高中数学函数与导数综合题型分类总结.doc

函数综合题分类复习

题型一：关于函数的单调区间(若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开)，极值，最值；不等式恒成立。例1.已知函数/(x) = -x3- bx2 +2x +a ,兀=2是/⑴的一个极值点•

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(I )求/⑴的单调递增区间；(II)若当*［1,3］时，f(x)-a2>-恒成立，求d的取值范围. 例2.已知函

数f(x) = x3+ax2 +ax + b的图象过点P(0 ,2).

(1)若函数/(兀)在x = -l处的切线斜率为6,求函数=f(x)的解析式；(2)若°〉3,求函数y = /(x)的单调区间。

、2x2

例3•设/(%) = ——, g(x) = ax + 5-2a(a >0)。

x + 1

(1)求/(X)在X€［0,l］上的值域；

(2)若对于任意x{G［0,1］,总存在x0G［0,1］?使得g(x0) = /(%!)成立，求a的取值范围。

例4.已知函数/(%) = ? +血$图象上一点pg)的切线斜率为-3 ,

g(X)= x" + -~- x2 - (t + l)x + 3 (t > 0)

2

(I )求a, 〃的值；(II )当XG［-1,4］时，求/(x)的值域；

(III)当"［1,4］时，不等式f(x)

例5.已知定义在/?上的函数f(x) = ax3-2ax2^bCa>0)在区间［-2,1］上的最大值是5,最小值是一

11.

(I )求函数/(兀)的解析式;(II)若虫［-1,1］时，f\xUtx< 0恒成立，求实数兀的取值范围.

例6.已知函数/(%) = %3 + 3/7?%2 + nx + m2 ,在x = -l时有极值0,则加+ n = _______

例7.已知函数/(x) = ^图象上斜率为3的两条切线间的距离为厶迥，函数

cr 5

(、“、3kx

g(x) = f(x)---- +3.

cr

(1)若函数g(x)在x = 1处有极值，求g(尢)的解析式;

(2)若函数g(兀)在区间［-1,1］上为增函数,且b2-mb + 4>g(x)在区间［-1,1］上都成立，求实数

加的取值范围.

题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x轴即方程根的个数问题;

(1)已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种:

(2)函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤

例8・已知函数/(X)二丄疋-坐虫兀2, g(兀)=丄_总，且门兀)在区间(2,+oo)上为增函数.

3 2 3

(1)求实数£的取值范围；(2)若函数/(力与g(R的图象有三个不同的交点，求实数£的取值范围.

3 例9.已知函数f(x) = ax3 -3x2 +1--.

a

(I)讨论函数/(x)的单调性。

(II)若函数y = /(X)在A、B两点处取得极值，冃线段AB与X轴冇公共点，求实数a的取值范围。

例10.已知函数f(x)=x3—ax2—4x+4a,其中a为实数.

(I)求导数广(x)； (II)若广(一1) = 0,求f(x)在［―2, 2］上的最大值和最小值;

(III)若f(x)在(一00, 一2］和［2, +oo)上都是递增的,求a的取值范围

例11.已知：函数/(兀)=x3 -ax2 +fex + c

(I)若函数/(对的图像上存在点P,使点P处的切线与兀轴平行，求实数的关系式；

(II)若函数/(对在x = -l和兀=3时取得极值且图像与兀轴有且只有3个交点，求实数c的取值范围.

例12.设y = /(x)为三次函数，冃图像关于原点对称，当x =-时，/(%)的极小值为-1・

(I)求/⑴的解析式；(II)证明：当兀w(l,+oo)时，函数几无)图像上任意两点的连线的斜率恒大于0.

例13.在函数f(x) = ax3+bx(a^0)图像在点(1, /(D)处的切线与直线6x + y + 7 = 0.平行，导函数广W 的最小值为一12。(1)求&、方的值；(2)讨论方程f(x) = m解的情况(相同根算一根)。

例14.已知定义在R上的函数f(x) = ax3 + bx4-c(a,b,c e R),当x = -\时，/(兀)取得极大值3, /(0) =

1 •

(I )求于(兀)的解析式;(II)已知实数/能使函数f(x)在区间(t,t + 3)上既能取到极大值，又能

取到极小值，记所有的实数f组成的集合为M.请判断函数= 的零点个数.

例15•已知函数/(x) = kx3-3(k + l)x2-2k2+4,^f(x)的单调减区间为(0, 4)

(I)求k的值；

(II)若对任意的虫［-1,1］,关于x的方程2x2+5x + 6z = /(r)总有实数解，求实数a的取值范圉。例

16.已知函数f(x) = ax3^bx2-x(xeR,a y b是常数)，且当兀=1和兀=2时，函数/(兀)取得极值.

(I)求函数几兀)的解析式;(II)若曲线y = f(x)^g(x) = -3x-m(-2

例17.已知函数正项数列满足：6/0=0,⑷=1,点P n(p^ pl)在圆F+于二丄上，(応眄

V J V 5 2

(neN + )

(I )求证：。卄1 + % =詁“ ；(II)若b n =a ll+l -2a n (neN + ) f求证：｛仇｝是等比数列；(III)求和:b［ + 2b2 + 3仇+ …+ nb n

例1&函数/(x) = x3-3t2x + m (XG/?,Z>0,m > /为常数)是奇函数。

(I )求实数加的值和函数/⑴的图像与兀轴交点坐标；(II)设g(x) =|/(x)|, "［0,1］,求g(x) 的最大值

F(f).

例19.已知f (x)=x3+bx2+cx+2.

⑴若f(x)在x=l时冇极值一1,求b、c的值；

⑵若函数y=x? + x — 5的图象与函数y=上三的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围. 例20.设函数f(x) = ^x3 -x2 + ax , g(x) = 2x + h ,当x = l + Q 时'，/(x)取得极值.