傅里叶分析之掐死教程
傅里叶技巧
傅里叶技巧
傅里叶技巧是一种在信号处理和图像处理中广泛使用的数学方法，它基于傅里叶变换和逆傅里叶变换。
这个技巧可以将一个信号或图像转换成频域表示，从而揭示出其中的频率成分和周期性特征。
傅里叶技巧的核心是傅里叶变换，它将一个时域信号转换成频域信号。
傅里叶变换的公式如下：
F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt
其中，F(ω)表示频域信号，f(t)表示时域信号，ω表示角频率。
傅
里叶变换将一个连续时间的信号转换成了一个连续频谱的信号。
通过傅里叶变换，我们可以分析一个信号的频率成分，找出信号中的主要频率和周期。
这对于音频处理、图像处理、通信系统等领域非常有用。
例如，在音频处理中，我们可以通过傅里叶变换将一段音频信号转换成频谱图，从而分析音频中的各个频段的能量分布。
除了傅里叶变换，傅里叶技巧还包括逆傅里叶变换，它可以将频域信号转换回时域信号。
逆傅里叶变换的公式如下：
f(t) = (1/2π)∫F(ω)e^(jωt)dω
通过逆傅里叶变换，我们可以恢复出原始的时域信号。
这在信号重构和滤波等应用中非常有用。
傅里叶技巧在实际应用中有很广泛的应用。
例如，在图像处理中，我们可以通过傅里叶变换将一幅图像转换成频域表示，从而进行频域滤波和图像增强等操作。
在通信系统中，我们可以使用傅里叶变换进行频谱分析和信号调制等处理。
总之，傅里叶技巧是一种非常强大的数学工具，可以帮助我们理解和处理信号和图像。
它的广泛应用使得我们能够在各个领域中更好地理解和利用信号的特性，从而实现更高质量的信号处理和图像处理。
傅里叶分析报告教程(完整版)
傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06Heinrich · 6 个月前作者：韩昊知乎：Heinrich 微博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。
转载的同学请保留上面这句话，谢谢。
如果还能保留文章来源就更感激不尽了。
我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
——————————————以上是定场诗——————————————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。
但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。
这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。
无论如何，耐下心，读下去。
这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……p.s.本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。
一、什么是频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。
第三章 傅里叶分析(修订)
第3章 傅里叶分析傅里叶分析是利用傅里叶变换来分析信号的一种通用工具，其实质是将信号分解成若干个不同频率的正弦波之和。
它在信号处理的理论和应用中具有重要意义。
3.1 傅里叶变换概述我们知道，傅里叶变换定义了以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量的“频谱函数”之间的某种变换关系，也就是说，傅里叶变换建立了时域和频域之间的联系。
所以当自变量“时间”或“频率”取连续值或离散值时，就形成了各种不同形式的傅里叶变换对。
一、 时间连续、频率连续的傅里叶变换（FT ）其傅里叶变换公式为： 正变换 ⎰∞∞-Ω-=Ωdt e t x j X t j )()(反变换 ⎰∞∞-ΩΩΩ=d e j X t x t j )(21)(π连续时间非周期信号x (t )的傅里叶变换结果是连续的非周期的频谱密度函数X (j Ω)，如图所示。
可见，时域函数的连续性造成频域函数的非周期性，而时域的非周期性造成频谱的连续性。
二、 时间连续、频率离散的傅里叶变换——傅里叶级数（FS ）周期为T 的周期性连续时间函数x (t )可展开成傅里叶级数，其系数为X (jk Ω0)，X (jk Ω0)是离散频率的非周期函数。
x (t )和X (jk Ω0)组成变换对，其变换公式为： 正变换 ⎰-Ω-=Ω2/2/00)(1)(T T t jk dt e t x Tjk X反变换 ∑∞-∞=ΩΩ=k tjk e jk X t x 0)()(0式中，k ——谐波序号；Ω0=2π/T ——两条相邻的离散谱线之间角频率的间隔；x (t )和X (jk Ω0)之间的变换关系如图所示。
可见，时域函数的连续性造成频域函数的非周期性，而时域函数的周期性造成频域函数的离散化。
三、 时间离散、频率连续的傅里叶变换——序列的傅里叶变换（DTFT ） 1. DTFT 的定义序列的傅里叶变换公式为：正变换 ∑∞-∞=-=n nj j e n x eX ωω)()(反变换 ⎰-=ππωωωπd e e X n x n j j )(21)(注意：序列．．x(n)．．．．只有当．．．n ．为整数时才有意义，否则没有定义。
傅里叶分析通俗讲解
作者：韩昊知乎：Heinrich微博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。
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如果还能保留文章来源就更感激不尽了。
（编者注：文章来源知乎，网站 https:///p/19763358?refer=wille）——更新于2014.6.6，想直接看更新的同学可以直接跳到第四章————我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
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所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
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无论如何，耐下心，读下去。
这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……p.s.本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。
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傅里叶分析之掐死教程(完整版)
傅里叶分析之掐死教程（完整版）投递人itwriter发布于2014-06-07 10:50 评论(24)有34667人阅读原文链接[收藏]«»作者：韩昊知乎：Heinrich微博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。
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——更新于，想直接看更新的同学可以直接跳到第四章————我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12 年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
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傅里叶变换分析法
22
电路基础教学部
2004年11月25日10时7分
3.3.3 频谱密度函数(2)
Fn 2π F (ω ) = lim TFn = lim Fn = lim ∆ω → 0 ∆ ω ∆f → 0 ∆ f T →∞
表明：F (ω ) 是单位频带的复振幅，具有密度的概念，故称 其为频谱密度函数，简称为频谱函数或频谱密度(Spectral density)。
1 T /2 1 − jnω 0 t Fn = ∫ f ( t )e dt = (a n − jbn ) −T / 2 2 T nω 0τ nω 0τ A Aτ = sin( )= ) Sa ( 2 2 nπ T
f (t ) =
sin x x
1
-3π -π 2π -2π 0 π 3π
∞
x
n = −∞
∞ −∞ ∞ −∞
f ( t )e − jωt dt =| F (ω ) | e jθ (ω )
∞ −∞
f ( t ) cos ωtdt − j ∫
f ( t ) sin ωtdt
* f(t)为实函数 F (ω ) = F ( −ω )
| F (ω ) |~ ω
θ (ω ) ~ ω
f(t)为实偶函数 f(t)为实奇函数
…
…
ω0 2ω0 3ω0 nω0 ϕn ϕ1 ϕ2 ϕ3
-3ω0 -2ω0 -ω0 0
ω0 2ω0 3ω0 nω0 θn θ1 θ2 θ3
…
…
-3ω0 -2ω0 -ω0
…
0
ω0 2ω0 3ω0 nω0
…
θ-3 θ -2
电路基础教学部
θ-1
0
ω0 2ω0 3ω0 nω0
单边频谱
第23章ARM官方DSP库(STM32)傅里叶变换
安富莱 DSP 教程UM403 STM32-V5 开发板系统篇手册第23章 傅里叶变换本章节开始进入此教程最重要的知识点之一傅里叶变换。
关于傅里叶变换，我们在大一的高等代数课 本中都学习过，但是工作后还能记得这个变换的已经寥寥无几了。
本章节主要是把傅里叶相关的基础知识 进行必要的介绍，没有这些基础知识的话，后面学习 FFT（快速傅里叶变换）时会比较困难。
本章节的内 容主要来自百度百科，wiki 百科以及网络和书籍中整理的一些资料。
23.1 傅里叶人物简介 23.3 傅里叶变换概念 23.3 傅里叶的特殊形式 23.4 傅里叶变换相关知识 23.5 总结23.1 傅里叶人物简介学习傅里叶变换前，一定要对傅里叶这个人有所了解，这样更加有利于学习他提出的理论。
让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶（Jean Baptiste Joseph Fourier，1768 –1830） ，法国著名数学家、物理 学家，1817 年当选为科学院院士，1822 年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校 务委员会主席，主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。
傅立叶生于法国中部欧塞尔（Auxerre）一个裁缝家庭，8 岁时沦为孤儿，就读于地方军校，1795 年 任巴黎综合工科大学助教，1798 年随拿破仑军队远征埃及，受到拿破仑器重，回国后被任命为格伦诺布 尔省省长。
傅立叶早在 1807 年就写成关于热传导的基本论文《热的传播》 ，向巴黎科学院呈交，但经拉格朗日、 拉普拉斯和勒让德审阅后被科学院拒绝，1811 年又提交了经修改的论文，该文获科学院大奖，却未正式 发表。
傅立叶在论文中推导出著名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的 级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。
傅立叶级数（即三角级数） 、傅立叶 分析等理论均由此创始。
傅里叶教程
（2-1）
根据KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，因而 u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t))
整理上式后，可得
2 1 d i ( t ) d i ( t ) di ( t) d i ( t) S L L L ( i t) i ( t) )R ( )L 2 R S( L 1 2 C d t d t d t d t
2
2
(2)求系统的完全响应
完全解＝齐次解＋特解 齐次解
特征方程为：
特征根为： 齐次解为：
7 10 0
2
2 , 5 1 1
i ( t ) A e A e h 1 2
2 t 5 t
特解： 由于t 0+时,e(t)=4V 右端为4X4，令特解为I p（t）＝B 即
系统分析的任务：给定系统模型和输 入信号求系统的输出响应。
f T[.] y
求响应系统分析方法很多，系统时 域分析法不通过任何变换，直接求 解微分、积分方程； 时域分析方法，直观、物理概念清建立和求解
2.1.1 系统的描述 描述线性非时变连续系统的数学模 型是线性常系数微分方程。 对于电系统，列写数学模型的基本依 据有如下两方面:元件约束、结构约束。 1. 元件约束VAR (1)电阻R uR(t)=R· iR(t)；
傅立叶分析_图文
脉搏、语音及图像信号的傅里叶分析一、实验简介任何波形的周期信号均可用傅里叶级数来表示。
傅里叶级数的各项代表了不同频率的正弦或余弦信号，即任何波形的周期信号都可以看作是这些信号（谐波）的叠加。
利用不同的方法，可以从周期信号中分解出它的各次谐波的幅值和相位。
也可依据信号的傅里叶级数表达式，将各次谐波按表达式的要求叠加得到所期望的信号。
二、实验目的1、了解常用周期信号的傅里叶级数表示。
2、了解周期脉搏信号、语音信号及图像信号的傅里叶分析过程3、理解体会傅里叶分析的理论及现实意义三、实验仪器脉搏语音实验仪器，数字信号发生器，示波器四、实验原理1、周期信号傅里叶分析的数学基础任意一个周期为T 的函数f(t)都可以表示为傅里叶级数： 00010000000001()(cos sin )21()()1()cos()()1()sin()()n n n n n f t a a n t b n t a f t d t a f t n t d t b f t n t d t ππππππωωωωπωωωπωωωπ∞=---=++===∑⎰⎰⎰ 其中0ω为角频率，称为基频，0a 为常数，n a 和n b 称为第n 次谐波的幅值。
任何周期性非简谐交变信号均可用上述傅里叶级数进行展开，即分解为一系列不同次谐波的叠加。
对于如图1所示的方波，一个周期内的函数表达式为:(0t<)2() (-t 0)2h f t h ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩ 其傅里叶级数展开为：0100041()()sin(21)21411(sin sin 3sin 5)35n h f t n t n h t t t ωπωωωπ∞==--=+++∑ 同理：对于如图2所示的三角波，函数表达式为：4t (-t <)44()232(1) (t )44h T T f t t T T h T π⎧≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩ 其傅里叶级数展开为：1202100022281()(1)()sin(21)21811(sin sin 3sin 5)35n n h f t n t n h t t t ωπωωωπ∞-==---=-++∑图1 方波 图2 三角波从以上各式可知，任何周期信号都可以表示为无限多次谐波的叠加，谐波次数越高，振幅越小，它对叠加波的贡献就越小，当小至一定程度时(谐波振幅小于基波振幅的5%)，则高次的谐波就可以忽略而变成有限次数谐波的叠加，这对设计仪器电路是很有意义的。
傅里叶分析教程
傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06Heinrich · 6 个月前作者：昊知乎：Heinrich微博：花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事谨以此文献给海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及晶泊老师。
的同学请保留上面这句话，。
如果还能保留文章来源就更感激不尽了。
我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
——————————————以上是定场诗——————————————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。
但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。
这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。
无论如何，耐下心，读下去。
这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……p.s.本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。
一、什么是频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。
第5章傅里叶分析
ck
1 2
(a k
ib k ),
(5 .5)
c k
1 2
(a k
ib
k
)
则其复数形式为：
其中：
f ( t ) c k e ik t k
c k
1 T
T
2 f ( t ) e ik t
T 2
(5 .6 ) (5 .7 )
三、傅里叶变换
为了得到傅里叶变换的
具体形式，
首先考虑定义在－ l x l上的傅里叶
5 n 阶导数的傅里叶逆变换
为：
F － 1 f ( n ) (t ) ( it ) n F 1 f (t )
6 平移的傅里叶变换为：
F f (t a )( ) e ia F f ( )
7 傅里叶变换的比例性质 为：
F f (bt )( ) 1 F f ( )
b
b
8若t0时有f (t) 0,则：
由下式给出：
F t n f ( t ) ( ) i n d n F f ( ) dn
3 f与 n 乘积的傅里叶逆变换
由下式给出：
F 1 n f ( ) (t ) ( i ) n d n F 1 f (t ) dn
4 n 阶导数的傅里叶变换为
：
F f ( n ) ( ) (i ) n F f ( )
(5.2)
上式为一三角级数，当
n 时，即
f (t ) a 0 2 ( a k cos k t b k sin k t ) k 1
称为傅里叶级数。其中
a k , b k 为傅里叶系数，
可按最小二乘原理解出
为：
a 0
2 T
a k
2 T
T
傅里叶分析之掐死教程(完整版)
/
2014/6/23
பைடு நூலகம்
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傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维 模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵 圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不 得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死 吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能 看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定 将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的 朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
但是在频域呢？则简单的很，无非就是几条竖线而已。
所以很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。这就是需要傅里叶 变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为滤波， 是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。
再说一个更重要，但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。（这段有点难度，看 不懂的可以直接跳过这段）微分方程的重要性不用我过多介绍了。各行各业都用的 到。但是求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除，还要计 算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法，大学数学 瞬间变小学算术有没有。
二、傅里叶级数(Fourier Series)的频谱
还是举个栗子并且有图有真相才好理解。 如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带90度角的矩形波来，你会相信吗？ 你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：
快速傅里叶分析算法
快速傅里叶分析算法快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）是一种重要的算法，用于将一个信号分解为一系列频域分量。
它的计算效率远高于朴素的傅里叶变换算法，可以快速地处理大规模的数据。
本文将详细介绍快速傅里叶变换算法及其原理。
1.傅里叶变换概述：傅里叶变换是一种数学方法，可以将一个连续或离散的时间域信号转换为频域信号。
它是由法国数学家傅里叶在19世纪提出的。
傅里叶变换是一种线性变换，可以将信号分解为一系列正弦和余弦函数的和。
这些正弦和余弦函数的频率称为频率分量，它们表示信号中存在的各种频率。
2.快速傅里叶变换算法原理：快速傅里叶变换是一种高效的算法，用于计算离散的傅里叶变换。
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）是傅里叶变换在离散时间序列上的推广。
它将一个包含N个采样点的信号转换为包含N个频率分量的频域信号。
快速傅里叶变换算法的核心思想是分治法（Divide and Conquer）。
它将一个长度为N的离散信号分成两个长度为N/2的信号，并通过递归地计算这两个子信号的离散傅里叶变换来得到整个信号的离散傅里叶变换。
具体地，对于一个长度为N的离散信号x，快速傅里叶变换可以分为以下几个步骤：1)将信号分成长度为N/2的两个子信号，分别记为x1和x22)分别计算x1和x2的离散傅里叶变换，得到两个长度为N/2的频域信号X1和X23)将X1和X2合并为长度为N的频域信号X。
4) 对于X中的每个频率分量，根据蝶形算法（Butterfly Algorithm）进行计算，得到最终的离散傅里叶变换。
蝶形算法是FFT算法的关键步骤，它通过使用旋转因子（Twiddle Factor）来将两个频域分量进行合并，从而得到更高频率的分量。
3.快速傅里叶变换的优势：相比于朴素的傅里叶变换算法，快速傅里叶变换具有以下几个优势：1) 快速：FFT算法的时间复杂度为O(N log N)，其中N是信号的长度。
傅立叶消去法
傅立叶消去法
傅立叶消去法（Fourier Elimination Method）是一种求解线性微分方程组的方法，主要应用于振动系统的稳定性分析。
该方法利用傅立叶变换将非线性微分方程组转化为频域上的线性微分方程组，从而简化问题的求解。
具体步骤如下：
1. 对非线性微分方程组进行时域上的傅立叶变换，得到频域上的线性微分方程组。
2. 求解频域上的线性微分方程组，得到一组近似解。
3. 将频域上的近似解通过傅立叶逆变换转化为时域上的解。
4. 分析时域上的解的稳定性和振动特性。
傅立叶消去法在工程领域具有广泛的应用，如机械振动、电子电路、生态学等。
与传统的直接求解线性微分方程组的方法相比，傅立叶消去法具有计算简便、精度高等优点。
然而，它也有局限性，例如在处理非线性问题时，计算精度可能会降低。
因此，研究者在实际应用中通常会根据问题的具体性质选择合适的方法。
需要注意的是，傅立叶消去法与另一种方法——傅立叶变换法
（Fourier Transformation Method）是不同的。
傅立叶变换法是一种将时域信号
转换为频域信号的数学方法，用于分析信号的频率特性和滤波等。
而傅立叶消去法则是利用傅立叶变换求解线性微分方程组的一种方法，侧重于振动系统的稳定性分析。
1. 傅立叶展开(1-5)
所求函数的傅氏展开式为
4 Em u( t ) sin( 2n 1) t n1 ( 2n 1)
( t ; t 0, , 2, )
n1
1 bn f ( x ) sin nxdx 傅里叶系数
( n 1,2,3,)
1 an f ( x ) cos nxdx , ( n 0,1,2,) b 1 f ( x ) sin nxdx , ( n 1,2,) n
上面几个例子，本身不 是周期函数，都是先给 出函数在[ , ]或 [0,2 ]上的表达式，然后把它 扩充为整个数轴上的周 期为2的周期 函数，然后展开成 Fourier级数。对于只在（ 0, ）上有定义的函数， 如何展开成Fourier级数？
可以在( ,0)上任意补充 f 的定义，使 f 在( , )上有定义。然后 再把它以2为周期延拓到整个数轴 上去。
a0 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n 1
三角级数
2.三角函数系的正交性
三角函数系
1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,cos nx , sin nx ,
正交 : 任意两个不同函数在 [ , ]上的积分等于零 .
和函数图象为
u
m
E
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Em
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快速傅里叶分析算法
快速傅里叶分析算法快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种高效的傅里叶分析算法，它能够在O(nlogn)的时间复杂度下计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT），相比于朴素的DFT算法，其时间复杂度为O(n^2)。
FFT算法被广泛应用于信号处理、图像处理、数据压缩等领域。
快速傅里叶变换算法是由著名的高通滤波器和通信理论研究者Cooley和Tukey于20世纪60年代提出的。
该算法基于以下原理：将输入的序列分为奇偶两个部分，并且分别计算这两个部分的离散傅里叶变换。
然后将这两个部分的结果结合起来得到最终的结果。
通过这种分治的策略，能够将计算规模缩小为原来的一半。
具体来说，快速傅里叶变换算法的步骤如下：1.将输入序列分为偶数项和奇数项两个子序列。
2.对这两个子序列分别应用快速傅里叶变换算法，得到它们的离散傅里叶变换。
3.将这两个离散傅里叶变换的结果结合起来，得到最终的结果。
在算法的第三步中，需要进行一些额外的计算来将两个子序列的结果结合起来。
具体来说，假设两个子序列分别为A和B，它们的长度都为n/2、那么它们的离散傅里叶变换结果分别为A'和B'。
结合这两个结果得到的离散傅里叶变换结果可以表示为：D(k)=A'(k)+w^n*k*B'(k)D(k+n/2)=A'(k)-w^n*k*B'(k)其中，w是复数单位根，其定义为w = e^(-2*pi*i/n)。
从上述公式可以看出，结合两个子序列的结果需要进行一些乘法和加法操作。
为了减少乘法和加法的计算次数，在计算过程中采用了一些技巧，如Butterfly 操作。
通过递归的方式，对每个子序列进行快速傅里叶变换操作，最终将整个序列的离散傅里叶变换计算完成。
由于每次递归都将序列的规模缩小为原来的一半，所以总体的时间复杂度为O(nlogn)。
快速傅里叶变换算法的应用非常广泛。
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傅里叶分析之掐死教程（完整版）2014 年06 月23 日? 字号小中大作者：韩昊知乎：Heinrich微博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。
转载的同学请保留上面这句话，谢谢。
如果还能保留文章来源就更感激不尽了。
——更新于，想直接看更新的同学可以直接跳到第四章————我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12 年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了⋯⋯于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者⋯⋯这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗会死吗）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
————以上是定场诗————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。
但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。
这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。
无论如何，耐下心，读下去。
这篇文章要比读课本要轻松、开心得多⋯⋯. 本文无论是cos 还是sin ，都统一用“正弦波”（Sine Wave ）一词来代表简谐波。
、什么是频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。
这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。
而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。
但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。
先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：在你的理解中，一段音乐是什么呢这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。
但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：好的！下课，同学们再见。
是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。
上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。
所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。
现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。
将以上两图简化：时域：频域：在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。
所以你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。
抱歉，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。
在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。
而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。
傅里叶分析可分为傅里叶级数( Fourier Serie )和傅里叶变换(Fourier Transformation) ，我们从简单的开始谈起。
、傅里叶级数 (Fourier Series) 的频谱还是举个栗子并且有图有真相才好理解。
如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带 90 度角的矩形波来， 你会相信吗你 不会，就像当年的我一样。
但是看看下图：第一幅图是一个郁闷的正弦波 cos ( x )第二幅图是 2 个卖萌的正弦波的叠加 cos(x)+(3x)第三幅图是 4 个发春的正弦波的叠加第四幅图是 10 个便秘的正弦波的叠加随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了 什么道理(只要努力，弯的都能掰直！)随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而 所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。
形就这么叠加而成了。
但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢 不幸的告诉大家，答案是无穷多个。
（上帝：我能让你们猜着我）一个矩不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。
这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。
还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。
而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。
这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。
一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为0 的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。
这里，不同频率的正弦波我们成为频率分量。
好了，关键的地方来了！！如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“ 1”，我们就有了构建频域的最基本单元。
对于我们最常见的有理数轴，数字“ 1”就是有理数轴的基本单元。
时域的基本单元就是“ 1 秒”，如果我们将一个角频率为ω0 的正弦波cos（ω0t ）看作基础，那么频域的基本单元就是ω0。
有了“ 1”，还要有“ 0”才能构成世界，那么频域的“ 0”是什么呢cos（0t ）就是个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0 频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。
接下来，让我们回到初中，回忆一下已经死去的八戒，啊不，已经死去的老师是怎么定义正弦波的吧。
正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。
所以频域的基本单元也可以理解为个始终在旋转的圆知乎不能传动态图真是太让人惋惜了⋯⋯想看动图的同学请戳这里：File:Fourier series square wavecircles 以及这里：File:Fourier series sawtooth wave circles点出去的朋友不要被wiki 拐跑了，wiki 写的哪有这里的文章这么没节操是不是。
介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：这是什么奇怪的东西这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是——再清楚一点：动图请戳：File:Fourier series and老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图还没有出现，那时我就想到了这种表达 方法，而且，后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。
但是在讲相位谱之前，我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。
记得前面说 过的那句“世界是静止的”吗估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。
想象一下， 世界上每 一个看似混乱的表象， 实际都是一条时间轴上不规则的曲线， 但实际这些曲线都是由这些无 穷无尽的正弦波组成。
我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影， 而正弦 波又是一个旋转的圆在直线上的投影。
那么你的脑海中会产生一个什么画面呢我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布， 幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮， 小齿轮再带动更小的。
在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。
我们只看到这 个小人毫无规律的在幕布前表演， 却无法预测他下一步会去哪。
而幕布后面的齿轮却永远一 直那样不停的旋转， 永不停歇。
这样说来有些宿命论的感觉。
说实话， 这种对人生的描绘是 我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的， 当时想想似懂非懂， 直到有一天我学到了傅里 叶级数⋯⋯可以发现，在频谱中，偶数项的振幅都是波。
0，也就对应了图中的彩色直线。
振幅为 0 的正弦、傅里叶级数( Fourier Series )的相位谱上一章的关键词是：从侧面看。
这一章的关键词是：从下面看。
在这一章最开始，我想先回答很多人的一个问题：傅里叶分析究竟是干什么用的这段相对比较枯燥，已经知道了的同学可以直接跳到下一个分割线。
先说一个最直接的用途。
无论听广播还是看电视，我们一定对一个词不陌生——频道。
频道频道，就是频率的通道，不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。
下面大家尝试一件事：先在纸上画一个sin （x），不一定标准，意思差不多就行。
不是很难吧。
好，接下去画一个sin （3x ）+sin （5x）的图形。
别说标准不标准了，曲线什么时候上升什么时候下降你都不一定画的对吧好，画不出来不要紧，我把sin （3x）+sin （5x ）的曲线给你，但是前提是你不知道这个曲线的方程式，现在需要你把sin （5x ）给我从图里拿出去，看看剩下的是什么。
这基本是不可能做到的。
但是在频域呢则简单的很，无非就是几条竖线而已。
所以很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。
这就是需要傅里叶变换的地方。
尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为滤波，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。
再说一个更重要，但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。
（这段有点难度，看不懂的可以直接跳过这段）微分方程的重要性不用我过多介绍了。
各行各业都用的到。
但是求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。
因为除了要计算加减乘除，还要计算微分积分。
而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法，大学数学瞬间变小学算术有没有。
傅里叶分析当然还有其他更重要的用途，我们随着讲随着提。
下面我们继续说相位谱：通过时域到频域的变换，我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。
因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位。
基础的正弦波（wt+ θ）中，振幅，频率，相位缺一不可，不同相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们还需要一个相位谱。
那么这个相位谱在哪呢我们看下图，这次为了避免图片太混论，我们用7 个波叠加的图。
鉴于正弦波是周期的，我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。
在图中就是那些小红点。
小红点是距离频率轴最近的波峰，而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢为了看的更清楚，我们将红色的点投影到下平面，投影点我们用粉色点来表示。