1998考研数四真题及解析

1998年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题

一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.)

(1) 设曲线()n

f x x =在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为(,0)n ξ则lim ()n n f ξ→∞

=________.

(2)

2ln 1

x dx x -=⎰____________.

(3) 设矩阵,A B 满足*

28A BA BA E =-,其中100020001A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

,E 为单位矩阵,*A 为A

的伴随矩阵,则B =____________.

(4) 设,A B 均为n 阶矩阵,2,3A B ==-,则*12A B -=____________.

(5) 设一次试验成功的概率为p ,进行100次独立重复试验,当p =____________时,成功次

数的标准差的值最大,其最大值为____________.(注：第一空2分,第二空1分)

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1) 设周期函数()f x 在(),-∞+∞内可导,周期为4,又0

(1)(1)

lim

12x f f x x

→--=-,则曲线

()y f x =在点()5,(5)f 处的切线的斜率为 ( )

(A)

1

2

(B) 0 (C) 1- (D) 2- (2) 设函数21()lim 1n

n x

f x x →∞+=+,讨论函数()f x 的间断点,其结论为 ( )

(A) 不存在间断点 (B) 存在间断点1x = (C) 存在间断点0x = (D) 存在间断点1x =-

(3) 若向量组,,αβγ线性无关,,,αβδ线性相关,则 ( )

(A) α必可由,,βγδ线性表示 (B) β必不可由,,αγδ线性表示 (C) δ必可由,,αβγ线性表示 (D) δ必不可由,,αβγ线性表示 (4) 设,,A B C 是三个相互独立的随机事件,且0()1P C <<,则在下列给定的四对事件中不

相互独立的是 ( ) (A) A B C +与 (B) AC C 与 (C) A B C -与 (D) AB C 与

(5) 设1()F x 与2()F x 分别为随机变量12X X 与的分布函数.为使12()()()F x aF x bF x =-

是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取 ( )

(A) 32,55a b ==- (B) 22,33a b == (C) 13,22a b =-= (D) 13

,22

a b ==-

三、(本题满分6分)

求2

1lim(tan )n n n n

→∞

(n 为自然数).

四、(本题满分6分)

设arctan

2

2

()y x

z x y e

-=+,求dz 与2z

x y

∂∂∂.

五、(本题满分5分)

设22{(,)|}D x y x y x =+≤,求D

xdxdy .

六、(本题满分6分)

设某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在(假定0t =)就售出,总收入为0R (元).如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售,t 年末总收入为

25

0t R R e

=.

假定银行的年利率为r ,并以连续复利计算,试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大.并求0.06r =时的t 值.

七、(本题满分6分)

设()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()()1f a f b ==,试证存在,(,)a b ξη∈,使得

[()()]1e f f ηξηη-'+=.

八、(本题满分9分)

设直线y ax =与抛物线2y x =所围成图形的面积为1S ,它们与直线1x =所围成的图形面积为2S ,并且1a <.

(1) 试确定a 的值,使12S S +达到最小,并求出最小值.

(2) 求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.

九、(本题满分9分)

设向量12(,,

,)T n αααα=,12(,,,)T n b b b β=都是非零向量,且满足条件0T αβ=.

记n 阶矩阵T

A αβ=,求：

(1) 2A ；

(2) 矩阵A 的特征值和特征向量.

十、(本题满分7分)

已知下列非齐次线性方程组

(Ⅰ) 1241

234123264133x x x x x x x x x x --=-⎧⎪---=⎨⎪--=⎩ (Ⅱ) 12342

343

4

521121

x mx x x nx x x x x t +--=-⎧⎪--=-⎨

⎪-=-+⎩

(1) 求解方程组(I),用其导出组的基础解系表示通解；

(2) 当方程组(II)中的参数,,m n t 为何值时,方程组(I)与(II)同解.

十一、(本题满分8分)

设某种商品每周的需求量X 是服从区间[1030],上均匀分布的随机变量,而经销商店进货数量为区间[1030],中的某一整数,商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理,每处理1单位商品亏损100元；若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每1单位商品仅获利300元.为使商品所获利润期望值不少于9280元,试确定最少进货量.

十二、(本题满分8分)

某箱装有100件产品,其中一、二和三等品分别为80、10和10件,现在从中随机抽取一件,记

1,(1,23)0,

i i X i ⎧==⎨

⎩若抽到等品,

其他.

,

试求：(1) 随机变量1X 与2X 的联合分布；

(2) 随机变量12X X 和的相关系数ρ.