第三章 误差的合成与分解汇编
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第三章+误差的合成与分配
n
y
ai2
2 xi
（3-15）
i 1
一般测量多为独立测量，一些弱相关（很小） 的情况也近似地当作独立测量对待。上式常用。 3-16
函数的极限误差计算公式
当各个测量值的随机误差都为正态分布,且互不 相关时，标准差用极限误差代替，可得函数的极限 误差公式
n
lim y
a12
2 y
f x1
2
2 x1
f x2
2
2 x2
f xn
2
2 xn
n
2
1i
j
f xi
f x j
ij xi xj
ij 反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响
n
2
1i
j
f xi
f x j
ij
xi
xj
（3-13）函数 随机误差公式
3-15
相互独立的函数标准差计算
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项为0
2 y
n ( f ) 2 i1 xi
2 xi
（3-14）
或
令
f xi
ai
第3章 误差的合成与分配
3-1
基本概念
直接测量(direct measurement)
指被测量与该标准量直接进行比较的 测量，指该被测量的测量结果可以直接 由测量仪器输出得到，而不再需要经过
量值的变换与计算。
03第三章第2节 随机误差的合成
用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无 论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标 准差，均可计算出总的标准差 当误差传播系数 ai 1 、且各相关系数均可视为0的情形
2 i i 1
q
视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或 者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲 的分量
q
q
（3-35）
2 a ii i 1
q
（3-36）
各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且 他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用 8 的极限误差合成公式
第二节
随机误差的合成
1 2
课外：望远镜的放大率 D f f 已测得物镜主焦 f1 1 19.8 0.2 cm 目镜的主焦距 f2 2 0.800 0.005 cm 求放大率的标准差？ 解：由误差传递公式
由间接测量的显函数模型求得ai f xi 根据实际经验给出 知道影响测量结果的误差因素 知道每个 ai 和 i
yi ai i 而不
2
第二节
则合成标准差
随机误差的合成
2 ( a ) i i i 1 q
若各个误差互不相关，即相关系数 ij 0
（3-29）
标准差合成
极限误差合成
1
第二节
一、标准差合成
随机误差的合成
合成标准差表达式:
(a )
i 1 i i
q
2
2 ij ai a j i j
1i j
q
（3-28）
q个单项随机误差，标准差 误差传播系数 a1 , a2 ,
第三章 误差的合成和分配
3-4
大纲要求
掌握函数误差的定义。 掌握随机误差的合成、系统误差的合成、
系统误差与随机误差的合成方法。 掌握误差分配的方法。 掌握微小误差取舍准则 理解最佳测量方案的确定。
3-5
第一节 函数误差
一、函数(已定）系统误差计算 二、函数随机误差计算 三、误差间的相关关系及相关系数 (correlation coefficient)
上式成立条件： 1、各个测量值的随机误差为正态分布时 2、 lim x i 取相同的置信概率来估算 3、 lim y具有相同的置信概率。 4、相互独立。
3-18
三角形式的函数随机误差公式
1） 正弦函数形式为:
s i n fx 1 ,x 2 , ,x n
函数随机误差公式为： c1o s x f1 2x 2 1 x f2 2x 22 x fn 2x 2n
尺寸轴工件的直
指通过直接测量与被测量有函数 关系的量，通过函数关系求得被测 量值的测量方法。
径，因量程不够， 采用测量弦长与 矢高的方法，间 接得到工件直径
3-2
基本概念
间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，故 称这种误差为函数误差(function error).
研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递 问题(Propagation of Error)。
3-13
函数标准差计算
y 2( x f1)2 x 2 1 ( x f2)2 x 2 2 ( x fn)2 x 2n 2 1 in j x fi x fjm N 1xiN m xjm
3-12
二、函数随机误差计算
随机误差是用表征其取值分散程度的指
大纲要求
掌握函数误差的定义。 掌握随机误差的合成、系统误差的合成、
系统误差与随机误差的合成方法。 掌握误差分配的方法。 掌握微小误差取舍准则 理解最佳测量方案的确定。
3-5
第一节 函数误差
一、函数(已定）系统误差计算 二、函数随机误差计算 三、误差间的相关关系及相关系数 (correlation coefficient)
上式成立条件： 1、各个测量值的随机误差为正态分布时 2、 lim x i 取相同的置信概率来估算 3、 lim y具有相同的置信概率。 4、相互独立。
3-18
三角形式的函数随机误差公式
1） 正弦函数形式为:
s i n fx 1 ,x 2 , ,x n
函数随机误差公式为： c1o s x f1 2x 2 1 x f2 2x 22 x fn 2x 2n
尺寸轴工件的直
指通过直接测量与被测量有函数 关系的量，通过函数关系求得被测 量值的测量方法。
径，因量程不够， 采用测量弦长与 矢高的方法，间 接得到工件直径
3-2
基本概念
间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，故 称这种误差为函数误差(function error).
研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递 问题(Propagation of Error)。
3-13
函数标准差计算
y 2( x f1)2 x 2 1 ( x f2)2 x 2 2 ( x fn)2 x 2n 2 1 in j x fi x fjm N 1xiN m xjm
3-12
二、函数随机误差计算
随机误差是用表征其取值分散程度的指
误差原理第三章 误差的传递与合成
第三章 误差的传递与合成
3.1 误差的传递
一.系统误差的传递 在间接测量中，其表达式为
y f (x1, x2L xn)
——式中x1,x2…xn各个直接测量值；
y ——间接测量值。
增量可用函数的全微分表示．则上式的函数增量为
dy
f x1
dx1
f x2
dx2
L
f xn
dxn
由于误差是微小量，因此可得到函数的系统误差Δy为
一般的极限误差合成公式为
t n ( ai i )2
i 1
ti
3.3 系统误差的合成
一.已定系统误差的合成 已定系统误差是指大小及符号已知的误差.故它的合成
采用代数和。
r
aii
i 1
注意：已定系统误差按代数和法合成后，可以从测量结果 中修正，所以最后的测量结果中一般不再包含有已定系统误差。
其系统误差为
求测量结果。
解：函数关系式为 若不考虑测得值的系统误差，则计算出的直径Do为 因为 直径D的系统误差为
式中各个误差传递系数为
将已知各误差值及误差传递系数代人直径的系统误差式，得 通过修正可消除所求得的直径系统误差ΔD，则被测直径的实 际尺寸为
二.随机误差的传递 函数的一般形式为 为了求得用各个测量值的标准差表示函数的标准差公式，设对 各个测量值皆进行了N次等精度测量，其相应的随机误差为
Δ=0.0008mm 2. 随机误差：
①读数误差 1 0.8m
②瞄准误差 2 1m
3. 未定系统误差
①阿贝误差
e1
HL 4000
80 50 4000
m
3.1 误差的传递
一.系统误差的传递 在间接测量中，其表达式为
y f (x1, x2L xn)
——式中x1,x2…xn各个直接测量值；
y ——间接测量值。
增量可用函数的全微分表示．则上式的函数增量为
dy
f x1
dx1
f x2
dx2
L
f xn
dxn
由于误差是微小量，因此可得到函数的系统误差Δy为
一般的极限误差合成公式为
t n ( ai i )2
i 1
ti
3.3 系统误差的合成
一.已定系统误差的合成 已定系统误差是指大小及符号已知的误差.故它的合成
采用代数和。
r
aii
i 1
注意：已定系统误差按代数和法合成后，可以从测量结果 中修正，所以最后的测量结果中一般不再包含有已定系统误差。
其系统误差为
求测量结果。
解：函数关系式为 若不考虑测得值的系统误差，则计算出的直径Do为 因为 直径D的系统误差为
式中各个误差传递系数为
将已知各误差值及误差传递系数代人直径的系统误差式，得 通过修正可消除所求得的直径系统误差ΔD，则被测直径的实 际尺寸为
二.随机误差的传递 函数的一般形式为 为了求得用各个测量值的标准差表示函数的标准差公式，设对 各个测量值皆进行了N次等精度测量，其相应的随机误差为
Δ=0.0008mm 2. 随机误差：
①读数误差 1 0.8m
②瞄准误差 2 1m
3. 未定系统误差
①阿贝误差
e1
HL 4000
80 50 4000
m
第三章 误差的合成与分解
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工
人用一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长 s = 500mm。已知， 弓高的系统误差 h = -0.1mm , 玄长的系统误差 h = -1mm 。 试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。 已知： h 0.005mm ， l 0.01mm 【解】
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
h 50 50.1 0.1mm
l 500 499 1mm
l2 5002 f 2 1 1 24 2 h 4h 4 50 f l 500 5 l 2h 2 50
sin f x1 , x2 ,..., xn cos f x1 , x2 ,..., xn
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大
工件直径。如图所示，车间工人用 一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦 长 s = 500mm。已知，弓高的系统 误差 h = -0.1mm , 玄长的系统误 差 h = -1mm 。试问车间工人测量 该工件直径的系统误差，并求修正 后的测量结果。 【解】
cos f x1, x2 ,, xn
f 2 f 2 f 2 x1 x2 x x x xn 1 2 n
2 2 2
函数随机误差公式为： 1 sin
2 2 2
或 令 则
f ai xi
f f f 2 y x12 x 22 xn x1 x2 xn
第三章 误差的合成与分配 (全)
f xi xi
5
对于 cot f ( x1, x2 ,..., xn ) ，角度系统误差为：
sin 2
n
P56-57：例3-1；3-2
i 1
二. 函数随机误差计算
随机误差 取值的分散程度 标准差
函数的随机误差
..., xn 的标准差之间的关系。
取值的分散程度 标准差 函数随机误差计算：就是研究函数y 的标准差与各测量值 x1 , x2 , 以各测量值的随机误差δx1, δx2, …….. Δxn
2
2
f f 2 2 2 2 2 2 ( x x ... x ) ... ( xn1 xn 2 ... xnN ) 21 22 2N x2 xn
2
n
1i j
(
m1
N
f f xim x jm ) xi x j
第一节 函数误差
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其
它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。
研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。
对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算 在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
10
那么，三角函数的标准差公式？ 假设三角函数的标准差为 ，各测量值的标准差为 x1 , x2 ,... xn ,
可得相应的角度标准差公式。 （1）对于 sin f ( x1, x2 ,..., xn ), 有：
f 2 f 2 f 2 1 xn x1 x2 ... cos x1 x2 xn
5
对于 cot f ( x1, x2 ,..., xn ) ，角度系统误差为：
sin 2
n
P56-57：例3-1；3-2
i 1
二. 函数随机误差计算
随机误差 取值的分散程度 标准差
函数的随机误差
..., xn 的标准差之间的关系。
取值的分散程度 标准差 函数随机误差计算：就是研究函数y 的标准差与各测量值 x1 , x2 , 以各测量值的随机误差δx1, δx2, …….. Δxn
2
2
f f 2 2 2 2 2 2 ( x x ... x ) ... ( xn1 xn 2 ... xnN ) 21 22 2N x2 xn
2
n
1i j
(
m1
N
f f xim x jm ) xi x j
第一节 函数误差
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其
它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。
研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。
对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算 在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
10
那么，三角函数的标准差公式？ 假设三角函数的标准差为 ，各测量值的标准差为 x1 , x2 ,... xn ,
可得相应的角度标准差公式。 （1）对于 sin f ( x1, x2 ,..., xn ), 有：
f 2 f 2 f 2 1 xn x1 x2 ... cos x1 x2 xn
第3章误差合成与分配
试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量 带来的测量误差？
解：量块组尺寸的系统误差为
故量块组按基本尺寸使用时的修正值为－0.4μm
使用该量块组做相对测量带来的测量误差为
故量块组结相对测量带来的测量误差不会超出±0.５１μm
二、函数随机误差计算
• 随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的， 对于函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评定。 因此，函数随机误差计算，就是研究函数y的标准差与各 测量值的标准差之间的关系。
★函数系统误差和函数随机误差的概念 ★随机误差的合成 ★未定系统误差和随机误差的合成 ★误差分配 ★微小误差取舍准则 ★最佳测量方案的确定 重点掌握：函数误差的计算方法； 掌握：误差和成方法及系统误差与随机误差的 异同点；
了解：误差分配的基本步骤。
第一节 函数误差
• 前面讨论的主要是直接测量的误差计算问题， 但在有些情况下，由于被测对象的特点，不能进 行直接测量，或者直接测量难以保证测量精度， 需要采用间接测量。 • 间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一 定函数关系的其他量，按照已知的函数关系式计 算出被测的量。因此间接测量的量是直接测量所 得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是 各个直接测得值误差的函数，故称这种误差为函 数误差。研究函数误差的内容，实质上就是研究 误差的传递问题，而对于这种具有确定关系的误 差计算，也有称之为误差合成。
对于式(3—1)
若以各测量值的随机误差δ1，δ2，…．δn代替各微分 量dx1，dx2，…，dxn只能得到函数的随机误差δy， 而得不到函数的标准差σy。
函数随机误差的数学模型
数学模型
函数的一般形式
y f ( x1 , x2 ,..., xn )
03误差的传递与合成
，二者具有相似之处，因此说串、并联具有“平均
可见，相对精度提高了。若 n 个电阻串联，则其串联后的误差
联想到对于算术平均值，有 Δ x =
效应” 。例：用 10 个精度为 1%、阻值为 1k 的电阻串成一个 10k 电阻，比用一个精度为 1%、阻值为 10k 的电阻精度高。 三．计算误差的传递 在函数计算的结果中，除了直接测量量带来的系差和随差外，还有计算过程中产生 的误差。计算机采用有限精度的数据计算会带来计算误差，有时这种误差是惊人的，应 注意避免。 1．减法计算中的误差避免：尽量避免两相近数相减，否则会造成有效位数的损失。例：
2 ∂R P ⎛ R1 R1 R2 ∂RP R2 =⎜ = 解： （1）并联： R P = ， ， 2 ∂R1 (R1 + R2 ) R1 + R2 ∂R2 ⎜ ⎝ R1 + R2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
⎛ R2 ⎞ 2 ⎛ R1 ⎞ 2 ΔP = ⎜ ⎟ Δ R2 ⎜R +R ⎟ ⎟ Δ R1 + ⎜ ⎜R +R ⎟ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎝ 1
i =1
n
n
n
+ 2R
式中， R =
f x′ f y′ ∑ δ xi δ yi
i =1ห้องสมุดไป่ตู้
n
n
+
f x′ f z′∑ δ xi δ zi
i =1
n
n
+L+
′ ∑ δ vi δ wi f v′ f w
i =1
n
；
3-2
第3讲
误差的影响力——误差的传递与合成
n n
定义协方差和相关系数如下：
Rxy =
f x′ f y′ ∑ δ xiδ yi
可见，相对精度提高了。若 n 个电阻串联，则其串联后的误差
联想到对于算术平均值，有 Δ x =
效应” 。例：用 10 个精度为 1%、阻值为 1k 的电阻串成一个 10k 电阻，比用一个精度为 1%、阻值为 10k 的电阻精度高。 三．计算误差的传递 在函数计算的结果中，除了直接测量量带来的系差和随差外，还有计算过程中产生 的误差。计算机采用有限精度的数据计算会带来计算误差，有时这种误差是惊人的，应 注意避免。 1．减法计算中的误差避免：尽量避免两相近数相减，否则会造成有效位数的损失。例：
2 ∂R P ⎛ R1 R1 R2 ∂RP R2 =⎜ = 解： （1）并联： R P = ， ， 2 ∂R1 (R1 + R2 ) R1 + R2 ∂R2 ⎜ ⎝ R1 + R2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
2
⎛ R2 ⎞ 2 ⎛ R1 ⎞ 2 ΔP = ⎜ ⎟ Δ R2 ⎜R +R ⎟ ⎟ Δ R1 + ⎜ ⎜R +R ⎟ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎝ 1
i =1
n
n
n
+ 2R
式中， R =
f x′ f y′ ∑ δ xi δ yi
i =1ห้องสมุดไป่ตู้
n
n
+
f x′ f z′∑ δ xi δ zi
i =1
n
n
+L+
′ ∑ δ vi δ wi f v′ f w
i =1
n
；
3-2
第3讲
误差的影响力——误差的传递与合成
n n
定义协方差和相关系数如下：
Rxy =
f x′ f y′ ∑ δ xiδ yi
误差原理第三章误差的传递与合成
误差原理第三章误差的传递与合成误差的传递是指在实验过程中，由于不同的测量步骤和计算过程引入误差，这些误差会通过物理关系或者数学计算传递到最终结果中。
在实验中，每一个测量仪器都有其特定的精确度和不确定度。
当我们进行复杂的测量或计算时，这些误差会相互作用并积累，从而影响到最终结果的精确度。
为了定量描述误差的传递，我们需要引入误差传递公式。
对于其中一个物理量x，假设它是由一系列测量结果a、b、c等通过其中一种物理关系或者数学计算得到的，则误差传递公式可以写为：Δx=√((∂x/∂a)²Δa²+(∂x/∂b)²Δb²+(∂x/∂c)²Δc²+...)其中Δx表示x的不确定度，∂x/∂a、∂x/∂b等表示物理关系或者计算公式对于变量a、b的导数，Δa、Δb等表示变量a、b的不确定度。
这个公式表明了误差是通过导数的平方和来传递的。
最大值法是指将每个测量结果的不确定度取最大值，作为最终结果的不确定度。
这种方法适用于误差独立且不相关的情况。
例如，在实验中测量一些物理量时，我们使用了不同型号的仪器进行多次测量，那么每个测量结果的不确定度可以认为是不相关的，这时可以采用最大值法。
平方和法是指将每个测量结果的不确定度的平方相加并开方，作为最终结果的不确定度。
这种方法适用于误差相互关联的情况。
例如，在实验中测量一些物理量时，多个测量结果的不确定度具有一定的相关性，这时可以采用平方和法。
实际应用中，误差的传递和合成在实验设计和数据处理中起着关键的作用。
在实验设计中，我们可以通过分析物理关系和计算过程，确定哪些因素会对实验结果产生较大的影响，从而优化实验方案以降低不确定度。
在数据处理中，我们可以根据误差的传递公式和合成方法，对实验结果进行误差分析，得到对最终结果的不确定度的估计，以提高实验结果的可靠性和可信度。
总之，误差的传递和合成是误差原理的核心内容，它描述了实验结果的不确定性和误差如何从测量仪器传递到最终的物理量中。
第三章 误差的合成与分配
2
2
交叉相乘项
将方程组中各方程相加，可得：
y12 y2 2 , ... yn12
2 2
合并，提出误差 传递系数
f f 2 2 2 2 2 2 ( x x , ..., x ) ( x21 x22 , ..., x2 N ) 11 12 1N x1 x 2
第三章 误差的合成与分配 第一节误差函数
15 15
函数随机误差公式
N f 2 f 2 f 2 f f 2 σy σ σ , , σ 2 ( ij xi xj ) x x1 x x2 x xn 1i j xi x j 1 2 n 2 2 2
第三章 误差的合成与分配
主要内容 §3.1 函数误差 §3.2 随机误差的合成 §3.3 系统误差合成
§3.4 系统误差与随机误差的合成 §3.5 误差分配
§3.6 微小误差取舍准则 §3.7 最佳测量方案的确定
第三章 误差的合成与分配
1 1
§3.1 函数误差
间接测量 通过直接测量与被测的量有一定 h 函数关系的其他量，然后按照已 知的函数关系式计算出被测的量。 函数误差
8 8
s2 D= +h 4h
h 50mm , h 0.1mm s 500mm , s 1mm
误差传递系数为:
s2 ( h) 2 2 f s 500 4 h 2 1 1 24 2 h h 4h 4 50 s2 ( h) f s 500 4h 5 s s 2h 2 50 f f D s h 7.4mm 直径的系统误差: s h
误差的合成与分解1相对测量时需用54255mm的量块组做
第3章 误差的合成与分解3-1 相对测量时需用54.255mm 的量块组做标准件，量块组由4块量块研合而成，它们的基本尺寸为：140l mm =，140l mm =，212l mm =，3 1.25l mm =，4 1.005l mm =。
经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分10.7l m μ∆=-，20.5l m μ∆=+，30.3l m μ∆=-，40.1l m μ∆=+；lim 10.35l m δμ=±，lim 20.25l m δμ=±，lim 30.20l m δμ=±，lim 40.20l m δμ=±。
试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。
【解】量块组的关系为：1234L l l l l =+++，显然本题是一个关于函数系统误差和函数随机误差的计算问题。
已知个组成块的尺寸偏差（属系统误差），则可计算量块组的系统误差。
12340.70.50.30.10.4L l l l l m μ∆=∆+∆+∆+∆=-+-+=-所以，量块组按基本尺寸使用时的修正值E 为：(0.4)0.4E L m μ=-∆=--= 量块组按基本尺寸使用时的测量误差（系统极限误差）为：lim 0.515L m δμ===±3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为：161.6a mm =，44.5b mm =，11.2c mm =，已知测量的系统误差为 1.2a mm ∆=，0.8b mm ∆=-，0.5c mm ∆=，测量的极限误差为0.8a mm δ=±，0.5b mm δ=±，0.5c mm δ=±，试求立方体的体积及其体积的极限误差。
【解】立方体体积： V=abc ，若不考虑测得值的系统误差，则计算体积为：0161.644.511.280541.44V abc mm ==⨯⨯=体积V 的系统误差为：31.20.80.5161.644.511.2[]80541.44()2745.744()V V V a b ca b c a b c V a b c abc mm ∂∂∂∆∆∆∂∂∂-∆=∆+∆+∆=++=++=考虑测量系统误差后的立方体体积：3077795.69677795.70()V V V mm =-∆=≈ 又直接测量值存在极限误差，则间接测量体积存在的极限误差为：lim 33729.1()V mm δ=====±故测量结果为：3lim 77795.703729.1()V V mm δ±=±3-3 长方体的边长分别为1a 、2a 、3a ，测量时：①标准差均为σ；②标准差各为1σ、2σ、3σ。
第三章误差的合成与处理-精品文档
第3章
误差的合成与分配
太原工业学院
误差理论与数据处理
教学目标
本章阐述了函数误差、误差合成与分 配的基本方法，并讨论了微小误差的取 舍、最佳测量方案的确定等问题 。通过 本章的学习，读者应掌握函数系统误差 和函数随机误差的计算以及误差的合成 和分配。
太原工业学院
误差理论与数据处理
重点和难点
函数系统误差 函数随机误差 函数误差分布的模拟计算 随机误差的合成 未定系统误差和随机误差的合成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案的确定
太原工业学院
1 n f x i c o s i1 x i 1 n f x i s in i1 x i
误差理论与数据处理
第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大工
件直径。如图所示，车间工人用一 把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长 s = 500mm。已知，弓高的系统误 差 h = -0.1mm , 玄长的系统误差 h = -1mm 。试问车间工人测量该 工件直径的系统误差，并求修正后 的测量结果。 【解】
f f f y x x . . x 1 2 . n x x x 1 2 n
f xi 1 , 2 , , n ) 为各个输入量在该测量点 i( 误差传播系数 (x ,x 1, x 2, n)
处的
x i 和 y 的量纲或单位相同，则 f x i 起到误 差放大或缩小的作用
直径的系统误差:
f f D l h7 . 4 m m l h
故修正后的测量结果:
D D D 1 3 0 0 7 . 4 1 2 9 2 . 6 m m 0
太原工业学院 误差理论与数据处理
误差的合成与分配
太原工业学院
误差理论与数据处理
教学目标
本章阐述了函数误差、误差合成与分 配的基本方法，并讨论了微小误差的取 舍、最佳测量方案的确定等问题 。通过 本章的学习，读者应掌握函数系统误差 和函数随机误差的计算以及误差的合成 和分配。
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误差理论与数据处理
重点和难点
函数系统误差 函数随机误差 函数误差分布的模拟计算 随机误差的合成 未定系统误差和随机误差的合成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案的确定
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1 n f x i c o s i1 x i 1 n f x i s in i1 x i
误差理论与数据处理
第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大工
件直径。如图所示，车间工人用一 把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长 s = 500mm。已知，弓高的系统误 差 h = -0.1mm , 玄长的系统误差 h = -1mm 。试问车间工人测量该 工件直径的系统误差，并求修正后 的测量结果。 【解】
f f f y x x . . x 1 2 . n x x x 1 2 n
f xi 1 , 2 , , n ) 为各个输入量在该测量点 i( 误差传播系数 (x ,x 1, x 2, n)
处的
x i 和 y 的量纲或单位相同，则 f x i 起到误 差放大或缩小的作用
直径的系统误差:
f f D l h7 . 4 m m l h
故修正后的测量结果:
D D D 1 3 0 0 7 . 4 1 2 9 2 . 6 m m 0
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第三章误差的合成与分配
3
若已知各个直接测量值的系统误差 若已知各个直接测量值的系统误差 可近似得到函数的系统误差为
∆x1 , ∆x 2 , L , ∆x n
∂f ∂f ∂f ∆y = ∆x1 + ∆x 2 + L + ∆x n ∂x1 ∂x 2 ∂x n
∂f (i = 1,2, L , n) 称为第 个直接测量值的误差传递系数。 称为第i个直接测量值的误差传递系数。 个直接测量值的误差传递系数 ∂xi
l2 5002 ∂f = − 2 − 1 = − − 1 = −24 2 ∂h 4h 4 × 50
∂f l 500 = = =5 ∂l 2h 2 × 50
直径的系统误差
∆D =
∂f ∂f ∆l + ∆h = 7.4mm ∂l ∂h
故修正后的测量结果
D = D0 −∆D = 1300 − 7.4 =1292.6mm
2 y
定义K ij =
∑δ x
m =1
N
n ∂f ∂f +2∑ 1≤i < j ∂x i ∂x j
∑ δximδx jm
m =1
N
N
im
δ x jm
N K ij
ρ ij =
σ xiσ xj
则：K ij＝ρ ijσ xiσ xj
则可得： 则可得：
n ∂f 2 2 ∂f 2 2 ∂f 2 2 ∂f ∂f σ = ( ) σ x1 + ( ) σ x2 + L + ( ) σ xn + 2 ∑ ρ ij σ xiσ xj ∂x1 ∂x 2 ∂x n 1≤i < j ∂x i ∂x j 2 y
若已知各个直接测量值的系统误差 若已知各个直接测量值的系统误差 可近似得到函数的系统误差为
∆x1 , ∆x 2 , L , ∆x n
∂f ∂f ∂f ∆y = ∆x1 + ∆x 2 + L + ∆x n ∂x1 ∂x 2 ∂x n
∂f (i = 1,2, L , n) 称为第 个直接测量值的误差传递系数。 称为第i个直接测量值的误差传递系数。 个直接测量值的误差传递系数 ∂xi
l2 5002 ∂f = − 2 − 1 = − − 1 = −24 2 ∂h 4h 4 × 50
∂f l 500 = = =5 ∂l 2h 2 × 50
直径的系统误差
∆D =
∂f ∂f ∆l + ∆h = 7.4mm ∂l ∂h
故修正后的测量结果
D = D0 −∆D = 1300 − 7.4 =1292.6mm
2 y
定义K ij =
∑δ x
m =1
N
n ∂f ∂f +2∑ 1≤i < j ∂x i ∂x j
∑ δximδx jm
m =1
N
N
im
δ x jm
N K ij
ρ ij =
σ xiσ xj
则：K ij＝ρ ijσ xiσ xj
则可得： 则可得：
n ∂f 2 2 ∂f 2 2 ∂f 2 2 ∂f ∂f σ = ( ) σ x1 + ( ) σ x2 + L + ( ) σ xn + 2 ∑ ρ ij σ xiσ xj ∂x1 ∂x 2 ∂x n 1≤i < j ∂x i ∂x j 2 y
第三章 误差的合成与分解
间接测量的数学模型 yf(x1,x2,...,xn)
▪ x1,x2, 与,被xn测量有函数关系的各个直接测量值 ▪ y 间接测量值 求上述函数 y 的全微分，其表达式为：
d y x f1d1x x f2d2x x fndnx
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第一节 函数误差 第三章 误差的合成与分配
00124000516910mm12926mmddd第一节函数误差第三章误差的合成与分配西华大学物理与化学学院物理实验中心xnijxixjij反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系函数随机误差公式相关系数估计第一节函数误差第三章误差的合成与分配西华大学物理与化学学院物理实验中心相关系数的确定可判断的情形当一个分量依次增大时引起另一个分量呈正负交替变化反之亦然属于完全不相干的两类体系分量如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量虽相互有影响但其影响甚微视为可忽略不计的弱相关11直接判断法直接判断法第一节函数误差第三章误差的合成与分配西华大学物理与化学学院物理实验中心两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系当一个分量依次增大时引起另一个分量依次增大或减小反之亦然属于同一体系的分量如用1m基准尺测2m尺则各米分量间完全正相关第一节函数误差22试样观察法和简略计算法试样观察法和简略计算法11观察法观察法第三章误差的合成与分配西华大学物理与化学学院物理实验中心第一节函数误差22简单计算法简单计算法cos其中33直接计算法直接计算法根据的多组测量的对应值按如下统计公式计算相关系数ikjk44理论计算法理论计算法第三章误差的合成与分配西华大学物理与化学学院物理实验中心第二节随机误差的合成任何测量结果都包含有一定的测量误差这是测量过程中各个环节一系列误差因素作用的结果
▪ x1,x2, 与,被xn测量有函数关系的各个直接测量值 ▪ y 间接测量值 求上述函数 y 的全微分，其表达式为：
d y x f1d1x x f2d2x x fndnx
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第一节 函数误差 第三章 误差的合成与分配
00124000516910mm12926mmddd第一节函数误差第三章误差的合成与分配西华大学物理与化学学院物理实验中心xnijxixjij反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系函数随机误差公式相关系数估计第一节函数误差第三章误差的合成与分配西华大学物理与化学学院物理实验中心相关系数的确定可判断的情形当一个分量依次增大时引起另一个分量呈正负交替变化反之亦然属于完全不相干的两类体系分量如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量虽相互有影响但其影响甚微视为可忽略不计的弱相关11直接判断法直接判断法第一节函数误差第三章误差的合成与分配西华大学物理与化学学院物理实验中心两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系当一个分量依次增大时引起另一个分量依次增大或减小反之亦然属于同一体系的分量如用1m基准尺测2m尺则各米分量间完全正相关第一节函数误差22试样观察法和简略计算法试样观察法和简略计算法11观察法观察法第三章误差的合成与分配西华大学物理与化学学院物理实验中心第一节函数误差22简单计算法简单计算法cos其中33直接计算法直接计算法根据的多组测量的对应值按如下统计公式计算相关系数ikjk44理论计算法理论计算法第三章误差的合成与分配西华大学物理与化学学院物理实验中心第二节随机误差的合成任何测量结果都包含有一定的测量误差这是测量过程中各个环节一系列误差因素作用的结果
第三章误差的合成与分配
系统误差的合成 一、已定系统误差合成 • 定义： – 误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差 • 表示符号：Δ • 合成方法：按照代数和法进行合成
Δi 为第i个系误差，ai 为其传递系数
在实际测量中，大部分已定系统误差在测量过程中均已 消除，少数未予消除的也只是少数几项，它们按代数和 法合成后，还可以从测量结果中修正，故最后的测量结 果中不再含有已定系统误差。
函数的误差 误差的合成
各个误差互不相关，相关系数 ij 0
合成标准差
(a )
i 1 i i
q
2
当误差传播系数 ai 1 、且各相关系数均可视为0 合成标准差
i 1
q
2 i
随机误差的合成
一、极限误差合成
合成极限误差：
若 ij 0
第三节未定系统误差 和 随机误差的合成
2
2
2
xi 第i个直接测得量 xi 的标准差
ij第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数
f 第i个直接测得量 xi的误差传播系数 xi
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项
f f f 2 2 2 y xn x1 x2 x1 x2 xn
例3：测量某电路的电流I=22.5mA，电压U=12.6V,测量的 标准差分别为 I 0.5mA, u 0.1 V ，求所耗功率P=UI及 其标准差 p 。 解：所耗功率 P=UI=12.6V×22.5×10-3A=0.2835W 因为
P I 22.5 103 A U P U 12.6V I 且U、I完全线性相关，故相关系数 1 ，所以
f ( i 1,2, ,n) 其中： xi
误差理论第三章误差合成与分配
f xn xn
f 其中， i 1, 2, , n 为各个直接测量值的误差传递系数。 xi 1) 当函数形式为线性公式：y a1 x1 a2 x2 an xn
2）当函数为三角函数时： sin f x1 , x2 , 的系统误差为： sin 而角度系统误差为：
5
则函数y的随机误差为： y1
f f x11 x21 x1 x2 f f x12 x22 x1 x2
f xn1 xn f xn 2 xn
y2
f f yN x1N x2 N x1 x2
同理其它三角函数的角度系统误差为： 对 cos f x1 , x2 , 1 , xn , sin
f xn xn
f xn xn
f x1 x1
4
对 tan f x1 , x2 , 对 cot f x1 , x2 ,
Байду номын сангаас
2
§3-1 函数误差
间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其它 量，按照已知的函数关系式计算出被测的量，因此间接测量的量 是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各 个直接测量值的函数，即函数误差。
一、函数系统误差计算
间接测量时，函数形式为：y =f x1 , x2 , , xn ,
间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其它量按照已知的函数关系式计算出被测的量因此间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数而间接测量误差则是各个直接测量值的函数即函数误差
每日一句
二十一世纪是个学习的世纪，在学习 上没有找到快乐就等于下地狱。
实验误差与数据处理第3章
19
例：已知线性函数关系 y=a1x1+a2x2+……anx n ，试求y 的随机误差计算式。
解：设各直接测量量的标准差为
值的误差之间独立。
x1
,
x2
,...,
xn
，各测量
因为
f xi
ai
i 1,2,..., n
所以
y
a1
2 2 x1
a2
2 2 x2
例：已知z=x+y，且y=3x，试求z的标准差σz。这里只对变 量x进行测量，其标准差为σx 。
[解法一]：
2 z
2 x
2 y
2 y
9
2 x
故：
2 z
10
2 x
z
10 x
[解法二]：将y=3x代入z=x+y得 z=4x
则
2 z
16
2 x
z 4 x
[解法三]：由y=3x知x与y的误差之间满足线性关系，因
则
x j xk 0
上式简化为
2 y
(
f x1
)
2
2 x1
(
f x2
)
2
2 x2
(
f xn
)
2
2 xn
或
y
f ( x1
)2 2 x1
（
f x2
）2
2 x2
（
f xn
）2
2 xn
实际测量中，各直接测量量的误差之间往往是无关的， 或人为安排使各量独立测量，所以第二式是常用的计算式。
例：已知线性函数关系 y=a1x1+a2x2+……anx n ，试求y 的随机误差计算式。
解：设各直接测量量的标准差为
值的误差之间独立。
x1
,
x2
,...,
xn
，各测量
因为
f xi
ai
i 1,2,..., n
所以
y
a1
2 2 x1
a2
2 2 x2
例：已知z=x+y，且y=3x，试求z的标准差σz。这里只对变 量x进行测量，其标准差为σx 。
[解法一]：
2 z
2 x
2 y
2 y
9
2 x
故：
2 z
10
2 x
z
10 x
[解法二]：将y=3x代入z=x+y得 z=4x
则
2 z
16
2 x
z 4 x
[解法三]：由y=3x知x与y的误差之间满足线性关系，因
则
x j xk 0
上式简化为
2 y
(
f x1
)
2
2 x1
(
f x2
)
2
2 x2
(
f xn
)
2
2 xn
或
y
f ( x1
)2 2 x1
（
f x2
）2
2 x2
（
f xn
）2
2 xn
实际测量中，各直接测量量的误差之间往往是无关的， 或人为安排使各量独立测量，所以第二式是常用的计算式。
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可得：
y
y
f
(x1, x2,..., xn )
f
x1
x1
f x2
x2
f xn
xn
得到
y
f x1
x1
f x2
x2
f xn
xn
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第一节 函数误差 第三章 误差的合成与分配
函数标准差计算
2
2
y2
f x1
2 x1
f x2
2 x2
f xn
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第三章 误差的合成与分配
教学重点和难点
• 函数系统误差 • 函数随机误差 • 函数误差分布的模拟计算 • 随机误差的合成 • 未定系统误差和随机误差的合
成 • 误差分配 • 微小误差取舍准则 • 最佳测量方案的确定
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第三章 误差的合成与分配
第一节 函数误差
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第一节 函数误差 第三章 误差的合成与分配
间接测量
通过直接测得的量与被测量之间的函数关系 计算出被测量
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量 及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为 函数误差
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
当 ai 1 y x1 x2 ... xn
▪ 当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测 量值系统误差之和
2、三角函数形式
sin f x1, x2,..., xn
1
cos
n i 1
f xi xi
cos f x1, x2,..., xn
1
sin
n i 1
f xi
xi
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
2
2 xn
n
2
1i
j
f xi
f x j
Dij
或
2 y
f x1
2
2 x1
f x2
2
2 x2
f
xn
2
xn
2
n f
2
1i
j
xi
f x j
ij xi xj
▪ x第i i个直接测得量 的x标i 准差
▪ i第j i个测量值和第j个测量值之间的相关系数 ▪ Dij ij第xii个xj 测量值和第j个测量值之间的协方差
h 50 50.1 0.1mm
l 500 499 1mm
误差传递系数为:
f h
l2 4h2
1
5002 4 502
1
24
f l 500 5 l 2h 250
直径的系统误差:
D f l f h 7.4mm l h
故修正后的测量结果:
D D0 D 1300 7.4 1292.6mm
第一节 函数误差 第三章 误差的合成与分配
【例】 用弓高弦长法间接测量大工
件直径。如图所示，车间工人用一
把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长 s = 500mm。已知，弓高的系统误 差 h = -0.1mm , 玄长的系统误差 h = -1mm 。试问车间工人测量该
工件直径的系统误差，并求修正后
的测量结果。
h
l D 2
【解】 建立间接测量大工件直径的函数模型
D l2 h 4h
不考虑测量值的系统误差，可求出在 h 50mm l 5处00mm
的直径测量值
D0
l2 h 1300mm 4h西华大学物理与化学学院
物理实验中心
谌晓洪
第一节 函数误差 第三章 误差的合成与分配
计算结果：
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
▪ xi和 y的量纲或单位不相同，则 f xi 起到 误差单位换算的作用
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第一节 函数误差 第三章 误差的合成与分配
几种简单函数的系统误差
1、线性函数 y a1x1 a2x2 ... anxn
系统误差公式
y a1x1 a2x2 ... anxn
第一节 函数误差 第三章 误差的合成与分配
由 y 的全微分，函数系统误差 y 的计算公式
y
f x1
x1
f x2
x2
...
f xn
xn
▪ f xi (i 1为, 2,各,个n) 输入量在该测量点
误差传播系数
(x1, x2, , xn )
处的
▪ xi 和y 的量纲或单位相同，则 f xi 起到误 差放大或缩小的作用
a22
2 x2
an2
2 xn
▪ x第i i个直接测得量 西的x华极i 大限学物误理差与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
三角形式的函第数第三随一章机误节差误的差合成公函与式分数配 误差
三角函数标准差计算
1） 正弦函数形式为:
sin f x1, x2,, xn
▪ x第fi i个直接测得量 对x间i 接量 在该y 测量点
处的误差传播系数
(x1, x2, , xn )
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第一节 函数误差 第三章 误差的合成与分配
相互独立的函数标准差计算
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项
2 y
f x1
2
2 x1
f x2
2
第一节 函数误差 第三章 误差的合成与分配
一、函数系统误差计算
间接测量的数学模型 y f (x1, x2,..., xn )
▪ x1, x2, 与,被xn测量有函数关系的各个直接测量值
▪ y 间接测量值
求上述函数 y 的全微分，其表达式为：
dy
f x1
dx1
f x2
dx2
f xn
dxn
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
2 x2
2
f xn
2 xn
Dij ij 0
或
y
f x1
2
2 x1
f x2
2
2 x2
2
f xn
2 xn
令
f xi
ai
则
y
a12
2 x1
Байду номын сангаасa22
2 x2
an
2
2 xn
当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用 极限误差代替，可得函数的极限误差公式
y
a12
2 x1
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第一节 函数误差 第三章 误差的合成与分配
二、函数随机误差计算
数学模型
函数的一般形式
y f (x1, x2,..., xn )
变量中只有随机误差
即： y y f (x1 x1, x2 x2, , xn xn )
泰勒展开，并取其一阶项作为近似值
第三章 误差的合成与分配
第3章 误差的合成与分配
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第三章 误差的合成与分配
教学目标
本章阐述了函数误差、误差合成与分配的基 本方法，并讨论了微小误差的取舍、最佳测量 方案的确定等问题 。通过本章的学习，读者 应掌握函数系统误差和函数随机误差的计算以 及误差的合成和分配。