高考数学一轮复习： 专题6.4 数列求和(练)

专题6.4 数列求和

【基础巩固】

一、填空题

1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1

2n ，…的前n 项和S n ＝________.

【答案】n 2

＋1－12

n

【解析】该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋1

2

n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋

⎝ ⎛⎭

⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n

. 2．(·南通调研)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝4，S 4＝10，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n a n ＋1的前2 017

项和为________． 【答案】2 017

2 018

3．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1

·(4n －3)，则它的前100项之和S 100＝________.

【答案】－200

【解析】S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.

4．(·江西高安中学等九校联考)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16＝________. 【答案】7

【解析】根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.

又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.

5．(·泰州模拟)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12

(n ∈N *

)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21

＝________. 【答案】6

【解析】由a n ＋a n ＋1＝1

2＝a n ＋1＋a n ＋2，∴a n ＋2＝a n ，

则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21，a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20， ∴S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21) ＝1＋10×1

2

＝6.

6．(·南通、扬州、泰州三市调研)设数列{a n }满足a 1＝1，(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1(n ∈N *

)，则∑100

k ＝1 (a k a k ＋1)的值为________． 【答案】100101

7．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是________． 【答案】60

【解析】由a 1>0，a 10·a 11<0可知d <0，a 10>0，a 11<0， ∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18 ＝S 10－(S 18－S 10)＝60.

8．(·镇江期末)已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝________. 【答案】4n

－1

【解析】由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4，∴b n ＝(－3)×(－4)

n －1

，∴|b n |＝3×4n －1

，即{|b n |}

是以3为首项，4为公比的等比数列，∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝3

1－4

n

1－4

＝4n

－1.

二、解答题

9．已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4. (1)求{a n }的通项公式；

(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．

10．(·苏北四市调研)已知各项均为正数的数列{a n }的首项a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足：a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝λa n a n ＋1(λ≠0，n ∈N *

)． (1)若a 1，a 2，a 3成等比数列，求实数λ的值； (2)若λ＝1

2

，求S n .

解 (1)令n ＝1，a 1S 2－a 2S 1＋a 1－a 2＝λa 1a 2，解得a 2＝21＋λ

. 令n ＝2，a 2S 3－a 3S 2＋a 2－a 3＝λa 2a 3，解得a 3＝2λ＋4

λ＋12λ＋1

.

由a 2

2＝a 1a 3得⎝

⎛⎭

⎪⎫21＋λ2＝

2λ＋4λ＋12λ＋1， 因为λ≠0，所以λ＝1.

(2)当λ＝12时，a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝1

2a n a n ＋1，

所以

S n ＋1a n ＋1－S n a n ＋1a n ＋1－1a n ＝12，即S n ＋1＋1a n ＋1－S n ＋1a n ＝12

， 所以数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫S n ＋1a n 是以2为首项，1

2为公差的等差数列，

所以

S n ＋1a n ＝2＋(n －1)·1

2

， 即S n ＋1＝

n ＋3

2

a n ，①