17，17，17，17，17，18，18．
学期末抽取学生成绩统计表
学生成绩
A组
B组
C组
D组
E组
人数
0
1
4
5
的图象，直接写出不等式 y1≥y2 的解集．
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23．（10 分）（2020•北碚区自主招生）某商场销售 A、B 两种新型小家电，A 型每台进价 40 元，售价 50 元，B 型每台进价 32 元，售价 40 元，4 月份售出 A 型 40 台，且销售这 两种小家电共获利不少于 800 元． （1）求 4 月份售出 B 型小家电至少多少台？ （2）经市场调查，5 月份 A 型售价每降低 1 元，销量将增加 10 台；B 型售价每降低 1 元，销量将在 4 月份最低销量的基础上增加 15 台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计 划 5 月份 A、B 两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利 965 元，则 这两种小家电都应降低多少元？
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2020 年重庆市北碚区春招数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了 代号为 A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答 案所对应的方框浍黑． 1．（4 分）（2020•北碚区自主招生）实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判
．
17．（4 分）（2020•北碚区自主招生）如图，在等腰△ABC 中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，
AD 为 BC 边上的高，E、F 分别为 AB、AC 边上的点，将△ABC 分别沿 DE、DF 折叠，
使点 B 落在 DA 的延长线上点 M 处，点 C 落在点 N 处，连接 MN，若 MN∥AC，则 AF
断正确的是（ ）
A．a＞0
B．b＜1
C．a＜bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D．a＞﹣2
2．（4 分）（2020•北碚区自主招生）如图是由 4 个相同的小正方体组成的一个立体图形，
其主视图是（ ）
A．
B．
C．
3．（4 分）（2020•北碚区自主招生）下列计算正确的是（ ）
A．（x3）4＝x7
B．x3•x2＝x5
C．x+2x＝3x2
＝AO，PD 与⊙O 相切于点 D，BC⊥AB 交 PD 的延长线于点 C，若⊙O 的半径为 1，则 BC 的长是（ ）
A．1.5
B．2
C．
D．
8．（4 分）（2020•北碚区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，等腰 Rt△ABC 与等腰 Rt
△CDE 关于原点 O 成位似关系，相似比为 1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E 是 x
的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y＝
…
p
t
n
t
0
…
ax2+bx+c
有下列结论：①b＞0；②关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0 的两个根是 0 和 3；③p+2t＜0；
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④m（am+b）≤﹣4a﹣c（m 为任意实数）．其中正确结论的个数是（ ）
21．（10 分）（2020•北碚区自主招生）某校为提高学生体考成绩，对全校 300 名九年级学 生进行一分种跳绳训练．为了解学生训练效果，学校体育组在九年级上学期开学初和学 期末分别对九年级学生进行一分钟跳绳测试，学生成绩均为整数，满分 20 分，大于 18 分为优秀．现随机抽取了同一部分学生的两次成绩进行整理、描述和分析．（成绩得分
D． D．x﹣2＝﹣
4．（4 分）（2020•北碚区自主招生）下列命题正确的是（ ） A．过线段中点的直线上任意一点到线段两端的距离相等 B．垂直于线段的直线上任意一点到线段两端的距离相等 C．线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等 D．线段垂直平分线上的点到线段上任意两点的距离相等
5．（4 分）（2020•北碚区自主招生）按如图所示的运算程序，能使输出 m 的值为 1 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：从正面看有两层，底层两个正方形，上层左边一个正方形，左齐．
故选：A．
3．（4 分）（2020•北碚区自主招生）下列计算正确的是（ ）
A．（x3）4＝x7
B．x3•x2＝x5
C．x+2x＝3x2
D．x﹣2＝﹣
【解答】解：A、（x3）4＝x12，故本选项错误；
B、x3•x2＝x5，故本选项正确；
断正确的是（ ）
A．a＞0
B．b＜1
C．a＜b