一维稳态热传导方程的数值解法及其
一维热传导方程的数值解
ｉ ，ｊ
Δｔ
（５）
以（４） 、（５） 代入（１） 式得
ｕ － ｕ ｉ ，ｊ＋ １
ｉ ，ｊ
Δｔ
＝
ａ２
ｕｉ －１ ，ｊ
－ ２ ｕｉ ，ｊ Δｘ２
＋
ｕｉ＋ １ ，ｊ
＋
ｆ （ ｉ ，ｊ）
（６）
解得
ｕｉ ，ｊ＋ １ ＝ ｃ （ ｕｉ －１ ，ｊ ＋ ｕｉ＋ １ ，ｊ ） ＋ （１ － ２ ｃ） ｕｉ ，ｊ ＋ Δｔｆ （ ｉ ，ｊ ）
式处理即可 ．
２） 如果是波动方程 ，那么初始条件中含有“初始速度” ，即 ｕｔ （ｘ ，ｔ） ｜ ｔ ＝ ０ ＝ 宝（ｘ） ，利用向后差分法得
抄 ｕ（ ｉ ，ｌ） 抄ｔ
＝
ｕｉ ，２ － ｕｉ ，０ ２ Δｔ
＝
宝（ ｘ ）
（３５）
则
ｕｉ ，０ ＝ ｕｉ ，２ － ２ Δｔ宝（ｘ ）
（３６）
利用（３６） 式便得以求解 ．
用中心差分近似代替对空间的偏微分即2u抄用向前差分近似代替对时间的偏微分即uij1uij2uxxfxt0xl0t123抄2xui1j2uijui1jx24抄u抄tt5以45代入1式得uij1uijta2ui1j2uijui1jx2fij6解得uij1cui1jui1j12cuijtfij7其中ctax228根据式7如果已知j不同i坐标每一个格点的温度值并且由11类边界条件可知两边界i1及in上的温度值那么就可以求出j1坐标上每一个格点上的温度值
传热学上机C程序源答案之一维稳态导热的数值计算
一维稳态导热的数值计算1.1物理问题一个等截面直肋，处于温度t∞=80的流体中。
肋表面与流体之间的对流换热系数为h=45W/(m2∙℃),肋基处温度tw=300℃，肋端绝热。
肋片由铝合金制成，其导热系数为λ=110W/(m ∙℃)，肋片厚度为δ=0.01m，高度为H=0.1m 。
试计算肋内的温度分布及肋的总换热量。
1.2数学描述及其解析解引入无量纲过余温度θ=t -t∞tw -t∞，则无量纲温度描述的肋片导热微分方程及其边界条件：2220d m dxθθ-=x=0,θ=θw =1 x=H,0xθ∂=∂ 其中 Ahpm =λ上述数学模型的解析解为：[()]()()w ch m x H t t t t ch mH ∞∞--=-⋅()()w hpt t th mH m∞∅=-1.3数值离散1.3.1区域离散计算区域总节点数取N 。
1.3.2微分方程的离散对任一借点i 有：2220i d m dx θθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭用θ在节点i 的二阶差分代替θ在节点i 的二阶导数，得：211220i i i i m x θθθθ+--+-=整理成迭代形式：()112212i i i m x θθθ+-=++ (i=2,3……,N-1)1.3.3边界条件离散补充方程为：11w θθ==右边界为第二类边界条件，边界节点N 的向后差分得：10N N xθθ--=，将此式整理为迭代形式，得：N 1N θθ-=1.3.4最终离散格式11w θθ==()112212i i i m xθθθ+-=++ (i=2,3……,N-1) N 1N θθ-=1.3.5代数方程组的求解及其程序假定一个温度场的初始发布，给出各节点的温度初值：01θ，02θ，….，0N θ。
将这些初值代入离散格式方程组进行迭代计算，直至收敛。
假设第K 步迭代完成，则K+1次迭代计算式为：K 11w θθ+=()11112212i i K K K i m xθθθ+-++=++ (i=2,3……,N-1) 111N K K N θθ-++=#include<stdio.h>#include<math.h>#define N 11main(){int i;float cha;/*cha含义下面用到时会提到*/float t[N],a[N],b[N];float h,t1,t0,r,D,H,x,m,A,p; /*r代表λ,x代表Δx，D代表δ*/printf("\t\t\t一维稳态导热问题\t\t");printf("\n\t\t\t\t\t\t----何鹏举\n");printf("\n题目：补充材料练习题一\n");printf("已知：h=45，t1=80, t0=200, r=110, D=0.01, H=0.1 (ISO)\n");/*下面根据题目赋值*/h=45.0; t1=80.0; t0=300.0; r=110.0; D=0.01; H=0.1;x=H/N; A=3.1415926*D*D/4; p=3.1415926*D; m=sqrt((h*p)/(r*A));/*x代表步长，p代表周长，A代表面积*/printf("\n请首先假定一个温度场的初始分布，即给出各节点的温度初值：\n");for(i=0;i<N;i++){scanf("%f",&t[i]);a[i]=(t[i]-t1)/(t0-t1);b[i]=a[i];/*这里b[i]用记录一下a[i]，后面迭代条件及二阶采用温度初场要用到*/ }/*采用一阶精度的向后差分法数值离散*/cha=1;while(cha>0.0001){a[0]=1;for(i=1;i<N;i++)a[i]=(a[i+1]+a[i-1])/(2+m*m*x*x);a[N-1]=a[N-2];cha=0;for(i=0;i<N;i++)cha=cha+a[i]-b[i];cha=cha/N;/*cha代表每次迭代后与上次迭代各点温度差值的平均值*/}for(i=0;i<N;i++)t[i]=a[i]*(t0-t1)+t1;printf("\n\n经数值离散(一阶精度的向后差分法)计算得肋片的温度分布为:\n");for(i=0;i<N;i++)printf("%4.2f\t",t[i]);printf("\n\n");getchar();/*采用二阶精度的元体平衡法数值离散(温度初值还用设定的初场，便于比较)*/ for(i=0;i<N;i++)a[i]=b[i];cha=1;while(cha>0.0001){a[0]=1;for(i=1;i<N;i++)a[i]=(a[i+1]+a[i-1])/(2+m*m*x*x);a[N-1]=a[N-2]/(1+0.5*m*m*x*x);cha=0;for(i=0;i<N;i++)cha=cha+a[i]-b[i];cha=cha/N;}for(i=0;i<N;i++)t[i]=a[i]*(t0-t1)+t1;printf("\n\n经数值离散(二阶精度的元体平衡法)计算得肋片的温度分布为:\n"); for(i=0;i<N;i++)printf("%4.2f\t",t[i]);printf("\n\n");getchar();}-----精心整理，希望对您有所帮助!。
圆柱体一维稳态导热
圆柱体一维稳态导热在工程和物理学领域中，导热是一个重要的热传导过程。
圆柱体的一维稳态导热问题是其中一个经典的问题，它可以通过一维热传导方程来描述。
在本文中，我们将研究这个问题并推导出解析解。
圆柱体一维热传导方程圆柱体一维热传导方程描述了圆柱体内部温度的分布和变化。
在稳态情况下，温度关于径向的变化可以被假设为与时间无关，只与距离轴线的径向距离有关。
一维热传导方程如下所示：$$ \\frac{{d^2 T}}{{dr^2}} = 0 $$其中，T是温度关于径向距离r的函数。
圆柱体温度分布解析解为了求解圆柱体一维热传导方程的解析解，我们需要考虑边界条件。
在这个问题中，我们假设圆柱体的两个端面保持恒定的温度，分别为T1和T2。
边界条件可以表示为：T(0)=T1T(L)=T2其中，L是圆柱体的长度。
通过解一维热传导方程和边界条件，我们可以得到温度分布的解析解：$$ T(r) = \\frac{{T_2 - T_1}}{{L}}r + T_1 $$这个解析解表明圆柱体内部温度随着径向距离呈线性分布。
当半径为零时，温度为T1；当半径为L时，温度为T2。
圆柱体热传导率圆柱体的热传导率是一个描述圆柱体导热性能的重要参数。
热传导率k描述了单位温度梯度下的热量传导速率。
在一维稳态情况下，我们可以通过温度分布的导数来计算热传导率。
$$ \\frac{{dT}}{{dr}} = \\frac{{T_2 - T_1}}{{L}} $$根据热传导率的定义，我们可以得到热传导率的数值：$$ k = \\frac{{T_2 - T_1}}{{L}} $$圆柱体的热传导问题应用圆柱体一维稳态导热问题在工程和物理学中有广泛的应用。
例如，在热交换器的设计中，我们需要了解圆柱体管壁内外的温度分布，以便有效传递热量。
此外，圆柱体热传导问题也在材料科学研究中扮演重要角色，用于分析材料的导热性能。
结论在本文中，我们通过一维热传导方程和边界条件推导出了圆柱体一维稳态导热问题的解析解。
一维稳态导热问题数值计算
一维稳态导热问题数值计算刘强引言❖目前为止，一般稍微复杂的导热问题几乎都依靠数值法求解。
❖导热问题的数值法有三种：有限差分法，有限元法和边界元法。
本教材介绍目前在铸造领域温度场计算中普遍采用的直接差分法，也叫单元热平衡法。
❖基本思想：不用导热微分方程，而是直接通过能量守恒定律，根据相邻单元间的能量交换关系导出差热方程。
❖分析i 单元的热量平衡关系，从t n 到t n+1时间内，由i-1单元流入i 单元的热量为：=1Q x i T i T k n n ∆---)1()(x ∆⋅（1）由i 单元流入i+1单元的热量为：=2Q 由内能计算公式：t x i T i T k n n ∆⋅∆-+-)()1(Tm C Q p ∆=而在该时间内，得出单元的内能增量为：[])()(1i T i T C x Q n n p -∆=+ρ蓄（2）（3）根据能量守恒定律则能得出蓄Q Q Q =-21t x i T i T k n n ∆⋅∆---)1()([])()()()1(1i T i T C x t x i T i T k n n p n n -∆=∆⋅∆-+++ρ或是其中[])1()()2()1(1++-+-i T i T M i T M n n n tx M ∆⋅∆=α/上式即为显式差分格式（4）=+)(1i T n初始条件：边界条件：给定初始温度T （i ），i=1，2,3，…，N由初始和边界条件可计算区域内部各节点随时间t 变化的温度值：代表时间步常数给定边界温度n n N T T nn ,,2,1,0),(),1(⋅⋅⋅=),3,2,1;1,,3,2(),(⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅=n N i i T n步骤如下由初始条件和边界条件知图中第0排的温度，知，其中由初始条件提供)1(~)2(T 00-N T 由边界条件提供，与)()1(00N T T 第一排的温度值)1,,3,2)(1(1-⋅⋅⋅=N i T 可由（4）式得到；再利用边界条件，得到),()1(11N T T 与即能得到第一排上的全部节点的温度再由（4）式和边界条件依次算得inT n⋅⋅⋅==⋅⋅⋅i),,),2,1;(,3,2(n显示与隐式差分格式)(1i T n +)(1i T n +)1()()1(+-i T i T i T n n n 、、在4式中，n+1排上的任一节点i 的温度只依赖在n 排上i 节点及相邻节点i-1、i+1的温度值换言之，就是可由明显地来表示出来⇒显示差分格式若用)1()()1(111+-+++i T i T i T n n n 、、时刻的温度去计算1+n t tx i T i Tk Q n n ∆⋅∆---=++)1()(111t x i T i T k Q n n ∆⋅∆-+-=++)()1(112,21Q Q 、则能得到（5）（6）结合（3）式便得到另一种差分格式)()1(1)()21()1(1111i T i T Mi T M i T M n n n n =+-++--+++（7）此式只是表示的时间水平不同，实际上⇒与（4）式形势完全一致式（7）即完全隐式差分格式谢谢。
一维稳态导热数值解法matlab
一维稳态导热数值解法matlab 在导热传输的研究中，解析方法常常难以适用于复杂的边界条件和非均匀材料性质的情况。
因此，数值解法在求解热传导方程的问题上发挥了重要作用。
本文将介绍一维稳态导热数值解法，以及如何使用MATLAB来实现。
稳态导热数值解法通常基于有限差分法(Finite Difference Method, FDM)，它将连续的一维热传导方程离散为一组代数方程。
首先，我们需要将热传导方程转化为差分格式，然后利用MATLAB编写程序来求解。
下面，将具体介绍该方法的步骤。
步骤一：离散化根据一维热传导方程，可以将其离散为一组差分方程。
假设被研究的材料长度为L，将其等分为N个离散节点。
令x为节点位置，T(x)表示节点处的温度。
则可以得到以下差分方程：d²T/dx² ≈ (T(x+Δx) - 2T(x) + T(x-Δx)) / Δx²其中，Δx = L/N是节点之间的间距。
将热传导方程在每个节点处应用上述差分格式后，我们便得到了一组代表节点温度的代数方程。
步骤二：建立矩阵方程将差分方程中各节点的温度代入，我们可以将其表示为一个线性方程组。
这个方程组可以用矩阵的形式表示为Ax = b，其中A是系数矩阵，x是节点温度的向量，b是右侧项的向量。
步骤三：求解方程组使用MATLAB的线性方程求解器可以直接求解上述的线性方程组。
具体而言，通过利用MATLAB中的"\ "操作符，我们可以快速求解未知节点的温度向量x。
步骤四：结果分析与可视化在得到节点温度向量后，我们可以对结果进行可视化和分析。
例如，可以使用MATLAB的plot函数绘制温度随位置的分布曲线，以及温度随节点编号的变化曲线。
这样可以直观地观察到温度的变化情况。
总结：本文介绍了一维稳态导热数值解法以及使用MATLAB实现的步骤。
通过将热传导方程离散化为差分方程，然后建立矩阵方程并利用MATLAB的线性方程求解器求解，我们可以得到节点温度的数值解。
一维稳态导热数值计算
一维稳态导热数值计算引言在工程和科学领域中，热传导是一个重要的问题，它涉及到物体内部的热量传递过程。
一维稳态导热是指物体在一个方向上的热传导过程，且不随时间变化。
为了分析和解决一维稳态导热问题，我们可以使用数值计算方法，如有限差分法。
本文将介绍一维稳态导热数值计算的基本原理和步骤。
基本原理一维稳态导热问题可以描述为以下的热传导方程：$$\\frac{{d}}{{dx}}(k \\frac{{dT}}{{dx}}) = 0$$其中，k是物质的热导率，T是温度。
我们需要根据边界条件和初始条件求解该方程的解析解或数值解。
在数值求解中，我们通常将问题的区域离散化，将连续变量转化为离散变量。
我们可以将区域划分为多个小区间，每个小区间内的温度和导热系数近似为常数。
然后，我们可以使用有限差分法来近似求解。
数值计算步骤为了进行一维稳态导热问题的数值计算，我们需要按照以下步骤进行操作：步骤 1：确定区域和边界条件首先，我们需要确定问题的区域，并确定边界条件。
区域可以是一根导热杆或其他具有一维结构的物体。
边界条件可以是固定温度或热流量。
步骤 2：离散化区域将区域离散化是数值计算的基础。
我们可以将区域划分为多个小区间，每个小区间内的温度和导热系数近似为常数。
确定离散化的步长可以根据问题的要求进行选择。
步骤 3：建立差分方程根据离散化后的区域，我们可以建立差分方程，将热传导方程转化为一个线性方程组。
在一维稳态导热问题中，通常采用中心差分法或其他差分格式进行近似。
步骤 4：求解线性方程组求解差分方程就是求解线性方程组。
我们可以使用常见的数值计算工具或算法，如高斯消元法或迭代法，来求解线性方程组。
根据边界条件的不同，方程组的形式也会有所不同，需要根据具体情况进行选择。
步骤 5：计算结果最后，根据线性方程组的解，我们可以计算出每个小区间内的温度分布。
可以根据具体需求进行进一步计算和分析。
总结本文介绍了一维稳态导热数值计算的基本原理和步骤。
一维稳态热传导方程的数值解法及其
具体步骤如下：（1）先假设一个温度分布初值；
（2）计算相应函数b, a n b 及 a p
（3）求解线性离散方程组； （4）由新的温度再计算函数（改进系数）；
（5）返回2后，再重复计算T，直到 104 为止。
其中
Tn1 Tn
Tn
设初值为T*，迭代后新的温度分布为T，
例如在热传导问题中SP为正值，意味着TP增加，源项热源也增加，如果这时没有有效的散热机构，可能会反 过来导致温度的升高，如此反复下去，造成温度飞升的不稳定现象。
为了保证代数方程迭代求解的收敛。Δν为控制容积的体积， 线性代数方程迭代求解收敛的一个充分条件是对角占优，即
ap anbSPV
ap anb
,这里A是控制体积界面的面积，这里取1，于是ΔV= ΔX
从而有
d dT x e d dT x w xSCSP T P0
对扩散项T 随x 呈分段线性分布得：
dT dx
e
e
TExTeP理得：
TExT ePTPxT w WxSCSPTP0
e
w
TPxee xwwSpxTExeeTWxwwScx
1) S c =4 S p=-5
2) S c =4-5Tp* S p=0
3) S c =4+7Tp* S p=-12
2）中将S作为常数（以上一次迭代计算的T*计算S）处理，使源项相对于T永远有一 个滞后；1）中Tp是迭代计算当前值使S能更快跟上Tp的变化；3）比实际的S~ T 关系更陡的曲线，使迭代收敛速度减慢，相当于欠松弛。
一维稳态导热方程的离散形式可表示成：
aP T PaE T Ea W T W b
1
aE
一维稳态导热数值解法matlab
一维稳态导热数值解法matlab 导热是物体内部热量传递的一种方式，对于一维稳态导热问题，我们可以使用数值解法来求解。
MATLAB是一种强大的数值计算软件，可以方便地实现一维稳态导热数值解法。
首先，我们需要了解一维稳态导热问题的基本原理。
一维稳态导热问题可以用一维热传导方程来描述，即：d²T/dx² = Q/k其中，T是温度，x是空间坐标，Q是热源的热量，k是热导率。
我们需要求解的是温度T在空间上的分布。
为了使用数值解法求解这个方程，我们需要将空间离散化。
假设我们将空间分成N个小区间，每个小区间的长度为Δx。
我们可以将温度T在每个小区间的位置上进行离散化，即T(i)表示第i个小区间的温度。
接下来，我们可以使用有限差分法来近似求解热传导方程。
有限差分法的基本思想是用差分代替微分，将微分方程转化为差分方程。
对于一维热传导方程，我们可以使用中心差分公式来近似求解：(T(i+1) - 2T(i) + T(i-1))/Δx² = Q(i)/k其中，Q(i)是第i个小区间的热源热量。
将上述差分方程整理后，可以得到：T(i+1) - 2T(i) + T(i-1) = (Q(i)/k) * Δx²这是一个线性方程组，我们可以使用MATLAB的矩阵运算功能来求解。
首先，我们需要构建系数矩阵A和常数向量b。
系数矩阵A是一个(N-1)×(N-1)的矩阵，其中A(i,i) = -2，A(i,i+1) = A(i,i-1) = 1。
常数向量b是一个(N-1)维的向量，其中b(i) = (Q(i)/k) * Δx²。
然后，我们可以使用MATLAB的线性方程组求解函数来求解这个方程组。
假设我们将求解得到的温度向量为T_solve，那么T_solve就是我们所求的稳态温度分布。
最后，我们可以使用MATLAB的绘图功能来可视化温度分布。
通过绘制温度随空间坐标的变化曲线，我们可以直观地观察到温度的分布情况。
4 稳定态导热问题的数值解
4 稳定态导热问题的数值解在稳定态时，固体或者静止流体内部导热方程可以写成以下形式：v T T T q x x y y z z λλλ⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (4-1)4.1 一维稳定态导热的差分方程对于一维稳态导热问题，式(4-1)可以写成：0v T q x x λ∂∂⎛⎫+= ⎪∂∂⎝⎭(4-2) 式(4-2)可以直接进行积分，采用分析解法得到其解析解。
本节利用数值解法，采用差分方法，建立一维导热问题的差分方程。
基本思路是先针对简单的一维问题，介绍将微分方程变为差分方程的基本方法。
一维情况的控制体如图4-1所示。
空间网格划分采用方法A ，主节点为P 节点。
图4-1 一维导热问题的控制体 对于式4-2，在控制体上采用中心差分，可得：()10v e w i T T q x x x λλ⎡⎤∂∂⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎢⎥∆∂∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦(4-3) 两边同时乘以控制体的体积()i x ∆()0v i e wT T q x x x λλ∂∂⎛⎫⎛⎫-+∆= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ ()0e w v i e wT T q x x x λλ∂∂⎛⎫⎛⎫-+∆=⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ (4-4)在界面上继续采用中心差分，可得：()()()0P W E Pew v i e wT T T T q x x x λλδδ---+∆= (4-5)令：()()e w E W e wa a x x λλδδ==，v u P P q S S T =+（源项线性化处理）。
整理可得：()()()()0E E P W P W u P P i a T T a T T S S T x -+-++∆=()()E E W W u E W P P i i a T a T S x a a S x T ⎡⎤++∆=+-∆⎣⎦令：()E W P P i a a S x a +-∆=，()u i S x b ∆=则：P P E E W W nb nba T a T a Tb aT b =++=+∑ (4-6)上式即为一维稳定态导热问题内部节点的差分方程。
一维稳态热传导方程
一维稳态热传导方程
一维稳态热传导方程
一维稳态热传导方程是热传导问题的基本方程，其中，热传导系数K是用温度未变量的函数。
热传导方程的求解是热储存问题的基本算法，常用Finite element法和Finite Difference法求解。
一维稳态热传导方程
一维稳态热传导方程用来描述传统的单调方程热导率, 它表示
时间和空间的变化：
/d2T/dx2 + q_e = 0
其中：/d2T/dx2 为温度对x的二阶导数，q_e 为热源或热损失。
一般应用条件
1. 物质性质不变：
流体恒定的密度和热容，固体恒定的力学强度，导热系数和热容。
2. 境界条件：边界条件需要定义，自由表面是定义化学反应率的温度，或热损失。
热传导方程的求解
常用Finite element法和Finite Difference法求解。
Finite element法：采用有限元素方法，把区域分成小的等边形或三角形元素，然后求解每一个元素对应的温度场。
Finite Difference法：将方程化为一组一次方程组，然后由矩阵的求解得到方程组的解。
结论
一维稳态热传导方程是热传导问题的基本方程，其中，热传导系数K是用温度未变量的函数，然后常用Finite element法和Finite Difference法求解。
一维稳态热传导方程
一维稳态热传导方程
* 《二维共轭热传导方程》.doc
### 二、计算方法
1、一维稳态热传导方程求解
稳态热传导方程可以把热温度当成一种流体，速度可以理解为温度的变化率。
求解一维稳态热传导方程，可以根据牛顿热传导方程： $frac{partial T(x,t)}{partial t} = frac{kappa}{
ho C_p} frac{partial ^2 T(x,t)}{partial x^2}$ 其中$T$是温度，$kappa$是传热系数，$
ho$是物质密度，$C_p$是比容热容量。
根据牛顿热传导方程，可以用有限差分法(finite difference method)来求解一维稳态热传导方程。
这种方法基本思路是用一系列
离散点近似地描述出温度分布，用差分公式及多项式估算温度的变化，进而求解出待求温度分布。
2、二维共轭热传导方程求解
二维共轭热传导方程可以表示为：
$frac{partial^2 T(x,y)}{partial x^2} + frac{partial^2
T(x,y)}{partial y^2} = 0$
一般来讲，我们可以将二维共轭热传导方程拆分成一维的，用有限差分法就可以求解出温度分布。
也可以用拉普拉斯变换法求解，也可以用三角形网格法，或者用椭圆分形网格法。
- 1 -。
导热问题的数值解法一
T5 = Tr
2 = 0 = λ 1 W / m ⋅K) (
一维稳态常物性导热问题
有限容积积分(内点)
∆x x i-1 i-1/2 i i+1/2 i+1
∫
xi +1/ 2
xi −1/ 2
d dT λ dx dx
dT 0⇒λ dx = dx
对所求变量给出预估值，然后根据离 散方程对其不断改进，直至求得收敛解。
一维稳态常物性导热问题
Jacobi迭代法： 任意点上未知量的更新都用上一轮迭代中 所获得的值来计算
1 (I ) (I ) Ti aiTi + c T = + 1 i i −1 bi
( I +ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
(
)
Gauss-Seidel迭代法： 每一步计算取邻点的最新值
界面导热系数的计算方式
λ= i +1/ 2 λ= i −1/ 2
1 ( λi + λi +1 ) 2 1 ( λi + λi −1 ) 2
算术平均
哪种好？
∆x x i-1 i i-1/2 i+1/2 i+1
λi +1/ 2 =
2 1
λi λi −1/ 2 =
1
+
1
λi +1
1
2
调和平均
λi
+
λi −1
Ti +1 − Ti ⇒ = 1 Ti +1 − Ti 2 ⇒λ = i +1/ 2 1 1 1 1 + + 2λi +1 2λi λi +1 λi
一维稳态导热方程推导
一维稳态导热方程推导导热方程简介在理解一维稳态导热方程之前，我们先来了解导热方程的概念。
导热方程描述了热量在介质中的传播规律，通过该方程可以推导出温度在空间中的分布情况。
一维稳态导热方程的定义一维稳态导热方程描述了在一个维度上，介质中的热量分布不随时间变化的情况下的热传导行为。
该方程可以用数学形式表示为：$$\\frac{{d}}{{dx}}(k(x)\\frac{{dT}}{{dx}}) = 0$$其中，k(x)是介质的导热系数，T(x)是温度分布函数，x表示一维空间坐标。
推导过程为了推导一维稳态导热方程，我们需要考虑热传导过程中的热流量和热量守恒。
假设我们有一个长度为L的介质，其中的热传导是沿着x方向进行的。
首先，我们考虑介质内的一个微小段dx，该段温度为T(x)，导热系数为k(x)。
根据热量守恒定律，该微小段内的热量变化率应与进入和离开该段的热流量之和相等。
我们可以将该微小段的热量变化率表示为：$$\\frac{{d}}{{dt}}(Q(x)) = -\\frac{{d}}{{dx}}(F(x))$$其中，Q(x)表示该微小段内的热能，F(x)表示通过该微小段的热流量。
考虑微小段dx与其邻近的微小段之间的热传导，我们可以使用傅里叶定律来表示热流量F(x)：$$F(x) = -k(x) \\frac{{dT}}{{dx}} dx$$代入热量守恒定律的表达式中，我们得到：$$\\frac{{d}}{{dx}}(k(x)\\frac{{dT}}{{dx}}) = 0$$这就是一维稳态导热方程。
方程的物理意义一维稳态导热方程描述了热量在一个维度上的传播规律。
方程表明，在稳态下，介质中的热传导是由温度梯度驱动的。
温度梯度越大，热传导越强。
导热系数k(x)描述了介质内导热的特性，它可以反映介质的性质和结构。
通过求解一维稳态导热方程，我们可以确定介质内不同位置的温度分布。
这对于许多工程问题和科学研究都是非常重要的，例如热传导问题、传热设备设计等。
第四章_导热问题的数值方法
5 热传导问题的数值方法5.1一维稳态导热一维稳态导热在直角坐标系下的控制方程可表示为：0)(=+s dxdT k dx d (5-1) 式中k 为导热系数，T 是温度，s 是单位容积的热产生率。
首先选定控制体和网格，如图5.1所示，并对方程（5-1）在所选定的控制体进行积分，即得：0)()(=+-⎰dx s dxdTk dx dT k e w w e (5-2)图5.1 控制体和网格然后进行离散化。
如果用分线段性分布来计算方程（5-2）中的微商dxdT，那么最终的方程为:0)()()()(=∆+---x s x T T k x T T k wW P w e P E e δδ (5-3)假设源项s 在任一控制体中之值可以表示为温度的线性函数，即P P c T s s s +=，则导出的离散化方程为：b T a T a T a W W E E P P ++= (5-4)式中x s b xs a a a x k a x k a c P W E P w wW ee E ∆=∆-+=δ=δ=)()( (5-5) 式(5-4)就是一维稳态导热方程的离散形式，系数a E 和a W 分别代表了节点P 与E 间及W 与P 间导热阻力的倒数，它们的大小反映了节点W 和E 处的温度对P 点的影响程度。
式中的k e 和k w 是控制容积中的e 和w 界面上的当量导热系数。
进行计算时，物理参数值存储在节点的位置上。
为了确定k e 和k w ，还需规定由节点上的物理量来计算相应界面上的量的方法。
常用的方法由两种，即算术平均法与调和平均法。
1、算术平均法假定k 与x 呈线性关系，由P 与E 点的导数系数确定e k 的公式为：eeE e e P e x x k x x k k )()()()(δδ+δδ=-+ （5-6）2、调和平均法利用传热学的基本公式可以导出确定界面上当量导热系数的调和平均公式。
控制容积中P 和E 的导热系数不相等，但界面上热流密度应该连续，则由Fourier 定律可得：()()()()EePePE EeeE PePe e k x k x T T k x T T k x T T q +-+-δ+δ-=δ-=δ-=（5-7）而()Pe PE e k x T T q δ-=则()()()Ee Pe eek x k x k x +-+=δδδ （5-8）这就是确定界面上当量导热系数的调和平均公式，它反映了串联过程热阻的迭加原则。
柱坐标一维稳态导热方程
柱坐标一维稳态导热方程导热方程是研究物体温度分布与传热过程的重要方程。
在一维情况下，导热方程描述了物体内部温度随时间和空间变化的关系。
柱坐标是一种常见的坐标系，用于描述具有柱状形状的物体。
本文将讨论柱坐标下的一维稳态导热方程以及其解析解。
一维稳态导热方程在柱坐标下，一维稳态导热方程可以表示为:∂/∂r (r * ∂T/∂r) = 0其中，T是温度，r是径向坐标。
这个方程描述了柱状物体内部温度在径向方向的变化。
方程左侧的项表示温度梯度在径向的变化率，而右侧的项为0，表示稳态情况下温度分布不随时间变化。
方程的解析解为了求解方程的解析解，我们假设柱状物体的温度只与径向坐标有关，即T(r)。
将这个假设代入导热方程中，可以得到如下的微分方程：1/r * d/dr (r * dT/dr) = 0为了求解这个微分方程，我们可以使用分离变量的方法。
首先，通过引入一个新的变量u=r^2，将方程转化为关于u和T的微分方程：d^2T/du^2 + (1/u) * dT/du = 0接下来，我们令Y = dT/du，这样微分方程可以进一步简化为：dY/du + (1/u) * Y = 0这是一个一阶常微分方程，其解为：Y = C/u其中，C是常数。
由于Y = dT/du，我们可以得到：dT/du = C/u对上式进行积分，可以得到T的解析解：T = C1 * ln(u) + C2换回对r的表示：T = C1 * ln(r^2) + C2这就是稳态导热方程在柱坐标下的解析解。
应用示例让我们看一个具体的应用示例，假设柱状物体的半径为R，温度在边界r=R处为T1，在r=0处为T2。
我们可以利用解析解来计算在这个柱坐标下的温度分布。
根据边界条件，我们可以确定常数C1和C2。
当r=R时，T=T1，带入解析解得到：T1 = C1 * ln(R^2) + C2当r=0时，T=T2，带入解析解得到：T2 = C1 * ln(0^2) + C2 = C2因此，我们可以得到：C1 = (T1 - T2) / ln(R^2)C2 = T2将这些常数带入解析解，可以得到具体的温度分布：T = [(T1 - T2) / ln(R^2)] * ln(r^2) + T2结论本文讨论了柱坐标下的一维稳态导热方程及其解析解。
一维热传导方程求数值解
⼀维热传导⽅程求数值解⼀维热传到⽅程求数值解本⽂主要利⽤泰勒展开将⽅程中的⼀阶还有⼆阶偏导数进⾏离散化，推导出⼀种可以⽤程序求解的形式求解原理⼀维热传导⽅程\begin{align} \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x} \left ( x,t \right ) &=a^{2} \frac{\partial^{2}u}{\partial x^2}u(x,t)+f(x,t)\\ u(x,0)&=\varphi({x})\\u(a,t)&=\gamma_{1}(t)\\ u(b,t)&=\gamma_2(t) \end{cases} \end{align}由于热传导⽅程较为复杂，只能将⽅程中的⼀阶和⼆阶偏导进⾏离散化。
和欧拉法采⽤相同的思路，下⾯进⾏推导：将x与t分别在横坐标与纵坐标上进⾏划分x步长: \Delta{x}= \frac{b-a}{N}，得到关于x_j与t_n的表达式：\begin{aligned} x_j &= a + (j-1)\Delta{x} \\ t_n &= 0 + (n-1)\Delta{t} \\ \end{aligned}将函数进⾏近似替换u_j^n\approx u(x_j,t_n)根据泰勒展开将公式进⾏代换对于任意⼀个x_j对t进⾏展开：u(x_j,t_n+\Delta{t})=u(x_j,t_n)+\frac{\partial u}{\partial t} (x_j,t_n)\Delta{t}+···由于很难求出函数的偏导，所以需要将其所有偏导形式转换成容易求解出来的离散形式⾸先⽤⼀维热传导⽅程进⾏替换\frac{\partial u}{\partial t} (x_j,t_n) = a^2 \frac{\partial^{2}u}{\partial x^2}(x_j,t_n)+f(x_j,t_n)利⽤上式联⽴下⾯两个式⼦\begin{aligned} u(x_j+\Delta{x},t_n) &= u(x_j,t_n)+\frac{\partial u}{\partial x} (x_j,t_n)\Delta{x}+1/2\frac{\partial^{2}u}{\partial x^2}(x_j,t_n)\Delta{x}^2+···\\u(x_j-\Delta{x},t_n) &= u(x_j,t_n)-\frac{\partial u}{\partial x} (x_j,t_n)\Delta{x}+1/2\frac{\partial^{2}u}{\partial x^2}(x_j,t_n)\Delta{x}^2-··· \\ \frac{\partial^{2}u} {\partial x^2}(x_j,t_n) &\approx \frac{u_{j+1}^n+u_{j-1}^n-2u_j^n}{\Delta{x}^2} \end{aligned}最后得到递推关系式u_j^{n+1}=u_j^n+[a^2\frac{u_{j+1}^n+u_{j-1}^n-2u_j^n}{\Delta{x}^2}+f_j^n]\Delta{t}化成易于⽤程序求解的形式在时间维度上进⾏递推⾸先设置两个时间向量，将所有的位置包括其中u^n= \begin{pmatrix}u_1^n \\\vdots \\\vdots \\u_{N+1}^n \end{pmatrix}\qquad u^{n+1}= \begin{pmatrix}u_1^{n+1} \\\vdots \\\vdots \\u_{N+1}^{n+1}\end{pmatrix}建⽴系数矩阵\begin{pmatrix} \phi \\ 第⼀取值 \\ \vdots \\ 第N取值 \\ \phi \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-2\quad1\quad0\quad0\quad··· \\1\quad-2\quad1\quad0\quad···\\\vdots \\···\quad0\quad1\quad-2\quad1 \\···\quad0\quad0\quad1\quad-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_1^n \\u_2^n \\\vdots \\\vdots \\u_{N+1}^n\end{pmatrix}为何矩阵要这么建⽴，系数矩阵A的第⼆⾏为例，与右边的列向量相乘得到结果u_1^n - 2u_2^n + u_3^n将结果表⽰成以下列向量。
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由上两式有：
xe xe xe
e
P
E
（5）
此式即为界面上的当量导热系数调和平均公式，
它可以看成是串联过程中热阻叠加原则的反映。
当网格划分为均匀网格时
e
2P E P E
（4）
6.3 两种方法的比较
1）当λ E 0时，由4式λe 0，说明在一个绝热层
界面）
4）把物性阶跃面设置成一个节点的位置比作为控 制容积分界面，使计算结果会更加精确。（由于此种情
况阶跃面两侧温度梯度不同，如按3处理，相当于用平均值来代替，采用此种方法处理 时，物性阶跃面两侧温度梯度单独计算，提高了计算精度。）
一维稳态导热方程的离散形式可表示成：
aP T PaE T Ea W T W b
的表面上qe=0，合乎实际；但 3 式 λe 0;
2）如 P
分时， e
E
P
2
，按算术平均法，当网格为均匀划
E
P
2
则P，E间的导热阻力为
2
x
e
P
，说明P，E间的导
热热阻由导热系数大的决定 ，这是不对的。
若按调和平均法计算，由5式则导热热阻为
xe xexexe
w
TPxTwW
整理得：
TExT PTPxT WxSCSPTP0
e
w
e
w
TPxee xwwSpxTExeeTWxwwScx
简化成 aP T PaE T Ea W T W b （2）
§6 一维稳态热传导方程的数 值解法及其应用
6.1 一维稳态导热的通用控制方程
一维稳态导热方程离散化、边界条件及源项的处 理及非线性代数方程的求解方法等对对流问题数 值解也适用。 一维稳态导热微分方程的通用形式为
d dx
dT dx
S
0
式中： x －与热量传递方向相平行的坐标 s－ 源项 λ－导热系数
aE
e
x
, aW
w
x
e
w
aP aE aW S p x
b Scx
一维稳态导热方程的离散形式
系数aE，aW：
1）分别代表了节点P,E间及W,P间导热阻力的倒数（热导）， 其大小反映了节点E,W处的温度对P点温度的影响程度；
2）在aE，aW中出现了界面上当量导热系数λ e ，λw，在进行 数值计算时物性数据及温度等变量都存放在节点上，必须 找出如何由相邻两节点的导热系数来获得当量导热系数。 (λ~t，如钢材与耐材结合时λ会有一突变，同一钢材加热时，铁素体向奥氏体转化)
1
aE
x
e
x
e
P
E
aW
x
w
1
x
w
wEaP aFra bibliotek aW Spx b Scx
6.4 非线性问题的处理步骤
当源项为温度的非线性函数时，或当量导热系数为温度的函数 时，所计算的问题即为非线性问题，该类问题只能采用迭代的 方式进行求解（应用牛顿迭代方法或其它迭代方法求解）
6.5 源项处理方法
1、源项：它是一个广义量（广义源项），它代表了那些 不能包括到控制方程中的非稳态项，对流项，扩散项中 的所有其它各项之和。
2、采用广义源项的意义：在控制方程中加入广义源项可 以使通用方程代表相当多的流动和传热现象，对于扩展 所讨论的算法及相应程序的通用性具有重要意义。
aP T PaE T Ea W T W b
具体步骤如下：（1）先假设一个温度分布初值；
（2）计算相应函数b, a n b 及 a p
（3）求解线性离散方程组； （4）由新的温度再计算函数（改进系数）；
（5）返回2后，再重复计算T，直到 104 为止。
其中
Tn1 Tn
Tn
设初值为T*，迭代后新的温度分布为T，
下一次迭代部分改进
Tn1TfT(1f)
f-松弛系数，f=0~1为欠松弛，f〉1为超松弛。
f=0时重复计算，无更新， f=1时更新快，但易发散。 强烈非线性问题迭代需采用欠松弛方法促进收敛。
F=0.1时新值偶和进去很小，二次结果相差很小，误以为收敛，此时F调大些，如仍相差很小，则收敛。
6.2 计算当量导热系数的两种方法
算术平均法及调和平均法
1）算术平均法
设在P，E之间λ与x成线性关系，则由P，E两点上
的导热系数λ E ，λW确定λe的算术平均(λ不能有突变）
公式为：
e P(xx)eeE(xx)ee
当网格划分为均匀网格时
e
P
E
2
（3）
2）调和平均法
设在控制容积P，E的导热系数不等，则根据界面
上热流密度连续的原则，由傅立叶定律有：
qe TexTep TExT ee xTeE TPxe
P
E
P
E
按界面上的当量导热系数的含义，有：
qe
TE
TP
x e
e
,这里A是控制体积界面的面积，这里取1，于是ΔV= ΔX
从而有
d dT x e d dT x w xSCSP TP0
对扩散项T 随x 呈分段线性分布得：
dT dx
e
e
TExTeP
dT dx
w
（1）
对控制容积P做积分导出其方程的离散形式
对于源项S，常表示为温度的函数
S=SC+SPTP
式中： SC --- 常数，
SP --- P点的斜率 TP --- P点的温度
对控制方程在控制容积P中进行积分得：
VddxddT xdVVSdV0
式中ΔV是控制体积的体积值，当控制体积微小时， ΔV可以表示为ΔX*A
e
P
E
E
即温度TP将一直扩展到界面e，而温降TP- T E实际上发生在
x
e
内。
说明P，E间的导热热阻由导热系数小的决定，符合传热学
原理。所以此种情况下，调和平均法符合。
对于表征输运特性的物性参数，如导热系数，动力黏度， 调和平均法均优于算术平均法。
3）在导热系数突变时，使用该调和平均值不必采 用极密的网格，且对有内热源且导热系数连续变 化的场合也要比算术平均好得多。（把阶跃面作为控制容积的分