矢量分析与场论_谢树艺习题答案清晰版

习题1 解答

1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。

()1x a t y b t cos ,sin ==

()

2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos ===

解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。

()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面

2223x z +=之交线，为一椭圆。

2．设有定圆O 与动圆c ，半径均为a ，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点M 所描曲线的矢量方程。

解：设M 点的矢径为OM r xi yj ==+，AOC θ∠=，CM 与x 轴的夹角为

2θπ-；因OM OC CM =+有

()()r xi yj a i a j a i a j θθθπθπ2cos 2sin cos 2sin 2=+=++-+-

则

.2sin sin 2,2cos cos 2θθθθa a y a a x -=-=

故j a a i a a r )2sin sin 2()2cos cos 2(θθθθ-+-=

4．求曲线3

2

3

2,,t z t y t x =

==的一个切向单位矢量τ。 解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 3

2

3

2++=

则其切向矢量为k t tj i dt

dr 2

22++= 模为24221441||

t t t dt

dr

+=++= 于是切向单位矢量为2

22122||/t k

t tj i dt dr dt dr +++=

6．求曲线x a t y a t z a t 2

sin ,sin 2,cos ,===在t π

4

=

处的一个切向矢量。

解：曲线矢量方程为 r

a ti a tj a tk 2sin sin2cos =++

切向矢量为r

a ti a tj a tk t

τd sin22cos2sin d ==+- 在t π

4

=

处，t r ai a

k t

π

τ4

d d 2

=

=

=- 7.求曲线t t z t y t x 62,34,12

2

-=-=+= 在对应于2=t 的点M 处的切线方程和法平面方程。

解：由题意得),4,5,5(-M 曲线矢量方程为,)62()34()1(22k t t j t i t r -+-++=

在2=t 的点M 处，切向矢量k j i k t j ti dt

dr t t 244])64(42[22

++=-++==

==τ

于是切线方程为

1

4

2525,244545+=-=-+=-=-z y x z y x 即 于是法平面方程为0)4()5(2)5(2=++-+-z y x ，即 01622=-++z y x

8．求曲线r ti t j t k 2

3

=++上的这样的点，使该点的切线平行于平面x y z 24++=。 解：曲线切向矢量为dr

i tj t k dt

τ223=

=++， ⑴ 平面的法矢量为n i j k 2=++，由题知

()

()i tj t k n i k t t j τ2

2

1432230=+⋅++⋅+++==

得t 1

1,3

=--

。将此依次代入⑴式，得k j i k j i t t 27

19131|

,|3

11-+-=-+-=-

=-=ττ

故所求点为()11

11,11,,,3927⎛⎫---

- ⎪⎝⎭

习题2 解答

1．说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。

()1u Ax By Cz D

1

;=

+++

()2u arc

=

解：()1场所在的空间区域是除Ax By Cz D 0+++=外的空间。 等值面为

01

11

1=-+++=+++C D Cz By Ax C D Cz By Ax 或为任意常数）（01≠C ，这是与

平面Ax By Cz D 0+++=平行的空间。

()2场所在的空间区域是除原点以外的z x y 222≤+的点所组成的空间部分。

等值面为()

z x y c x y 222222sin ,0=++≠，

当c sin 0≠时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外）； 当c sin 0=时，是除原点外的xOy 平面。

2．求数量场x y u z

22

+=经过点()M 1,1,2的等值面方程。

解：经过点()M 1,1,2等值面方程为

x y u z 2222

1112

++===，

即z x y 2

2

=+，是除去原点的旋转抛物面。

3．已知数量场u xy =，求场中与直线x y 240+-=相切的等值线方程。 解：设切点为()

x y 00,，等值面方程为xy c x y 00==，因相切，则斜率为 2

1

00-=-

=x y k ，即002y x = 点()

x y 00,在所给直线上，有

x y 00240+-=

解之得y x 001,2==