波与粒子

第十四章 波与粒子

14-1 在恒星演化过程中，当能源耗尽时，星体将在万有引力作用下发生坍缩，而成为密度极高的星体。同时，由于先前的核燃烧，这种星体的温度仍然很高，因而发出白光，故得名为白矮星。天狼星的一个伴星，是人们发现的第一颗白矮星，如果测得其最大单色辐出度所对应的波长为0.352 μ m ，试根据维恩位移律估计它的表面温度。

解 根据维恩位移律

λm T b =, 可以计算这颗白矮星的表面温度，为 T b

==

⨯⨯⨯--λm

3 K =8.2310 K 289810035210

36

...

14-2 三个大小相同并可看作为黑体的球体，测得其最大单色辐出度所对应的波长分别为0.300 μm 、0.400 μm 和0.500 μm ，试求它们的温度以及它们在单位时间内向空间辐射的能量之比。

解 根据维恩位移律可以求得它们的温度，分别为 T b

1396610==⨯λm1

K .;

T b

2372510==⨯λm2

K .; T b

3358010=

=⨯λm3

K ..

根据斯特藩-玻耳兹曼定律

M T T 04()=σ

和上面已经得到的温度，就可以求出它们的辐出度M 0 。辐出度是表示该黑体在单位时间内从其表面单位面积上辐射出的能量，因为三个球体大小相同，它们在单位时间内向空间辐射的能量之比，就等于它们的辐出度之比，即

E E E M M M T T T 123010203142434871276113

::::::.:.:. ===.

14-3 试由普朗克公式在短波近似情况下导出维恩公式，在长波近似情况下导出瑞利-金斯公式。

解 黑体的单色辐出度可以用普朗克公式表示

M T hc hc kT λλλ02

5

211

()/=-πe . (1)

在短波近似情况下，有

λ<<

hc

kT

, ∴>>e hc kT /λ1. 这样就可以在普朗克公式中略去1，而成为下面的形式 M T hc hc kT λλλ

02

5

2()/=

-πe . (2)

令c hc 122=π、c hc k 2=/，并代入上式，得 M T c c T λλλ

01

5

2()/=-e .

这正是维恩公式。

在长波近似情况下，有 λ>>

hc kT , ∴≈+e hc kT hc kT

/λλ1. 于是，普朗克公式成为下面的形式

M T hc kT hc ckT

λλλλ0254

22()()==

ππ. 这正是瑞利-金斯公式。

14-5 试求波长为下列数值的光子的能量、动量和质量： (1) 波长为1.2⨯103 nm 的红外线； (2) 波长为6.2⨯102 nm 的可见光； (3) 波长为0.34⨯102 nm 的紫外线； (4) 波长为1.6⨯10-2 nm 的X 射线； (5) 波长为1.1⨯10-3 nm 的γ射线。 解

(1) 对于波长为1.2⨯103 nm 的红外线，λ=⨯-12106. m : 能量为

ενλ

===⨯-h hc

171019. J ;

动量为

p c

==⨯⋅⋅--ε5510281. kg m s ;

质量为

m p

c

=

=⨯-181036. kg . (2) 对于波长为6.2⨯102 nm 的可见光，λ=⨯-62107. m : 能量为

ενλ

===⨯-h hc

321019. J ;

动量为

p c

==⨯⋅⋅--ε1110271. kg m s ;

质量为

m p c

=

=⨯-361036

. kg . (3) 对于波长为0.34⨯102 nm 的紫外线，λ=⨯-034107. m : 能量为

ενλ

===⨯-h hc

581018. J ;

动量为

p c

==⨯⋅⋅--ε1910251. kg m s ;

质量为

m p

c

=

=⨯-151034. kg . (4) 对于波长为1.6⨯10-2 nm 的X 射线，λ=⨯-161011. m : 能量为

ενλ

===⨯-h hc

121014. J ;

动量为

p c

==⨯⋅⋅--ε4110231. kg m s ;

质量为

m p

c

=

=⨯-141031. kg . (5) 对于波长为1.1⨯10-3 nm 的γ射线，λ=⨯-111012. m : 能量为

ενλ

===⨯-h h c

181013

. J ;

动量为

p c

==⨯⋅⋅--ε6010221. kg m s ;

质量为

m p c

==⨯-201030. kg .

14-6 已知金属钨的逸出功为4.38 eV ，若用波长为429 nm 的紫光照射其表面，问能否产生光电子？若在钨的表面涂敷一层铯，其逸出功变为2.61 eV ，结果又将如何？若能产生光电子，求光电子的最大初动能。 解 入射光子的能量为 h hc

νλ

==

⨯⨯⨯⨯⨯---66261029981042910348

7

19... J =4.6310 J ;

金属钨的逸出功为

A =⨯⨯⨯--438160*********.. J =7.01 J . 因为h A ν<，所以不能产生光电子。 当在钨表面涂敷铯，逸出功变为

'=⨯⨯⨯--A 261160210101919.. J =4.18 J , 这时h A ν>'，所以能够产生光电子。根据光电效应的爱因斯坦方程

h mu A ν=+1

22,

光电子的最大出动能为 1

2

4510220mu h A =-'=⨯-ν. J .

14-7 金属钾的红限为4.62⨯1014 Hz ，若用波长为436 nm 的光照射，求光电子的最大初速度。

解 根据红限的定义，可以求得金属钾的逸出功

A h ==⨯⨯⨯=⨯--ν034141966261046210306

10... J . 光电子的最大初动能为

12456306101021919mu h A hc

A =-=

-=-⨯⨯--νλ(..) J =1.50 J , 光电子的最大初速度为 u m

=⨯⨯=⨯⋅--2150105741019

51.. m s .

14-8 金属钠的红限为4.39⨯1014 Hz ，求：