函数对称性的三类题型

对称性 一、有关对称性的常用结论

（一）函数图象自身的对称关系（加法） 1、轴对称

(1))(x f -=)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于y 轴对称；

(2) 函数)(x f y =图象关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+⇔()(2)f x f a x =-

⇔()(2)f x f a x -=+；

（3）若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的

图象关于直线对称。

2、中心对称

（1）)(x f -=－)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于原点对称；.

（2）函数)(x f y =图象关于(,0)a 对称⇔)()(x a f x a f --=+⇔()(2)f x f a x =--

⇔)2()(x a f x f +=-；

（3）函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称⇔b x a f x a f 2)()(=++-

⇔b x f x a f 2)()2(=+-

（4）若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数），

则函数)(x f y =的图象关于点

对称。

（二）两个函数图象之间的对称关系（减法）

1.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图象关于直线

对称。

推论1：函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线0=x 对称。 推论2：函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。

2.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f c y --=的图象关于点

对称。

推论：函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=图象关于点)0,2

(a

b -对称。

2

a b x -=

)2

,2(

c

a b -2

b

a x +=

)2

,2(c

b a +

类型一：双对称问题

1. 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)1()1(x f x f -=+，当01≤≤-x 时，

x x f 2

1

)(-=，则=)6.8(f ___________

解：因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以)(0x f y x ==是的对称轴；又因为

(1)(1)f x f x +=-，所以1x =也是()y f x =的对称轴，故)(x f y =是以2为周期的周期

函数，所以3.0)6.0()6.0()6.08()6.8(=-==+=f f f f 。

2.（2005年广东卷I ）设函数)2()2(),()(x f x f x f +=-∞+-∞上满足在，

)7()7(x f x f +=-，且在闭区间［0，7］上只有0)3()1(==f f 。

（1）试判断函数)(x f y =的奇偶性； 非奇非偶函数

（2）试求方程0)(=x f 在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。

802 310,110+=+=m a n a m n

3.设

是定义在R 上的奇函数，且

的图象关于直线

对称，则：

_____________

解：函数

的图像既关于原点对称，又关于直线对称，所以周期是2，又，

图像关

于

对

称，所

以

，

所以

类型二：对称轴和对称中心的判断

1. 函数)1(+=x f y 为偶函数，则函数)(x f 的图像的对称轴方程为 1=x

2. 函数)2(-=x f y 为奇函数，则函数)(x f y =的图像的对称中心为

（-2，0）

3.函数y=f(x+1)与函数y=f(3-x)的图象关于 __________对称

解：由命题1知，两函数图象关于31

12

x -==, 即关于直线x=1对称。 4.函数()121x

f x x

-=

+，该函数图象的对称中心是 . 【分析】本例的函数是等次分式函数，自然想到分离法，化归为反比例函数变换所得. 【解法】函数()321f x x =-++，该函数可由反比例函数3

y x

=向左平移1个单位，再向下平移2个单位所得.

因为反比例函数3

y x =的对称中心是()0,0,O 自然也进行相应地平移， 所以函数()121x

f x x

-=+图象的对称中心是()1,2.--

类型三：求值

1.已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1

，若f (a )＝2

3，则f (－a )＝________.

2.设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin x

x 2＋1

的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．

解析：f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1.设g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，则g (－x )＝－2x －sin x

x 2＋1

＝

－g (x )，

所以g (x )是R 上的奇函数．所以若g (x )的最大值是W ，则g (x )的最小值是－W .所以函数f (x )的最大值是1＋W ，最小值是1－W ，即M ＝1＋W ，m ＝1－W ，所以M ＋m ＝2.

答案：2 3.()()311f x x =-+，则()()()()()43056f f f f f -+-+

++++= ．

解析 ()()3

11f x x =-+是由3y x =平移得到的， 由于3y x =是奇函数，图象关于原点对称， 因此()f x 的对称中心为()1,1，()()22f x f x +-=，

所以()()()()()43056f f f f f -+-+

++

++

()()()()()()()4635021f f f f f f f =⎡-+⎤+⎡-+⎤++⎡+⎤+⎣⎦⎣⎦⎣⎦

52111=⨯+=，

故答案为11