球与多面体的切接关系 (1)讲解

6 a 6 3 3 6 2 由 2 R 3 x , 得： R x a a 2 2 6 4 设正方体的棱长为 x, 则 6 x 2 a 2 , x 球的表面积为S 4 R 2

2
a2
正方体的内切球与外接球半径的比是
A. 1 : 2 B. 1 : 3 C. 2: 3
郸城一高数学组
§1正方体与球
一、正方体的内切球
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一、正方体的内切球
图形
o
位置关系描述： 球与正方体的六个面都相切，各个面的中心即为切点。 正方体的中心即为球心。相对两个面中心连线即为球的 直径。球叫做“正方体的内切球”，正方体叫做“球的 外切正方体”。 度量关系
球的直径等于正方体棱长。
A.6 B. 4 3 5 C. 2 21 5 D. 2 105 5
设三条弦长分别为a、b、c，且c=2b,则：
a 2 5b 2 a b c (2 R) 6 , 即 a 5b 6 , 1 6 6
2 2 2 2 2 2
a、b 0 , 可设
a 6 cos
,
b
l a 2 a 2 ( 2a ) 2 6 a
由长方体内接于球知：
l 2R
6 a 2R , a
6 R 3
S半球 2R 2 2R 2 6 S正方体 6a 2 6 R2 2 9
所以，选B
分析2
设球心为O，则O亦为底面正方形的中心。 如图，连结OA、OB，则得RtΔOAB.
30 sin 5
则三条弦长之和为 a b c a 3b
3 30 sin 5 9 30 2 105 2 105 6 sin( ) sin( ) 25 5 5 6 cos
§3 球与棱锥切接问题举例
（ 1） 球与正四面体
和正方体类似，任何一个正四面体都有一个外接球和一个内切球
三、 正方体的外接球
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三、 正方体的外接球
图形
位置关系描述： 正方体的8个顶点在同一个球面上。正方体的中心即 为球心。球叫做“正方体的外接球”，正方体叫做 “球的内接正方体”。 度量关系
正方体的（体）对角线等于球直径
2R
3a
例题2 解：
若球面内接正方体对角面面积为 4 2
， 求球的表面积
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二、球与正方体的棱相切
图形
位置关系描述： 球与正方体的12条棱都相切，各棱的中点即 为切点。正方体中心即为球心。“对棱”中 点连线即为球的直径。 度量关系
球的直径等于正方体一个面上的对角线长
2R 2 a
即时练习： 在一个空的正方体框架内放置一球，若正 方体棱长为a,则此球的最大体积是
2 3 a 3
A. 3 2 B. 3 C. 6 6 D. 6
P A C D
解：
设P在底面ABC上的射影为H，则H为正ΔABC的中心.
2 3 6 AH 2 3 2 3
PH PA2 AH 2 1 6 3 3 9 9 3
H

OB
M
延长PH交球面于M，则PM为球的一直径，∴∠PAM=90° 由RtΔ中的射影定理得： PA2 PH PM ,即 12
O
PB 2 PC 2 BC 2 PD2
PA2 PD2 AD2 (2R) 2
PA2 PB2 PC 2 (2R) 2 定值
巩固练习
点P在直径为 6 的球面上，过P作两两互相垂直的三条弦 （两端点均在球面上的线段），若其中一条弦长是另一条弦长 的2倍，则这三条弦长之和的最大值是（ D ）
∴KH∥PA
且 DH DK KH 1 DA DP AP 3
O A H
K C D B
∴ ΔKHO∽Δ APO
r 1 R 3 即有： r R h 6 a 3
KH OH 1 AP OP 3
6 r a 12 R 3r 6 a 4
A. 1: 3 B. 1: (3 3) C. ( 3 1) : 3 D. ( 3 1) : 3
P
解析： 设正三棱锥侧棱长为a ，底面边长为b ，∵三侧棱两 两垂直，∴各侧面都是全等的等腰直角三角形。
b 2 a
2R a
例题1
求棱长为2的正方体的内切球的表面积
解：因球与正方体内切，所以，球的直径等于正方体棱长，即
2r 2 r 1 S 4r 4
2
即时练习：
一个正方体的体积是8，则这个正方体的 内切球的表面积是（ C ）
A . 8
B . 6 C . 4
D . 2
二、球与正方体的棱相切
3 3 2R ， R 3 2
4 4 3 3 3 V球 R 3 （ ） 3 3 2 2
法二 由AH>PH知：球心O在正三棱锥的高PH的延长线上。在RtΔAHO,有：
( 6 2 3 3 ) (R )2 R 2 , R 3 3 2
题目：
正三棱锥P—ABC的三条侧棱两两互相垂直，则该正三 棱锥的内切球与外接球的半径之比为 ( D )
P
正四面体P---ABC的棱长为a，求它的外 接球半径R和内切球半径r 分析：
OБайду номын сангаас
A H
K
C D B
设其外接球的球心为O，则O到四个顶点的距离都相等即R。 那么，点O在什么地方呢？
由于P---ABC为正四面体，所以，点P在底面ABC上的射影H即为正ΔABC的 中心，而点H到顶点A、B、C的距离都相等。
正三棱锥的内切球的球心在它的高上(与外接球的球心不一定重合）
P
P
设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，
A
O H
K D
K C O H D
高为h，斜高为h ́，内切圆半径为r，
B
3 2 b) h 2 3 3 2 h2 ( b) h 2 6 a2 (
有关正三棱锥内切球半径的计算，通常利用RtΔPHD∽RtΔPKO，或放在筝形OKDH 中进行。 OH=OK=r. 注意到球心O与棱BC中点D的连线平分二面角P---BC---A的平面角。
A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 6 3
C A
（ 2）
球与正三棱锥
正三棱锥的外接球的球心在它的高所在直线上 P P A

P H OB M
球心在高PH的延 长线上，即在锥 体外部
A
O
H
C
A
O H
C
C D
B
M
D
B
M
D
球心在高PH上， 即在锥体内部
球心与底面正Δ中心H重合
度量关系： 设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，高为h， 外接圆半径为R， 3 2 2 a 2 ( b) 2 h 2 PA PH PM , 即 a h 2R 3 3 2 2 2 2 AH HO AO , 即 （ b) (h R ) 2 R 2 或在RtΔAHO中， 3
当点H沿着线段PH向上移动至P时，仍然满足到三顶点A、B、C的距离相等。据此，可猜想球心 O应在正四面体的高PH上；同理，球心O也在正四面体的其它顶点引发的高上。设另一条高为 AK，则PH与AK的交点即为球心O。
解： 取BC中点D，连结AD、PD，在ΔPAD中，过P作PH⊥AD， 则PH⊥底面Δ ABC。
OA 2 a , OB R , 2
2
设正方体棱长为a，易知：
AB a
2 a2 R2 a 2
6 , R a 2
B A

S半球 S正方体
3 2 a 2 2 R 2 6a 2 6a 2 2
2
O
B A O
变式练习
如图,半球内有一内接正方体，正方体的一个面在 半球的底面圆内，若正方体的一边长为 求半球的表面积和体积．
Rt PHD ∽ Rt PKO

PD HD PO KO

6 b h 3 hr r
OK HD 或 sin P OP PD

3 b r 6 hr h
3 bh r 6h 3 b
把有关立体几何的计算转化为平面几何的计算，是最基本的策略。
题目：
正三棱锥P---ABC的侧棱长为1，底面边长为 2 ，它 的四个顶点在同一个球面上，则球的体积为 （ A ）
设球面内接正方体的棱长为a，则对角面面积为
2a a 2 a 2 4 2 , a 2 , 球半径为 R 球的面积为 S 4 R 2 12 3 a 3 2
课堂练习
正方体的全面积是 a 2
，它的顶点都在球面
2 a ____________ 2
上，则这个球的表面积是
思考：一般的长方体有内切球吗？ 没有。一个球在长方体内部，最多可以 和该长方体的5个面相切。 例如，装乒乓球的盒子 如果一个长方体有内切球，那么它一定是
正方体
课堂练习 长方体一个顶点上三条棱的长分别为3、4、5，且它的八个顶 点都在同一个球面上，那么，这个球的表面积是 ( C )
A . 20 2
∵D为BC中点，∴AD⊥BC,PD⊥BC,∴BC⊥平面PAD，∴BC⊥PH;又 PH⊥AD,∴ PH⊥底面ΔABC.
在ΔPAD中，过A作AK⊥PD，则AK⊥平面Δ PBC 那么，正四面体的两条高PH与AK的交点即为球心O。
显见，内切球的球心也是这个点O，即正四面体的 外接球与内切球是同心球。
P
而且，OP=OA=R, OH=OK=r DH DK 1 连结HK， DA DP 3
B
D. 1 : 2
§2长方体与球
一、长方体的外接球
图形
位置关系描述： 长方体的8个顶点在同一个球面上。长方体的中心 （对角线的交点）即为球心。球叫做“长方体的外接 球”，长方体叫做“球的内接长方体”。 度量关系
长方体的（体）对角线等于球直径
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则 l a 2 b2 c 2 2R
解2：联想棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，则四面体ACB1D1的 棱长都为 2 ，它的外接球也是正方体的外接球，其半径为正 方体对角线长的一半，即有r＝
3 2
，故所求球面积为． S＝3π D1 B1
要理解和掌握“正方体与正四面体“的这 种图形上的关系，对于快速解题有很大帮 助。 巩固练习 棱长为 2 2 的正四面体的所有顶点都在同一个球 面上，则此球的体积为 ( C )
6
答案：半球的表面积为27π，半球的体积为18π.
例题4 证明
在半径为R的球面上任取一点，过该点作两两互相垂直的 三条弦，求证：这三条弦的平方和为定值。
设过球O上一点P，作三条互相垂直的弦PA、PB、PC，如图所示
设PB、PC所在的平面与球O相交于小圆⊙O1，因为
PB与PC垂直，所以，BC为小圆 ⊙O1直径。 连结PO1并延长交⊙O1于D，连结OO1.则 OO1⊥平面⊙O1。易知PA⊥平面⊙O1， 所以，OO1∥PA，所以球心O在A、P、D三点所确定 的圆面内，即过A、P、D的圆面是球的大圆。又 PA⊥PD，∴AD为该大圆的直径（即O为AD的中点）。 在小圆⊙O1中， 在大圆⊙O中， C P O1 B D A
特别提醒：同学们只要记住如下关系式即可：
6 a R r h 3 R 3r
正四面体的四条高相交于同一点，这点叫做正四面体的中心。 正四面体的外接球、内切球是同心球，球心即为正四面体的中心。
共底边的两个等腰三角形形成的平面凸四边形叫做筝形。 如图，四边形OKDH为筝形。即有：OK=OH,DK=DH,OD⊥KH. P 正四面体的外接球的球心把 正四面体的一条高分成的两 部分的比为 ( B )
A. 1 2 B. 1 1 C. 3 4 D. 2 3
O A H
K C D B
题目：
一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面 上，则此球的表面积为 ( A ) A、3π B、4π C、5π D、6π
外接球的半径 R
6 6 3 a 2 4 4 2
解1：
S 4 R 2 3
B . 25 2
C . 50
D . 200
例题3
如图，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球底面 圆内。则这个半球的面积与正方体表面积的比为 （ B ）
A. 5 6 B.

2
C.
5 12
D.

3
分析1
将半球补成整球 则两个同样的正方体对接构成的长方体就内接于这个球。设正 方体棱长为a，则所得长方体对角线长为