2020年重庆市北碚区春招数学试卷

的位置上．
19．（10 分）（2020•北碚区自主招生）（1）解方程组
．
（2）计算：（x+ ）÷
．
20．（10 分）（2020•北碚区自主招生）如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 DA、 BC 延长线上的点，且∠ABE＝∠CDF． 求证：（1）△ABE≌△CDF； （2）四边形 EBFD 是平行四边形．
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题：（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将每小题的答案直接填在答题
卡中对应的橫线上．
13．（4 分）（2020•北碚区自主招生）计算：（3﹣π）0﹣ ＝
．
14．（4 分）（2020•北碚区自主招生）代数式
有意义，则 x 的取值范围是
．
15．（4 分）（2020•北碚区自主招生）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝50°， AB＝10，D 是 AB 的中点，以点 C 为圆心，CD 长为半径画弧，交 BC 于点 E，则图中阴
21．（10 分）（2020•北碚区自主招生）某校为提高学生体考成绩，对全校 300 名九年级学 生进行一分种跳绳训练．为了解学生训练效果，学校体育组在九年级上学期开学初和学 期末分别对九年级学生进行一分钟跳绳测试，学生成绩均为整数，满分 20 分，大于 18 分为优秀．现随机抽取了同一部分学生的两次成绩进行整理、描述和分析．（成绩得分
a
分析数据：
平均数
中位数
众数
开学初抽取学生成绩
16
b
17
学期末抽取学生成绩
18
18.5
19
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出图表中 a、b 的值，并补全条形统计图；
（2）假设该校九年级学生都参加了两次测试，估计该校学期末成绩优秀的学生人数比开
学初成绩优秀的学生人数增加了多少？
（3）小莉开学初测试成绩 16 分，学期末测试成绩 19 分，根据抽查的相关数据，请选择
24．（10 分）（2020•北碚区自主招生）对任意一个两位数 m，如果 m 等于两个正整数的平 方和，那么称这个两位数 m 为“平方和数”，若 m＝a2+b2（a、b 为正整数），记 A（m） ＝ab．例如：29＝22+52，29 就是一个“平方和数”，则 A（29）＝2×5＝10． （1）判断 25 是否是“平方和数”，若是，请计算 A（25）的值；若不是，请说明理由； （2）若 k 是一个“平方和数”，且 A（k）＝ ，求 k 的值．
A．x＝1，y＝1
B．x＝2，y＝0
C．x＝1，y＝2
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D．x＝3，y＝2
6．（4 分）（2020•北碚区自主招生）估计 × + ÷ 的值应在（ ）
A．7 和 8 之间
B．8 和 9 之间
C．9 和 10 之间
D．10 和 11 之间
7．（4 分）（2020•北碚区自主招生）如图，AB 是⊙O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PA
．
17．（4 分）（2020•北碚区自主招生）如图，在等腰△ABC 中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，
AD 为 BC 边上的高，E、F 分别为 AB、AC 边上的点，将△ABC 分别沿 DE、DF 折叠，
使点 B 落在 DA 的延长线上点 M 处，点 C 落在点 N 处，连接 MN，若 MN∥AC，则 AF
2020 年重庆市北碚区春招数学试卷
一、选择题：（本大题 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了 代号为 A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答 案所对应的方框浍黑． 1．（4 分）（2020•北碚区自主招生）实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判
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C、x+2x＝3x，故本选项错误； D、x﹣2＝ ，故本选项错误；
故选：B． 4．（4 分）（2020•北碚区自主招生）下列命题正确的是（ ）
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用 x 表示，共分成五组：A．x＜13，B.13≤x＜15，C.15≤x＜17，D.17≤x＜19，E.19≤x ≤20） 开学初抽取学生的成绩在 D 组中的数据是：17，17，17，17，17，18，18．
学期末抽取学生成绩统计表
学生成绩
A组
B组
C组
D组
E组
人数
0
1
4
5
在距山脚 A 水平距离 18 米的 E 处，有一高度为 10 米的建筑物 EF，在建筑物顶端 F 处
测得信号塔顶端 D 的仰角为 37°（信号塔及山坡的剖面和建筑物的剖面在同一平面上），
则信号塔 CD 的高度约是（ ）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈
0.75）
25．（10 分）（2020•北碚区自主招生）如图，一个二次函数的图象经过点 A（0，1），它 的顶点为 B（1，3）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）过点 A 作 AC⊥AB 交抛物线于点 C，点 P 是直线 AC 上方抛物线上的一点，当△APC 面积最大时，求点 P 的坐标和△APC 的面积最大值．
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四、解答题：（本大题 1 个小题，共 8 分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤， 画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 26．（8 分）（2020•北碚区自主招生）如图 1，在正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于
点 O，点 E 为线段 BO 上一点，连接 CE，将 CE 绕点 C 顺时针旋转 90°得到 CF，连接 EF 交 CD 于点 G． （1）若 AB＝4，BE＝ ，求△CEF 的面积． （2）如图 2，线段 FE 的延长线交 AB 于点 H，过点 F 作 FM⊥CD 于点 M，求证：BH+MG ＝ BE； （3）如图 3，点 E 为射线 OD 上一点，线段 FE 的延长线交直线 CD 于点 G，交直线 AB 于点 H，过点 F 作 FM 垂直直线 CD 于点 M，请直接写出线段 BH、MG、BE 的数量关 系．
影部分的面积是
．（结果保留 π）
16．（4 分）（2020•北碚区自主招生）点 A 的坐标是 A（x，y），从 1、2、3 这三个数中任 取一个数作为 x 的值，再从余下的两个数中任取一个数作为 y 的值．则点 A 落在直线 y
＝﹣x+5 与直线 y＝ x 及 y 轴所围成的封闭区域内（含边界）的概率是
＝AO，PD 与⊙O 相切于点 D，BC⊥AB 交 PD 的延长线于点 C，若⊙O 的半径为 1，则 BC 的长是（ ）
A．1.5
B．2
C．
D．
8．（4 分）（2020•北碚区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，等腰 Rt△ABC 与等腰 Rt
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△CDE 关于原点 O 成位似关系，相似比为 1：3，∠ACB＝∠CED＝90°，A、C、E 是 x
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2020 年重庆市北碚区春招数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了 代号为 A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答 案所对应的方框浍黑． 1．（4 分）（2020•北碚区自主招生）实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判
的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y＝
…
p
t
n
t
0
…
ax2+bx+c
有下列结论：①b＞0；②关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0 的两个根是 0 和 3；③p+2t＜0；
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④m（am+b）≤﹣4a﹣c（m 为任意实数）．其中正确结论的个数是（ ）
一个合适的统计量评价小莉的训练效果．
22．（10 分）（2020•北碚区自主招生）某数学小组对函数 y1＝
图象和性
质进行探究．当 x＝4 时，y1＝0． （1）当 x＝5 时，求 y1 的值； （2）在给出的平面直角坐标系中，补全这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质； （3）进一步探究函数图象并解决问题：已知函数 y2＝﹣ 的图象如图所示，结合函数 y1
A．
B．
C．
D．
【解答】解：从正面看有两层，底层两个正方形，上层左边一个正方形，左齐．
故选：A．
3．（4 分）（2020•北碚区自主招生）下列计算正确的是（ ）
A．（x3）4＝x7
B．x3•x2＝x5
C．x+2x＝3x2
D．x﹣2＝﹣
【解答】解：A、（x3）4＝x12，故本选项错误；
B、x3•x2＝x5，故本选项正确；
断正确的是（ ）
A．a＞0
B．b＜1
C．a＜b
D．a＞﹣2
2．（4 分）（2020•北碚区自主招生）如图是由 4 个相同的小正方体组成的一个立体图形，
其主视图是（ ）
A．
B．
C．
3．（4 分）（2020•北碚区自主招生）下列计算正确的是（ ）
A．（x3）4＝x7
B．x3•x2＝x5
C．x+2x＝3x2
A．4
B．8
C．12
D．16
11．（4 分）（2020•北碚区自主招生）若数 a 使关于 x 的分式方程 + ＝1 有非负整
数解，且使关于 y 的不等式组
至少有 3 个整数解，则符合条件的
所有整数 a 的和是（ ）
A．﹣5
B．﹣3
C．0
D．2
12．（4 分）（2020•北碚区自主招生）二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0，c＞0）
轴正半轴上的点，B、D 是第一象限的点，BC＝2，则点 D 的坐标是（ ）
A．（9，6）
B．（8，6）
C．（6，9）
D．（6，8）
9．（4 分）（2020•北碚区自主招生）如图，为加快 5G 网络建设，某通信公司在一个坡度 i
＝1：2.4 的山坡 AB 上建了一座信号塔 CD，信号塔底端 C 到山脚 A 的距离 AC＝13 米，
断正确的是（ ）
A．a＞0
B．b＜1
C．a＜b
D．a＞﹣2
【解答】解：由数轴可得：a＜﹣2，故选项 A 错误；
b＞1，故选项 B 错误；
a＜b，故选项 C 正确；
a＜﹣2，故选项 D 错误；
故选：C．
2．（4 分）（2020•北碚区自主招生）如图是由 4 个相同的小正方体组成的一个立体图形，
其主视图是（ ）
D． D．x﹣2＝﹣
4．（4 分）（2020•北碚区自主招生）下列命题正确的是（ ） A．过线段中点的直线上任意一点到线段两端的距离相等 B．垂直于线段的直线上任意一点到线段两端的距离相等 C．线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等 D．线段垂直平分线上的点到线段上任意两点的距离相等
5．（4 分）（2020•北碚区自主招生）按如图所示的运算程序，能使输出 m 的值为 1 的是（ ）
的图象，直接写出不等式 y1≥y2 的解集．
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23．（10 分）（2020•北碚区自主招生）某商场销售 A、B 两种新型小家电，A 型每台进价 40 元，售价 50 元，B 型每台进价 32 元，售价 40 元，4 月份售出 A 型 40 台，且销售这 两种小家电共获利不少于 800 元． （1）求 4 月份售出 B 型小家电至少多少台？ （2）经市场调查，5 月份 A 型售价每降低 1 元，销量将增加 10 台；B 型售价每降低 1 元，销量将在 4 月份最低销量的基础上增加 15 台．为尽可能让消费者获得实惠，商场计 划 5 月份 A、B 两种小家电都降低相同价格，且希望销售这两种小家电共获利 965 元，则 这两种小家电都应降低多少元？
的长是
．
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18．（4 分）（2020•北碚区自主招生）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＝2，∠ABC＝45
°，点 E 为射线 AD 上一动点，连接 BE，将 BE 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BF，连接
AF，则 AF 的最小值是
．
三.解答题：（本大题 7 个小题，每小题 10 分，共 70 分）解答时每小题必须给出必要的演 算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应
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A．22.5 米
B．27.5 米
C．32.5 米
D．45.0 米
10．（4 分）（2020•北碚区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 B、
D 在反比例函数 y═ （k＞0）的图象上，对角线 AC 与 BD 相交于坐标原点 O，若点 A
（﹣1，2），菱形的边长为 5，则 k 的值是（ ）