材料力学习题解答优秀PPT

在C点虚加载荷P，由对称性：RB
RC
F 2
F A
由杆件AB的平衡有：
mA
PH
RB H
sin
22.5
FN
2
L tan 22.5
0
45
FN D
B
H 4m
E FN
C
FN
2H
tan 22.5(P L
RB
sin 22.5)
P RB
P RC
2 4 0.414(P 0.383F / 2) 2
uC
U P
P0
sin
22.5
FN
2
L tan 22.5
0
45
FN D
B
H 4m
E FN
C
FN
2RB H
sin 22.5 tan 22.5 L
FN 0.317F
4 0.383 0.414 F 2 wA
RB
U F
RC
0.3172 FL EA
FL 10EA
结构总应变能为：U FN 2L 0.3172 F 2L
F (2a)2 16EI
Fa2 (1 1 1) 5Fa2 EI 8 3 4 24EI
A
a
F
F
C
D
B
EI
a
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
(b)
应用能量法计算太麻烦！
6
3．如图所示结构，刚架各段的抗弯刚度为EI，拉杆的 抗拉刚度为EA。试用卡氏定理计算C点的竖向位移。
解： 在C截面处虚加一力F。
FN a
qa2 2
Fa
FN
qa 2
F
D
FN
B
M1 M2
( q 2
FN x
x12 (
Fx1 qa2 2
) Fa)
( qa F)x ( qa2
2
2
Fa)
a
A
q
F
C
x2 a x1
a
wC
U F
F 0
qa / 2 EA
1 a
1 EI
a 0
qx2 x d x 1
2
EI
a ( qa x qa2 )(x a) d x
RF 4
8
4．如图所示各梁的抗弯刚度均为EI，试用卡氏定理求梁
支座C处的约束反力。
解：(b) 二次超静定问题。
A
M1 Rx m (0 x a)
M 2
1 2
q(x
a)2
Rx
结构总应变能为：U
m
a
(a
解：(a) 一次超静定问题。
m Fa F x
M1 Rx (0 x a)
A
M 2 F (x a) Fa Rx (a x 2a)
结构总应变能为：U
a
M
2 1
d
x
2a M 22 d x
0 2EI
a 2EI
C
B
a
a
(a)
R
wC
U R
a M1 M1 d x 0 EI R
2a M 2 a EI
M 2 d x 0 R
1
a
Rx x d x
1
2a
[F (x a) Fa Rx]x d x 0
EI 0
EI a
1 Ra3 F [(2a)3 a3 ] 2Fa [(2a)2 a2 ] 1 R[(2a)3 a3 ] 0
3
3
2
3
7F 3F 8 R 0
3
3
7F 9F 8R 0
M 2 d x F1
wC
2F (2a)3 3EI
Fa3 3EI
Fa2 2EI
a
a F1x x d x 2a [F1x F2 (x a)] x d x
0 EI
a
EI
37Fa3 6EI
a 2Fx
2a [2Fx F (x a)]
0 EI x d x a
xdx EI
2F a3 3F (2a)3 a3 Fa (2a)2 a2 Fa3 ( 2 7 3)
解： (a) F1 2F
F2 F
M1(x) F1x
F
2F
EI B
A
C
a
a
M 2 (x) F1x F2 (x a)
(a) x
结构总应变能为：U
a
M
2 1
d
x
2a M 22 d x
0 2EI
a 2EI
叠加法：
wC
U F1
a M1 M1 d x 0 EI F1
2a M 2 a EI
材料力学习题解答11
能量法
1
卡氏定理
1．如图所示支架中，AB和AC杆在A处铰接在一起并 可看成是刚体，拉杆长L=2m，横截面的直径d=15mm ，弹性模量为E=210GPa，载荷F=20kN。试求A点的竖 向位移和C点的水平位移。
解：
由整体平衡有：RB
RC
F 2
F A
由杆件AB的平衡有：
mA
RB H
EI 3 EI 3 EI 2
EI 3 2
wC
37Fa3 6EI
4
2．如图所示各梁的抗弯刚度为EI，试用卡氏定理计 算C截面的挠度和B截面的转角。
解： (a) 在B截面处虚加一力偶m。
A
M1(x) 2Fx
M 2 (x) m 2Fx F (x a)
结构总应变能为：U
a
M
2 1
d
x
2a M 22 d x
0.828 0.159FL EA
0.828P 0.159F
结构总应变能为：
0.132 20103 2000 210103 3.14152
4
U FN 2L (0.828P 0.159F )2 L
2EA
2EA
? 0.142mm
3
2．如图所示各梁的抗弯刚度为EI，试用卡氏定理计 算C截面的挠度和B截面的转角。
EI 2
EI
EI 2
2EI
叠加法：
B
3Fa2 2EI
2Fa2 EI
7Fa2 2EI
B
7 Fa 2 2EI
5
解： (b) 叠加法：
wC
F (2a)3 48EI
(Fa / 2)(2a)2 16EI
Fa3 Fa3 Fa3 6EI 8EI 24EI
B
F (a / 2)2 2EI
(Fa / 2)(2a) 3EI
2EA
2EA
10
20103 210103
2000 4 3.14152
wA 0.1mm
2
卡氏定理
1．如图所示支架中，AB和AC杆在A处铰接在一起并 可看成是刚体，拉杆长L=2m，横截面的直径d=15mm ，弹性模量为E=210GPa，载荷F=20kN。试求A点的竖 向位移和C点的水平位移。
解：
0 2EI
a 2EI
F
2F
EI m B
C
a
a
(a) x
B
U m
m0
a M1 M1 0 EI m
m0 d x
2a M 2 M 2 a EI m
m0 d x
2a [m 2Fx F (x a)]
a
EI
m0 d x
2a [2Fx F (x a)] dx
a
EI
3F (2a)2 a2 Fa a Fa2 (9 1) 7Fa2
02
2
qa2 qa4
2EA 8EI
qa 2EI
a 0
(x a)2 d x
qa2 qa4 qa 2EA 8EI 2EI
0 t2 dt
a
qa2 qa4 qa4 qa2 7qa4
2EA 8EI 6EI 2EA 24EI
qa2 7qa4 wC 2EA 24EI （向下） 7
4．如图所示各梁的抗弯刚度均为EI，试用卡氏定理求梁 支座C处的约束反力。